Lista de Aplicações de Derivadas

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INSTITUTO FEDERAL DO CEARÁ 
CAMPUS QUIXADÁ 
PROF. ISAAC RICARTE EVANGELISTA 
CÁLCULO 2 
LISTA DE APLICAÇÕES DE DERIVADA 
 
01. Determine os valores mínimo e máximo globais (absolutos) para cada função no intervalo 
dado: 
a) 4x)x(f −−= , em 1x4 ≤≤− b) 6x5x)x(f 2 +−= , em 4x1 ≤≤− 
c) 1x3x3x)x(f 23 −+−= , em 3x2 ≤≤− d) 3x3x)x(f 3 +−= , em 2x0 ≤≤ 
e) 2
x
1)x(f = , em 2x
2
1 ≤≤ f) 2x4)x(f −= , em 1x2 ≤≤− 
02. Use o TVM para determinar o(s) valor(es) de c que satisfazem 
ab
)a(f)b(f)c(f
−
−
=′ para cada 
função no intervalo dado: 
a) 1x2x)x(f 2 −+= , em ]1,0[ b) 1x
4
1)x(f 3 += , em ]2,2[− 
c) 3/2x)x(f = , em ]1,0[ f) 2x1)x(f −= , em ]1,1[− 
 
03. Seja f uma função quadrática dada por 0p,rqxpx)x(f 2 ≠++= , definida no intervalo 
]b,a[ . Logo, f é contínua em ]b,a[ e derivável em )b,a( . Aplique o TVM nessa função 
quadrática e mostre que c é igual a média aritmética de a e b. 
 
04. A média geométrica de dois números positivos a e b é o número ab . Mostre que o valor de 
c na conclusão do TVM para 
x
1)x(f = em um intervalo de números positivos ]b,a[ é 
abc = . 
 
05. Mostre que a equação 01x3x3 =++ tem exatamente uma única raiz real. 
 
06. Seja f uma função monotônica (crescente ou decrescente) em I. Mostre f é injetora em I, isto 
é, para quaisquer 1x e 2x em I, 21 xx ≠ implica )x(f)x(f 21 ≠ . 
 
 
07. Esboce o gráfico das funções polinomiais abaixo, ambas definidas sobre todo R. 
a) 3xx)x(f 2 +−= b) 2xx42)x(f −−= c) 1x3x)x(f 23 +−= 
d) 3x3x)x(f 3 +−= e) 12x12x3x2)x(f 23 +−−= f) 10x4x)x(f 34 +−= 
g) 4x8x)x(f 24 −−= h) 45 x5x)x(f −= g) 35 x5x3)x(f −= 
 
08. Esboce o gráfico das funções definidas abaixo: 
a) RR:f → dada por 2
2
x1
)x1()x(f
+
+
= c) R}4,4{R:f →−− dada por 
16x
8x2)x(f 2
2
−
−
= 
b) RR:f → dada por 2x1
x)x(f
+
= d) R}0{R:f →− dada por 
x
1x)x(f
2 +
= 
 
09. Um fazendeiro tem 800 metros de cerca e quer cercar um campo retangular que está na 
margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do 
campo que tem maior área? 
 
10. Um jardim retangular de 50 m2 de área deve ser protegido contra animais. Se um lado do 
jardim já está protegido por uma parede, quais as dimensões da cerca de menor 
comprimento? 
 
11. Uma caixa sem tampa será feita recortando-se pequenos quadrados congruentes dos cantos de 
uma folha de estanho medindo 12 x 12 cm e dobrando-se os lados para cima. Que tamanho os 
quadrados das bordas devem ter para que a caixa chegue à sua capacidade máxima? 
 
12. Será construído um campo de atletismo retangular, com x unidades de comprimento, tendo 
nas extremidades duas áreas semicirculares com raio r. O campo terá em volta uma pista para 
corrida com 400 m de extensão. Quais valores de x e de r dão à porção retangular a maior 
área possível? 
 
13. Uma empresa aérea está fazendo uma promoção de vôos para o exterior, oferecendo uma 
passagem a R$ 2200,00 e devolvendo (a cada um dos passageiros) R$ 10,00 por passagem 
vendida. Sabendo que o avião que levará esses passageiros ao exterior comporta até 120 
passageiros, quantas passagens essa empresa deverá vender para obter um rendimento 
máximo? Quanto custará realmente cada passagem se a empresa vender esse número ótimo 
de passagens? 
 
14. Ao preço de R$ 1,50 um vendedor ambulante pode vender 500 unidades de um chocolate que 
custa 70 centavos cada. Para cada centavo que o vendedor abaixa no preço, a quantidade 
vendida pode aumentar em 25 unidades. Que preço de venda maximizará o lucro? 
 
15. A resposta do corpo a uma dose de um medicamento às vezes é representada por uma 
equação na forma 





−=
3
M
2
CMR 2 , onde C é uma constante positiva e M a quantidade de 
medicamento absorvida pelo sangue. Se a resposta esperada for uma variação na pressão 
sanguínea, então R deverá ser medido em milímetros de mercúrio; se a resposta for uma 
variação de temperatura, R será medido em graus centígrados; e assim por diante. 
a) Determine 
dM
dR
. Essa derivada, em função de M, é chamada sensibilidade do corpo ao 
medicamento. 
b) Calcule a quantidade de medicamento à qual o organismo é mais sensível, determinando o 
valor de M que maximiza a derivada 
dM
dR
. 
 
16. Suponha que o número de bactérias em uma cultura no instante t seja dado por 
)te25(5000N 20/t−+= . 
a) Encontre o maior e o menor número de bactérias no intervalo de tempo 100t0 ≤≤ . 
b) Em que momento, no intervalo de tempo de (a), o número de bactérias decresce mais 
rapidamente? 
 
17. Quais as dimensões de uma lata na forma de um cilindro circular reto que comporte 1 litro 
nas quais minimizarão o custo do metal para produzir a lata? 
 
18. (UnB/CESPE – PETROBRAS 2004) Na figura abaixo, o ponto P representa uma plataforma 
de petróleo em alto-mar, situada à 6 km do ponto Q, na costa. Deseja-se instalar um oleoduto 
ligando a plataforma a uma refinaria, representada pelo ponto R, também na costa, situado a 
18 km do ponto Q. O trecho de P a Q está lodo no mar e o de Q a R, em terra. Os segmentos 
PQ e QR são perpendiculares. O custo para instalação de dutos subaquáticos é igual a 
R$ 150.000,00 por km e para os dutos terrestres, R$ 120.000,00 por km. Construir o 
oleoduto ligando P a R diretamente, todo subaquático, é muito dispendioso, o mesmo 
ocorrendo com a construção seguindo os trechos PQ e QR. Dessa forma, busca-se uma 
solução alternativa que é uma composição de um trecho subaquático e de um trecho 
terrestre. Considerando essas informa- 
ções e que A seja um ponto de encontro 
dos dutos subaquático e terrestre, sobre 
o segmento QR, discuta os itens que se 
seguem e assinale V ou F. 
a) O custo máximo para a instalação de 
um oleoduto ligando a plataforma à 
refinaria é 15% maior que o custo 
mínimo para a mesma instalação. 
b) O comprimento do duto subaquático 
que minimiza os custos da instalação 
do oleodulo é superior a 9 km. 
 
19. Uma indústria química vende ácido sulfúrico a granel a R$ 100,00 por unidade. Se o custo de 
produção total diário em reais para x unidades for 2x0025,0x50000.100)x(C ++= e se a 
capacidade de produção diária for de, no máximo, 7000 unidades, quantas unidades de ácido 
sulfúrico devem ser fabricadas e vendidas diariamente para maximizar o lucro? Beneficiaria 
ao industrial expandir a capacidade de produção diária? 
 
20. Em um certo processo de fabricação química, o peso diário y de produção defeituosa depende 
do peso x de toda a produção, de acordo com a fórmula empírica 2x00003,0x01,0y += , 
onde x e y estão em quilos. Se o lucro for R$ 100,00 por kg do produto químico sem defeito e 
a perda for de R$ 20,00 por kg de produto químico defeituoso produzido, quantos quilos do 
produto devem ser produzidos diariamente para maximizar o lucro diário total? 
 
 21. Use a Regra de L’Hôpital para calcular os limites abaixo: 
a) 
2x
4xlim
2
2x
−
−
→
 b) 3
x
0x x
1elim −
→
 c) 
xcos
senx1lim
2/x
−
pi→
 
d) 
1x2e
xlim
x2
2
0x
−−
→
 e) 20x x
xcos1lim −
→
 f) 
x3
x2senlim
0x →
 
g) 
x
x
0x x
x1lim +
→
 h) 
x
senxlim
0x →
 i) 





−
−
→ x
1
1e
1lim
x0x
 
j) 
1x
)xln(xlim 21x
−
→
 k) 20x x
tgxlim
−→
 l) xlnxlim
0x
⋅
+→
 
m) 





−
+→ senx
1
x
1lim
0x
 n) 
xx e
xlim
∞+→
 o) 
x
xlnlim
x ∞+→
 
p) x/1
x
xlim
∞+→
 r) x
0x
xlim
→
 s) 
5x2
x x
31lim
+
∞+→






+