Apostila - Estatística Básica

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UFRRJ

Enviado por Gabriel Menezes em 21/09/2013
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Estat´ıstica Ba´sica
Profa. Daniela Paula
Instituto de Matema´tica -UFRRJ
2012
Gabriel
Underline
Contents
1 Introduc¸a˜o 1
2 Ana´lise explorato´ria de dados - Resumo de Dados 2
2.1 Tipos de varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Distribuic¸a˜o de frequeˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Medidas resumo - Medidas de posic¸a˜o central . . . . . . . . . 9
2.5 Me´dia geome´trica e Me´dia harmoˆnica . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Medidas de dispersa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7 Quantis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8 Box-plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.9 Exerc´ıcios - lista 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.10 Exerc´ıcios - lista 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.11 Exerc´ıcios - lista 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Ana´lise bidimensional 27
3.1 Associac¸a˜o entre varia´veis qualitativas . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Associac¸a˜o entre varia´veis quantitativas . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Exerc´ıcios - lista 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Exerc´ıcios - lista de revisa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Probabilidade 43
4.1 Modelo probabil´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Probabilidade condicional e independeˆncia . . . . . . . . . . . 46
4.3 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Exerc´ıcios - lista 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Varia´veis aleato´rias discretas 59
5.1 Func¸a˜o de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Valor esperado e variaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4 Modelo uniforme discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5 Modelo Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.6 Modelo Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.7 Modelo Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.8 Exerc´ıcios - lista 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
i
6 Varia´veis aleato´rias cont´ınuas 78
6.1 Func¸a˜o de densidade de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3 Me´dia e variaˆncia para varia´veis aleato´rias cont´ınuas . . . . . 84
6.4 Modelo uniforme cont´ınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.5 Modelo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.6 Modelo Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.7 Exerc´ıcios - lista 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7 Infereˆncia estat´ıstica 98
7.1 Populac¸a˜o e amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2 Paraˆmetros e estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3 Distribuic¸o˜es amostrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4 Estimac¸a˜o por intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.5 Intervalo de confianc¸a para µ para amostras grandes . . . . . . 107
7.6 Teste de hipo´tese para me´dia µ com variaˆncia conhecida . . . 108
7.7 Exerc´ıcios - lista 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
ii
1 INTRODUC¸A˜O 1
1 Introduc¸a˜o
Em alguma fase do seu trabalho, o pesquisador se depara com um conjunto
de dados relevante ao seu objeto de estudo. Atrave´s desses dados ele buscara´
extrair informac¸o˜es a fim de tomar deciso˜es relativas ao seu cotidiano.
Essa realidade, aparentemente distante de no´s, esta´ presente em grande
parte das cieˆncias. Nas cieˆncias agra´rias por exemplo, o engenheiro deve
trabalhar os dados do solo, rendimento e fertilizac¸a˜o para tomar deciso˜es a
respeito do melhoramento do solo e da produc¸a˜o. Nas cieˆncias econoˆmicas,
o administrador muitas vezes se depara com se´ries de dados com atrave´s
das quais deve decidir sobre investimentos, taxas etc. Ale´m das a´reas citadas
acima, existem muitas outras aplicac¸o˜es da estat´ıstica, podemos citar apenas
a t´ıtulo de exemplificac¸a˜o as cieˆncias biolo´gicas e de sau´de, geografia, qu´ımica,
matema´tica etc. Por isso, o domı´nio da estat´ıstica se torna essencial quando
devemos trabalhar com um grande volume de dados independentemente da
a´rea em estudo.
Neste curso, vamos inicialmente aprender a trabalhar com os dados, ex-
trair medidas importantes e representac¸o˜es gra´ficas que nos ajudara˜o a in-
terpretar e resumir o conjunto de informac¸o˜es. Na segunda etapa, iremos es-
tudar modelos probabil´ısticos para caracterizar os dados. O objetivo enta˜o,
e´ construir modelos para os dados em questa˜o e, dessa forma, extrair in-
formac¸o˜es e prever comportamentos futuros sem a necessidade de observar
novos conjuntos de dados. Na etapa final do curso, veremos brevemente como
verificar a adequac¸a˜o dos modelos propostos a` realidade.
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 2
2 Ana´lise explorato´ria de dados - Resumo de
Dados
2.1 Tipos de varia´veis
Para introduzir as formas de resumir os dados falaremos um pouco sobre
como classificar os dados.
Suponha que estejamos realizando uma pesquisa e que desejamos investi-
gar sala´rio, n´ıvel de instruc¸a˜o, idade e classe social de um grupo de pessoas.
Algumas dessas caracter´ısticas, que chamaremos de varia´veis, apresen-
tam como poss´ıveis resultados atributos ou qualidades. Outras, teˆm como
resultados quantidades, nu´meros. As primeiras sa˜o chamadas varia´veis qual-
itativas e as segundas varia´veis quantitativas.
Qualitativas- Tem como poss´ıveis resultados qualidades ou atributos.
Quantitativas- Tem como poss´ıveis resultados quantidades ou nu´meros.
Podemos subdividir as qualitativas em nominais e ordinais. Ja´ as quan-
titativas sa˜o subdivididas em discretas e cont´ınuas.
Qualitativas

Nominal −Nao existe nenhuma ordenacao
nas realizacoes.
Exemplo : sexo, local de nascimento.
Ordinal − Existe uma ordem em seus resultados.
Exemplo : classe social, nivel de instrucao.
Quantitativas

Discretas− V alores formam um conjunto finito
ou enumeravel de valores. Resultam de uma contagem.
Exemplo : idade, numero de filhos.
Continuas− V alores pertencem a um intervalo
de numeros reais. Resultam frequentemente de
uma mensuracao.
Exemplo : estatura, peso.
Para cada tipo de varia´vel existem te´cnicas apropriadas para resumir
informac¸o˜es. Em algumas situac¸o˜es podemos atribuir valores a`s qualidades
de uma varia´vel qualitativa e proceder a ana´lise como se quantitativa fosse.
Podemos citar como exemplo a varia´vel que descreve o resultado obtido em
um lanc¸amento de uma moeda, ao atribuir 0 a cara e 1 a coroa podemos
analisar a varia´vel como quantitativa. Veremos outros exemplos mais adiante.
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 3
2.2 Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Quando estudamos uma varia´vel podemos investigar seu comportamento
estudando a ocorreˆncia de suas realizac¸o˜es, isso se torna mais fa´cil atrave´s da
organizac¸a˜o e resumo dos dados em uma tabela que chamaremos de tabela
de distribuic¸a˜o de frequeˆncias. Daremos aqui dois exemplos de tabelas de
frequeˆncias, para os outros tipos de varia´veis a construc¸a˜o e´ ana´loga.
Exemplo 1: Varia´vel qualitativa ordinal.
Suponha que realizamos uma pesquisa com 36 funciona´rios de um setor A
de uma fa´brica e estamos interessados no n´ıvel de escolaridade. Observamos
3 n´ıveis de escolaridade com as frequeˆncias descritas na tabela a seguir.
Setor A
Denominamos frequeˆncia ni, frequeˆncia absoluta. A proporc¸a˜o fi, chamamos
de frequeˆncia relativa, ela e´ obtida fazendo
fi =
ni
total
. Atrave´s da frequeˆncia
relativa podemos comparar resultados de duas pesquisas distintas. Por ex-
emplo, se fizermos a mesma pesquisa com 2000 funciona´rios de um outro
setor B da fa´brica e desejarmos comparar em qual dos setores existem mais
funciona´rios com n´ıvel superior podemos usar a frequeˆncia relativa.
Setor B
Gabriel
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2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 4
Neste caso podemos perceber que o setor A tem percentualmente mais
empregados com n´ıvel superior que o setor B.
Exemplo 2: Varia´vel quantitativa cont´ınua.
Nesse caso precisamos dividir os dados em classes para construir a tabela
de distribuic¸a˜o de frequeˆncias. Suponha que desejamos construir uma tabela
de distribuic¸a˜o de frequeˆncias para os sala´rios dos empregados do setor A.
Para isso, entrevistamos os 36 empregados e obtivemos os seguintes dados:
4; 4,2; 7,5; 4,1; 7,3; 6,6; 5,7; 5,1; 6,2; 7,7
8,1; 9,2; 9,5; 11,1; 9,3; 9,6; 8,7; 10,1; 11,2; 10,7; 9,3; 10,4
12,1; 13,2; 14,5; 15,6; 12,1; 12,2; 13,5; 14,6
19,1; 18,2; 17,5; 16,6; 19,8; 20,3
Como estamos trabalhando com uma varia´vel cont´ınua (sala´rio), vamos
dividir os dados em classes. Suponha que desejamos construir uma tabela
com 5 classes de amplitudes iguais. Uma poss´ıvel tabela e´ a seguinte:
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 5
2.3 Gra´ficos
Atrave´s da representac¸a˜o gra´fica tambe´m podemos resumir informac¸o˜es
sobre a variabilidade dos dados.
Gra´ficos para varia´veis qualitativas
Existem va´rios tipos de gra´ficos usados para representar as varia´veis quali-
tativas, vamos apresentar dois deles: gra´ficos em barras/ colunas e em setores.
Exemplo 3: Vamos voltar ao exemplo 1. Grau de instruc¸a˜o.
gra´fico em colunas
gra´fico em setores
Gra´ficos para varia´veis quantitativas
Para as varia´veis quantitativas podemos considerar uma variedade maior
de representac¸o˜es gra´ficas. Ale´m dos gra´ficos usados para as varia´veis quali-
tativas, temos tambe´m o gra´fico de dispersa˜o unidimensional para as varia´veis
discretas. Vamos ver um exemplo e em seguida faremos os gra´ficos poss´ıveis.
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 6
Exemplo 4: Suponha que fizemos uma pesquisa com 20 pessoas e esta-
mos interessados no nu´mero de filhos.
gra´fico em barras/colunas
gra´ficos de dispersa˜o
Construir gra´ficos para as varia´veis quantitativas cont´ınuas requer algu-
mas adaptac¸o˜es. Para utilizarmos os mesmos tipos de gra´ficos usados no caso
Gabriel
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2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 7
de varia´veis discretas a primeira ide´ia que surge e´ aproximar uma varia´vel
aleato´ria cont´ınua por uma discreta sem perder muita informac¸a˜o. Isso pode
ser feito aproximando-se os valores de uma classe pelo ponto me´dio dessa
classe.
Exemplo 5: Voltando ao exemplo 2, na figura 3 temos a tabela para a
varia´vel sala´rio que esta´ dividida em classes. Discretizando a varia´vel pode-
mos contruir o gra´fico em barras, em setores ou o diagrama de dispersa˜o.
Em seguida temos o gra´fico em barras para a varia´vel sala´rio.
Com o artif´ıcio utilizado acima perdemos muita informac¸a˜o. Uma alter-
nativa utilizada nesses casos e´ o gra´fico connhecido como histograma. No
eixos das abscissas representamos as classes e, no eixo das ordenadas pode-
mos representar a frequeˆncia absoluta ni, a relativa fi ou a densidade de
frequeˆncia.
Ramo-e-folhas
Tanto o histograma como o gra´fico em barras da˜o uma ide´ia da forma
da distribuic¸a˜o dos dados. Um procedimento alternativo para resumir um
conjunto de dados e dar uma ide´ia de sua distribuic¸a˜o e´ utilizar o diagrama
de ramo-e-folhas. Uma vantagem desse diagrama sobre o histograma e´ que
ele tem uma perda menor de informac¸a˜o. Na˜o ha´ uma regra fixa determi-
nante para a construc¸a˜o de um diagrama ramo-e-folhas, geralmente sa˜o feitas
Gabriel
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Para não perder informações, se faz interessante arredondar os valores aproximando-os dos valores de uma classe pelo ponto médio da mesma classe.
Gabriel
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Histograma: Eixo das abscissas(parte de baixo = classes) e Eixo das Ordenadas (Parte lateral = Frequência)
Gabriel
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2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 8
adaptac¸o˜es para cada conjunto de dados. A ide´ia ba´sica por tra´s da estru-
tura e´, em linhas gerais, a seguinte: cada nu´mero, dentre os que compo˜em
o conjunto de dados a serem organizados, e´ considerado em relac¸a˜o a seus
algarismos, como sendo constitu´ıdo por duas partes. Estas sa˜o separadas
por uma linha vertical (trac¸ada justamente para estabelecer essa separac¸a˜o),
de modo que os algarismos registrados a` esquerda da linha sa˜o chamados de
ramo, os da direita, denominam-se folha. Para entender melhor vamos ver
os seguintes exemplos.
Exemplo 6: Os dados abaixo referem-se ao comprimento em cent´ımetros
de 20 pec¸as de alumı´nio:
53 70 84 69 77 87 53 82 67 54
70 71 95 51 74 55 63 85 53 64
Se considerarmos como ramo as dezenas e como folha a unidade, o dia-
grama de ramo-e-folhas fica da seguinte forma:
Exemplo 7: Suponha que entrevistamos 10 pessoas em um departamento
e estamos interessados no sala´rio desses empregados. Obtivemos os seguintes
dados:
4,0; 4,56; 5,2; 6,6; 6,8; 7,14; 8,2; 9,13; 10,53; 11,5.
Nesse caso, como existem dados com um e duas casas decimais podemos
arredondar os dados ou colocar como folha as duas casas decimais de cada
nu´mero, se optarmos por arredondar vamos obter o seguinte diagrama de
ramo-e-folhas:
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 9
2.4 Medidas resumo - Medidas de posic¸a˜o central
Vimos que podemos resumir a informac¸a˜o atrave´s de tabelas e gra´ficos que
fornecem muitas informac¸o˜es sobre o comportamento dos dados. Podemos
resumir os dados usando um ou alguns valores para representar a se´rie toda.
Sa˜o eles:
Moda- Realizac¸a˜o mais frequente do conjunto de dados. Em alguns
casos pode na˜o haver moda, dizemos enta˜o que a distribuic¸a˜o e´ amodal, ou
haver mais de uma moda, nesses casos dizemos tratar-se de uma distribuic¸a˜o
bimodal, trimodal etc.
Exemplo 8: Para a tabela da varia´vel nu´mero de filhos do exemplo 4,
temos moda igual a 2.
Mediana- E´ a realizac¸a˜o que ocupa a posic¸a˜o central da se´rie de ob-
servac¸o˜es, quando ordenadas em ordem crescente.
Exemplo 9: Para os dados 3,7,5,8,8 a mediana sera´ 7.
Para 3,7,5,8,8,9 a mediana sera´ 7,5.
Media aritme´tica- E´ a soma das observac¸o˜es dividida nu´mero de ob-
servac¸o˜es no conjunto.
Exemplo 10: Para os dados acima 3,7,5,8,8, a me´dia sera´ 6,2.
Observac¸a˜o 1: Para identificar a moda precisamos apenas da frequeˆncia
absoluta, ja´ para identificar a mediana precisamos de alguma ordenac¸a˜o entre
dos dados e, finalmente, para calcular a me´dia, precisamos que a varia´vel seja
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 10
quantitativa.
Observac¸a˜o 2: Para as varia´veis qualitativas nominais podemos apenas
identificar a moda. Para as qualitativas ordinais podemos identificar a moda
e a mediana. A me´dia so´ pode ser calculada para as varia´veis quantitativas.
Resumindo:
moda- Pode ser identificada para todos os tipos de varia´veis.
mediana- Pode ser identificada para todas exceto qualitativas nominais.
me´dia- Somente para as varia´veis quantitativas.
Exemplo 11: Vamos voltar ao exemplo da varia´vel nu´mero de filhos do
exemplo 4.
Nesse caso temos moda 2, mediana valor10+valor11
2
= 2 e me´dia 0.4+1.5+2.7+3.3+5.1
20
=
33
20
= 1, 65. Podemos perceber que as treˆs medidas tem valores pro´ximos e
representam de maneira semelhante as observac¸o˜es.
Fo´rmula geral para a me´dia
Se x1, x2, x3, ..., xn sa˜o n valores assumidos pela varia´vel x, dizemos que
x¯ e´ a me´dia aritme´tica dos n valores assumidos pela varia´vel x.
x¯ =
∑n
i
xi
n
.
Agora se tivermos n observac¸o˜es para a varia´vel x das quais n1 sa˜o iguais
a x1, n2 sa˜o iguais a x2, n3 sa˜o iguais a x3 ate´ nk sa˜o iguais a xk de tal forma
que n1 + ...nk = n, podemos simplificar a fo´rmula anterior por:
x¯ =
∑k
i ni.xi
n
.
Podemos tambe´m substituir a frequeˆncia relativa fi =
ni
n
na fo´rmula an-
terior:
x¯ =
∑k
i fi.xi.
Fo´rmula geral para a mediana
Consideremos as n observac¸o˜es x1, x2, x3, ..., xn ordenadas em ordem cres-
cente. Denotemos a menor observac¸a˜o por x(1), a segunda por x(2) e assim
por diante ate´ n-e´sima x(n):
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 11
x(1) ≤ x(2) ≤ x(3) ≤ ... ≤ x(n).
As observac¸o˜es ordenadas como acima sa˜o chamadas estat´ısticas de or-
dem. A mediana e´ enta˜o definida por:
med(x) =
{
x(n+1
2
) − Se n e impar.
x(n2 )
+x
(n+12 )
2
− Se n e par.
Exemplo 12: Ca´lculo das medidas de posic¸a˜o para varia´veis cont´ınuas.
Vamos retornar a terceira tabela da varia´vel sala´rio.
Como a varia´vel sala´rio e´ uma varia´vel cont´ınua uma aproximac¸a˜o que
pode ser feita e´ considerar todos os valores dentro de uma classe iguais ao
ponto me´dio da classe, essa aproximac¸a˜o e´ chamada de discretizac¸a˜o. Pode-
mos discretizar para encontrar os valores aproximados de me´dia, mediana e
moda. Dessa forma, para a varia´vel sala´rio S temos:
moda(S)≈ 10
mediana(S) ≈ S(18)+S(19)
2
= 10+10
2
= 10
me´dia (S) ≈ 6.10+10.12+14.8+18.5+22.1
36
= 11, 22
2.5 Me´dia geome´trica e Me´dia harmoˆnica
Me´dia harmoˆnica
A me´dia harmoˆnica e´ utilizada quando estamos tratando observac¸o˜es de
grandezas inversamente proporcionais como velocidade e tempo. Por exem-
plo suponha que temos va´rios valores de velocidade e, para cada valor temos a
distaˆncia que percorremos desenvolvendo tal velocidade. A frequeˆncia agora
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 12
e´ dada em termos de outra varia´vel, a distaˆncia. Como podemos calcular a
velocidade me´dia enta˜o? Para que fique mais claro que tipo de me´dia deve-
mos usar em cada caso vejamos alguns exemplos:
Exemplo 13: Se a metade da distaˆncia de um percurso percorremos
com a velocidade de 60 km/h e a outra metade com velocidade 40 km/h.
Qual e´ a velocidade me´dia? isto e´, com qual velocidade podemos percorrer
todo trajeto de modo a gastar o mesmo tempo?
Na primeira metade gastamos o tempo de 4t1 = d60 , na segunda metade
o tempo de 4t2 = d40 enta˜o nesse caso a velocidade me´dia para percorrer
todo o percurso de modo a gastar o mesmo tempo e´:
vmedia =
2d
d
60
+ d
40
= 48.
Nesse caso, se usa´ssemos a velocidade de 50 km/h para percorrer todo o
percurso gastar´ıamos o tempo d
25
< d
24
. Portanto na˜o podemos usar a me´dia
aritme´tica, devemos usar a me´dia harmoˆnica. A velocidade me´dia calculada
acima podia ter sido encontrada usando a fo´rmula da me´dia harmoˆnica dada
a seguir.
Definic¸a˜o:
A me´dia harmoˆnica de n valores reais x1, x2, x3, ..., xn e´ dada por:
mh =
n
1
x1
+ 1
x2
+...+ 1
xn
Exemplo 14: Custo me´dio de ac¸o˜es.
Suponha que compramos ac¸o˜es por 3 meses com um montante sempre de
1000 reais. No primeiro meˆs compramos ac¸o˜es no valor de 8 reais, no segundo
meˆs no valor de 9 e, no terceiro de 10. Qual o custo me´dio das ac¸o˜es?
Sabendo que a relac¸a˜o entre custo e montante e´ dada por custo = montante
num.acoes
e que nesse caso temos os valores de custo e, associados a eles, o montante
empregado, qual me´dia devemos usar? aritme´tica ou harmoˆnica? Para re-
sponder devemos olhar a varia´vel na˜o citada no problema, o nu´mero de ac¸o˜es.
Essa varia´vel esta´ se relacionando com o custo de maneira inversamente pro-
porcional ( veja a fo´rmula), da mesma maneira, t´ınhamos no exemplo anterior
a velocidade e o tempo. Portanto, devemos usar a me´dia harmoˆnica.
mh =
3000
1000
8
+ 1000
9
+ 1000
10
= 8, 92
Repare que se tive´ssemos comprado 1000 ac¸o˜es no valor de 8, 1000 no valor
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 13
de 9 e 1000 no valor de 10. Para saber o custo me´dio das ac¸o˜es usar´ıamos a
me´dia aritme´tica:
mari =
1000.8+1000.9+1000.10
3000
= 9
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 14
Me´dia geome´trica
Usamos a me´dia geome´trica quando os dados esta˜o relacionados de maneira
multiplicativa e o objetivo e´ conhecer uma taxa me´dia de crescimento ou de-
crescimento dos dados.
Definic¸a˜o:
A me´dia geome´trica de n valores reais x1, x2, x3, ..., xn e´ dada por:
mg = n
√
x1.x2.x3...xn
Exemplo 15: Se um investimento rende 10 por cento no primeiro ano e
20 por cento no segundo ano a juros compostos, qual e´ o rendimento me´dio
do investimento?
Se comec¸armos com um montante X ao final do primeiro ano teremos
1,1X e ao final do segundo ano teremos 1,2.(1,1X)=1,32X.
Queremos encontrar uma taxa me´dia, isto e´, uma u´nica taxa que aplicada
durante dois anos a juros compostos retornara´ 1,32X.
Podemos pensar que uma poss´ıvel candidata a taxa me´dia seria 15 por
cento, mas quando aplicamos o montante de X a essa taxa em dois anos
teremos (1, 15)2X=1,3225X que representa um pouco a mais do que obtemos
quando aplicamos a 10 por cento no primeiro ano e 20 por cento no segundo.
Como encontrar enta˜o a taxa me´dia? A resposta vem atrave´s do fator.
A cada taxa podemos associar um fator multiplicativo, por exemplo, para a
taxa de 10 por cento, multiplicamos o valor inicial por 1,1. Para essa taxa
temos portanto, um fator de 1,1. Para a taxa de 20 por cento, um fator
de 1,2. Para a taxa de 25 por cento, um fator de 1,25. Enta˜o o problema
de encontrar a taxa u´nica e´ equivalente ao problema de encontrar um fator
multiplicativo u´nico.
Para o exemplo acima temos que encontrar um fator multiplicativo u´nico
f, tal que f 2X = 1, 32X ou seja f e´ a me´dia geome´trica dos fatores 1,1 e 1,2.
f =
√
1, 32 =
√
1, 1.1, 2 = 1, 148
Logo, podemos concluir que a me´dia e´ de 14,8 por cento. Se tive´ssemos
aplicado um montante durante um pe´riodo maior, e dispuse´ssemos de va´rias
taxas, para encontrar a taxa me´dia dever´ıamos proceder da mesma forma:
encontrar um u´nico fator igual a` me´dia geome´trica de todos os fatores.
De forma geral, a me´dia aritime´tica e´ sempre maior ou igual aos outros
tipos de me´dia. Temos a seguinte relac¸a˜o entre as me´dias:
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 15
mg ≤ mh ≤ ma
2.6 Medidas de dispersa˜o
O resumo de um conjunto de dados por uma u´nica medida de posic¸a˜o cen-
tral ignora toda a informac¸a˜o sobre a variabilidade dos dados. Por exemplo,
suponha que desejamos analisar o comprimento de pec¸as produzidas por 3
diferentes tipos de ma´quinas. Selecionamos enta˜o grupos de pec¸as prove-
nientes de cada ma´quina e registramos os comprimentos em cm:
ma´quina A- 3,4,5,6,7
ma´quina B- 3,5,5,7
ma´quina C- 5,5,5,5,5,5
Podemos perceber que as me´dias dos comprimentos e´ igual para os 3
grupos. Nesse caso, perdemos a informac¸a˜o sobre a variabilidade dos dados
se considerarmos apenas a me´dia como medida representativa dos dados.
Num primeiro momento, podemos pensar que uma boa medida para a
variabilidade dos dados nos grupos e´ a soma das diferenc¸as entre os dados e
a me´dia. Por exemplo, para a ma´quina A ter´ıamos
∑5
i=1 xi−x¯, mas podemos
observar que a soma dos desvios com relac¸a˜o a` me´dia e´ sempre igual a zero.∑5
i=1 xi− x¯ =
∑5
i=1 xi−
∑5
i=1 x¯ =
∑5
i=1 xi− 5x¯ =
∑5
i=1 xi−
∑5
i=1 xi = 0
Uma maneira de contornar esse problema e´ considerar as duas medidas
seguintes:
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 16
∑5
i=1 | xi − x¯ |∑5
i=1(xi − x¯)2
Chamamos enta˜o∑n
i=1
|xi−x¯|
n
- desvio me´dio absoluto - dm(x).∑n
i=1
(xi−x¯)2
n
- variaˆncia - var(x).
Para a ma´quina
A temos:
dm(x) =
∑5
i=1
|xi−x¯|
5
= |3−5|+|4−5|+|5−5|+|6−5|+|7−5|
5
= 6
5
= 1, 2.
var(x) =
∑5
i=1
(xi−x¯)2
5
= 2
Para a ma´quina B temos:
dm(x) =
∑4
i=1
|xi−x¯|
4
= |3−5|+|3−5|+|5−5|+|5−7|
4
= 1.
var(x) =
∑4
i=1
(xi−x¯)2
4
= 2
Podemos concluir enta˜o que segundo o desvio me´dio a ma´quina B e´ mais
homogeˆnea que ma´quina A e que ambas sa˜o igualmente homogeˆneas segundo
a variaˆncia.
Sendo a variaˆncia uma medida de dimensa˜o igual ao quadrado da di-
mensa˜o dos dados, no caso cm2, a interpretac¸a˜o da variaˆncia como medida
de variac¸a˜o dos dados pode gerar alguns problemas. Costumamos usar enta˜o
o desvio padra˜o que e´ definido como raiz quadrada da variaˆncia.
dp(x) =
√
var(x)
Para o grupo A e o B temos dp(x) =
√
2.
Ambas as medidas de dispersa˜o (desvio me´dio e desvio padra˜o) indicam
em me´dia qual o ”erro” que cometemos ao substituirmos cada observac¸a˜o
pela me´dia.
No caso em que observamos n1 vezes o valor x1, n2 vezes o valor x2 e
assim sucessivamente, ate´ nk vezes o valor xk, temos:
dm(x) =
∑k
i=1
ni|xi−x¯|
n
=
∑k
i=1 fi | xi − x¯ |
var(x) =
∑k
i=1
ni(xi−x¯)2
n
=
∑k
i=1 fi(xi − x¯)2
dp(x) =
√
var(x)
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 17
O ca´lculo aproximado das medidas de dispersa˜o no caso das varia´veis
cont´ınuas agrupadas em classes pode ser feito de modo ana´logo a`quele usado
para encontrar a me´dia.
Exerc´ıcio: Calcule o desvio me´dio, variaˆncia e desvio padra˜o para as
varia´veis nu´mero de filhos e sala´rio dos exemplos anteriores.
Coeficiente de variac¸a˜o
Coeficiente de variac¸a˜o e´ uma medida que nos permite comparar a dis-
persa˜o em amostras diferentes. O desvio padra˜o e´ uma medida de dispersa˜o
com relac¸a˜o a` me´dia, como duas amostras podem ter me´dias diferentes na˜o
conseguiremos, nesses casos, comparar a dispersa˜o dos dados usando o desvio
padra˜o. Para isso usamos o coeficiente de variac¸a˜o:
cv = dp(x)
x¯
Exemplo:
Considere uma amostra com me´dia 40 e desvio padra˜o 4 e outra com
me´dia 5 e desvio padra˜o 4. Qual das amostras e´ a mais homogeˆnea? De
acordo com o coeficiente de variac¸a˜o temos na amostra 1, cv= 4/40=0,1 e na
amostra 2, cv=4/5=0,8. Portanto a amostra 2 tem maior grau de dispersa˜o
dos dados.
2.7 Quantis
A me´dia aritme´tica pode muitas vezes na˜o ser uma medida adequada pois:
a) Pode ser afetada por valores extremos.
b) Na˜o da´ ide´ia da distribuic¸a˜o e dispersa˜o dos dados.
Exemplo 16: Para os dados 1,2,5,7,100 a me´dia aritme´tica vale 115/5
= 23, um valor muito distante da maioria dos dados. A me´dia portanto na˜o
e´ uma boa medida de representac¸a˜o para esses valores.
A mediana, igual a 5, representa melhor os dados nesse caso. Outra me-
dida de posic¸a˜o muito utilizada e´ o quantil.
Definic¸a˜o:
Chamamos quantil de ordem p ou p-quantil onde p e´ uma proporc¸a˜o,
0 < p < 1, ao valor q(p) tal que 100.p por cento da amostra seja menor que
q(p).
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 18
Essa definic¸a˜o parece um pouco complicada a primeira vista, vamos ver
um exemplo.
Exemplo 17: Para a amostra 1,2,3,5,7,8,10, desejamos saber o valor de
q(0,5) e q(0,25).
Qual e´ o valor de q(0,5)? q(0,5) e´ o valor tal que 100.0,5=50 por cento
da amostra esteja abaixo dele. Portanto q(0,5)= mediana.
Primeiramente devemos ordenar os dados e encontrar as estat´ısticas de
ordem, nesse caso os dados ja´ esta˜o ordenados:
x(1) = 1;x(2) = 2;x(3) = 3...x(7) = 10
Como temos 7 dados na amostra q(0,25) e´ o valor que deixa 25 por cento
dos dados abaixo dele. Como 0,25.7=1,75 na˜o e´ inteiro calculamos um valor
aproximado para q(0,25). Fazemos q(0, 25) =x(2). Para q(0,5), fazemos
7.0,5=3,5. Como 3,5 na˜o e´ inteiro aproximamos o quantil para a estat´ıstica
de ordem subsequente que no caso e´ x(4). O mesmo procedimento feito an-
teriormente para encontrar a mediana.
Como calcular os quantis?
Na˜o existe apenas uma maneira de obter os quantis, geralmente obtemos
valores aproximados que representam a divisa˜o da amostra. Segue abaixo
uma das maneiras para descobrir os quantis.
Dada uma amostra com n observac¸o˜es ordenadas de maneira crescente,
uma das formas para se obter o quantil de ordem p e´ a seguinte:
1) Se n.p e´ um nu´mero inteiro enta˜o q(p) =
x(n,p)+x(n,p+1)
2
.
2) Se n.p na˜o e´ um nu´mero inteiro enta˜o q(p) = x(| n.p | +1)
Percentil, decil e quartil
Os percentis sa˜o constru´ıdos atrave´s da divisa˜o da amostra em cem partes
iguais. O primeiro percentil deixa 1 por cento dos dados abaixo dele, o se-
gundo 2 por cento e assim sucessivamente ate´ o 99◦ percentil, que deixa 99
por cento dos dados abaixo dele. Ao dividirmos a amostra em 10 partes iguais
podemos calcular os decis. O primeiro decil deixa 10 por cento dos dados
abaixo dele, o segundo deixa 20 por cento dos dados abaixo e finalmente o
nonage´simo decil deixa 90 por cento dos dados abaixo dele. Os quartis sa˜o
obtidos dividindo a amostra em 4 partes iguais. O primeiro quartil deixa
25 por cento dos dados abaixo dele, o segundo quartil e´ a mediana e o ter-
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 19
ceiro deixa 75 por cento dos dados abaixo dele. Podemos perceber a seguinte
equivaleˆncia entre os percentis, quartis e decis:
q(0,1)- 1◦ decil, 10◦ percentil.
q(0,25)- 1◦ quartil, 25◦ percentil.
q(0,5)- 5◦ decil, 2◦ quartil, 50◦ percentil.
q(0,75)- 3◦ quartil, 75◦ percentil.
q(0,95)- 95◦ percentil.
Exemplo 18: Suponha que entrevistamos 10 pessoas e perguntamos o
peso da cada uma delas. As respostas foram as seguintes:
45; 54; 48; 51; 63; 50; 74; 83; 91; 105.
Qual e´ o peso ma´ximo que uma pessoa pode ter para estar entre as 25
por cento mais magras e qual e´ peso mı´nimo para estar entre as 25 por cento
mais gordas?
O que queremos saber e´ quem sa˜o q(0,25) e q(0,75).
Primeiramente devemos ordenar os dados.
45; 48; 50; 51; 54; 63; 74; 83; 91; 105.
o quantil q(0,25) e´ o valor que deixa 25 por cento dos dados abaixo que
nesse caso e´ o valor que ocupa a terceira posic¸a˜o. Enta˜o q(0,25)=50. q(0,75)
e´ o valor que deixa 75 por cento dos dados abaixo, aquele que ocupa a oitava
posic¸a˜o, portanto q(0,75)=83.
2.8 Box-plot
O box-plot nos da´ uma ide´ia da dispersa˜o de uma amostra e da existencia
de dados distoantes do conjunto. Ele e´ construido da seguinte maneira:
1) Calculamos os valores dos quartis, q(0,25), q(0,5) e q(0,75) que sera˜o
respectivamente a base, a linha me´dia e o topo da caixa.
2) Calculamos a diferenc¸a dq = q(0, 75)− q(0, 25).
3) Calculamos 3/2.dq, esse valor nos ajudara´ a construir os limites superior
e inferior do gra´fico. Os valores da amostra na˜o contidos nesse intervalo
devem ser representados como pontos isolados e por isso sa˜o denominados
outliers.
O box-plot e´ um gra´fico muito u´til quando queremos investigar a simetria,
valores at´ıpicos e a dispersa˜o em um conjunto de valores. A representac¸a˜o
gra´fica e´ a seguinte:
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 20
Assimetria dos dados se reflete em assimetria na caixa e ou nos limites
inferiores e superiores e valores at´ıpicos se refletem em outliers. Vamos ver
um exemplo para que fique mais claro o processo de construc¸a˜o.
Exemplo 19: Suponha que realizamos uma pesquisa com 15 pessoas e
estamos interessados na varia´vel nu´mero de filhos. Obtivemos os seguintes
resultados 2 pessoas na˜o teˆm filhos, 5 teˆm 1 filho, 4 teˆm 2 filhos, 3 teˆm 3
filhos e finalmente 1 pessoa tem 5 filhos. Construa o box-plot para a varia´vel
nu´mero de filhos. Primeiramente vamos calcular os quartis:
Primeiro quartil- 0,25.15= 3,75 que na˜o e´ inteiro portanto q(0,25)=x(4)=1.
Segundo quartil- 0,5.15= 7,5 que na˜o e´ inteiro portanto q(0,5)=x(8)=2.
Terceiro quartil- 0,75.15= 11,25 que na˜o e´ inteiro portanto q(0,75)=x(12)=3.
Temos o seguinte box-plot:
Como o menor valor observado foi 0 e o maior foi 5 os limites inferior
e superior devem ser 0 e 5 respectivamente. Deixar o limite inferior como
-2 e o superior como 6 significaria dizer que existem valores entre -2 e 0
e tambe´m entre 5 e 6, o que na˜o e´ verdade. Portanto devemos calcular
os limites inferiores e superiores como anteriormente e depois olhar para os
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 21
dados para saber quem e´ o menor e o maior valor observado. O boxplot
enta˜o, fica melhor representado da seguinte maneira:
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 22
2.9 Exerc´ıcios - lista 01
Questa˜o 1
Suponha que realizamos uma pesquisa com 80 pessoas cuja varia´vel de
interesse era a idade. Suponha tambe´m que foram encontrados os seguintes
valores: 21; 35; 49 e 16 anos, com frequeˆncias respectivamente iguais a 10;
0,3; 0,2. Encontre a frequeˆncia absoluta de 16 anos. Construa a tabela de
frequeˆncias, o gra´fico em barras e em setores.
Questa˜o 2
Os juros recebidos por um grupo de 12 ac¸o˜es em um per´ıodo de dois meses
foram:
3,67; 1,28; 3,96; 2,93; 7,77; 2,78;
1,82; 8,14; 6,54; 2,82; 4,65; 5,54.
Construa a tabela de frequeˆncias para esses dados dividindo-os em 4
classes de amplitudes iguais a 2. Construa tambe´m o histograma para as
frequeˆncias relativas.
Questa˜o 3
Suponha que desejamos estudar o nu´mero de erros de impressa˜o de um
livro. Para isso escolhemos uma amostra com 50 pa´ginas e verificamos que
das 50 pa´ginas analisadas, 25 na˜o apresentavam erros, 20 apresentavam 1
erro, 3 possuiam 2 erros e finalmente duas pa´ginas apresentavam uma 3 e
outra 4 erros.
a) Calcule o nu´mero me´dio de erros por pa´gina e nu´mero mediano.
b) Qual e´ o desvio padra˜o?
c) Fac¸a um gra´fico em barras para a distribuic¸a˜o.
d) Se o livro tem 500 pa´ginas qual e´ o nu´mero total de erros esperado no
livro?
Gabriel
Sticky Note
Lembrando que frequência absoluta significa Ni
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 23
2.10 Exerc´ıcios - lista 02
Questa˜o 1
Suponha que observamos os valores de 20, 50, 60, 40 e 20 para uma
varia´vel X.
• a) Calcule a me´dia harmoˆnica de X.
• b) Se os valores acima fossem medidas, em km/h, da velocidade de um
automo´vel observadas em distaˆncias iguais a 2km, qual a relac¸a˜o da
velocidade me´dia com a resposta obtida no item anterior?
• c) Se os valores se referissem a` velocidade do mesmo automo´vel medidas
em intervalos iguais a` meia hora qual a relac¸a˜o da velocidade me´dia com
o valor obtido em b)?
Questa˜o 2
O que acontece com a me´dia, a mediana e a variaˆncia quando:
• a) Somamos um valor fixo a cada observac¸a˜o? (Por exemplo, se somar-
mos 10?)
• b) E quando multiplicamos cada observac¸a˜o por um valor fixo?
Questa˜o 3
Um objeto e´ constru´ıdo com 300g de cobre, 150g de prata e 100g de
bronze. Sabendo que a densidade me´dia e´ dada por dmed =
massa
volume
e as
densidades do cobre, da prata e do bronze sa˜o respectivamente 1, 5g/cm3,
1, 2g/cm3 e 2g/cm3. Encontre a densidade me´dia do objeto.
Questa˜o 4
Realizando um experimento qu´ımico repetidamente em baixas temperat-
uras, obtivemos os seguintes rendimentos em porcentagem: 1; 2; 5; 3 e 1.
Ao aumentar a temperatura, aumentamos o rendimento da reac¸a˜o para 40.
Qual o rendimento me´dio da reac¸a˜o?
Questa˜o 5
O departamento pessoal de uma empresa fez um levantamento dos sala´rios
de seus funciona´rios e os dividiu em quatro classes. A primeira classe con-
tinha todos os sala´rios menores do que dois e a frequeˆncia observada foi 30.
A segunda classe, os sala´rios maiores ou iguais a 2 e menores que 4 com
frequeˆncia 48. A terceira classe, os sala´rios maiores ou iguais a 4 e menores
que 6 com frequeˆncia 24. A quarta classe, os sala´rios maiores ou iguais a 6 e
menores que 10 com frequeˆncia 18.
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 24
• a)Construa o histograma.
• b) Calcule a me´dia, a variaˆncia e o desvio padra˜o.
• c) Calcule o primeiro quartil, a mediana, o terceiro quartil e construa
o box-plot.
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 25
2.11 Exerc´ıcios - lista 03
Questa˜o 1
Suponha que entrevistamos 20 pessoas e estamos interessados em estudar
o comportamento da varia´vel peso nesse grupo. Os dados observados foram
os seguintes:
53 ; 70,2; 84,3; 69,5; 77,8; 87,5; 53,4; 82,5; 67,3; 54,1
70,5; 71,4; 95,4; 51,1; 74,4; 55,7; 48,2; 45,7; 43,2; 50,7
• a) Fac¸a o diagrama ramo-e-folhas.
• b) Encontre os quartis e fac¸a o box-plot.
• c) Divida os dados em 6 classes de amplitude igual a 10. Construa a
tabela de frequeˆncias e o histograma. Existe alguma semelhanc¸a com
o diagrama ramo-e-folhas?
• d) Encontre a moda, me´dia, mediana e desvio padra˜o para a tabela do
item anterior.
Questa˜o 2
O departamento de atendimento ao consumidor de uma concessiona´ria
de ve´ıculos recebe ligac¸o˜es de reclamac¸o˜es de clientes. Foram anotados os
nu´meros de reclamac¸o˜es em 20 dias:
3; 4; 5; 4; 4; 5; 6; 9; 4; 4;
5; 6; 4; 3; 6; 7; 4; 5; 5; 7.
• a) Construa a tabela de frequeˆncias e o gra´fico em barras.
• b) Qual o nu´mero me´dio e o nu´mero mediano de reclamac¸o˜es por dia?
• c) Em 1 meˆs qual o nu´mero total de reclamac¸o˜es esperado?
• d) Se cada telefonema acarreta novos servic¸os que custam 50 reais para
a concessiona´ria, qual e´ a despesa me´dia por dia da concessiona´ria
oriunda do atendimento ao consumidor?
Questa˜o 3
O tempo em horas para um determinado medicamento fazer efeito foi
investigado em um grupo de 20 pessoas e obteve-se os seguintes tempos:
1; 2; 1; 2; 1; 2; 3; 1; 2; 2 3; 3; 2; 2; 1; 1; 4; 2; 1; 4
• a) Construa a tabela de frequeˆncias para a varia´vel.
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 26
• b) Calcule a me´dia e a variaˆncia.
• c) Quando o medicamento demora mais de 3 horas para agir, dizemos
que o paciente e´ insens´ıvel ao tratamento. Se isso ocorre em 25 por
cento dos casos ou mais enta˜o os pacientes devem trocar de medicac¸a˜o.
Os pacientes acima devem ou na˜o trocar de medicac¸a˜o?
Questa˜o 4
Realizando um cultivo de laranjas inicialmente com 100 mudas, um agricul-
tor percebeu que apo´s a primeira colheita o rendimento da produc¸a˜o aumen-
tava consideravelmente com relac¸a˜o a colheita anterior. As taxas de aumento
de produc¸a˜o nas 5 colheitas que se seguiram foram de: 10; 15; 10; 5 e 20 por
cento respectivamente. Qual a taxa me´dia de aumento de produc¸a˜o?
Questa˜o 5
Alguns cientistas sociais acreditam que a opinia˜o sobre o aborto inde-
pende da situac¸a˜o familiar. Foi feita uma pesquisa com 200 pessoas:
• a) Qual estado civil apresenta mais pessoas favora´veis ao aborto?
• b) Construa as tabelas de frequeˆncias marginais.
• c) Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual e´ a probabilidade de ser casada
ou favora´vel ao aborto?
• d) Construa a tabela de frequeˆncias com relac¸a˜o ao total geral.
• e) De acordo com o crite´rio de frequeˆncias as varia´veis sa˜o ou na˜o
independentes?
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 27
3 Ana´lise bidimensional
Vimos ate´ agora como organizar e resumir informac¸o˜es pertinentes a uma
varia´vel. Agora vamos aprender a analisar o comportamento de duas varia´veis
com o objetivo de investigar a relac¸a˜o entre elas. Podemos ter:
a) Duas varia´veis qualitativas.
b) Duas varia´veis quantitativas.
c) Uma varia´vel qualitativa e outra quantitativa.
As te´cnicas para se investigar a relac¸a˜o entre as varia´veis pode ser difer-
ente para cada caso. De uma maneira geral, medimos a relac¸a˜o entre duas
varia´veis atrave´s dos coeficientes de associac¸a˜o, eles expressam se as varia´veis
sa˜o ou na˜o dependentes. Para as varia´veis qualitativas temos a medida qui-
quadrado X 2 e para as quantitativas temos o coeficiente de correlac¸a˜o.
Duas varia´veis qualitativas
Suponha que queremos comparar as varia´veis grau de instruc¸a˜o e regia˜o de
procedencia e investigar se existe alguma relac¸a˜o entre elas. Para isso fizemos
uma pesquisa com 36 pessoas e montamos a seguinte tabela conjunta:
Atrave´s dessa tabela podemos recuperar as tabelas de frequeˆncia para
a regia˜o de procedeˆncia e grau de instruc¸a˜o que chamaremos de tabelas de
frequeˆncia marginais.
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 28
Para duas varia´veis podemos tambe´m construir a tabela de frequeˆncias
relativas. Diferentemente do caso unidimensional podemos considerar a frequeˆncia
relativa:
a) Ao total de cada linha.
b) Ao total de cada coluna.
c) Ao total geral.
No caso do exemplo anterior podemos obter a seguinte tabela de frequeˆncia
relativa ao total de cada coluna:
E com relac¸a˜o ao total geral temos:
A tabela com relac¸a˜o ao total de cada linha e´ constru´ıda de maneira
ana´loga a` tabela com relac¸a˜o ao total de cada coluna.
Agora vamos aprender como investigar a relac¸a˜o entre duas varia´veis
atrave´s das tabelas de frequeˆncias.
3.1 Associac¸a˜o entre varia´veis qualitativas
Um dos objetivos de construir uma distribuic¸a˜ao conjunta de duas varia´veis
e´ conhecer o grau de dependencia entre elas. No caso de duas varia´veis qual-
itativas vejamos como podemos estudar a dependencia atrave´s da tabela de
frequencias. Primeiramente um exemplo em que as varia´veis parecem na˜o
estar associadas.
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 29
Exemplo 1: Suponha que entrevistamos 200 alunos dos cursos de econo-
mia e administrac¸a˜o e queremos investigar se existe alguma relac¸a˜o entre o
sexo e o curso.
Com as frequeˆncias absolutas fica dif´ıcil tirar alguma conclusa˜o. Vamos
construir a tabela para a frequeˆncia relativa ao total de cada coluna.
Nessa tabela vemos que 60 por cento dos alunos fazem economia e 40
por cento fazem administrac¸a˜o. Na˜o havendo dependeˆncia entre as varia´veis,
esperar´ıamos essa mesma proporc¸a˜o para cada sexo. Como as proporc¸o˜es
sa˜o pro´ximas para ambos os sexos: 61 e 58 por cento para economia e 39 e
42 por cento para administrac¸a˜o as varia´veis sexo e curso parecem na˜o estar
associadas. Agora vamos ver um exemplo em que as varia´veis parecem estar
associadas.
Exemplo 2: Suponha agora que entrevistamos 200 alunos dos cursos de
f´ısica e cieˆncias sociais e, queremos identificar se ha´ relac¸a˜o entre sexo e o
curso.
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 30
Nesse caso parece haver associac¸a˜o ja´ que as porcentagens dos alunos de
f´ısica e de cieˆncias sociais para o sexo feminino e masculino sa˜o distantes.
Veremos agora como podemos medir essa dependencia.
Medida de dependeˆncia qui-quadrado
Retomemos o exemplo anterior. Na pesquisa observamos as seguintes
frequeˆncias:
Se as varia´veis fossem independentes, os valores esperados para as frequeˆncias
masculino e feminino seriam:
Nesse caso a tabela dos desvios com a diferenc¸a entre os valores observados
de frequeˆncia e os esperados ficaria:
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 31
A medida qui-quadrado X 2 mede o quanto as varia´veis esta˜o longe da
independeˆncia e leva em conta esses desvios entre a tabela das frequeˆncias
observadas e a tabela que esperar´ıamos encontrar se as varia´veis fossem in-
dependentes.
A medida qui-quadrado X 2 e´ enta˜o definida por:
X 2 =
∑
(oi−ei)2
ei
onde oi sa˜o os valores observados de frequeˆncia e ei sa˜o os esperados.
Logo abaixo daremos a fo´rmula da medida X 2 explicitando como obter ei
sem a necessidade de construir outra tabela de valores esperados.
Se a hipo´tese de na˜o associac¸a˜o for verdadeira enta˜o as frequeˆncias obser-
vadas estara˜o muito pro´ximas das frequeˆncias esperadas portanto, a ”distaˆncia”
entre as tabelas deve ser pequena o que implica um valor de X 2 pro´ximo de
zero, um valor muito grande de X 2 indica associac¸a˜o entre as varia´veis.
Vamos calcular enta˜o a medida X 2 para o exemplo acima:
X 2 = (16)2
84
+ (−16)
2
56
+ (16)
2
56
+ (−16)
2
36
+ (16)
2
24
= 3, 05+4, 51+7, 02+10, 54 = 25
Como encontramos um valor grande para X 2, as varia´veis parecem estar
associadas.
Notac¸a˜o geral Para obter a medida X 2 para as tabelas de dupla entrada
na˜o precisamos construir uma nova tabela de valores esperados e uma outra
tabela de desvios. Podemos fazer o seguinte:
Para X e Y, duas varia´veis assumindo os valoresA1, A2, ...Ar eB1, B2, ..., Bs
respectivamente. Suponhamos que elas possuam a seguinte tabela de frequeˆncias
conjunta:
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 32
Enta˜o a medida X 2 e´ dada por:
X 2 =
∑r
i=1
∑s
j=1(nij−nij∗ )2
nij∗
onde nij∗ e´ a frequeˆncia esperada se as varia´veis fossem independentes e,
e´ dada por nij∗ =
ni..n.j
n..
.
3.2 Associac¸a˜o entre varia´veis quantitativas
Quando as varia´veis sa˜o quantitativas, para idenficar a existeˆncia de asso-
ciac¸a˜o entre as varia´veis podemos usar uma medida denominada coeficiente
de correlac¸a˜o linear que mede o quanto a relac¸a˜o entre as varia´veis esta´
pro´xima de uma relac¸a˜o linear e um recurso gra´fico chamado diagrama de
dispersa˜o. Vamos comec¸ar pelo gra´fico de dispersa˜o.
Gra´fico de dispersa˜o
Para construir o gra´fico de dispersa˜o para duas varia´veis X e Y quanti-
tativas plotamos os valores (X,Y) obtidos num sistema de eixos coordenados.
Vamos ver um exemplo:
Exemplo 3: Suponha que entrevistamos 7 agentes imobilia´rios e quer-
emos investigar se existe relac¸a˜o entre os anos de servic¸o e o nu´mero de
clientes.
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 33
O gra´fico de dispersa˜o fica enta˜o:
Pelo gra´fico de dispersa˜o podemos perceber que as varia´veis perecem estar
associadas. Quanto maior o tempo de servic¸o maior parece ser o nu´mero de
clientes. Vamos ver agora um gra´fico de dispersa˜o em que os dados parecem
na˜o estar associados:
Exemplo 4: Suponha que fizemos uma pesquisa da populac¸a˜o rural e
urbana nos u´ltimos anos. O gra´fico de dispersa˜o abaixo indica que as varia´veis
na˜o esta˜o relacionadas.
No primeiro exemplo, podemos perceber que e´ razoa´vel aproximar os
dados por uma linha reta que seja a mais pro´xima poss´ıvel dos dados e
que atrave´s dela podemos identificar a relac¸a˜o existente entre os dados. A
equac¸a˜o dessa reta que minimiza o erro, isto e´ a distancia entre os dados e a
reta, estabelece um modelo que chamamos de modelo de regressa˜o linear. Por
hora, so´ investigaremos se a relac¸a˜o existente entre os dados e´ uma relac¸a˜o
pro´xima da linear e, quem nos dira´ isso sera´ o coeficiente de correlac¸a˜o linear.
Coeficiente de correlac¸a˜o linear
E´ uma medida do grau de associac¸a˜o linear entre duas varia´veis quan-
titativas.
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 34
Definic¸a˜o:
Dados n pares com os valores observados para as varia´veis X e Y quantita-
tivas: (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) definimos o coeficiente de correlac¸a˜o linear
entre X e Y por:
corr(X, Y ) = 1
n
∑n
i=1
(xi−x¯)(yi−y¯)
dp(x)dp(y)
A parcela
∑n
i=1
(xi−x¯)(yi−y¯)
n
e´ denominada covariaˆncia.
Outra fo´rmula equivalente para calcular o coeficiente de correlac¸a˜o e´ a
seguinte:
corr(X, Y ) =
∑n
i=1(xiyi−nx¯y¯)√
(
∑
x2i−nx¯2)(
∑
y2i−ny¯2)
Podemos perceber que −1 ≤ corr(X, Y ) ≤ 1. O ca´lculo do coeficiente de
correlac¸a˜o e´ muito custoso analiticamente, muitas vezes e´ conveniente utilizar
programas estat´ısticos como o R.
Para valores positivos do coeficiente de correlac¸a˜o, a nuvem de pontos
do gra´fico de dispersa˜o segue uma tendeˆncia de crescimento, quanto mais
pro´ximo de 1 o valor esta´, mais alinhados os pontos esta˜o. Por exemplo:
Para valores negativos do coeficiente de correlac¸a˜o, a nuvem de pontos
segue uma tendeˆncia de decrescimento, aqui tambe´m quanto mais pro´ximo
de -1 o valor esta´, mais alinhados os pontos esta˜o. Por exemplo:
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 35
E finalmente,
para valores de correlac¸a˜o pro´ximos a zero, na˜o ha´ uma
tendeˆncia de crescimento/decrescimento linear clara para os pontos, como
abaixo podemos observar:
Vamos agora encontrar o coeficiente de correlac¸a˜o linear para o exemplo
3 e verificar que o valor esta´ pro´ximo de 1, que vai ao encontro do que
observamos no gra´fico de dispersa˜o.
Temos n=7, para X temos dp(X)= 1.98 e para Y temos dp(Y)= 7.48,
enta˜o o coeficiente de correlac¸a˜o entre as varia´veis X e Y e´ 0.81, um valor
pro´ximo de 1 , como espera´vamos quando observamos o gra´fico de dispersa˜o.
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 36
3.3 Exerc´ıcios - lista 04
Questa˜o 1
Suponha que realizamos uma pesquisa com 100 funciona´rios de uma
empresa. Nessa pesquisa esta´vamos interessados nas varia´veis regia˜o de
procedeˆncia e n´ıvel de escolaridade. Para a regia˜o de procedeˆncia observamos
os valores capital, interior e outra. Para o n´ıvel de escolaridade observamos os
valores fundamental, me´dio e superior. Com os dados montamos a seguinte
tabela de frequeˆncias absolutas:
• a) Construa a tabela de frequeˆncias relativas com relac¸a˜o ao total geral.
• b) Construa a tabela de frequeˆncias marginais para cada uma das
varia´veis.
• c) Qual a porcentagem dos funciona´rios que possuem n´ıvel me´dio?
• d) Qual a porcentagem dos funciona´rios que sa˜o da capital?
• e) Escolhendo um funciona´rio ao acaso qual sera´ provavelmente seu
grau de instruc¸a˜o? E a sua regia˜o de procedeˆncia?
• f) As varia´veis parecem dependentes? Porque?
Questa˜o 2
Uma companhia de seguros analisou a frequeˆncia com que 2000 segurados
usaram o hospital, dentre eles 1000 homens e 1000 mulheres. Os resultados
foram:
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 37
• a) Calcule a proporc¸a˜o de homens dentre os indiv´ıduos que utilizaram
o hospital.
• b) Calcule a proporc¸a˜o de homens dentre os indiv´ıduos que na˜o uti-
lizaram o hospital.
• c) Baseado nos ca´lculos das frequeˆncias e do coeficiente X 2 voceˆ diria
que o uso do hospital independe do sexo do segurado?
Questa˜o 3
Lanc¸am-se simultaneamente uma moeda de um real e uma de 25 centavos.
Em cada tentativa anotou-se o resultado cujos dados esta˜o resumidos na
tabela abaixo:
• a) Esses dados sugerem que os resultados das moedas de um real e os
da moeda de 25 centavos esta˜o associados?
• b) Definindo as varia´veis X1 e X2 tais que X1 = 0 quando ocorre cara
e X1 = 1 quando ocorre coroa na moeda de um real. Analogamente
X2 = 0 quando ocorre cara e X2 = 1 quando ocorre coroa na moeda
de 25 centavos. Calcule a correlac¸a˜o entre X1 e X2. Essa medida esta´
de acordo com o que voceˆ respondeu anteriormente?
Questa˜o 4
E´ esperado que a massa muscular de uma pessoa diminua com a idade.
Para estudar essa relac¸a˜o, uma nutricionista selecionou 8 mulheres, com idade
entre 40 e 79 anos, e observou em cada uma delas a idade (X) e a massa
muscular (Y).
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 38
Construa o gra´fico de dispersa˜o e calcule o coeficiente de correlac¸a˜o. A
hipo´tese da nutricionista se confirma com os dados?
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 39
3.4 Exerc´ıcios - lista de revisa˜o
Questa˜o 1
Numa pesquisa realizada com 100 famı´lias foram observadas 17 famı´lias
sem filhos, 20 com 1 filho, 28 com 2 filhos, 19 com 3 filhos, 7 com 4 filhos e
9 com 5 filhos.
• a) Calcule o nu´mero me´dio, o nu´mero mediano de filhos e o desvio
padra˜o.
• b) Se selecionarmos 1 dessas famı´lias qual sera´ provavelmente seu nu´mero
de filhos?
• c) Fac¸a o gra´fico em barras e o gra´fico em setores.
Questa˜o 2
Foram investigadas idades de 10 alunos do curso de po´s-graduac¸a˜o em
agronomia:
22, 23, 22, 21, 22, 23, 21, 22 , 35, 40.
• a) Calcule a me´dia e a mediana das idades.
• b) Qual e´ a melhor medida para representar os dados.
• c) Fac¸a o box-plot e observe os valores extremos. A distribuic¸a˜o parece
sime´trica?
Questa˜o 3
Em uma empresa A a me´dia dos salarios e´ 10.000 e o terceiro quartil e´
5.000. Se voceˆ foi contratado e o seu sala´rio foi escolhido aleato´riamente e´
mais prova´vel que voceˆ ganhe mais ou menos que 5.000? Em outra empresa
B a me´dia de sale´rios e´ 7.000 e a variaˆncia e´ praticamente zero. Em qual das
empresas voceˆ preferiria trabalhar?
Questa˜o 4
Os dados abaixo referem-se ao sala´rio (em sala´rios mı´nimos) de 20 fun-
ciona´rios administrativos em uma indu´stria.
10.1, 7.3, 8.5, 5.0, 4.2, 3.1, 2.2, 9.0, 9.4, 6.1,
3.3, 10.7, 1.5, 8.2, 10, 4.7, 3.5, 6.5, 8.9, 6.1
• a) Construa uma tabela de frequeˆncias agrupando os dados em inter-
valos de amplitude 2 a partir de 1.
• b) Calcule a me´dia, a mediana e o desvio padra˜o usando a tabela con-
struida em a).
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 40
• c) Se classificarmos os funciona´rios com sala´rios abaixo de 5 como fun-
ciona´rios de baixa renda. Entre 5 e 7 como de renda me´dia. Maior que
7 como renda alta. Construa uma tabela de frequeˆncias para o perfil
de renda.
• d) Escolhendo um funciona´rio, qual e´ a probabilidade de ele ser de
renda me´dia? Qual sera´ provavelmente o seu perfil de renda?
Questa˜o 5
Dois medicamentos para cicatrizac¸a˜o esta˜o sendo testados em um ex-
perimento feito para estudar o tempo (em dias) necessa´rio para o completo
fechamento de cortes. Uma amostra com 30 cobaias foi analisada, sendo
metade tratada com o medicamento A e a outra metade com o B, e forneceu
os seguintes valores:
A - 15, 17, 16, 15, 17, 14, 17, 16, 16, 17, 15, 18, 14, 17, 15
B - 14, 15, 16, 17, 18, 18, 17, 15, 16, 14, 18, 18, 16, 15, 14
• a) Construa uma tabela de frequeˆncias para o tempo do medicamento
A e outra para o B.
• b) Para o medicamento A qual a porcentagem das observac¸o˜es esta˜o
abaixo dos 16 dias? E para o B?
• c) Os medicamentos precem ter o mesmo efeito?
Questa˜o 6
Suponha que o pa´ıs A receba de volta uma parte de seu territo´rio T,
que por certo tempo esteve sob a administrac¸a˜o do pa´ıs B, devido a um
tratado entre A e B. A populac¸a˜o de A, antes de receber T, era 1,2 bilha˜o
de habitantes, e a de T era 6 milho˜es de habitantes. Se as me´dias de idade
das populac¸o˜es A e T, antes de se reunirem, eram, respectivamente, 30 anos
e 25 anos. Qual e´ a me´dia de idade apo´s a reunia˜o?
Questa˜o 7
Numa classe com vinte alunos, as notas do exame final podiam variar
de 0 a 100 e a nota mı´nima para aprovac¸a˜o era 70. Realizado o exame,
verificou-se que 8 alunos foram reprovados. A me´dia aritme´tica das notas
desses oito alunos foi 65, enquanto que a me´dia dos aprovados foi 77. Apo´s a
divulgac¸a˜o dos resultados, o professor verificou que uma questa˜o havia sido
mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com
essa decisa˜o, a me´dia dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8.
• a) Calcule a me´dia aritme´tica das notas da classe toda antes da atribuic¸a˜o
dos cinco pontos extras.
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 41
• b) Com a atribuic¸a˜o dos cinco pontos extras, quantos alunos, inicial-
mente reprovados, atingiram nota para a aprovac¸a˜o?
Questa˜o 8
Suponha que a relac¸a˜o entre o tempo necessa´rio para animais adquirirem
um certo peso e a quantidade de animais no rebanho pode ser descrita por:
peso = racao(kg)
animais
A pesagem dos animais e´ feita semanalmente e o acompanhamento foi
feito durante 3 semanas.
• a) Na primeira semana utilizamos 500kg para alimentar o rebanho e,
nesse per´ıodo houve um ganho me´dio de 2kg. Na segunda semana
foram utilizados 1000kg e houve um ganho me´dio de 2,5kg. Na terceira
semana utilizamos 200kg e o ganho me´dio foi de 3kg. Qual o ganho
me´dio de peso nessas 3 semanas?
• b) Se alimentamos 100 animais durante a primeira semana, 150 du-
rante a segunda e 500 durante a terceira e os ganhos de peso foram
respectivamente 2, 1.5 e 2.5. Qual e´ o ganho me´dio de peso durante
essas 3 semanas?
Questa˜o 9
Suponha que aplicamos um capital durante 6 meses
e as taxas de retorno
foram de 10,15,30,40,60,50 por cento respectivamente. Suponha tambe´m que
decidimos continuar com o investimento se a taxa me´dia de retorno for de pelo
menos 34 por cento. Qual e´ a decisa˜o a juros simples? E a juros compostos?
Questa˜o 10
Foram entrevistados 200 alunos de treˆs cursos, obtendo a seguinte tabela:
• a) Qual e´ a porcentagem de alunos do curso de f´ısica? Existem mais
homens ou mulheres no curso de f´ısica?
• b) Qual e´ a porcentagem de mulheres no curso de matema´tica?
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 42
• c) Escolhendo um aluno ao acaso e, sabendo que o escolhido e´ mulher
qual e´ a probabilidade de ela ser do curso de qu´ımica?
• d) Qual o curso tem um nu´mero maior de homens f´ısica ou matema´tica?
• e) De acordo com o coeficiente X 2 e com a tabela de frequeˆncias, essas
varia´veis sa˜o independentes?
Questa˜o 11
Um geo´logo esta´ procurando identificar a relac¸a˜o existente entre a pre-
senc¸a de magne´sio e a existeˆncia de calcificac¸a˜o de um determinado tipo em
um solo. Para isso, ele coletou uma amostra de solo com 5 observac¸o˜es e an-
otou a quantidade de magne´sio encontrada (X) e o correspondente nu´mero
de calcificac¸o˜es (Y).
Fac¸a o gra´fico de dispersa˜o para as varia´veis e calcule o coeficiente de
correlac¸a˜o. Qual e´ a conclusa˜o do geo´logo?
4 PROBABILIDADE 43
4 Probabilidade
Ate´ agora, analisamos um conjunto de dados atrave´s de te´cnicas gra´ficas
e medidas de posic¸a˜o ou dispersa˜o.
A distribuic¸a˜o de frequeˆncias foi um instrumento importante para avaliar-
mos o comportamento da varia´vel que estudamos, seus valores e suas variac¸o˜es
observadas na amostra.
As frequeˆncias relativas estudadas ate´ enta˜o, sa˜o estimativas das proba-
bilidades de ocorreˆncia dos valores da varia´vel de interesse.
Fazendo suposic¸o˜es adequadas e sem observarmos amostras, podemos
criar um modelo teo´rico que reproduza a distribuic¸a˜o de frequeˆncias obser-
vadas na populac¸a˜o. Esses modelos sa˜o chamados modelos probabil´ısticos.
Uma outra interpretac¸a˜o para o conceito de probabilidade, um pouco
diferente da interpretac¸a˜o frequentista que estamos acostumados ate´ agora e´
a interpretac¸a˜o cla´ssica. Nesse caso, quando cada um dos resultados (eventos
elementares) tem igual chance de ocorrer definimos a probabilidade de um
evento A ocorrer como a raza˜o entre o nu´mero de resultados favora´veis ao
evento A e o nu´mero de resultados poss´ıveis.
4.1 Modelo probabil´ıstico
Um modelo probabil´ıstico e´ constitu´ıdo por:
1)- Um espac¸o amostral Ω que consiste em todos os resultados poss´ıveis
para o experimento.
Ω = {w1, w2, w3, ..., wn, ...}
O espac¸o amostral pode ser finito ou infinito. Qualquer subconjunto de
Ω e´ denominado evento. O evento wi e´ chamado evento elementar.
2)- Uma probabilidade P(.), definida para cada evento elementar wi em
Ω, de tal forma que seja poss´ıvel encontrar a probabilidade P(A) para qual-
quer evento A em Ω.
Exemplo 1: Modelo probabil´ıstico para o lanc¸amento de um dado.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
onde P (wi) =
1
6
, para todo wi ∈ Ω.
Para o evento A: observar face ı´mpar, temos A={1, 3, 5} e P(A)=1/2.
Exemplo 2: Modelo probabil´ıstico para o lanc¸amento de um dado e uma
moeda.
4 PROBABILIDADE 44
Ω = {(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4), (c, 5), (c, 6), (k, 1), (k, 2), (k, 3), (k, 4), (k, 5), (k, 6)}
onde P (wi) =
1
12
, para todo wi ∈ Ω.
Para o evento B: observar face par e cara, temos B={(c, 2), (c, 4), (c, 6)}
e P(B)=1/4.
Axiomas de probabilidade
A func¸a˜o de probabilidade do modelo probabil´ıstico deve satisfazer:
• (1) P (Ω) = 1
• (2) 0 ≤ P (A) ≤ 1, para todo evento A ∈ Ω.
• (3) P (E1 ∪ E2) = P (E1) + P (E2) para E1, E2 ∈ Ω, eventos disjuntos,
isto e´ E1 ∩ E2 = ∅.
A partir dos axiomas anteriores podemos definir algumas propriedades
para a func¸a˜o de probabilidade:
• (1) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B), para todo A,B ∈ Ω.
Dem:
P (A ∪B) = P (A−B) + P (A ∩B) + P (B − A)
= P (A)− P (A ∩B) + P (A ∩B) + P (B)− P (A ∩B)
= P (A) + P (B)− P (A ∩B)
• (2) P (Ac) = 1− P (A).
Dem:
P (Ω) = 1 =⇒ P (A ∪ Ac) = 1 =⇒ P (A) + P (Ac) = 1.
• (3) P (∅) = 0.
Dem : Em sala.
• (4) P (⋃ni=1 Ei) = ∑ni=1 P (Ei) . Para toda colec¸a˜o de eventos {E1, E2, ..., En}
disjuntos dois a dois isto e´ Ei ∩ Ej = ∅, para todo i 6= j.
Obs: Os eventos satisfazem a`s mesmas propriedades para as operac¸o˜es
entre conjuntos:
4 PROBABILIDADE 45
• a) (A ∩B)c = Ac ∪Bc
• b) (A ∪B)c = Ac ∩Bc
• c) A ∩ ∅ = ∅
• d) A ∪ Ω = A
• e) Ωc = ∅
• f) A ∩ Ac = ∅
• g) A ∪ Ac = Ω
• h) A ∪ ∅ = A, A ∩ Ω = Ω
Exemplo 3: Ao se retirar uma carta do baralho (com 52 cartas) qual e´
a probabilidade de se obter uma carta vermelha ou um a`s?
evento A: carta e´ a`s.
evento B: carta e´ vermelha.
P (A∪B) = P (B) +P (A)−P (A∩B) = 26/52 + 4/52− 2/52 = 28/52 =
7/13.
Exemplo 4: Lanc¸ando uma moeda e um dado, qual e´ a probabilidade
de na˜o se observar o nu´mero 1?
evento A: foi observada a face 1.
A = {(c, 1), (k, 1)}
queremos P (Ac) = 1− P (A) = 1− 2/12 = 5/6.
Exerc´ıcio: Suponha que entrevistamos 100 alunos e perguntamos em
quais mate´rias eles estavam inscritos. Obtivemos os seguintes valores:
47 alunos inscritos em matema´tica.
31 alunos inscritos em f´ısica.
11 alunos inscritos em estat´ıstica.
20 alunos inscritos em matema´tica e f´ısica.
7 alunos inscritos em matema´tica e estat´ıstica.
6 alunos inscritos em f´ısica e estat´ıstica.
5 alunos inscritos em matema´tica, f´ısica e estat´ıstica.
a) Selecionando um aluno ao acaso, qual e´ a probabilidade de ele estar
inscrito somente em matema´tica?
b) Qual e´ a probabilidade de ele estar inscrito em matema´tica ou f´ısica?
c) Qual e´ a probabilidade de ele estar inscrito em pelo menos 1 mate´ria?
4 PROBABILIDADE 46
Me´todos de contagem
Quando estamos trabalhando com um espac¸o amostral finito e equiprova´vel
Ω = {w1, w2, w3, ..., wn} isto e´, quando todos os eventos elementares wi teˆm
igual probabilidade 1/n de ocorrer, podemos utilizar te´cnicas de ana´lise com-
binato´ria para calcular de uma maneira mais simples a probabilidade de um
evento A ocorrer.
P (A) = ]A
]Ω
onde ]A e´ o nu´mero de resultados favora´veis e ]Ω e´ o nu´mero de resulta-
dos poss´ıveis.
Exemplo 5: Suponha que num lote com 20 pec¸as existam 5 defeituosas.
Escolhendo 4 pec¸as do lote, qual e´ a probabilidade de 2 pec¸as serem defeitu-
osas e 2 perfeitas?
A: Escolher 2 pec¸as defeituosas e 2 perfeitas.
]A = C52 .C
15
2 (nu´mero de casos favora´veis).
]Ω = C204 (nu´mero de casos poss´ıveis).
Logo, P (A) = ]A
]Ω
=
C52 .C
15
2
C204
=
5.4
2!
15.14
2!
20.19.18.17
4!
= 0, 2167
Exerc´ıcio: Lanc¸ando-se 2 dados, qual e´ a probabilidade de todos os
nu´meros aparecerem 2 vezes?
Exerc´ıcio: Em um grupo de 5 me´dicos e 5 enfermeiras, devemos formar
uma equipe com 2 me´dicos e 2 enfermeiras. Qual e´ a probabilidade do me´dico
Jose´ e a enfermeira Maria fazerem parte da mesma equipe?
Exerc´ıcio: Um baralho conte´m 52 cartas das quais 4 sa˜o ases. Se 4
jogadores recebem 13 cartas cada um qual e´ a probabilidade de cada jogador
receber 1 a`s?
4.2 Probabilidade condicional e independeˆncia
Definic¸a˜o : Para dois eventos A e B ∈ Ω com P (B) > 0, a probabilidade
condicional de A dado B e´ dada por:
4 PROBABILIDADE 47
P (A|B) = P (A∩B)
P (B)
Exemplo 6: Dois dados sa˜o lanc¸ados e foi observada a soma das faces
ı´mpar. Qual e´ a probabilidade de que a soma seja menor do que 8?
B: Sair soma ı´mpar.
B = {3, 5, 7, 9, 11}
A: Soma menor que 8.
A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
P (A|B) = P (A∩B)
P (B)
A ∩B = {3, 5, 7} =

Soma 3− (1, 2); (2, 1)
Soma 5− (1, 4); (4, 1); (2, 3); (3, 2)
Soma 7− (1, 6); (6, 1); (2, 5); (5, 2); (3, 4); (4, 3)
enta˜o P (A ∩B) = 12
36
.
B = {3, 5, 7, 9, 11} =

Soma 3− (1, 2); (2, 1)
Soma 5−
(1, 4); (4, 1); (2, 3); (3, 2)
Soma 7− (1, 6); (6, 1); (2, 5); (5, 2); (3, 4); (4, 3)
Soma 9− (3, 6); (6, 3); (4, 5); (5, 4)
Soma 11− (5, 6); (6, 5)
enta˜o P (B) = 18
36
Logo P (A|B) = 123618
36
= 12
18
= 2
3
Regra da multiplicac¸a˜o
Dada a definic¸a˜o de probabilidade condicional, podemos escrever:
P (A ∩B) = P (A|B)P (B)
Essa regra em geral, vale para mais eventos:
P (A ∩B ∩ C) = P (C|A ∩B)P (B|A)P (A)
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ... ∩ An) = P (An|A1 ∩ ... ∩ An−1)P (An−1|A1 ∩ ... ∩
An−2)...P (A1)
Exemplo 7:
Em um lote com 100 laˆmpadas 20 sa˜o defeituosas. Selecionando 2 laˆmpadas
ao acaso e sem reposic¸a˜o, qual e´ a probabilidade:
a) De serem ambas defeituosas?
4 PROBABILIDADE 48
b) Da segunda laˆmpada ser defeituosa?
a) Sejam os eventos A: 1o pec¸a e´ defeituosa. B: 2o pec¸a e´ defeituosa.
P (A ∩B) = P (B|A).P (A) = 20
100
.19
99
= 38
99
b) P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ Ac) = P (B|A)P (A) + P (B|Ac)P (Ac) =
20
100
.19
99
+ 20
99
. 80
100
= 0, 2
c) Selecionando treˆs laˆmpadas ao acaso, qual e´ a probabilidade de reti-
rarmos a 1o laˆmpada defeituosa, a 2o e a 3o perfeitas?
Para o evento C: 3o pec¸a e´ defeituosa.
Queremos P (A ∩Bc ∩ Cc) = P (Cc|A ∩Bc)P (Bc|A)P (A) = 79
98
80
99
20
100
Definic¸a˜o (Partic¸a˜o):
Dizemos que os eventos A1, A2, A3, ..., An formam uma partic¸a˜o para Ω
se:
• (i) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An
• (ii) Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j, i, j ∈ {1, 2, ..., n}
Teorema: Lei da probabilidade total
Seja B um evento e {A1, A2, A3, ..., An} uma partic¸a˜o do espac¸o amostral
Ω, enta˜o:
P (B) = Σni=1P (B|Ai)P (Ai)
Demonstrac¸a˜o:
P (B) = P (B ∩ Ω) = P (B ∩ (A1, A2, A3, ..., An))
= P ((B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ ... ∪ (B ∩ An))
= P (B ∩ A1) + P (B ∩ A2) + ...+ P (B ∩ An)
= P (B|A1)P (A1) + P (B|A2)P (A2) + ...+ P (B|An)P (An)
=
n∑
i=1
P (B|Ai)P (Ai)
4 PROBABILIDADE 49
Podemos verificar na figura abaixo como interpretar a lei da probabilidade
total.
Quando o evento B pode ser formado pela unia˜o de va´rias partes sem in-
tersec¸a˜o (eventos disjuntos) e, sabemos calcular a probabilidade de cada uma
dessas partes, podemos calcular a probabilidade total do evento B ocorrer
atrave´s da soma das probabilidades de todas as partes que unidas formam o
evento B.
4 PROBABILIDADE 50
Exemplo 8:
Em uma fa´brica, duas ma´quinas A e B operam em dias alternados. A
ma´quina A opera em 20 por cento dos dias e a probabilidade de produzir um
item defeituoso e´ 0,3, ja´ para a ma´quina B essa probabilidade e´ de 0,1. Se-
lecionando dois equipamentos produzidos em um dia, qual e´ a probabilidade
de serem ambos defeituosos?
Pela lei da probabilidade total temos:
C: Selecionar 2 equipamentos defeituosos
A : Ma´quina A ativa.
B : Ma´quina B ativa.
P (C) = P (C|A)P (A)+P (C|B)P (B) = (0, 3)2.0, 2+(0, 1)2.0, 8= 0,018+0,008=0,026.
Independeˆncia
Dizemos que dois eventos A e B ∈ Ω, sa˜o independentes se
P (A ∩B) = P (A).P (B)
Exemplo 9:
Uma urna conte´m 2 bolas brancas e 3 vermelhas. Suponha que sejam
retiradas 2 bolas sem reposic¸a˜o.
Nesse caso, para o evento A: retirar uma bola branca na segunda extrac¸a˜o
temos
A = {(v, b), (b, b)}
e para o evento C: retirar uma bola branca na 1o extrac¸a˜o temos
A = {(b, v), (b, b)}
Os eventos A e C sa˜o independentes? Para responder, vamos descrever o
espac¸o amostral e as probabilidades.
Resultados Probabilidade
(b,b) 2/5.1/4=2/20
(b,v) 2/5.3/4=6/20
(v,b) 3/5.2/4=6/20
(v,v) 3/5.2/4=6/20
enta˜o P (A) = P (b, b) +P (v, b) = 2/20 + 6/20 = 2/5, P (C) = P (b, b) +
P (b, v) = 2/20+6/20 = 2/5 e P (A∩C) = P (b, b) = 2/20 6= P (A).P (C) =
4/25.
4 PROBABILIDADE 51
Logo os eventos A e C na˜o sa˜o independentes.
Se tive´ssemos retirado duas bolas com reposic¸a˜o ter´ıamos
Resultados Probabilidade
(b,b) 2/5.2/5=4/25
(b,v) 2/5.3/5=6/25
(v,b) 3/5.2/5=6/25
(v,v) 3/5.3/5=6/25
P (C) = P (b, b) + P (b, v) = 4/25 + 6/25 = 10/25, P (A) = P (b, b) +
P (v, b) = 4/25 + 6/25 = 10/25
enta˜o
P (A ∩ C) = P (b, b) = 4/25 = P (A).P (C) = 10/25.2/5 = 4/25
Logo, nesse caso os eventos A e C sa˜o independentes.
Exemplo 10:
Lanc¸ando um dado e uma moeda, os eventos: obter cara e obter um
nu´mero menor que 3 sa˜o independentes?
A: obter cara.
B: obter um nu´mero menor que 3.
A={(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4), (c, 5), (c, 6)}
B={(c, 1), (k, 1), (c, 2), (k, 2)}
P (A ∩B) = 2/12, P (A) = 6/12 e P (B) = 4/12
Como P (A ∩ B) = 2/12 = P (A).P (B) = 1/6, temos que os eventos A e
B sa˜o independentes.
Obs: Se os eventos A e B sa˜o independentes enta˜o Ac e Bc tambe´m sa˜o
independentes.
P (Ac ∩Bc) = P ((A ∪B)c) = 1− P (A ∪B)
= 1− [P (A) + P (B)− P (A ∩B)]
= 1− P (A)− P (B) + P (A)P (B)
= 1− P (A)− P (B)[1− P (A)]
= [1− P (A)][1− P (B)]
= P (Ac)P (Bc)
Exemplo 11:
4 PROBABILIDADE 52
Se uma ma´quina A e uma ma´quina B operam de maneira independente
e a probabilidade da ma´quina A falhar e´ de 0,4 e para a ma´quina B essa
probabilidade e´ de 0,1. Qual e´ a probabilidade de ambas funcionarem corre-
tamente?
resp: 0,6.0,9=0,54.
4.3 Teorema de Bayes
Exemplo 12:
Se temos duas urnas, a urna 1 com 2 bolas brancas e 1 vermelha e a urna
2 com 1 bola branca e 1 vermelha. Se selecionamos uma bola vermelha, qual
e´ a probabilidade de ela ter vindo da urna 1?
C: A urna 1 e´ selecionada.
V: Uma bola vermelha e´ selecionada.
Queremos saber P (C|V ), mas sabemos calcular P (V |C). Como podemos
usar essa informac¸a˜o?
Podemos usar o fato de P (C|V ) = P (C∩V )
P (V )
= P (V |C)P (C)
P (V )
e ale´m disso, pelo
teorema da probabilidade total sabemos que
P (V ) = P (V |C)P (C) + P (V |Cc)P (Cc)
enta˜o P (C|V ) = P (V |C)P (C)
P (V |C)P (C)+P (V |Cc)P (Cc) =
2
3
1
2
2
3
1
2
+ 1
2
1
2
= 4
7
.
Podemos generalizar a fo´rmula acima da seguinte maneira:
Para {A1, A2, ..., An} uma partic¸a˜o de Ω, considere B um evento qualquer
em Ω. Suponhamos conhecidas P (B|Ai) e P (Ai) enta˜o temos:
Teorema de Bayes
A probabilidade de ocorreˆncia do evento Ai dada a ocorreˆncia do evento
B e´:
P (Ai|B) = P (B|Ai)P (Ai)∑n
i=1 P (B|Ai)P (Ai)
4 PROBABILIDADE 53
Podemos pensar em {A1, A2, ..., An} como um conjunto de hipo´teses.
Dado que B ocorreu, a probabilidade inicial de Ai, P (Ai) e´ modificada para
se obter P (Ai|B).
Chamamos P (Ai)- Probabilidade a priori.
P (Ai|B)- Probabilidade a posteriori.
Para se obter P (Ai|B) multiplicamos P (Ai) por:
P (B|Ai)∑n
i=1 P (B|Ai)P (Ai)
Exemplo 12:
Supondo que um teste para uma certa doenc¸a pode resultar em positivo
ou negativo e que a probabilidade do teste dar positivo, dado que a pessoa
esta´ doente e´ 0,9 e, de dar negativo dado que a pessoa na˜o esta´ doente e´ 0,9.
Sabendo ainda que a incideˆncia da doenc¸a na populac¸a˜o e´ de 1/100, se um
individuo desta populac¸a˜o faz o teste e resulta positivo, qual e´ a probabili-
dade de realmente ele estar doente?
A: teste resultou positivo
B: individuo esta´ doente
P (B|A) = P (A|B)P (B)
P (A|B)P (B)+P (A|Bc)P (Bc) =
0,9.0,01
0,9.0,01+0,1.0,99
= 0, 08
Antes de fazer o teste o indiv´ıduo tinha uma chance de 1 por cento de ter
a doenc¸a, como o teste deu positivo, temos um aumento na probabilidade,
que passou para 8 por cento.
4 PROBABILIDADE 54
4.4 Exerc´ıcios - lista 05
Probabilidade e suas propriedades
Questa˜o 1 Defina um modelo probabil´ıstico para os experimentos abaixo
(espac¸o amostral e probabilidades para cada elemento do espac¸o amostral):
• a) Um dado e´ lanc¸ado duas vezes e a ocorreˆncia de face par ou ı´mpar
e´ observada.
• b) Dois dados sa˜o lanc¸ados simultaneamente e a soma e´ observada.
• c) Uma urna conte´m 10 bolas azuis e 10 vermelhas, 4 bolas sa˜o sele-
cionadas ao acaso e com reposic¸a˜o e as cores sa˜o anotadas.
• d) Idem ao anterior mas sem reposic¸a˜o.
Questa˜o 2
Para o exerc´ıcio anterior, deˆ a probabilidade para
os seguintes eventos:
• a) Observar pelo menos 1 face ı´mpar em 1a).
• b) Observar soma mu´ltipla de 3 em 1b).
• c) Observar primeira e segunda bolas azuis e terceira e quartas vermel-
has em 1c).
• d) Observar duas bolas azuis e duas vermelhas em 1c).
• e) Observar primeira e segunda bolas azuis e terceira e quata vermelhas
em 1d).
• f) Observar duas bolas azuis e duas vermelhas em 1d).
Questa˜o 3
Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil sa˜o considerados
esportistas. Temos ainda que 500 alunos sa˜o do curso de biologia diurno,
700 da biologia noturno, 100 sa˜o esportistas e da biologia diurno e 200 sa˜o
esportistas e da biologia noturno. Um aluno e´ escolhido ao acaso e pergunta-
se a probabilidade de:
• a) Ser esportista.
• b) Ser esportista e aluno da biologia noturno.
• c) Na˜o ser da biologia.
4 PROBABILIDADE 55
• d) Ser esportista ou aluno da biologia.
• e) Na˜o ser esportista nem aluno da biologia.
Questa˜o 4
Sejam A e B dois eventos em um dado espac¸o amostral, tais que P(A)=0,2,
P(B)=p, P(AUB)=0,5 e P(A
⋂
B)=0,1. Determine o valor de p.
Questa˜o 5
Uma fa´brica produz molas de tamanhos 1,2,3,4,5 e 6 cm. Sabendo que
a probabilidade de a mola resistir a uma forc¸a empregada e´ proporcional ao
comprimento e a constante de proporcionalidade e´ a mesma para cada mola,
qual e´ a probabilidade da mola de 2cm resistir a` forc¸a?
Questa˜o 6
Uma moeda e´ viciada de modo que a probabilidade de sair cara e´ 4 vezes
a probabilidade de sair coroa. Para 2 lanc¸amentos dessa moeda determinar:
• a) O espac¸o amostral.
• b) A probabilidade de sair somente uma cara.
• c) A probabilidade de sair pelo menos uma cara.
• d) A probabilidade de dois resultados iguais.
Questa˜o 7
Sorteamos ao acaso, com reposic¸a˜o, 2 nu´meros dentre 4 dos quais dois
sa˜o positivos, dois sa˜o negativos e nenhum deles e´ zero. Determine a proba-
bilidade de:
• a) Um deles ser negativo.
• b) O quociente ser negativo.
• c) Os dois nu´meros terem o mesmo sinal.
Questa˜o 8
Pec¸as produzidas por uma ma´quina sa˜o classificadas como defeituosas, re-
cupera´veis ou perfeitas com probabilidade de 0.1,0.2 e 0.7, respectivamente.
De um grande lote dessas pec¸as foram sorteamdas duas delas e sua classi-
ficac¸a˜o e´ observada. Determine a probabilidade de:
• a) Duas serem defeituosas.
• b) Pelo menos uma ser perfeita.
4 PROBABILIDADE 56
• c) Uma ser recupera´vel e uma ser perfeita.
Probabilidade condicional
Questa˜o 9
Dois arma´rios guardam as bolas de voleibol e basquete. O arma´rio 1 tem
3 bolas de voleibol e 1 de basquete, enquanto o arma´rio 2 tem 3 de voleibol
e 2 de basquete. Escolhendo-se ao acasoum arma´rio e, em seguida, uma de
suas bolas, calcule a probabilidade dela ser:
• a) De voleibol, sabendo-se que o arma´rio 1 foi escolhido.
• b) De basquete, sabendo-se que o arma´rio 2 foi escolhido.
• c) De basquete.
Questa˜o 10
Duas caixas conte´m la´pis e canetas, a primeira conte´m 60 la´pis e 40
canetas, a segunda conte´m 10 la´pis e 20 canetas. Suponha que uma caixa e´
selecionada e um objeto e´ escolhido, qual e´ a probabilidade de escolher uma
caneta?
Questa˜o 11
Treˆs diferentes ma´quinas sa˜o utilizadas para produzir uma pec¸a. Sabendo
que a ma´quina 1 produz 20 por cento das pec¸as das quais 1 por cento sa˜o
defeituosas. A ma´quina 2 produz 30 por cento das pec¸as das quais 2 por cento
sa˜o defeituosas e, a ma´quina 3 produz 50 por cento das pec¸as das quais 3 por
cento sa˜o defeituosas. Selecionando 1 item ao acaso, qual e´ a probabilidade
de ele ser defeituoso? Se selecionarmos 2 itens, qual e´ a probabilidade dos
dois serem defeituosos?
Questa˜o 12
Dois dados equilibrados sa˜o lanc¸ados, calcule a probabilidade de:
• a) Obter o par (3,4), sabendo-se que ocorreu face ı´mpar no primeiro
dado.
• b) Ocorrer face ı´mpar no segundo dado sabendo-se que ocorreu face
par no primeiro dado.
Questa˜o 13
Uma companhia que fura poc¸os artesianos trabalha em uma regia˜o escol-
hendo aleto´riamente o ponto de furo e na˜o encontrando a´gua sorteia outro
local para a perfurac¸a˜o e assim por diante ate´ no ma´ximo 3 tentativas. Ad-
mitindo que a probabilidade de encontrar a´gua em uma perfurac¸a˜o e´ 0.7,
calcule a probabilidade de:
4 PROBABILIDADE 57
• a) Encontrar a´gua no segundo furo.
• b) Encontrar a´gua no terceiro furo.
• c) Encontrar a´gua.
Questa˜o 14
Suponha que existam duas pastas de dente no mercado: A e B. Suponha
que para cada escolha depois da primeira, a probabilidade que ele escolha a
mesma pasta e´ 1/3 e que ele mude de pasta e´ 2/3. Se e´ igualmente prova´vel
ele escolher a pasta 1 ou 2 na primeira escolha, qual e´ a probabilidade que a
primeira e a segunda sejam do tipo A e as terceiras e quarta do tipo B?
Independencia entre eventos
Questa˜o 15
Dois estudantes A e B esa˜o matriculados em um certo curso. Se o estu-
dante A frequenta 80 por cento das aulas, e o estudante B 60 por cento e as
auseˆncias sa˜o independentes, qual e´ a probabilidade de:
• a) Ao menos 1 dos estudantes esteja presente na aula um certo dia?
• b) Dado que ao menos 1 dos estudantes esteja presente na aula um
certo dia qual e´ a probabilidade que A esteja presente nesse dia?
Questa˜o 16
Suponha que a probabilidade de uma part´ıcula emitida por um material
radioativo atingir um campo e´ 0,01. Se 10 part´ıculas sa˜o emitidas qual e´ a
probabilidade de apenas 1 delas atingir o campo?
Questa˜o 17
Dois garotos lanc¸am uma bola de basquete. Suponha que a probabilidade
do menino A acertar a cesta e´ 1/3 e para o menino B essa probabilidade e´
1/4. Suponha tambe´m que o menino A inicia os lanc¸amentos e os dois va˜o se
alternando. Qual e´ a probabilidade de o primeiro acerto ocorres no terceiro
lanc¸amento do menino A?
Questa˜o 18
Se treˆs dados sa˜o lanc¸ados, qual e´ a probabilidade que os 3 nu´meros sejam
os mesmos?
Teorema de Bayes
Questa˜o 19
Numa certa regia˜o, a probabilidade de chuva em um dia de primavera e´
0,1. Um meteorologista acerta sua previsa˜o em 80 por cento dos dias que
chove e 90 por cento dos dias em que na˜o chove.
• a) Qual e´ a probabilidade de um meteorologista acertar sua previsa˜o?
4 PROBABILIDADE 58
• b) Se houver acerto na previsa˜o, qual e´ a probabilidade de ter sido um
dia de chuva?
Questa˜o 20
Uma caixa conte´m 3 cartas, uma e´ vermelha em ambos os lados, outra
e´ verde em ambos os lados e, a terceira e´ verde de um lado e vermelha de
outro. Uma carta e´ selecionada e um de seus lados e´ observado. Se esse lado
e´ verde, qual e´ a probabilidade que o outro lado seja tambe´m verde?
Questa˜o 21
Acredita-se que numa certa populac¸a˜o 20 por cento de seus habitantes sa˜o
considerados ale´rgicos. Sendo ale´rgico, a probabilidade de sofrer um tipo de
reac¸a˜o a um certo antibio´tico e´ 0,5. Para os na˜o ale´rgicos essa probabilidade
e´ 0,05. Uma pessoa e´ dessa populac¸a˜o teve reac¸a˜o ao ingerir o antibio´tico.
• a) Qual e´ a probabilidade de ele ser do grupo ale´rgico?
• b) E do grupo na˜o ale´rgico?
Questa˜o 22
Uma caixa conte´m 2 moedas, uma tem cara em ambos os lados e a outra
e´ honesta. Uma moeda e´ selecionada e lanc¸ada, se obtivemos cara qual e´ a
probabilidade que a moeda seja honesta?
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 59
5 Varia´veis aleato´rias discretas
Ate´ agora, estudamos alguns modelos probabil´ısticos por meio de espac¸os
amostrais bem simples e obtivemos algumas propriedades da func¸a˜o de prob-
abilidade.
Para situac¸o˜es mais gerais, precisamos de modelos que possam representar
os tipos de varia´veis que estudamos, qualitativas e quantitativas.
Para as varia´veis qualitativas as noc¸o˜es de probabilidade associadas a
eventos definidas anteriormente adaptam-se muito bem. Ja´ para as varia´veis
quantitativas discretas e cont´ınuas precisamos de alguns artif´ıcios matema´ticos.
Os modelos probabil´ısticos
para as varia´veis quantitativas sa˜o muito im-
portantes para infereˆncia estat´ıstica e a partir deles podemos extrair con-
cluso˜es sobre a populac¸a˜o.
Varia´veis aleato´rias
Uma quantidade X associada a cada poss´ıvel resultado do espac¸o amostral
e´ denominada varia´vel aleato´ria discreta se assume valores num conjunto
enumera´vel (finito ou infinito) com certa probabilidade. Por outro lado, sera´
denominada varia´vel aleato´ria cont´ınua se o conjunto de valores assumido e´
qualquer intervalo de nu´meros reais, que sa˜o conjuntos na˜o enumera´veis.
Como ja´ vimos anteriormente, existem varia´veis que sa˜o naturalmente
definidas como discretas ou cont´ınuas. Por exemplo, o nu´mero de filhos e´
discreta e o tempo de reac¸a˜o a um certo medicamento e´ cont´ınua.
De forma geral, as definic¸o˜es de varia´veis quantitativas discretas e cont´ınuas
feitas anteriormente no capitulo 1 permanecem, e a palavra aleato´ria e´ intro-
duzida para indicar que a cada valor ou intervalo poss´ıvel atribu´ımos uma
probabilidade de ocorreˆncia.
No caso discreto, a atribuic¸a˜o e´ similar a` tabela de frequeˆncia relativa. Ja´
no caso cont´ınuo vamos utilizar uma generalizac¸a˜o do conceito de histograma.
Varia´veis aleato´rias discretas
Seja X uma varia´vel aleato´ria discreta e x1, x2, x3, ... seus valores poss´ıveis.
A func¸a˜o que atribui a cada valor poss´ıvel de X uma probabilidade e´ chamada
func¸a˜o de probabilidade.
5.1 Func¸a˜o de Probabilidade
Para uma varia´vel aleato´ria discreta X assumindo valores x1, x2, x3, ... defin-
imos a func¸a˜o de probabilidade de X por:
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 60
P (X = xi) = p(xi) para todo i ∈ {1, 2, 3, ...}
que satisfaz
{
(i) 0 ≤ p(xi) ≤ 1
(ii)
∑∞
i=0 p(xi) = 1
Na maioria dos casos que estudaremos, X tera´ apenas um nu´mero finito
de valores poss´ıveis e assim, a verificac¸a˜o de que a soma das probabilidades
e´ igual a 1 e´ feita atrave´s de uma soma finita.
As varia´veis discretas sa˜o completamente caracterizadas pelas func¸o˜es de
probabilidade.
Exemplo 1:
Uma assistente social constatou, analisando as famı´lias de um bairro, que
20 por cento na˜o tinham filhos, 30 por cento tinham 1 filho, 35 por cento
dois filhos a os restantes se dividiam igualmente entre treˆs, quatro e cinco fil-
hos. Construa uma func¸a˜o de probabilidade para a varia´vel nu´mero de filhos.
Como X e´ uma varia´vel aleato´ria discreta e os poss´ıveis valores para
X sa˜o 0,1,2,3,4,e 5 e P(X=0)=0.2, P(X=1)=0.3, P(X=2)=0.35 temos pela
propriedade da func¸a˜o de probabilidade:
p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)=1 enta˜o
0.2+0.3+0.35+p(3)+p(4)+p(5)=1 logo
p(3)+p(4)+p(5)=0.15 como p(3)=p(4)=p(5)
temos p(3)=p(4)=p(5)=0.05.
Enta˜o a func¸a˜o de probabilidade para X e´:
Exemplo 2:
Considere o experimento em que cada vez que uma moeda e´ lanc¸ada ob-
servamos se e´ cara ou coroa. Construa a func¸a˜o de probabilidade para a
varia´vel nu´mero de caras obtido em dois lanc¸amentos.
Se denotarmos por X: o nu´mero de caras em dois lanc¸amentos. X e´ uma
varia´vel aleato´ria discreta com poss´ıveis valores 0 ,1 e 2.
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 61
Para determinar a probabilidade de cada um dos valores, assumimos que
a moeda e´ honesta isto e´, p(cara)=p(coroa)=1/2. Ale´m disso assumimos
tmbe´m que os lanc¸amentos sa˜o independentes isto e´ a ocorrencia de uma
face no 1o lanc¸amento na˜o interfere no 2o lanc¸amento.
Como Ω = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)} e cada elemento de Ω tem proba-
bilidade 1/4, temos:
P(X=0)=P(k,k)=1/4
P(X=1)=P(c,k)+P(k,c)=2/4=1/2
P(X=2)=P(c,c)=1/4
A func¸a˜o de probabilidade e´ dada por:
Exemplo 3:
Um dado equilibrado e´ lanc¸ado. Construa a func¸a˜o de probabilidade para
a varia´vel face observada.
Para X: face observada em um lanc¸amento de um dado, temos:
5.2 Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
Em va´rias situac¸o˜es e´ u´til calcular a probabilidade acumulada ate´ um certo
valor. Para isso, usamos a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de probabili-
dade.
Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada para uma varia´vel discreta X e´ definida
para qualquer nu´mero real x pela seguinte func¸a˜o:
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 62
F (x) = P (X ≤ x)
Exemplo 4:
Lanc¸amento de duas moedas, observando-se o nu´mero de caras, construa
F(x) e o gra´fico de F(x).
Como vimos anteriormente, X e´ uma varia´vel aleato´ria discreta com
func¸a˜o de probabilidade dada por:
e o gra´fico para essa func¸a˜o de probabilidade
enta˜o a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada e´ dada por:
F (x) =

0, x < 0
P (X ≤ 0) = 1/4, 0 ≤ x < 1
P (X ≤ 1) = 3/4, 1 ≤ x < 2
P (X ≤ 2) = 1, x ≥ 2
e o gra´fico para essa func¸a˜o de distribuic¸a˜o
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 63
Exemplo 5:
Para o lanc¸amento de um dado, definimos a varia´vel X: face observada
no lanc¸amento. Para essa varia´vel, vimos que a func¸a˜o de probabilidade e´
dada por:
e o gra´fico
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o para X
F (x) =

0, x < 1
1/6, 1 ≤ x < 2
2/6, 2 ≤ x < 3
3/6, 3 ≤ x < 4
4/6, 4 ≤ x < 5
5/6, 5 ≤ x < 6
1, x ≥ 6
e o gra´fico
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 64
Exemplo 6:
Uma varia´vel aleato´ria X tem a seguinte func¸a˜o de distribuic¸a˜o:
F (x) =

0, x < 10
0, 2, 10 ≤ x < 12
0, 5, 12 ≤ x < 13
0, 9, 13 ≤ x < 25
1, x ≥ 25
Determine:
a) A func¸a˜o de probilidade de x.
b)P (X ≥ 12)
c)P (X < 12)
d)P (12 ≤ X ≥ 20)
e) P (X ≥ 18)
a)
b)P (X ≤ 12) = 0, 5
c)P (X < 12) = 0, 2
d)P (12 ≤ X ≥ 20) = 0, 7
e) P (X ≥ 18) = 0, 1
5.3 Valor esperado e variaˆncia
O valor me´dio de uma varia´vel aleato´ria discreta e´ tambe´m denominado
esperanc¸a ou valor esperado e e´ definido por:
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 65
Definic¸a˜o: Dada X uma varia´vel aleato´ria discreta assumindo os val-
ores x1, x2, ..., xn, chamamos de valor me´dio de X ou esperanc¸a matema´tica
o valor:
E(X) =
∑n
i=1 xip(xi)
Essa fo´rmula para a me´dia na˜o e´ nova para no´s. Anteriormente, cal-
cula´vamos a me´dia atrave´s da fo´rmula E(X) =
∑n
i=1 xifi, com a frequeˆncia
relativa no lugar da probabilidade. Podemos definir enta˜o maneiras semel-
hantes para calcular variaˆncia e desvio padra˜o para as varia´veis discretas.
Definic¸a˜o: Dada X uma varia´vel aleato´ria discreta assumindo os valores
x1, x2, ..., xn, chamamos variaˆncia de X o valor:
var(X) =
∑n
i=1(xi − E(X))2p(xi)
Como definimos anteriormente, o desvio padra˜o e´ dado por:
dp(X) =
√
var(X).
Exemplo 7:
Para X a varia´vel aleato´ria que descreve o nu´mero de caras obtidas em
dois lanc¸amentos temos:
E(X) =
∑3
i=1 xip(xi) = 1.1/2 + 0.1/4 + 2.1/4 = 1
var(X) =
∑3
i=1(xi − E(X))2p(xi) = (1 − 1)2.1/2 + (0 −
1)2.1/4 + (2− 1)2.1/4 = 0 + 1/4 + 1/4 = 1/2
dp(X) =
√
1/2
Exemplo 8:
Para X a varia´vel aleato´ria que descreve a face obtida em um lanc¸amento
de um dado, vamos calcular a E(X) e a var(X).
E(X) =
∑6
i=1 xip(xi) = 1.1/6 + 2.1/6 + 3.1/6 + 4.1/6 +
5.1/6 + 6.1/6 = 7/2
var(X) =
∑6
i=1(xi−E(X))2p(xi) = (−5/2)2.1/6+(−3/2)2.1/6+
(−1/2)2.1/6 + (5/2)2.1/6 + (3/2)2.1/6 + (1/2)2.1/6 = 35/12
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 66
dp(X) =
√
35/12
Propriedades da esperanc¸a e variaˆncia
1) E(aX) = aE(X)
2) E(X + c) = E(X) + c
3) var(aX) = a2var(X)
4) var(X + c) = var(X)
5) var(X) = E(X2)− [E(X)]2
Vale ressaltar que para uma varia´vel aleato´ria discreta X com func¸a˜o de
probabilidade p(xi), se quisermos a esperanc¸a da varia´vel Z = h(X) fazemos
E(Z) = E(h(x)) =
∑n
i=1 h(xi)p(xi).
Exemplo 9:
Para X a varia´vel aleato´ria que descreve a face obtida em um lanc¸amento
de um dado, poder´ıamos ter calculado a var(X) atrave´s da fo´rmula E(X2)−
[E(X)]2.
E(X2) = 1.1/6 + 4.1/6 + 9.1/6 + 16.1/6 + 25.1/6 + 36.1/6 = 7/2
Portanto E(X2)− [E(X)]2 = 91/6−
49/4 = 35/12.
Alguns tipos de varia´veis aparecem com mais frequeˆncia e por isso re-
querem um estudo mais aprofundado. Vamos ver agora os principais modelos
de varia´veis aleato´rias discretas.
Alguns modelos para varia´veis aleato´rias discretas
5.4 Modelo uniforme discreto
Seja X uma varia´vel aleato´ria discreta cujos poss´ıveis valores sa˜o represen-
tados por x1, x2, ..., xk. Dizemos que X segue o modelo uniforme discreto
com paraˆmetro k, se atribui a mesma probabilidade 1/k a cada um de seus
k valores. Isto e´, se sua func¸a˜o de probabilidade e´ dada por:
P (X = xi) =
1
k
para todo i=1,2,3,...,k.
Obs: No modelo uniforme a probabilidade esta´ uniformemente distribuida
entre os valores que a varia´vel assume.
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 67
Exemplo 10:
Uma rifa tem 10 bilhetes numerados de 1 a 10. Supondo que todos os
bilhetes teˆm iguais probabilidades de serem sorteados, definimos X: nu´mero
do bilhete sorteado. Um modelo para X e´ o modelo uniforme com k=10. A
func¸a˜o de probabilidade se X e´:
Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de uma varia´vel aleato´ria
uniforme
Como a func¸a˜o de probabilidade e´ dada por P (xi) = 1/k para todo
i=1,2,...,k temos que a func¸a˜o de distribuic¸a˜o e´ dada por:
F (x) =
∑
xi≤x 1/k
Esperanc¸a e variaˆncia
Se X segue o modelo uniforme com paraˆmetro k enta˜o:
E(X) =
∑k
i=1 xi.1/k
var(X) = E(X2)−[E(X)]2 = (∑ki=1 x2i ).1/k−(∑ki=1 xi)2.1/k2
Exemplo 11:
Usando o exemplo anterior temos a seguinte func¸a˜o de distribuic¸a˜o:
F (x) =
∑
x≤k 1/10 =

0, x < 1
1/10, 1 ≤ x < 2
2/10, 2 ≤ x < 3
3/10, 3 ≤ x < 4
4/10, 4 ≤ x < 5
.
.
.
1, x ≥ 10
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 68
A esperanc¸a e variaˆncia de X sa˜o dadas por:
E(X) =
∑10
i=1 xi.1/10 = 55/10 = 5, 5
var(X) = E(X2) − [E(X)]2 = (∑10i=1 x2i ).1/10 − (5, 5)2 =
38, 5− 30, 25 = 8, 25
5.5 Modelo Bernoulli
Quando em um experimento temos resultados do tipo sucesso ou fracasso,
defeituoso ou na˜o defeituoso, resultados que chamamos de dicotoˆmicos, isto
e´, quando estamos observando se uma determinada caracter´ıstica foi ou na˜o
observada no experimento, podemos usar o modelo Bernoulli. Por exemplo:
. Lanc¸amento de uma moeda, observamos a ocorreˆncia de cara.
. Selecionamos uma pec¸a de um lote com pec¸as defeituosas e perfeitas e
observamos se a pec¸a e´ perfeita.
. Um dado e´ lanc¸ado e observamos se saiu face 5.
. Uma pessoa e´ selecionada de um grupo com 100 pessoas sauda´vei e
doentes e e´ observado se a pessoa esta´ sauda´vel.
A esses experimentos damos o nome de ensaios de Bernoulli.
Modelo Bernoulli
Dizemos que uma varia´vel X segue o modelo Bernoulli com paraˆmetro p,
se assume apenas os valores 0 ou 1 (associados respectivamente a` ocorrencia
de sucesso ou fracasso) e sua func¸a˜o de probabilidade e´ dada por:
P(X=1) = p
P(X=0) = 1-p
ou de modo resumido
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 69
P (X = x) = px(1− p)1−x x=0,1.
Notac¸a˜o : X ∼ Bernoulli(p), onde p e´ o paraˆmetro, que e´ a probabili-
dade de sucesso.
Se X ∼ Bernoulli(p) enta˜o:
E(X) =
∑
x=0,1 x.p(x) = 0(1− p) + 1.p = p
var(X) = E(X2)− [E(X)]2 = 02(1− p) + 12p− p2 = p(1− p)
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o e´ dada por:
F (x) =

0, x < 0
1− p, 0 ≤ x < 1
1, x ≥ 1
Exemplo 12:
Lanc¸ando uma moeda, observamos a ocorreˆncia de cara. Definindo sucesso
como a ocorreˆncia de cara e fracasso como a ocorreˆncia de coroa temos:
X =
{
0, se cara
1, se coroa
enta˜o P (X = x) = px(1− p)1−x com p = 1/2 temos
P (x) =
{
1/2, x = 0
1/2, x = 1
5.6 Modelo Binomial
Agora imaginamos que repetimos um ensaio de Bernoulli n vezes de maneira
independente enta˜o a varia´vel aleato´ria X que conta o nu´mero de sucessos
nesses n ensaios Bernoulli e´ uma varia´vel aleato´ria que segue o modelo Bino-
mial. Antes de definir a func¸a˜o de probabilidade para o modelo, vamos ver
um exemplo:
Exemplo 13:
Sabe-se que a eficieˆncia de uma vacina e´ de 80 por cento. Se um grupo
de 3 indiv´ıduos e´ sorteado dentre a populac¸a˜o vacinada, qual e´ a func¸a˜o de
probabilidade da varia´vel que descreve o nu´mero de indiv´ıduos imunizados
neste grupo?
Se a imunizac¸a˜o em cada um dos indiv´ıduos e´ independente dos outros
indiv´ıduos da populac¸a˜o, enta˜o para cada um dos 3 indiv´ıduos escolhidos
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 70
temos a probabilidade de 0,8 de estar imunizado e 0,2 de na˜o estar imunizado.
Para cada indiv´ıduo temos um ensaio Bernoulli com paraˆmetro 0,8.
Para X a varia´vel que descreve o nu´mero de indiv´ıduos imunizados temos
os valores poss´ıveis:
X=0,1,2,3.
A probabilidade de X=0, 1,2 ou 3 e´ igual a probabilidade de selecionar
0,1,2 ou 3 indiv´ıduos imunizados.
As selec¸o˜es poss´ıveis sa˜o:
selecao X P(X=k)
III 3 0, 83
IINI 2 0, 82.0, 2
INII 2 0, 82.0, 2
ININI 1 0, 8.0, 22
NIII 2 0, 82.0, 2
NIINI 1 0, 8.0, 22
NINII 1 0, 8.0, 22
NININI 0 0, 23
Enta˜o a func¸a˜o de probabilidade e´ dada por:
Podemos resumir a func¸a˜o de probabilidade para X por:
P (X = k) = C3k(0, 8)
k(0, 2)3−k k = 0, 1, 2, 3
Definic¸a˜o do modelo Binomial
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 71
Considere a repetic¸a˜o de n ensaios Bernoulli, independentes e todos com
a mesma probabilidade de sucesso p. A varia´vel aleato´ria que conta o nu´mero
total de sucessos segue o modelo binomial com paraˆmetros n e p e, sua func¸a˜o
de probabilidade e´ dada por:
P (X = k) = Cnk p
k(1− p)n−k k = 0, 1, 2, ..., n.
ja´ que Cnk e´ o nu´mero de sequeˆncias diferentes com k sucessos e n-k fra-
cassos e pk(1− p)n−k e´ a probabilidade de cada sequeˆncia.
Notac¸a˜o: X ∼ B(n, p)
O nome da distribuic¸a˜o e´ derivado da expansa˜o binomial:
(a+ b)n =
∑n
k=0 C
n
k a
kbn−k
Representando X = X1 + X2 + X3 + ... + Xn onde Xi representa cada
ensaio Bernoulli e X a varia´vel aleato´ria Binomial. Podemos verificar que:
E(X) = E(X1) + E(X2) + E(X3) + ...+ E(Xn) = np
var(X) = var(X1) + var(X2) + var(X3) + ...+ var(Xn) = np(1− p)
Exemplo 14:
A taxa de imunizac¸a˜o de uma vacina e´ de 80 por cento. Se um grupo de
20 pessoas foram vacinadas. Queremos saber qual e´ o nu´mero esperado de
pessoas imunizadas.
Se definirmos X = nu´mero de pessoas imunizadas no grupo. Temos que X
segue o modelo binomial com paraˆmetros 20 e 0,8. Portanto E(X)=20.0,8=16.
Exemplo 15:
Suponha que selecionamos uma amostra com 10 pec¸as de um lote em que
a probabilidade de cada pec¸a ser defeituosa e´ de 0,2. Defina um modelo para
o nu´mero de pec¸as defeituosas na amostra e deˆ o nu´mero esperado de pec¸as
defeituosas.
O modelo para X=nu´mero de pec¸as defeituosas na amostra e´X ∼ B(10, 0.2).
A func¸a˜o de probabilidade para X:
P (X = k) = C10k (0.2)
k(0.8)10−k, k = 0, 1, 2, 3, ..., 10
E(X)=n.p=10.0,2=2.
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 72
5.7 Modelo Poisson
Dizemos que uma varia´vel aleato´ria X tem distribuic¸a˜o Poisson com paraˆmetro
λ, λ > 0 se sua func¸a˜o de probabilidade for a seguinte:
P (X = k) =
{
e−λλk
k!
, k = 0, 1, 2, ...
0, caso contrario
Notac¸a˜o:X Poisson(λ)
Podemos calcular E(X) e var(X).
E(X) =
∑∞
k=0 kP (X = k) =
∑∞
k=1
ke−λλk
k!
= λ
∑∞
k=1
ke−λλk−1
(k−1)! = λ
∑∞
y=0
ke−λλy
y!
=
λ
Para calcular var(X) vamos primeiramente calcular primeiramente
E(X(X − 1)) = ∑∞k=2 k(k−1)e−λλkk! = ∑∞k=2 e−λλk(k−2)! = λ2∑∞y=0 e−λλyy! = λ2
Portanto E(X2)− E(X) = λ2 ⇒ E(X2) = λ2 + λ ⇒
var(X) = E(X2)− (E(X))2 = λ2 + λ− λ2 = λ
Exemplo 16:
O nu´mero de mensagens recebidas por minuto por um provedor em hora´rio
comercial foi modelado por uma varia´vel Poisson com taxa 15. Deˆ a func¸a˜o
de probabilidade e o nu´mero esperado de mensagens recebidas.
P (X = k) =
{
e−1515k
k!
, k = 0, 1, 2, 3, ...
0, caso contrario
E(X) = 15
O modelo Poisson e´ muito utilizado
quando desejamos contar o nu´mero
de eventos de certo tipo que ocorrem num determinado intervalo de tempo.
Por exemplo:
1) O nu´mero de chamadas telefonicas recebidas em 5 minutos.
2) O nu´mero de falhas em um computador em 1 dia.
3) O nu´mero de relato´rios de acidentes em 1 dia de trabalho.
Exemplo 17:
Se o nu´mero de chamadas telefoˆnicas recebidas por uma central telefoˆnica
pode ser modelada por uma varia´vel aleato´ria Poisson com me´dia 5, qual e´
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 73
a probabilidade de que a central na˜o receba ligac¸o˜es em 1 minuto?
P (N = 0) = 5
0e−5
0!
= e−5
Qual e´ a me´dia (nu´mero esperado de ligac¸o˜es recebidas) em 4 minutos?
Qual e´ a probabilidade de a central na˜o receber ligac¸o˜es em 4 minutos?
Para Y; Nu´mero de ligac¸o˜es recebidas em 4 minutos temos:
E(Y ) = 20
P (Y = 0) = 20
0e−20
0!
= e−20
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 74
5.8 Exerc´ıcios - lista 06
Questa˜o 1
Para uma determinada moeda, a probabilidade de se obter cara e´ treˆs
vezes maior que a de se obter coroa. Lanc¸amos essa moeda 3 vezes e o
nu´mero de caras e´ observado. Para X, a varia´vel aleato´ria que descreve o
nu´mero de caras, estabelec¸a a func¸a˜o de probabilidade e de distribuic¸a˜o e
construa os gra´ficos correspondentes.
Questa˜o 2
Extra´ımos duas bolas sem reposic¸a˜o de uma urna contendo duas bolas
brancas e treˆs vermelhas. Definimos X, a varia´vel aleato´ria que descreve o
nu´mero de bolas vermelhas obtidas nas duas extrac¸o˜es. Construa a func¸a˜o
de probabilidade e de distribuic¸a˜o para X e os respectivos gra´ficos.
Questa˜o 3
Para a varia´vel aleato´ria X com a func¸a˜o de probabilidade abaixo.
• a) Calcule P(X=-2).
• b) Para a varia´vel Y = X2 encontre a func¸a˜o de probabilidade e a
func¸a˜o de distribuic¸a˜o de Y.
Questa˜o 4
Encontre a me´dia e variaˆncia para as varia´veis das questo˜es 1 e 2 acima.
Questa˜o 5
Suponha que uma varia´vel aleato´ria tem a seguinte func¸a˜o de probabili-
dade:
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 75
Encontre a esperanc¸a e a variaˆncia de X.
Questa˜o 6
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o para uma varia´vel aleato´ria X e´ dada por:
• a) Qual e´ a func¸a˜o de probabilidade de X?
• b) Calcule P(−5 ≤ X < 15).
• b) Calcule P(X > 10).
Questa˜o 7
Um caminho para se chegar a uma festa pode ser dividido em treˆs etapas.
Se na˜o houver enganos o trajeto e´ feito em 1 hora. Se enganos acontecem
na primeira etapa demoramos 10 minutos a mais para chegar a` festa. Para a
segunda etapa o acre´scimo e´ de 20 minutos e para a terceira e´ de 30 minutos.
Admita que a probabilidade de se cometer engano na primeira etapa e´ 0,1.
Na segunda etapa e´ 0,2 e, na terceira etapa e´ 0,3. Admita tambe´m que os
enganos podem acontecer em uma etapa ou mais. Determine:
• a) A func¸a˜o de probabilidade para o tempo de atraso.
• b) O tempo me´dio de atraso.
• b) A probabilidade do atraso ser de ate´ 40 minutos.
Questa˜o 8
Seja X uma varia´vel seguindo o modelo uniforme discreto com valores no
conjunto {1, 2, 3, ..., 10}. Determine:
• a) P(X ≥ 7).
• b) P(X < 2 ou X ≥ 8).
• b) P(X > 3 e X < 6).
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 76
• d) P(X ≤ 9 | X ≥ 6).
Questa˜o 9
Um fabricante de pec¸as de automo´veis garante que uma caixa de suas
pec¸as contera´ no ma´ximo duas pec¸as defeitusos. Se o processo de fabricac¸a˜o
produz 5 por cento das pec¸as defeituosas e, se cada caixa conte´m 18 pec¸as,
qual e´ a probabilidade de que a uma caixa satisfac¸a a garantia?
Questa˜o 10
Um curso de treinamento aumenta a produtividade em 80 por cento dos
casos. Para um grupo de 10 funciona´rios que participaram desse curso en-
contre a probabilidade:
• a) De sete funcione´rios aumentarem a produtividade.
• b) Pelo menos dois funciona´rios terem aumentado a produtividade.
• c) Qual e´ a me´dia do nu´mero de funciona´rios que aumentam a produ-
tividade?
Questa˜o 11
Uma varia´vel aleato´ria Y segue o modelo Poisson com paraˆmetro λ = 2.
Calcule:
• a) P(Y=1).
• b) P(Y<2).
• b) P(Y>0).
Questa˜o 12
Numa central telefoˆnica, o nu´mero de chamadas chega segundo uma dis-
tribuic¸a˜o Poisson com me´dia de 8 chamadas por minuto. Calcule a probabil-
idade de a central:
• a) Na˜o receber ligac¸o˜es em 1 minuto.
• b) Na˜o receber ligac¸o˜es em 5 minutos.
• c) Receber no ma´ximo 2 chamadas em 5 minutos.
• d) Qual o nu´mero me´dio de chamadas recebidas em 15 minutos.
Questa˜o 13
A chegada de avio˜es a um aeroporto se da´ segundo um modelo poisson
com taxa 1 por minuto.
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 77
• a) Determine a probabilidade de chegarem 3 avio˜es em um minuto.
• b) Se o aeroporto pode atender 2 avio˜es por minuto, qual e´ a probabil-
idade de haver avio˜es sem atendimento imediato?
• c) As previso˜es para os pro´ximos anos indicam que o tra´fego deve dobrar
nesse aeroporto, enquanto que a capacidade de atendimento pode ser
ampliada em no ma´ximo 50 por cento. Como ficara´ a probabilidade de
espera por atendimento?
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 78
6 Varia´veis aleato´rias cont´ınuas
Agora iremos estudar modelos probabil´ısticos para varia´veis aleato´rias
cont´ınuas ou seja varia´veis para as quais os valores poss´ıveis pertencem a um
intervalo de nu´meros reais. Por exemplo, renda, sala´rio, tempo de durac¸a˜o
de um experimento, a´rea atingida por uma praga agr´ıcola, sa˜o quantidades
que podem ser modeladas por varia´veis aleato´rias cont´ınuas.
De forma semelhante a`quela desenvolvida para varia´veis aleato´rias disc-
retas precisamos estabelecer probabilidades para as varia´veis cont´ınuas. No
entanto, agora as varia´veis podem assumir um nu´mero infinito de valores
diferentes.
Vamos ver um exemplo de como podemos atribuir probabilidades para
uma varia´vel cont´ınua.
Exemplo 1:
Suponha que em uma determinada regia˜o, e´ conhecida a existeˆncia de um
grande lenc¸ol de a´gua no subsolo. No entanto, sua profundidade e´ descon-
hecida sabendo-se apenas que se situa entre 20 e 100 metros.
Denotando por X a profundidade em que o lenc¸ol esta´ situado, temos
que X pode ser qualquer nu´mero entre 20 e 100. Assim consideramos que
todos os pontos entre 20 e 100 sa˜o igualmente prova´veis, mas se utilizarmos
a mesma ide´ia das varia´veis discretas de atribuir a cada valor poss´ıvel uma
probabilidade teremos uma dificuldade extra pois existem infinitos valores
poss´ıveis. Desta forma, se a cada um dos valores poss´ıveis atribuirmos uma
probabilidade, a soma das probabilidades sera´ infinita e na˜o 1, como deve
satisfazer a func¸a˜o de probabilidade.
Em situac¸o˜es como essas, na˜o e´ de interesse considerar apenas 1 valor para
a varia´vel aleato´ria mas, intervalos de valores na atribuic¸a˜o de probabilidades.
Nesse caso, sabemos que o espac¸o amostral corresponde ao intervalo
[20,100] e as profundidades sa˜o igualmente prova´veis.
Suponha que dividimos o intervalo em 8 partes de comprimento 10 enta˜o,
e´ razoa´vel atribuir a cada uma dessas partes uma probabilidade de 1/8 ja´
que devemos distribuir a probabilidade 1 da mesma maneira para cada um
dos intervalos.
Se dividirmos o intervalo em 80 partes de comprimento igual a 1 enta˜o
devemos atribuir a cada uma dessas partes uma probabilidade de 1/80. Dessa
maneira podemos atribuir probabilidades a` qualquer subconjunto de [20,100].
Assim como a densidade de massa nos diz como distribuir massa em cada
unidade do volume considerado, a densidade de probabilidade nos diz como
e´ poss´ıvel distribuir o total de probabilidade 1, em cada unidade do intervalo
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 79
considerado como espac¸o amostral.
No exemplo acima, a densidade de probabilidade e´ 1/80. Podemos cal-
cular por exemplo, a probabilidade de encontrar a´gua entre 20 e 40 metros
multiplicando 20 por 1/80, analogamente entre 35 e 50 metros temos a prob-
abilidade de
15/80. De forma geral, podemos calcular a probabilidade de
encontrar a´gua em qualquer trecho atrave´s da a´rea sobre a de densidade:
Agora podemos caracterizar a atribuic¸a˜o de probabilidades no caso cont´ınuo.
Ela sera´ definida pela a´rea abaixo de uma func¸a˜o positiva denominada func¸a˜o
de densidade de probabilidade. A func¸a˜o de densidade em si na˜o e´ uma prob-
abilidade mas nos auxilia no ca´lculo das probabilidades.
Para a varia´vel do exemplo anterior, X representando a profundidade do
lenc¸ol de a´gua, temos a seguinte func¸a˜o de densidade de probabilidade:
f(x) =
{
1/80, 20 ≤ X ≤ 100
0, caso contrario
Dessa forma podemos calcular a probabilidade do lenc¸ol estar localizado
em um dado intervalo de profundidade. Por exemplo P (25 ≤ X ≤ 30) =
5/80.
6.1 Func¸a˜o de densidade de probabilidade
Podemos formalizar as ide´ias anteriores atrave´s da seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o: func¸a˜o de densidade de probabilidade
Dizemos que f(x) e´ uma func¸a˜o de densidade de densidade de probabili-
dade para uma varia´vel aleato´ria X cont´ınua se satisfaz:
• (i) f(x) ≥ 0 para x ∈ (−∞,∞)
• (ii) A a´rea definida por f(x) e´ igual a 1.
Podemos caracterizar a condic¸a˜o (ii) por
∫∞
−∞ f(x)dx = 1.
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 80
Da mesma forma, para calcular probabilidades temos para a ≤ b:
P (a ≤ X ≤ B) = ∫ b
a
f(x)dx
A integral acima indica a a´rea sob a func¸a˜o de densidade f(x) no intervalo
[a,b]. Pela forma como atribu´ımos as probabilidades temos P (X = k) = 0 ja´
que temos a´rea zero sobre qualquer valor individual de X, portanto, a prob-
abilidade de ocorreˆncia de um valor
Exemplo 2:
Se uma reac¸a˜o qu´ımica tem o tempo T modelado por uma func¸a˜o cont´ınua
com func¸a˜o de densidade:
f(t) =
{
2t, 0 ≤ t ≤ 1
0, caso contrario
Calcule a P (0 ≤ T ≤ 1/2)
P (0 ≤ T ≤ 1/2) = ∫ 1/2
0
2tdt = t2 |1/20 = 1/4.
Exemplo 3:
A a´rea atingida por uma praga e´ uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com
func¸a˜o de densidade de probabilidade dada por:
f(x) =

1/4, 0 ≤ x < 2
1/8, 2 ≤ x ≤ 6
0, caso contrario
Determine:
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 81
• a) P (X > 3)
• b) P (1 < X ≤ 4)
• c) P (X < 3|X > 1)
• a) P (X > 3) = ∫ 6
3
1/8dx = 3/8
• b) P (1 < X ≤ 4) = ∫ 2
1
1/4dx+
∫ 4
2
1/8dx = 1/4 + 2/8 = 1/2
• c) P (X < 3|X > 1) = P (1≤X<3)
P (X≥1) =
∫ 2
1 1/4dx+
∫ 3
2 1/8dx∫ 2
1 1/4dx+
∫ 6
2 1/8dx
= 3/8
6/8
= 1/2
Exemplo 4:
Determine c tal que f(x) seja uma func¸a˜o de densidade:
f(x) =

0, x < 0
cx, 0 ≤ x < 1/2
c(1− x), 1/2 ≤ x < 1
0, x ≥ 1
Para que f(x) seja uma func¸a˜o de densidade devemos ter:
• (i) f(x) ≥ 0
• (ii) ∫∞−∞ f(x)dx = 1
Para c ≥ 0 (i) vale.
Para que (ii) acontec¸a devemos ter:
∫ 1/2
0
cxdx +
∫ 1
1/2
c(1 − x)dx = 1
⇒ cx2
2
|1/20 +c[x− x
2
2
] |11/2= 1 ⇒ c/8 + c/8 = 1 ⇒ c = 4
6.2 Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
Dada uma varia´vel aleato´ria X com func¸a˜o de densidade de probabi lidade
f(x), podemos definir a func¸a˜o de distribuic¸a˜o F(x) de maneira ana´loga a que
fizemos para as varia´veis discretas:
F (x) =
∫ x
−∞ f(t)dt, −∞ < x <∞
Portanto, F (x) =
∫ x
−∞ f(t)dt, para todo x real.
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 82
Exemplo 5:
Para a varia´vel com func¸a˜o de densidade estudada no exemplo 2,
f(t) =
{
2t, 0 ≤ t ≤ 1
0, caso contrario
temos a seguinte func¸a˜o de distribuic¸a˜o
F (t) =

0, t < 0∫ t
0
2xdx, 0 ≤ t ≤ 1∫ 1
0
2xdx+
∫ t
0
0dx, t > 1
enta˜o
F (t) =

0, t < 0
t2, 0 ≤ t ≤ 1
1, t > 1
Exemplo 6:
Para a func¸a˜o de densidade definida no exemplo 3:
f(x) =

1/4, 0 ≤ x < 2
1/8, 2 ≤ x ≤ 6
0, caso contrario
temos a seguinte func¸a˜o de distribuic¸a˜o:
F (x) =

0, x < 0∫ x
0
1/4dt = x/4, 0 ≤ x < 2∫ 2
0
1/4dt+
∫ x
0
1/8dt = 1/4 + x/8, 2 ≤ x ≤ 6
1, x ≤ 6
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 83
Propriedades da func¸a˜o acumulada
• (i) 0 ≤ F (x) ≤ 1
• (ii) limx→−∞F (x) = 0
• (iii) limx→∞F (x) = 1
Proposic¸a˜o: Para os valores de x para os quais F(x) e´ deriva´vel temos:
F ′(x) = dF (x)
dx
= f(x)
Exemplo 7:
Suponha que X seja uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com a seguin te
func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada:
F (x) =
{
0, x < 0
1− e−x, se x ≥ 0
Construa a func¸a˜o de densidade para a varia´vel X.
De acordo com a proposic¸a˜o acima temos:
f(x) =
{
0, x < 0
e−x, se x > 0
Exemplo 8:
Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com func¸a˜o de distribuic¸a˜o dada
por:
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 84
F (x) =

0, x < 0
x2, 0 ≤ x < 1/2
3x/2− 1/2, 1/2 ≤ x < 1
1, se x ≥ 1
Construa a func¸a˜o de densidade.
Temos
f(x) =
{
2x, 0 ≤ x < 1/2
3/2, 1/2 ≤ x ≤ 10, caso contrario
6.3 Me´dia e variaˆncia para varia´veis aleato´rias cont´ınuas
Quando X era uma varia´vel aleato´ria discreta, calcula´vamos
E(X) =
∑n
i=1 xip(xi).
Agora, para X uma varia´vel cont´ınua vamos usar uma generalizac¸a˜o desta
definic¸a˜o.
Suponha que X seja uma varia´vel cont´ınua definida no intervalo [a,b]
como na figura abaixo. Vamos discretizar a varia´vel X e calcular a esperanc¸a
atrave´s de um processo de limite.
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 85
Denotemos por Y uma varia´vel aleato´ria discreta que assume os valores x1,
x2,..., xn com probabilidades aproximadamente hf(x1), hf(x2),..., hf(xn).
Pela definic¸a˜o de esperanc¸a de varia´vel discreta temos:
E(Y ) =
∑n
i=1 xihf(xi)
que sera´ uma aproximac¸a˜o para a esperanc¸a de X. Para melhorar essa
aproximac¸a˜o, aumentamos o nu´mero de parcelas diminuindo a amplitude h.
No limite teremos:
E(x) = limn⇒∞E(Y ) = limn⇒∞
∑n
i=1 xif(xi)h =
∫ b
a
xf(x)dx.
Notac¸a˜o: E(X) = µ =
∫∞
−∞ xf(x)dx
Variaˆncia
Para X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com densidade de probabilidade
f(x), a variaˆncia e´ definida por:
σ2 =
∫∞
−∞(x− µ)2f(x)dx
Como no caso discreto, a variaˆncia e´ a medida de dispersa˜o mais utilizada
na pra´tica. Aqui tambe´m podemos utilizar a expressa˜o que utilizamos com
as varia´veis discretas:
σ2 = E(X2)− µ2
onde E(X2) =
∫∞
−∞ x
2f(x)dx.
O desvio padra˜o tambe´m e´ calculado da mesma forma dp(X) =
√
var(X) =
σ.
Exemplo 9:
Vamos calcular a esperanc¸a e variaˆncia para a varia´vel X dada no exemplo
2.
A func¸a˜o de densidade de X era:
f(x) =
{
2x, 0 ≤ x < 1
0, caso contrario
Portanto a esperanc¸a e´ dada por E(X) =
∫ 1
0
x2xdx = 2x
3
3
|10= 2/3.
E a variaˆncia var(X) = E(X2) − E(X)2 = E(X2) − 4/9 mas E(X2) =∫ 1
0
x22xdx = 2x
4
4
|10= 2/4
enta˜o
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 86
var(X) = 1/2− 4/9 = 1/18 e dp(X) = √1/18.
Exemplo 10:
No exemplo 3, a varia´vel X cont´ınua tinha a seguinte func¸a˜o de densidade:
f(x) =

1/4, 0 ≤ x < 2
1/8, 2 ≤ x ≤ 6
0, caso contrario
A esperanc¸a e´ dada por:
E(X) =
∫ 2
0
x1/4dx+
∫ 6
2
x1/8dx = x
3
12
|20 +x
3
24
|62= 812 + 20824 = 22424
E a variaˆncia e o desvio padra˜o var(X) = E(X2) − E(X)2 = 224/24 −
25/4 = 74/24, dp(X) =
√
37/12.
Alguns modelos para varia´veis aleato´rias cont´ınuas
Alguns exemplos de varia´veis aleato´rias cont´ınuas esta˜o relacionados a`
algum processo de mensurac¸a˜o, por exemplo: peso, altura, tempo de vida de
uma laˆmpada, erros de medidas em experimentos.
Em muitos casos podemos usar modelos espec´ıficos para modelar as varia´veis
em estudo. Agora vamos estudar os modelos mais frequentes para as varia´veis
aleato´rias cont´ınuas. Para cada um deles, estaremos interessados em determi-
nar a func¸a˜o de densidade, a func¸a˜o de distribuic¸a˜o, a esperanc¸a e a variaˆncia.
6.4 Modelo uniforme cont´ınuo
O modelo uniforme e´ o modelo mais simples para as varia´veis cont´ınuas, ele
e´ uma generalizac¸a˜o do modelo uniforme que estuda mos para varia´veis
disc-
retas.
Definic¸a˜o:
Uma varia´vel aleato´ria X segue o modelo uniforme cont´ınuo no intervalo
[a,b] se sua func¸a˜o de densidade de probabilidade e´ dada por:
f(x) =
{
1/(b− a), a ≤ x ≤ b
0, caso contrario
Notac¸a˜o: X ∼ U [a, b]. Na˜o ha´ restric¸o˜es para a, b ∈ R exceto o fato de
a < b.
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 87
O modelo uniforme pressupo˜e que a probabilidade da varia´vel pertencer
a intervalos de mesmo comprimento e´ igual.
O valor esperado e a variaˆncia sa˜o dados por:
E(X) =
∫∞
−∞ xf(x)dx =
∫ b
a
x 1
(b−a)dx =
1
(b−a)
∫ b
a
xdx = 1
(b−a)
x2
2
|ba= b
2−a2
2(b−a) =
b+a
2
var(X) = E(X2)− E(X)2 = E(X2)− ( b+a
2
)2
Vamos calcular E(X2).
E(X2) =
∫ b
a
x2 1
(b−a)dx =
x3
3(b−a) |ba= b
3−a3
3(b−a) =
(b−a)(b2+ab+a2)
3(b−a) =
b2+ab+a2
3
Portanto, var(X) = b
2+ab+a2
3
− (b2+2ab+a2)
4
= 4b
2+4ab+4a2
12
− (3b2+6ab+3a2)
12
=
(b2−2ab+a2)
12
= (b−a)
2
12
.
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o e´ dada por:
F (x) = P (X ≤ x) = ∫ x−∞ f(x)dx =

0, x < a
(x− a)/(b− a), a ≤ x < b
1, x ≥ b
Exemplo 1:
Suponha que estamos interessados em inspecionar a resisteˆncia de um
tubo de PVC a` pressa˜o de a`gua. O tubo tem 6 metros e a probabilidade
de ocorrer vazamento em um determinado ponto e´ a mesma para todos os
pontos do tubo. Fixemos uma extremidade do tubo e denotemos por X a
distaˆncia do primeiro furo a` essa extremidade. Enta˜o X pode ser modelada
por uma uniforme no intervalo [0,6].
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 88
X ∼ U [0, 6]
f(x) =
{
1/6, 0 ≤ x ≤ 6
0, caso contrario
A distaˆncia esperada para a ocorreˆncia do primeiro furo e´ E(X) = (b+a)
2
=
6/2 = 3.
e a variaˆncia e´ var(X) = (b−a)
2
12
= 36
12
= 3
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o e´ dada por:
F (x) =

0, x < 0
x/6, 0 ≤ x < 6
1, x ≥ 6
Podemos atrave´s da func¸a˜o de distribuic¸a˜o, calcular a probabilidade do
furo acontecer a uma distaˆncia menor que dois metros ou maior que 4 metros.
Queremos P (X < 2 ∪ X > 4) = P (X < 2) + P (X > 4) = P (X <
2) + (1− P (X ≤ 4)) = 1/3 + 1− 2/3 = 2/3.
6.5 Modelo exponencial
Uma varia´vel aleato´ria cont´ınua, assumindo valores na˜o negativos segue o
modelo exponencial com paraˆmetro α > 0 se sua densidade e´ dada por:
f(x) =
{
αe−αx, x ≤ 0
0, caso contrario
Notac¸a˜o: X ∼ exp(α)
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 89
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o para X e´ dada por:
F (x) =
{
0, x < 0∫ x
0
αe−αtdt = −e−αt |x0= (1− e−αx), x ≥ 0
A esperanc¸a e a variaˆncia sa˜o calculadas atrave´s de uma te´cnica de inte-
grac¸a˜o conhacida como integrac¸a˜o por partes e resultam em:
E(X) = 1
α
var(X) = 1
α2
O modelo exponencial e´ muito utilizado em experimentos nos quais o ob-
jetivo e´ calcular a vida u´til de equipamentos, tempos de falha, tempos de
sobreviveˆncia etc.
Exemplo 2:
Uma indu´stria fabrica laˆmpadas que ficam em operac¸a˜o continuamente e
oferece a seus clientes a garantia de reposic¸a˜o se elas durarem menos que 50
horas. Sabendo que a vida u´til dessas laˆmpadas e´ modelada por uma expo-
nencial com paraˆmetro (1/8000). Determine a probabilidade de um laˆmpada
ser trocada e o tempo esperado de durac¸a˜o de uma laˆmpada.
Se X ∼ exp(1/8000) enta˜o sua func¸a˜o de densidade a´ dada por:
f(x) =
{
1/8000e−x/8000, x ≤ 0
0, caso contrario
Para uma laˆmpada ser trocada ele deve durar menos de 50 horas. Enta˜o
a probabilidade de haver troca e´:
P (X < 50) =
∫ 50
0
1/8000e−x/8000dx = −e−x/8000 |500 = 1− e−5/800 =
1− e−1/160
E o tempo esperado de durac¸a˜o e´:
E(X) = 8000 horas.
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 90
Uma propriedade importante da exponencial e´ a falta de memo´ria. Isso
quer dizer que se quisermos calcular a probabilidade de uma laˆmpada durar
um tempo maior ou igual a 7 horas sabendo que ela durou pelo menos 5 horas
podemos calcular a probabilidade da laˆmpada durar pelo menos 2 horas. Isso
equivale a fazer uma translac¸a˜o no tempo e assumir que a origem do tempo
e´ 5. Vamos fazer as contas e verificar que P (X ≥ 2) = P (X ≥ 7 | X ≥ 5).
P (X ≥ 2) = ∫∞
2
1/8000e−x/8000dx = −e−x/8000 |∞2 = e−2/8000
P (X ≥ 7 | X ≥ 5) = P (X≥7∪X≥5)
P (X≥5) =
∫∞
7 1/8000e
−x/8000dx∫∞
5 1/8000e
−x/8000dx =
e−7/8000
e−5/8000 =
e−2/8000
De uma forma geral se X ∼ exp(α) temos:
P (X ≥ t + s | X ≥ s) = P (X≥t+s∪X≥s)
P (X≥s) =
∫∞
t+s αe
αdx∫∞
s αe
−αdx =
e−α(t+s)
e−αs = e
−αt =
P (X ≥ t)
Podemos fazer a seguinte interpretac¸a˜o para a falta de memo´ria:
Supondo que X representa o tempo de vida (em anos) de um equipamento
e X ∼ exp(α), a probabilidade do equipamento durar pelo menos t+s anos
sabendo que ele ja´ durou s anos e´ igual a probabi lidade de um equipamento
novo durar pelo menos t anos. Isso significa que podemos ”esquecer” a idade
do equipamento, o que importa para o ca´lculo das probabilidades sa˜o quantos
anos queremos que ele dure.
6.6 Modelo Normal
Dizemos que uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X segue o modelo normal com
paraˆmetros µ e σ2 se sua func¸a˜o de densidade e´ dada por:
f(x) = 1√
2piσ2
e
−(x−µ)2
2σ2 , −∞ < x <∞
Notac¸a˜o: X ∼ N(µ, σ2)
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 91
Podemos observar as seguintes propriedades:
• (i) f(x) e´ sime´trica com relac¸a˜o a µ.
• (ii) f(x)→ 0 quando x→+− ∞.
• (iii) O valor ma´ximo de f(x) ocorre para x = µ.
Quando µ = 0 e σ2 = 1, dizemos que X e´ normal padra˜o. Os paraˆmetros
µ e σ2 descrevem o perfil da curva da normal, µ e´ o ponto de simetria e σ2
nos diz o quanto achatada e´ a curva, um valor maior de σ2 nos da´ uma curva
mais achatada, com ”caudas” mais grossas.
Atrave´s de algumas manipulac¸o˜es utilizando a te´cnica de integrac¸a˜o con-
hecida por integral por partes, podemos calcular a esperanc¸a e a variaˆncia
de uma varia´vel aleato´ria com X distribuic¸a˜o normal com paraˆmetros µ e σ2:
E(X) = µ
var(X) = σ2
Para construir a func¸a˜o de distribuic¸a˜o e calcular as probabilidades pre-
cisamos calcular integrais:
P (a ≤ X ≤ b) = ∫ b
a
1√
2piσ2
e
−(x−µ)2
2σ2 dx
Mas a integral acima na˜o pode ser calculada analiticamente, apenas por
me´todos nume´ricos, por essa raza˜o, as probabilidades da normal sa˜o calcu-
ladas atrave´s de uma tabela. Para evitar a construc¸a˜o de va´rias tabelas, uma
para cada valor de µ e σ2, utilizamos uma transformac¸a˜o que sempre nos leva
ao ca´lculo de probabilidades em uma normal com µ = 0 e σ2 = 1. A esse
procedimento damos o nome de padronizac¸a˜o.
Vamos descrever esse procedimento:
Considere X ∼ N(µ, σ2), definimos uma nova varia´vel Z = X−µ
σ
, vamos
verificar que Z ∼ N(0, 1).
E(Z) = E(x−µ
σ
) = E(x
σ
− µ
σ
) = 1
σ
E(X)− µ
σ
= µ
σ
− µ
σ
= 0
var(Z) = var(x−µ
σ
) = var(x
σ
− µ
σ
) = 1
σ2
var(X) = σ
2
σ2
= 1
Ale´m disso, podemos verificar que essa transformac¸a˜o na˜o afeta a nor-
malidade. Dessa forma:
Z ∼ N(0, 1)
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 92
Dizemos que Z tem distribuic¸a˜o normal padra˜o e podemos calcular
P (Z ≤ z) = Φ(z) atrave´s da tabela. Enta˜o, para uma varia´vel X ∼ N(µ, σ2),
podemos calcular probabi lidades P (a ≤ X ≤ b) fazendo uma transformac¸a˜o
X → Z para usar a tabela da normal padra˜o. O procedimento e´ o seguinte:
P (a ≤ X ≤ b) = P (a−µ
σ
≤ X−µ
σ
≤ b−µ
σ
) = P (a−µ
σ
≤ Z ≤ b−µ
σ
)
Exemplo 3:
Calcule P (2 < X < 5) para X ∼ N(2, 9).
Se X ∼ N(2, 9) devemos padronizar X para calcular a probabilidade de-
sejada atrave´s da tabela da normal padra˜o.
P (2 < X < 5) = P (2−2
3
< X−2
3
< 5−2
3
) = P (0 < Z < 1) = 0, 8413−0, 5 =
0, 3413
Atrave´s da padronizac¸a˜o transformamos a variavel X na varia´vel Z nor-
mal padra˜o. Ao fazer isso identificamos o intervalo correspon dente ao (2,5)
na normal padra˜o, isto e´,
calcular a probabilidade de X pertencer ao inter-
valo (2,5) onde X ∼ N(2, 9) e´ equivalente a calcular a probabilidade de Z
pertencer ao intervalo (0,1), onde Z ∼ N(0, 1).
Vamos calcular P (0 ≤ X < 2).
P (0 ≤ X < 2) = P (0−2
3
≤ X−2
3
< 2−2
3
) = P (−2
3
≤ Z < 0) = P (0 ≤ Z <
2
3
) = 0, 7486− 0, 5 = 0, 2486
Podemos ainda calcular a probabilidade em intervalos com extremos neg-
ativos na normal padra˜o utilizando os correspondentes intervalos da parte
positiva, pela simetria da distribuic¸a˜o normal. Segue da simetria da normal
padra˜o que a probabilidade de ocorrer valores acima ou abaixo de zero e´ 0,5.
Um outro recurso importante no uso da tabela e´ a utilizac¸a˜o do comple-
mentar.
Para X definida no exemplo acima vamos calcular P (X > 3).
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 93
P (X > 3) = P (X−2
3
> 3−2
3
) = P (Z > 1
3
) = 1−P (Z ≤ 1
3
) = 1− 0, 6293 =
0, 3707
A tabela da normal padra˜o pode tambe´m ser utilizada no sentido inverso,
isto e´, podemos dar uma probabilidade e descobrir qual o valor que a origi-
nou. Por exemplo, para Z ∼ N(0, 1), desejamos saber qual e´ o valor c tal que:
P (0 < Z < c) = 0, 4
Procurando na tabela, vemos que o valor que mais se aproxima de c e´
1,28.
Um outro exemplo neste sentido:
Suponha que desejamos descobrir o valor de d tal que P (Z > d) = 0, 8
Primeiramente verificamos que d tem que ser negativo pois a probabili-
dade deixada a direita de d e´ maior que 1/2. Pela simetria da normal, basta
encontrar k tal que P (0 < Z < k) = 0, 3 e fazer d=-k.
Pela tabela k=0,84. Portanto d=-0,84.
Exemplo 4:
Doentes sofrendo uma certa mole´stia sa˜o submetidos a um tratamento
e o tempo de cura e´ uma varia´vel aleato´ria normal com me´dia 15 e desvio
padra˜o 2 (em dias). Determine:
• a) Qual a proporc¸a˜o desses pacientes que demora mais de 17 dias para
se curar?
• b) Qual e´ a probabilidade de que um paciente escolhido ao acaso apre-
sente o tempo de cura inferio a 2 semanas?
• c) Qual e´ o tempo de cura necessa´rio para recuperar 25 por cento dos
pacientes?
• d) Se 100 pacientes forem escolhidos ao acaso, qual seria o nu´mero
esperado de doentes curados em menos de 11 dias?
a) Pelas informac¸o˜es do problema temos X ∼ N(15, 4). Queremos P (X >
17).
P (X > 17) = P (X−15
2
> 17−15
2
) = P (Z > 1) = 1 − P (Z ≤ 1) =
1− 0, 8413 = 0, 1587
b) P (X < 14) = P (X−15
2
< 14−15
2
) = P (Z < −1
2
) = P (Z > 1
2
) =
1− P (Z ≤ 1
2
) = 1− 0, 6915 = 0, 3085
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 94
c) Essa pergunta pode ser reescrita como:
Qual e´ o tempo mı´nimo necessa´rio para que a probabilidade de uma
pessoa se curar seja de 25 por cento?
Assim a proporc¸a˜o para o grupo de pacientes pode ser interpretada como
a probabilidade para um u´nico paciente genericamente escolhido. Precisamos
enta˜o obter t tal que P (X < t) = 0, 25.
P (X < t) = 0, 25⇒ P (X−15
2
< t− 152) = 0, 25⇒ P (Z < t−15
2
) = 0, 25
Pela tabela temos t−15
2
= −0, 67 enta˜o t = 13, 66. Aproximadamente 14
dias.
d) Obteremos a probabilidade de um paciente gene´rico ser curado em
menos de 11 dias. Essa probabilidade pode ser interpretada como a proporc¸a˜o
de pacientes que se curaram em menos de 11 dias. Essa probabilidade pode
ser interpretada como a proporc¸a˜o de pacientes que se curaram em menos de
11 dias.
P (X < 11) = P (X−15
2
< 11− 152) = P (Z < −4
2
) = P (Z < −2) = 0, 0227
Enta˜o, a proporc¸a˜o de pessoas curadas nesse grupo de 100 pessoas e´
0,0227. Portanto
0, 0227 = N
100
⇒ N = 2, 27. Aproximadamente 2 pacientes.
Uma propriedade muito importante do modelo normal, que na˜o demostraremos
aqui e´ que qualquer combinac¸a˜o linear de varia´veis normais independentes
tera´ distribuic¸a˜o normal. Em outras palavras, se X1, X2, ..., Xn sa˜o varia´veis
aleato´rias normais independetes tais que Xi ∼ N(µi, σ2i ), a varia´vel aleato´ria
definida por W =
∑n
i=1 αiXi tera´ distribuic¸a˜o normal com me´dia e variaˆncia
dadas por:
E(W ) = E(
∑n
i=1 αiXi) =
∑n
i=1 αiE(Xi) =
∑n
i=1 αiµi
V ar(W ) = V ar(
∑n
i=1 αiXi) =
∑n
i=1 α
2
iV ar(Xi) =
∑n
i=1 α
2
iσ
2
i
logo, Z ∼ N(∑ni=1 αiµi,∑ni=1 α2iσ2i ).
Este fato sera´ muito utilizado em testes de hipo´teses, juntamente com o
teorema central do limite e os modelos X 2 e t-student.
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 95
6.7 Exerc´ıcios - lista 07
Questa˜o 1
O tempo em minutos de digitac¸a˜o de um texto pode ser considerado uma
varia´vel aleato´ria cont´ınua com a seguinte func¸a˜o de densidade:
f(x) = 1/4, se 0 ≤ x < 2
1/8, se 2 ≤ x < 6
0, caso contrario
Determine:
• a) P(X>3).
• b) P(1<X≤4).
• c) A func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade para a varia´vel x.
• d) Um nu´mero b tal que P(X> b)=0,6.
• e) O valor esperado e a variaˆncia de X.
Questa˜o 2
A quantia gasta anualmente em milho˜es de reais na manutenc¸a˜o do asfalto
em uma cidade e´ representada pela varia´vel Y com densidade dada por:
f(y) = 8y/9− 4/9, se 0, 5 ≤ y < 2
0, caso contrario
Obtenha:
• a) P(Y<0,8).
• b) P(Y> 1, 5 | Y ≥ 1).
• c) O valor esperado e a variaˆncia de Y.
Questa˜o 3
O gra´fico abaixo representa a func¸a˜o de densidade de uma varia´vel aleato´ria
X.
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 96
• a) Obtenha o valor a.
• b) Determine P(X> 0 | X < 3).
• c) Construa a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de X.
Questa˜o 4
A demanda dia´ria de arroz num supermecado, em centenas de quilos, e´
uma varia´vel aleato´ria com func¸a˜o de densidade dada por:
f(x) = 2x/3, se 0 ≤ x < 1
1− x/3, se 1 ≤ x < 3
0, caso contrario
• a) Qual e´ a probabilidade de se vender mais de 150 Kg em um dia
escolhido ao acaso?
• b) Construa a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade para x.
• c) Em 30 dias quanto o supermercado espera vender?
• d) Qual e´ a quantidade de arroz que deve ser deixada estocada para
que na˜o falte arroz em 95 por cento dos dias?
Questa˜o 5
O tempo necessa´rio para um medicamento contra dor fazer efeito foi
modelado de acordo com a densidade uniforme no intervalo de 5 a 15 min-
utos tendo por base experimentos em animais. Um paciente que esteja
sofrendo dor recebe o reme´dio e, supondo va´lido o modelo mencionado acima,
pergunta-se:
• a) Qual e´ a probabilidade de a dor cessar em ate´ 10 minutos?
• b) E de Demorar pelo menos 12 minutos?
• c) Qual o tempo esperado para o medicamento fazer efeito?
Questa˜o 6
Uma viga de ferro e´ soldada em toda a sua extensa˜o. Falhas na soldagem
podem ocorrer com probabilidade 0,1 ou na˜o ocorrer com probabilidade 0,9.
Se a falha ocorre enta˜o o ponto em que ocorre e´ modelada por uma varia´vel
uniforme cont´ınua. Se a viga tem 6 metros de extensa˜o, determine a proba-
bilidade:
• a) Sabendo-se que uma falha ocorreu, ela ser distante das extremidades
de no ma´ximo 1 metro.
6 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS CONTI´NUAS 97
• b) Ocorrer uma falha de solda nos dois metros centrais da viga.
Questa˜o 7
O tempo em minutos de utilizac¸a˜o de um caixa eletroˆnico por clientes de
um certo banco, foi modelado por uma varia´vel T com densidade exponencial
com paraˆmetro 3. Determine:
• a) P(T < 1).
• b) P(T > 1 | T ≤ 2).
• b) Um nu´mero a tal que P(T < a)=0,4.
Questa˜o 8
O tempo necessa´rio para eliminar o perigo de contaminac¸a˜o de certo pes-
ticida apo´s aplicac¸a˜o em um pomar e´ uma varia´vel aleato´ria exponencial de
paraˆmetro 2 (em meses). Tendo em vista esse comportamento as autoridades
sanita´rias recomendam que o consumo das frutas seja evitado algum tempo
apo´s a pulverizac¸a˜o. Calcule a probabilidade de a fruta estar ainda contami-
nada 1 meˆs apo´s a pulverizac¸a˜o. Qual e´ a probabilidade de a fruta poder ser
consumida com seguranc¸a 2 meses apo´s a pulverizac¸a˜o?
Questa˜o 9
Uma cl´ınica de emagrecimento recebe adultos com pesos seguindo uma
distribuic¸a˜o Normal com me´dia
130 Kg e desvio padra˜o 20 Kg. Para deter-
minar um tratamento adequado os 25 por cento pacientes de menor peso sa˜o
classificados como de baixo risco enquanto os 25 por cento de maior peso
sa˜o classificados como de alto risco. Determine os valores que delimitam as
classificac¸o˜es de baixo e alto risco.
Questa˜o 10
Um teste de aptida˜o feito por pilotos de aeronaves em treinamento requer
que uma se´rie de testes. O tempo necessa´rio para completar os testes segue
uma distribuic¸a˜o normal com me´dia 90 e desvio padra˜o 20 minutos.
• a) Qual e´ a probabilidade de o candidato ser aprovado se para passar no
teste ele deve completa´-lo em menos de 80 minutos. Se 60 candidatos
fazem o teste, quantos candidatos sa˜o esperados passar no teste.
• b) Se os 5 por cento melhores candidatos sera˜o alocados para aeronaves
maiores, qual deve ser o tempodo candidato para obter essa posic¸a˜o.
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 98
7 Infereˆncia estat´ıstica
A infereˆncia estat´ıstica baseia-se no processo de a partir de uma amostra,
obter informac¸o˜es a respeito de toda populac¸a˜o. E´ a amostra que conte´m os
elementos que podem ser observados e e´ onde podemos medir as quantidades
de interesse. A infereˆncia trata de dois problemas ba´sicos que abordaremos
ao longo deste cap´ıtulo: estimac¸a˜o e testes de hipo´teses.
Primeiramente, vamos estudar como podemos estimar os paraˆmetros de-
sconhecidos da populac¸a˜o atrave´s dos valores obtidos na amostra. Em seguida,
vamos estudar como esses estimadores se comportam e quais sera˜o suas dis-
tribuic¸o˜es amostrais. Finalmente falaremos um pouco sobre estimac¸a˜o por
intervalo e testes de hipo´teses para a me´dia populacional com base na dis-
tribuic¸a˜o amostral da me´dia.
7.1 Populac¸a˜o e amostra
Aprendemos anteriormente sobre alguns modelos probabil´ısticos que nos
auxiliam no estudo e caracterizac¸a˜o de determinados experimentos e fenoˆmenos
de interesse.
Na pra´tica, o pesquisador frequentemente tem alguma ide´ia sobre a forma
da distribuic¸a˜o que pode ser utilizada para modelar o fenoˆmeno mas na˜o tem
os valores exatos dos paraˆmetros que a especificam.
Por exemplo, suponha que desejamos criar um modelo para as alturas
dos alunos de uma universidade. Se atrave´s das informac¸o˜es sobre os dados,
gra´ficos, histogramas, box-plot, for razoa´vel supor que a distribuic¸a˜o pode
ser representada por um modelo normal, precisar´ıamos enta˜o conhecer os
paraˆmetros (me´dia e variaˆncia) para determinar o modelo.
Se pude´ssemos medir a altura de todos os alunos, poder´ıamos obter a
distribuic¸a˜o exata. Na pra´tica, e´ invia´vel obter a informac¸a˜o de toda a pop-
ulac¸a˜o, geralmente coletamos dados de uma amostra (subconjunto da pop-
ulac¸a˜o) e atrave´s dessa amostra estimamos os paraˆmetros de interesse, que
neste caso sa˜o me´dia e variaˆncia.
A primeira questa˜o que surge e´ como podemos selecionar um subconjunto
de uma populac¸a˜o, isto e´, como podemos selecionar uma amostra que possa
representar, de maneira mais veross´ımel poss´ıvel, a populac¸a˜o.
A segunda questa˜o e´ como podemos utilizar a informac¸a˜o obtida na
amostra para encontrar valores para a me´dia e variaˆcia do modelo.
Vamos responder a primeira questa˜o e, na pro´xima sec¸a˜o, falaremos um
pouco sobre estimac¸a˜o.
Existem va´rias maneiras de obter uma amostra para estimar os paraˆmetros,
uma delas e´ a amostragem aleato´ria simples.
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 99
A amostragem aleato´ria simples consiste em um sorteio de uma determi-
nada quantidade de elementos da populac¸a˜o. Por exemplo, se a populac¸a˜o e´
constituida de N elementos e desejamos obter uma amostra com n elementos
n ≤ N sorteamos n elementos dentre os N da populac¸a˜o. Quando a pop-
ulac¸a˜o e´ muito grande geralmente usamos softwares para gerar a amostra.
Este processo e´ um dos mais simples para se obter uma amostra, ale´m dele
existem muitas outras maneiras de selecionar uma amostra mas na˜o falare-
mos aqui.
7.2 Paraˆmetros e estimadores
As quantidades da populac¸a˜o sobre as quais temos interesse e, que em geral
sa˜o desconhecidas, sa˜o denominadas paraˆmetros. Representamos usualmente
por letras gregas como θ, µ, σ entre outras.
Os estimadores sa˜o func¸o˜es da amostra coletada que nos fornecem in-
formac¸o˜es sobre os valores dos paraˆmetros que estamos interessados em de-
scobrir para especificar o modelo.
Na maioria dos casos estaremos interessados em estimar a me´dia e a
variaˆncia da populac¸a˜o, paraˆmetros µ e σ2 respectivamente. Para isso, us-
aremos a informac¸a˜o obtida na amostra para construir os estimadores para
os paraˆmetros. Vamos voltar a` questa˜o deixada na sec¸a˜o anterior.
Exemplo 1:
Suponha que estamos interessados em criar um modelo para a altura de
jovens em uma universidade para isso, coletamos uma amostra com 10 jovens.
Admitindo que o modelo normal seja proposto, os paraˆmetros de interesse
para no´s sa˜o a me´dia e a variaˆncia.
Se conhecemos apenas parte da populac¸a˜o, a amostra X1, X2, ..., X10,
como podemos usar essa informac¸a˜o para estimar a me´dia e a variaˆncia da
populac¸a˜o, µ e σ2 ?
Precisamos de func¸o˜es de X1, X2, ..., X10 que nos digam algo sobre µ e σ
2,
isto e´ precisamos de estimadores.
Para estimar a me´dia µ podemos usar qualquer func¸a˜o dos dados. Por
exemplo, podemos dizer que um estimador para µ e´ µˆ = X1 ou µˆ =
X1+X2
2
,
ou qualquer outra func¸a˜o. A mais utilizada e´ a me´dia da amostra:
µˆ =
∑n
i=1Xi
n
= x¯
Para a variaˆncia, o estimador mais utilizado e´ a variaˆncia amostral:
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 100
σˆ2 =
∑n
i=1(xi−x¯)2
n−1
Geralmente usamos µˆ = x¯ e σˆ2 =
∑n
i=1(xi−x¯)2
n−1 porque eles sa˜o estimadores
que possuem boas propriedades como veremos mais adiante.
Enta˜o se tive´ssemos os 10 valores seguintes de alturas na amostra:
1.6, 1.7, 1.75, 1.8, 1.9, 1.58, 1.6, 1.68, 1.84, 1.72
poder´ıamos dizer que um estimador para µ e´
µˆ =
∑10
i=1 xi
10
= 1.717
e para σ2:
σˆ2 =
∑10
i=1(xi−x¯)2
9
= 0.0116
e usar esses valores como paraˆmetros do modelo normal.
Mas podemos nos perguntar: E se selecionarmos outra amostra, os val-
ores dos estimadores provavelmente sera˜o diferentes, sera´ que esses valores
escolhidos como paraˆmetros sa˜o confia´veis?
Para testar os valores escolhidos como paraˆmetros usamos os testes de
hipo´teses que falaremos mais adiante.
Exemplo 2: Suponha que entrevistamos 400 pessoas em va´rias capitais
para saber sobre o apoio a um projeto governamental de reforma agra´ria.
A nossa amostra consiste em 400 respostas (sim ou na˜o). Se estamos
interessados em medir o apoio ao projeto, enta˜o queremos saber qual a prob-
abilidade de uma pessoa ser favora´vel.
Um modelo razoa´vel a ser utilizado neste caso e´ o modelo bernoulli. A
amostra pode ser pensada como um vetor de varia´veis X1, X2, ..., X400, cada
uma delas assumindo o valor 1 para sucesso (resposta sim) e 0 para fracasso
(resposta na˜o).
Enta˜o estamos interessados no paraˆmetro p do modelo, probabilidade de
uma pessoa ser favora´vel ao projeto ou probabilidade de sucesso. Um esti-
mador razoa´vel para p e´ a proporc¸a˜o de pessoas favora´veis que encontramos
na amostra. Assim, um estimador para p e´:
pˆ = numero de entrevistados favoraveis
400
=
∑400
i=1Xi
400
Podemos resumir o que estudamos ate´ agora da seguinte forma:
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 101
Para uma amostra de tamanho n representada pelas varia´veis aleato´rias
(X1, X2, ..., Xn) denote os paraˆmetros me´dia, variaˆncia e proporc¸a˜o da pop-
ulac¸a˜o da qual foi extra´ıda a amostra por µ, σ2 e p respectivamente. Os
estimadores mais utilizados para esses paraˆmetros sa˜o as correspondentes
me´dia, variaˆncia e proporc¸a˜o calculadas na amostra. Representamos por µˆ,
σˆ2 e pˆ.
Exemplo 3: Suponha que para uma amostra de 10 jovens obtivemos os
seguintes
n´ıveis de colesterol:
180, 190, 170, 180, 170, 160, 170, 180, 190, 170
E que a partir desses dados queremos estimar o n´ıvel me´dio de colesterol
na populac¸a˜o jovem.
Como na˜o temos acesso a` populac¸a˜o jovem toda, vamos estimar a me´dia
µ pela me´dia observada na amostra.
µˆ = X¯ = 176
Enta˜o o n´ıvel de colesterol estimado para a populac¸a˜o jovem com base
nessa amostra e´ 176.
Se quise´ssemos estimar a proporc¸a˜o de jovens na populac¸ao com taxa de
colesterol acima de 180 usar´ıamos a proporc¸a˜o observada na amostra.
pˆ = 2
10
= 0, 2
7.3 Distribuic¸o˜es amostrais
Vimos que estimadores sa˜o func¸o˜es de varia´veis aleato´rias e portanto sa˜o
tambe´m varia´veis aleato´rias. Agora vamos estudar a distribuic¸a˜o de prob-
abilidades de alguns estimadores mais utilizados, particularmente, estamos
interessados na distribuic¸a˜o de X¯ porque atrave´s dessa distribuic¸a˜o poder-
emos construir intervalos de confianc¸a e testes de hipo´teses para a me´dia
populacional µ.
Exemplo 4: Suponha que uma varia´vel X pode assumir dois valores -1
e 1 com iguais probabilidades. Para uma amostra de tamanho 2 determine
a func¸a˜o de probabilidade de X¯.
Como X¯ = X1+X2
2
temos
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 102
(X1, X2) X¯ prob
(-1,-1) -1 1/4
(-1,1) 0 1/4
(1,-1) 0 1/4
(1,1) 1 1/4
Portanto temos a seguinte func¸a˜o de probabilidade para X¯:
Nem sempre e´ fa´cil encontrar a distribuic¸a˜o de estimadores. Por exemplo,
se X fosse uma varia´vel cont´ınua uniforme entre -1 e 1, ter´ıamos X1 e X2
tambe´m com distribuic¸a˜o uniforme em [-1,1] mas, a natureza cont´ınua das
varia´veis na˜o nos possibilitaria enumerar todas as amostras poss´ıveis como
fizemos no exemplo anterior. Como fazer enta˜o para encontrar a distribuic¸a˜o
de X¯ nesse caso? Vamos estudar mais a frente o teorema central do limite
que nos ajudara´ a estudar o comportamento de X¯ para uma amostra muito
grande, independente da natureza de X¯.
Antes de falar do teorema central do limite, vamos ver um exemplo de
distribuic¸a˜o de X¯ quando as varia´veis na amostra tem distribuic¸a˜o normal.
Exemplo 5: Consideremos a varia´vel X que descreve o peso em crianc¸as
de um determinado cole´gio. Suponha que X tem distribuic¸a˜o normal com
me´dia 32 e variaˆncia 36. Selecionamos um grupo com 100 crianc¸as de maneira
independente e queremos saber a probabilidade do peso me´dio no grupo ser
maior que 33 kg.
Queremos saber P (X¯ > 33). Para calcular essa probabilidade, precisamos
saber qual e´ a distribuic¸a˜o de X¯. Vimos no cap´ıtulo anterior que qualquer
combinac¸a˜o linear de normais tambe´m segue o modelo normal.
Como X¯ =
∑100
i=1Xi
100
, X¯ tambe´m segue o modelo normal, resta descobrir a
me´dia e a variaˆncia.
E(X¯) = E(
∑100
i=1Xi
100
) = 1
100
E(
∑100
i=1Xi) =
1
100
[E(X1) + E(X2) + ... +
E(X100)] =
1
100
[100.32] = 32
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 103
var(X¯) = var(
∑100
i=1Xi
100
) = 1
(100)2
var(
∑100
i=1Xi) =
1
(100)2
[var(X1)+var(X2)+
...+ var(X100)] =
1
(100)2
[100.36] = 36
100
Enta˜o X¯ ∼ N(32, 36
100
). Agora podemos calcular P (X¯ > 33) = P ( X¯−32
6/10
>
33−32
6/10
) ≈ 0.0475.
De uma forma geral para uma populac¸a˜o normal com me´dia µ e variaˆncia
σ2, se selecionarmos uma amostra de tamanho n, (X1, ..., Xn), X¯ tera´ dis-
tribuic¸a˜o normal com me´dia µ e variaˆncia σ
2
n
.
Discutimos acima dois exemplos muito particulares de amostras retiradas
de uma populac¸a˜o com distribuic¸o˜es de probabilidades bem conhecidas e por
isso, constru´ımos de maneira bem simples a distribuic¸a˜o de X¯. Na pra´tica,
na˜o temos informac¸o˜es sobre a distribuic¸a˜o das varia´veis que constituem a
amostra e trabalhamos com amostras muito grandes o que dificulta a con-
struc¸a˜o da distribuic¸a˜o de X¯.
Felizmente, satisfeitas certas condic¸o˜es, podemos demonstrar que para
uma amostra sufucientemente grande, a distribuic¸a˜o da me´dia amostral pode
ser aproximada por uma distribuic¸a˜o normal. Esse e´ um dos teoremas mais
importantes da probabilidade, denominado teorema central do limite.
Teorema central do limite
Para uma amostra aleato´ria simples (X1, X2, ..., Xn) de tamanho n re-
tirada de uma populac¸a˜o com me´dia µ e variaˆncia σ2 finita temos:
X¯−µ
σ√
n
→ Z quando n→∞
onde Z ∼ N(0, 1).
O TCL nos diz que para n suficientemente grande a distribuic¸a˜o amostral
da me´dia aproxima-se de uma distribuic¸a˜o normal com me´dia igual a me´dia
da populac¸a˜o e variaˆncia igual a variaˆncia da populac¸a˜o dividida por n. Re-
pare que a distribuic¸a˜o da populac¸a˜o na˜o e´ especificada.
A velocidade de convergeˆncia depende da populac¸a˜o da qual a amostra
foi retirada, para populac¸o˜es com distribuic¸a˜o sime´trica a convergeˆncia e´
mais ra´pida, ou seja precisamos de uma amostra menor para garantir uma
boa aproximac¸a˜o pela distribuic¸a˜o normal. Estudos envolvendo simulac¸o˜es
mostram que para n ao redor de 30 a aproximac¸a˜o pode ser considerada boa
para aplicac¸o˜es pra´ticas.
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 104
Exemplo 6: Suponha que a aceitac¸a˜o em um lote de 10000 sacos de
ac¸u´car ocorre apenas se o peso me´dio de uma amostra aleato´ria com 100
sacos retirados do lote estiver entre 498 e 502 gramas. Sabe-se que o peso
dos sacos e´ uma varia´vel aleato´ria com me´dia 500 e variaˆncia 100. Qual e´ a
probabilidade de aceitarmos o lote?
Se definirmos Xi como o peso do i-e´simo saco retirado do lote para
i=1,2,...,100. temos pelo TCL que a me´dia dos pesos da amostra repre-
sentada por X¯ tera´ distribuic¸a˜o aproximadamente normal com me´dia 500 e
desvio padra˜o 1. Logo a probabilidade de aceitarmos o lote e´:
P (498 ≤ X¯ ≤ 502) = P (498−500
1
≤ X¯−500
1
≤ 502−500
1
) = P (−2 ≤ Z ≤ 2) ≈
0, 95
Portanto, dificilmente o lote seria rejeitado.
Exemplo 7: Suponha que a proporc¸a˜o de pec¸as fora de especificac¸a˜o
em um lote e´ de 40 por cento. Tomada uma amostra de tamanho 30, qual e´
a proba bilidade de que a proporc¸a˜o das pec¸as defeituosas seja menor que 0,5?
Queremos calcular P (pˆ < 0, 5). Sabemos que a proporc¸a˜o de pec¸as de-
feituosas pode ser vista como a me´dia amostral se considerarmos a populac¸a˜o
modelada por uma bernoulli com probabilidade de sucesso 0,4.
Para a amostra X1, ..., X30 tal que Xi ∼ bernoulli(0, 4) temos pelo TCL
que pˆ = X¯ tera´ distribuic¸a˜o aproximadamente normal com me´dia 0,4 e
variaˆncia (0, 4.0, 6)/30 = 0, 24/30 = 0, 008.
Portanto P (pˆ < 0, 5) = P ( pˆ−0,4√
0,008
< 0,5−0,4√
0,008
) = P (Z < 1, 12) ≈ 0, 868.
7.4 Estimac¸a˜o por intervalo
Estudamos ate´ agora alguns estimadores pontuais para a me´dia, variaˆncia e
proporc¸a˜o populacionais. Como falamos anteriormente, quando selecionamos
uma amostra e a partir dela um estimador para o paraˆmetro populacional
na˜o temos a dimensa˜o do erro que estamos cometendo quando dizemos que
o valor calculado na amostra pode ser extrapolado para toda a populac¸a˜o.
O intervalo de confianc¸a e os testes de hipo´teses nos dizem um pouco sobre
a dimensa˜o desse erro.
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 105
Vamos construir agora intervalos de confianc¸a para a me´dia populacional
que fornecera˜o estimativas pontuais e informac¸o˜es sobre a variac¸a˜o do paraˆmetro.
Os intervalos de confianc¸a sa˜o constru´ıdos atrave´s da distribuic¸a˜o amostral
do estimador.
Vamos comec¸ar com uma populac¸a˜o normal com me´dia µ desconhecida
e variaˆncia σ2 conhecida, depois contru´ıremos intervalos para µ para pop-
ulac¸o˜es com distribuic¸o˜es desconhecidas usando o TCL.
No exemplo 5 vimos que para uma amostra aleato´ria de tamanho n,
(X1, ..., Xn), retirada de uma populac¸a˜o normal com me´dia µ e variaˆncia
σ2, X¯ tem distribuic¸a˜o normal com me´dia µ e variaˆncia σ
2
n
.
Suponha que apo´s selecionarmos a amostra, queremos obter um intervalo
que contenha o paraˆmetro µ com
uma probabilidade α.
Enta˜o queremos encontrar a e b tais que P (a ≤ µ ≤ b) = α. Como X¯
tem distribuic¸a˜o normal com me´dia µ e variaˆncia σ
2
n
.
Z = X¯−µσ√
n
∼ N(0, 1)
Enta˜o fixando uma probabilidade 0 < α < 1, podemos encontrar um
valor zα/2 na tabela tal que:
α = P (| Z |≤ zα/2) = P (−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2)
Graficamente, queremos encontrar zα/2 tal que:
Dividimos α por 2 pois os intervalos sime´tricos sa˜o os intervalos de menor
comprimento, assim nos da´ maior precisa˜o para o paraˆmetro µ. Poder´ıamos
ter dividido de maneira diferente encontrando outros intervalos, mas os com-
primentos seriam maiores.
O valor zα/2 pode ser obtido na tabela da normal padra˜o da seguinte
maneira: primeiro localizamos a probabilidade α/2 no corpo da tabela e
depois identificamos zα/2 nas margens correspondentes.
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 106
Conhecendo zα/2 podemos encontrar a e b:
α = P (| Z |≤ zα/2) = P (−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2) = P (−zα/2 ≤ X¯−µσ√
n
≤ zα/2) =
P (X¯ − zα/2 σ√n ≤ µ ≤ X¯ + zα/2 σ√n)
Enta˜o a = X¯ − zα/2 σ√n e b = X¯ + zα/2 σ√n .
Assim o intervalo de confianc¸a para µ com probabilidade α e´:
IC(µ, α) = [X¯ − zα/2 σ√n ; X¯ + zα/2 σ√n ]
Dizemos enta˜o que a probabilidade do intervalo conter o valor verdadeiro
de µ e´ α.
A amplitude do intervalo e´ dada pela diferenc¸a entre os extremos do
intervalo, 2zα/2
σ√
n
, e e´ uma medida da precisa˜o da estimac¸a˜o. O erro ao
estimar µ com X¯, E =| X¯ − µ | e´ no ma´ximo zα/2 σ√n com probabilidade α.
Podemos observar tambe´m que para mesmos tamanho de amostra e valor
de σ quanto maior a confianc¸a, maior sera´ o tamanho do intervalo e portanto
menor sera´ sua precisa˜o. Podemos construir intervalos mais precisos para
um determinado n´ıvel de confianc¸a escolhendo amostras maiores.
Exemplo 8: Suponha que estamos testando a energia de impacto de ma-
teriais meta´licos a uma determinada temperatura. Dez medidas de energia
de impacto em Joules foram coletadas:
64.1, 64.7, 64.5, 64.6, 64.5, 64.3, 64.6, 64.8, 64.2, 64.3
Assumindo que a energia de impacto tem distribuic¸a˜o normal com desvio
padra˜o 1. Construa um intervalo de confianc¸a 95 por cento para µ.
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 107
Pela tabela da normal vemos que z0.475 = 1.96, ale´m disso, X¯ = 64.46. O
IC 95 por cento para µ e´ dado por:
IC(µ, 0.95) = [X¯ − z0.475 σ√n ; X¯ + z0.475 σ√n ] = [64.46 − 1.96 1√10 ; 64.46 +
1.96 1√
10
] = [63.84; 65.08]
Enta˜o temos 95 por cento de confianc¸a para o intervalo [63.84; 65.08] con-
ter o verdadeiro valor de µ.
7.5 Intervalo de confianc¸a para µ para amostras grandes
A aplicac¸a˜o do teorema central do limite permite a obtenc¸a˜o de intervalos
de confianc¸a para µ mesmo quando a distribuic¸a˜o das varia´veis aleato´rias
que constituem a amostra na˜o e´ dada por um modelo Normal. Neste caso,
o intervalo de confianc¸a tera´ um coeficiente de confianc¸a aproximadamente
igual a α, e a aproximac¸a˜o sera´ tanto melhor quanto maior for a amostra.
Vimos anteriormente que para n=30 a aproximac¸a˜o pela normal pode ser
considerada boa.
Exemplo 9: Um provedor de acesso a internet esta´ monitorando a du-
ranc¸a˜o do tempo das conexa˜o de seus clientes. Suponha que a distribuic¸a˜o
dos tempos de durac¸a˜o e´ desconhecida, assim como a me´dia, sendo con-
hecido apenas o desvio padra˜o
√
50 minutos. Uma amostra com durac¸a˜o de
500 conexo˜es foi observada e o valor me´dio foi calculado, resultando em 25
minutos. Construa um IC 92 por cento para a me´dia.
Apesar de na˜o sabermos se a distribuic¸a˜o da durac¸a˜o dos tempos e´ nor-
mal, podemos usar o TCL pois a amostra e´ grande. Neste sentido, um IC 92
por cento para a me´dia sera´ dado por:
IC(µ, 0.92) = [X¯−z0.46 σ√n ; X¯+z0.46 σ√n ] = [25−1.75 50√100 ; 25+1.75 50√100 ] =
[24.45; 25.55]
Enta˜o, esse intervalo conte´m a me´dia com probabilidade 92 por cento.
Vimos acima que para n ≥ 30 podemos construir um IC para a me´dia µ de
uma populac¸a˜o com variaˆncia σ2 conhecida, mesmo quando desconhecemos
a distribuic¸a˜o usando a aproximac¸a˜o pela normal dada pelo TCL.
Ale´m disso, quando a variaˆncia da populac¸a˜o e´ desconhecida e n e´ grande,
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 108
podemos ainda construir IC para a me´dia trocando σ por S, o desvio padra˜o
amostral. O IC fica da seguinte maneira:
IC(µ, α) = [X¯ − zα/2 S√n ; X¯ + zα/2 S√n ]
Para usar esse resultado e´ aconselha´vel ter n ≥ 40. O TCL gealmente
vale para n ≥ 30 mas um tamanho maior de amostra e´ aconselha´vel porque
tracando σ por S estamos adicionando mais variabilidade.
7.6 Teste de hipo´tese para me´dia µ com variaˆncia con-
hecida
Vamos estudar agora um dos principais to´picos de infereˆncia estat´ıstica
conhecido como teste de hipo´teses.
Feita determinada afirmac¸a˜o sobre uma populac¸a˜o (usualmente sobre um
paraˆmetro desta), desejamos saber se os resultados provenientes de uma
amostra contrariam ou na˜o tal afirmac¸a˜o.
O objetivo do teste estat´ıstico de hipo´teses e´ fornecer uma metodologia
que nos permita verificar se os dados amostrais trazem evideˆncias que apo´iam
ou na˜o uma hipo´tese (estat´ıstica) formulada.
O procedimento ba´sico de um teste de hipo´teses sobre um paraˆmetro de
uma populac¸a˜o e´ supor verdadeira a hipo´tese em questa˜o e verificar se a
amostra observada e´ ”veross´ımil” nessas condic¸o˜es.
Vamos comec¸ar com um exemplo para mostrar a utilidade e os tipos de
questo˜es que um teste de hipo´teses procura responder.
Suponha que para pessoas sadias o n´ıvel de uma substaˆncia no sangue
e´ modelado por uma distribuic¸a˜o normal com me´dia 14 uni/ml e desvio
padra˜o 6 uni/ml. Pessoas sofrendo uma determinada doenc¸a teˆm a concen-
trac¸a˜o dessa substaˆncia alterada com a me´dia aumentando para 18 uni/ml.
Admitimos que a distribuic¸a˜o normal com desvio padra˜o 6 uni/ml ainda
modela bem o comportamento da substaˆncia em pessoas com a doenc¸a.
Suponha que desejamos testar se um tratamento para essa doenc¸a e´ eficaz.
Para isso, selecionamos um grupo de 30 pessoas que receberam esse trama-
mento. O n´ıvel da substaˆncia para cada uma dessas pessoas e´ denotado por
X1, X2, ..., X30 baseado no valor me´dio observado no grupo, X¯ decidiremos
se o tratamento e´ eficaz ou na˜o. Se o valor da me´dia encontrado for pro´ximo
de 18, teremos evideˆncias de que o tratamento na˜o e´ eficaz. Por outro lado,
se esse valor for pro´ximo de 14 enta˜o seria´mos levados a acreditar na efica´cia
do tratamento. O qua˜o ”pro´ximo” o valor deve estar para decidirmos de-
pende da variabilidade da populac¸a˜o. O teste de hipo´teses respondera´ a essa
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 109
e outras perguntas.
Principais Conceitos
A construc¸a˜o de um teste de hipo´teses inicia-se com a determinac¸a˜o de
duas hipo´teses, as quais chamaremos de hipo´tese nula (denotada por H0) e
hipo´tese alternativa (denotada por H1).
A hipo´tese nula e´ a hipo´tese que estamos colocando a` prova. Portanto,
o teste nos fara´ verificar, atrave´s da amostra obtida, se rejeitamos H0 ou
na˜o rejeitamos H0, isto e´, verificar se os resultados provenientes da amostra
contrariam ou na˜o a hipo´tese nula. A hipo´tese alternativa contempla todos
os valores que sa˜o considerados aceita´veis caso rejeitemos H0.
Exemplo 10: Queremos testar a me´dia de horas de sono dos alunos da
UFRRJ. Acredita-se que µ, a me´dia de horas de sono de todos os alunos, gire
em torno de 6 horas. Com base em uma amostra de 49 alunos, obtivemos
me´dia amostral X = 5,6 horas (ou seja, 5 horas e 36 minutos). Portanto,
sejam as hipo´teses
H0 : µ = 6,
H1 : µ 6= 6.
Neste caso, X = 5, 6 e´ o que chamaremos de estat´ıstica de teste, isto e´, o
valor que o estimador para o paraˆmetro de interesse (neste caso, µ) assume.
Para decidir se na˜o rejeitamos H0 ou rejeitamos H0, precisamos definir a
chamada regia˜o cr´ıtica (ou regia˜o de rejeic¸a˜o), que denotaremos por RC, de
forma que:
Se X ∈ RC, enta˜o optaremos por rejeitar H0; e
se X /∈ RC, optaremos por na˜o rejeitar H0.
Isto e´ o que chamamos de uma regra de decisa˜o. Por exemplo, se deter-
mina´ssemos RC = (−∞ ; 5, 5) ∪ (6, 5 ; ∞), enta˜o essa amostra nos levaria a
na˜o rejeitar H0 : µ = 6. Ja´ se determina´ssemos RC = (−∞ ; 5, 8)∪(6, 2 ; ∞),
enta˜o essa amostra nos levaria a rejeitar H0 : µ = 6.
Mas como determinar a regia˜o cr´ıtica de maneira mais coer-
ente, isto e´, na˜o ta˜o ”arbitra´ria”?
Primeiramente note que, em uma regra de decisa˜o, podemos tanto fazer
uma escolha certa como uma escolha errada. Quanto a`s escolhas erradas,
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 110
podemos: (i) decidir rejeitar H0 quando H0 e´, na realidade, verdadeira; ou
(ii) decidir na˜o rejeitar H0 quando H0 e´, na realidade, falsa. Tecnicamente,
estes erros sa˜o chamados respectivamente de erro de tipo I e erro de tipo II.
O ideal seria enta˜o determinar uma regra de decisa˜o que minimizasse a
probabilidade de ambos os erros. Entretanto, o que fazemos em geral (e o que
faremos neste curso!) e´ fixar um valor para α = P (cometer erro do tipo I), e
obter a regia˜o de rejeic¸a˜o (RC) baseada neste valor. Chamaremos α de n´ıvel
de significaˆncia do teste.
OBS.: Chamamos de γ = 1 − α o n´ıvel de confianc¸a do teste, cuja in-
terpretac¸a˜o e´ a mesma de n´ıvel de confianc¸a para intervalos de confianc¸a.
Como ja´ estamos acostumados a trabalhar com γ, vamos continuar trabal-
hando com ele ao inve´s de trabalhar com α, pois uma vez fixado um valor
para α, enta˜o γ tambe´m estara´ fixado. A regia˜o cr´ıtica e´ constru´ıda de forma
que, para X distribu´ıdo conforme H0,
P (X ∈ RC) = 1− γ (ou, equivalentemente,P (X ∈ RC) = α),
P (X /∈ RC) = γ (ou, equivalentemente,P (X /∈ RC) = 1− α).
Passos para a Construc¸a˜o de um Teste de Hipo´teses
Passo 1: Fixar qual a hipo´tese H0 a ser testada e qual a hipo´tese alternativa
H1.
Passo 2: Decidir qual estimador (estat´ıstica de teste) sera´ usado para testar
H0.
Passo 3: Fixar o valor de γ e, da´ı, construir a regia˜o cr´ıtica conforme vimos
acima.
Passo 4: Usar as observac¸o˜es da amostra para calcular o valor da estat´ıstica
de teste na amostra.
Passo 5: Se o valor que a estat´ıstica de teste assume na˜o pertencer a
regia˜o cr´ıtica, na˜o rejeitar H0; caso contra´rio, rejeitar H0.
Teste de Hipo´teses (bilateral) para a me´dia populacional
µ quando a variaˆncia populacional σ2 e´ conhecida
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 111
Usado quando queremos testar se a me´dia populacional µ e´ igual a um
valor µ0 contra µ ser diferente de µ0.
Passo 1:
H0 : µ = µ0,
H1 : µ 6= µ0.
Passo 2: Estat´ıstica de teste: X
Passo 3: γ fixado ⇒ RC =
(
−∞ ; µ0 − z 1+γ
2
σ√
n
]
∪
[
µ0 + z 1+γ
2
σ√
n
; ∞
)
Passo 4: Obter x, isto e´, a me´dia na amostra.
Passo 5: Se x /∈ RC, na˜o rejeite H0; se x ∈ RC, rejeite H0.
Exemplo 11: Queremos testar (ao n´ıvel γ = 0, 95 de confianc¸a) a
afirmac¸a˜o de que a me´dia de horas de sono dos alunos da UFRRJ e´ 6 horas,
onde sabemos que σ2 = 1. De uma amostra de 49 alunos, obtivemos me´dia
amostral X = 5,6 horas. Portanto,
Passo 1:
H0 : µ = 6,
H1 : µ 6= 6.
Passo 2: Estat´ıstica de teste: X
Passo 3: γ = 0, 95⇒ RC =
(
−∞ ; 6− 1, 96×
√
1√
49
]
∪
[
6 + 1, 96×
√
1√
49
; ∞
)
=
(−∞ ; 5, 72] ∪ [6, 28 ; ∞)
Passo 4: x = 5, 6 (este problema ja´ nos da´ o valor de X na amostra).
Passo 5: x = 5, 6 ∈ (−∞ ; 5, 72] ∪ [6, 28 ; ∞)⇒ rejeito H0.
Conclusa˜o: Ao n´ıvel de 95% de confianc¸a, a amostra obtida fornece evideˆncias
para rejeitarmos a hipo´tese de que a me´dia de sono dos alunos da UFRRJ e´
de 6 horas.
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 112
EXERCI´CIO: Se coleta´ssemos uma nova amostra (tambe´m de 49 alunos)
que retornasse X = 5,8 horas, qual seria a decisa˜o do teste acima ainda ao
n´ıvel de 95% de confianc¸a? E ao n´ıvel 99% de confianc¸a?
Teste de Hipo´teses (unilateral a` direita) para a me´dia pop-
ulacional quando a variaˆncia populacional σ2 e´ conhecida
Usado quando queremos testar se a me´dia populacional µ e´ igual a um
valor µ0 contra µ ser maior que µ0.
Passo 1:
H0 : µ = µ0,
H1 : µ > µ0.
Passo 2: Estat´ıstica de teste: X
Passo 3: γ fixado ⇒ RC =
[
µ0 + zγ
σ√
n
; ∞
)
Passo 4: Obter x, isto e´, a me´dia na amostra.
Passo 5: Se x /∈ RC, na˜o rejeite H0; se x ∈ RC, rejeite H0.
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 113
Exemplo 12: Queremos testar (ao n´ıvel γ = 0, 95 de confianc¸a) se os
alunos da UFRRJ tem dormido mais de 6 horas, onde sabemos que σ2 = 1.
De uma amostra de 25 alunos, obtivemos me´dia amostral X = 6,2 horas.
Portanto,
Passo 1:
H0 : µ = 6,
H1 : µ > 6.
Passo 2: Estat´ıstica de teste: X
Passo 3: γ = 0, 95⇒ RC =
[
6 + 1, 65×
√
1√
25
, ; ∞
)
= [6, 33 ; ∞)
Passo 4: x = 6, 2 (este problema ja´ nos da´ o valor de X na amostra).
Passo 5: x = 6, 2 /∈ [6, 33 ; ∞)⇒ na˜o rejeito H0.
Conclusa˜o: Ao n´ıvel de 95% de confianc¸a, a amostra obtida na˜o fornece
evideˆncias suficientes para rejeitarmos a hipo´tese de que a me´dia de sono dos
alunos da UFRRJ e´ de 6 horas.
EXERCI´CIO: Se coleta´ssemos uma nova amostra (tambe´m de 25 alunos)
que retornasse X = 6,4 horas, qual seria a decisa˜o do teste acima ainda ao
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 114
n´ıvel de 95% de confianc¸a? E ao n´ıvel 99% de confianc¸a?
Teste de Hipo´teses (unilateral a` esquerda) para a me´dia pop-
ulacional quando a variaˆncia populacional σ2 e´ conhecida
Usado quando queremos testar se a me´dia populacional µ e´ igual a um
valor µ0 contra µ ser menor que µ0.
Passo 1:
H0 : µ = µ0,
H1 : µ < µ0.
Passo 2: Estat´ıstica de teste: X
Passo 3: γ fixado ⇒ RC =
(
−∞ ; µ0 − zγ σ√n
]
Passo 4: Obter x, isto e´, a me´dia na amostra.
Passo 5: Se x /∈ RC, na˜o rejeite H0; se x ∈ RC, rejeite H0.
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 115
Exemplo 13: Queremos testar (ao n´ıvel γ = 0, 95 de confianc¸a) se os
alunos da UFRRJ tem dormido menos de 6 horas, onde sabemos que σ2 = 1.
De uma (outra!) amostra de 25 alunos, obtivemos me´dia amostral X = 5,5
horas. Portanto,
Passo 1:
H0 : µ = 6,
H1 : µ < 6.
Passo 2: Estat´ıstica de teste: X
Passo 3: γ = 0, 95⇒ RC =
(
−∞ ; 6− 1, 65×
√
1√
25
]
= (−∞ ; 5, 67]
Passo 4: x = 5, 5 (este problema ja´ nos da´ o valor de X na amostra).
Passo 5: x = 5, 5 ∈ (−∞ ; 5, 67]⇒ rejeito H0.
Conclusa˜o: Ao n´ıvel de 95% de confianc¸a, a amostra obtida fornece evideˆncias
para rejeitarmos a hipo´tese de que a me´dia de sono dos alunos da UFRRJ e´
de 6 horas.
EXERCI´CIO: Se coleta´ssemos uma nova amostra (tambe´m de 25 alunos)
que retornasse X = 5,8 horas, qual seria a decisa˜o do teste acima ainda ao
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 116
n´ıvel de 95% de confianc¸a? E ao n´ıvel 99% de confianc¸a?
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 117
OBS: Como fizemos anteriormente para os intervalos de confianc¸a, aqui
tambe´m podemos construir testes de hipo´teses para a me´dia quando a variaˆncia
e´ conhecida mesmo que distribuic¸a˜o na˜o seja normal. Para isso, tambe´m pre-
cisamos que n ≥ 30 para usar o TCL. Quando a variaˆncia e´ desconhecida
precisamos que n ≥ 40 para substituir σ por S. As regio˜es cr´ıticas sa˜o as
mesmas que as constru´ıdas acima, exceto quando desconhecemos σ e temos
uma amostra suficientemente grande para podermos substituir σ por seu
estimador S.
7.7 Exerc´ıcios - lista 08
Questa˜o 1
Um fabricante deseja estudar a durac¸a˜o de baterias que sa˜o utilizadas
na fabricac¸a˜o em relo´gios de pulso. Uma amostra de va´rios lotes fabricados
por uma mesma companhia foi submetida a testes e produziram os seguintes
tempos de durac¸a˜o em anos:
2; 2; 3; 1; 4; 5; 3; 4; 5; 6; 5; 3; 4; 3; 4; 2; 4; 3; 5; 2.
Determine os valores dos estimadores para a me´dia e a variaˆncia.
Questa˜o 2
Uma amostra com dois elementos de uma varia´vel X, que segue o modelo
Bernoulli com probabilidade
de sucesso p, e´ selecionada. Determine a func¸a˜o
de probabilidade da me´dia amostral.
Questa˜o 3
O consumo mensal de a´gua por resideˆncia em um certo bairro e´ assumido
ter distribuic¸a˜o Normal com me´dia 10 e desvio padra˜o 2 (em m3). Para uma
amostra de 25 resideˆncias, qual e´ a probabilidade da me´dia amostral na˜o se
afastar da verdadeira me´dia por mais de 1 m3?
Questa˜o 4
A durac¸a˜o de um ”tonner” de uma ma´quina de fotoco´pias pode ser mod-
elado como normal com me´dia 15 e desvio padra˜o 2 (em milhres de co´pias).
Para uma amostra de 12 ma´quinas a durac¸a˜o do ”tonner” e´ observada. Qual
e´ a probabilidade de em me´dia, durar:
• a)Menos que 16 mil co´pias?
• b)Mais de 13 mil co´pias?
• c) Entre 13 e 14 mil co´pias?
Questa˜o 5
Um fabricante afirma que sua vacina contra gripe imuniza em 80 por
cento dos casos. Uma amostra de 25 indiv´ıduos que tomaram essa vacina foi
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 118
escolhida e testes foram feitos para verificar a imunizac¸a˜o desses indiv´ıduos.
Se o fabricante estiver correto, qual e´ a probabilidade da proporc¸a˜o dos imu-
nizados na amostra ser inferior a` 0,75? e superior a` 0,85?
Questa˜o 6
Uma amostra em 100 cidades brasileiras indicou que o valor me´dio da hora
aula para professores de escolas pu´blicas e´ 2,5 reais. Obtenha um intervalo
de confianc¸a 95 por cento para o valor me´dio da hora aula baseado no fato
de que o desvio padra˜o em estudos anteriores foi 1,1.
Questa˜o 7
O tempo de durac¸a˜o de um certo tipo de laˆmpada pode ser modelada por
uma normal com desvio padra˜o σ = 25 horas. Uma amostra com 20 laˆmpadas
foi selecionada e observamos a me´dia de X¯ = 1014 horas. Construa um IC
95 % para a me´dia.
Questa˜o 8
Uma indu´stria produz ane´is de ac¸o que integram equipamentos automo-
tivos. O diaˆmetro desses ane´is e´ uma varia´vel com desvio padra˜o σ = 0, 001.
Uma amostra com 36 ane´is e´ selecionada e o diametro me´dio encontrado foi
X¯ = 74, 03. Construa os IC 99% e 95 % para a me´dia.
Questa˜o 9
Um agroˆnomo esta´ interessado em estimar o n´ıvel de ca´lcio em uma
plantac¸a˜o. Para isso, coletou uma amostra com 49 unidades e encontrou
a me´dia de ca´lcio em mg igual a X¯ = 68, 3 e o desvio padra˜o amostral foi de
S = 5, 87. Construa IC 92% e 99% para a me´dia de ca´lcio da plantac¸a˜o.
Questa˜o 10
Considere um experimento qu´ımico cujo rendimento pode ser modelado
por uma normal com desvio padra˜o σ = 3. Esse experimento foi repetido 5
vezes e os rendimentos foram anotados:
91.6, 88.75, 90.8, 89.95, 91.3
Para o n´ıvel de significancia α = 0.05, queremos testar se o rendimento
da reac¸a˜o e´ de 90 %. Qual conclusa˜o chegamos com a amostra acima?
Questa˜o 11
O tempo para um medicamento fazer efeito pode ser modelado por uma
normal com desvio padra˜o σ = 1.25. Uma amostra aleato´ria com 10 tempos
de efeito para 10 pacientes foi coletada e resultou me´dia de X¯ = 40.5 horas.
Existe evideˆncia de que o tempo necessa´rio para o medicamento fazer efeito
e´ maior que 40 horas? (use α = 0.05)
Questa˜o 12
Um engenheiro estuda a tensa˜o suportada por vigas de alumı´nio. Sabe-
se que a tensa˜o nas vigas segue um modelo normal com desvio padra˜o de
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 119
σ = 60. Uma amostra aleato´ria com a tensa˜o de 12 vigas foi analisada e
resultou em uma tensa˜o me´dia de X¯ = 3250. Para α = 0.01 aceitar´ıamos ou
rejeitar´ıamos a me´dia de tensa˜o de 3500?
7 INFEREˆNCIA ESTATI´STICA 120
Refereˆncias
Bussab, Morettin. Estat´ıstica ba´sica. Editora Saraiva.
Magalha˜es. Noc¸o˜es de probabilidade e estat´ıstica.
Montgomery. Applied statistics and probability for engineers
Triola. Estat´ıstica ba´sica