18-Individuos_e_Relacoes

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

INDIVÍDUOS	
  E	
  RELAÇÕES	
  
	
  
	
  
	
  
Lógica	
  Proposicional	
  -­‐	
  Fraquezas	
  
2 
¨  A	
  lógica	
  proposicional	
  	
  é	
  suficiente	
  para	
  ilustrar	
  os	
  conceitos	
  
básicos	
  da	
  lógica.	
  
¨  Mas	
  é	
  muito	
  fraca	
  para	
  representar	
  ambientes	
  complexos	
  de	
  
forma	
  concisa.	
  
¤  Ex.:	
  para	
  descrever	
  o	
  mundo	
  do	
  Wumpus	
  somos	
  forçados	
  a	
  escrever	
  
uma	
  regra	
  separada	
  p/	
  brisas	
  e	
  poços	
  p/	
  cada	
  quadrado.	
  
Formas	
  de	
  Representação	
  
3 
¨  C++,	
  Java	
  ou	
  Lisp:	
  
¤  Representam	
  processos	
  computacionais.	
  
¤  Não	
  têm	
  um	
  mecanismo	
  geral	
  para	
  derivar	
  fatos	
  a	
  parWr	
  de	
  outros	
  
fatos.	
  
n  Cada	
  atualização	
  em	
  uma	
  ED	
  é	
  feita	
  por	
  um	
  procedimento	
  específico	
  do	
  
domínio	
  cujos	
  detalhes	
  são	
  derivados	
  pelo	
  programador	
  a	
  parWr	
  de	
  seu	
  
próprio	
  conhecimento	
  do	
  domínio.	
  
¤  Abordagem	
   (ou	
  processual)‏.	
  
:	
  
¤  Abordagem	
   è	
  conhecimento	
  separado	
  da	
  inferência	
  
(inferência	
  independente	
  do	
  domínio)‏.	
  
Formas	
  de	
  Representação	
  
4 
¨  “Existe	
  um	
  poço	
  em	
  [2,2]	
  ou	
  [3,1]”	
  
¨  “Se	
  o	
  Wumpus	
  está	
  em	
  [1,1],	
  então	
  ele	
  não	
  está	
  em	
  [2,2]”	
  
¨  As	
  sentenças	
  acima	
  são	
  mais	
  dieceis	
  de	
  expressar	
  usando	
  
linguagens	
  de	
  programação.	
  
¨  A	
  lógica	
  proposicional:	
  
¤  Tem	
  capacidade	
  expressiva	
  suficiente	
  para	
  lidar	
  com	
  informações	
  
parciais	
  usando	
  disjunções	
  e	
  conjunções.	
  
¤  É	
  uma	
  linguagem	
   :	
  O	
  significado	
  de	
  uma	
  sentença	
  é	
  uma	
  
função	
  do	
  significado	
  de	
  suas	
  partes.	
  
Formas	
  de	
  Representação	
  
5 
¨  Lógica	
  proposicional:	
  	
  
¤  Falta	
  de	
  capacidade	
  de	
  expressão	
  para	
  descrever	
  de	
  forma	
  concisa	
  um	
  
ambiente	
  com	
  muitos	
  objetos.	
  
¤  Somos	
  forçados	
  a	
  escrever	
  uma	
  sentença	
  sobre	
  brisas	
  e	
  poços	
  para	
  
cada	
  quadrado	
  do	
  mundo	
  do	
  Wumpus.	
  
¨  Linguagem	
  natural:	
  
¤  Fácil	
  de	
  expressar:	
  “Quadrados	
  adjacentes	
  a	
  poços	
  te	
  brisa”.	
  
¤  São	
  mais	
  expressivas.	
  
¤  É	
  melhor	
  como	
  meio	
  de	
  comunicação	
  pois	
  a	
  semânWca	
  de	
  uma	
  
sentença	
  depende	
  do	
   .	
  
¤  Sofrem	
  de	
   .	
  
Objetos	
  relações	
  
¨  Muitas	
  vezes	
  os	
  atributos	
  são	
  originários	
  de	
  relações	
  entre	
  objetos	
  e	
  
funções	
  de	
  objetos.	
  
¨  É	
  úWl	
  ver	
  o	
  mundo	
  como	
  consisWndo	
  de	
  objetos	
  e	
  as	
  relações	
  entre	
  os	
  
objetos.	
  
¨  Raciocinar	
  em	
  termos	
  de	
  objetos	
  e	
  relacionamentos	
  pode	
  ser	
  mais	
  
simples	
  do	
  que	
  raciocinar	
  em	
  termos	
  de	
  atributos,	
  uma	
  vez	
  que	
  você	
  
pode	
  expressar	
  conhecimentos	
  gerais	
  que	
  cobrem	
  todos	
  os	
  indivíduos.	
  
¨  Às	
  vezes	
  você	
  pode	
  saber	
  que	
  algum	
  indivíduo	
  existe,	
  mas	
  não	
  qual	
  é	
  ele.	
  
¨  Às	
  vezes	
  há	
  um	
  número	
  infinito	
  de	
  objetos	
  que	
  você	
  deseja	
  fazer	
  
referência	
  (e.g.,	
  o	
  conjunto	
  de	
  todos	
  os	
  inteiros,	
  ou	
  o	
  conjunto	
  de	
  todas	
  
as	
  pilhas	
  de	
  blocos).	
  
O	
  papel	
  de	
  semânWca	
  no	
  raciocínio	
  
automaWzado	
  
Role of Semantics in Automated Reasoning
����������
��������
�������������
����������������
���������
�����	��k�
������������
�	��˜
���������
��
���
����
����
���
�������
�������
������������
���������
c�D. Poole and A. Mackworth 2010 Artificial Intelligence, Lecture 12.1, Page 2
CaracterísWcas	
  do	
  raciocínio	
  automaWzado	
  
¨  O	
  usuário	
  pode	
  ter	
  significados	
  para	
  símbolos	
  em	
  sua	
  cabeça.	
  
¨  O	
  computador	
  não	
  precisa	
  conhecer	
  estes	
  significados	
  para	
  
derivar	
  a	
  consequência	
  lógica.	
  
¨  O	
  usuário	
  pode	
  interpretar	
  as	
  respostas	
  de	
  acordo	
  com	
  o	
  seu	
  
significado.	
  
Lógica	
  de	
  Primeira	
  Ordem	
  (LPO)	
  
9 
¨  Usa	
  fundamentos	
  da	
  lógica	
  proposicional:	
  
¤  SemânWca	
  declaraWva,	
  composicional,	
  independente	
  de	
  contexto	
  e	
  
não-­‐ambígua.	
  
¨  Melhora	
  a	
  expressividade	
  da	
  LP	
  emprestando	
  idéias	
  de	
  
representação	
  da	
  linguagem	
  natural,	
  mas	
  evitando	
  suas	
  
desvantagens.	
  
¨  É	
  suficientemente	
  expressiva	
  para	
  representar	
  de	
  forma	
  
saWsfatória	
  nosso	
  conhecimento	
  comum.	
  
¨  É	
  o	
  alicerce	
  de	
  muitas	
  outras	
  linguagens	
  de	
  representação.	
  
Lógica	
  de	
  Primeira	
  Ordem	
  (LPO)	
  
10 
¨  Examinando	
  a	
  sintaxe	
  da	
  linguagem	
  natural	
  podemos	
  
idenWficar:	
  
¤  SubstanWvos	
  e	
  sentenças	
  nominais	
  -­‐>	
  objetos:	
  
n  Quadrados,	
  poços,	
  wumpus...	
  
¤  Verbos	
  e	
  sentenças	
  verbais	
  -­‐>	
  relações	
  entre	
  objetos:	
  
n  é	
  arejado,	
  é	
  adjacente,	
  aWra...	
  
¤  Relações	
  podem	
  ser:	
  
n  Propriedades	
  (relações	
  unárias):	
  vermelho,	
  redondo,	
  falso,	
  primo...	
  
n  n-­‐árias	
  mais	
  gerais:	
  irmão	
  de,	
  maior	
  que,	
  interior	
  a,	
  parte	
  de...	
  	
  
n  Funções	
  (relações	
  com	
  um	
  só	
  valor	
  p/	
  uma	
  dada	
  entrada):	
  Pai	
  de,	
  melhor	
  
amigo,	
  início	
  de...	
  
Compromissos	
  
11 
:	
  O	
  que	
  cada	
  linguagem	
  pressupõe	
  
sobre	
  a	
  natureza	
  da	
  realidade	
  (o	
  que	
  existe	
  no	
  mundo)‏	
  
¤  Lógica	
  Proposicional:	
  existem	
  fatos	
  que	
  são	
  válidos	
  ou	
  não	
  são	
  válidos	
  
no	
  mundo	
  
¤  Lógica	
  de	
  Primeira	
  Ordem:	
  o	
  mundo	
  consiste	
  em	
  objetos	
  com	
  certas	
  
relações	
  entre	
  eles	
  que	
  são	
  ou	
  não	
  são	
  válidas	
  
:	
  Os	
  estados	
  possíveis	
  de	
  
conhecimento	
  que	
  a	
  linguagem	
  permite	
  para	
  cada	
  fato	
  
¤  Lógica	
  Proposicional	
  e	
  Lógica	
  de	
  Primeira	
  Ordem:	
  verdadeiro,	
  falso	
  ou	
  
desconhecido	
  
Linguagens	
  Formais	
  
12 
Valor de intervalo conhecido Fatos com graus de verdade 
entre 0 e 1 
Lógica difusa 
Grau de crença entre 0 e 1 Fatos Teoria da probb 
Verdadeiro/falso/desconhecido Fatos, objetos, relações, 
tempos 
Lógica Temporal 
Verdadeiro/falso/desconhecido Fatos, objetos, relações LPO 
Verdadeiro/falso/desconhecido Fatos Lógica Proposicional 
Comp. Epistemológico 
(a crença do agente sobre 
os fatos) ‏ 
Comp. Ontológico 
(O que existe no mundo) ‏ 
Linguagem 
Modelos	
  em	
  LPO	
  
13 
¨  Modelos	
  em	
  lógica	
  proposicional:	
  
¤  Conjuntos	
  de	
  valores-­‐verdades	
  para	
  os	
  símbolos	
  proposicionais.	
  
¨  Modelos	
  em	
  LPO:	
  
¤  Contém	
  objetos.	
  
¤  O	
   de
um	
  modelo	
  é	
  o	
  conjunto	
  de	
  objetos	
  que	
  ele	
  contém.	
  
¤  Objetos	
  também	
  chamados	
  de	
   .	
  
Exemplo	
  de	
  modelo	
  em	
  LPO	
  
14 
coroa 
pessoa pessoa 
rei 
irmão 
irmão 
perna 
esquerda 
perna 
esquerda 
irmão irmão 
Na cabeça 
Exemplo	
  de	
  modelo	
  em	
  LPO	
  
15 
:	
  
¤  Ricardo	
  Coração	
  de	
  Leão	
  (rei	
  da	
  Inglaterra	
  1189-­‐1199)‏	
  
¤  Rei	
  João	
  (rei	
  da	
  Inglaterra	
  1199-­‐1215)‏	
  
n  Irmão	
  mais	
  novo	
  de	
  Ricardo	
  
n  Perverso	
  
¤  Perna	
  esquerda	
  de	
  Ricardo	
  
¤  Perna	
  esquerda	
  de	
  João	
  
¤  Uma	
  Coroa	
  
Exemplo	
  de	
  modelo	
  em	
  LPO	
  
16 
:	
  
¤  Uma	
  relação	
  é	
  um	
  conjunto	
  de	
  tuplas	
  de	
  objetos	
  inter-­‐relacionados.	
  
¤  Relações	
  binárias:	
  
n  Relação	
  de	
  fraternidade	
  do	
  modelo	
  “irmão	
  de”:	
  
n  {<Ricardo	
  Coração	
  de	
  Leão,	
  Rei	
  Jõao>	
  
n  <Rei	
  Jõao,	
  Ricardo	
  Coração	
  de	
  Leão>}	
  
n  Relação	
  “na	
  cabeça”:	
  
n  {<coroa,	
  Rei	
  João>}	
  
Exemplo	
  de	
  modelo	
  em	
  LPO	
  
17 
¤  Relações	
  unárias	
  ou	
  propriedades:	
  
n  “pessoa”:	
  	
  {<Ricardo>,	
  <João>}	
  
n  “rei”:	
  {<João>}	
  
n  “coroa”:	
  {<coroa>}	
  
¤  Relações	
  –	
  funções	
  unárias:	
  
n  “perna	
  esquerda”:	
  {<Ricardo	
  Coração	
  de	
  Leão>,	
  <Rei	
  João>}	
  
LPO	
  –	
  Sintaxe	
  
18 
¨  Símbolos	
  que	
  representam	
  objetos,	
  relações	
  e	
  funções:	
  
¤  Símbolos	
  de	
   	
  –	
  representam	
  objetos.	
  
n  Ex.:	
  ricardo	
  e	
  joão	
  	
  
¤  Símbolos	
  de	
   	
  –	
  representam	
  relações.	
  
n  Ex.:	
  irmão,	
  naCabeça,	
  pessoa,	
  rei	
  e	
  coroa 
¤  Símbolos	
  de	
   	
  –	
  representam	
  funções.	
  
n  Ex.:	
  pernaEsquerda 	
  	
  
	
   	
   	
   	
  	
  
¤  Onde	
  a	
  escolha	
  dos	
  nomes	
  cabe	
  ao	
  usuário	
  do	
  modelo.	
  
¤  Cada	
  símbolo	
  de	
  predicado	
  e	
  de	
  função	
  vem	
  com	
  uma	
  aridade	
  que	
  fixa	
  
o	
  número	
  de	
  argumentos.	
  
LPO	
  –	
  SemânWca	
  
19 
¨  Relaciona	
  sentenças	
  a	
  modelos	
  para	
  determinar	
  a	
  verdade.	
  
¨  Interpretação	
  possível	
  para	
  o	
  exemplo	
  =	
  
.
¤  ricardo	
  se	
  refere	
  a	
  Ricardo	
  Coração	
  de	
  Leão	
  
¤  joão	
  se	
  refere	
  ao	
  perverso	
  rei	
  João	
  
¤  irmão	
  se	
  refere	
  à	
  relação	
  de	
  fraternidade	
  
¤  naCabeça	
  se	
  refere	
  à	
  relação	
  “na	
  cabeça”	
  que	
  é	
  valida	
  entre	
  a	
  coroa	
  
e	
  o	
  rei	
  João	
  
¤  pessoa,	
  rei	
  e	
  coroa	
  se	
  referem	
  a	
  objetos	
  que	
  são	
  pessoas,	
  reis	
  e	
  
coroas	
  
¤  pernaEsquerda	
  se	
  refere	
  á	
  função	
  “perna	
  esquerda”	
  
Interpretações	
  possíveis	
  
20 
¨  Existem	
  muitas	
  outras	
  interpretações	
  possíveis	
  relacionando	
  
esses	
  símbolos	
  a	
  esse	
  modelo	
  específico:	
  
¤  Ex.:	
  uma	
  interpretação	
  que	
  mapeia	
  Ricardo	
  à	
  coroa	
  e	
  João	
  à	
  perna	
  
esquerda	
  do	
  rei	
  João.	
  
¤  Com	
  5	
  objetos	
  no	
  modelo	
  existem	
  25	
  interpretações	
  possíveis	
  apenas	
  
para	
  os	
  símbolos	
  de	
  constantes	
  Ricardo	
  e	
  João.	
  
¨  A	
  verdade	
  de	
  qualquer	
  sentença	
  é	
  determinada	
  por	
  um	
  
modelo	
  e	
  uma	
  interpretação	
  para	
  os	
  símbolos	
  da	
  sentença.	
  
¨  Consequência	
  lógica,	
  validade,	
  saWsfaWbilidade...	
  
¤  São	
  definidas	
  em	
  termos	
  de	
   e	
  
.	
  
Verificação	
  de	
  Modelos	
  para	
  LPO	
  
21 
¨  O	
  número	
  de	
  elementos	
  do	
  domínio	
  em	
  cada	
  modelo	
  pode	
  
ser	
  ilimitado.	
  Então	
  o	
  número	
  de	
  modelos	
  é	
  ilimitado.	
  
¨  A	
  verificação	
  de	
  consequência	
  lógica	
  pela	
  verificação	
  de	
  
modelos	
   é	
  uma	
  opção	
  quando	
  se	
  trata	
  de	
  LPO.	
  
¨  Ainda	
  que	
  o	
  número	
  de	
  objetos	
  seja	
  restrito,	
  o	
  número	
  de	
  
combinações	
  pode	
  ser	
  muito	
  grande.	
  
¤  Com	
  os	
  símbolos	
  do	
  exemplo	
  existe	
  aproximadamente	
  1025	
  
combinações	
  para	
  um	
  domínio	
  com	
  5	
  objetos.	
  
LPO	
  –	
  Sintaxe	
  
22 
rda...PernaEsque | Pai | Mãe Função 
.Chovendo.. | TemCor | Antes Predicado 
s... |x | a Variável 
João... | X | A Constante 
 | dorQuantifica 
 | | | Conectivo 
Variável | 
Constante | 
Termo,...Função Termo 
Termo Termo | ... Termo,Predicado ômicaSentençaAt
Sentença ... Variável, dorQuantifica | 
Sentença Conectivo Sentença | 
ômicaSentençaAt Sentença 
1
→
→
→
→
∃∀→
<=>∨∧=>→
→
=→
→
 
)(
)(
)(
LPO	
  –	
  Termo	
  
23 
¨  É	
  uma	
  expressão	
  lógica	
  que	
  se	
  refere	
  a	
  um	
  objeto.	
  
¤  Símbolos	
  de	
  constantes	
  são	
  termos.	
  
¤  Símbolos	
  de	
  função	
  também	
  são	
  termos	
  que	
  eliminam	
  a	
  necessidade	
  de	
  
ter	
  um	
  símbolo	
  disWnto	
  para	
  idenWficar	
  cada	
  objeto:	
  
n  PernaEsquerda(João)	
  
¨  Termos	
  complexos:	
  Um	
  símbolo	
  de	
  função	
  seguido	
  por	
  uma	
  
lista	
  de	
  argumentos	
  entre	
  parênteses:	
  f(t1,	
  t2,	
  ...,	
  tn)	
  
¤  O	
  símbolo	
  de	
  função	
  f	
  se	
  refere	
  a	
  alguma	
  função	
  no	
  modelo	
  
¤  Os	
  termos	
  de	
  argumento	
  se	
  referem	
  a	
  objetos	
  no	
  domínio	
  (d1,	
  d2,	
  ...,	
  dn)	
  
¤  O	
  termo	
  como	
  um	
  todo	
  se	
  refere	
  a	
  um	
  objeto	
  que	
  é	
  o	
  valor	
  da	
  função	
  f	
  
aplicada	
  a	
  d1,	
  d2,	
  ...,	
  dn	
  
LPO	
  –	
  Sentença	
  Atômica	
  	
  
24 
¨  Sentenças	
  atômicas	
  enunciam	
  fatos.	
  
¨  São	
  formadas	
  por	
  um	
  símbolo	
  de	
  predicado,	
  seguido	
  por	
  um	
  lista	
  
de	
  termos	
  entre	
  parênteses:	
  	
  
¤  irmão(ricardo,joão) à	
  Ricardo	
  coração	
  de	
  Leão	
  é	
  irmão	
  do	
  rei	
  
João.	
  
¨  Podem	
  ter	
  termos	
  complexos	
  como	
  argumentos:	
  
¤  casado(pai(ricardo),mãe(joão))‏ à	
  O	
  pai	
  de	
  Ricardo	
  Coração	
  
de	
  Leão	
  é	
  casado	
  com	
  a	
  mãe	
  do	
  rei	
  João.	
  
¨  Uma	
  sentença	
  atômica	
  é	
   	
  em	
  um	
  dado	
  modelo,	
  sob	
  
uma	
  interpretação,	
  se	
  a	
  relação	
  referida	
  pelo	
  símbolo	
  de	
  predicado	
  
é	
  válida	
  entre	
  os	
  objetos	
  referidos	
  pelos	
  argumentos.	
  
LPO	
  –	
  Sentença	
  Complexa	
  
25 
¨  Sentenças	
  Complexas	
  	
  são	
  construídas	
  uWlizando	
  conecWvos	
  
lógicos.	
  
¨  A	
  semânWca	
  é	
  idênWca	
  à	
  da	
  lógica	
  proposicional.	
  
¨  Exemplo	
  de	
  sentenças	
  verdadeiras:	
  
¤  ¬Irmão(PernaEsquerda(Ricardo), João)‏ 
¤  Irmão(Ricardo, João) ٨۸ Irmão(João, Ricardo)‏ 
¤  Rei(Ricardo) ٧۷ Rei(João)‏ 
¤  ¬Rei(Ricardo) =>
Rei(João)‏ 
LPO	
  –	
  QuanWficadores	
  	
  
26 
¨  Nos	
  permite	
  expressar	
  propriedade	
  de	
  coleções	
  inteiras	
  de	
  
objetos,	
  em	
  vez	
  de	
  enumerar	
  todos	
  pelo	
  nome.	
  
¨  Dois	
  Wpos:	
  
¤  Universal	
  (∀)	
  
¤  Existencial	
  (∃)	
  
QuanWficador	
  Universal	
  (∀)	
  
27 
¨  Lógica	
  proposicional	
  –	
  dificuldade	
  em	
  expressar	
  regras	
  gerais:	
  
“Quadrados	
  vizinhos	
  ao	
  Wumpus	
  são	
  fedorentos”.	
  
¨  Em	
  LPO	
  este	
  Wpo	
  de	
  regra	
  é	
  comum:	
  
¤  ∀X rei(X) => pessoa(X)‏ 
¤  Para	
  todo	
  X,	
  se	
  X	
  é	
  um	
  rei,	
  então	
  X	
  é	
  uma	
  pessoa.	
  
¨  São	
  escritas	
  da	
  forma	
  ∀X p,	
  onde	
  X	
  é	
  chamado	
  de	
  variável	
  
e	
  p	
  é	
  qualquer	
  expressão	
  lógica.	
  
,	
  afirma	
  que	
  p	
  é	
  verdadeira	
   objeto	
  X.	
  
QuanWficador	
  Universal	
  (∀)	
  
28 
¨  ∀X p,	
  é	
   em	
  um	
  dado	
  modelo	
  sob	
  uma	
  dada	
  
interpretação	
  se	
  p	
  é	
  verdadeira	
  em	
   as	
  interpretações	
  
estendidas	
  possíveis	
  construídas	
  a	
  parWr	
  da	
  interpretação	
  
dada.	
  
¨  Considere	
  o	
  modelo	
  do	
  exemplo.	
  Podemos	
  
	
  “instanciando”	
  X	
  para	
  cada	
  objeto:	
  	
  
¤  X	
  à	
  Ricardo	
  Coração	
  de	
  Leão	
  
¤  X	
  à	
  rei	
  João	
  
¤  X	
  à	
  perna	
  esquerda	
  de	
  Ricardo	
  
¤  X	
  à	
  perna	
  esquerda	
  de	
  João	
  
¤  X	
  à	
  A	
  coroa	
  
QuanWficador	
  Universal	
  (∀)	
  
29 
¨  ∀X rei(X) => pessoa(X) é	
  verdadeira	
  sob	
  a	
  
interpretação	
  original	
  se	
  ela	
  for	
  verdadeira	
  em	
  cada	
  uma	
  das	
  
sentenças	
  estendidas.	
  
¨  Assim	
  a	
  sentença	
   é	
  
equivalente	
  a	
  afirmar	
  que:	
  
¤  Ricardo	
  Coração	
  de	
  Leão	
  é	
  um	
  rei	
  =>	
  Ricardo	
  Coração	
  de	
  Leão	
  é	
  uma	
  
pessoa	
  
¤  O	
  rei	
  João	
  é	
  um	
  rei	
  =>	
  O	
  rei	
  João	
  é	
  uma	
  pessoa	
  
¤  A	
  perna	
  esquerda	
  de	
  Ricardo	
  é	
  um	
  rei	
  =>	
  perna	
  esquerda	
  de	
  Ricardo	
  é	
  
uma	
  pessoa	
  
¤  A	
  perna	
  esquerda	
  de	
  João	
  é	
  um	
  rei	
  =>	
  perna	
  esquerda	
  de	
  João	
  é	
  uma	
  
pessoa	
  
¤  A	
  coroa	
  é	
  um	
  rei	
  =>	
  A	
  coroa	
  é	
  uma	
  pessoa	
  	
  
QuanWficador	
  Universal	
  (∀)	
  
30 
¨  Observando	
  a	
  TV	
  para	
  a	
  implicação	
  temos:	
  
¨  Perfeito	
  para	
  escrever	
  regras	
  gerais	
  com	
  ∀.	
  
¨  Um	
  erro	
  muito	
  comum	
  é	
  escrever:	
  
¤  ∀X rei(X) ٨۸ pessoa(X)‏ 
V V V 
F F V 
V V F 
V F F 
P => Q Q P 
QuanWficador	
  Existencial	
  (∃)	
  
31 
¨  Permite	
  declarar	
  algo	
  sobre	
  algum	
  objeto	
  do	
  domínio	
  sem	
  nomeá-­‐
lo.	
  
¨  Exemplo:	
  
¤  ∃X coroa(X) ٨۸ naCabeça(X,joão)‏ 
¤  O	
  rei	
  João	
  tem	
  uma	
  coroa	
  em	
  sua	
  cabeça.	
  
¨  ∃X p afirma	
  que	
  p	
  é	
  verdadeira	
  para	
  pelo	
  menos	
  um	
  objeto	
  X	
  
do	
  domínio.	
  
é	
  verdadeira	
  sob	
  uma	
  dada	
  interpretação	
  se	
  p	
  é	
  
verdadeira	
  em	
   interpretação	
  estendida	
  que	
  
atribui	
  X	
  a	
  um	
  elemento	
  do	
  domínio.	
  
QuanWficador	
  Existencial	
  (∃)	
  
32 
¨  ∃X coroa(X) ٨۸ naCabeça(X,joão) afirma	
  que	
  
pelo	
  menos	
  uma	
  das	
  afirmações	
  deve	
  ser	
  verdadeira:	
  	
  	
  
¤  Ricardo	
  Coração	
  de	
  Leão	
  é	
  uma	
  coroa	
  ٨۸	
  Ricardo	
  Coração	
  de	
  Leão	
  está	
  
na	
  cabeça	
  de	
  João	
  
¤  O	
  rei	
  João	
  é	
  uma	
  coroa	
  ٨۸	
  O	
  rei	
  João	
  está	
  na	
  cabeça	
  de	
  João	
  	
  
¤  A	
  perna	
  esquerda	
  de	
  Ricardo	
  é	
  uma	
  coroa	
  ٨۸	
  a	
  perna	
  esquerda	
  de	
  
Ricardo	
  está	
  na	
  cabeça	
  de	
  João	
  	
  
¤  A	
  perna	
  esquerda	
  de	
  João	
  é	
  uma	
  coroa	
  ٨۸	
  a	
  perna	
  esquerda	
  de	
  João	
  
está	
  na	
  cabeça	
  de	
  João	
  	
  
QuanWficador	
  Existencial	
  (∃)	
  
33 
¨  Como	
  vimos,	
  ∀	
  deve	
  ser	
  uWlizado	
  com	
  =>,	
  e	
  
¨  No	
  caso	
  do	
  ∃,	
  deve	
  ser	
  uWlizado	
  com	
  o	
  ٨.	
  
¨  Pois	
  o	
  uso	
  do	
  ∃	
  com	
  o	
  =>	
  em	
  geral	
  conduz	
  a	
  uma	
  declaração	
  
muito	
  fraca:	
  
¤  ∃X coroa(X) => naCabeça(X,joão)‏ 
¤  Assim	
  a	
  sentença	
  é	
  verdadeira	
  em	
  	
  todo	
  modelo	
  que	
  contém	
  um	
  
objeto	
  para	
  qual	
  a	
  premissa	
  é	
  falsa.	
  
¤  Não	
  contempla	
  nosso	
  objeWvo	
  de	
  dizer	
  que	
  existe	
  pelo	
  menos	
  um	
  
objeto	
  coroa	
  que	
  está	
  na	
  cabeça	
  de	
  João.	
  
QuanWficadores	
  aninhados	
  
34 
¨  “Irmãos	
  são	
  parentes”:	
  	
  
¤  ∀X ∀Y irmão(X,Y) => parente(X,Y) 
¨  “Parentesco	
  é	
  um	
  relacionamento	
  simétrico”	
  
¤  ∀X,Y parente(X,Y) <=> parente(X,Y) 
¨  “Todo	
  mundo	
  ama	
  alguém”	
  
¤  ∀X ∃Y ama(X,Y) 
¤  “Existe	
  alguém	
  que	
  é	
  amado	
  por	
  todo	
  mundo”	
  
¤  ∃Y ∀X ama(X,Y) 
¨  Devemos	
  tomar	
  cuidado	
  quando	
  usar	
  a	
  mesma	
  variável:	
  
¤  ∀X [coroa(X) V ∃X irmão (ricardo,X)] 
Conexões	
  entre	
  ∀,	
  ∃	
  e	
  ¬	
  
35 
¨  “Todo	
  mundo	
  detesta	
  cenouras”:	
  
¤  ∀X ¬gosta(X, cenouras) 
¤  ¬∃X gosta(X, cenouras) 
¨  “Todo	
  mundo	
  gosta	
  de	
  sorvete”:	
  
¤  ∀X gosta(X, sorvete) 
¤  ¬∃X ¬gosta(X, sorvete) 
¨  Regras	
  de	
  De	
  Morgan	
  para	
  sentenças	
  quanWficadas:	
  
¤  ∀X ¬p é	
  equivalente	
  a	
  ¬∃X p 
¤  ∀X p é	
  equivalente	
  a	
  ¬∃X ¬p 
¤  ¬∀X p é	
  equivalente	
  a	
  ∃X ¬p 
¤  ∃X p é	
  equivalente	
  a	
  ¬∀X ¬p