apostila vetores

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Vetores
Va´rias grandezas f´ısicas, tais como por exemplo comprimento, a´rea, volume, tempo, massa e temperatura
sa˜o completamente descritas uma vez que a magnitude (intensidade) e´ dada. Tais grandezas sa˜o chamadas
escalares e sa˜o modeladas por nu´meros reais. Outras grandezas f´ısicas na˜o sa˜o completamente caracteri-
zadas ate´ que uma magnitude, uma direc¸a˜o e um sentido sejam especificados. Exemplos sa˜o deslocamento,
velocidade e forc¸a. Tais grandezas sa˜o chamadas vetoriais e sa˜o modeladas por vetores.
Primeiramente, introduziremos o conceito de vetor do ponto de vista geome´trico, o que permite uma
visa˜o intuitiva dos vetores e de suas relac¸o˜es entre si. Por isso, vamos nos restringir ao plano (espac¸o
bidimensional) e ao espac¸o (espac¸o tridimensional). Mais tarde, quando considerarmos vetores do ponto de
vista alge´brico, o que nos permitira´ estudar vetores em espac¸os de mais de treˆs dimenso˜es, a visa˜o geome´trica
que no´s adquirimos estara´ sempre ao nosso lado para nos guiar.
Definic¸a˜o geome´trica de vetores
B
A
.
.
AB
v
Dois pontos distintos A e B no espac¸o determinam uma reta. Esta reta e´ uma direc¸a˜o no espac¸o. Na˜o
precisamos da reta toda para determinar esta direc¸a˜o; o segmento da reta entre os pontos A e B, que e´ a
parte da reta compreendida entre estes dois pontos, serve muito bem para determinar esta direc¸a˜o. Este
segmento de reta pode ser facilmente orientado, provendo um sentido para o segmento, se considerarmos
um dos pontos como ponto inicial e o outro como ponto final. Por exemplo, o segmento orientado com ponto
inicial A e ponto final B sera´ denotado por AB. Pontos sera˜o considerados como segmentos orientados: um
ponto e´ um segmento orientado nulo; por exemplo, o ponto A e´ identificado com o segmento orientado AA
com ponto inicial A e ponto final tambe´m A. Ale´m disso, podemos falar no comprimento de um segmento.
O comprimento do segmento determinado por A e B e´ denotado por AB.
1
Segmentos orientados possuem portanto uma direc¸a˜o, um sentido e um comprimento. No entanto, eles
tambe´m sa˜o caracterizados pelo seu ponto inicial. Sa˜o modelos (representac¸o˜es) de vetores localizados,
onde o ponto de aplicac¸a˜o do vetor e´ importante; na˜o os consideraremos neste curso. Vetores sa˜o unicamente
caracterizados por direc¸a˜o, sentido emagnitude. Eles sera˜o representados por segmentos orientados desde
que fizermos a seguinte convenc¸a˜o: segmentos orientados pertencentes a retas paralelas tais que, quando
estas retas sa˜o movidas uma em direc¸a˜o a` outra ate´ coincidirem, ocorre que os pontos iniciais e finais destes
segmentos tambe´m coincidem, representam o mesmo vetor. Assim, um vetor pode ser representado por va´rios
segmentos orientados diferentes. A situac¸a˜o e´ ana´loga a dos nu´meros racionais, que podem ser representados
por va´rias frac¸o˜es diferentes: as frac¸o˜es 12 ,
2
4 ,
5
10 e
111
222 representam o mesmo nu´mero racional.
Resumindo:
Vetores sa˜o representados por segmentos orientados e sa˜o caracterizados por
1. direc¸a˜o,
2. sentido,
3. magnitude.
Duas operac¸o˜es entre vetores que podem ser definidas para quaisquer vetores, mesmo vetores em espac¸os
de dimenso˜es maiores sa˜o a soma de vetores e a multiplicac¸a˜o de vetores por escalares.
Soma de Vetores
Sejam v e w dois vetores. Sua soma v + w e´ o vetor definido da seguinte maneira:
A B
C
Escolha um representante qualquer AB para o vetor v. Para o vetor w escolha o u´nico representante BC
com ponto inicial B, isto e´, igual ao ponto final do representante de v. O vetor v + w e´ representado pelo
segmento orientado AC, cujo ponto inicial e´ o ponto inicial A de v e cujo ponto final e´ o ponto final C de w.
Esta definic¸a˜o e´ motivada pela interpretac¸a˜o de vetores como deslocamento: nesta interpretac¸a˜o, a soma
de dois vetores corresponde a` composic¸a˜o de deslocamentos ou o deslocamento total. Ela e´ a chamada regra
do triaˆngulo.
2
Uma definic¸a˜o equivalente para a soma de dois vetores e´ sugerida pela interpretac¸a˜o de vetores como
forc¸as. E´ a chamada regra do paralelogramo:
Desta vez escolhemos os representantes respectivos AB e AC de v e w com o mesmo ponto inicial A.
Eles determinam um paralelogramo ABDC e o vetor v + w e´ o vetor representado pela diagonal (segmento
orientado) AD.
A B
C D
Nesta interpretac¸a˜o, a soma de vetores corresponde a` resultante das forc¸as.
Propriedades da Soma de Vetores:
(1) Comutatividade:
Para quaisquer vetores v, w
v + w = w + v
Isso pode ser facilmente visto atrave´s do diagrama abaixo.
v
v
w
w
v+w
w+v
(2) Associatividade:
Para quaisquer vetores u, v, w
u+ (v + w) = (u+ v) + w
Isso pode ser facilmente visto atrave´s do diagrama a seguir.
3
u
v
w
v+w
u+v
(u+v)+w
u+(v+w)
Como uma consequ¨eˆncia destas duas propriedades, conclu´ımos que vetores podem ser somadas em qual-
quer ordem.
(3) Existeˆncia do Elemento Neutro da Soma:
Seja 0 o vetor nulo, isto e´, o vetor representado por segmentos orientados nulos. Enta˜o, para qualquer
vetor v,
v + 0 = 0 + v = v
Isso e´ o´bvio da definic¸a˜o.
(4) Existeˆncia do Elemento Inverso da Soma:
Seja −v o vetor que tem a mesma direc¸a˜o, mesmo comprimento e sentido inverso ao do vetor v. Enta˜o
v + (−v) = 0.
Isso e´ o´bvio da definic¸a˜o. Portanto, definimos a diferenc¸a entre dois vetores:
v − w := v + (−w).
Podemos usar o seguinte diagrama para calcular a diferenc¸a entre dois vetores:
v
w v-w
-w
4
Isso permite inferir uma regra do triaˆngulo para a diferenc¸a dos vetores v e w: para encontrar um
representante para v − w, escolha representantes para v e w que teˆm a mesma origem; enta˜o v − w sera´
representando pelo segmento cujo ponto inicial e´ o ponto final de w e cujo ponto final e´ o ponto final de v.
Multiplicac¸a˜o de um vetor por um escalar
Definic¸a˜o. Se v e´ um vetor na˜o-nulo e α e´ um nu´mero real na˜o-nulo, enta˜o a multiplicac¸a˜o do vetor v pelo
escalar α e´ o vetor denotado αv definido por
(i) αv tem a direc¸a˜o de v;
(ii) αv tem o mesmo sentido de v se α > 0 e
αv tem o sentido oposto ao de v se α < 0;
(iii) αv tem comprimento |α| vezes o comprimento de v.
Definimos ainda 0v = 0 e α0 = 0.
Se
w = αv,
dizemos que w e´ um mu´ltiplo escalar do vetor v. E´ fa´cil ver que dois vetores na˜o-nulos sa˜o paralelos se e
somente se um e´ mu´ltiplo escalar do outro.
Observe que segue imediatamente da definic¸a˜o que
(−1)v = −v.
Propriedades da Multiplicac¸a˜o por Escalar:
(1) Associatividade:
Para quaisquer escalares α, β e para qualquer vetor v
α(βv) = (αβ)v.
(2) Distributividade:
Para quaisquer escalares α, β e para quaisquer vetores v, w
α(v + w) = αv + βv,
(α+ β)v = αv + βv.
(3) Para qualquer vetor v
1v = v.
Estas propriedades sera˜o facilmente provadas uma vez que introduzirmos um sistema de coordenadas
retangulares para vetores.
Como um exemplo da utilidade de se trabalhar com vetores, veremos que vetores podem ser utilizados
para provar fatos da geometria euclidiana.
Exemplo 1. Seja ABC um triaˆngulo e M,N os pontos me´dios dos lados AC e BC. Mostre que o segmento
MN e´ paralelo ao lado AB e tem comprimento igual a` metade do comprimento de AB.
Resposta: Temos que provar que
MN =
1
2
AB.
Temos
MN =MC + CN.
5
C
A B
M N
Como M e´ o ponto me´dio de AC e N e´ o ponto me´dio de BC, segue que
MC =
1
2
AC e CN =
1
2
CB.
Portanto,
MN =
1
2
AC +
1
2
CB =
1
2
(AC + CB) =
1
2
AB.
Vetores em Coordenadas
Introduza um sistema de coordenadas cartesianas no espac¸o ambiente em que voceˆ esta´ trabalhando, seja
ele o plano ou o espac¸o. Dado um vetor v, escolha um representante para v cujo ponto inicial e´ a origem
deste sistema de coordenadas. Enta˜o definimos as coordenadas do vetor v como sendo as coordenadas
do
ponto final deste representante de v.
v
v1
v2
x
y
No plano:
v = (v1, v2).
6
No espac¸o:
v = (v1, v2, v3).
Enta˜o as operac¸o˜es acima podem ser definidas equivalentemente da seguinte maneira.
No plano, se v = (v1, v2) e w = (w1, w2),
v + w = (v1 + w1, v2 + w2),
αv = (αv1, αv2).
No espac¸o, se v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3),
v + w = (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3),
αv = (αv1, αv2, αv3).
Exemplo 2. Se v = (2,−1, 4) e w = (−√2,− 3
√
2
2 , 1), enta˜o
3v −
√
2w = 3(2,−1, 4)−
√
2(−
√
2,−3
√
2
2
, 1)
= (6,−3, 12) + (2, 3,−
√
2)
= (8, 0, 12−
√
2).
A norma de um vetor pode enta˜o ser dada em coordenadas, aplicando-se o Teorema de Pita´goras.
No plano, se v = (v1, v2), pelo Teorema de Pita´goras temos que
‖v‖ =
√
v21 + v
2
2 .
No espac¸o e´ necessa´rio aplicar o Teorema de Pita´goras duas vezes para se obter a norma de um vetor em
termos de suas coordenadas. Seja v = (v1, v2, v3) e considere a figura abaixo:
x
y
z
l
v
v3
v1
v2
.
.
Aplicando-se o Teorema de Pita´goras ao triaˆngulo retaˆngulo vertical indicado na figura, obtemos
‖v‖ =
√
l2 + v23 .
7
Aplicando-se novamente o Teorema de Pita´goras ao triaˆngulo retaˆngulo que se situa no plano xy, obtemos
l2 = v21 + v
2
2 .
Portanto,
‖v‖ =
√
v21 + v
2
2 + v
2
3 .
Produto Escalar
O produto escalar e´ uma operac¸a˜o entre dois vetores cujo resultado e´ um escalar.
Definic¸a˜o. O produto escalar (ou produto interno) de dois vetores v, w e´ o escalar denotado v · w
definido por
v · w = v1w1 + v2w2
se v = (v1, v2) e w = (w1, w2) sa˜o vetores no plano, e por
v · w = v1w1 + v2w2 + v3w3
se v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) sa˜o vetores no espac¸o.
Exemplo 3.
(−5, 2) · (3, 7) = −15 + 14 = −1;
(−1, 2,
√
3) · (5,−1
2
, 2
√
3) = −5− 1 + 6 = 0.
Teorema. (Interpretac¸a˜o Geome´trica do Produto Escalar) Se v, w sa˜o dois vetores na˜o-nulos, enta˜o
v · w = ‖v‖ ‖w‖ cos θ,
onde θ e´ o aˆngulo entre estes vetores.
Prova: Sejam v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3). Pela lei dos cossenos (veja o diagrama)
�
��� �
�
q
‖v − w‖2 = ‖v‖2 + ‖w‖2 − 2 ‖v‖ ‖w‖ cos θ.
Logo
(v1 − w1)2 + (v2 − w2)2 + (v3 − w3)2 = v21 + v22 + v23 + w21 + w22 + w23 − 2 ‖v‖ ‖w‖ cos θ
8
donde, cancelando os termos comuns entre os lados desta equac¸a˜o,
−2v1w1 − 2v2w2 − 2v3w3 = −2 ‖v‖ ‖w‖ cos θ
e portanto
v1w1 + v2w2 + v3w3 = ‖v‖ ‖w‖ cos θ.
O aˆngulo entre dois vetores e´ definido como o menor aˆngulo entre eles. Portanto,
0 ≤ θ ≤ 180◦.
Podemos usar o produto interno para calcular o aˆngulo entre vetores, pois
cos θ =
v · w
‖v‖ ‖w‖ .
Exemplo 4. Calcule o aˆngulo entre os vetores v = (2,−1, 1) e w = (1, 1, 2).
cos θ =
(2,−1, 1) · (1, 1, 2)
‖(2,−1, 1)‖ ‖(1, 1, 2)‖ =
2− 1 + 2√
4 + 1 + 1
√
1 + 1 + 4
=
3√
6
√
6
=
1
2
.
Portanto θ = 60◦.
Note que se v e w sa˜o vetores na˜o-nulos, enta˜o
v · w > 0 se e somente se 0 ≤ θ < 90◦.
v · w = 0 se e somente se v e w sa˜o perpendiculares.
v · w < 0 se e somente se 90◦ < θ ≤ 180◦.
De fato, se v e w sa˜o vetores na˜o-nulos, enta˜o v ·w = ‖v‖ ‖w‖ cos θ = 0 se e somente se cos θ = 0, ou seja, se
e somente se θ = 90◦.
Propriedades do produto escalar:
(1) Comutatividade: Se v e w sa˜o dois vetores quaisquer, enta˜o
v · w = w · v.
(2) Distributividade: Se u, v e w sa˜o vetores quaisquer, enta˜o
u · (v + w) = u · v + u · w.
(3) Se v e w sa˜o dois vetores quaisquer e α e´ um escalar qualquer, enta˜o
α(v · w) = (αv) · w = v · (αw)
Para todo vetor v
v · v = ‖v‖2 ≥ 0
e
v · v = 0se e somente se v = 0.
Observe que a associatividade, “u · (v · w) = (u · v) · w” na˜o faz sentido para o produto escalar, ja´ que na˜o
faz sentido fazer o produto escalar entre um vetor e um nu´mero. Tambe´m na˜o pode existir um elemento
neutro para o produto escalar, ou seja, um vetor x tal que v · x = v para todo vetor v, pois v · x e´ sempre
um nu´mero.
9
A B
CD
Exemplo 5. Mostre que as diagonais de um losango sa˜o perpendiculares.
Resposta: Seja ABCD um losango.
Basta mostrar que
AC ·BD = 0.
Para mostrar isso, temos que usar os dados ba´sicos que dispomos a respeito de losangos. O primeiro
dado que temos sobre losangos e´ que, por definic¸a˜o, eles sa˜o pol´ıgonos com quatro lados iguais; uma
consequ¨eˆncia imediata deste fato e´ que lados opostos sa˜o paralelos. Estes sa˜o os fatos ba´sicos sobre
losangos. Portanto, temos que escrever as diagonais do losango em termos dos lados, para poder usar
essas informac¸o˜es. Escrevemos
AC = AB +BC,
BD = BA+AD.
Enta˜o
AC ·BD = (AB +BC) · (BA+AD) = AB ·BA+AB ·AD +BC ·BA+BC ·AD.
Note que
BA = −AB
e, porque os lados de um losango tem o mesmo comprimento e sa˜o paralelos,
BC = AD.
Logo, como o produto escalar e´ comutativo, e usando tambe´m a Propriedade (3), segue que
AC ·BD = AB · (−AB) +AB ·AD +AD · (−AB) +AD ·AD
= −‖AB‖2 + ‖AD‖2 .
Mas, como os lados de um losango sa˜o iguais, temos
‖AB‖ = ‖AD‖ ,
donde
AC ·BD = 0,
exatamente como quer´ıamos provar.
10
Vetores Unita´rios e Projec¸a˜o Ortogonal
Se ‖v‖ = 1, enta˜o v e´ chamado de vetor unita´rio. Dado um vetor na˜o-nulo v, um vetor unita´rio direc¸a˜o
de v e´ o vetor
u =
1
‖v‖v.
De fato, ∥∥∥∥ 1‖v‖v
∥∥∥∥ = 1‖v‖ ‖v‖ = 1.
Observe que u tambe´m tem o mesmo sentido de v.
Exemplo 6. Um vetor unita´rio na direc¸a˜o do vetor v = (1, 2,−3) e´ o vetor
u =
1√
1 + 4 + 9
(1, 2,−3) =
(
1√
14
,
2√
14
,− 3√
14
)
.
Dada uma direc¸a˜o privilegiada definida por um vetor w, uma operac¸a˜o importante e´ decompor qualquer
vetor v na soma de dois vetores v1 e v2, sendo v1 na direc¸a˜o de w e v2 perpendicular a w.
w
v
v1
v2
v = v1 + v2, v1//w e v2 ⊥ w.
O vetor v1 e´ chamado a projec¸a˜o ortogonal de v sobre w e e´ denotado por
projw v.
Para obter v1, observe que da figura e´ fa´cil ver que seu comprimento e´ dado por ‖v1‖ = ‖v‖ | cos θ| =
|v · w|
‖w‖ . Como
w
‖w‖ e´ um vetor unita´rio com a mesma direc¸a˜o e sentido de v, segue que
projw v =
v · w
‖w‖2w.
Outra maneira de obter v1 e´ assumir que podemos escrever
v = αw + v2 com v2 ⊥ w.
e determinar o escalar α. Fazendo o produto escalar de ambos os lados desta expressa˜o pelo vetor w, obtemos
v · w = αw · w + 0 = α ‖w‖2 ,
11
donde
α =
v · w
‖w‖2 .
Enta˜o v2 = v − projw v, e podemos verificar que v − projw v e´ de fato perpendicular a w:
w · (v − projw v) = w · v −
v · w
‖w‖2w · w = w · v −
v · w
‖w‖2 ‖w‖
2 = w · v − v · w = 0.
Exemplo 7. Seja w = (1, 0,−2) e v = (1, 2, 3). Encontre v1 e v2 tais que v = v1 + v2, v1//w e v2 ⊥ w.
Resposta:
v1 = projw v =
v · w
‖w‖2w =
1 + 0 + (−6)
5
(1, 0,−2) = −5
5
(1, 0,−2) = (−1, 0, 2).
v2 = v − projw v = (1, 2, 3)− (−1, 0, 2) = (2, 2, 1).
12
Produto Vetorial
Para vetores no espac¸o tridimensional, e´ poss´ıvel definir um produto entre vetores cujo resultado e´ um vetor.
Definic¸a˜o. O produto vetorial de dois vetores na˜o nulos v e w que na˜o sa˜o paralelos e´ o vetor denotado
v × w definido por
(i) v × w tem direc¸a˜o perpendicular ao plano determinado por v e w;
(ii) v×w tem sentido determinado pela regra da ma˜o direita: direcionando o polegar direito no sentido
de v e o restante dos dedos da ma˜o direita no sentido de w, enta˜o v×w tem o sentido projetando
da palma da ma˜o.
(iii) Se θ e´ o aˆngulo entre v e w, a norma de v × w e´ dada por
‖v × w‖ = ‖v‖ ‖w‖ senθ.
Se v e w sa˜o paralelos, define-se v × w = 0. Tambe´m definimos v × 0 = 0 e 0× v = 0.
Note que o comprimento do vetor v × w e´ exatamente a a´rea do paralelogramo determinado por v e w
(note que estas duas definic¸o˜es sa˜o consistentes com (iii)).
v
w ||w|| senO
O
Propriedades do Produto Vetorial:
(1) Anti-comutatividade: Se v e w sa˜o dois vetores quaisquer, enta˜o
v × w = −w × v.
(2) Sera´
que vale a associatividade para o produto vetorial? Em outras palavras, sera´ que para todos os
vetores u, v, w temos u× (v × w) = (u× v)× w?
(3) Distributividade: Se u, v e w sa˜o vetores quaisquer, enta˜o
u× (v + w) = u× v + u× w.
A prova desta importante propriedade e´ mais dif´ıcil e sera´ feita mais adiante, depois de verificarmos
as outras propriedades do produto vetorial.
13
(4)
α(v × w) = (αv)× w = v × (αw)
(5)
v × w = 0 se e somente se um destes vetores e´ mu´ltiplo escalar do outro.
(6)
v · (v × w) = w · (v × w) = 0
(7) Se u, v, w sa˜o vetores coplanares (isto e´, esta˜o contidos em um mesmo plano), enta˜o (u × v) · w = 0.
Caso contra´rio, |(u×v) ·w| e´ igual ao volume do paralelep´ıpedo determinado por u, v e w. Ale´m disso,
(u× v) · w > 0 se e somente se u, v e w satisfazem a regra da ma˜o direita.
Dizer que os vetores u, v e w, nesta ordem, satisfazem a regra da ma˜o direita, significa o seguinte:
Os vetores u e v determinam um plano no espac¸o tridimensional (o plano que os conte´m). Este plano
subdivide o espac¸o em dois semiespac¸os. O vetor u×v, sendo perpendicular ao plano que conte´m u e v,
esta´ contido em um destes semiespac¸os. Se o vetor w estiver no mesmo semiespac¸o que u× v, dizemos
que u, v, w satisfazem a regra da ma˜o direita; em caso contra´rio, dizemos que u, v, w na˜o satisfazem
a regra da ma˜o direita. A explicac¸a˜o da terminologia “u, v, w satisfazem a regra da ma˜o direita” se
justifica porque, de maneira grosseira, podemos dizer que w aponta mais ou menos na mesma direc¸a˜o
que u×v , cuja direc¸a˜o e´ dada pela regra da ma˜o direita (porque w na˜o e´ necessariamente perpendicular
a u e v, em geral w na˜o esta´ exatamente na mesma direc¸a˜o que u× v).
u
v
uxv
w
w
2
1
Prova de (7): Veja a figura na pro´xima pa´gina. A base do parelelep´ıpedo tem a´rea igual a ‖u× v‖,
enquanto que a altura do paralelep´ıpedo e´ igual ao comprimento da projec¸a˜o ortogonal do vetor w sobre o
vetor v × w.
Quanto ao sinal de (u× v) · w, se u, v, w satisfazem a regra da ma˜o direita, enta˜o, por definic¸a˜o, u× v e
w esta˜o no mesmo semiespac¸o em relac¸a˜o ao plano que conte´m u e v, logo o aˆngulo entre u× v e w e´ agudo,
portanto seu produto escalar e´ positivo. Se eles na˜o satisfazem a regra da ma˜o direita, enta˜o eles esta˜o em
semiespac¸os opostos, logo o aˆngulo entre eles e´ obtuso e portanto seu produto escalar e´ negativo.
(8) As operac¸o˜es de produto escalar e produto vetorial comutam:
(u× v) · w = u · (v × w)
14
u
v
w
u x v
altura
Prova de (8): Pela comutatividade do produto interno, u · (v × w) = (v × w) · u. Agora, assumindo (5),
segue que |(u × v) · w| = |(v × w) · u| pois o paralelep´ıpedo e´ o mesmo. E o sinal tambe´m e´ o mesmo, pois
u, v, w satisfazem a regra da ma˜o direita se e somente se v, w, u satisfazem, como pode-se verificar.
Prova de (3): Assumindo a u´ltima identidade em (4), escreva
a = u× (v + w)− u× v − u× w.
Temos que provar que a e´ o vetor nulo. Para isso, basta mostrar que
x · a = 0 para todo vetor x,
pois se isso vale para todo x, em particular vale para x = a, de modo que segue que a · a = 0, ou seja,
‖a‖2 = 0 e portanto a = 0. De fato,
x · a = x · u× (v + w)− x · u× v − x · u× w
= (x× u) · (v + w)− (x× u) · v − (x× u) · w
= (x× u) · [v + w − v − w]
= (x× u) · 0
= 0.
Destacamos os seguintes vetores unita´rios no espac¸o:
i = (1, 0, 0),
j = (0, 1, 0),
k = (0, 0, 1).
15
Qualquer vetor v = (v1, v2, v3) pode enta˜o ser escrito como combinac¸a˜o linear (isto e´, soma de mu´ltiplos
escalares) destes vetores, pois
v = (v1, v2, v3) = (v1, 0, 0) + (0, v2, 0) + (0, 0, v3)
= v1(1, 0, 0) + v2(0, 1, 0) + v3(0, 0, 1)
= v1i+ v2j + v3k.
Teorema 1. (Produto Vetorial em Coordenadas) Sejam v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3). Enta˜o
v × w = det
 i j kv1 v2 v3
w1 w2 w3

isto e´,
v × w =
(
det
[
v2 v3
w2 w3
]
,−det
[
v1 v3
w1 w3
]
, det
[
v1 v2
w1 w2
])
.
Prova:
v × w = (v1i+ v2j + v3k)× (w1i+ w2j + w3k)
= v1w1(i× i) + v1w2(i× j) + v1w3(i× k)
+ v2w1(j × i) + v2w2(j × j) + v2w3(j × k)
+ v3w1(k × i) + v3w2(k × j) + v3w3(k × k)
= 0 + v1w2k + v1w3(−j)
+ v2w1(−k) + 0 + v2w3i
+ v3w1j + v3w2(−i) + 0
= (v2w3 − v3w2)i− (v1w3 − v3w1)j + (v1w2 − v2w1)k.
Exemplo 8. Seja v = (1, 0,−2) e w = (1, 2, 3). Enta˜o
v × w = det
 i j k1 0 −2
1 2 3
 = (det [ 0 −22 3
]
,−det
[
1 −2
1 3
]
,det
[
1 0
1 2
])
= (4,−5, 2).
Teorema 2. (O Produto Misto) Sejam u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3). Enta˜o
u · (v × w) = det
 u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3
 .
Prova: Usando o resultado obtido no Teorema 1:
u · (v × w) = u1 det
[
v2 v3
w2 w3
]
− u2 det
[
v1 v3
w1 w3
]
+ u3 det
[
v1 v2
w1 w2
]
.
Exemplo 10. Calcule o volume do paralelep´ıpedo determinado por u = (2, 1, 4), v = (−1, 0, 2) e w =
(1, 2, 3). Calcule o volume do paralelep´ıpedo determinado por a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6) e c =
(−5,−1, 3).
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Resposta: Desenvolvendo em cofatores a partir da segunda linha, obtemos
det
 2 1 4−1 0 2
1 2 3
 = −5− 6 = −11,
logo
V [u, v, w] = 11.
No segundo caso, obtemos
V [a, b, c] = det
 1 2 34 5 6
−5 −1 3
 = 0,
logo conclu´ımos que os vetores a, b e c sa˜o coplanares, isto e´, pertencem ao mesmo plano.
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