integracao_numerica

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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Integrac¸a˜o nume´rica
Ricardo Biloti
Ca´lculo Nume´rico
Vera˜o, 2012
http://goo.gl/MAs5z Ricardo Biloti Integrac¸a˜o nume´rica
Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Problema
I =
∫ b
a
f (x) dx
I Na˜o sei calcular I
I Sei calcular I , mas a expressa˜o para I e´ complicada
I So´ conhec¸o f em pontos amostrados
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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Exemplo
erf(x) =
2√
pi
∫ x
0
e−u
2
du
-3 0 3
-1
0
1
x
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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Abordagem
I =
∫ b
a
f (x) dx ≈
n∑
k=0
Ak f (xk) ≡ Q[f ]
onde Ak sa˜o os pesos e
a ≤ x0 < x1 < · · · < xn ≤ b
sa˜o os no´s da fo´rmula de quadratura.
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Abordagem
I =
∫ b
a
f (x) dx ≈
∫ b
a
g(x) dx
tal que g e´ fa´cil de ser integrada
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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Newton–Cotes
I =
∫ b
a
f (x) dx ≈
∫ b
a
pn(x) dx
onde pn e´ o polinoˆmio interpolador de f em
a = x0 < x1 < · · · < xn = b,
partic¸a˜o regular de [a, b].
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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Regra do trape´zio
x
y
a b
p1(x)
f (x)
f (x) ≈ p1(x) = f (a) + [f (b)− f (a)] (x − a)
(b − a)
I =
∫ b
a
f (x) dx ≈
∫ b
a
p1(x) dx =
(b − a)
2
[f (a) + f (b)] ≡ QT [f ]
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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Erro da regra do trape´zio
f (x) = p1(x) +
f ′′(ξx)
2!
(x − a)(x − b)
I − QT [f ] =
∫ b
a
f ′′(ξx)
2!
(x − a)(x − b) dx
=
f ′′(ξ)
2
∫ b
a
(x − a)(x − b) dx
= −(b − a)
3
12
f ′′(ξ)
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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Erro da regra do trape´zio
Como
I − QT [f ] = −(b − a)
3
12
f ′′(ξ), ξ ∈ (a, b)
Se p ∈ P1, enta˜o
I − QT [p] = 0
A regra do trape´zio e´ exata para polinoˆmios de grau 1
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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Exemplo
I =
2√
pi
∫ 1
0
e−x
2
dx
I ≈ QT = 2√
pi
(1− 0)
2
[e0 + e−1] = 0.77174
|I − QT | = 0.070957 ≤ (1− 0)
3
12
M2 = 0.22433
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Exerc´ıcio
I Aproxime
∫ 3
2
1
1 + t
dt.
I Qual a estimativa para o erro?
I Qual o erro de fato cometido?
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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Regra de Simpson
x
y
a m b
p2(x)
f (x)
f (x) ≈ p2(x) = fa+ (x − a)
h
(
(fm − fa) + (fb − 2fm + fa)
2h
(x −m)
)
I =
∫ b
a
f (x) dx ≈
∫ b
a
p2(x) dx =
h
3
(fa + 4fm + fb) ≡ QS [f ]
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Erro na regra de Simpson
I =
∫ b
a
p2(x) dx +
∫ b
a
f ′′′(ξx)
3!
(x − a)(x −m)(x − b) dx
Pode-se mostrar que
I − QS [f ] = − 1
90
(
b − a
2
)5
f (4)(ξ)
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Erro na regra de Simpson
Como
I − QS [f ] = − 1
90
(
b − a
2
)5
f (4)(ξ), ξ ∈ (a, b)
Se p ∈ P3, enta˜o
I − QS [p] = 0
A regra de Simpson e´ exata para polinoˆmios de grau 3
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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Exemplo
I =
2√
pi
∫ 1
0
e−x
2
dx
I ≈ QS = 2√
pi
1
6
[e0 + 4e−1/4 + e−1] = 0.84310
|I −QS | = 4.0204 · 10−4 ≤ 1
90
(
1
2
)5
M4 =
3.6469
2880
= 1.2663 · 10−3
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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Exerc´ıcio
I Aproxime
∫ 3
2
1
1 + t
dt.
I Qual a estimativa para o erro?
I Qual o erro de fato cometido?
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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Integrac¸a˜o via interpolac¸a˜o
De maneira geral, se n ∈ N e xk = k/n, enta˜o
f (x) = pn(x) +
f (n+1)(ξ)
(n + 1)!
ω(x)
Na forma de Lagrange,
pn(x) =
n∑
k=0
f (xk)`
n
k(x)
Enta˜o
I =
∫ 1
0
f (x) dx ≈
∫ 1
0
n∑
k=0
f (xk)`
n
k(x) dx =
n∑
k=0
f (xk)
∫ 1
0
`nk(x) dx
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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Integrac¸a˜o via interpolac¸a˜o
I ≈ Q[f ] =
n∑
k=0
Ak f (xk)
com
Ak =
∫ 1
0
`nk(x) dx
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Regra de Simpson
I =
∫ 1
0
f (x) dx
x0 = 0 <
1
2
= x1 < 1 = x2
Ak =
∫ 1
0
`2k(x) dx
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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Como melhorar?
I =
2√
pi
∫ 1
0
e−x
2
dx
|I − QT | = 7.0957 · 10−2
|I − QS | = 4.0204 · 10−4
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Trape´zio Composto
x
y
x0 x1 x2 x3
f (x)
I =
n∑
k=1
∫ xk
xk−1
f (x) dx ≈
n∑
k=1
h
2
[f (xk−1) + f (xk)] ≡ QTC [f ]
QTC [f ] = h
(
f (x0)
2
+ f (x1) + · · ·+ f (xn−1) + f (xn)
2
)
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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Erro na regra de trape´zio composta
I − QT [f ] = −(b − a)
3
12
f ′′(ξ)
I − QTC [f ] = −nh
3
12
f ′′(ξ) = −(b − a)h
2
12
f ′′(ξ)
onde h = max |xk − xk−1|, ξ ∈ (a, b)
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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Exemplo
Em quantos intervalos e´ necessa´rio particionar [0, 1] para estimar a
integral abaixo com quatro casas corretas?
I =
2√
pi
∫ 1
0
e−x
2
dx
|I − QTC | ≤ (b − a)h
2
12
M2 ≤ h
2
12
2.2568 ≤ 10−4
h ≤ 2.31 · 10−2 ⇒ n ≥ 44
|I − QTC | = 3.5736 · 10−5
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Simpson Composto
x
y
x0 x1 x2 x3 x4
f (x)
I =
n
2∑
k=1
∫ x2k
x2k−2
f (x)dx ≈
n
2∑
k=1
h
3
[f (x2k−2)+4f (x2k−1)+f (x2k)] ≡ QSC [f ]
QSC [f ] =
h
3
(f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + · · ·+ 2fn−2 + 4fn−1 + fn)
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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Erro na regra de Simpson composta
I − QS [f ] = −h
5
90
f (4)(ξ)
I − QSC [f ] = −n
2
h5
90
f (4)(ξ) = −(b − a)h
4
180
f (4)(ξ)
onde h = max |xk − xk−1|, ξ ∈ (a, b)
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Introduc¸a˜o Newton–Cotes Regras compostas
Exemplo
Em quantos intervalos e´ necessa´rio particionar [0, 1] para estimar a
integral abaixo com quatro casas corretas?
I =
2√
pi
∫ 1
0
e−x
2
dx
|I − QSC | ≤ (b − a)h
4
180
M4 ≤ h
4
180
2.6504 ≤ 10−4
h ≤ 2.87 · 10−1 ⇒ n ≥ 4
|I − QSC | = 3.5358 · 10−5
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