Resolução-Física I - Sears-Zemansky-Pares-cap01

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Sears/Zemansky: Física 10ª edição - Manual de Soluções
Capítulo 01
Tradução:
Prof. Antonio José Balloni – Ph.D. - Pesquisador Titular pelo Instituto Nacional de Tecnologia da Informação - Ministério da Ciência e Tecnologia (ITI/MCT)
1-2:		
1-4:		
1-6:		
	Então, o consumo diário deve ser:
		
1-8:		180,000 
* - 1 furlong = 1/8 de milhas - (unidade de comprimento utilizada em corrida de cavalos)
* * - 1 fortnight = 14 dias - (medida muito utilizada na Inglaterra e Austrália)
1.10:		(3.16 x 107 s - ( x 107 s)/(3.16 x 107 s) x 100 = 0.58%
1-12:	a) (12 mm) x (5.98 mm) = 72 mm2 (dois algarismos significativos).
	b)
 = 0.50 (também dois algarismos significativos).
36 mm (mais próximo ao milímetro).
6 mm.
2.0.
1-14:	A área é 10.64 ( 0.08 cm2, onde os valores extremos do comprimento e largura são utilizados para encontrar as incertezas na área. A incerteza fracionária na área é: 
 = 0.75%, e a incerteza fracionária no comprimento e largura são, 
 = 0.18% e 
 = 0.53%, respectivamente.
1-16:	(Números de carros x milhas/carros por dia)/mi/gal = galões/dia 
(2 x108 carros x 10000 mi/ano/carro x 1 ano/365 dias)/(20 mi/gal) = 2.75 x 108 
gal/dia
1-18: Supondo que sejam necessárias aproximadamente quatro sementes para 
 preencher 1 cm3, uma garrafa de 2 L conterá aproximadamente 8000 
sementes.
 1-20:	Supondo que se realize10 inspirações por minuto, 24 x 60 minutos por dia, 365 dias por ano, e uma vida média de 80 anos, então o volume total de ar respirado em uma vida é aproximadamente de 2 x 105 m3. Este é o volume de ar contido em uma sala com 100 m x 100 m X 20 m, ou em campo de beisebol pequeno ou ainda da mesma ordem de grandeza do volume de Andrômeda.
1-22: Admitindo que a taxa de pulsação de um coração humano seja um pouco maior que uma batida por segundo, este coração irá bater 105 vezes por dia. Como temos 365 dias em um ano e considerando que a vida média de um ser humano seja de aproximadamente 80 anos, então o número de batidas de um coração em uma vida é em torno de 3 x 109 . Como o coração bombeia 50 cm3 por batida e um galão corresponde a aproximadamente 3.79 liros, então o coração humano irá bombear aproximadamente 4 x 107 galões de sangue.
1-24:	Como a área superficial da Terra é 4(R2 = 5 x 1014 m2 e o raio da Terra igual a 6 x 106 m, então a área superficial de todos os oceanos é aproximadamente igual a 4 x 1014 m2. Uma profundidade media de 10 Km dá um volume de 4 x 1018 m3 = 4 x 1024 cm3. Determinar o tamanho de uma gota de água é algo puramente pessoal, portanto podemos considerar que a relação 25 gotas/cm3 seja algo razoável e, desse modo, as águas do oceano conteriam um total de 1026 gotas.
1-26:	A Lua está aproximadamente a 4 x 108 m = 4 x 1011 mm de distância da Terra. Dependendo da idade, a espessura de uma nota de papel pode ter entre 2 a 3 milímetros. Então, o número de notas empilhadas para alcançar a lua seria da ordem de 1012 notas. O valor dessas notas seria da ordem de 1 trilhão de dólares (1 teradólar)
1-28:		
		
1-30:	
11.1 m @ 77.6o
28.5 m @ 202o
11.1 m @ 258o
28.5 m @ 22o
1-32:
			
1-34:	(A figura está anexada junto ao exercício 1-29).
	O deslocamento resultante para a direção norte é (2.6 km) + (3.1 km) sen 45o = 4.8 km, e o deslocamento resultante para a direção leste é (4.0 km) + (3.1 km) cos 45o = 6.2 km. O módulo do deslocamento resultante é 
 = 7.8 km, enquanto a direção é arctang 
 = 38o para o nordeste.
1-36:	Utilizando se das Equações (1-8) e (1-9), o módulo e a direção de cada vetor dado é: 
	a)	
 = 10.05 cm, 
 arctan 
 = 328.8o (que é o mesmo que 360o – 31.2o).
	b)	
= 10.0 m, 
 arctan 
 = 14o + 
180o = 194o.
	c)	
= 8.21 km, 
 arctan 
 = 340.8o (que é o mesmo que 360o – 19.2o).
1-38:	a) A somas das componentes x e y são, respectivamente 1.30 cm + 4.10 cm = 
 5.40 cm, 
2.25 cm + (-3.75 cm) = -1.50 cm.
Utilizando as Equações (1-8) e (1-9),
 
= 5.60 cm, arctan 
 = 344.5o ccw.
Analogamente , 4.10 cm – (1.30 cm) = 2.80 cm, -3.75 cm – (2.25 cm) = -6.00 cm.
d) 
 = 6.62 cm, 
 arctan 
 = 2.95o (que é o mesmo que 360o - 65o).
1-40:	
 = (-12.0 m) î. Mais precisamente ,
		
 = (12.0 m)(cos 180o) î + (12.0 m)(sen 180o) ĵ.
	
= (18.0 m)(cos 37o) î + (18.0 m)(sen 37o) ĵ = (14.4 m) î + (10.8 m) ĵ.
1-42:	a)	
 = (3.6 m) cos 70.0o î + (3.60 m) sen 70.0o ĵ = (1.23 m) î + (3.38 m) ĵ
 	
 = -(2.40 m)cos 30.0o î - (2.4 m) sen 30.0o ĵ = (-2.08 m) î + (-1.20 m) ĵ.
 	b)	
	= (3.00) 
 – (4.00) 
		= (3.00) (1.23 m) î + (3.00) (3.38 m) ĵ – (4.00) (-2.08 m) î – (4.00) (-1.20 m) ĵ		= (12.01 m) î + (14.94 m) ĵ	
	(Note que na adição de componentes a quarta figura torna-se significativa.)
Das equações (1-8) e (1-9),
c = 
= 19.17 m, 
arctan 
 = 	51.2o	.
1-44:	Método 1: (Produto dos Módulos pelo cos ()
	AB cos ( = (12 m x 15 m) cos 93o = -9.4 m2
	BC cos ( = (15 m x 6 m) cos 80o = 15.6 m2
	AC cos ( = (12 m x 6 m) cos 187o = -71.5 m2
	Método 2: (Soma dos produtos das componentes)
	A ( B = (7.22) (11.49) + (9.58) (-9.64) = -9.4 m2
	B ( C = (11.49) (-3.0) + (-9.64) (-5.20) = 15.6 m2
	A ( C = (7.22) (-3.0) + (9.58) (-5.20) = -71.5 m2
1-46:	Para todos esses pares de vetores, o ângulo ( é encontrado combinando-se as Equações (1-18) e (1-21) , isto é
			
	Nos cálculos intermediários apresentados aqui, os algarismos significativos nos produtos escalares e nos módulos dos vetores foram suprimidos. 
	a)	
 então
		
 = 165o.
	b)	
 ( = arccos 
 = 28o.
	c)	
1-48:	a)	Da Eq. (1-22), o módulo do produto vetorial é 
		(12.0 m) (18.0 m) sen (180o – 37o) = 130 m2.
A regra da mão direita indica que a direção é para dentro da pagina ou seja direção – z . Usando a Eq. (1-27), a única componente não nula do produto vetorial é:
		Cz = AxBy = (-12 m) ((18.0 m) sen 37o) = -130 m2.
O mesmo método utilizado em (a) pode também ser aplicado aqui, mas a relação dada pela Eq. (1-23) fornece o resultado de forma direta: mesmo módulo (130 m2), mas direção oposta (direção +z ).
1-50: a)	Da regra da mão direita a direção do produto vetorial 
é para dentro da página (direção – z). Da Eq. (1.22) obtemos o modulo do produto vetorial,
		AB sen ( = (2.80 cm) (1.90 cm) sen 120o = 4.61 cm2.
	Ou, usando a Eq. (1-27), notamos que a única componente não nula é
		Cz 	= AxB - AyBx
			= (2.80 cm) cos 60.0o (-1.90 cm) sen 60o
-(2.80 cm) sen 60.0o (1.90 cm) cos 60.0o
		= -4.61 cm2
	cujo resultado é o mesmo obtido acima.
 
Em vez de se repetir os cálculos acima, a Eq. (1-23) pode ser utilizada para obter o modulo do produto 
, resultando no valor de 4.61 cm2 cuja direção é no sentido do eixo positivo de z (+z), isto é para fora da página.
1-52:	a)	($4,950,000/102 acres) x (1 acre/43560 ft2) x (10.77 ft2/m2) = $12/m2.
($12/m2) x (2.54 cm/in)2 x (1 m/100 cm)2 = $.008/in2.
$.008/in2 x (1 in x 7/8 in) = $.007 por selo de correio com a dimensão 
especificada.
1-54:	Seja uma pessoa com 70 Kg e admita que o corpo humano seja constituído principalmente de água. Usando o Apêndice D, encontramos a massa de uma molécula de água (H2O) igual a: 18.015 u x 1.661 x 10-27 kg/u = 2.992 x 10-26 kg/ molécula. (70 kg/2.992 x 10-26 kg/ molécula) = 2.34 x 1027 moléculas . (Admitindo-se que o átomo de carbono seja um dos mais comum na natureza, resultam em 3 x 1027 moléculas). 
1-56:	a)	(6.0 x 1024 kg) x 
 = 2.6 x 1050 átomos.
O número de nêutrons é obtido dividindo-se a massa da estrela de nêutron pela massa de nêutrons:
 = 2.4 x 1057 nêutrons.
A massa média de uma partícula é essencialmente 
 da massa dessa partícula, seja ela um próton ou um nêutron. Tanto a massa do próton como do nêutron é igual a 1.7 x 10-27 kg. O número total de partículas é obtido
dividindo-se a massa total pela sua massa média, sendo que a massa total é obtida pelo produto do volume pela densidade média. Chamando a densidade de ( (de acordo com a notação introduzida no Capítulo 14), temos:
		Observe que houve uma conversão de g/cm3 to kg/m3 !
1-58:	a)	Rx 	= Ax + Bx + Cx
			= (12.0 m) cos (90o – 37o) + ) (15.00 m) cos (-40o) + (6.0 m) cos (180o + 60o)
			= 15.7 m, e
		Ry	= Ay + By + Cy
			= (12.0 m) sen (90o – 37o) + (15.0 m) sen (-40o) + (6.0 m) sen (180o + 
 60o)
			= -5.3 m.
	O módulo da resultante é: R = 
= 16.6 m, enquanto que a direção a partir do eixo x positivo é arctan 
 = -18.6o. Mantendo-se os algarismos significativos durante as etapas intermediaria de cálculo obteríamos o angulo de –18.49o o qual, quando considerado como sendo um ângulo positivo à esquerda do eixo x positivo e arredondado para o grau mais próximo, é de 342o .
						
Sx = -3.00 m – 7.22 m – 11.49 m = -21.71 m;
Sy = -5.20 m – (-9.64 m) – 9.58 m = -5.14 m
 = 13.3o
S = 
= 22.3 m
				
1-60:		
			
O marinheiro, para cumprir a terceira etapa e atingir o ponto de chegada, 
deve navegar para leste uma distância de 1.33 Km , isto é: 
				(5.80 km) – (3.50 km) cos 45o – (2.00 km) = 1.33 km
	e em seguida navegar para a direção norte uma distância de 2.47 Km, isto é:
 
						(3.5 km) sen 45o = 2.47 km.
	Portanto, o módulo final de seu deslocamento deve ser de:
 
					
= 2.81 km,
	em um ângulo de 
= 62o ao norte relativo a direção leste, ou deslocar os mesmos 2.81 Km mas em um ângulo de 90o – 62o = 28o ao leste relativo a direção norte. Para uma resposta mais precisa será necessário conservar algarismos significativos extras durante as etapas intermediárias de cálculo.
1-62:	O deslocamento para a direção leste, da cidade de Lincoln para a cidade de 
Manhattan é:
	(147 km) sen 85o + (106 km) sen 167o + (166 km) sen 235o = 34.3 km 
e o deslocamento para a direção norte é:
		(147 km) cos 85o + (106 km) cos 167o + (166 km) cos 235o = -185.7 km.
	(Conforme mostrado na Fig. (1.30), um deslocamento negativo para a direção norte significa de fato um deslocamento para a direção sul. Os números significativos foram mantidos nas etapas intermediarias de cálculos). 
	a)		
= 189 km
A direção da cidade de Lincoln para a cidade de Manhattan, relativa a direção norte é 
arctan 
= 169.5o
	
	Então, a direção que se deve voar para retornar para a cidade de Lincoln é: 
169.5o + 180o = 349.5o.
					
1-64:	a)		
	
Para se usar o método das componentes, faça a direção leste como sendo a direção do eixo x e a direção norte como sendo a direção do eixo y. Com isso, o deslocamento resultante do explorador em unidade do comprimento de seus pés, e na direção do eixo x é:
 
(40) cos 45o – (80) cos 60o = -11.7
		e o deslocamento na direção y é: 
				(40) sen 45o + (80) sen 60o – 50 = 47.6 
		Portanto, o módulo e a direção deste deslocamento são: 
			
= 49, arctan 
= 104o.
	(Não se pode garantir uma melhor precisão no ângulo pois as medidas fornecidas estão com precisão máxima).
1-66:	a)	O ângulo entre os vetores é: 210o – 70o = 140o, portanto da Eq. (1-18) temos 
= (3.60 m) (2.40 m) cos 140o = -6.62 m2. 
		Ou, da. (1-21) temos
		
			= (3.60 m) cos 70o (2.4 m) cos 210o + (3.6 m) sen 70o (2.4 m) sen 
 210o
			= -6.62 m2.
Da Eq. (1-22), o módulo do produto vetorial é: 
(3.60 m) (2.40 m) sen 140o = 5.55 m2,
	
	e da regra da mão direita obtemos que o vetor está apontando para fora desta página (a direção +z ). Como as componentes z dos vetores 
 são nulas, da Eq. (1-30) podemos obter a componente z do produto vetorial , isto é: 
			AxBy – AyBx = (3.60 m) cos 70o (2.40 m) sen 210o
					-(3.60 m) sen 70o (2.40 m) cos 210o
	 = 5.55 m2.
1-68:	Com o eixo +x apontando para a direita, o eixo +y apontando para o topo desta página e o eixo +z apontando para fora desta página, temos:
 
1-70:	Cada um dos vetores possuem módulo igual a
, e seu produto escalar é (1) (1) + (1) (-1) + (1) (-1) = -1, então, da Eq. (1-18) o ângulo entre as duas ligações químicas é: arccos =
= arccos 
 = 109o.
1-72: 	a)	Esta é a lei dos co-senos para a qual existem muitas formas de dedução. A forma mais direta de dedução é através da álgebra vetorial, onde supomos a linearidade do produto escalar (um ponto já utilizado, mas não mencionado de forma explicita no texto) , de forma a demonstrar que o quadrado do módulo da soma de dois vetores 
�� EMBED Equation.3 é
			
		 = 
 
		 = 
		 = 
	Outro modo é usando as componentes vetoriais. Admitindo que os vetores fazem um ângulo (A and (B com o eixo x, as componentes da soma vetorial são A cos (A + B cos (B e A sen (A + B sen (B. Então o quadrado do módulo é
	
 (A cos (A + B cos (B)2 + (A sen (A + B sen (B)2
			= A2 (cos2 (A + sen2 (A) + B2 (cos2 (B + sen2 (B)
				+2AB (cos (A cos (B + sen (A sen (B)
			= A2 + B2 + 2AB cos ((A - (B)
			= A2 + B2 + 2AB cos (,
	onde ( = (A - (B é o ângulo entre os vetores.
Fazendo-se uma análise geométrica mostra-se que os vetores 
 e sua soma 
 devem ser os lados de um triângulo eqüilátero. O ângulo entre 
 é nesta consideração igual a 120o desde que um vetor seja deslocado para juntar sua cabeça com cauda do outro vetor. Usando o resultado do item (a), e fazendo-se A = B, temos A2 = A2 + A2 + 2A2 cos (, cancelando-s os termos iguais, fica 1 = 2 + 2 cos (, ou cos ( = 
 e portanto ( = 120o.
Em qualquer método de derivação utilizado, o ângulo ( deverá ser substituído por 180o - (, de forma que o co-seno irá mudar de sinal e o resultado será 
	
Analogamente como foi feito no item (b), quando a diferença vetorial tem o mesmo módulo, então o ângulo entre os vetores é 60o. Algebricamente, ( é obtido de 1 = 2 – 2 cos (, portanto cos ( = 
 and ( = 60o.
1-74:	Da equação (1-27), o produto vetorial é:
	O módulo do vetor dentro colchete é 
 então um vetor unitário nessa direção (o qual é necessariamente perpendicular a ambos os vetores 
 é :
				
.
	Obtendo o negativo do vetor acima temos:
				
,
	que é também um vetor unitário perpendicular aos vetores 
.
1-76:	a)	As áreas máxima e mínima são: 
		(L + l) (W + w) = LW + lW + Lw, (L – l) (W - w) = LW – lW - Lw,
	onde os termos com mesma propriedade foram desprezados. Dessa forma, a área e sua incerteza são WL ( (lW + Lw), e portanto a incerteza na área é a = lW + Lw.
A incerteza fracionária na área é:
 ,
		ou seja, é a soma das incertezas fracionárias no comprimento e 
largura.
No calculo para se calcular as incertezas v no volume, semelhante ao exercício anterior, teremos que desprezar os termos lwH, lWh e Lwh e também lwh. Dessa forma a incerteza no volume é v = lWH + LwH + LWh, e portanto a incerteza fracionária no volume é: 
ou seja, é a soma das incertezas fracionárias no comprimento, largura e altura.
1-78:		a)	
 	i) 	In AU, 
 = 0.9857.
In AU, 
 = 1.3820
In AU,
 = 1.965.
O ângulo formado entre a direção Terra-Sol e a direção Terra-Marte é obtido pelo produto vetorial . Combinando-se as Equações (1-18) e (1-21), temos
O planeta Marte poderia não estar visível a meia noite porque o ângulo Sol-Marte é menor que 90o.
1-80:		Seja 
				
					
	Se os pontos satisfazem Ax + By + Cz = 0, então 
 e todos os pontos de 
 são perpendiculares a 
.
					
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