7. Retas

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Retas
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Retas
x
z
y
v
r
P0
P
P0P = tv
ou
P = P0 + tv, t Є |R
 
Equação vetorial da reta
ou
(x,y,z) = (x0, y0, z0) + t (a,b,c) 
P (x,y,z)
P0 (x0,y0,z0)
v = ( a,b,c )
*
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Equações Paramétricas da Reta
x
z
y
v
r
P0
P
P (x,y,z)
P0 (x0,y0,z0)
v = ( a,b,c )
Equações paramétricas da 
reta que passa pelo ponto 
P0 (x0,y0,z0) e é paralela ao 
vetor v = ( a,b,c )
*
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Exemplo
x
z
y
v
r
A
A (2,3,5)
v = ( 1,5,2 )
Equações paramétricas da 
reta que passa pelo ponto 
A(2,3,5) e é paralela ao 
vetor v = ( 1,5,2 )
*
*
Equações Paramétricas de um Segmento de Reta
x
z
y
P1
P1 (x1,y1,z1)
P2 (x2,y2,z2)
v = P1 P2 = P2 - P1 
P2
*
*
Exemplo de um Segmento de Reta
x
z
y
P1
P1 (2,3,4)
P2 (2,5,7)
v = P1 P2 = P2 - P1 
P2
*
*
Posições Relativas de Retas em 3-D 
r1
concorrentes
r1
r1
r1 = r2
r2
paralelas
r2
r2
reversas
coincidentes
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Ângulo entre Retas
é o menor ângulo formado pelas direções das retas
Fórmula:
r1
r2
 | v1 • v2 |
 
 || v1 || || v2 ||
Θ
v1
v2
cos Θ =
0 ≤ θ ≤ 90°
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Referências
Matrizes, Vetores e Geometria Analítica (livro em PDF). Reginaldo J. Santos.
 www.mat.ufmg.br/~regi
Cálculo, um novo horizonte. Howard Anton; Tradução: Cyro de Carvalho Patarra e Márcia Tamanaha. 6a. Edição, Porto Alegre: Bookman, 2000. Volume 2. 
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