Prova 1 de Cálculo I - (5)

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UFPE { CCEN { DEPARTAMENTO DE MATEM
�
ATICA {
�
AREA II
C
�
ALCULO 1 - SEGUNDO SEMESTRE DE 2003
PRIMEIRO EXERC
�
ICIO ESCOLAR
1. (2,0 pontos) Seja
f(x) =
(
x
3
+ 2 se x � 0;
sen(2x)
x
se x > 0:
Justi�que a resposta de 
ada um dos itens abaixo.
(a) Cal
ule lim
x!0
�
f(x):
(b) Cal
ule lim
x!0
+
f(x):
(
) A fun�
~ao f �e 
ont��nua? Por que^?
2. (1,0 ponto) Cal
ule, a partir da de�ni�
~ao de derivada, a derivada de f(x) =
p
2x+ 1.
3. (3,0 pontos) Usando as regras de deriva�
~ao, 
al
ule a derivada das seguintes fun�
~oes:
(a) f(x) = e
x
tg x;
(b) g(x) =
x
3
+
p
2 lnx
x
2
+ 1
;
(
) h(x) = ln (x
2
+
p
x + 1);
(d) q(x) = 
os
5
(e
x
p
2
).
4. (2,0 pontos) Considere o gr�a�
o de f(x) = 1=x
2
para x > 0.
(a) Determine a equa�
~ao da reta tangente a este gr�a�
o no ponto (a; 1=a
2
):
(b) Determine a equa�
~ao da reta tangente ao gr�a�
o de modo que o tria^ngulo delimitado
por esta reta e os eixos 
oordenados tenha �area 9.
5. (2,0 pontos) Um holofote no 
h~ao ilumina uma parede a uma dista^n
ia de 10 m.
Um homem de 2 m de altura 
aminha do holofote em dire�
~ao �a parede a um velo
idade
onstante igual a 3 m/s. Qual a velo
idade de de
res
imento de sua sombra sobre a parede
quando o homem est�a a 8 m da parede?