09 Projection Transform

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Universidade Federal da Paraíba
Centro de Informática
Projection Transform
Lecture 9
1107190 - Introdução à Computação Gráfica – Turma 01
Prof. Christian Azambuja Pagot
CI / UFPB
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Informática
Projection Transform
y
z
y
z
Object Space
(3D Model) World Space
y
z
y
z
Camera Space
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Informática
Projection Transform
y
z
Camera Space
Clipping Space
y
z
Canonical
Space
y
z
Clipping Space
y
z
Canonical
Space
y
z
Orthogonal Projection
Perspective Projection
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Informática
Projection
● From 3D to 2D
Parallel Projection
View plane
Object in 
Canonical Space
Perspective Projection
View plane
Object in 
Canonical Space
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Informática
Perspective Projection
● Simulates the perspective distortion:
– Closer objects look bigger. 
– Farther objects look smaller.
● It is related to the fact that light rays that 
converge to the focal point form a cone in 
space.
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Informática
Perspective Projection
z
y
c
p
c = camera position
p(z,y) = a point in cam. space.
p'(d,y') = projection of p onto the vp.
y '
d =
y
d−z
y '=d yd−z
y '= y
1− z
d
x '= x
1− z
d
z '= z
1− z
d
View plane
p'
dz
y
y'
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Informática
Perspective Projection
p=( x , y , z ,1 )
x '= x
1− z
d
, y '= y
1− z
d
, z '= z
1− z
d
,p '=( x ' , y ' , z ' ,1 )
p '=( x1− z
d
, y
1− z
d
, z
1− z
d
,
1− zd
1− z
d
)
p ' p=(x , y , z ,1− zd )
p '≡p ' p=Mpp
Mp=[1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 −1
d
1 ]
p' = p'
p
 / (homogeneous coordinate) !
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Informática
X & Y Transform
d
z
y
c
View plane
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Informática
X & Y Transform
d
z
y
c
View plane
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Informática
X & Y Transform
d
z
y
c
View plane
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Informática
X & Y Transform
d
z
y
c
View plane
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Informática
Z Transform
d
z
y
c
d
...
View plane
z = -∞
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Informática
Z Transform
d=1
z
y
c
p
p'
z
y
y'
d=-1
d=1
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Informática
Z Transform
d=0.5
z
y
c
p
p'
z
y
y'
d=-0.5
d=0.5
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Informática
Perspective Projection
z
yp
p'
d
z
y
y'
c = camera position
p(z,y) = a point in cam. space.
p'(d,y') = projection of p onto the vp.
M t=[1 0 0 00 1 0 00 0 1 d0 0 0 1 ]
M p=[1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 −1
d
1 ]
M pt=M p M t=[1 0 0 00 1 0 00 0 1 d0 0 −1
d
0 ]
c
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