Propriedades dos Determinantes

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Propriedades dos Determinantes 
Prof. Mariane Giareta 
 
1. Se os elementos de uma fila de uma matriz quadrada A forem nulos, o seu determinante é nulo. 
Exemplo: 
 
 
2. Se duas filas de uma matriz quadrada A forem iguais ou proporcionais, seu determinante é nulo. 
Exemplo: 
 
 
 
3. Se uma fila de uma matriz quadrada A for combinação linear de outras duas, seu determinante é nulo. 
Exemplo: 
 
 
4. O determinante da matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transporta; det(A) = det(At ) 
Exemplo: 
 
 
5. Teorema de Jacobi “Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma fila uma 
combinação linear de outra fila paralela.” 
 
Exemplo: 
 
 
 
6. Se trocarmos entre si duas filas paralelas de uma matriz quadrada A, o determinante da nova matriz é 
oposto do determinante da primeira matriz. 
 
Exemplo: 
 
 
0
962
000
321
=
−
 3L-22L1L que observe 0 
517
222
153
==
−
−−
23
412
510
321
 23
510
412
321
=
−
−=−
2
42
31
 2
43
21
−=−=
 -2)det( 
2-0
21
3L-LL se-aplicaA Sobre 2)det( 
43
21 **
122 =





==−=





= AAAA
0
652-
1-48
652-
 0
030
561
521
==−−
7. Se multiplicarmos todos elementos de uma fila da matriz quadrada A por um número real k, então o 
determinante da nova matriz é o produto de k pelo determinante da primeira matriz. 
61812
43
63
 3LL 2
43
21
11 −=−==−= 
 
 
** Conseqüência: Se uma matriz An, for multiplicada por um escalar m , det(mA) =mn det(A). 
 
8. Se numa matriz quadrada A, forem nulos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal 
(matriz triangular superior e ou inferior) , então o determinante da matriz A se resume ao termo principal 
de A. 
Exemplo 
 
9. Teorema de Binet “Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então det(AB)=det(A) .det(B)” 
 
Exemplo 
 
 
*** Conseqüências: 
 
• Se existe AB e BA , mesmo que diferentes então, det(AB)=det(BA) 
 
• Se A é uma matriz quadrada não singular, isto é, A tem inversa, 
 
Determinante da inversa de A é o inverso do determinante de A 
)det(
1)det(
1)det()det(
)det()det()det(
1
1
1
1
A
A
AA
IAA
IAA
=
=
=
=
−
−
−
−
14
700
610
542
−=










−
10det(AB) -5det(B) 2)det(
05
21
 
3-1-
43
B 
43
21
==−=





 −
=





=





=
A
ABA