III UNIDADE - TEORIA - PARTE II

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Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 1 
CAP 24 – SUPERFÍCIE ESFÉRICA 
Definição 
 
É o lugar geométrico dos pontos do espaço eqüidistantes de um ponto fixo. O ponto fixo 
é o centro e a distância constante é o raio. 
 
Equação Cartesiana 
 
Centro: ),,( ooo zyxC 
Raio: r > 0 
Um ponto ),,( zyxP pertence à superfície esférica S se: 
 
rCPd =),( 
 
rzzyyxx ooo =−+−+−
222 )()()( 
 
2222 )()()( rzzyyxx ooo =−+−+− � equação reduzida 
 
Desenvolvendo os quadrados obtemos: 
 
0222 =++++++ dczbyaxzyx
 � equação geral 
 
Onde oxa 2−= , oyb 2−= , ozc 2−= e 
2222
rzyxd ooo −++= 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
1º) Obtenha a equação reduzida e a equação geral da superfície esférica de centro C 
(1,-1,3) e raio 4. 
 
Resolução 
Seja X = (x,y,z). Impondo a condição 22 ),( rCPd = , obtemos a equação reduzida: 
16)3()1()1( 222 =−+++− zyx 
Desenvolvendo os quadrados e simplificando, chegamos a equação geral 
05622222 =−−+−++ zyxzyx 
 
PENSE NISTO!!! 
Obtenha (se houver) a equação geral da superfície esférica que contém os pontos P = 
(0,0,0), Q = (1,0,0), R = (0,2,0) e S = (0,0,3). Resp: 032222 =−−−++ zyxzyx 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 2 
Posição Relativa de Ponto e Superfície Esférica 
 
 P exterior a S SP ∈ P interior a S 
 rPCd >),( rPCd =),( rPCd <),( 
 
 
Interseção e Posição Relativa de Reta e Superfície Esférica 
Sejam t uma reta e S a superfície esférica de centro C e raio r. 
 
a) Se rtCd >),( , então t é exterior a S e, portanto, φ=∩ St 
b) Se rtCd =),( , então St ∩ contém um único ponto (ponto de tangência), que é 
a projeção ortogonal de C sobre t. Dizemos que t e S são tangentes. 
c) rtCd <),( , então St ∩ é formado por dois pontos distintos, A e B, cujo ponto 
médio é a projeção ortogonal de C sobre t. Dizemos que t é secante a S. 
 
 
Interseção e Posição Relativa de Plano e Superfície Esférica 
Sejam pi um plano e S a superfície esférica de centro C e raio r. 
 
a) Se rCd >),( pi então pi é exterior a S e, portanto, φpi =∩ S . 
b) Se rCd =),( pi , então S∩pi contém um único ponto (ponto de tangência), que 
é a projeção ortogonal de C sobre pi . Dizemos que pi e S são tangentes. 
c) Se rCd <),( pi , então S∩pi é a circunferência de raio ),(22 piσ Cdr −= , 
contida em pi , cujo centro é a projeção ortogonal de C sobre pi . Dizemos que pi 
e S são secantes. 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 3 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
2º) Seja S: 012222 =−−++ xzyx . Obtenha uma equação geral do plano pi , tangente 
a S em T(1,-1,1). 
 
Resolução 
 
Observemos inicialmente que T pertence a S, pois suas coordenadas satisfazem a 
equação de S. Logo, T é o ponto de tangência e pi é o plano que contém T e é 
perpendicular a CT . 
 
1º PASSO: Cálculo das coordenadas do centro da superfície esférica 
Através do método de completar quadrados, temos: 2222 )2()1( =++− zyx 
O centro de S é C = (1,0,0). 
 
2º PASSO: Cálculo do vetor normal CT ao plano pi 
Tendo as coordenadas de C e T, calculamos CT = (0,-1,1) que é um vetor normal ao 
plano pi . Logo, uma equação geral desse plano é da forma 0=++− dzy . 
 
3º PASSO: Cálculo da equação geral do plano pi 
Substituindo as coordenadas de T em 0=++− dzy , obtemos d = – 2. Assim, 
02: =−+− zypi . 
 
3º) Determine o centro G e o raio σ da circunferência: 



=−−−
=−+++Γ
0122
03
:
222
zyx
yxzyx
. 
Resolução 
 
1º PASSO: Cálculo do raio e das coordenadas do centro da superfície esférica 
Através do método de completar quadrados, temos: 
2222 )2/5()2/1()2/3( =+−++ zyx 
O centro de S é C = (-3/2,1/2,0) e r = 2/5 . 
 
2º PASSO: Cálculo do centro da circunferência G a partir da projeção ortogonal 
de C sobre o plano 0122: =−−− zyxpi 
 
Obter G, projeção ortogonal de C sobre o plano pi , é um exercício do Capítulo 17: 
sabemos que )2,1,2( −−=nr é um vetor normal a pi . Logo nCG rλ+= 
)2,2/1,22/3( λλλ −−+−=G . Como G pertence a pi , 
 
( ) 01)2(2)2/1(22/32 =−−−−−+− λλλ 
E portanto, 2/1=λ . O centro da circunferência é G = (-1/2,0,-1) 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 4 
3º PASSO: Cálculo do raio da circunferência através de ),(22 piσ Cdr −= 
Como ( ) ( )GCdCd ,, =pi , temos: 
( ) 4/914/11, 22 =++== CGCd pi 
Do triângulo destacado na figura, temos: 
 ( )piσ ,222 Cdr +=
 
Logo, 
4
9
2
5),(22 −=−= piσ Cdr ∴
2
1
=σ
 
 
 
Interseção e Posição Relativa de Superfícies Esféricas 
 
Sejam S1: 01111222 =++++++ dzcybxazyx e 
S2: 02222
222
=++++++ dzcybxazyx 
superfícies esféricas distintas, a primeira de centro C1 e raio r1, a segunda de centro C2 e 
raio r2. Suporemos que r2 ≥ r1. 
 
 
O plano pi (do par de superfícies esféricas não concêntricas S1 e S2) que é ortogonal ao 
segmento C1C2 é chamado de plano radical. A equação geral do plano radical é obtida 
subtraindo membro a membro as equações gerais de S1 e S2. 
0)()()(: 12121212 =−+−+−+− ddzccybbxaapi 
 
 
• 21 SS ∩ é uma circunferência Γ contida no plano radical, cujo centro é o ponto 
em que a reta C1C2 intercepta pi . Dizemos, neste caso, que S1 e S2 são secantes. 
 
( ) 122112 , rrCCdrr +<<− 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 5 
• 21 SS ∩ contém um único ponto T, que é o ponto em que a reta C1C2 intercepta 
pi . Neste caso, dizemos que S1 e S2 são tangentes em T e que este é o ponto de 
tangência. 
 
 Tangentes Exteriores Tangentes Interiores 
 
( ) 1221 , rrCCd += ( ) 1221 , rrCCd −= 
 
• φ=∩ 21 SS . Neste caso, S1 e S2 são disjuntas epi é exterior a ambas. 
 
( ) 1221 , rrCCd +> ( ) 1221 , rrCCd −< 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
4º) Estude a posição relativa das superfícies esféricas 
03222: 2221 =−+++++ zyxzyxS e 062: 2222 =−+++ zzyxS . 
Se forem secantes, obtenha o centro e o raio da circunferência-interseção; se forem 
tangentes, determine o ponto de tangência. 
 
Resolução: 
 
1º PASSO: Estudar a posição relativa entre as superfícies esféricas 
Através do método de completar quadrados, temos: 
( )22221 6)1()1()1(: =+++++ zyxS e ( )22222 7)1(: =+++ zyxS 
Os centros de S1 e S2 são respectivamente, C1(-1,-1,-1) e C2(0,0,-1). Os raios, r1 = 6 e 
r2 = 7 . 
 
Calculando a distância entre os centros das duas superfícies esféricas, temos: 
( ) ( ) 2)1(1)01()01(, 22221 =−−−+−−+−−=CCd 
Como ( ) 67,67 21 +<<− CCd , as superfícies esféricas são secantes. 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 6 
2º PASSO: Cálculo do raio da circunferência-interseção 
21 SS ∩ é uma circunferência, cujo centro G é o ponto de interseção da reta C1C2 com 
pi (o plano radical de S1 e S2). (Ver figura abaixo) 
 
Subtraindo membro a membro as equações gerais de S1 e S2, obtemos uma equação 
geral de 0322: =++ yxpi . 
 
Sabe-se que: 
( ) ( )
22
3
022
3)1(00202
,,
22222222
=
++
+−⋅+⋅+⋅
=
++
+++
==
cba
dczbyax
CdGCd ooopi 
Com isso, tem-se: 
 ( )piσ ,22222 Cdr += 
8
97 −=σ ∴
8
47
=σ
 � raio da circunferência-interseção 
 
 
3º PASSO: Cálculo das coordenadas do centro da circunferência-interseção 
O centro da circunferência-interseção é a interseção da reta 21CC com o plano radical pi . 
A reta 21CC passa por C2(0,0,-1) e tem a direção do vetor normal ao plano radical pi 
( ( )0,2,2=nr ). Logo as equações paramétricas da reta 21CC são: :21CC





−=
=
=
1
2
2
z
ty
tx
, IRt ∈ .
Tomemos um ponto genérico da reta 21CC � X = (2t, 2t, -1). Substituindo suas 
coordenadas na equação de pi , obtemos 03)2(2)2(2 =+⋅+⋅ tt ∴ 8/3−=t . Logo as 
coordenadas do centro da circunferência-interseção são ( )1),8/3(2),8/3(2 −−⋅−⋅=G . 
Ou seja, ( )1,4/3,4/3 −−−=G 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 7 
CAP 25 – QUÁDRICAS 
 
A equação geral do 2º grau nas três variáveis x, y, z: 
0222 =+++++++++ JIzHyGxFyzExzDxyCzByAx 
Onde pelo menos um dos coeficientes A, B, C, D, E, e ou F é diferente de zero, 
representa uma superfície quádrica ou simplesmente uma quádrica. 
 
Observemos que se a superfície quádrica dada pela equação acima for cortada pelos 
planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma 
cônica. A interseção de uma superfície com um plano é chamada traço da superfície no 
plano. Nosso objetivo é identificar e esboçar o gráfico de uma quádrica, conhecida sua 
equação. 
 
SUPERFÍCIES QUÁDRICAS CENTRADAS 
 
12
2
2
2
2
2
=±±±
c
z
b
y
a
x
 (I) 
 
As possíveis combinações de sinais nesta equação permitem concluir a existência de 
apenas três tipos de superfícies, conforme sejam três, dois ou um o número de 
coeficientes positivos dos termos do primeiro membro da equação. Se os referidos 
coeficientes forem todos negativos, não existe lugar geométrico. 
 
 
1º) SUPERFÍCIE QUÁDRICA CENTRADA: ELIPSÓIDE 
 
O elipsóide é a superfície representada pela equação: 12
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
 
 
Em que todos os coeficientes dos termos do primeiro membro da equação (I) são 
positivos, onde a, b e c (pelo menos dois deles distintos) são reais positivos e 
representam as medidas dos semi-eixos do elipsóide. (Ver figura abaixo) 
 
 
 
OBS: Se a, b e c fossem iguais, a superfície seria uma superfície esférica de centro 
(0,0,0) e raio a. 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 8 
Exemplo: Identifique e esboce o gráfico da superfície cuja equação é dada por: 
3694 222 =++ zyx 
Solução 
Dividindo ambos os membros por 36, temos: 
1
3649
222
=++
zyx
 
1º PASSO: Interseção da superfície com os planos coordenados (ou planos 
paralelos a este, se necessário) 
a) Plano x = 0 (plano yz) 





=
=+
0
1
364
22
x
zy
 � elipse 
 
b) Plano y = 0 (plano xz) 





=
=+
0
1
369
22
y
zx
 � elipse 
 
c) Plano z = 0 (plano xy) 





=
=+
0
1
49
22
z
yx
 � elipse 
 
2º PASSO: Esboço da quádrica 
Calculando os vértices de cada elipse encontrada, faremos um esboço do elipsóide. 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 9 
OBS: Se pelo menos dois dos valores a, b e c são iguais, o elipsóide é de revolução. Por 
exemplo, se a = c, o elipsóide é obtido girando a elipse 12
2
2
2
=+
c
z
b
y
 , x = 0 do 
plano yOz em torno do eixo dos y. Exemplo: 1
4164
222
=++
zyx
 � o traço no plano 
xOz (y = 0) é uma circunferência de raio 2. 
 
 
OBS: Se o centro do elipsóide é o ponto ( )ooo zyx ,, e seus eixos forem paralelos aos 
eixos coordenados, a equação assume a forma 1
)()()(
2
2
2
2
2
2
=
−
+
−
+
−
c
zz
b
yy
a
xx ooo
. 
 
 
 
2º) SUPERFÍCIE QUÁDRICA CENTRADA: HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA 
Se na equação (I) dois coeficientes dos termos do primeiro membro são positivos e um é 
negativo, a equação representa um hiperbolóide de uma folha. 
 
A equação 12
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x
 é uma forma canônica da equação do hiperbolóide de uma 
folha ao longo do eixo dos z. (Ver figura abaixo) 
 
 
 
 
As outras duas formas canônicas são 12
2
2
2
2
2
=+−
c
z
b
y
a
x
 e 12
2
2
2
2
2
=++−
c
z
b
y
a
x
 e 
representam hiperbolóides de uma folha ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente. 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 10 
Exemplo: Identifique e esboce o gráfico da superfície cuja equação é dada por: 
3694 222 =+− zyx 
Solução 
Dividindo ambos os membros por 36, temos: 
1
4369
222
=+−
zyx
 
1º PASSO: Interseção da superfície com os planos coordenados (ou planos 
paralelos a este, se necessário) 
a) Plano x = 0 (plano yz) 





=
=+−
0
1
436
22
x
zy
 � hipérbole 
 
b) Plano y = 0 (plano xz) 





=
=+
0
1
49
22
y
zx
 � elipse 
 
c) Plano z = 0 (plano xy) 





=
=−
0
1
369
22
z
yx
 � hipérbole 
 
 
2º PASSO: Esboço da quádrica 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 11 
OBS: Se na equação 12
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x
 tivermos a = b, o hiperbolóide é de revolução, 
gerado pela rotação de uma hipérbole em torno de seu eixo imaginário, no caso, o eixo 
Oz. O traço no plano xOy é a circunferência 222 ayx =+ , z = 0. 
 
 
3º) SUPERFÍCIE QUÁDRICA CENTRADA: HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS 
Se na equação (I) um coeficiente dos termos do primeiro membro é positivo e dois são 
negativos, a equação representa um hiperbolóide de duas folhas. 
 
A equação 12
2
2
2
2
2
=−+−
c
z
b
y
a
x
 é uma forma canônica da equação do hiperbolóide de 
duas folhas ao longo do eixo dos y. (Ver figura abaixo) 
 
 
 
 
 
As outras duas formas canônicas são 12
2
2
2
2
2
=−−
c
z
b
y
a
x
 e 12
2
2
2
2
2
=+−−
c
z
b
y
a
x
 e 
representam hiperbolóides de duas folhas ao longo dos eixos Ox e Oz, respectivamente. 
 
 
 
Exemplo: Identifique e esboce o gráfico da superfície cuja equação é dada por: 
36944 222 =+−− zyx 
Solução 
Dividindo ambos os membros por 36, temos: 
1
499
222
=+−−
zyx
 
1º PASSO: Interseção da superfície com os planos coordenados (ou planos 
paralelos a este, se necessário) 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 12 
a) Plano x = 0 (plano yz) 





=
=+−
0
1
49
22
x
zy
 � hipérbole 
 
b) Plano y = 0 (plano xz) 





=
=+−
0
1
49
22
y
zx
 � hipérbole 
 
c) Plano z = 0 (plano xy) 





=
=−−
0
1
99
22
z
yx
 � não há lugar geométrico 
 
CRÍTICA 
 
Plano z = k (paralelo ao plano xy), k ≠ 0. 





=
−=+
⇒





=
=+−−
kz
kyx
kz
kyx 9
4
91
499
2
22
222
 
Só há pontos quando 09
4
9 2 ≥−k 
 
Resolvendo esta inequação do segundo grau, temos: 2≥k ou 2−≤k . 
 
Se 2=k ou 2−=k , temos: 022 =+ yx � Logo, dois pontos: (0,0,2) e (0,0,-2). 
 
Portanto, para 2≥k ou 2−≤k , temos que a interseção com o plano z = k são: 
 





=
−=+
kz
kyx 9
4
9 222
 � circunferências 
(a superfície é de revolução) 
 
OBS: Se a interseção com o plano z = k, para 2≥k ou 2−≤k , fossem elipses, o 
hiperbolóide não seria de revolução. 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 13 
2º PASSO: Esboço da quádrica 
 
 
 
SUPERFÍCIES QUÁDRICAS NÃO-CENTRADAS 
 
cz
b
y
a
x
=±± 2
2
2
2
 ou by
c
z
a
x
=±± 2
2
2
2
 ou ax
c
z
b
y
=±± 2
2
2
2
 (II) 
 
As possíveis combinações de sinais nesta equação permitem concluir a existência de 
apenas dois tipos de superfícies, conforme os coeficientes dos termos de segundo grau 
tenham o mesmo sinal ou sinais contrários. 
 
 
1º) SUPERFÍCIE QUÁDRICA NÃO-CENTRADA:
PARABOLÓIDE ELÍPTICO 
Se nas equações (II) os coeficientes dos termos de segundo grau tiverem sinais iguais, a 
equação representa um parabolóide elíptico. 
 
A equação cz
b
y
a
x
=+ 2
2
2
2
 é uma forma canônica da equação do parabolóide elíptico ao 
longo do eixo dos z. (Ver figura abaixo) 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 14 
As outras duas formas canônicas são: by
c
z
a
x
=+ 2
2
2
2
 e ax
c
z
b
y
=+ 2
2
2
2
 e representam 
parabolóides elípticos ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente. 
 
Exemplo: Identifique e esboce o gráfico da superfície cuja equação é dada por: 
zyx 3694 22 =+ 
Solução 
1º PASSO: Interseção da superfície com os planos coordenados (ou planos 
paralelos a este, se necessário) 
a) Plano x = 0 (plano yz) 



=
=
0
369 2
x
zy
 � parábola 
 
b) Plano y = 0 (plano xz) 



=
=
0
364 2
y
zx
 � parábola 
 
c) Plano z = 0 (plano xy) 



=
=+
0
094 22
z
yx
 � ponto (0,0,0) 
CRÍTICA 
Plano z = k (paralelo ao plano xy), k ≠ 0. 





=
=+
⇒



=
=+
kz
kyx
kz
kyx
49
3694
22
22
 
Se 0<k � não há lugar geométrico 
 0>k � elipses 
 
2º PASSO: Esboço da quádrica 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 15 
OBS: Se na equação cz
b
y
a
x
=+ 2
2
2
2
 tivermos a = b, o parabolóide é de revolução e pode 
ser gerado pela rotação da parábola cz
b
y
=2
2
 , x = 0 em torno do eixo dos z. Neste 
caso, o traço no plano z = k é uma circunferência. 
 
 
 
 
2º) SUPERFÍCIE QUÁDRICA NÃO-CENTRADA: PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO 
 (SELA) 
 
Se nas equações (II) os coeficientes dos termos de segundo grau tiverem sinais 
contrários, a equação representa um parabolóide hiperbólico. 
 
 
A equação cz
a
x
b
y
=− 2
2
2
2
 é uma forma canônica da equação do parabolóide hiperbólico 
ao longo do eixo dos z. (Ver figura abaixo) 
 
 
 
 
As outras formas canônicas são by
a
x
c
z
=− 2
2
2
2
 e ax
b
y
c
z
=− 2
2
2
2
 e representam 
parabolóides hiperbólicos situados ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente. 
 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 16 
Exemplo: Identifique e esboce o gráfico da superfície cuja equação é dada por: 
zyx 164 22 =+− 
Solução 
1º PASSO: Interseção da superfície com os planos coordenados (ou planos 
paralelos a este, se necessário) 
a) Plano x = 0 (plano yz) 



=
=
0
162
x
zy
 � parábola 
 
b) Plano y = 0 (plano xz) 



=
=−
0
164 2
y
zx
 � parábola 
 
c) Plano z = 0 (plano xy) 



=
=
⇒



=
=+−
0
4
0
04 2222
z
xy
z
yx
 � par de retas xy 2±= 
 
CRÍTICA 
Plano z = k (paralelo ao plano xy), k ≠ 0. 



=
=+−
kz
kyx 164 22
 
Se 0<k � hipérbole com eixo real paralelo a Ox 
 0>k � hipérbole com eixo real paralelo a Oy 
 
 
2º PASSO: Esboço da quádrica 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 17 
SUPERFÍCIE CÔNICA 
 
Superfície Cônica é uma superfície gerada por uma reta que se move apoiada numa 
curva plana qualquer e passando sempre por um ponto dado não situado no plano desta 
curva. 
 
A reta é denominada geratriz, a curva plana é a diretriz e o ponto fixo dado é o vértice 
da superfície cônica. 
 
Consideremos o caso particular da superfície cônica cuja diretriz é uma elipse (ou 
circunferência) com o vértice na origem do sistema e com seu eixo sendo um dos eixos 
coordenados. Nestas condições, a superfície cônica cujo eixo é o eixo dos z tem 
equação: 02
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x
. (Ver figura abaixo) 
 
 
 
 
As superfícies cônicas cujos eixos são os eixos dos x e dos y, têm equações: 
02
2
2
2
2
2
=++−
c
z
b
y
a
x
 e 02
2
2
2
2
2
=+−
c
z
b
y
a
x
, respectivamente. 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 18 
Exemplo: Identifique e esboce o gráfico da superfície cuja equação é dada por: 
044 222 =−+ zyx 
Solução 
1º PASSO: Interseção da superfície com os planos coordenados (ou planos 
paralelos a este, se necessário) 
 
a) Plano x = 0 (plano yz) 



=
=
0
4 22
x
zy
 � duas retas zy 2±= 
b) Plano y = 0 (plano xz) 



=
=
0
44 22
y
zx
 � duas retas zx ±= 
c) Plano z = 0 (plano xy) 



=
=+
0
04 22
z
yx
 � ponto (0,0,0) 
 
CRÍTICA 
Plano z = k (paralelo ao plano xy), k ≠ 0. 



=
=+
kz
kyx 222 44
 � elipses 
OBS: Se a = b na equação 02
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x
, então o traço no plano z = k (para k ≠ 0) 
é uma circunferência. 
 
Os traços no plano x = k e y = k são hipérboles. 
 
 
2º PASSO: Esboço da superfície 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 19 
SUPERFÍCIE CILÍNDRICA 
 
Seja C uma curva plana e f uma reta fixa não contida nesse plano. 
 
Superfície Cilíndrica é a superfície gerada por uma reta r que se move paralelamente à 
reta fixa f em contato permanente com a curva plana C. 
 
A reta r que se move é denominada geratriz e a curva C é a diretriz da superfície 
cilíndrica. (Ver figura abaixo) 
 
 
Em nosso estudo consideramos apenas superfícies cilíndricas cuja diretriz é uma curva 
que se encontra num dos planos coordenados e a geratriz é uma reta paralela ao eixo 
coordenado não contido no plano. Neste caso, a equação da superfície cilíndrica é a 
mesma de sua diretriz. 
 
Por exemplo, se a diretriz (curva) for a parábola yx 22 = , a equação da superfície 
cilíndrica também será yx 22 = . (Ver figura abaixo) 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 20 
Conforme a diretriz seja uma circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, a superfície 
cilíndrica é chamada circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica. 
 
 
 
É importante observar que, em geral, o gráfico de uma equação que não contém uma 
determinada variável corresponde a uma superfície cilíndrica cujas geratrizes são 
paralelas ao eixo da variável ausente e cuja diretriz (curva) é o gráfico da equação dada 
no plano correspondente. 
 
Por exemplo, a equação 1
94
22
=+
zx
 representa uma superfície cilíndrica com 
geratrizes paralelas ao eixo dos y, sendo a diretriz uma elipse no plano xOz. (Ver figura 
abaixo) 
 
 
QUÁDRICAS DEGENERADAS 
 
O gráfico da equação geral 0222 =+++++++++ JIzHyGxFyzExzDxyCzByAx 
poderá representar quádricas degeneradas. Alguns exemplos são: 
a) 0162 =−x � dois plano paralelos: x = 4 e x = -4 
b) 03 2 =y � um plano: y = 0 
c) 02 22 =+ yx � uma reta: o eixo dos z 
d) 0542 222 =++ zyx � um ponto: (0,0,0) 
e) 323 222 −=++ zyx � o conjunto vazio 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 21 
CAP 26 – GERAÇÃO DE SUPERFÍCIES 
 
Superfície é um objeto do espaço que tem equação do tipo 0),,( =zyxF . 
Exemplo: 0252),,( =−+−= zyxzyxF � plano 
 
GERAÇÃO DE SUPERFÍCIES DE ROTAÇÃO 
 
São aquelas obtidas pela rotação de uma curva em torno de uma reta, ambos contidos no 
mesmo plano. 
 
 
Equação Cartesiana (Caso Geral) 
Considere a curva plana 



=
=
0
0),(
x
zyF
 � diretriz 
Vamos rotacionar a curva em torno do eixo z � eixo de rotação 
 
PROCEDIMENTO: 
 
1º) Seja P = (x,y,z) um ponto da superfície. 
 
2º) Existe um ponto
P’ da curva cuja rotação em torno do eixo gera uma superfície de 
centro Q, contendo o ponto P. 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 22 
3º) Temos assim: P’ = (0, y’, z) 
 Q = (0, 0, z) 
 y’ nem sempre é igual ao y de P 
 
 
4º) Os vetores 'QP e QP são raios da circunferência (mesma norma) 
 
(vista de cima) 
'QPQP = 
222
'yyx =+ 
222
'yyx =+ 
 
5º) Fazendo P’ percorrer a curva (diretriz), temos: 
 
0),'( =zyF 222' yxy += 
 
é a equação da superfície. 
 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 23 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1º) Escreva a equação da superfície de revolução sendo dados: 
a) Diretriz: 



=
=
0
2
x
yz
, 0≥z 
Eixo de rotação � eixo z 
 
Parabolóide de Revolução 
 
1º) Seja P = (x, y, z) um ponto da superfície. 
 
2º) Existe um ponto P’ da curva cuja rotação em torno do eixo gera uma superfície de 
centro Q, contendo o ponto P. 
 
 
3º) Temos assim: P’ = (0, y’, z) 
 Q = (0, 0, z) 
 
4º) Os vetores 'QP e QP são raios da circunferência (mesma norma) 
'QPQP = 
222
'yyx =+ 
222
'yyx =+ 
 
5º) Fazendo P’ percorrer a curva, temos: 
 
0),'( =zyF 222' yxy += 
Logo, 
zy =2' 222' yxy += 
 
22 yxz +=
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 24 
b) Diretriz: 




=
=
0x
yz
, 0≥y 
Eixo de rotação � eixo z 
 
1º) Seja P = (x, y, z) um ponto da superfície. 
 
2º) Existe um ponto P’ da curva cuja rotação em torno do eixo gera uma superfície de 
centro Q, contendo o ponto P. 
 
 
3º) Temos assim: P’ = (0, y’, z) 
 Q = (0, 0, z) 
 
4º) Os vetores 'QP e QP são raios da circunferência (mesma norma) 
'QPQP = 
222
'yyx =+ 
222
'yyx =+ 
 
5º) Fazendo P’ percorrer a curva, temos: 
 
0),'( =zyF 222' yxy += 
Logo, 
'yz = 222' yxy += 
24
'yz = 
 
224 yxz +=
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 25 
GERAÇÃO DE SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS 
 
Seja C uma curva plana e f uma reta fixa não contida nesse plano. Superfície Cilíndrica 
é a superfície gerada por uma reta r que se move paralelamente à reta fixa f (r e f têm a 
mesma direção) em contato permanente com a curva plana C. A reta r que se move é 
denominada geratriz e a curva C é a diretriz da superfície cilíndrica. 
 
 
Equação Cartesiana 
“Casos onde os planos são planos coordenados ou planos paralelos a estes” 
Vamos usar um exercício para encontrar a equação cartesiana da superfície cilíndrica. 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
3º) Escreva a equação cartesiana da superfície cilíndrica, cuja curva-diretriz é dada pela 
equação 



=
−=
0
822
z
yx
 e cujo vetor diretor de uma reta-geratriz é dado por )3,2,1(−=vr . 
 
Resolução 
Temos 082),( 2 =+−= yxyxF 
 
No plano z = 0 representa uma parábola de vértice no ponto (0, 4, 0), eixo de simetria 
coincidindo com o eixo y e abertura voltada para o sentido positivo do eixo y. 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 26 
Seja P = (x, y, z) um ponto da superfície. 
 
Considere a reta geratriz que contém um ponto P’ da curva (diretriz) que passa por P. 
 
As equações paramétricas de uma reta geratriz que passa por um ponto P’ = (x’, y’, 0) 
da curva, na direção do vetor )3,2,1(−=vr são dadas por: 
 





=
+=
−=
tz
tyy
txx
3
2'
'
, IRt ∈ (I) 
 
As coordenadas do ponto P’ satisfazem a equação 



=
−=
0
822
z
yx
. Logo, 



=
−=
0'
8'2'2
z
yx (II) 
 
Fazendo P’ percorrer a curva, os pontos P = (x, y, z) são tais que: 
 









=
−=
=
+=
−=
0'
8'2'
3
2'
'
2
z
yx
tz
tyy
txx
 
 
Eliminando-se as variáveis x’, y’, z’ e t, temos: 
 
Isolando t em tz 3= � 
3
z
t =
 
 
Isolando x’ e y’ em txx −= ' e tyy 2'+= � txx +=' e tyy 2' −= 
 
Substituindo 
3
z
t = em txx +=' e tyy 2' −= � 
3
'
z
xx +=
 e 
3
2
'
zyy −=
 
 
 
Substituindo 
3
'
z
xx += e 
3
2
'
zyy −= em 8'2'2 −= yx � 8
3
22
3
2
−





−=





+
zyzx . 
 
 
O que, após simplificações, se obtém a equação 072121869 22 =++−++ zyxzzx . 
 
 
 
 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 27 
GERAÇÃO DE SUPERFÍCIES CÔNICAS 
 
Superfície Cônica é uma superfície gerada por uma reta que se move apoiada numa 
curva plana qualquer e passando sempre por um ponto dado não situado no plano desta 
curva. A reta é denominada geratriz, a curva plana é a diretriz e o ponto fixo dado é o 
vértice da superfície cônica. 
 
 
 
Equação Cartesiana 
Vamos usar um exercício para encontrar a equação cartesiana da superfície cônica. 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
4º) Escreva a equação cartesiana da superfície cônica, cuja curva-diretriz é dada pela 
equação 



=
=+
2
44 22
z
yx
 e vértice V = (0,0,0). 
 
Resolução 
 
Ponto da superfície P = (x, y,z) 
 
Ponto da curva (diretriz) P’ = (x’, y’, 2) 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 28 
Equações paramétricas da reta que passa por V = (0,0,0) na direção 'VP = (x’,y’, 2): 
 





=
=
=
tz
tyy
txx
2
'
'
 (I) 
 
P’ está na curva: 
 



=
=+
2'
4'4' 22
z
yx
 (II) 
 
 
Fazendo P’ percorrer a curva, os pontos P = (x, y, z) são tais que: 
 









=
=+
=
=
=
2'
4'4'
2
'
'
22
z
yx
tz
tyy
txx
 
 
 
Eliminando-se as variáveis x’, y’, z’ e t, temos: 
 
Isolando t em tz 2= � 
2
z
t =
 
 
Isolando x’ e y’ em txx '= e tyy '= � 
t
x
x ='
 e 
t
yy ='
 
 
Substituindo 
2
z
t = em 
t
x
x =' e 
t
yy =' � 
z
x
x
2
'=
 e 
z
yy 2'=
 
 
 
Substituindo 
z
x
x
2
'= e 
z
yy 2'= em 4'4' 22 =+ yx � 4242
22
=





+





z
y
z
x
. 
 
 
 
O que, após simplificações, se obtém a equação 222 4 zyx =+ . 
 
 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 29 
CONES CIRCULARES (GERAL) 
 
São superfícies obtidas a partir de uma rotação de uma reta (reta geratriz) em torno de 
outra reta (reta eixo) concorrentes em um ponto V (vértice do cone). 
 
Equação da Superfície 
 
1º) Determinar o θcos onde θ é o ângulo entre as retas: 
eg
eg
VV
VV
⋅
•
=θcos , 
2
0 piθ << 
2º) Seja P = (x, y, z) um ponto da superfície. Então o vetor VP é tal que: 
e
e
VVP
VVP
⋅
•
=θcos
 � simplificando, tem-se a equação da superfície 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 30 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
5º) Escreva a equação cartesiana do cone circular obtido pela rotação da reta-geratriz 





−=
+−=
=
tz
ty
x
r
22
1
1
: , em torno da reta-eixo 





−−=
+=
−−=
λ
λ
λ
1
1
32
:
z
y
x
s . 
 
Resolução 
 
A interseção das retas r e s se dá no ponto V(1,0,0), vértice do cone. 
 
Os vetores diretores das retas r e s são dados por )2,1,0( −=rV e )1,1,3( −−=sV . 
 
Assim, o ângulo que a reta-geratriz forma com a reta eixo é dado por: 
 
115
3
cos
⋅
=
⋅
•
=
sr
sr
VV
VV
θ (I) , onde θ é o ângulo formado pelos vetores rV e sV . 
 
Portanto, um ponto P(x, y, z) está no cone se: 
 
s
s
VVP
VVP
⋅
•
=θcos
Como ),,1( zyxVP −= e zyxVVP s −+−−=• )1(3 , deduzimos da equação (I): 
 
11)1(
)1(3
115
3
222
⋅++−
−+−−
=
⋅ zyx
zyx
 
 
Simplificando mais um pouco, obtemos a expressão 
 
041010121030304436 222 =−−+−−+−−− zyxyzxzxyzyx
 
 
 
 
 
* Anotações de Sala de Aula do Professor Adriano Pedrosa de Almeida durante UFPE 2009.1 
* Exercícios Escolares de Geometria Analítica da UFPE de anos anteriores 
* Geometria Analítica – Um tratamento vetorial – Ivan de Camargo e Paulo Boulos – 3ª edição 
* Geometria Analítica – Reis/Silva – 2ª edição 
* Geometria Analítica – Steinbruch e Winterle – 2ª edição