03 - FOC T2

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Juros Compostos
FOC T2
1
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
Juro e Montante
	No regime de juros compostos, o juro gerado pela aplicação será incorporado à mesma passando a participar da geração de juros no período seguinte. Diz-se que os juros são capitalizados, e como não só o capital inicial rende juros mas estes são devidos também sobre os juros formados anteriormente, temos o nome de juros compostos.
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2
Diferença entre os regimes de capitalização
3
n
Juros Simples
Juros Compostos
Juro por período
Montante
Juro por período
Montante
1
1.000 x 0,2 = 200,00
$ 1.200
1.000 x 0,2 = 200,00
$ 1.200
2
1.000 x 0,2 = 200,00
$ 1.400
1.200 x 0,2 = 240,00
$ 1.440
3
1.000 x 0,2 = 200,00
$ 1.600
1.440 x 0,2 = 288,00
$ 1.728
4
1.000 x 0,2 = 200,00
$ 1.800
1.728 x 0,2 = 345,60
$ 2.074
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
Diferença entre os regimes de capitalização
4
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
Montante
5
n
Juros Compostos
Cálculo do Montante
1
$ 1.000
×
1,2
=
$ 1.200
2
$ 1.200
×
1,2
=
$ 1.440
3
$ 1.440
×
1,2
=
$ 1.728
4
$ 1.728
×
1,2
=
$ 2.074
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Montante
6
	Nessa fórmula, a taxa de juros i refere-se à mesma medida de tempo utilizada para os n períodos, e deve ser expressa em sua forma unitária.
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Cálculo do juro
7
	O juro Jn é calculado pela diferença entre o montante Cn em um período n e o capital inicial C0.
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Cálculo do juro
8
	A separação entre juros e principal apresenta aspectos práticos importantes, por exemplo, nos abatimentos fiscais que os juros geram para as pessoas física e jurídica.
	Qual o juro pago no caso do empréstimo de $ 1.000,00 à taxa de juros compostos de 2% a.m. pelo prazo de 10 meses?
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Valor atual e valor nominal
9
Valor atual: corresponde ao valor da aplicação em uma data inferior à do vencimento;
Valor nominal: é o valor do título na data de seu vencimento.
	Sejam:
	V = valor atual na data zero (C0);
	N = valor nominal na data n (Cn);
Tem-se que:
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Exemplos
10
Por quanto devo comprar um título vencível daqui a 5 meses, com valor nominal de $ 1.131,40, se a taxa de juros compostos corrente for de 2,5% a.m.?
Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence daqui a 1 ano, com valor nominal de $1.344,89. Foi-lhe proposta a troca daquele título por outro, vencível daqui a 3 meses e no valor de $1.080,00. Sabendo que a taxa corrente no mercado é de 2,5% a.m., pergunta-se se a proposta é vantajosa.
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Taxas equivalentes
11
Duas taxas são equivalentes se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente aplicar em uma ou outra.
De outro modo, considerando-se um mesmo capital aplicado por um mesmo intervalo de tempo a cada uma das taxas, ambas as taxas produzirão um mesmo montante se forem equivalentes.
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Taxas equivalentes
12
	Sejam:
	I = referente a um intervalo de tempo p;
	Iq = referente a um intervalo de tempo igual à fração própria p/q (q>p).
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Taxas equivalentes
13
O capital C0 pode ser aplicado a duas taxa i e iq que teremos o mesmo montante:
 
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Exemplos
14
Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros compostos equivalente mensal.
Suponha que:
	C0 = $ 1.000,00
	iq = 2 % a.m.
	i = 26,824 % a.a.
	n = 1 ano
	Verifique se i e iq são equivalentes.
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Exemplos
15
Se um capital de $ 1.000,00 puder ser aplicado às taxas de 10 % a.a. ou de 33,1 % ao triênio, determinar a melhor aplicação.
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Períodos não-inteiros
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Convenção exponencial
	Os juros do período não-inteiro são calculados utilizando-se a taxa equivalente.
	Procede-se em duas etapas:
1ª etapa: Calcula-se o montante correspondente à parte inteira de períodos, aplicando-se a fórmula de montante para juros compostos.
2ª etapa: Na fração de tempo não-inteiro restante, admite-se uma formação exponencial dos juros. 
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Exemplo
17
Um capital de $ 1.000,00 é emprestado à taxa de juros compostos de 10% a.a., pelo prazo de 5 anos e 6 meses. Tendo por base a capitalização anual, qual será o montante?
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Taxa efetiva e taxa nominal
18
Temos uma taxa de juro nominal quando o prazo de formação e incorporação de juros ao capital inicial não coincide com aquele a que a taxa se refere. Nesse caso, é comum adotar-se a convenção de que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal.
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Exemplo
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Um banco faz empréstimos à taxa de 5 % a.a., mas adotando a capitalização semestral dos juros. Qual seria o juro pago por um empréstimo de $10.000,00, feito por 1 ano?
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Taxa efetiva
20
Sendo
i = taxa nominal
if = taxa efetiva
k = número de capitalizações para 1 período da taxa nominal
n = número de períodos de capitalizações da taxa nominal
C0 = principal
Cnk = montante
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Exemplos
21
	Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxa de 10% a.a. com capitalização semestral. Calcular o montante e a taxa efetiva da operação.
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Exemplos
22
Sabendo-se que a taxa nominal de 12 % a.a. é capitalizada trimestralmente, calcular a taxa efetiva.
Um banco emprestou a importância de $ 1.000,00 por 1 ano. Sabendo-se que o banco cobra a taxa de 12 % a.a., com capitalização mensal, pergunta-se qual a taxa efetiva anual e qual o montante a ser devolvido ao final de 1 ano.
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Exercícios propostos
23
1. Qual é o montante gerado por um capital de $ 1.000,00 aplicado pelos prazos e taxas abaixo: 
a) 1%a.m.—12 meses 
b) 1,5% a.m. —3 anos 
c) 3% a.t. — 18 meses 
d) 10%a.a. — 120 meses 
e) 5% a.s. — 5 anos 
f) 1% a.a. —2 anos 
g) 100% a. dia — 1 semana 
h) 250% a quinzena — 2 meses 
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Exercícios
24
2. Que juro receberá uma pessoa que aplique $ 1.000,00 conforme as hipóteses abaixo 
a) 2% a.m. — 1 ano 
b) 1,5% a.t. — 2 anos 
c) 7% a.s. — 36 meses 
d) 1.000% cada dez dias — 1 mês 
e) 150% a semana — 21 dias 
f) 10% cada primavera — 3 anos 
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington
Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
Exercícios
25
3. Certa pessoa pretende comprar uma casa por $ 500.000,00, daqui a 6 anos. Quanto deve aplicar esta pessoa hoje para que possa comprar a casa no valor e prazo estipulado, se a taxa de juros for: 
a) 3% a.t. 
b) 1%a.m. 
c) 15% a.a. 
d) 50% a.s. 
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Exercícios
26
4. Para ter $ 100.000,00 quanto devo aplicar hoje, se as taxas e prazos são os seguintes: 
a) 2,5% a.m. — 1 semestre 
b) 15°/ a.q. -4 anos 
c) 50% ao dia - 10 dias 
d) 0% a.m. - 2 meses 
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Exercícios
27
5. O preço de um carro é $ 11.261,62, podendo este valor ser pago ate o prazo máximo de 6 meses. Quem optar pelo pagamento a vista beneficia-se de um desconto de 11,2%. Qual é a taxa de juro cobrada nesta operação?
6. O banco X anuncia que sua taxa para empréstimo pessoal é de 2,5% a.m. Um cliente retirou $ 20.000,00 e quando foi saldar sua dívida o gerente lhe disse que esta importava em $ 31.193,17. Quanto tempo levou o cliente para restituir o empréstimo? 
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Exercícios
28
7. Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir 3O% do valor da mercadoria a vista como entrada e o restante a ser liquidado em até 3 meses. Neste caso, o valor da mercadoria sofre um acréscimo de 1 O%, que será pago na segunda parcela. Qual e a taxa de juros desta loja para este período? 
8. Um sítio é posto a venda por $ 50.000,00 de entrada e $ 100,000,00 em 1 ano. Como opção o vendedor pede $ 124.000,00 a vista. Se a taxa de juros de mercado e de 2,5% a.m., qual a melhor alternativa? 
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Exercícios
29
9. Um investidor troca um título de $ 10.000,00, vencível em 3 meses, por outro de $ 13.500,00, vencível em 1 ano. Sabendo-se que a taxa de mercado é de 3% a.m., este investidor fez bom negócio? Que taxa ganhou por mês? 
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Exercícios
30
10. Um terreno é vendido por $ 200.000,00 a vista. A prazo, o vendedor oferece dois planos
	a)	$ 50.000,00 de entrada 
		$55.181,96 em 6 meses 
		$126.824,18 em 12 meses 
	b)	$ 60.000,00 de entrada 
		$102.480,77 em 6 meses 
		$63.412,09 em 12 meses 
	Se a taxa de juro corrente for de 2% a.m., qual será a melhor alternativa? 
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
Sugestão: Calcular a soma dos valores atuais, descontados para a data zero e à taxa dada, nas hipóteses de financiamento. 
Exercícios
31
11. Entre suas aplicações o Sr. Paulo tem um título com o valor de resgate de $ 3.000,00 e outro com o valor de $ 3.183,00, vencíveis, respectivamente, em 180 e 240 dias. Se a aplicação tivesse sido feita hoje, qual das duas seria a melhor, na hipótese de mesmo capital aplicado e taxa de mercado 3% a.a.? 
12. Qual é a taxa equivalente anual às seguintes taxas: 
a) 1%a.m. 
b) 2% ao bimestre 
c) S% ao trimestre 
d) 2,5% ao quadrimestre 
e) 8% a.s. 
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Exercícios
32
13. Que taxas são equivalentes a 25% a.a., se os prazos respectivos forem: 
a) 6 meses (semestral) 
b) 4 meses (quadrimestral) 
c) 3 meses (trimestral) 
d) 2 meses (bimestral) 
e) 1 mês (mensal) 
f) 8 meses 
g) 9 meses 
h) 11 meses 
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Exercícios
33
14. Em 20X5 a rentabilidade das Cadernetas de Poupança foi de 31,66% a.a. Qual a taxa de rentabilidade trimestral? 
15. Certa loja vende um conjunto de som por $ 1 0.000,00, podendo o pagamento ser efetuado sem nenhum acréscimo daqui a 4 meses. Contudo, se o cliente optar pelo pagamento a vista será bonificado com um abatimento de 10%. O custo de um empréstimo pessoal e de 2,7% a.m.; nestas condições vale a pena comprar a prazo? 
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Exercícios
34
16. Um grande magazine anuncia a venda de um jogo de rodas de magnésio por $ 5 000,00 a vista ou $ 1.000,00 de entrada e dois pagamentos mensais de $ 2.120,78. Se a taxa de juros de mercado for de 42,58% a.a., compensa a compra a vista? 
Sugestão: A mesma do problema n 10, sendo desconhecida a taxa. Ao resolver a equação de 2 grau, considerar a raiz positiva. 
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Exercícios
35
17. O Produto Nacional Bruto de um país cresceu em 200% em 10 anos. Qual foi a taxa de crescimento anual? 
18. Em quanto tempo dobra uma população que cresce 2,82% a.a.? 
19. Um investidor aplicou $ 5.000,00 por 30 meses à taxa de 10% a.a. Qual é o montante por ele recebido? (Convenção exponencial.) 
20. Com a finalidade de comprar um carro no valor de $ 7.500,00, um rapaz aplica $ 6.000,00 a taxa de 3% a.m. Quanto tempo levou para obter o valor do carro? (Convenção exponencial.) 
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Exercícios
36
21. Qual é o montante auferido em um investimento de $1 0.000.00 por 4 anos e 9 meses à taxa de 10% a.a.? (Convenção exponencial.) 
22. Uma aplicação em Caderneta de Poupança rende $ 500,00 sobre um capital de $ 800,00 em 1 ano e 3 meses. Qual é a taxa de rentabilidade anual (Convenção exponencial.) 
23. Tendo investido $ 25.000,00 na Bolsa de Valores, João esperava ganhar 100% a.a. Qual seria o lucro recebido por ele ao fim de 1 ano e 8 meses, caso tal rentabilidade ocorresse? (Convenção exponencial.) 
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Exercícios
37
24. A rentabilidade de uma aplicação é de 25% a.a. Sabendo-se que uma pessoa lucrou $ 980,00 sobre um capital de $ 2.500,00, pergunta-se quanto tempo ficou o dinheiro aplicado? (Convenção exponencial.) 
25. Qual é a taxa de juros para 13 meses, nas hipóteses (Convenção exponencial): 
a) 27% a.a. 
b) 6% as. 
c) 5%a.q. 
d) 10%a.t. 
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Exercícios
38
26. Qual é a taxa efetiva anual nas hipóteses abaixo? 
Taxa Nominal 	Capitalização 
a) 24% a.a. 		mensal 
b) 28% a.a. 		trimestral 
c) 21% a.a. 		quadrimestral 
d) 40% a.a. 		semestral 
e) 30% a.a. 		anual 
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Exercícios
39
27. Se o banco deseja ganhar 3O% a.a. como taxa efetiva, que taxa nominal anual deverá pedir em cada hipótese de capitalização abaixo: 
a) mensal 
b) trimestral 
c) quadrimestral 
d) semestral 
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Exercícios
40
28. O Banco Alfa propõe a um cliente a taxa de juros de 4º% a.a., sendo a capitalização anual O cliente, entretanto, opta pelo financiamento de outro banco, pois sua taxa é de 36,5% a.a., considerando ano civil de 365 dias. Como detalhe deste segundo financiamento deve- se acrescentar que sua capitalização é diária. Qual é a melhor taxa? 
29. Uma empresa toma emprestado $ 100.000,00 pelo prazo de 2 anos. Se a taxa do banco for de 28% a.a., com capitalização trimestral, qual será o montante devolvido ?
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Exercícios
41
30. Se uma empresa deseja ganhar a taxa efetiva de 5O% a.m., que capitalizacao deverá exigir para uma taxa nominal de 41,38% a.m.? (Nota: Solução por tentativa e erro.) 
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington
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Respostas
42
1. a) $1.126,83 
b $1.709,14 
c) 5 1.194,05 
d) $ 2.593,74 
e) $ 1 .628,89 
f) $ 1.020,10 
g) S 128.000,00 
h) $ 1 50.062,50 
2. a) $ 268,24 
b) 5 126,49 
c) $ 500,73 
d) $1 .330.000,00 
e) $ 14.625,00 
f) $331,00 
3 a) $ 245.966,88 
b) $ 244.248,08 
c) $216.163,78 
d) $ 3.853,67 
4 a) $ 86.229,72 
b) $ 18.690,72 
c) 5 1.734,15 
d) $100.000,00 
5. 2%a.m. 
6. 18 meses. 
7. 70,60°/o a.a 
8. Comprar a vista, pois o valor atual da outra alternativa e de $ 124.355,58. 
9 Sim Ganhou 3,39% a.m. 
10. O plano a), pois possui menor valor atual 
11 A aplicação para 240 dias e melhor, pois e superior em qualquer data de comparação. 
12. a) 12,6825% a.a 
b) 12,6152% a.a. 
c) 21,5506% a.a. 
d) 7,6891% a.a. 
e) 16,6400% a.a. 
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Respostas
43
13. a) 11 ,803399% a.a. 
b) 7,721735% a.q. 
c) 5,7371 26% a.t. 
d) 3,789082% a.b. 
e) 1,876927%a.m. 
f) 16,040% em 8 meses 
g) 18,218% em 9 meses 
h) 22,697% em 11 meses 14. 7,1182% a.t. 
15. Sim, pois a taxa é de 2,669% a.m 
16. Sim, pois a taxa da loja é de 4% a.m. equivalendo a 60,10% a.a.
17. 1161 23% a.a. 
18. 24,9 anos 
19. $ 6.345,29 (convenção exponencial) 
20. 7 meses e 16 dias (convenção exponencial) 
21. $15.725,89 (convenção exponencial) 
22. 47,46% a.a. 
23. $ 54.370,05 (convenção exponencial) 
24. 1 ano, 5 meses e 24 dias (convenção exponencial) 
25. Convenção exponencial 
a) 29,5550% 
b) 1 3,4565% 
c) 17,1832% 
d) 51,1361%
Respostas
44
26. a) 26,82% a.a. 
b) 31,08%a.a. 
c) 22,50% a.a. 
d) 44,00% a.a. 
e) 30,00%a.a. 
27. a) 26,53% a.a. 
b) 27,12% a.a. 
c) 27,42% a.a. 
d) 28,04% a.a. 
28. A melhor taxa é a do Banco Alfa, pois é de 40,00% a.a., enquanto que a taxa efetiva do outro banco é de 44,03% a.a. 
29. $171.818,60 
30. Capitalização a cada 3 dias.