100%
Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas . Unifal-MG Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 . Alfenas/MG . CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 . Fax: (35) 3299-1063 Máximos e Mínimos para funções de várias variáveis Se f(x,y) for uma função de duas variáveis, dizemos que f(x,y) tem um máximo relativo quando x = a e y = b se f(x,y) é no máximo igual a f(a,b) sempre que x estiver perto de a e y estiver perto de b. Geometricamente, o gráfico de f(x,y) tem um pico no ponto (x, y) = (a,b). Analogamente dizemos que f(x,y) possui um mínimo relativo quando x = a e y = b se f(x,y) é no mínimo igual a f(a,b) sempre que x estiver perto de a e y estiver perto de b. Geometricamente, o gráfico de f(x,y) tem um poço cujo fundo ocorre em (x, y) = (a, b). Suponha que a função f(x, y) tenha um mínimo relativo em (x, y) = (a, b). Quando y for mantido constante em b, f(x, y) é uma função de x com um mínimo relativo em x = a. Portanto a reta tangente à curva z = f(x, y) é horizontal em x = a e sua inclinação é zero. Logo �� �� = 0 Da mesma forma, quando x é mantido constante em a, f(x, y) é uma função de y com um mínimo relativo em y = b. Por isso, sua derivada em relação a y é zero em y = b. Assim �� �� = 0 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas . Unifal-MG Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 . Alfenas/MG . CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 . Fax: (35) 3299-1063 Considerações análogas se aplicam no caso de máximo relativo. Portanto: Testa da derivada primeira para funções de duas variáveis: Se f(x,y) tem um máximo ou mínimo relativo em (x, y) = (a, b), então: �� �� (�, ) = 0 e �� �� (�, ) = 0 Obs.: •••• Um máximo ou mínimo relativo pode ou não ser um máximo ou mínimo absoluto. •••• O ponto (a,b) é chamado de PONTO CRÍTICO. Exemplo1: Determine o ponto crítico da função �(�, �) = 3� − 4�� + 3� + 8� − 17� + 30 que possui gráfico semelhante à figura anterior. (perceba que esse ponto é um mínimo relativo) (lousa) Exemplo2: Um monopolista comercializa um produto em dois países e pode cobrar preços diferentes em cada país. Sejam x o número de unidades a serem vendidas no primeiro país e y o número de unidades a serem vendidas no segundo. Devido às leis da demanda, o monopolista precisa fixar o preço em �� = 97 − ��� dólares no primeiro país e em � = 83 − � � dólares no segundo, para vender todas as unidades. O custo na produção desses unidades é de �(�, �) = 20000 + 3(� + �). Encontre os valores de x e y que maximizam o lucro. (lousa) MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas . Unifal-MG Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 . Alfenas/MG . CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 . Fax: (35) 3299-1063 Exercícios: (1) Seja �(�, �) = � + � − 2� − 6� + 14. Sabendo que a curva é um paraboloide com um ponto crítico de mínimo, utilize o teste da primeira derivada e encontre as coordenadas de seu ponto. (2) Encontre todos os pontos em que a função tem um possível máximo ou mínimo relativo. (a) �(�, �) = � − 3� + 4� + 6� + 8 (b) �(�, �) = �� + � − 3� + 6� Teste da segunda derivada Exemplo3: Determine os valores extremos de �(�, �) = � − � (lousa) Teste da segunda derivada para funções de duas variáveis: Sejam f(x, y) uma função e (a, b) um ponto crítico de f(x, y). Seja � = �(�, ) = ���(�, )���(�, ) − ����(�, ) (a) se D > 0 e ��� > 0, então f(a, b) é um mínimo local. (b) se D > 0 e ��� < 0, então f(a, b) é um máximo local. (c) se D < 0, então f(a, b) não é mínimo local nem máximo local. (esse ponto recebe o nome de ponto de sele de f) (d) se D = 0, então nenhuma conclusão pode ser tirada desse teste. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas . Unifal-MG Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 . Alfenas/MG . CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 . Fax: (35) 3299-1063 Obs.: Para lembrar a fórmula de D é útil recorrer a uma Determinante � = #��� ������ ���# = ������ − $���% Exemplo4: Analise os pontos críticos da função �(�, �) = �& + �& − 4�� + 1 (lousa) Exemplo 5: Uma estação retransmissora de televisão atende as cidades A, B e C, cujas posições relativas são mostradas na figura abaixo. Determine onde a estação deve estar localizada para que a soma dos quadrados das distâncias a cada cidade seja minimizada. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas . Unifal-MG Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 . Alfenas/MG . CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 . Fax: (35) 3299-1063 Exemplo 6: Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m² de papelão. Determine o volume máximo de tal caixa. (lousa) Exercícios: (1) Use o teste da segunda derivada e classifique os pontos críticos das funções abaixo: (a) �(�, �) = �� − � − 12� + 6� + 5 (b) �(�, �) = 2� + 3�� + 5� (c) �(�, �) = �� − 2�� + 4� (2) A receita total semanal (em dólares) da Acrosonic obtida na produção e na venda de sistemas de alto-falantes portáteis é dada pela função ((�, �) = −14� − 38� − 14�� + 300� + 240� onde x denota o número de unidades completamente montadas e y denota o número de kits produzidos e vendidos por semana. O custo total semanal em razão da produção desses sistemas de alto-falantes é, em dólares, dado pela função �(�, �) = 180� + 140� + 5000 onde x e y tem o mesmo significado anteriormente. Determine quantas unidades montadas e quantos kits a Acrosonic deve produzir semanalmente para maximizar seu lucro (Lembre-se que a função Lucro = Receita – Custo).
