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Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 1
UNIDADE 1- Metrologia
1.1 - Introdução
A Metrologia é a ciência das medições e medidas, abrangendo todos os aspectos
teóricos e práticos relativos às medições, em quaisquer campos da ciência ou da tecno-
logia. Ela engloba todos os aspectos teóricos e práticos que asseguram a precisão exi-
gida no processo produtivo, procurando garantir a qualidade de produtos e serviços
através da calibração e da ajustagem de instrumentos de medição, sejam eles analógi-
cos ou eletrônicos (digitais), e da realização de ensaios, sendo a base fundamental para
a competitividade das empresas. Ela trata dos métodos de medição, dos erros e sua pró-
pagação, das unidades e dos padrões envolvidos na representação de uma grandeza físi-
ca, tanto do passado quanto do presente, bem como da caracterização e do comporta-
mento tanto estático quanto dinâmico dos sistemas de medição.
A ISO1 série 9000 define explicitamente a relação entre garantia da qualidade e
metrologia, estabelecendo diretrizes para que se mantenha um controle sobre os ins-
trumentos de medição da empresa, tornando assim necessária, a implantação de um
processo metrológico naquelas que buscam ou que já possuem uma certificação. O fator
globalização dos mercados também põe em prática um de seus principais objetivos,
que é traduzir a confiabilidade nos sistemas de medição e garantir que especificações
técnicas, regulamentos e normas existentes, proporcionem as mesmas condições de per-
feita aceitabilidade na montagem e encaixe de partes de produtos finais, independente
de onde sejam produzidas. Uma outra meta, não menos importante, está na melhoria do
nível de vida das populações por meio do consumo de produtos de qualidade, da preser-
vação da segurança, da saúde e do meio ambiente.
A produção em série requer medições precisas e exatas. Todos os componentes
integrantes de um produto genérico têm que ser substituíveis. A uniformidade é garan-
tida e controlada durante todo o processo de fabricação não só pela utilização de instru-
mentos perfeitamente calibrados e ajustados como também pelos ensaios de controle
de qualidade.
Do projeto ao produto final, a medição de precisão é o guia da perfeição. Para me-
dições de precisão, os profissionais (engenheiros, técnicos, ferramenteiros e inspetores)
experientes devem ter à disposição instrumentos precisos, produzidos com materiais de
qualidade, cuidadosamente manufaturados e rigorosamente inspecionados para garantir
confiança duradoura. Conforme bem apregoa a equipe da Starrett, em sua “Apostila
para Treinamento de Metrologia”:
�“Instrumentos de precisão nas mãos de profissionais experientes resultam em traba-
lhos próximos da perfeição”.
Dentro do terreno das imaginações e hipóteses, um determinado comerciante foi
multado porque sua balança indicava sempre uma leitura errada para mais, relativamen-
te às mercadorias que ele vendia. Tendo em vista que já era a quarta vez que ele recebia
uma multa considerável pela mesma razão, resolveu ajustar a balança. Muito chateado,
disse ao técnico que realizava o serviço:
1
Sigla para International Organization for Standardization (Organização Internacional para Pa-
dronização).
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 2
– Não sei a razão para eu estar sendo perseguido desta forma. Tanta gente aqui nas ime-
diações tem balanças iguais a minha e só eu sou fiscalizado. Além do mais, o que im-
porta “umas gramas a mais ou a menos”?
Talvez fosse melhor tal “cidadão” se informar não só a respeito dos direitos e
deveres de cada um como também quanto à língua pátria e convenções metrológicas.
Primeiramente, o correto não é “a grama”, mas sim “o grama”. Grama, no feminino, é
aquela espécie vegetal encontrada em jardins e em campos de futebol. A expressão ade-
quada seria “uns gramas a mais ou a menos”. Depois, tem também o fato de que o com-
sumidor estaria sendo sempre prejudicado. Dá para imaginar o que aconteceria se todos
pensassem semelhantemente a tal indivíduo despreparado? Tal tipo de ocorrência só
vem a corroborar a importância da Metrologia que, basicamente, está dividida em três
grandes áreas:
a) A Metrologia Científica, que utiliza instrumentos laboratoriais, pesquisas e metodo-
logias científicas, que têm por base padrões de medição nacionais e internacionais, para
o alcance de altos níveis de qualidade metrológica.
b) A Metrologia Industrial, cujos sistemas de medição controlam processos produtivos
industriais e são responsáveis pela garantia da qualidade dos produtos acabados.
c) A Metrologia Legal, que controla e fiscaliza todos aqueles instrumentos e medidas
que estão relacionadas com o consumidor.
1.2 - Calibração, Ajustagem e Ensaios
O termo aferição não é mais utilizado pelo INMETRO (Instituto Nacional de
Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial) e sua rede de laboratórios de ca-
libração. Para facilitar a comunicação com os demais países, emprega-se o termo cali-
bração ao invés de aferição.
Até 1995 eram utilizados os termos aferição e calibração com sentidos diferen-
tes. Por aferição entendia-se a comparação entre valores gerados por um padrão de re-
ferência e o valor efetivamente medido pelo instrumento sob análise. Por outro lado, a
calibração era o ato de abrir o instrumento e proceder a uma possível manutenção, co-
locando o mesmo em condições metrológicas adequadas, isto é, dentro dos parâmetros
estabelecidos pelo fabricante, e posteriormente, era realizada a aferição em laboratório,
por um técnico qualificado. A partir de 1993, houve uma adequação dos termos, que
passaram por uma revisão no International Vocabulary of Basic and General Terms
in Metrology International Vocabulary of Metrology2 (em português: Vocabulário
Internacional de Termos Fundamentais e Gerais em Metrologia). Atualmente, onde
usava-se aferição passou-se a utilizar o termo calibração, e consequentemente o termo
calibração foi substituído por ajustagem.
Resumindo, em se tratando de uma calibração, estamos nos referindo ao ato de
comparação entre as leituras e valores gerados pelo instrumento padrão3 (VVC) com o
2
Em 2004 ocorreu a publicação da 3ª edição original deste trabalho. Vide referências bibliográficas nº 26
e 27.
3
VVC-Valor verdadeiro convencional.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 3
instrumento sob teste4 (VI), ao passo que uma ajustagem corresponde a intervenção
corretiva ou manutenção do instrumento que apresentou erros de amplitudes elevadas,
observadas durante o processo de calibração. Resumindo: a calibração é a comparação
entre os valores indicados por um instrumento de medição e os indicados por um padrão
(equipamento de classe superior), e a ajustagem é a tarefa de regular um instrumento de
medição com vistas a diminuir os erros de medição.
Tanto a calibração quanto a ajustagem dos equipamentos de medição, são fun-
ções importantes para a qualidade no processo produtivo e devem ser atividades nor-
mais de produção, as quais proporcionam uma série de vantagens, tais como:
a) garantir a rastreabilidade das medições;
b) permitir a confiança nos resultados medidos;
c) reduzir a variação das especificações técnicas dos produtos;
d) prevenir defeitos;
e) compatibilizar as medições.
Através dos ensaios é possível verificar se os produtos ou processos de fabricação
estão de acordo com determinadas normas e especificações técnicas para, em casos de
falhas, as empresas procederem às correções que irão beneficiá-las, pelo aumento da
competitividade, e aos consumidores, pelo acesso a produtos ou serviços que atendem a
padrões mínimos de qualidade.
1.3 -
Medição ou Mensuração, Medida, Grandeza, Mensurando, Uni-
dade de Medida e Padrão Metrológico
Medir é uma atividade mais corriqueira do que parece. Ao olharmos no relógio,
por exemplo, estamos vendo no mostrador o resultado de uma medição de tempo. Ao
tomarmos um táxi, comprarmos um quilograma de carne no açougue ou abastecermos o
carro no posto de gasolina, presenciamos medições. Mas afinal, o que é uma medição?
Existe uma imensa variedade de coisas diferentes que podem ser medidas sob vá-
rios aspectos. Imagine uma lata, dessas que são usadas para refrigerantes. Podemos me-
dir a sua altura, podemos medir quanto ela “pesa” e podemos medir quanto líquido ela
pode comportar. Cada um desses aspectos (comprimento, massa, volume) implica numa
grandeza física diferente.
Medir é comparar uma grandeza com uma outra, de mesma natureza, tomada co-
mo padrão. Medição ou mensuração é, portanto, o conjunto de operações que tem por
objetivo determinar o valor de uma grandeza.
Neste ponto fica óbvio que o conceito de grandeza é fundamental para que rea-
lizemos qualquer medição. Grandeza pode ser definida, resumidamente, como sendo o
atributo físico de um corpo que pode ser qualitativamente distinguido e quantitativa-
mente determinado. Também podemos dizer que uma grandeza física é um elemento
4
VI-Valor das leituras obtidas no instrumento sob teste.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 4
convencionalmente introduzido com o objetivo puro e simples de facilitar o estudo e a
descrição de um fenômeno ou de um grupo de fenômenos, sendo tal elemento suscetível
de definição quantitativa e determinação quantitativa.
O resultado da medição de uma grandeza é a medida da mesma, sendo, pois, o
valor atribuído a um mensurando obtido através da medição. O mensurando é o obje-
to da medição, isto é, a grandeza específica submetida à medição.
Entretanto, para determinar o valor numérico de uma grandeza, é necessário que
se disponha de uma outra grandeza de mesma natureza, definida e adotada por conven-
ção, para fazer a comparação com a primeira. Assim sendo, a unidade de medida é
uma grandeza específica, definida e adotada por convenção, com a qual outras grande-
zas de mesma natureza são comparadas a fim de expressar seu tamanho relativamente
àquela grandeza de referência ou padrão.
Para saber a altura daquela lata, por exemplo, é preciso adotar um comprimento
definido para ser usado como unidade. O comprimento definido como unidade de medi-
da pelo Sistema Internacional de Unidades - SI, é o metro, seus múltiplos e submúlti-
plos. Desde 1983, o metro é definido como sendo o comprimento do trajeto percorrido
pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo, mas
ainda voltaremos a tal assunto.
Seria bem complicado medir a altura de uma lata usando apenas a definição do
metro. Para isso existem os padrões metrológicos. Um padrão metrológico é, em resu-
mo, um instrumento de medição ou uma medida materializada, destinado a reproduzir
uma unidade de medida para servir como referência.
O padrão (de qualquer grandeza) reconhecido como tendo a mais alta qualidade
metrológica e cujo valor é aceito sem referência a outro padrão, é chamado de padrão
primário. Um padrão cujo valor é estabelecido pela comparação direta com o padrão
primário é chamado padrão secundário, e assim sucessivamente, criando uma cadeia
de padrões onde um padrão de maior qualidade metrológica é usado como referência
para o de menor qualidade metrológica. Pode-se, por exemplo, a partir de um padrão
de trabalho, percorrer toda a cadeia de rastreabilidade desse padrão, chegando ao pa-
drão primário.
A fim de não perder nossa linha de raciocínio, resolvemos incluir muito mais ma-
terial sobre padrões no anexo 3, cujo título é “Os Padrões e a História”. Também pelo
mesmo motivo, deixamos o Sistema Internacional de Unidades para o anexo 4 e as con-
versões entre medidas de comprimento para o anexo 5.
Trocando em miúdos tudo o que já foi dito até agora na presente seção, podemos
dizer que medir uma grandeza é compará-la com outra da mesma espécie e verificar
quantas vezes essa outra é menor ou maior que aquela. Assim, por exemplo, medir a
área A, de um terreno nada mais é do que verificar quantas vezes essa área é maior (ou
menor) do que a área de um quadrado de 1 m de lado. Escolhemos então, em tal caso, a
área do quadrado de 1 m de lado para termo de comparação. Suponhamos, somente para
fixar idéias, que a área do terreno seja 400 vezes maior que a do quadrado de 1 m de
lado. De forma sintética ou concisa, dizemos então que a área do terreno é de 400 me-
tros quadrados (simbolicamente 400 m2) e escrevemos
2400 mA =
convencionando que a expressão 2400 m significa 400 vezes a área de um quadrado de 1
m de lado.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 5
Conforme já foi explanado, a parte de uma grandeza que é escolhida para termo
de comparação das grandezas de sua espécie é chamada unidade da grandeza, ou uni-
dade de medida da grandeza. No caso em questão, a unidade de área escolhida foi a
área de um quadrado de 1 m de lado, ou seja, o 2m .
O número que exprime a razão entre uma certa grandeza e sua unidade, isto é, o
número que exprime quantas vezes uma certa grandeza é maior (ou menor) que a
unidade escolhida, é denominada medida relativa da grandeza, obviamente relativa à
unidade considerada. No caso analisado, a medida da área do terreno é 400. Observando
a relação
2400 m ,A =
concluímos que a expressão completa de uma grandeza é constituída por dois fato-
res; um deles é a unidade de medida ( 2m , no caso em questão), e o outro a medida
relativa da grandeza (400, no presente caso). A fim de sedimentar tal conceito, vamos
apresentar, em seguida, a tradução de um trecho de um dos livros que mais impulsionou
o desenvolvimento da Física:
�“Cada expressão de uma grandeza consta de dois fatores ou componentes. Um deles é
o nome da grandeza de mesma espécie que a grandeza considerada, e que é tomada co-
mo padrão de referência. O outro fator é o número de vezes que o padrão deve ser to-
mado a fim de reproduzir a grandeza em apreço. O padrão de referência é tecnicamente
chamado unidade, enquanto que ao número se dá o nome de medida da grandeza con-
siderada.”[J.C.Maxwell5, A Treatise on Electricity and Magnetism, vol 1, Dover, New
York, 1954. (Reprodução inalterada da 3ª edição inglesa, de 1891].
Bem, agora que já falamos em padrões de referência, temos também que ressaltar
que, antes de fazer qualquer medição, precisamos saber qual a grandeza que pretende-
mos medir e o grau de exatidão que pretendemos obter como resultado dessa medição,
para então podermos escolher o instrumento de medir adequado. Além disso, é neces-
sário que o instrumento ou medida materializada em questão tenha sido calibrado.
A calibração já foi abordada, mas é mister definir a exatidão de medição como
sendo o grau de concordância entre o resultado de uma medição e o seu valor verda-
deiro convencional. Quando se diz que um instrumento ou aparelho tem boa exatidão
de medição, significa que o mesmo acarreta pequenos erros de medição quando utiliza-
do adequadamente.
Também não é demais introduzir a incerteza de medição, como sendo o parâme-
tro associado ao resultado de uma medição que caracteriza a dispersão de valores que
podem ser atribuídos a um mensurando. Sobre a dispersão trataremos mais adiante, po-
rém, a incerteza de medição é a dúvida quanto ao resultado ao efetuar uma medição.
Nenhuma medição pode ser realizada sem que existam erros associados, devidos a im-
perfeições do instrumento, ao operador e ao processo utilizado. Portanto, alguma
dúvi-
da ainda existe quando efetuamos uma medição. Nas medições críticas, que são aque-
las nas quais existem grande preocupações associadas aos resultados, é necessário ava-
liar a incerteza de medição. Para tal finalidade, devemos utilizar um documento in-
ternacional denominado “Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement”, que
5
Maxwell [James Clerk Maxwell (1831-1879)] - físico escocês que deu grandes contribuições ao
Eletromagnetismo e à Termodinâmica.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 6
foi traduzido para o Português, pelo INMETRO, e é distribuído para todo o nosso país
por este instituto com o título “Guia para a Expressão da Incerteza de Medição”.
Vamos agora supor que queiramos saber quanto “pesamos”. A grandeza a ser me-
dida é a massa – neste ponto é interessante revisar a diferença conceitual entre massa e
peso. Neste caso, não é necessário um resultado com grande exatidão de medição e a
balança antropométrica da drogaria resolve o nosso caso.
Agora, vamos supor que você trabalhe numa farmácia de manipulação e precise
determinar a massa do componente de um medicamento para aviar uma receita. É
aconselhável que você obtenha um resultado com grande exatidão de medição. Uma
balança analítica compatível com a exatidão requerida é o instrumento mais adequado.
Mesmo na medição mais corriqueira adotamos, de maneira consciente ou incons-
ciente, um método de medição e um procedimento de medição.
Como nos exemplos anteriores, métodos e procedimentos de medição são adota-
dos em razão da grandeza a ser medida, da exatidão requerida e de outros condicionan-
tes que envolvem uma série de variáveis.
Vamos supor que queiramos determinar o volume de 200 ml de óleo comestível.
Se não necessitamos de grande exatidão (vamos usar o óleo para fazer uma receita culi-
nária) então o método escolhido pode ser, simplesmente, verter o óleo em uma medida
de volume graduada (uma proveta, por exemplo). Porém, se o resultado exigir maior
exatidão (um ensaio em laboratório), será necessário utilizar outro método, que leve em
consideração outras variáveis, como a temperatura do óleo, sua massa, sua massa espe-
cífica e por ai vai, uma vez que o volume do óleo varia em função da temperatura que
este apresenta no momento da medição.
Após medir uma grandeza, devemos enunciar o resultado da medição. Parece coi-
sa simples, mas não é! Em primeiro lugar, ao realizar uma medição, é impossível de-
terminar um valor verdadeiro para a grandeza medida.
Vamos supor que medimos a massa de um corpo em uma balança eletrônica e a
indicação numérica que apareceu no visor foi 342 g (trezentos e quarenta e dois gra-
mas). Na verdade, um possível valor verdadeiro da massa daquele corpo estaria próxi-
mo da indicação obtida, embora este seja, por definição, indeterminável. Os parâmetros
dessa aproximação são dados pela incerteza da medição.
Como nos exemplos anteriores, se essa medição destina-se a fins domésticos, não
é necessário qualquer rigor ao expressar o seu resultado. Entretanto, quando se trata de
medições para fins científicos ou tecnológicos, será preciso deixar claro se o resultado
apresentado refere-se àquela indicação, ou ao resultado corrigido, ou ainda à média de
várias medições. Deve conter ainda informações sobre a incerteza de medição, ser ex-
presso utilizando-se o nome e a simbologia da grandeza de forma correta e levar em
consideração os algarismos significativos que compõem o valor numérico.
No texto acima, se referimos a exemplos de medição doméstica comparados a
exemplos de medição de cunho científico ou tecnológico, foi apenas por acreditar que
tais comparações facilitam a compreensão. Na verdade, a maior parte das medições que
observamos no dia a dia são, de fato, de cunho comercial, e são reguladas por uma parte
específica da Metrologia, já citada anteriormente, que é denominada Metrologia Legal.
Uma medição ou mensuração também pode ser entendida como sendo a utiliza-
ção de um sentido físico que é a visão e, em alguns casos, também um instrumento, dis-
positivo ou aparelho, com a finalidade de determinação do valor de uma grandeza. Tra-
ta-se, portanto, de uma observação feita para determinar uma quantidade desconhecida.
Existem três tipos de medição, que serão detalhados a seguir:
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 7
direta simples
direta
Tipos de medições instrumental
indireta
indireta simples
(a) A medição direta simples é a comparação da grandeza a ser medida com uma gran-
deza de mesma natureza adotada como unidade ou como padrão, ou seja, quantas vezes
esta cabe naquela.
Exemplos de medições diretas simples:
1º) A medição de um terreno a passo.
2º) A contagem do número de dias de duração de um determinado fenômeno.
3º) A determinação da massa de um corpo utilizando uma balança mecânica de pratos e
massas de referência. Pode parecer que se trata de uma medição instrumental, mas não
é! O instrumento, que no caso é a balança, é só uma interface no processo comparativo
entre a massa do corpo e as massas de referência; ela não fornece o valor da massa em
uma escala ou mostrador. Tal valor é determinado quando o peso das massas colocadas
em um prato equilibram o peso do corpo situado no outro prato.
Fig. 1.1 - O passo humano é variável Fig. 1.2 - Balança mecânica de pratos
Em Física, são poucas as grandezas suscetíveis de medição direta simples e são
aquelas que envolvem comprimentos, massas e tempos. Este tipo de medição, normal-
mente, não fornece resultados muito precisões e fornecem, no mais das vezes, uma no-
ção da ordem de grandeza dos valores pesquisados. Repare, no primeiro exemplo, que
além do passo humano ser variável, um comprimento pode não ser um múltiplo inteiro
do passo empregado como padrão de medição, não sendo, portanto, possível a estima-
tiva precisa de frações do mesmo. No segundo exemplo, embora a duração de um dia
seja um tempo conhecido, também existe o problema do fracionamento, a menos que
empreguemos os conceitos de horas, minutos, segundos, décimos de segundo, etc., o
que, no entanto, já seria uma medição instrumental.
(b) A medição instrumental é a mensuração de uma grandeza por intermédio de um
efeito produzido, sob condições controladas, em um instrumento ou aparelho de medi-
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 8
ção. Em sua esmagadora maioria, as grandezas físicas são medidas desta forma. Na
classe dos instrumentos de medição temos, por exemplo, a régua graduada, a fita me-
trica e a trena, para medidas de comprimento, o paquímetro e o micrômetro para me-
didas de precisão envolvendo distâncias (espessuras, diâmetros, alturas de ressaltos,
profundidade de depressões e de furos cegos, etc.), o cronômetro, para medidas de tem-
po, o termômetro, para medidas de temperatura, o goniômetro6, para as medidas e tra-
çados de ângulos planos, sendo que o transferidor é um tipo simples de goniômetro, e
o dinamômetro de mola, para medir forças. Nesta classe podemos ainda incluir o esfe-
rômetro, para medidas de raio de curvatura, o calibrador traçador de altura, para me-
didas da distância vertical entre planos horizontais, o barômetro, para medidas da pres-
são atmosférica, o pressostato, para medidas da pressão em geral, o altímetro, para as
determinações de altitudes e o teodolito7, para as medidas de ângulos verticais e hori-
zontais. Já como aparelhos, podemos citar o dinamômetro para testes automotivos,
também para medir forças, o gravímetro, para as medições
da aceleração da gravidade,
o amperímetro, para as medidas da intensidade de corrente elétrica, o voltímetro, para
as medidas de tensão, diferença de potencial (d.d.p.) ou voltagem elétrica, o ohmíme-
tro, para as medidas de resistência elétrica, o terrômetro ou megger de terra, para as
medições da resistividade do solo e da resistência de aterramento, o multímetro ou
multiteste (multimeter ou MM – multimeter em inglês, se for analógico, ou DMM -
digital multimeter, se for digital – funciona, de forma selecionada, como amperímetro,
voltímetro, ohmímetro, capacímetro, indutímetro ou termômetro8.), o capacímetro, pa-
ra as medidas da capacitância elétrica, o indutímetro, para as medições da indutância
elétrica, decibelímetro, para as medidas da intensidade sonora, o wattímetro ou vatí-
metro, para as medições da potência ativa, expressa em watt - W, o varímetro, para as
medidas da potência reativa, expressa em volt-ampère-reativo - VAr, o medidor de
kWh, para as medições da energia elétrica ativa consumida (usado em residências), o
medidor de kVArh, para medições da energia reativa trocada entre a concessionária e o
6
Um goniômetro é um instrumento de medida em forma semicircular ou circular graduada em 180º ou
360º, utilizado para medir ou construir ângulos. Entre os goniômetros está o transferidor, um semicírculo
de plástico transparente ou um círculo graduado utilizado para medir ou construir ângulos. Mais
especificamente, um goniômetro é um instrumento que mede o ângulo entre as superfícies refletoras de
um cristal ou prisma.Os dois raios de luz provenientes de um colimador (um sistema de lentes e fendas
projetado para criar feixes paralelos de luz) são dirigidos sobre duas superfícies adjacentes do cristal: os
feixes são refletidos pelas duas faces e o ângulo entre os dois feixes refletidos (duas vezes o ângulo entre
a superfície do cristal ou prisma) é medido. Um goniômetro é também um dispositivo utilizado
juntamente com transmissores de rádio ou radar. Ele permite que um sinal seja emitido em qualquer
direção ou que a direção de um sinal que chega ao receptor seja determinada sem o apoio de uma antena
fisicamente giratória. É também um instrumento utilizado por fisioterapeutas para medir a amplitude
articular.
7
O teodolito é um instrumento óptico utilizado na Topografia e na Agrimensura para realizar medidas
de ângulos verticais e horizontais, sendo usado em redes de triangulação. Basicamente é um telescópio
com movimentos graduados na vertical e na horizontal, e montado sobre um tripé, podendo possuir ou
não uma bússola incorporada.
8
Nem todos os multímetros, e existem vários tipos deles, possuem todas estas funções, mas existe um
modelo da IMPAC, que será apresentado nas figuras 1.50 e 1.51, e que tem todas elas.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 9
consumidor (usado em fábricas, indústrias e grandes condomínios), o medidor de
kWh/kVArh, para medições tanto da energia elétrica ativa quanto da reativa (também
com as mesmas aplicações do anterior), o frequencímetro, para medidas da frequência
de uma vibração periódica, o sequencímetro ou fasímetro9, para indicações da sequên-
cia de fases e também para indicações de falta de fase (fase aberta), o medidor de fator
de potência e o medidor de pressão arterial.
A medição instrumental só tem sentido se houver correspondência biunívoca
entre a grandeza do efeito que o instrumento faz aparecer (leitura da escala), e a gran-
deza do ente físico que produz aquele efeito (força, temperatura, campo magnético, etc.)
Geralmente, a graduação do instrumento dá diretamente a grandeza à qual ele
responde e que está medindo. O traçado da escala e a verificação da condição inicial do
instrumento, fazem parte da calibração do mesmo. Ela é feita com base em leis físicas
ou por comparação com algum instrumento padrão.
Fig. 1.3 - LEDs.
Os instrumentos e aparelhos atuais são apresentados em duas versões: analógicos,
que têm ponteiros e escalas de leitura, e digitais, que têm visores ou mostradores (dis-
plays), nos quais, através de circuitos eletrônicos, são acesos os LEDs10 que formam os
números indicadores das leituras.
Fig 1.4 - Régua graduada Fig 1.5 - Fita métrica
9
Em um sistema elétrico trifásico, o sequencímetro ou fasímetro serve para determinar a sequência das
fases - abc (sequência direta) ou acb (sequência inversa), bem como verificar se existe fase aberta. Este
aparelho nada mais do que um pequeno motor trifásico acoplado a um disco no painel, que indica se esta
sequência de fase irá fazer o motor girar em sentido horário ou anti-horário. No aparelho do tipo digital,
são detectadas as passagens por zero de cada fase que sãoaplicadas num circuito sequencial feito com
flip-flop e indicam se a sequência é horária ou anti-horária.
10
O diodo emissor de luz também é conhecido em inglês pela sigla LED (Light Emitting Diode). Sua
funcionalidade básica é a emissão de luz em locais e instrumentos onde se torna mais conveniente a sua
utilização ao invés de uma lâmpada. Especialmente utilizado em produtos de microeletrônica como sinali-
zador de avisos, também pode ser encontrado em tamanho maior, como em alguns modelos de sinais de
trânsito (semáforos).
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Fig 1.6 - Trena Fig 1.7 - Trena digital
Fig 1.8 - Paquímetro universal
Fig 1.9 - Paquímetro universal com relógio
Fig 1.10 - Paquímetro digital
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Fig 1.11 - Micrômetro externo Fig 1.12 - Micrômetro externo digital
Fig 1.13 - Micrômetro interno Fig 1.14 - Micrômetro interno digital
Fig 1.15 - Cronômetro Fig 1.16 - Cronômetro digital
Fig 1.17 - Termômetro Fig 1.18 - Termômetro
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 12
Fig 1.19 - Termômetro digital Fig 1.20 - Termômetro digital
Fig 1.21 - Goniômetro Fig 1.22 - Goniômetro de precisão
Fig 1.23 - Goniômetro digital
Fig 1.24 - Transferidor Fig 1.25 - Dinamômetros
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 13
Fig 1.26 - Dinamômetro digital Fig 1.27 – Esferômetro
Fig 1.28 - Esferômetro com relógio Fig 1.29 - Calibrador traçador de altura
Fig 1.30 - Calibrador traçador de altura Fig 1.31 - Calibrador traçador de altura
com relógio digital
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Fig 1.32 – Barômetro Fig 1.33 - Barômetro de Torricelli
Fig 1.34 - Barômetro digital Fig 1.35 - Pressostato
Fig 1.36 - Pressostato digital Fig 1.37 - Altímetro
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Fig 1.38 – Altímetro digital Fig 1.39 - Teodolito
Fig 1.40 - Teodolito no tripé Fig 1.41 - Dinamômetro para testes
automotivos
Fig 1.42 - Dinamômetro para testes automotivos Fig 1.43 - Gravímetro
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Fig. 1.44 - Amperímetro analógico Fig. 1.45 - Amperímetro analógico do tipo alicate
Fig. 1.46 - Funcionamento do amperímetro
Fig. 1.47 - Amperímetro digital Fig. 1.48 - Carregador de baterias (20 AH) com
amperímetro digital acoplado
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Fig. 1.49 - Amperímetro automotivo Fig. 1.50 - Amperímetro automotivo
analógico digital
Fig. 1.51 - Voltímetro analógico Fig. 1.52 - Fonte CC com amperímetro e
voltímetro digitais
Fig. 1.53 - Funcionamento do voltímetro
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Fig. 1.54 - Voltímetro digital Fig. 1.55 - Voltímetro digital para verifica-
ção de baterias de automóveis
Fig. 1.56 - Voltímetro automotivo Fig. 1.57 - Voltímetro automotivo
analógico digital
Fig. 1.58 - Ohmímetro analógico Fig. 1.59 - Ohmímetro digital
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 19
Fig. 1.60 - Funcionamento do ohmímetro
Fig. 1.61 - Terrômetro analógico Fig. 1.62 - Terrômetro digital
Fig. 1.63 - Multímetro analógico Fig. 1.64 - Multímetro digital
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 20
Fig. 1.65 - Multímetro digital11 Fig. 1.66 - Painel do multímetro digital
Fig. 1.67 - Capacímetro digital Fig. 1.68 - Indutímetro digital
11
O principal diferencial deste produto é a medição de indutância e de capacitância, bem como o
mostrador LCD grande que indica onde ligar as pontas de prova ajudando a evitar erros de opera-
ção. Outro ponto bastante interessante é a possibilidade de calibrar o instrumento pelo próprio pai-
nel, sem a necessidade de abrir o aparelho. O mesmo é entregue totalmente calibrado de fabrica.
Teste de continuidade sonoro com bipe. Características: Mostrador de cristal líquido (LCD) de 3
½ dígitos c/ Iluminação e indicação ligação dos bornes; Tensão CC: 200mV, 20V, 200V, 1000V,
Precisão: ± 0,5% a ± 0,8% da leitura ± 5 dígitos; Tensão CA: 2V, 200V, 700V, Precisão: ± 0,8%
a ± 1,2% da leitura ± 7 dígitos; Corrente CC: (2,200 )mA, 10A, Precisão básica: ± 0,8% a ± 2% da
leitura ± 5 dígito; Corrente AC: 200mA, 10A, Precisão básica: ± 1,8% a ± 3% da leitura ± 5 dígi-
tos; Resistência: 200, 2K, 200K, 2M, 20M, Precisão básica: ± 0,8% a ± 1% da leitura ±5 dígitos;
Capacitância: 20nF-200µF, Precisão: ±3% a 5% ±5 dígitos; Frequência: 2k, 20k,200 kHz, Preci-
são: ±0.5% ±3 dígitos; Teste de hfe transistor e diodo: Sim NPN e PNP; Congelamento de leitura:
Sim; Temperatura de Operação: 0 a 40ºC; Alimentação: 1 Bateria de 9 V.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 21
Fig. 1.69 - Capacímetro e indutímetro digital Fig. 1.70 - Medidor RLC
Fig. 1.71 - Medidor RL Fig. 1.72 - Medidor RC
Fig. 1.73 - Decibelímetro analógico Fig. 1.74 - Decibelímetro digital
Fig. 1.75 - Decibelímetro digital Fig. 1.76 - Decibelímetro digital
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 22
Fig. 1.77 - Watímetro analógico Fig. 1.78 - Watímetro analógico
Fig. 1.79 - Watímetro digital Fig. 1.80- Watímetro digital
Fig. 1.81 - Varímetro analógico Fig. 1.82 - Varímetro digital
Fig. 1.83 - Medidor de energia ativa Fig. 1.84 - Medidor digital de energia ativa
Devemos também mencionar que, em breve, todo o sistema que faz com que a
energia elétrica chegue até a sua casa deve mudar. A tecnologia analógica que temos
hoje deve ser substituída por outra conhecida pelo adjetivo inteligente. A ponta da ca-
deia dessa nova rede é o medidor eletrônico, o smart grid, que já começa a ser instala-
do para teste em algumas regiões do Brasil.
Com o uso de microprocessadores e memória semelhante à de computadores, os
novos medidores trazem a ideia de tempo real para a distribuição e para o uso de ener-
gia, o que aproxima a ligação entre clientes e concessionárias. Quedas poderão ser dia-
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 23
gnosticadas de forma automática, e a área atingida, reduzida, já que será possível con-
trolar o fluxo da energia.
O sistema une tecnologia da informação (TI), sensoriamento remoto e telecomu-
nicações para permitir uma série de novas funções. Bem desenvolvida nos países nórdi-
cos e nos E.U.A., o grande objetivo da rede inteligente é o controle da energia consu-
mida, partindo do princípio de que o maior domínio da cadeia possibilita a redução do
desperdício.
Fig. 1.85 - Sistema smart grid Fig. 1.86 - Tecnologia do sistema smart grid
Fig. 1.87 - Medidor digital de energia reativa Fig. 1.88 - Medidor digital de energias
ativa e reativa
Fig. 1.89 - Medidor de Energias e Controle de Demanda PWR 3200 plus: é um medidor
de energia trifásico e controlador de demanda e fator de potência, com 32 saídas de con-
trole que podem compartilhar as funções de controle de demanda, controle de fator de
potência e programações horárias. Além disso, possibilita a medição das tensões e cor-
rentes nas 3 fases, o cálculo das energias e das potências ativa, reativa e aparente (trifá-
sicas e monofásicas), assim como dos fatores de potência e a integração da potência ins-
tantânea trifásica em períodos de 15 minutos para controle de demanda. Possui memória
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 24
interna (datalogger) com capacidade de até 8 Mb. Possui comunicação serial para cone-
xão com o Sitrad12.
Fig. 1.90 - Frequencímetro Fig. 1.91 - Frequencímetro digital
Fig. 1.92 - Frequencímetro digital
Fig. 1.93 - Fasímetro digital para Fig. 1.94 - Fasímetro digital para
indicação da sequência indicação da sequência
de fases e de falta de fase de fases e de falta de fase
Fig. 1.95 - Medidor analógico Fig. 1.96 - Medidor digital
de fator de potência de fator de potência
12
É um sistema, desenvolvido pela Full Gauge Controls, que permite a administração local ou remota
de sistemas de energia elétrica, refrigeração, aquecimento, climatização e aquecimento solar entre outros.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 25
Fig. 1.97 - Medidor de pressão arterial Fig. 1.98 - Medidor digital
de pressão arterial
Conforme já ressaltado, a medição instrumental pode ser feita de forma direta
ou indireta. Na forma direta é quando o processo envolve apenas o aparelho e o siste-
ma a ser analisado. Na forma indireta, são envolvidos outros aparelhos ou dispositivos,
que fazem a interface entre o sistema sob análise e o aparelho de medição, isto é, quan-
do este último não é diretamente sensibilizado pelo efeito da grandeza a ser medida.
Exemplos de medições instrumentais diretas:
1º) A temperatura pode ser medida com um termômetro de mercúrio ou de álcool, isto
é, pela dilatação do mercúrio ou do álcool encapsulado no termômetro de vidro (efeito
visível) é que se mede a temperatura. Nas figuras 1.17 e 1.18 aparecem as imagens de
termômetros.
2º) Uma força pode ser medida com um aparelho denominado dinamômetro, no qual,
pela distensão da mola (efeito visível), mede-se a força (ente abstrato). Um dinamôme-
tro de mola está representado na figura 1.24.
3º) A corrente elétrica pode ser medida com um amperímetro analógico, onde o desloca-
mento do ponteiro (efeito visível) resulta do efeito da corrente elétrica (torque sobre
uma bobina situada em um campo magnético). Um aparelho deste tipo aparece na figu-
ra 1.44. Entretanto, neste ponto é interessante ressaltar que o amperímetro, o voltímetro
e o ohmímetro analógicos, baseiam-se no mesmo princípio de funcionamento do galva-
nômetro de bobina móvel, também conhecido como galvanômetro d’Arsonval: uma bo-
bina consistindo de várias centenas de espiras de fio muito fino é girada sobre um eixo
num campo magnético gerado por um imã permanente. A rotação da bobina é restrin-
gida por uma pequena mola em espiral, tipo um fino “balancim de relógio mecânico”,
de modo que, quando uma corrente percorre a bobina, esta última experimenta a ação de
um torque devido ao campo magnético, e gira até que o torque magnético seja contraba-
lançado por um torque oposto exercido pela mola, até que o equilíbrio seja novamente
atingido. Neste novo estado de equilíbrio, a bobina e o ponteiro que lhe é solidário, gi-
ram de um ângulo que é proporcional à corrente na bobina, o que serve para que seja es-
tabelecida uma escala de leitura, a fim de que se possam efetuar as medidas com o apa-
relho.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 26
Fig. 1.99 - Rudimentos de um galvanômetro
Exemplos de medições instrumentais indiretas:
1º) Nas subestações elétricas existem os painéis de supervisão se elas possuem opera-
dores locais, ou então estes painéis estão situados em centros de supervisão remota (dis-
tante). Consideremos uma subestação abaixadora, da classe 138 kV/13,8 kV, usual na
Light Serviços de Eletricidade S.A., no Estado do Rio de Janeiro. Vamos imaginar,
por simplicidade os painéis de supervisão local, no que respeita tanto a alta tensão quan-
to a baixa, por exemplo. Então questionamos: seria possível que uma tensão da ordem
de ( )3kilovolt V kV= 10 atuasse diretamente sobre um voltímetro? Obviamente que
não, pois tais aparelhos não possuem isolamento para suportar tal classe de tensão. A
solução é utilizar transformadores de potencial (TPs), a fim de abaixar a tensão que vai
efetivamente atuar sobre o voltímetro. Deste modo, verificamos que o voltímetro não
enxerga a tensão que ele está medindo, mas tão somente uma imagem da mesma. A
mesma coisa ocorre com os amperímetros, e aí devemos utilizar os transformadores de
corrente (TCs). Algo muito semelhante também acontece com os relés de proteção, quer
sejam convencionais quer sejam estáticos (eletrônicos). Em muitos casos, eles enxergam
apenas imagens de tensão e de corrente. Estes são exemplos de medições indiretas, em-
bora estejam envolvidos aparelhos.
2º) As Centrais Elétricas de Santa Catarina S.A. (CELESC) utilizam os seguintes
padrões para medição das energias associadas a consumidores especiais (fornecimentos
em alta tensão):
� Medição direta:
Os consumidores atendidos em tensão inferior a 2,3 kV (carga instalada até
75 kW), normalmente apresentam uma medição direta, ou seja, a energia
consumida pela instalação passa integralmente pelo medidor, e é determina-
da por um medidor de kWh ou por um medidor de kWh/kVArh.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 27
Fig. 1.100 - Medição direta
� Medição Indireta: para os consumidores atendidos em alta tensão supe-
rior a 2,3 kV (carga instalada superior a 75 kW), é usada a medição indi-
reta, isto é, somente uma parcela da energia consumida passa através dos
equipamentos de medição.
• Medição Indireta em Baixa Tensão - BT: este tipo de medição é usa-
do para os consumidores do Grupo A, quando a potência for igual ou
inferior a 300 kVA nos sistemas de 380/220 V e menor que 225 kVA
nos sistemas
de 220/127 V ou de 220 V. Em tais situações, são usa-
dos transformadores de corrente (TCs), a fim de adequar a corrente
aos medidores de potência ativa, de potência reativa, de energia ativa
e de energia reativa.
Fig. 1.101 - Medição Indireta em BT
• Medição Indireta em Alta Tensão - AT: este tipo de medição é usa-
do para os consumidores do Grupo A, quando a potência ultrapassar
os limites estabelecidos no item anterior. São, então, utilizados trans-
formadores de corrente (TCs) e transformadores de potencial, para
adequar, respectivamente, a corrente e a tensão aos medidores já
mencionados.
Fig. 1.102 - Medição Indireta em AT
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 28
Nota: a bem da verdade, devemos ressaltar que todas as medições instrumentais feitas
com instrumentos ou aparelhos digitais são indiretas, uma vez que os efeitos das gran-
dezas a serem medidas não agem diretamente em uma escala. Não, existem circuitos
eletronicos fazendo as interfaces entre os efeitos e as leituras através dos LEDs que
compõem os mostradores (displays).
(c) A medição indireta simples é a que resulta da aplicação de uma relação matemática
que vincula a grandeza a ser medida com outras grandezas obtidas por medição, quer de
forma direta simples quer instrumental. Exemplos de medições indiretas simples:
1º) A área desta página se obtém multiplicando a base pela altura ( )A bh= , que devem,
no entanto, ser previamente determinadas.
2º) A velocidade média de um veículo é obtida através da razão entre a distância per-
corrida e o intervalo de tempo gasto no percurso ( )mv .s t= ∆ ∆
3º) A determinação do valor da resistência de um resistor através da razão entre a tensão
entre seus terminais e a corrente que percorre o componente eletroeletrônico ( )R V i= .
4º) A aceleração local da gravidade é calculada a partir do comprimento de um pêndulo
simples e do respectivo período de oscilação aplicando-se a fórmula e sua decorrência
2 22 4T l g g l Tpi pi= =�
1.4 - Incerteza de Medição, Erros e Classificação dos Erros13
1.4.1- Definição de Incerteza de Medição
É o parâmetro associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão
dos valores que podem ser fundamentalmente atribuídos a um mensurando. Também
pode ser entendido como sendo uma estimativa caracterizando a faixa dos valores den-
tro da qual se encontra o valor verdadeiro da grandeza medida.
1.4.2- Fontes de Incerteza
São vários os fatores que geram a incerteza de medição que está presente, em maior
ou menor grau, em todas as medições:
• Os aspectos tecnológicos do próprio sistema de medição fazem o mesmo re-
sulte imperfeito: suas dimensões, forma geométrica, material, propriedades
elétricas, ópticas e pneumáticas não correspondem exatamente às ideais.
13
Diversos assuntos desta seção, tais como conceitos, exemplos, exemplos resolvidos e problemas pro-
postos relacionados, são originários do artigo “Incerteza e Resultado de Medição U e RM”, de autoria
do engenheiro e professor Cid Vicentini Silveira, que nos autorizou a utilização dos mesmos e a quem
somos imensamente gratos.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 29
• As leis e princípios físicos que regem o funcionamento de alguns sistemas
de medição nem sempre são perfeitamente lineares como uma análise
simplista poderia supor. O desgaste e a deterioração dos componentes
agravam ainda mais esta condição.
• As perturbações externas como, por exemplo, as condições ambientais, po-
dem provocar erros, alterando diretamente o sistema de medição ou agindo
sobre o mensurando, fazendo com que o comportamento do sistema de
medição se afaste ainda mais do ideal. Por exemplo: as variações de tem-
peratura (que provocam dilatações nas escalas de um sistema de medição de
comprimento), as variações nas propriedades de componentes e circuitos
elétricos (que alteram o valor indicado por um sistema de medição), as vi-
brações ambientais, os campos eletromagnéticos, a excessiva umidade do ar
e as diferentes pressões atmosféricas podem, em maior ou menor grau, afe-
tar um sistema de medição.
• O operador e a técnica empregada, o uso de força de medição irregular ou
excessiva, os vícios de má utilização, um sistema de medição inadequado, a
forma, tamanho ou faixa de medição do sistema de medição também são
fontes de erros que contribuem na formação da incerteza.
• Outro fator de grande influência é a variação do mensurando. Exemplos: a
temperatura de um objeto tomada em regiões diferentes do mesmo, o diâ-
metro de um eixo medido em pontos diferentes, etc.
Fig. 1.103
1.4.3- Erros e Classificação dos Erros
Nunca é possível afirmar-se que o número que exprime o resultado de uma me-
dida é inteiramente exato. A razão disso reside no fato de, ao efetuar-se uma medida
qualquer, existir sempre a possibilidade de se cometer erros de várias espécies, quer
devidos à falta de atenção e cuidado do pesquisador, quer às imperfeições sensoriais do
mesmo, quer à imperfeições dos instrumentos de medida, quer, ainda, por influírem na
medida em questão fatores ambientais e outros fatores que não são ou não podem ser
considerados. Os erros podem ser classificados em diversas categorias:
1ª) Erros Sistemáticos ( sE ) - são os que aparecem em uma série de medidas, com um
certa constância e um sentido determinado, ou seja, sistematicamente para mais ou
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 30
para menos. Temos, então, valores que orbitam em torno de uma média defasada ou
afastada de um valor padrão ou esperado. Apesar dos resultados estarem distribuídos em
torno da média, devidos aos erros aleatórios, esta média não corresponde ao valor mais
provável. Esta é a parcela de erro sempre presente nas medições realizadas em idênticas
condições de medição. Tal ocorrência pode ser reduzida a um mínimo desprezível na
calibração, pois normalmente ocorre em função de uma causa constante. Os erros siste-
maticos fazem a média de um conjunto de medições se afastar de um valor verdadeiro
aceitável e afetam a exatidão dos resultados. Tais erros são:
• de construção ou de ajustagem (caracterizando por um dispositivo de medição
com um ponteiro torto, por exemplo, ou pela má qualidade do material empre-
gado, como aqueles que implicam em histereses em elementos magnéticos e fol-
gas em engrenagens);
• de imperfeição do observador (erro de leitura da escala, erro de paralaxe14 –
vide figura 1.89);
• de imperfeição dos métodos de medida (erro devido a aplicação de uma fór-
mula aproximada, como, por exemplo, no caso do pêndulo simples, quando é
desprezada a influência da amplitude de oscilação no período do pêndulo, erro
devido a correções relativísticas que não foram efetuadas, erro devido ao empre-
go de um diagrama imperfeito, erro devido a não consideração da variação local
no valor da gravidade, da variação da pressão atmosférica com a altitude, etc.)
Como exemplo de ajustagem, todas as medidas efetuadas com um multímetro
analógico funcionando como ohmímetro, e cujo ponteiro não coincida com o zero da es-
cala com o aparelho ligado mas sem carga, serão afetadas por um determinado erro, que
terá sempre o mesmo sentido, isto é, o valor indicado para a resistência elétrica será
sempre maior (ou menor) que o apresentado por um outro multímetro que tenha sido
“zerado” corretamente15.
Para cada um dos três casos acima citados deve haver um estudo do instrumento,
do observador ou do método de medida, respectivamente.
Os erros sistemáticos não podem ser reduzidos pela reiteração das medidas
e, por vezes, são difíceis de serem detectados na
prática.
14
Paralaxe é a medida da aparente mudança de posição de um objeto em relação a um segundo plano
mais distante, quando esse objeto é visto a partir de um ângulo p que o raio visual do observador forma
com o plano normal à escala no ponto visado. No caso de um aparelho analógico, ou seja, com ponteiro, a
visada incorreta conduz ao erro de paralaxe, isto é, de leitura incorreta. O professor Mathusalécio
Padilha, Coordenador Pedagógico Nacional das Engenharias Elétricas da UNESA, forneceu um exce-
lente exemplo de paralaxe. Ele disse:
─ Eu gosto de dirigir em alta velocidade, mas minha esposa não gosta que eu o faça. Entretanto, como ela
ocupa sempre o banco do ‘carona’, às vezes eu estou a 100 km/h e ela pensa que eu estou a 80, devido a
posição da qual ela consegue enxergar o ponteiro do velocímetro. Isto é um erro de paralaxe, que me tem
poupado de ouvir certas ‘reprimendas’.”
15
O multímetro analógico só precisa ser zerado antes de ser utilizado como ohmímetro; não há necessida-
de de fazê-lo quando ele for ser empregado como voltímetro ou como amperímetro.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 31
O único modo de detectá-los, é realizando medições por métodos independentes
e alternativos ou então utilizando padrões confiáveis calibrados independentemente (pe-
lo fabricante, por exemplo) e determinando, por comparação, o fator de correção a ser
introduzido nos resultados das medições. Na prática, sempre que a calibração de um
instrumento for tida como suspeita, deveremos substituí-lo por um outro sabidamente
correto.
Fig. 1.104 - (a) e (b) Erro de paralaxe na leitura de um multímetro analógico. (c) Erro de
paralaxe na calibração e utilização de vidraria volumétrica. O ajuste e a leitura do me-
nisco são considerados os maiores erros na calibração e na utilização de vidraria volu-
métrica e ambos são erros de paralaxe. O erro de paralaxe é um erro causado por um
desvio do ângulo de visão do observador.
2ª) Erros Acidentais ( aE ), Aleatórios, Estatísticos, Estocásticos ou Casuais - são os
que ocorrem inevitavelmente e são motivadas por fatores ou causas acidentais ou ir-
regulares e de difícil eliminação, não tendo predileção de sentido (sinal), ocasionando
resultados espalhados de forma relativamente simétrica em torno do valor médio. Esta
distribuição em torno da média segue, geralmente, uma lei matemática (curva de dis-
tribuição) bem definida e que é normalmente gaussiana. Tais erros são provocados por
alterações não perceptíveis ou muito difíceis de registrar com os recursos da técnica de
medição dos aparelhos (atrito, por exemplo). Tais erros são também causados por va-
riações (flutuações) casuais de condições ambientais (temperatura, pressão e ventos, por
exemplo), da rede de distribuição de energia elétrica, de ruídos e vibrações mecânicas
que perturbem os instrumentos e ou aparelhos, de deficiências ocasionais dos próprios
instrumentos e ou aparelhos (ruídos internos de componentes, instabilidade de zero e de
ganho, atritos nas suspensões mecânicas, variações nas pilhas ou baterias, etc.). Devido
a estes erros, medições repetidas da mesma peça com o mesmo aparelho de medição e
operador, e nas mesmas condições, não fornecem resultados idênticos, mas conduzem a
uma divergência maior ou menor entre os diferentes valores medidos (dispersão). Os
erros acidentais, então, tornam o resultado inseguro.
3ª) Erros Grosseiros ( gE ) ou Enganos Pessoais – são os erros acidentais cuja inten-
sidade ultrapassa um determinado valor, conhecido com erro máximo tolerável. Eles são
aqueles devidos à falta de atenção ou imperícia do operador e são considerados
inadmissíveis. Portanto, se o trabalho de medição for efetuado com atenção e critério, o
erro grosseiro não ocorrerá. O erro grosseiro é aquele cujo valor encontrado em conjun-
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 32
tos de medições difere sobremaneira dos outros, sendo que tal valor quando identifica-
do deve ser descartado e não deve ser estatisticamente tratado. Um erro grosseiro pode
ser causado, por exemplo, por um defeito no sistema de medição ou uma leitura equi-
vocada. Esses erros são, portanto:
• puramente fortuitos (erro devido a um defeito no sistema de medição, erro de-
vido a uma conexão elétrica que se abre, resultando em falsa ligação, etc.);
• ou devidos às deficiências pessoais (erros devidos a calibrações e ou ajustagens
erradas, erros de leituras erradas por engano de escala (escala não linear, por
exemplo) ou por paralaxe, erro devido ao emprego de um diagrama imperfeito,
etc.).
Exemplo: consideremos os seguintes valores correspondentes às medições efetuadas
para uma determinada grandeza:
• 12,5
• 12,3
• 123 (erro grosseiro)
• 12,4
São também erros grosseiros ou enganos pessoais os erros frequentemente co-
metidos em operação simples, tais como multiplicações, somas, etc. É muito comum ao
copiar números, cometer-se erros tais como escrever 7248 ou 7428 ao invés de 7482; é
comum também ao consultar uma tabela registrar o valor anterior ou posterior da linha
considerada.
Esses erros não são considerados pela respectiva teoria, porque uma revisão na
medida ou a reeducação do operador permite evitá-los.
Os erros grosseiros e os sistemáticos podem ser evitados ou corrigidos com fa-
cilidade; atenção, muita atenção e manejo frequente do instrumental diminuem a possi-
bilidade de erros grosseiros; o estudo do instrumental e dos processos empregados nas
medidas permitem a correção dos erros sistemáticos. A compensação dos aleatórios,
entretanto, só é possível mediante a teoria dos erros, que permite calcular o valor mais
provável de uma grandeza depois de serem efetuadas várias medidas da mesma e ins-
tituindo o fator de correção para as medidas antes de apresentação de seus resultados.
O mais importante a mencionar, é que os erros acidentais podem também ser
reduzidos pela reiteração das medidas, decrescendo, em geral, de forma proporcional a
1 n , sendo n o número de medidas. Também é importante dizer que este erro é apre-
sentado com o valor da grandeza, sendo normalmente obtido e dado como o valor do
desvio da média.
4ª) Erro Absoluto - este é, simplesmente, o erro aleatório citado anteriormente (erro
quadrático médio), e é apresentado nas mesmas unidades da grandeza sob mensuração.
Ele deve incluir também os erros instrumentais (inexatidão e imprecisão dos aparelhos).
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 33
5ª) Erro Relativo - é o resultado da divisão do erro absoluto pelo valor verdadeiro da
grandeza ou, se este não for conhecido, pelo valor mais provável da mesma. Conforme
será abordado na seção 1.7, dificilmente conhecemos o valor verdadeiro de uma grande-
za, exceto quando este valor é inicialmente convencionado ou até postulado e, depois,
experimentalmente verificado. Ele expressa a proporção em que o erro afeta a medida e,
com se trata de uma razão entre grandezas de mesma espécie, ele não tem unidade
associada. Sua grande vantagem é permitir uma estimativa intuitiva da precisão da me-
dida – quanto menor é o erro percentual, mais precisa a medida é – mesmo que não
conheçamos o seu valor.
6ª) Erro Percentual – é o erro relativo expresso em porcentagem16.
Exemplo: se uma medida dá ( )4, 27 0,01 sT = ± , segue-se:
• Erro absoluto = 0,01s±
• Erro relativo = 0,01s 4,27s 0,002± = ±
• Erro percentual = 0,002 100% 2%± × = ± 0,
Nota: na seção 1.7 os erros absoluto, relativo e percentual serão tratados mais detalha-
damente. Eles foram aqui introduzidos por serem fundamentais para o entendimento de
alguns conceitos na seção 1.6.
Nota: inicialmente
foi cogitado apresentar em sequência os assuntos erro de medição,
quantificação dos erros de medição, correção do erro sistemático, etc. Uma vez que na
abordagem de tais tópicos aparecem conceitos que só serão abordados na próxima
unidade, foi feita a opção de inclusão dos inicialmente mencionados na unidade
subsequente.
1.5 - Exatidão e Precisão
É fato que existe uma certa confusão entre autores brasileiros, e mesmo entre os
estrangeiros, no tocante aos conceitos exatidão e precisão, que, em inglês, são, respec-
tivamente, accuracy e precision. Em português, o termo exatidão é, às vezes, subs-
tituído por sinônimos, tais como: acurácia, corretidão, acuidade (impróprio), justeza,
etc. Já a precisão é também, por vezes, denominada repetitividade.
O conceito de exatidão deriva dos conceitos de erro sistemático e de erro
aleatório; já o conceito de precisão está ligado ao conceito de erro aleatório.
A precisão é medida pelo erro estatístico (desvio padrão de uma série de medidas
de igual confiança17). Quanto maior for o espalhamento das medidas em torno do valor
16
Os termos porcentagem e percentagem são ambos corretos.
17
Valores obtidos pelo mesmo experimentador, através do mesmo método de medição, empregando o
mesmo equipamento, e sem perturbações que afetem as condições ambientais e/ou do experimento , o que
nos garante resultados de mesma precisão.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 34
médio, maior será o desvio padrão, conforme veremos na unidade 2, e menor será a
preci-são. A exatidão é medida pelo tanto que a medida difere de um padrão exato, ou
seja, de um valor real. Podemos também dizer que a exatidão é a capacidade que um
ins-trumento ou aparelho de medição tem de fornecer um resultado próximo ao correto,
ou seja, um instrumento ou um aparelho exato é aquele que após uma série de medições
nos fornece um valor médio que é próximo ao correto, mesmo que o desvio padrão seja
elevado, ou seja, tenhamos pouca precisão. Obrigatoriamente, a exatidão é sempre me-
nor ou igual à precisão, pois inclui, além dos erros aleatórios, também os erros sistemá-
ticos. Por causa disto, o resultado de uma série de medições pode ter uma boa precisão,
ou seja, apresentar resultados reprodutivos (valores muito próximos e alguns até repeti-
dos), que é equivalente a dizer que estão afetados de um pequeno erro estatístico, mas
ser também altamente inexato, quer dizer, muito longe do valor real da grandeza, isto
devido ao uso de padrões inexatos ou a utilização de aparelhos e ou instrumentos mal
calibrados ou mal ajustados. Então, um equipamento preciso e inexato é capaz de forne-
cer resultados reprodutivos, mas incorretos, e um equipamento exato e impreciso, é ca-
paz de fornecer um valor médio muito próximo do valor correto, mas com uma grande
variação entre as medidas. Isto significa que, neste caso, seria necessário um grande
número de medições para se ter um resultado médio confiável e estatisticamente válido.
Pelo que foi abordado, concluímos que um instrumento ou um aparelho deve ser preciso
e exato. Podemos então resumir:
• Exatidão é o grau de concordância entre o valor experimental ou valor
mais provável de uma grandeza e o valor verdadeiro da mesma. Pode
também ser definida como sendo a aptidão de um instrumento para dar
respostas próximas ao valor verdadeiro da grandeza.
• Precisão é o grau de concordância de resultados independentes obtidos sob
condições determinadas, sendo também a qualidade que exprime o grau de
dispersão dos resultados em torno do valor mais provável.
Sintetizando, temos:
Para melhor ilustrar os conceitos em título, lancemos mão de um exemplo práti-
co. Seja então um alvo de papel, no qual estão desenhados anéis concêntricos com a
mosca, colocado sobre uma folha de papel em branco. A uma distância de 50 m, seis
atiradores (A, B, C, D, E e F), cada qual com sua própria pistola, disparam dez tiros
cada um.
Tal situação é análoga a da medição em Física: o atirador quer acertar na mosca,
e talvez o consiga, talvez não; o físico procura a medida exata de uma grandeza, e talvez
a encontre, talvez não.
grande precisão (alta repetitividade)� espalhamento reduzido ou pequena dispersão
e erro aleatório reduzido.
grande exatidão (grande acurácia) � valor médio ≅ valor real e erro sistemático
reduzido
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 35
A hipótese de todos os tiros passarem pelo mesmo furo é extremamente remota,
pois não existe ninguém com tal perfeição ao atirar! Se os tiros forem bem dados eles se
agrupam na mosca; talvez na mosca e no seu entorno, sem tendência de desvio para al-
gum lado. Porém, pode acontecer também dos tiros se agruparem em torno de um cen-
tro mais ou menos longe da mosca.
Aqui vamos considerar que o atirador sempre mira o centro do alvo, que este
centro é o valor verdadeiro e que o centro dos tiros, ou centro de fogo, é o valor mais
provável dos eventos de cada atirador. Temos, pois, os seguintes resultados:
.
Fig. 1.105 - Atirador A Fig. 1.106 - Atirador B
Fig. 1.107- Atirador C Fig. 1.108- Atirador D
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 36
Fig. 1.109 - Atirador E Fig. 1.110 - Atirador F
• A exatidão (acurácia) dos tiros é a qualidade que se refere à coincidência
mais ou menos perfeita do centro dos tiros com a mosca.
• A exatidão (acurácia) dos tiros é grande quando os tiros se distribuem em
torno da mosca, sem tendência aparente para algum lado e o centro dos
tiros está na mosca.
• A exatidão (acurácia) é absoluta quando o centro dos tiros é o centro da
mosca.
• A precisão (repetitividade) dos tiros é a qualidade que se refere ao reduzido
espalhamento dos mesmos.
• A precisão (repetitividade) dos tiros é grande quando os mesmos se agru-
pam densamente em torno de um centro que pode não ser o centro da
mosca.
• A precisão (repetitividade) absoluta seria o caso de todos os tiros haverem
passado por um só furo, que pode não estar no centro da mosca.
• Na realidade, exatidão (acurácia) e precisão (repetitividade) absolutas não
existem!
Embora a exatidão (acurácia) e a precisão (repetitividade) dos tiros dependam
tanto das condições ambientais (vento lateral, visibilidade do alvo, etc.) e da arma (regu-
lagem da mira, etc.) quanto da perícia do operador, é mister ressaltar que a exatidão
(acurácia) dos tiros depende mais das condições e que a precisão (repetitividade) dos
mesmos depende mais do operador. Em um tiro de grande distância, temos duas pes-
soas: uma manejando a arma e a outra verificando as condições ambientais. Quem as-
sistiu ao filme “O Atirador” sabe do que está sendo falado.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 37
Vamos então analisar os resultados dos seis atiradores:
• Atirador A: este atirador conseguiu acertar todos os tiros no centro do alvo.
Temos então grande (muita) exatidão e grande (muita) precisão (alta repetitivi-
dade). Neste caso, o atirador apresenta
erro sistemático e erro aleatório reduzi-
dos (baixos).
• Atirador B: este atirador apresentou um espalhamento muito grande em torno
do centro do alvo, mas os tiros estão aproximadamente equidistantes do centro.
Assim sendo, temos grande (muita) exatidão (acurácia) e pouca precisão (repe-
titividade). Este atirador apresenta erro aleatório elevado e erro sistemático re-
duzido.
• Atirador C: este atirador apresenta os tiros concentrados, com baixa (pequena)
dispersão (espalhamento), porém bastante afastados do centro do alvo. Logo,
decorre pequena (pouca) exatidão e grande (muita) precisão (repetitividade).
Isto indica um pequeno erro aleatório e um grande erro sistemático.
• Atirador D: este atirador, além de apresentar um espalhamento (dispersão)
muito grande, tem também o centro dos tiros bastante afastado do centro do al-
vo. Por isso, temos pequena (pouca) exatidão (acurácia); pequena (pouca) preci-
são (baixa repetitividade). Isto implica em erro aleatório e erro sistemático redu-
zidos.
• Atirador E: este atirador conseguiu concentrar bastantes seus tiros, com pouca
dispersão, mas há um leve deslocamento do centro dos tiros com relação ao
centro do alvo. Nesta situação temos boa exatidão (acurácia) e grande (muita)
precisão (repetitividade). Isto acarreta erro sistemático e erro aleatório reduzi-
dos (baixos).
• Atirador F: este atirador apresenta os tiros concentrados, com baixa (pequena)
dispersão (espalhamento), porém com um razoável afastamento do centro do al-
vo, o que está ligado a razoável exatidão (acurácia) e grande (muita) precisão
(repetitividade). Temos aqui um erro aleatório reduzido e um erro sistemático
razoável.
• O conjunto formado pelo atirador C é melhor do que o conjunto formado pelo
atirador B e sua respectiva pistola, porque embora nenhum dos tiros disparados
por C tenha se aproximado do centro do alvo, o seu espalhamento (dispersão) é
muito menor. Um ajuste na mira da pistola utilizada por C a trará para uma con-
dição de resultados semelhante ao obtido pelo atirador A. Um ajuste um pouco
menor na mira da pistola utilizada por F, também propiciará para este conjunto
resultados semelhantes aos obtidos pelo atirador A. Um ajuste ainda menor a na
mira da pistola E, também propiciará com que o seu utilizador obtenha resulta-
dos semelhantes aos do atirador A.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 38
Aproveitemos o exemplo do tiro ao alvo para introduzir, por analogia, alguns
conceitos úteis em medições físicas. Com relação às mesmas, temos:
• A exatidão (acurácia) é absoluta quando todas as medidas coincidem com o
valor exato da grandeza procurada.
• A exatidão (acurácia) é grande quando as medidas se distribuem em torno
do valor exato da grandeza, sem tendência aparente para mais ou para
menos e a média das medidas coincide com o valor exato. A exatidão (acu-
rácia) é grande quando o erro sistemático é reduzido.
• A precisão (repetitividade) é absoluta quando todas as medidas coincidem
em um só valor, que pode não ser o valor exato.
• A precisão (repetitividade) é grande (alta) quando as medidas se agrupam
densamente em torno de uma média, que pode não ser o valor exato. A pre-
cisão (repetitividade) é grande (alta) quando os erros acidentais ou aleató-
rios são pequenos e o espalhamento é pequeno.
Um outro exemplo é o de uma balança. A precisão define o quanto a balança é ca-
paz de reproduzir um valor obtido numa pesagem, mesmo que ele não seja o valor cor-
reto. A precisão é definida pelo desvio padrão de uma série de medidas de peso de uma
mesma amostra e, conforme já ressaltado, quanto maior é o desvio padrão, menor é a
precisão.
1.6 - Dispersão das Medidas e Precisão Instrumental
Repetindo-se a medição da grandeza, pelo mesmo processo e com o auxílio dos
mesmos instrumentos, obtêm-se em geral resultados não concordes. Esse fenômeno é
denominado dispersão das medidas e cada resultado é uma medida da grandeza.
Conforme já mencionado, o erro grosseiro e o erro sistemático podem ser evi-
tados e corrigidos. A dispersão da medida, no entanto, indica erros acidentais, que são
discrepâncias que ocorrem mesmo com a aplicação de todos os cuidados. As causas da
dispersão são muitas e nem sempre conhecidas!
Mesmo após a correção de um eventual erro sistemático do instrumento de me-
dição, ainda persiste um intervalo de incerteza no resultado da medição. A precisão
limitada do instrumento é uma das causas da dispersão.
Neste ponto é importante introduzir o conceito de resolução de um instrumento e
ou aparelho:
• Resolução é a menor diferença entre indicações de um dispositivo mos-
trador que pode ser significativamente percebida. Para um dispositivo
mostrador digital, é a variação na indicação quando o dígito menos signifi-
cativo (sempre o último da direita no valor da medida e comumente cha-
mado de dígito ou algarismo duvidoso) varia de uma unidade.
Exemplos:
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 39
• Um paquímetro universal cuja resolução do nônio de milímetros é 0,05 mm,
está indicando 4,00 mm. Ele jamais vai indicar 4,03 mm, uma vez que a resolu-
ção é 0,05 mm. Sua leitura anterior, isto é, no sentido descendente foi 3,95 mm
e sua próxima leitura ascendente será 4,05 mm.
• Uma escala milimétrica tem uma resolução de 1 mm.
• Um voltímetro analógico com escala de 0 a 100 V e 100 divisões tem resolução
de 1 V.
Os instrumentos e ou aparelhos, além dos erros de resolução, têm outros erros
acoplados, tais como derivas (variações do valor de zero e do ganho), histerese (resul-
tante de atritos e deformações inelásticas ou folgas em engrenagens, que causam dife-
renças entre os valores de medidas crescentes e decrescentes), não-linearidades (resul-
tantes de imprecisão no desenho ou gravação das escalas, de imperfeições de partes tais
como molas, da inomogeneidade de campo elétrico ou magnético), etc.
A resolução da escala do medidor é a menor divisão da escala, no setor da mes-
ma em que se faz a leitura.
A aproximação de leitura, a exceção dos instrumentos digitais, é a menor fra-
ção apreciável, admitindo-se que seja na hipótese mais conservativa (caso mais desfa-
vorável, com maior incidência de erro), 1/2 da menor divisão, a olho nu; 1/5 da menor
divisão com lupa e a própria precisão da escala do nônio18, quando existir um acoplado
ao instrumento. Voltaremos a este assunto na seção 1.9.
A aproximação de leitura também é chamada erro instrumental ou desvio a-
valiado do instrumento. Num instrumento bem construído, a incerteza que lhe é ine-
rente é no máximo igual à aproximação da leitura (sem o que esta seria ilusória).
A precisão do instrumento é definida por uns como sendo a precisão da escala
e por outros como sendo a precisão de leitura. Em qualquer caso, a precisão do instru-
mento é fornecida em comparação com o valor da leitura efetuada.
Os fabricantes costumam, geralmente, informar o erro percentual dos disposi-
tivos de medição analógicos em porcentos do fundo de escala (% f.e.), que é o erro má-
ximo a que o aparelho está sujeito. Nos aparelhos bem projetados a resolução do instru-
mento é compatível com sua precisão, e não se subdivide a escala além do necessário.
Para se conseguir a melhor precisão do instrumento se ele tiver uma escala
linear, devemos usar a maior deflexão possível, isto é, bem próxima ao fundo de escala,
o que, geralmente, é possível pela mudança de escala ou das condições experimentais
(tensão de alimentação, força aplicada, etc.). Exemplo: no voltímetro anteriormente
citado, de resolução 1 V, supondo-se também que a mesma seja igual à precisão do
mesmo, ou seja, que este é da classe de 1% do fundo de escala, segue-se:
• Para
uma leitura de 100 V, um erro percentual de 1%, quer dizer, um
erro relativo de 0,01, que implica em uma incerteza de 1 V e ( )100 1 V± .
Logo, temos: 99 V Leitura 101V≤ ≤ .
18
Vide experiência com o paquímetro.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 40
• Para uma leitura de 50 V, que corresponde à metade da escala, o erro
percentual é de 2% e o relativo é 0,02, o que nos leva a uma incerteza de
1 V e ( )50 1 V± . Assim sendo, temos: 49 V Leitura 51V≤ ≤
• Para uma leitura de 10 V, correspondente a 1 10 da escala, o erro percen-
tual é de 10% e o relativo é 0,10, o que nos conduz a uma incerteza de 1
V e ( )10 1 V± .
Para um amperímetro analógico, que também possui escala linear, valem as mes-
mas considerações feitas para o voltímetro.
Uma vez que, conforme veremos na seção seguinte, quanto menor for o erro
relativo maior será a precisão, constamos que a precisão decresce abruptamente
para pequenas deflexões e devemos utilizar uma escala tão pequena quanto seja
possível, sem, no entanto, exceder a deflexão máxima do aparelho.
Já para o ohmímetro analógico, cuja escala é logarítmica, a melhor leitura é
feita no segundo terço da escala.
Um determinado instrumento pode ter sua precisão e exatidão melhoradas em re-
lação às especificações, seja por uma calibração precisa través de um padrão conhecido,
seja por calibração por comparação com outro instrumento mais preciso. Com a finali-
dade de obter resultados melhores, podemos levantar uma curva de calibração, se hou-
ver não-linearidade na escala. Normalmente, uma simples ajustagem do zero e do valor
do fundo de escala já são suficientes para uma significativa melhora na precisão do apa-
relho. Calibrações mais rígidas e criteriosas podem levar em conta fatores tais como
temperatura, pressão e umidade ambientais, por exemplo, e indicarem os fatores de cor-
reção apropriados. De todo modo, os aparelhos devem ser calibrados e ajustados perio-
dicamente contra padrões ou contra outros aparelhos confiáveis. Isto também deve ser
feito sempre que houver suspeição de que o seu funcionamento não está bom ou que o
aparelho necessite de um reparo ou sofra traumas decorrentes de quedas, sobrecargas,
etc.
A dispersão só aparece quando se mede até a menor fração apreciável (aproxi-
mação de leitura).
Por exemplo: faça no papel, à lápis, um traço reto tendo comprimento de 10 cm.
Medindo esse traço em centímetros, você encontrará sempre 10 cm; não há dispersão.
Medindo até os milímetros, você encontrará quase sempre 100 mm, mas pode ser que
você encontre 99 mm ou 101 mm, e não se trata de engano, mas sim de uma dispersão
ocasional. Medindo os quintos de milímetros (com auxílio de lupa), ou até os décimos
de milímetros (com auxílio de nônio), você encontrará resultados tais como 100,1 mm;
99,9 mm; 99,7 mm; 100,1 mm; 100,0 mm , etc. ...é a dispersão se manifestando!
O exposto revela a importância da graduação na escala em que se faz a leitura
(seja em medição direta ou instrumental). Exemplos:
1º) A escala milimétrica para desenho tem precisão de um milímetro, em geral, e preci-
são de meio milímetro, excepcionalmente.
2º) Um termômetro comum tem precisão de um grau Celsius e um termômetro de Be-
ckmann tem precisão de 1/100 de grau Celsius.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 41
A dispersão de um grupo de medidas depende da qualidade da aparelhagem, da
habilidade do operador e do controle das condições ambientais.
1.7 - Valor Verdadeiro (VV), Valor Mais Provável (VMP), Postulado
de Gauss19, Erro Absoluto ( )absE , Erro Relativo ( )relE , Erro Percentu-
al ( )perE e Precisão ( )P
Um dos princípios básicos da Física é que não se consegue medir uma grandeza
com precisão absoluta, isto é, qualquer medição, por mais bem feita que seja, é sem-
pre aproximada. Teoricamente, todas as vezes que medirmos uma mesma grandeza
com uma mesma unidade, encontraremos, sempre, o mesmo resultado. Praticamente tal
não ocorre: cada vez que realizamos a medida de uma grandeza, não encontramos, em
geral, o valor real (VR), valor verdadeiro (VV) ou valor correto (VC) da grandeza,
mas sim um valor experimental (VE) ou valor medido (VM), que é um valor aproxi-
mado. Conforme veremos mais a seguir, para obter-se o valor mais provável de uma
grandeza (VMP), realizamos uma série de medições e adotamos como valor mais pro-
vável a média aritmética obtida a partir dos valores das medições. Um valor experi-
mental de uma grandeza contém, normalmente, um certo erro, ou seja, existe sempre
uma discrepância entre o valor verdadeiro de uma grandeza e o valor experimen-
tal que lhe é atribuído através de uma medição, uma vez que a medição não é per-
feita e nem o são os instrumentos e aparelhos de medida. É interessante notar que os va-
lores reais, valores verdadeiros ou valores corretos das diversas grandezas físicas não
nos são, em geral, acessíveis, a não ser em alguns poucos casos onde tais valores são
postulados ou até mesmo convencionados, ou seja, teoricamente fixados e, depois,
experimentalmente verificados, tais como:
(a) O ângulo ao redor de um ponto é360º , o que implica:
• A soma dos ângulos formados por duas retas concorrentes ser igual a 360º .
• A soma dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados ( 3n ≥ ) ser
igual a 360º .
• O ângulo raso ser igual a180º e a soma dos ângulos internos de um triângulo ser
igual a180º .
• A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados ( 3n ≥ ) ser
igual a ( )180º 2n − .
• O ângulo reto ser igual a 90º .
• A soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo ser igual a 90º.
19
Gauss [Carl Friedrich Gauss (1777-1855)] - matemático alemão, com justiça denominado “Príncipe
dos Matemáticos”, tal sua contribuição para todos os ramos desta ciência.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 42
(b) A carga de nêutron é nula.
(c) A massa do fóton é nula.
(d) A pressão no vácuo absoluto é nula.
(e) O zero absoluto é 273,15º C− ou 459,67º F− ;
(f) O ponto fixo do gelo é 0º C ou32º F .
(g) O ponto fixo do vapor é100º C ou 212º F .
(h) A velocidade da luz no vácuo é 299 792 458 m s . De acordo com a definição dada
pela 17ª Conferência Geral de Pesos e Medidas de 1983, o metro é distância percorrida
pela luz no vácuo em um intervalo de tempo igual a 1 299 792 458 de um segundo. As-
sim, resulta da definição de metro que a velocidade da luz no vácuo é exatamente igual
a 8299 792 458m s 2,997 924 58 10 m sc = = × . Uma vez que a velocidade da luz no
vácuo pode ser expressa em função da permissividade e da permeabilidade do vácuo,
através da expressão
0 0
1
c
ε µ
= ,
temos também valores exatos ou verdadeiros para tais grandezas:
12
0 8,854 187 817 62 10 F mε
−
= ×
e
6
0 1, 256 637 061 43 10 H mµ −= ×
(i) a milha marítima, pela convenção internacional de 1929 é exatamente igual a 1852
metros.
(j) O número de elementos de uma distribuição discreta e finita é um valor verdadeiro,
inteiro e exato, ou seja, possui precisão infinita, isto é, pode ser encarado com sendo um
número decimal com parte inteira não nula seguida por um número infinito de zeros,
conforme veremos na seção 1.9. Assim sendo:
• Dias da semana = 7 dias = 7,0000000... dias;
• Pessoas em um certo lugar = 3 pessoas = 3,0000000...pessoas.
(k) O número irracional e = 2,71828...que é a base dos logaritmos neperianos, é um
valor verdadeiro, sendo o limite da função ( ) ( )1 1 nf n n= + , definida em *,� quan-
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 43
do n tende a + ∞ : ( )lim 1 1 n
n
e n
→∞
= + .
Com 32 dígitos, temos
2,7182818284590452353602874713527e = …
Notas:
(1) { } { }* 1,2,3, 4,5... e 0x x x= = | ∈ ≠� �
(2) { }0,1, 2,3,4...=�
Pelo exposto no início da presente seção, quando um resultado deve ser aplicado
ou registrado é necessário saber com que confiança se pode dizer que o número obtido
representa a grandeza física. O valor medido ou resultado deve ser expresso associado
ao erro, desvio, ou incerteza da medida, utilizando uma linguagem universal, fazendo
com que seja compreensível a qualquer um que examinar os resultados, ou em outras
palavras: a discrepância entre o valor verdadeiro (ou valor teórico) de uma grandeza e o
valor experimental que lhe é atribuído por uma mensuração, deve ser indicado por meio
de um índice de erro20. Aos propósitos deste curso interessam, inicialmente, três índices
de erro: erro absoluto, erro relativo e erro percentual.
O erro verdadeiro é a diferença entre a indicação ou leitura do sistema, aparelho
ou instrumento de medição, denominado leitura, valor medido ou valor experimental,
e o valor verdadeiro de uma grandeza. Uma vez que o valor verdadeiro é quase
sempre desconhecido, costuma-se trabalhar com o erro aparente, desvio, resíduo,
afastamento ou discrepância, que é a diferença entre o valor medido e o valor mais
provável, que pode ser calculado21. Tanto o erro verdadeiro quanto o erro aparente
ou desvio, são chamados erros absolutos e são expressos nas mesmas unidades que
as grandezas em cujas medidas eles ocorrem, isto é,
absoluto m v
verdadeiro
Valor medido Valor verdadeiroE X X= − = − (1.1)
absoluto aparente m mp
ou desvio
Valor medido Valor mais provávelE X X= − = − (1.2)
Sintetizando, temos
20
É importante ressaltar que a palavra erro não tem aqui, aqui, o significado de distração, descuido ou
engano, pois estes podem ser evitados, enquanto o erro experimental não pode ser evitado, mesmo nas
medições mais precisas.
21
Conforme veremos logo adiante, o valor mais provável de uma grandeza é a média aritmética dos
valores experimentais obtidos para a mesma.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 44
v
abs m
mp
ou
X
E X
X
= −
(1.3)
Nota importante: alguns autores preferem definir o erro absoluto como sendo
absoluto v m
verdadeiro
Valor verdadeiro Valor medidoE X X= − = −
absoluto aparente mp m
ou desvio
Valor mais provável Valor medidoE X X= − = −
e outros o definem como sendo uma quantidade modular, qual seja
absoluto v m
verdadeiro
Valor verdadeiro Valor medidoE X X= − = −
absoluto aparente mp m
ou desvio
Valor mais provável Valor medidoE X X= − = −
Entretanto, nós não somos partidários destes dois últimos pontos de vista, uma vez
que, na unidade 2, o desvio é definido como sendo a diferença entre a medida da gran-
deza e a média de valores da mesma. Esta também é a linha de pensamento da esma-
gadora maioria dos autores modernos. Nossa abordagem fica também em acordância
com o sentimento popular do que é um erro por excesso e um erro por falta. Logica-
mente, quando tivermos
v
m
mp
ou
X
X
X
>
teremos também
abs 0E >
o que caracteriza um erro por excesso. Em contrapartida, quando tivermos
v
m
mp
ou
X
X
X
<
isto implicará
abs 0E <
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 45
o que está agregado ao erro por falta.
O erro relativo22 é definido como sendo a razão entre o erro absoluto e valor ver-
dadeiro ou o valor mais provável da grandeza, e não tem unidade, uma vez que é a
razão entre duas grandezas de mesma espécie, isto é,
absoluto
verdadeiro v
relativo
verdadeiro v
Valor medido Valor verdadeiro
Valor verdadeiro Valor verdadeiro
E
X XE
X
−−
= = = (1.4)
absoluto
aparente mp
relativo
aparente mp
Valor medido Valor mais provável
Valor mais provável Valor mais provável
E X X
E
X
−
−
= = = (1.5)
Sinteticamente, segue-se
abs
rel
v
mp
ou
EE
X
X
=
(1.6)
O erro percentual nada mais é do que o erro relativo multiplicado por 100%, e
também não tem unidade, ou seja,
v
percentual relativo
verdadeiro verdadeiro v
Valor medido Valor verdadeiro100% 100% 100%
Valor verdadeiro
X XE E
X
−−
= × = × = ×
(1.7)
mp
percentual relativo
aparente aparente mp
Valor medido Valor mais provável100% 100% 100%
Valor mais provável
X X
E E
X
−
−
= × = × = ×
(1.8)
Na forma compacta, podemos exprimir
per rel 100%E E= × (1.9)
Daqui para frente, os erros absoluto, relativo e percentual serão sempre indicados,
abreviadamente, por absE , relE e perE , respectivamente, embora o último seja representado
em outros trabalhos, de forma alternativa, por %E .
Suponhamos que a distância entre dois pontos, um na Av. Atlântica (Rio) e outro
na Via Anhanguera (São Paulo), seja de 400 km (valor verdadeiro, por hipótese), que o
comprimento da Av. Niemeyer (Rio) seja de 4 km (valor verdadeiro, por hipótese), e
que duas pessoas, A e B, foram encarregadas de medir esses comprimentos. Suponha-
mos mais que a pessoa A encontrou para a primeira distância um valor de 401 km,
22
Também chamado erro fracionário.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 46
enquanto que a pessoa B encontrou para a segunda distância o valor 5 km. Os erros
absolutos,
Aabs
E e
Babs
E , cometidos pelas duas pessoas foram iguais, uma vez que
A
B
abs
abs
401 km 400 km 1 km
5 km 4 km 1 km
E
E
= − =
= − =
No entanto, percebemos nitidamente que a importância do erro cometido pela
pessoa A é muito menor do que a do erro cometido pela pessoa B, se bem que os erros
absolutos por elas cometidos seja exatamente iguais, isto é, sentimos claramente que a
pessoa A cometeu um erro muito menos grave que a pessoa B, a despeito do fato de
serem iguais os erros cometidos por ambas. Isto é pela simples razão de que 1 km a
mais ou a menos em 400 km faz uma diferença muito menos sensível do que 1 km a
mais ou a menos em 4 km.
Somos compelidos então, muito naturalmente, a dar mais importância, não ao er-
ro absoluto de uma grandeza, mas sim ao valor absoluto da razão entre esse erro e o
valor verdadeiro da grandeza, que já denominamos de erro relativo. Temos então
A
B
rel
rel
1 km 0,0025
400 km
1 km 0,25
4 km
E
E
= =
= =
Para os erros percentuais, temos
A
B
per
per
0,0025 100% 0,25%
0,25 100% 25%
E
E
= × =
= × =
O que verifica a tese inicial de que o erro cometido por A é bem menos impor-
tante do que o perpetrado pela pessoa B.
Os erros absolutos são praticamente sem importância, enquanto que os erros re-
lativos e percentuais são de importância fundamental em tecnologia.
É claro que quanto menor for o erro relativo associado à medida de uma gran-
deza, mais próximo do seu valor verdadeiro estará o resultado encontrado, ou seja, mais
precisa foi a medida realizada. A precisão de uma medida, portanto, é inversamente
proporcional ao seu erro relativo. Na prática, este critério não é usado, uma vez que se
generalizou o hábito de apreciar a precisão de uma medida considerando-se o próprio
erro percentual, e não o inverso do erro relativo. Assim, por exemplo, diremos, na prá-
tica, que foi de 0,25% a precisão com a qual a pessoa A efetuou a medida que lhe
correspondeu, enquanto que a pessoa B efetuou uma medida com precisão de 25%. Isto
não é muito bom, pois sabemos, até de forma intuitiva, que a precisão da medida de A é
muito maior do que a da medida de B. Na verdade, o que temos é um erro relativo na
medida de A 100 vezes menor que na medida de B; consequentemente a precisão da
medida A é 100 vezes maior do que na medida B.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 47
Fig. 1.111 - Por vezes um erro relativo insignificante pode causar um grande desastre: o
trem percorreu alguns poucos metros a mais em um percurso de muitos quilômetros23.
Vamos agora nos ater ao problema envolvendo a determinação do comprimento
l de uma certa haste. Para tanto utilizemo-nos de uma régua graduada e suponhamos que
efetuando cinco vezes seguidas a medição do comprimento L da haste, encontramos os
seguintes valores de igual confiança24:
1
2
3
4
5
35,82 cm
35,83 cm
35,87 cm
35,86 cm
35,83 cm
L
L
L
L
L
=
=
=
=
=
23
No dia 22 de outubro de 1895, o Granville-Paris Express transportava 131 passageiros. O trem era
composto de 12 vagões puxados pela locomotiva de número 721. No momento em que se aproximava de
estação de Montparnasse, em Paris, devido ao excesso de velocidade, o maquinista não conseguiu frear o
trem, após haver percorrido uma distância de aproximadamente 288 km. A locomotiva derrubou a mureta
de proteção no fim da linha, atravessou o terraço, destruiu parte da fachada da estação e despencou de
uma altura de 10 metros. A única vítima fatal foi Marie-Augustine Aguillard, dona de uma pequena
banca de jornal existente no local. Foi um dos acidentes ferroviários mais espetaculares da história da
França.
24
Conforme já dito anteriormente, são valores obtidos pelo mesmo experimentador, através do mesmo
método de medição, empregando o mesmo equipamento, e sem perturbações que afetem as condições
ambientais e/ou do experimento, o que nos garante resultados de mesma precisão.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 48
É lógico que o comprimento l da haste não pode ser simultaneamente 35,82 cm,
35,83 cm, 35,86 cm e 35,87 cm. Ou é 35,82 cm , ou é 35,83 cm , ou é 35,86 cm , ou é
35,87 cm, ou não é nenhum desses valores. Como vamos nos decidir então? Qual é o
verdadeiro comprimento da haste?
A resposta à segunda pergunta é simplesmente a seguinte: jamais poderemos sa-
ber qual é o verdadeiro comprimento da haste. A primeira questão, isto é, como nos de-
cidirmos quando o verdadeiro valor de uma grandeza nos for inacessível, foi resolvida
do seguinte modo: escolhe-se arbitrariamente um valor e convenciona-se que o valor es-
colhido é o valor verdadeiro da grandeza considerada. Esta solução se impunha, uma
vez que para as necessidades práticas precisávamos escolher um valor e considerá-lo co-
mo valor sendo o valor verdadeiro da grandeza em questão. Uma questão de lógica, no
entanto, nos impõe a obrigação de escolher como valor verdadeiro da grandeza o valor
mais próximo possível do valor verdadeiro da mesma ou, pelo menos, o valor que mais
provavelmente se aproxima do valor verdadeiro. Este problema interessou muito aos
matemáticos Laplace25 e Gauss26, dentre outros, conforme veremos na unidade seguin-
te, que estabeleceram que o valor mais provável que uma série de medidas de igual
confiança nos permite atribuir a uma determinada grandeza é a média aritmética dos
valores individuais da série27. Hoje em dia isto é conhecido, simplesmente, como o
quinto postulado de Gauss: “O valor mais provável que uma série de medidas de
igual confiança nos permite atribuir a uma grandeza é a média aritmética dos va-
lores da série, desde que o experimentador seja o mais cuidadoso e atento possível
e que o instrumento ou aparelho utilizado tenha sido corretamente calibrado e
ajustado.”
O valor mais provável de uma de uma grandeza física, determinado experimen-
talmente, é evidentemente, o objetivo final de um processo de medição. Por isso, ele é,
às vezes, também chamado, por alguns autores, de valor alvo. Para o caso do compri-
mento da haste, anteriormente considerado, por exemplo, de acordo com que foi esta-
belecido, o valor mais provável é
mp
35,82 35,83 35,87 35,86 35,83
cm cm
5
L L + + + += = = 35,84
Consideraremos então, por convenção, 35,84 cm como sendo o valor verdadei-
ro, mas que na realidade é o valor mais provável do comprimento L da haste, e os
desvios absolutos das cinco medidas são:
25
Laplace [Pierre Simon de Laplace (1749-1827)] - matemático francês que deu importante
contribuição à Mecânica Celeste e à Teoria das Probabilidades.
26
Gauss [Carl Friedrich Gauss (1777-1855)] - matemático alemão, com justiça denominado “Príncipe
dos Matemáticos” tal sua contribuição para todos os ramos desta ciência.
27
Na seção 2.5 da próxima unidade, verificaremos que adotando-se o valor mais provável de uma série de
medidas de igual confiança como sendo a média aritmética da série de valores, isto nos conduzirá a que a
soma dos resíduos seja nula e que a soma dos quadrados dos mesmos seja um valor mínimo..
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 49
1
2
3
4
5
abs
abs
abs
abs
abs
35,82 cm 35,84 cm 0,02 cm
35,83 cm 35,84 cm 0,01 cm
35,87 cm 35,84 cm 0,03 cm
35,86 cm 35,84 cm 0,02 cm
35,83 cm 35,84 cm 0,01 cm
E
E
E
E
E
= − = −
= − = −
= − =
= − =
= − = −
Notas:
(1) Quando as medidas de uma série não forem de igual confiança, atribuiremos um
peso ou fator de ponderação a cada uma, peso este que exprima o grau de confiança da
medida considerada, e procederemos a uma média aritmética ponderada dos valores da
série.
(2) Conforme veremos no exemplo 1.1, se o instrumento de medição não tiver sido cor-
retamente calibrado e ajustado, poderemos ter um valor médio diferente do valor mais
provável ou valor alvo.
EXEMPLO 1.1
Suponhamos uma massa cujo valor mais provável ou valor alvo é 22,00 g. Utili-
zando uma balança que permite aproximações até 0,01 g, foram realizadas seis medi-
ções, cujos resultados foram:
1
2
3
4
5
6
20,14 g
20,17 g
20,12 g
20,16 g
20,15 g
20,12 g
M
M
M
M
M
M
=
=
=
=
=
=
Baseando-se nestes resultados, qualifique a balança no que respeita à exatidão e à
precisão.
SOLUÇÃO:
A média dos valores é
20,14 20,17 20,12 20,16 20,15 20,12 g g
6
M + + + + += = 20,14
Embora as medidas oscilem proximamente à média, apresentando uma alta repro-
dutibilidade,
pois nenhuma medida difere por mais de 0,03 g da referida média, o que
caracteriza uma dispersão relativa máxima de
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 50
0,03 100% 0,15%
20,14
× =
e evidencia uma alta precisão, a média está longe do valor alvo, o que indica pouca exa-
tidão, com uma variação percentual de
mp
mp
20,14 22,00100% 100% 8,5%
22,00
M M
M
−
−
× = × = −
EXEMPLO 1.2
Utilizando-se um goniômetro, foram medidos os ângulos internos de um triângulo
qualquer, encontrando-se:
�
�
�
60º35 '
35º15'
84º 38'
α
β
γ
=
=
=
Pede-se determinar os erros absoluto, relativo e percentual de � � �S α β γ= + + .
SOLUÇÃO:
Esta é uma das poucas grandezas físicas da qual se conhece o valor verdadeiro.
Temos então
v
m
180º
60º 35' 35º15' 84º 38 ' 179º88 ' 180º 28'
S
S
=
= + + = =
Pela definição,
abs m vE S S= −
de modo que
abs 180º 28' 180º 28 'E = − =
Para o erro relativo,
abs
rel
v
EE
S
=
o que implica
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 51
rel
28' 28' 0,0026
180º 180 60 '
E = = =
×
Finalmente, para o erro percentual
per rel 100%E E= ×
o que nos leva a
per 0,0026 100% 0, 26%E = × =
Nota: o número de algarismos significativos e arredondamentos, adotados nos cálculos
acima, ficarão claros após o estudo das seções subsequentes.
1.8 – Arredondamento
Por vezes, conhecemos algumas medidas de grandezas com mais algarismos28 que
os necessários a determinado fim. Nestes casos, mantemos apenas os algarismos
desejados e abandonamos os demais.
Por exemplo, a medida 53, 238 m possui cinco algarismos significativos. Se, por
acaso, bastarem três, escreveremos 53, 2 m ; havendo necessidade de quatro, escrevere-
mos 53, 24 m .
Conforme vemos, o algarismo da segunda casa decimal foi forçado de 3 para 4. A
razão é: se tivéssemos usado53, 23 m estaríamos cometendo um erro, por falta, igual a
m 53,238 m 0,008 m53, 23 − = −
Utilizando53, 24 m estaremos cometendo um erro, por excesso, cujo módulo é me-
nor, isto é,
53, 24 m 53,238 m 0,002 m− =
Portanto, as regras de arredondamento aplicam-se ao algarismo decimal situado
na posição seguinte ao número de casas decimais que se queira transformar, ou seja, se
tivermos um número com n casas decimais e quisermos arredondar para 1n − , apli-
caremos as seguintes regras de arredondamento:
1ª) Se o algarismo decimal seguinte a ordem 1n − , ou seja, da ordem n, for menor que
5 (0, 1, 2, 3 ou 4), mantemos o algarismo da ordem 1.n −
Exemplo: Desejamos arredondar 11,743 para duas casas decimais. Façamos
11,74 3
28
Denominados algarismos significativos, conforme veremos na seção seguinte.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 52
Uma vez que 3 < 5, temos
11,74
2ª) Se o algarismo decimal seguinte a ordem 1n − for maior ou igual que 5 (6, 7, 8 ou
9), acrescentamos uma unidade ao algarismo da ordem 1n − .
Exemplo: Desejamos arredondar 11,745 para duas casas decimais. Façamos
11,74 5
Uma vez que 5 = 5, vem
11,75
Exemplo: Desejamos arredondar 11,746 para duas casas decimais. Expressemos
11,74 6
Uma vez que 6 > 5, segue-se
11,75
1.9- Incertezas de Medição, Algarismos Significativos e Desvio Avalia-
do
A medida de uma grandeza física é sempre aproximada, por mais capaz que seja
o operador e por mais preciso que seja o aparelho utilizado. Esta limitação reflete-se no
número de algarismos que usamos para representar as medidas, isto é, só utilizamos os
algarismos que temos certeza de estarem corretos, admitindo-se apenas o uso de um al-
garismo duvidoso. Claramente, o número de algarismos significativos está ligado dire-
tamente à precisão da medida, de forma que quando mais precisa ela for, maior será o
número de algarismos significativos da mesma.
Naturalmente, ao expressar uma medida só é necessário empregar o número de al-
garismos com os quais se pode representá-la, bem como a unidade a qual está referida e
o grau de confiança no valor expresso, ou seja, é necessário incluir uma primeira esti-
mativa de incerteza. O erro de uma medida é classificado como incerteza do tipo A ou
incerteza do tipo B. A incerteza obtida a partir de várias medições é chamada de in-
certeza padrão do tipo A, que é o desvio padrão obtido por métodos estatísticos. A
incerteza estimada em uma única medição é classificada como incerteza padrão ou
desvio avaliado do tipo B, que é a incerteza obtida por qualquer método que não seja
estatístico. A estimativa deste tipo de incerteza é visual, podendo ser considerada uma
fração da menor divisão da escala, feita mentalmente por quem realiza a medição.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 53
Fig. 1.112
Um exemplo de incerteza do tipo B á apresentado na parte (a) da figura 1.112, na
medição do comprimento de uma caneta, utilizando uma régua com a menor divisão em
cm. Podemos afirmar com certeza que ela possui 9 cm exatos, porém não podemos afir-
mar com certeza absoluta que fração de 1 cm a mais dos 9 cm ela também possui.
Se três experimentadores fossem anotar o comprimento da caneta:
1º) Todos os três anotariam os 9 cm exatos.
2º) Cada um poderia avaliar a fração do 1 cm restante de formas diferentes, como sendo
fração de 1 cm = 0,1 cm
fração de 1 cm = 0,2 cm
fração de 1 cm = 0,3 cm
e nenhum deles estaria errado. Assim sendo, o comprimento poderia ser anotado como
9 cm + 0,1 cm = 9,1 cm, ou
9 cm + 0,2 cm = 9,2 cm, ou
9 cm + 0,3cm = 9,3 cm
Cabe então a pergunta: quantos décimos de centímetros (os milímetros), devemos
considerar? É impossível precisar com tal régua, pois ela não tem tal precisão. O alga-
rismo que aparece após o 9, não tem a mesma credibilidade sendo, por esta razão, deno-
minado algarismo duvidoso, e o 9 é o algarismo correto. Assim sendo, a medida do
comprimento da caneta deve ser expressa com dois algarismos. Por exemplo: 9,1; 9,2
ou 9,3 cm. Esses dois algarismos que compõem a medida são denominados algarismos
significativos. Vamos optar pelo valor 9,2 cm. Em nossa medição, o algarismo 2 é o al-
garismo duvidoso. Nesse nosso trabalho, por vezes encimaremos o algarismo duvidoso
por um traço, a fim de diferenciá-lo dos demais. Em resumo: algarismos significativos
em uma medida são aqueles que sabemos estarem corretos mais o primeiro duvi-
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 54
doso. Assim sendo, não existe sentido em incluir em uma medida algarismos à
direita do primeiro duvidoso, mesmo que em uma operação a calculadora apresen-
te tais algarismos. Isto nos permite afirmar que em uma medida só pode existir um
e tão somente um algarismo duvidoso, a menos que estejamos trabalhando com
uma incerteza estatisticamente calculada, isto é, do tipo A, e que a mesma tenha si-
do determinada com dois algarismos significativos ou mais, conforme veremos
exemplos na unidade 2.
Ainda quanto ao assunto incerteza do tipo B, convém mencionar que, de uma for-
ma geral, é o experimentador que nos fornece a amplitude da incerteza. Se por exemplo,
dentre os três experimentadores, o encarregado de dar o parecer sobre o comprimento da
caneta apresentasse o resultado ( )9,2 0,1 cm± , isto significa que ele está nos informan-
do que, em sua opinião, 9,2 cm é o valor mais provável para a medida do comprimento
da caneta e que a mesma
poderia ser também 9,1 cm ou 9,3 cm, isto é, a medida é com-
fiável dentro dos limites 9,1 cm e 9,3 cm. Neste caso ele optou por uma incerteza de
0,1 cm , independentemente de conhecer ou não os resultados apresentados pelos ou-
tros. Caso ele tivesse expressado o comprimento como ( )9,2 0, 2 cm± , a incerteza seria
de 0,2 cm , e a medida confiável no intervalo de 9,0 cm a 9,4 cm. Estas seriam incerte-
zas absolutas. Se quisermos a incerteza relativa de cada escolha, basta dividir a incer-
teza absoluta pelo valor mais provável da grandeza. Para obter a incerteza percentual, é
só multiplicar a incerteza relativa por 100 %. Temos então:
• Primeiro caso:
incerteza absoluta 0,1cm
0,1cmincerteza relativa 0,11
9,2 cm
incerteza percentual 0,11 100% 11%
=
= =
= × =
• Segundo caso:
incerteza absoluta 0,2 cm
0, 2 cmincerteza relativa 0, 22
9, 2 cm
incerteza percentual 0,22 100% 22%
=
= =
= × =
Vamos agora imaginar que um quarto experimentador anotasse como sendo 0,25
cm a fração do 1 cm da caneta apresentada na parte (a) da figura 1.112 e avaliar a im-
portância que se daria a tal resultado. Pois bem, ao se medir com uma régua graduada
em centímetro, tem sentido avaliar décimos de centímetros (milímetros), mas é discu-
tível ou mesmo inaceitável avaliar centésimos ou frações menores. Em medições, é cos-
tume fazer estimativas, a olho nu, com aproximações até décimos da menor escala
do instrumento. Estimar centésimos ou milésimos da menor divisão da menor
escala, a olho nu, está fora da percepção da maioria dos seres humanos.
No entanto, com uma régua milimetrada, conforme apresentado na parte (b) da
figura 1.112, o quarto experimentador poderia estimar como sendo 0,25 cm a fração do
1 cm da caneta. Neste caso o seu comprimento seria 9,25 cm, sendo os algarismos 9 e 2
corretos e o algarismo 5 duvidoso.
Ainda quanto à incerteza absoluta, devemos ressaltar que ela depende da perícia
do experimentador, de sua segurança, da facilidade de leitura da escala e do próprio ins-
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 55
trumento ou aparelho utilizado na medição. Apesar de não ser uma norma, é costume
adotar-se como caso mais desfavorável a incerteza avaliada de um instrumento, ou
limite do erro instrumental (l.e.i.), como sendo igual à metade do valor da menor
divisão da escala. Exemplos:
• Régua centimetrada apresentada na parte (a) da figura 1.112: 0,5 cm = 5 mm;
neste caso o comprimento poderia ser apresentado como sendo ( )9,2 0,5 cm± ,
embora isto seja uma aproximação muitísssimo exagerada para a incerteza,
conforme se depreende da observação da figura correspondente.
• Régua milimetrada ilustrada na parte (b) da figura 1.112: 0,05 cm = 0,5 mm;
neste caso o comprimento poderia ser apresentado como sendo ( )9,25 0,05 cm± ,
e isto já não é mais uma aproximação tão exagerada para a incerteza, conforme
se depreende da observação da figura correspondente. Aliás, quanto menor for
a divisão da escala mais aceitável se torna a aproximação anteriormente
ressaltada de adotar-se a incerteza avaliada de um instrumento como sendo
a metade do valor da menor divisão da escala.
• Balança com precisão de 0,1 g: 0,05 g
• Cronômetro analógico com precisão de 0,2 s: 0,1 s
• Amperímetro analógico com escala graduada em 0, 2, 4, 6, 8 e 10 A: 1 A
• Dinamômetro com escala graduada de 5 em 5 N: 3 N
• Voltímetro analógico com fundo de escala de 10 V, sendo a mesma dividida em
20 partes: 0,3 V
Nota: quando o instrumento apresenta nônio, aí já não se considera a incerteza como
sendo a metade da menor divisão da escala principal, mas sim a própria resolução do
nônio.
Sabemos que um olho humano saudável, ou utilizando um corretivo visual apro-
priado, é capaz de distinguir dois minúsculos pontos ou traços, separados, em média,
por 0,1 mm numa distância de 35 cm (distância normal de leitura). Isto se deve ao fato
de que o ângulo de resolução médio do olho humano normal29, ou utilizando um correti-
29
A seguir algumas considerações do Prof. Dr. Fernando Lang da Silveira, do Centro de Referência
para o Ensino de Física, da UFRGS:
Resolução Óptica
Como podemos definir o conceito de resolução e encontrar uma resposta para, por exemplo, a
distância máxima da qual se pode distinguir os faróis de um carro?
É claro que ao responder essa pergunta será considerado que o questionador realmente está que-
rendo saber a distância máxima para que um “ser humano normal” consiga distinguir entre os dois faróis
do carro.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 56
vo visual apropriado, é, em média, igual a 42,9 10 rad−× . Na subseção 4.2.1, do anexo 4,
pela definição de ângulo plano, temos
l lφ ρ φ
ρ
= =�
o que acarreta
( )( )2 4 335 10 m 2,9 10 rad 0,10 10 m 0,10 mm 0,1mml ρ φ = − − −= × × = × = ≅
Assim sendo, para instrumentos com a largura das menores divisões da escala da
ordem de 1 mm, podemos considerar, com segurança, o limite do erro instrumental
(l.e.i.) como sendo da ordem de 0, 2± unidades dessas divisões. Desse modo, para uma
régua de aço, com escala milimetrada de precisão, podemos considerar o l.e.i. como
sendo 0, 2 mm.± Entretanto, dependendo da qualidade da régua e da regularidade das
divisões, tal valor pode alcançar a marca 0,5 mm± (réguas de plástico) ou até mesmo o
valor 1 mm (escalas de pedreiro). É conveniente usar-se diferentes trechos da régua na
repetição das medidas, a fim de reduzir os efeitos de diferenças na marcação da escala e
tornar, assim, as medidas mais independentes. Já para um amperímetro cuja menor
divisão da escala é 0,1 mA, o l.e.i. pode variar de 0,02 mA± a 0,05 mA± , dependendo
Qualquer sistema óptico que conjugue a imagem de um objeto não é perfeito no sentido de que a
cada ponto do objeto corresponda um único ponto na imagem. Na verdade o que acontece é que a cada
ponto do objeto correspondem muitos pontos na imagem, isto é, uma região estendida espacialmente. Há
diversas razões para que tal ocorra e não cabe aqui as elucidar. O que importa é que sempre acontecerá
para dois pontos do objeto, suficientemente próximos, que apareçam na imagem como um único "ponto",
isto é, uma região dentro da qual não é mais possível discernir claramente o que corresponde a cada um
dos dois distintos pontos do objeto. Ou seja, quando isso acontece, o sistema óptico perdeu a capacidade
de distinguir entre os dois pontos, a sua resolução está prejudicada. A menor distância entre dois pontos
distinguíveis expressa o poder de resolução do sistema óptico: quando menor é essa distância, tanto maior
é o poder resolução.
Em sistemas ópticos que possuem sensores para reconhecimento da imagem (é o caso do nosso
olho ou das câmaras fotográficas), o poder de resolução também é afetado pelo tamanho dos sensores:
quanto maior é distância entre dois sensores contíguos, tanto menor é o poder resolução.
Agora cabe uma consideração importante: é extremamente conveniente definir a distância mínima
referida anteriormente como a distância angular entre os dois pontos, medido esse ângulo em relação ao
centro óptico do sistema. Ou seja, a medida do ângulo cujo vértice está no centro óptico do sistema e
tendo com arco a distância linear entre os dois pontos.
Um exemplo ajudará a esclarecer: o poder de resolução do olho humano normal é cerca de 1
minuto de grau (1/60 de grau) ou 0,00029 radianos ( 42, 9 10 rad−× ). Desta forma, isto significa que dois
pontos objeto, para serem distinguidos por nós como sendo efetivamente
dois pontos (e não um único
ponto) devem estar separados, quando tomamos o olho como vértice, por um ângulo de no mínimo 1
minuto de grau. Portanto, é fácil calcular, por exemplo, a que distância devemos estar postados a partir de
dois pontos pintados em uma parede bem iluminada, separados por 1 cm, para que possamos distingui-
los. Essa distância deve ser no máximo 1 cm dividido por 0,00029 radianos, o que resulta em cerca de 30
metros. Ora, dado que a distância entre os dois faróis do automóvel é cerca de 1 m, o mesmo cálculo nos
levará a aproximadamente 3 km. É óbvio que condições da atmosfera e a potência luminosa dos faróis
poderão reduzir muito a distância estimada, pois tal estimativa só toma em conta o poder de resolução do
olho humano, considerando que nada esteja situado entre o olho e os dois faróis.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 57
também da qualidade da escala, se a mesma é espelhada ou não, se a leitura é executada
com auxílio de lupa, etc. Para tal estimativa admitimos que o amperímetro tenha capaci-
dade suficiente para responder a variações da ordem de 0,02 mA a 0,05 mA, o que não
decorre da menor divisão da escala, mas sim da capacidade de resposta do aparelho, a
qual é fornecida pelo fabricante. Se a sensibilidade ou resolução do amperímetro for de
apenas 0,1 mA, então o correto é admitirmos o l.e.i. como sendo 0,1 mA± . Para ampli-
tudes maiores, o experimentador/operador deve estabelecer um l.e.i. com apenas um al-
garismo significativo, de tal forma a ter segurança no fato de que o valor medido jaza no
intervalo por este definido.
Nos instrumentos com escala de leitura descontínua, tal como o paquímetro e o
micrometro e o cronômetro mecânico, o l.e.i. é estabelecido pelo próprio fabricante e
normalmente corresponde à menor leitura que se pode realizar com o instrumento.
Exemplos:
• Para um paquímetro de resolução 0,05 mm, o l.e.i. é 0,05 mm.±
• Para um paquímetro de resolução 0,02 mm, o l.e.i. é 0,02 mm.±
• Para um cronômetro mecânico que marca em intervalos de 0,1 s assume-se o
l.e.i. igual a este valor, mas afetado pelo duplo sinal.
• Para os medidores/aparelhos digitais o l.e.i. é, geralmente, uma unidade do úl-
timo dígito mostrado no visor.
Quando vamos realizar uma medição, a primeira providência do experimenta-
dor/pesquisador é definir o desvio avaliado ( aσ ) associado à medida a ser feita, para
assim conhecer a posição do algarismo duvidoso. Exemplos:
• Se o desvio avaliado para réguas milimetradas for de 0,5 mm,± então os valores
das medições deverão incluir a casa dos décimos de milímetros, sendo, então, do
tipo 30,5 cm, 40,0 cm, 43,5 cm, etc.
• Se o desvio avaliado para medições com uma balança for de 0,1 g,± os valores
encontrados serão do tipo 9,4 g, 22,7 g, 100,0 g, etc.
A definição do desvio avaliado deve levar em conta o l.e.i. do instrumento/apare-
lho de medição, o objeto sob medição, o processo de medição e, em alguns casos, as
condições ambientais. Seu valor nunca é menor do que o l.e.i. do instrumento/aparelho
de medição, podendo ser, no máximo, igual a este se as condições de medição forem
favoráveis. Por exemplo, se a medição a ser feita é ada largura de um objeto que tem
arestas bem definidas e a régua pode ser encostada no objeto, pode-se considerar o des-
vio avaliado como sendo igual ao l.e.i. da régua. No entanto, se o objeto apresentar con-
tornos abaulados, o correto é considerar-se o desvio avaliado maior do que o l.e.i. De
forma semelhante, se uma corrente elétrica que está sob medição apresenta oscilações,
devemos avaliar a amplitude de oscilação a fim de poder definir o desvio avaliado, o
qual será, evidentemente, maior do que o l.e.i.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 58
O desvio avaliado deve ser usado como desvio da medida nos casos de se fazer
um pequeno número de medições (até três), quando os valores das medições apresentam
o mesmo valor ou quando o desvio padrão para uma série de medições for menor do
que ele.
O desvio relativo relativo ( rσ ) de uma grandeza é definido como sendo a razão
entre a dispersão (desvio avaliado, desvio padrão, etc., abordados anteriormente) e o va-
lor X, no caso de apenas uma determinação, ou o valor mais provável (v.m.p) X no
caso de uma série de medidas.
rel X
σ
σ = (1.10)
Já o desvio percentual é
perl rel 100% 100%X
σ
σ σ= × = × (1.11)
Resumindo tudo o que falamos até então, concluímos que a melhor maneira de ex-
pressar o resultado de uma medição é apresentar a melhor estimativa, ou valor mais
provável da grandeza, e o intervalo no qual você tem certeza em que a quantidade está
incluída, ou seja,
Valor medido VMP uδ= ± (1.12)
Esta expressão significa, primeiramente, que a melhor estimativa ou valor mais
provável da grandeza sob mensuração para o experimentador ou para o grupo de
experimentadores é VMP, e depois que, ele(s) está(ão) razoavelmente confiante(s) que o
valor da grandeza situa-se em algum ponto entre VMP uδ− e VMP uδ+ . O número re-
presentado por uδ denomina-se incerteza, erro ou margem de erro da grandeza.
Obviamente, não é possível uma confiança absoluta na incerteza até que tenhamos estu-
dado, na unidade 2 a seguir, os processos estatísticos que regem o processo de medição.
Por exemplo, conforme já vimos anteriormente, para a caneta apresentada na parte (a)
da figura 1.112, os três experimentadores elegeram o comprimento 9,2 cm como sendo
o mais provável e uma incerteza de 0,1 cm, o que nos leva a concluir que eles estão
indicando que o comprimento pode variar de 9,1 cm a 9,3 cm ou, de forma sintética
( )Comprimento da caneta 9,2 0,1 cm= ±
EXEMPLO 1.3
(a) Um experimentador mede o comprimento de um pêndulo simples e comunica que a
sua melhor estimativa é 120 mm e que a faixa de variação do comprimento situa-se
entre 118 mm e 122 mm. Expresse tal resultado na forma de (1.12). (b) Se um outro
experimentador comunica que a expressão da medida de uma determinada corrente elé-
trica é ( )2,03 0,02 Ai = ± , qual é a faixa de valores admissíveis para a corrente?
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 59
SOLUÇÃO:
(a) ( )120 2 mml = ±
(b) Entre 2,01 A e 2,05 A.
1.10- Regras para Algarismos Significativos
Prosseguindo com o assunto algarismos significativos, temos, pois, as seguin-
tes regras:
1ª) Os algarismos significativos são todos os entre 1 e 9 (inclusive). Exemplos:
• 53,24 tem 4 algarismos significativos;
• 1238,74 tem 6 algarismos significativos.
2ª) O zero é um algarismo significativo quando se encontra entre dois algarismos dife-
rentes de zero, não importando se temos um ou mais algarismos zeros juntos. Exemplos:
• 305 tem 3 algarismos significativos;
• 20034 tem 5 algarismos significativos.
3ª) Devemos evitar o uso de zeros à esquerda dos algarismos significativos a fim de ob-
ter o valor correto, pois isto dificulta a leitura, e os zeros à esquerda do primeiro algaris-
mo diferente de zero não constituem algarismos significativos. Também devemos evitar
a utilização de zeros à direita dos algarismos significativos para obter a potência de dez
correta. Esta é uma prática ruim, uma vez que, no mais das vezes, aumenta, indevida-
mente, o número de algarismos significativos. Só devemos utilizar zeros à direita dos al-
garismos diferentes de zero, quando os zeros forem realmente
significativos. Exemplos:
•
20,072 7, 2 10−= × tem 2 algarismos significativos;
•
40,000240 2, 40 10−= × tem 3 algarismos significativos;
• 1,000 tem 4 algarismos significativos;
• 3,00650 tem 6 algarismos significativos;
• 33,340 tem 5 algarismos significativos;
•
60,00000170 1,70 10−= × tem três algarismos significativos;
•
712360000 (com quatro significativos) 1, 236 10= × e supôs-se aqui que os zeros à
direita não são significativos; se eles fossem o valor deveria ser expresso sob a
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 60
forma 71,2360000 10× .
• 53 tem 2 algarismos significativos;
•
35300(com dois significativos) 5,3 10= × ;
•
35300(com quatro significativos) 5,300 10= × ;
• 5300,0 ou 5,3000 × 103 tem 5 algarismos significativos.
4ª) A posição da vírgula não influi no número de algarismos significativos. Exemplo: a
medida 0,0720 tem 3 algarismos significativos, podendo ter a posição da vírgula alte-
rada de várias formas usando uma potência de 10 adequada e sem alterar o seu número
de algarismos significativos, conforme aparece a seguir:
• 0,0720 m = 0,720 × 110− m = 0,720 dm;
• 0,0720 m = 7,20 × 210− m = 7,20 cm;
• 0,0720m = 72,0 × 310− m = 72,0 mm.
Observamos que o número de algarismos significativos é sempre 3, independen-
te da forma que o número foi escrito e da posição da vírgula. Outro ponto notável é
que o valor da medida é sempre o mesmo, uma vez que
0,0720 m = 0,720 dm = 7,20 cm = 72,0 mm
5ª) O número de algarismos significativos de uma grandeza medida ou valor calculado é
uma indicação da incerteza: mais algarismos significativos, menor a incerteza associada
ao valor. Devemos ter em mente também que quanto maior for o número de algarismos
significativos de uma medida, mais precisa ela será. Exemplos:
• A medida 4375 m é muito mais precisa do que 0,000 0032.
• O comprimento da caneta estimado no início da presente seção foi 9,2 cm, com
dois algarismos significativos. A incerteza, no caso mais desfavorável, nos leva
a ( )9,2 0,5 cm± , ou seja, o comprimento pode estar entre os limites 8,7 cm e 9,7
cm.
• Se for apresentada uma temperatura de 32°C, com 2 algarismos significativos,
evidenciaremos a utilização de um termômetro graduado de 10 em 10 ºC, isto é,
tendo uma escala cuja menor divisão é 10 ºC. Concluímos, então, que o algaris-
mo 3 é correto, mas que o algarismo 2 foi estimado. Empregando a regra de ado-
tar para a incerteza a metade da menor divisão da escala do instrumento, ficamos
com ( )32 5 º C± , indicando que, com tal incerteza, a temperatura varia entre 27 º
C e 37 ºC.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 61
• Se a temperatura for apresentada como 32,0°C, com 3 algarismos significativos,
ficará evidente que foi utilizado um termômetro graduado de 1 em 1ºC, quer di-
zer, a menor divisão da escala é 1ºC. Concluímos, pois, que os algarismos 3 e 2
são corretos, mas que o algarismo 0 foi estimado. Mais uma vez, empregando a
regra de adotar para a incerteza a metade da menor divisão da escala do instru-
mento, ficamos com ( )32,0 0,5 º C± , indicando que, com tal incerteza, a tempe-
ratura varia entre 31,5 º C e 32,5 ºC.
6ª) Esta última regra aplica-se tão somente a valores medidos ou calculados. Já os nú-
meros inteiros que descrevem o número de objetos discretos de distribuições finitas são
exatos, conforme já foi antecipado na seção 1.7, ou seja, possuem precisão infinita, isto
é, número infinito de algarismos significativos. Mais ainda: os valores finitos, inteiros e
exatos são, em realidade, números decimais com parte inteira não nula e número infinito
de zeros. Exemplos:
• 7 dias = 7,0000000... dias;
• 3 pessoas = 3,0000000...pessoas.
Talvez devesse ter sido instituída pelos cientistas aplicados, uma regra para dife-
renciar um valor medido e inteiro, com precisão até a casa das unidades, e um valor in-
teiro e exato, até porque eles são bem diferentes. O primeiro, na realidade, é um número
decimal, cujo valor incerto excursiona até a casa dos décimos, e o segundo, conforme já
explicado, é equivalente a um número decimal, também com parte inteira não nula e
número infinito de zeros na parte fracionária. Uma sugestão é:
• Valor inteiro e exato: 7
• Valor medido, inteiro e com imprecisão na casa das unidades: 7, (medido em
uma escala graduada de 10 em 10 unidades, de modo que o próprio valor 7 é
estimado): apenas com uma vírgula após o número, que é bem mais simples do
que escrever 7 ± 5. Entretanto, embora seja bem mais simples, este seria o único
trabalho do mundo a empregá-la, o que poderia talvez confundir o estudante ao
serem consultadas outras obras.
7ª) Os números inteiros que fazem parte de uma expressão física também possuem
precisão infinita. Exemplos:
• Na equação
2 ,C rpi =
que nos permite calcular o perímetro da circunferência, o número 2 vale exa-
tamente 2, ou seja, possui uma precisão infinita, uma vez que, por definição,
o diâmetro é o dobro do raio. Logo, podemos supor que tal fator possua um
número infinito de algarismos significativos (2,0000000...).
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 62
• Na equação de Torricelli30,
2 2
0v v 2 ,a s= + ∆
o fator 2 também vale exatamente 2, mas podemos supor que tal número
possua um número infinito de algarismos significativos (2,0000000...). O mes-
mo é válido para o expoente 2 em 2v e 20v .
• O enunciado da 3ª lei de Kepler31 é: “Os quadrados dos períodos dos planetas
nos seus movimentos em torno do Sol são proporcionais aos cubos dos semi-
eixos maiores de suas trajetórias elípticas.” Sob forma matemática,
2
2 3 34T a ka
GM
pi
= =
em que
24k
GM
pi
=
é uma constante de proporcionalidade. Os expoentes de 2T e 3a também são
exatos e têm precisões infinitas.
8ª) As constantes numéricas como pi = 3,141592...; e = 2,71828...; 2 1,4142...= , que
aparecem nas fórmulas, como, por exemplo, na equação do período do pêndulo,
30
Torricelli [Evangelista Torricelli (1608-1647] - físico e matemático italiano. Ele perdeu o pai muito
cedo e foi educado pelo tio, um monge que o enviou para Roma, em 1627, a fim de estudar ciências com
o beneditino Benedetto Castelli (1577-1644), professor de matemática no Collegio di Sapienza. O estudo
de “Duas Novas Ciências”, de Galileu (1638) inspirou-lhe muitos desenvolvimentos dos princípios me-
cânicos aí apresentados, que ele publicou no tratado “De motu” (incluído na sua Opera geometrica, 1644).
O envio desta obra, por Castelli, a Galileu, em 1641, com uma proposta para que Torricelli fosse residir
com o sábio florentino, levou a que Torricelli partisse para Florença, onde conheceu Galileu, e onde o
serviu como amanuense durante os últimos três meses da sua vida. Depois da morte de Galileu, Tor-
ricelli foi nomeado matemático do grão-duque e professor de matemática na Academia Florentina. A des-
coberta do princípio do barômetro que perpetuou a sua fama (“tubo de Torricelli”, “vácuo de Torricelli”)
aconteceu em 1643. O Torricelli (símbolo torr), uma unidade de pressão, recebeu o seu nome. Torricelli
também é famoso pela descoberta de um sólido infinitamente longo que hoje é chamado “Trombeta de
Gabriel”, cuja área superficial é infinita, mas cujo volume é finito. Esta propriedade foi vista como um
paradoxo incrível por muitos contemporâneos (incluindo o próprio Torricelli, que tentou várias demons-
trações alternativas), e desencadeou uma controvérsia sobre a natureza do infinito
com o filósofo Hobbes.
Alguns supõem ter sido esta a origem da ideia de um “infinito completo”.
Galileu [Galileu-Galilei (1564-1642)] - matemático, físico e astrônomo italiano que foi um dos funda-
dores da Mecânica e o primeiro verificador experimental. Entre outras coisas, descobriu as leis do movi-
mento pendular e inventou e luneta.
31
Kepler [Johannes Kepler (1571-1630)] - foi um astrônomo alemão que formulou as três leis funda-
mentais da Mecânica Celeste, conhecidas como leis de Kepler. Dedicou-se também ao estudo da Óptica.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 63
2 ,T l gpi=
são tidas como exatas, pois são sempre melhor conhecidas que as grandezas físicas. No
passado, quando se efetuava um cálculo com maior precisão, recomendava-se consi-
derá-las com um algarismo significativo a mais que o operando com menor número de
algarismos significativos, o que aumentava a sua precisão e diminuía a propagação de
erros, conforme será analisado a posteriori. Hoje em dia, com as modernas minicalcula-
doras eletrônicas, temos estas constantes com até 10 dígitos, e não precisamos nos preo-
cupar com isto. Basta usar todos os dígitos do range da máquina e, depois, aplicar as re-
gras relativas aos algarismos significativos que serão vistas na seção seguinte.
1.11- Regras para Incertezas de Medição
Não existe unanimidade quanto ao número de algarismos significativos que de-
vem ser incluídos na incerteza de uma medida, mas sabemos que principalmente as in-
certezas do tipo B, que são estimadas, não podem mesmo ser apresentadas com muita
precisão, sendo que, em muitos, as incerteza do tipo B não podem ser estimadas com
mais de um algarismo significativo. Com relação às do tipo A, determinadas estatisti-
camente e com maior precisão, já há algum tempo, a tendência da maioria dos cientistas
e pesquisadores é de seguir as seguintes regras:
Exemplos:
• O resultado 84,71 m com uma incerteza de 0,3 m, deve ser arredondado para
( )84,7 0,3 m±
Se incerteza for 3 m, o mesmo resultado deve ser arredondado para
2ª) Zeros à esquerda do primeiro algarismo diferente de zero não constituem algaris-
mos significativos e, como regra geral, deve-se evitar muitos zeros deste tipo. Isto
pode ser conseguido através da mudança de unidades ou usando uma potência de 10
como fator multiplicativo.
1ª) O último algarismo significativo (à direita) apresentado no valor mais provável de
uma grandeza deve ter a mesma posição decimal que o último algarismo significativo
(à direita) na incerteza. Os algarismos não significativos à direita nunca devem ser es-
critos num resultado final. Isto, aliás, está em plena acordância com uma regra de ou-
ro relativa à precisão de uma medida ou de um conjunto de medidas, bem como aos re-
sultados que dependam das mesmas: “Nenhuma manipulação (operação) matemáti-
ca em uma medida física experimental, ou conjunto de medidas pode aumentar ou
diminuir a precisão de um resultado acoplado.” Isto propiciará que em alguns casos
as incertezas sejam expressas com apenas um algarismo significativo e em outros ne-
cessariamente com dois significativos. No entanto, existem casos de até mais de dois
significativos, e casos em que esta primeira regra precisa ser necessariamente quebra-
da.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 64
( )85 3 m±
Se incerteza for 30 m, o mesmo resultado deve ser arredondado para
( )80 30 m±
• Um primeiro exemplo de incerteza com mais de dois algarismos significativos,
vem da nossa referência bibliográfica32 nº 25, página 12: um certificado de cali-
bração estabelece que a resistência de um resistor padrão R, de valor nominal de
dez ohms é 10,000742 129µΩ ± Ω a 23ºC e que “a incerteza citada de 129µΩ
define um nível de confiança de 99 por cento.”
• Os resultados das medições em um banco ótico, conforme será visto na tabela
2.2 e no exemplo 2.3 da unidade 2, foram 624 mm, 613 mm, 621 mm, 629 mm,
etc. Tais valores nos conduzem ao um valor médio, que é o valor mais provável,
621 mmX = , a um desvio padrão experimental 6,7434...mmσ = ± e a um des-
vio padrão da média m 1,5078...mm.nσ σ= = ± A precisão do valor médio
não poderia mesmo exceder a precisão das medidas, que está na ordem das uni-
dades. Assim sendo, conforme foi colocado anteriormente, devemos considerar
os seguintes valores: 7 mmσ = ± e m 2 mm.σ = ± O resultado final, em termos
do desvio padrão experimental deve ser
( )621 7 mmX = ±
e em termos do desvio padrão da média
( )621 2 mmX = ±
• No entanto, se os valores das medidas tivessem sido 624,0 mm; 613,0 mm;
621,0 mm; 629,0 mm; etc., que nos conduziriam à média 621,0 mm,X = ao des-
vio padrão 6,7434...mmσ = ± e ao desvio padrão da média m 1,5078...mm.σ = ±
Neste caso, devemos assumir 6,7 mmσ = ± e m 1,5 mm.σ = ± Temos, então, em
termos do desvio padrão experimental
( )621,0 6,7 mmX = ±
e em termos do desvio padrão da média
32
BIPM/IEC/IFCC/ISO/IUPAC/OIML: Guide to The Expression of Uncertainty in Measurement, Inter-
national Organization for Standardization (ISO), Geneva, 1993. Terceira edição brasileira em língua por-
tuguesa, de agosto de 2003, publicada pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) e Instituto
Nacional de Metrologia e Qualidade Industrial (INMETRO).
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 65
( )621,0 1,5 mmX = ±
• Os resultados para o valor de um diâmetro obtidos em um conjunto de medição
de precisão, denominado Conjunto Galileu, conforme será visto no exemplo 2.4
da próxima unidade, foram: 0,1130 mm; 0,1125 mm; 0,1127 mm; 0,1132 mm e
0,1128 mm. Tais resultados nos conduzem a uma média 0,11284 mmD = , a um
desvio padrão experimental ( ) 40,00027018...mm 2,7018... 10 mm−± = ± × e a um
desvio padrão da média ( ) 4m 0,00012082...mm 1,2082... 10 mm.σ −= ± = ± × A
precisão da média não pode exceder a precisão das medidas, de modo que vamos
assumir
0,1128 mm,D = 40,0003 mm 3 10 mmσ −= ± = × e 4m 0,0001 mm 1 10 mmσ
−
= = ×
Neste caso, em termos do desvio padrão experimental, segue-se
( )0,1128 0,0003 mmD = ±
Já em termos do desvio padrão da média, temos
( )0,1128 0,0001 mmD = ±
• Ao medir-se a aceleração da gravidade de uma determinada localidade com um
gravímetro (vide figura 1.28), após diversas medições e o devido tratamento es-
tatístico de dados, concluiu-se que levando em conta o desvio padrão experi-
mental, temos
( ) 29,7838163 0,0136576 m sg = ±
Se por exemplo quisermos apresentar o resultado com precisão somente até a ter-
ceira casa decimal, então a incerteza deve ser considerada com apenas dois alga-
rismos significativos, o que implicará no algarismo 3 ser arredondado para 4, uma
vez que o algarismo 6, que vem logo em seguida ao 3, é maior que 5. Logo temos,
20,014m sg∆ =
e o valor mais provável só deve apresentar três casas decimais, sendo que o alga-
rismo 3, que ocupa a casa em questão neste valor, deve ser arredondado para 4,
uma vez que o dígito seguinte, que é o 8, é maior que 5. Finalmente, obtemos
( ) 29,784 0,014 m sg = ±
• Os resultados das medições do período de um pêndulo simples, de acordo com
os dados do exemplo 2.5, são: 3,275 s; 3,240 s; 2,982 s, etc. Tais valores nos
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 66
conduzem ao um valor médio, que é o valor mais provável, 3,129 sT = , a um
desvio padrão experimental 0,1126...s± e a um desvio padrão da média
m 0,0398...s.nσ σ=
= ± A precisão do valor médio está de acordo com a pre-
cisão das medidas e devemos considerar também 0,113 sσ = ± e m 0,040 s.σ = ±
O resultado final, em termos do desvio padrão experimental deve ser
( ) ( ) ( )valor mais provável desvio padrão experimental 3,129 0,113 sT = ± = ±
e em termos do desvio padrão da média, temos
( ) ( ) ( )valor mais provável desvio padrão da média 3,129 0,040 sT = ± = ±
Devemos reparar que o desvio padrão experimental apresenta três algarismos
significativos e o desvio padrão da média apresenta dois significativos, corro-
borando o que já havia sido mencionado na primeira regra.
• Na medida de um comprimento, obtiveram-se os seguintes valores: 5,7 cm; 5,8
cm; 5,5 cm; 5,6 cm; 5,5 cm; etc., de acordo com os dados do problema 2.2. Tais
valores nos levam a um valor médio 5,7 cmL = a um desvio padrão experimen-
tal 0,1333...cm± e a um desvio padrão da média m 0,0421...cm.nσ σ= = ± A
precisão do valor médio está de acordo com a precisão das medidas e devemos
considerar também 0,1 cmσ = ± e m 0,04 cm.σ = ± O resultado final, em termos
do desvio padrão experimental deve ser
( ) ( ) ( )valor mais provável desvio padrão experimental 5,7 0,1 cmL = ± = ±
e em termos do desvio padrão da média, temos
( ) ( ) ( )valor mais provável desvio padrão da média 5,70 0,04 cmL = ± = ±
Devemos notar que para compatibilizar a precisão da média com a do seu desvio
padrão, tivemos que “forçar” mais uma casa decimal. No entanto, este é um re-
sultado puramente estatístico, no qual o conjunto importa mais do que as medi-
ções individuais. Só que fisicamente falando, não há sentido em uma média com
precisão maior do que as medidas individualmente, o que é garantido pela regra
de ouro. Em um caso como este, é preferível expressar o resultado apenas em
função do desvio padrão amostral.
Nota: existe uma corrente de pensamento que defende a tese de que se a incerteza pa-
drão começar pelos algarismos 1 ou 2 ela deverá ser considerada necessariamente com
dois algarismos significativos e se ela iniciar com o algarismo 3 ou maior do que 3 ela
poderá ser tomada com um ou dois algarismos significativos. Não compartilhamos tal
opinião e temos o apoio de muitos professores atuantes nesta área. É bem verdade que
há também quem defenda a tese de que, para evitar ambiguidades, as incertezas devem
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 67
sempre ser expressas com dois algarismos significativos. Claro que em alguns casos,
como por exemplo 3,48 muδ = e 3,50 muδ = , sendo valores muito próximos, seriam ar-
redondadas, com apenas um algarismo significativo cada, respectivamente, para os va-
lores 3 muδ = e 4 m,uδ = que já apresentam uma diferença razoável. Sugiro, conforme é
de praxe, que cada caso seja analisado em separado, conforme exemplificamos acima.
1.12 - Operações com Algarismos Significativos
Antes de iniciar tal seção, é bom que se ressalte que as regras que aqui serão apre-
sentadas, baseadas no artifício dos 0 , são aproximadas e válidas em uma primeira aná-
lise, conforme ocorre em muitos exercícios e problemas. No entanto, para efetuar cálcu-
los mais precisos, conforme veremos na unidade 2, somente conhecendo as incertezas
de cada uma das grandezas envolvidas e, através da Teoria dos Erros, determinar o re-
sultado final com sua respectiva incerteza.
1.12.1- Soma e Subtração
Fig.1.113
Suponhamos que medimos o comprimento de uma parte de um fio, encontrando
um valor 1 9,265 mml = (medido com um micrômetro de resolução 0,001 mm ), e que, a
seguir, medimos o comprimento da parte restante do mesmo, encontrando um valor dao
por 2 15,32 mml = (medido com paquímetro de resolução 0,02 mm ). Propomo-nos
exprimir o comprimento do fio com o número certo de algarismos significativos
permitido pelas duas medidas. Ora, no caso, temos que
1 2l l l= +
A precisão no total de uma soma de n parcelas é igual a da parcela que tem
menor precisão. Se você tiver dificuldade em aceitar isto, imagine uma corrente que
tem um elo fraco. Quem determina a resistência da corrente? Não, não são as resis-
tências dos elos fortes, admitindo-se que não sejam iguais para todos, mas sim a resis-
tência do elo mais fraco, que, se for excedida, provocará a ruptura da corrente, pois o
elo fraco se partirá. Isto pode ser facilmente verificado lançando mão de um método de-
nominado, usualmente, de “artifício dos 0 ”. Ele consiste, simplesmente, em encimar
com uma barra o último algarismo de cada medida, que é o duvidoso, e acrescentar à di-
reita do mesmo tantos 0 quantos forem necessários, a fim de que todas as parcelas
fiquem com o mesmo número de casas decimais. Uma vez que tais zeros não são signi-
ficativos, eles são representados por 0 , a fim de chamar a atenção para o fato de que
eles são desconhecidos ou incertos. Operaremos, então, da seguinte forma:
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 68
1
2
9,2 6 5
15,3 2 0
,5 8 5 mm
l
l
l
=
=
= 24
Notemos que
5 0 5+ = ,
isto é,
5 duvidoso + 0 duvidoso = 5 duvidoso
e
6 2 8+ =
ou seja,
6 correto + 2 duvidoso = 8 duvidoso
O restante da conta é feito conforme já sabemos, inclusive com o vai um. Uma
vez que só podemos ter um algarismo duvidoso, descartamos o 5 duvidosos, porém, ele
vai forçar o 8 para 9, de tal forma que
24,59 mm 24,59 mm ;(24,59 0,02) mml = = ±
com o número certo de algarismos significativos que as medidas e a operação realizada
permitem. Analisando o resultado obtido para l, verificamos que ele tem precisão so-
mente até centésimos, ou seja, a mesma precisão da parcela menos precisa (no caso,
2 15,32 mm)l = , e a incerteza agora também vem da parcela menos precisa, o que está
de acordo com a regra de ouro já citada na seção anterior.
Utilizando uma calculadora eletrônica encontramos
24,585 mml =
pois as calculadoras igualam os números de casas decimais acrescentando zeros, que
aliás são incertos, onde for necessário. Os pontos representam os zeros que podem
aparecer depois do algarismo 5, dependendo do número de dígitos com os quais a cal-
culadora esteja operando. No entanto, com a aproximação final baseada no fato da pre-
cisão do total não poder exercer a precisão da parcela menos precisa, chegamos a
24,59 m 24,59 m; (24,59 0,02)ml = = ±
Nota: é recomendado, antes de iniciar os cálculos, que se escolha sempre operar com o
máximo de dígitos da calculadora, ou pelo menos com o número mínimo que permita
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 69
representar todas as parcelas e, no final, retirar todos aqueles que não forem significa-
tivos.
É importante lembrar que numa soma todas as medidas devem ser relativas a
uma mesma unidade. Caso todas as parcelas não estejam em uma mesma unidade, deve-
se, previamente, efetuar as mudanças para uma mesma unidade. Seja, por exemplo, a
soma
1 2 3 4m m m m m= + + +
em que
1
2
3
4
5,832 kg
783,0 g
320,0 kg
278 g
m
m
m
m
=
=
=
=
Escolhendo o quilograma como unidade comum, temos
1
2
3
4
5,832 kg
0,7830 kg
320,0 kg
0, 278 kg
m
m
m
m
=
=
=
=
Utilizando uma calculadora, obtemos
326, 8930 kgm =
mas como a precisão não pode exceder a da parcela de menor precisão, o resultado final
é
326,9 326,9 kgm = =
Vamos agora modificar um pouco a precisão da 3ª parcela e considerar o seguinte
quadro de valores:
1
2
3
4
5,832 kg
0,7830 kg
320 kg (o número não é inteiro e exato)
0, 278 kg
m
m
m
m
=
=
=
=
Repare que a parcela 3m não é um número inteiro e exato (precisão infinita), mas
tão somente um valor com precisão relativa à casa das unidades. Temos então
326,8930 kgm =
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 70
que nos conduz a
327 kg 327kgm = =
Na subtração, o processo é análogo. Consideremos, pois, que um certo bloco de
pedra tem um peso 1 83,5 kgfP = . Se nós extrairmos desse bloco, um pedacinho de peso
2 375,8 gfP = , qual será o peso 'P do bloco remanescente? Logicamente, temos
1 2'P P P= −
em que
1
2
83,5 kgf
375,8 gf 0,3758 kgf
P
P
=
= =
Pela calculadora, obtemos
' 83,1242 kgf 83,1 kgfP = = ; (83,1 0,5)kgf±
1.12.2- Multiplicação
Utilizando a calculadora, devemos incluir todos os algarismos dos fatores e pro-
ceder de acordo com as seguintes regras:
1ª) Se os números envolvidos forem decimais, e tivermos m algarismos significa-
tivos no fator que contiver o menor número destes algarismos, então o produto
conterá no mínimo m e no máximo 1m ++++ algarismos significativos33. Isto é bem
verdade, mas o problema reside em saber quando considerar apenas m e quando
levar em conta 1m ++++ , bastando para tanto lembrar da regra de ouro: “Nenhuma
manipulação (operação) matemática em uma medida física experimental pode
aumentar ou diminuir a precisão da mesma.” No entanto, a esmagadora maioria
dos autores, tanto dos livros do Ensino Médio, quanto do Ensino Superior, seguin-
do a influência americana, optou por considerar apenas m significativos, embora
isto não seja sempre o mais correto, e a regra é: Para multiplicar números deci-
mais, se o fator com menor número de algarismos significativos contiver m destes
algarismos, então o resultado também terá m algarismos significativos.
Para justificar nosso ponto de vista, Consideremos o problema da determinação da
área de um retângulo de lados 4,0 m e 5,0 m. Temos, então, o produto
Em uma calculadora, obtemos
220,0 m
33
Vide referência bibliográfica nº 5, capítulo 1, seção 13, página 45.
4,0 5,0×
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 71
e a questão é: a resposta correta é 220,0 m ou 220 m ? Seguindo a regra adotada pela
maioria, já que ambos os fatores têm o mesmo número de algarismos significativos, que
é dois, a resposta tem que ter também dois algarismos significativos, sendo, portanto,
220 m . Vamos verificar se isto é realmente o mais correto? Armemos, pois, a conta
2
5,0
4,0
0 0
20 0
20,0 0 20,0 20,0m= =
assumindo que:
• 0 0 0× = (0 duvidoso vezes 0 duvidoso = 0 duplamente duvidoso);
• 0 5 0× = (0 duvidoso vezes 5 = 0 duvidoso);
• 4 0 0× = (4 vezes 0 duvidoso = 0 duvidoso);
• 4 5 20× = .
Uma vez que uma medida só pode ter tão somente um algarismo duvidoso,
ficamos com 2 220,0 m 20,0 m ;(20,0 0,5)= ± . Aliás, isto é facílimo de ser justificado:
em nosso caso, os algarismos duvidosos de ambos os fatores estão na casa dos décimos.
Assim sendo, apoiando-nos na regra de ouro, a precisão do resultado também deve
incluir tal casa. Você então vai perguntar:
– Mas afinal, devo considerar a primeira regra mais precisa ou a outra que é empregada
pela maioria? A resposta é simples:
– Se você vai prestar um vestibular, ou algum outro tipo de concurso, ou vai resolver os
problemas de algum livro texto, use a regra utilizada pela esmagadora maioria, porém,
futuramente, em um trabalho de maior precisão do qual esteja participando, não hesite:
empregue a regra mais precisa! Quer mais um exemplo? Vamos, pois, determinar a área
de um retângulo de lados 8,837 m e 7,5m . Utilizando uma calculadora, vem o resultado
266, 2775 m
Mais uma vez, utilizando a regra utilizada pela maioria, o fator 7,5 é o que possui
menor número de significativos, que é dois, logo o resultado deve ser
266 m
No entanto, existe também a possibilidade do resultado conter três algarismos
significativos, o que nos conduz a
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 72
266,3 m
Mais uma vez, armando a conta, temos
2
8,8 3 7
7,5
4 4 1 8 5
6 1 8 5 9
66,2 77 5 66,3 66,3m= =
Aliás, não é mesmo difícil ver que este é o resultado mais preciso, uma vez que o
fator menos preciso tem uma casa decimal, e este deve ser também a número de casas
decimais do resultado. Verificamos, mais uma vez que a regra adotada pela maioria leva
a um resultado menos preciso.
Seja agora a mesma determinação de área, só que com os valores 2,0 m e 4,0 m.
Em uma calculadora, segue-se
28,0 m
Uma vez que ambos os fatores apresentam dois algarismos significativos, então,
pela regra adotada pela maioria, temos
28,0 m
Armando a conta, temos
2
4,0
2,0
0 0
8 0
8,00 8,0 8,0 m= =
Neste caso, excepcionalmente, as duas regras conduzem ao mesmo resultado. Va-
mos agora a um exemplo decisivo, em que o retângulo tem lados de comprimentos
437,374m e 7,5m . Em uma calculadora, encontramos
23280,2950 m
O fator com menos algarismos significativos tem dois algarismos deste tipo, de
modo que, a regra seguida pela maioria nos leva aos resultados equivalentes
2 2 3 2 4 233 10 m 3,3 10 m 0,33 10 m× = × = ×
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 73
todos eles com dois algarismos significativos. No entanto, existe também a possibilida-
de, não considerada por quem utiliza tal regra, do resultado ter três algarismos significa-
tivos, o que nos levaria ao resultado
2 232,8 10 m×
Embora na notação científica, que utiliza o conceito de ponto (nos E.U.A.) ou de
vírgula (no Brasil) “flutuante”, este conceito de precisão fique restrito ao número de
algarismos significativos e não à posição da vírgula, uma vez que
2 2 3 2 4 232,8 10 m 3, 28 10 m 0,328 10 m× = × = ×
podemos lançar mão de um artifício para verificar se é mais preciso expressar o resulta-
do como 2 232,8 10 m× ou 2 233 10 m× . O fator 7,5 tem apenas uma casa decimal, de mo-
do que a “mantissa provisória” do resultado também deve ter apenas uma casa decimal,
ou seja
2 232,8 10 m×
Para tirar a dúvida de qual resultado é mais preciso, armemos a conta
2 2 2 2
437,374
7,5
2 1 8 6 8 7 0
3 0 6 1 6 1 8
3 2 8 0,2 9 5 0 32,8 10 m 3
0
2,8 10 m= × = ×
o que, mais uma vez, mostra que a “regra” utilizada pela maioria não é a mais precisa,
pelo menos em primeira aproximação. A seguir alguns exemplos, onde tivemos o cuida-
do de incluir, entre parentes, em vermelho e negrito, os resultados mais precisos,
quando for o caso, que não são considerados pela maioria. Exemplos:
• 4,0 3,0 12 × = (12,0) ;
• 4,3 3, 2 13,76 14× = = (13,8 );
• 3, 2 6,43 21 × = (20,6) ;
• ( ) ( )7 3 41,32578 10 4,11 10 5, 45 10−× × × = × (neste caso as duas regras também nos
conduzem ao mesmo resultado);
• 3 5,0 15× = , em que agora 3 não é um número inteiro e exato. O fator menos
preciso é o 3, que não tem casa decimais.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 74
2ª) A única exceção à regra mais precisa que estabelecemos é quando o fator menos
preciso contiver zeros entre a vírgula decimal e o primeiro algarismo não nulo da
sua parte decimal fracionária. Neste caso o número de casas decimais do resultado
será
igual ao número de zeros acima citados, valendo os arredondamentos. Se
ocorrerem os citados zeros, mas no fator mais preciso, devemos proceder conforme
preconizado pela regra mais rigorosa. Exemplos:
• 32,3687 2,08 67,326... 67,3× = = ;
• 32,3687 2,008 64,996... 65,00× = = ;
• 53, 2478 3,00034 159,76150... 159,7615× = = (pela regra adotada pela maioria o
resultado seria apenas159,762
3ª) Quando ambos os fatores forem inteiros e exatos, o resultado é o número in-
teiro que aparecer no visor da calculadora. Caso ela tenha sido programada para
operar com um certo número de casas decimais dentro do seu do seu range, então
dever-se-á desconsiderar todos os zeros que aparecerem após a vírgula. Exemplos:
• 5 3 15× = ;
• 6 7 42× = ;
• 35 7 245× = ;
• 1 034 327 338 118× =
4ª) Quando um dos números for inteiro e exato e o outro decimal, o resultado será
decimal e terá sempre a precisão do fator que é decimal. Exemplos:
• 3 5,0 15,0× = (lembrar que 3 5,0 15,0 5,0 5,0 5,0 15,0× = = + + = );
• 32,0 12 384,0× = . No entanto, a maioria dos autores aplicaria a mesma regra
aproximada, utilizada para números decimais, e daria 23,8 10× como sendo a
resposta;
• 32,00 123 3936,00× = . Entretanto, a maioria dos autores daria 33,94 10× como
sendo o resultado.
1.12.3- Divisão
Para a divisão, consideraremos também alguns exemplos:
1°) 132 m2 ÷ 44 m
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 75
132 44
132 3 3m
0
→
2º) 350 m2 ÷ 36 m
3 5 0 3 6
3 2 4 9,7 2 9,7 9,7 m
2 6 0
2 5 2
0 8 0
7 2
0 0 8
→ =
3°) 3,8× 102 m2 ÷ 12 m, em que 12 não é exato. Sabemos que uma medida só pode ter
um algarismo significativo, mas como artifício para armarmos a conta, acrescentaremos
um zero duvidoso.
'
3 8 0 12
3 6 31,6 32 m 32 m
2 0
1 2
0 8 0
7 2
0 0 8 nem é necessário acrescentar mais um zero
e continuar, pois o quociente só pode ter um algarismo
duvidoso. Só chegamos até o ponto considerado, para
fazer o arre
→ =
→
dondamento.
4º) 200 m2 ÷ 1,115 m, que 200 não é exato. Completando as casas decimais, segue-se
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 76
' ' '
2 0 0 0 0 0 11 1 5
1 1 1 5 179,3 179 179 m
0 8 8 5 0
7 8 0 5
1 0 4 5 0
1 0 0 3 5
0 0 4 1 5 0
3 3 4 5
0 8 0 5
→ =
5º) 40,0 m2 ÷ 0,687 m
' '
4 0 0 0 0 6 8 7
3 4 3 5 58,22 58,2 58,2 m
0 5 6 5 0
5 4 9 6
0 1 5 4 0
1 3 7 4
0 1 6 6 0
1 3 7 4
0 2 8 6
→ =
Devemos então proceder de acordo com as seguintes regras:
1ª) Quando o dividendo e o divisor forem números decimais, sendo m o número de
algarismos significativos do operando (dividendo ou divisor) que contiver menos
significativos, a maioria dos autores concorda que o quociente vai ter no máximo m
algarismos significativos e no mínimo 1m −−−− 34. Mais uma vez, a questão reside em
quando considerar um ou outro caso, porém, a maioria dos autores, pura e sim-
plesmente optou por considerar m significativos para o quociente, embora isto
também não seja sempre o mais correto, e a regra é: Para dividir números deci-
mais, se o operando com menor número de algarismos significativos contiver m
destes algarismos, então o quociente terá m algarismos significativos. Também
34
Vide referência bibliográfica nº 5, capítulo 1, seção 13, páginas 47 e 48.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 77
aqui, semelhantemente ao que já havia ocorrido para a multiplicação houve uma
aproximação indevida e a regra mais precisa é: Quando o dividendo e o divisor
forem números decimais, o quociente deverá ter um número máximo de alga-
rismos significativos de tal forma a não superar o número de algarismos signifi-
cativos do fator menos preciso nem a precisão do mesmo, devendo-se efetuar um
arredondamento se necessário. As contas armadas com o artifício do 0 eviden-
ciam que isto é o mais correto. No entanto, mais uma vez, afirma-se não valer a
pena ir contra a opinião da maioria, pelos motivos já analisados anteriormente. Já
foi sugerido o que fazer em tais casos. A seguir alguns exemplos são apresentados,
seguindo a tendência da maioria. Exemplos:
•
23,8 10 12 31,66... 32× ÷ = = , em que 12 não é exato.
• 200 1,115 179,37... 179÷ = = , em que 200 não é exato.
• 40 1,115 35,87... 36÷ = = ; em que 40 não é exato.
• 40,0 1,115 35,87... 35,9÷ = = ;
• 24 4,0 6,0 ÷ = ;
• 40,0 0,687 58,22... 58, 2÷ = = ;
• 803,47 13,1 61,33... 61,3÷ = = ;
•
4200 0,00053 38 10÷ = × , em que 200 não é exato.
• 100 20,0 5,00÷ = , em que 100 não é exato.
• 30 15,0 2,0÷ = , em que 30 não é exato
• 24 4,0 6,0÷ = , em que 24 não é exato. O resultado entre parênteses tam-
bém não é exato.
• 120 40,0 3,00÷ = , sendo que 3 não é exato.
• 120 30,5 3,94÷ = ; sendo que 4 não é exato.
•
0,745 2,2 0,421... 0, 42
3,885
×
= =
2ª) A única exceção a ambas regras é quando a divisão for exata e o dividendo e o
divisor representarem frações decimais de mesmo denominador. Neste caso, o re-
sultado é o número que aparecerá no visor da calculadora e, se ela tiver sido pro-
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 78
gramada para operar com todos os dígitos, deveremos desconsiderar todos os ze-
ros. Exemplos:
• 0,50 0, 25 2÷ = (neste caso, 500,50 ,e não 0,50 0,05,
100
= ± bem como 0, 25 =
25
,e não 0, 25 0,05
100
= ± ). O resultado é 2 exato, ou seja, 2,000000...);
• 1,50 0,50 3÷ = (neste caso, 1501,50 ,e não 1,50 0,05,
100
= ± bem como 0,50 =
50
,e não 0,50 0,05
100
= ± ). O resultado é 3 exato, ou seja, 3,000000...).
3ª) Quando o dividendo e o divisor forem números inteiros e o resultado for uma
divisão inteira e exata, o resultado será o número inteiro que aparecerá no visor da
calculadora. Caso ela tenha sido programada para operar com um certo número
de casas decimais dentro do seu do seu range, então dever-se-á desconsiderar todos
os zeros que aparecerem após a vírgula. Exemplos:
• 132 44 3÷ = ;
• 175 35 5÷ =
4ª) Quando o dividendo e o divisor forem números inteiros e o resultado for uma
divisão exata com resultado decimal, o resultado será o decimal que aparecer no
visor da calculadora, sem contudo incluir nenhum zero. Exemplos:
• 5 4 1, 25000... 1,25÷ = = ;
• 3 2 1,5000... 1,5÷ = =
5ª) Quando o dividendo e o divisor forem números inteiros e o resultado não for
uma divisão exata, ou seja, um número decimal, o quociente deverá ter mesmo nú-
mero de algarismos significativos que o fator mais pobre nesses números, dentre
dividendo e divisor, devendo-se também efetuar um arredondamento se necessário.
Exemplos:
• 350 36 9,722... 9,7÷ = = ;
• 1438 44 32,681... 33÷ = =
6ª) Quando o dividendo e o divisor forem números decimais com a mesma pre-
cisão, o quociente deverá ter esta mesma precisão, devendo-se efetuar um arredon-
damento se necessário. Exemplos:
• 100,0 20,0 5,0÷ = ;
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 79
• 30,0 15,0 2,0÷ = ;
• 132,00 2,00 66,00÷ = ;
• 128,32 73, 42 1,747... 1,75÷ = = ;
• 165, 29 3,14 57,398... 57, 40÷ = =
7ª) Quando um dos operandos (dividendo ou divisor) for um número decimal e o
outro um número inteiro e exato, o quociente deverá ter a mesma precisão que o
decimal, devendo-se efetuar um arredondamento se necessário. Exemplos:
• 200 1,115 179,3721... 179,372÷ = = ;
• 40 1,115 35,8744... 35,874÷ = =
8ª) Em operações envolvendo o inverso de números, o número de algarismos signi-
ficativos deve ser preservado no resultado. Exemplos:
•
1 0,030
33
= ;
•
1 0,00403
248
=
1.12.4- Potenciação
Seja a potência genérica na . Temos então as seguintes regras:
1ª) Se a base e os expoentes forem inteiros, o resultado será também o inteiro que
aparecerá no visor da calculadora. Caso ela tenha sido programada para operar
com um certo número de casas decimais dentro do seu do seu range, então devere-
mos desconsiderar todos os zeros que aparecerem após a vírgula. Exemplos:
•
53 243= ;
•
82 256=
2ª) Se a base for decimal e o expoente inteiro, o resultado será decimal e a maioria
dos autores utilizam a seguinte regra: Se a base contiver m algarismos significati-
vos, então o resultado obtido também deverá ter m desses algarismos, devendo-se
proceder a um arredondamento se necessário. Eu, particularmente, não concordo
com tal ponto de vista, e sei que o pessoal que trabalha com medição de precisão
também não! No entanto, é algo semelhante ao que acontece na multiplicação.
Para mim a regra mais precisa é: Ao obter o resultado decimal na calculadora,
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 80
deveremos manter a parte inteira do mesmo e considerar na parte decimal fracio-
nária o mesmo número de algarismos constantes na parte decimal fracionária da
base, devendo-se proceder a um arredondamento se necessário. Nos exemplos se-
guintes, indicaremos, entre parênteses, os resultados considerados mais precisos.
Exemplos:
• ( )42,443 35,6199... 35,62= = ;
• ( )43,9756 249,81052... 249,81= =
3ª) Se a base for inteira e o expoente decimal, o resultado será decimal e a grande
maioria usa a seguinte regra: Se o expoente contiver m algarismos significativos,
então o resultado também deverá ter m desses algarismos, devendo-se proceder a
um arredondamento se necessário. Eu vou seguir a maioria, mas ressalto que o
mais preciso reside na regra seguinte: No resultado obtido, deveremos manter a
parte inteira e considerar na parte decimal fracionária o mesmo número de alga-
rismos constantes na parte decimal fracionária do expoente, devendo-se proceder a
um arredondamento se necessário. Exemplos:
•
2,44310 277,33201... 277,3= = ;
•
2,3 28 119,428... 1, 2 10= = ×
4ª) Se a base e o expoente forem decimais, o resultado será decimal e é usual a
seguinte regra: Deveremos manter no resultado o mesmo número de algarismos
significativos do fator menos preciso, dentre a base e o expoente, devendo-se pro-
ceder a um arredondamento se necessário. Eu acho que o mais preciso é: Deve-
remos manter a parte inteira e considerar na parte decimal fracionária o mesmo
número de algarismos constantes na parte decimal fracionária do fator menos
preciso, dentre a base e o expoente, devendo-se proceder a um arredondamento se
necessário. Exemplos:
•
2,73(3,8247) 38,948... 39,0= = ;
•
3,4734(2,32) 18,5988... 18,6= =
1.12.5- Radiciação
Seja a raiz q pa . Basta lembrar que
=
p
q p qa a
que é a transformação de raiz em potência com expoente fracionário e adaptar as regras
da potenciação, que ficam sendo:
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 81
1ª) Se o radicando a é inteiro e p é múltiplo de q, o resultado será o inteiro que
aparecerá no visor da calculadora. Caso ela tenha sido programada para operar
com um certo número de casas decimais dentro do seu do seu range, então dever-
se-á desconsiderar todos os zeros que aparecerem após a vírgula. Exemplos:
•
3 6 22 2 4= = ;
•
4 23 3 9= =
2ª) Se o radicando a é inteiro e p não é multiplo de q, o resultado será o inteiro ou o
decimal que aparecerá no visor da calculadora. O número de casas decimais a
considerar vai depender da precisão do dado mais pobre envolvido no problema.
Exemplos:
•
3 2 1, 25992105...= ;
•
3 28 4;=
•
7 32 1,345900193...=
3ª) Se a é decimal , não importando se p é ou não múltiplo de q, é comum a seguinte
regra: O número de algarismos significativos do resultado deverá ser o mesmo que
o do radicando. Eu entendo que o mais preciso é: O número de casas decimais do
resultado deverá ser o mesmo número de casas decimais do radicando. Exemplos:
• 3,14 1,772... 1,77= = ;
• 320,83 17,9117... 17,912= =
• 3 320,83 6,84581... 6,8458= = ;
• ( )310 25,834 2,65251... 2,6525= =
1.12.6- Logaritmação e Antilogaritmação
Ao se trabalhar com logarítmos, se o logaritmando (número ou antilogarit-
mo) tiver m algarismos significativosa então a mantissa desse logaritmo também
conterá m algarismos significativos devendo-se proceder a um arredondamento se
necessário35. Na operação de antilogaritmação, o antilogaritmo ou número deverá
ter o mesmo número de algarismos significativos que a mantissa do logaritmo.
Em realidade, a logaritmação é uma das operações inversas da potenciação,
conforme se depreende do anexo 4. De acordo com a 3ª e a 4ª regras da potencia-
35
Vide referência bibliográfica nº 5, capítulo 1, seção 13, página 49.
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 82
ção, que se encaixam, respectivamente para a base 10 e para a base e, teríamos,
sempre a precisão do expoente. Ocorre que os logaritmos são bem melhor conhe-
cidos que as grandezas físicas, de modo que, semelhantemente ao que se recomen-
dou com relação a certas constantes numéricas ( 3,1415923,1415923,1415923,141592pi = ...pi = ...pi = ...pi = ... , 2,71828...e ==== ,
, ...=2 1 4142 ), devemos tomá-los com um algarismo significativo a mais, o que
justifica a regra acima. Exemplos:
• ( )3ln 5,0 10 8,5179... 8,52× = = ;
• ( )ln 45,0 3,8066... 3,807= = ;
• ( )log 23 1,3617... 1,36= = ;
• ( )log 53,8 1,7307... 1,731= = .
1.12.7- Comentários Finais
Conforme já sobejamente mencionado, existe uma diferença entre as regras ado-
tadas pela maioria e as que são adotadas nos trabalhos onde se deseja maior precisão.
Isto ocorre nas regras relativas à multiplicação, divisão, exponenciação e radiciação. Até
aqui foram também apresentados, entre parênteses, os resultados mais precisos onde a
diferença entre as regras acarretava diferenças. Entretanto, conforme também já men-
cionado, se você vai prestar um vestibular, ou algum outro tipo de concurso, ou vai re-
solver problemas de algum livro texto, sugiro que use as regras adotadas pela maioria,
porém, futuramente, em um trabalho onde se necessite de maior precisão, não hesite:
utilize as regras mais precisas!
Para não confundi-lo e para que você possa treinar dentro da realidade que vai
encarar de imediato, daqui para frente, neste trabalho, só vamos utilizar as regras empre-
gadas pela maioria. A única exceção é o exemplo resolvido 1.4 logo em seguida.
EXEMPLO 1.4
Determinar o comprimento C da circunferência de uma polia cujo diâmetro é dado
por 4,28 mD = .
SOLUÇÃO:
O diâmetro tem três algarismos significativos, de modo que, pela 8ª regra da seção
1.10, vamos considerar o valor de
3,1415926535897932384626433832795pi = …
tendo quatro algarismos significativos, isto é,
3,142pi =
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 83
A Geometria nos fornece
3,142 4, 28 13, 447... 13,4 mC Dpi= = × = =
Se raciocinarmos em termos de 4,28 mD = possuir três algarismos significativos,
e utilizarmos pi também com três algarismos significativos, obteremos
3,14 4, 28 13, 439... 13,4 mC Dpi= = × = =
Se utilizarmos
pi com todos os dígitos da calculadora e arredondarmos no final,
teremos
3,141592654 4, 28 13, 446... 13, 4 mC Dpi= = × = =
Repare que não há diferença entre os resultados e que somente um cálculo onde se
exija maior precisão, pelo que se aplicaria também a regra mais precisa para a multipli-
cação de números decimais, justificaria o primeiro procedimento. Senão, vejamos:
3,142 4, 28 13, 447... 13,45 mC Dpi= = × = =
3,14 4, 28 13, 439... 13,44 mC Dpi= = × = =
3,141592654 4, 28 13,446... 13,45 mC Dpi= = × = =
EXEMPLO 1.5
Deseja-se determinar experimentalmente o valor de pi e para tanto mediu-se o
valor do comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro, encontrando-se, respecti-
vamente, 6,36 dmC = e 2,025 dm,D = conforme ilustrado na figura 1.114. Encontre o
valor de pi com o número adequado de algarismos significativos.
Fig. 1.114
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 84
SOLUÇÃO:
A Geometria nos fornece
CC D
D
pi pi= → =
Substituindo os dados e fazendo as contas com uma calculadora formatada para
apresentar dez dígitos nos resultados, obtemos
6,36 3,140740741
2,025
C
D
pi = = =
No entanto, o valor desta grandeza com dez dígitos é
3,141592654pi =
de modo que o valor encontrado parece divergir do valor mais provável acima. A apa-
rente incoerência é sanada se atentarmos para o fato que o fator menos preciso, que é o
numerador da fração, tem três algarismos significativos, de modo que o resultado en-
contrado na calculadora também deve ter este número de significativos, tornando-se:
3,14pi =
Respeitando-se o limite de três algarismos significativos, nosso resultado está em
acordância com o valor mais provável utilizando-se o mesmo número de significativos,
ou seja,
3,14pi =
EXEMPLO 1.6
Na figura 1.115 temos um peso 200 NP = , conhecido com precisão até a casa das
unidades, e desejamos determinar as trações nas cordas, supondo-as inextensíveis e sem
massa.
Fig. 1.115
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 85
SOLUÇÃO:
A determinação da tração na corda C é imediata:
200 NCT =
As condições para a resultante ser nula conduzem ao seguinte sistema de equa-
ções:
cos 45,0º cos30,0º 0
sen 45,0º sen 30,0º 200
B A
B A
T T
T T
− =
+ =
Para determinar as intensidades das trações nas cordas A e B, devemos substituir
os valores das linhas trigonométricas com o número apropriado de algarismos significa-
tivos e resolver o sistema de equações. O peso de 200 N está expresso com três algaris-
mos significativos, bem como os ângulos, de modo que é com este número de algaris-
mos que vamos considerar as linhas trigonométricas a partir dos valores obtidos em uma
calculadora:
sen 30,0º 0,500
sen 45,0º 0,707
cos30,0º 0,866
cos 45,0º 0,707
=
=
=
=
Substituindo no sistema de equações, obtemos
0,707 0,866 0
0,707 0,500 200
B A
B A
T T
T T
− =
+ =
(1)
(2)
Da equação (1), tiramos
0,707 0,707 0,866 0,816
0,866B A A B A B
T T T T T T= → = → = (3)
Substituindo (3) em (2), obtemos
0,500(0,816 ) 0,707 200 0,408 0,707 200B B B BT T T T+ = → + = →
200
179,37... 179 N
1,115B B
T T→ = → = = (4)
Substituindo (4) em (3), encontramos
0,816 179 146 NAT = × =
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 86
EXEMPLO 1.7
Em um problema de Cinemática, um móvel é atirado verticalmente para cima com
velocidade inicial 0v . A equação de velocidade para o movimento é
0v v gt= −
em que g é a aceleração da gravidade e t é tempo de trajeto do móvel, contado a partir
do ponto de lançamento. Para determinar o tempo necessário para atingir a altura máxi-
ma, ou seja, o tempo de subida, basta fazer-se v 0= na equação acima, uma vez que no
ponto mais alto da trajetória a velocidade se anula instantaneamente, o que nos conduz a
0
0 sub sub
v0 v gt t
g
= − → =
Determine o tempo de subida do móvel, com o número correto de algarismos sig-
nificativos, para cada um dos seguintes conjuntos de valores:
(a) 0 2
v 50 m / s
9,8 m / sg
=
=
; (b) 0 2
v 50,0 m / s
9,80 m / sg
=
=
SOLUÇÃO:
(a) 0sub
v 50 5,10... 5,1 s
9,8
t
g
= = = =
(b) 0sub
v 50,0 5,102... 5,10 s
9,80
t
g
= = = =
EXEMPLO 1.8
No exemplo precedente, a equação que Torricelli para o movimento é
2 2
0v v 2gh= −
em que h é a altura do móvel contada a partir do ponto de lançamento. Para determinar a
altura máxima atingida, basta fazer-se v 0= na equação acima, uma vez que no ponto
mais alto da trajetória a velocidade se anula instantaneamente, o que nos leva a
2
2 0
0 max max
v0 v 2
2
gh h
g
= − → =
Determine a altura máxima atingida pelo móvel, com o número correto de algaris-
mos significativos, para cada um dos seguintes conjuntos de valores:
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 87
(a) 0 2
v 50 m / s
9,8 m / sg
=
=
; (b) 0 2
v 50,0 m / s
9,80 m / sg
=
=
SOLUÇÃO:
(a) ( ) ( )
22
2 20
max
50v 1, 27... 10 1,3 10 m
2 2 9,8
h
g
= = = × = ×
×
(b) ( ) ( )
22
2 20
max
50,0v 1,275... 10 1, 28 10 m 128 m
2 2 9,80
h
g
= = = × = × =
×
EXEMPLO 1.9
Calcular, com o número correto de algarismos significativos, o valor da grande-
za “v” dada pela expressão
2
1
0
2 3
v
v v
v v
= +
−
,
sabendo-se que
6
0
8
1
3
2
5
3
v 1, 23 10 cm/s
v 2,00 10 cm/s
v 4,70 10 km/s
v 6,51 10 m/s
= ×
= ×
= ×
= ×
SOLUÇÃO:
Exprimamos, previamente, em um mesmo sistema de unidades todas as
grandezas dadas. Ora, 0v e 1v estão expressas em cm/s, enquanto que 2v e 3v estão ex-
pressas em km/s e m/s, respectivamente. Exprimamos, então, 2v e 3v também em cm/s.
3 8
2
5 7
3
v 4,70 10 km/s 4,70 10 cm/s
v 6,51 10 m/s 6,51 10 cm/s
= × = ×
= × = ×
Substituindo, agora, os valores numéricos na expressão dada de v,
2
1
0
2 3
v
v v
v v
= +
−
,
temos
Física Experimental 1- Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 88
( )
( )
28 16
6 6
8 7 7
2,00 10 4,00 10
v 1,23 10 1, 23 10
4,70 10 6,51 10 47,0 6,51 10
× ×
= × + = × + =
× − × − ×
9 6 9 7 7
6 4,00 10 49,8 10 4,00 10 4,98 10 400 101,23 10
40,5 40,5 40,5
× × + × × + ×
= × + = = =
7
7405 10 10,0 10 cm/s
40,5
×
= = ×
EXEMPLO 1.10
Calcular, com o número correto de algarismos significativos, o valor da grande-
za v dada pela expressão
( ) ( )0 1 10v log f tλ λτ
−
=
sabendo-se que
6
0
8
1
3
2 1
5
3,06 10 m
3,08 10 cm
s
s
2,00 10 s
f
t
λ
λ
τ
−
−
= ×
= ×
= 50,3×10
= 5,00×10
= ×
SOLUÇÃO:
Exprimamos, primeiramente, 1λ em metros, ou seja,
8 6
1 3,08 10 cm 3,08 10 mλ = × = ×
Substituindo os valores numéricos na expressão dada, temos
( )6
6 2 51033,06 10 3,08 10v log 5,00 2,00 1050,3 −
× − ×
= ×10 × × =
×10
( ) ( )6 3310 103(3,06 3,08) 10 0,02 10log 10,0 10 log 0,010050,3 50,3−
− × − ×
= × = =
×10
( )( ) ( )( )30,0004 10 2,000 0, 4 2,000 0,8 m/s= − × − = − − =
Física Experimental 1- Professores Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira e José Carlos
da Silva.
89
EXEMPLO 1.11
No circuito representado na figura 1.116, temos uma bateria de força eletromotriz
é 21,0 10 V= ×E e resistência interna 5,0 r = Ω alimentando um resistor 15,0 R = Ω .
Pede-se determinar:
(a) O valor da corrente elétrica do circuito, sabendo-se que sua expressão é i
R r
=
+
E
.
(b) O valor da potência elétrica total do gerador, sabendo-se que sua expressão é
totalP i= E .
(c) O valor da potência elétrica entregue ao resistor R, sabendo-se que sua expressão é
2
útilP i ri= −E .
(d) O rendimento do gerador, sabendo-se que sua expressão é útil
total
P
P
η = .
(e) A diferença de potencial entre os terminais do resistor R, sabendo-se que sua ex-
pressão é Vba Ri= .
Fig. 1.116
SOLUÇÃO:
(a)
2 21,0 10 1,0 10 5,0
15,0 5,0 20,0
i
R r
× ×
= = = =
+ +
E A
(b)
2 2
total 1,0 10 5,0 5,0 10 WP i= = × × = ×E
(c)
Física Experimental 1- Professores Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira e José Carlos
da Silva.
90
( )22 2 2útil 1,0 10 5,0 5,0 5,0 5,0 10 5,0 25P i ri= − = × × − × = × − × =E
2 2 25,0 10 1,3 10 3,7 10 W= × − × = ×
(d)
2
útil
2
total
3,7 10 0,74 74%
5,0 10
P
P
η ×= = = =
×
(e)
baV 15,0 5,0 75 VRi= = × =
EXEMPLO 1.12
Em uma experiência típica de movimento retilíneo uniforme (MRU), realizada em
um trilho de ar, coletamos em uma tabela as posições dos fotosensores e os intervalos
de tempo assinalados pelos cronômetros, conforme indicado a seguir. Pede-se completar
a tabela levando em conta o número correto de algarismos significativos
Sensores
fotoelétricos
Posições dos
sensores
fotoelétricos
x (cm)
Medidas dos intervalos de
tempo entre os sensores
fotoelétricos (s)
Tempo t
(s)
Cálculos das
velocidades
instantâneas
v = x/t (cm/s)
1 0
0
2
20,0
1 2t →∆ = 0,465 1 2t t →= ∆ =
=
3
40,0
2 3t →∆ = 0,469 1 2 2 3t t t→ →= ∆ + ∆ =
=
4 60,0
3 4t →∆ = 0,473 1 2 2 3
3 4
t t t
t
→ →
→
= ∆ + ∆ +
+ ∆ =
5 80,0
4 5t →∆ = 0,479 1 2 2 3
3 4 4 5
t t t
t t
→ →
→ →
= ∆ + ∆ +
+ ∆ + ∆ =
Tab. 1.1
SOLUÇÃO:
Física Experimental 1- Professores Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira e José Carlos
da Silva.
91
Os valores completados na tabela estão representados em vermelho e em negrito.
Sensores
fotoelétricos
Posições dos
sensores
fotoelétricos
x (cm)
Medidas dos intervalos de
tempo entre os sensores
fotoelétricos (s)
Tempo t
(s)
Cálculos das
velocidades
instantâneas
v = x/t (cm/s)
1 0
0
2
20,0
1 2t →∆ = 0,465 1 2t t →= ∆ =
= 0,465
43,0
3
40,0
2 3t →∆ = 0,469 1 2 2 3t t t→ →= ∆ + ∆ =
= 0,934
42,8
4 60,0
3 4t →∆ = 0,473 1 2 2 3
3 4
t t t
t
→ →
→
= ∆ + ∆ +
+ ∆ = 1,407
42,6
5 80,0
4 5t →∆ = 0,479 1 2 2 3
3 4 4 5
t t t
t t
→ →
→ →
= ∆ + ∆ +
+ ∆ + ∆ = 1,886
42,4
Tab. 1.2
Pelos resultados, verificamos que a velocidade do corpo é quase constante, e a pe-
quena diminuição notada em seu valor se deve à pequena, porém não nula, resistência
do ar encontrada pelo carrinho ao se deslocar sobre o trilho de ar.
EXERCÍCIOS, QUESTÕES E PROBLEMAS
1.1- Defina o que é Metrologia.
1.2- Qual é a diferença entre a calibração e ajustagem de um instrumento ou de um
aparelho?
1.3- Cite as vantagens proporcionadas tanto pela calibração quanto pela ajustagem dos
equipamentos de medição.
1.4- O que é uma grandeza?
1.5- O que é uma medição ou mensuração?
1.6- O que é um mensurando?
1.7- O que é uma medida?
1.8- O que é uma unidade de medida?
Física Experimental 1- Professores Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira e José Carlos
da Silva.
92
1.9- O que é um padrão metrológico?
1.10 - Explique o que são o padrão primário, o padrão secundário e o padrão de traba-
lho.
1.11- O que é a exatidão de uma medição?
1.12- Quando é que se diz que um instrumento ou aparelho tem boa exatidão de medi-
ção?
1.13- O que é a incerteza de medição?
1.14- Quais são os tipos de medição?
1.15- Defina e exemplifique uma medição direta simples.
1.16- O que é uma medição instrumental?
1.17- Diferencie a medição instrumental direta da indireta e exemplifique..
1.18- Defina e exemplifique uma medição indireta simples.
1.19- O período do pêndulo simples é determinado empregando-se a conhecida fórmula
2T l gpi= . Cite o maior número, que você lembrar, de fenômenos que podem acar-
retar erros no período do pêndulo, explicando a influência de cada um e indicando quais
propiciam erros sistemáticos e quais induzem erros aleatórios.
1.20- Em uma disputa de pênaltis, os cinco batedores de um determinado time chutaram
as bolas conforme indicado nas situações seguintes. Nunca se viu goleiro algum defen-
der um pênalti nos cantos superiores altos, também chamados de ângulos, gavetas,
ninhos de coruja, etc. Portanto, dentro de uma hierarquia parecida com a do tiro-ao-
alvo, estas pequenas regiões serão equiparadas à mosca, tanto que a cor vai clareando à
medida que nos afastamos das mesmas. Baseando-se nestas considerações como você
classificaria cada conjunto de “batidas” no que respeita à exatidão e à precisão?
Fig. 1.117 - Conjunto A Fig. 1.118 - Conjunto B
Física Experimental 1- Professores Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira e José Carlos
da Silva.
93
Fig. 1.119 - Conjunto C
Fig. 1.120 - Conjunto D
Fig. 1.121 - Conjunto E Fig. 1.122 - Conjunto F
1.21- Estabeleça de forma sucinta a diferença entre erro e desvio.
1.22- Indicaremos a seguir algumas grandezas físicas mensuráveis. Verifique quais po-
dem estar afetadas de erro ou desvio.
(a) a medida da soma dos ângulos formados pela interseção de duas retas quaisquer.
(b) a medida da temperatura do corpo humano.
(c) a medida de um determinado intervalo de tempo.
Física Experimental 1- Professores Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira e José Carlos
da Silva.
94
(d) a medida da temperatura de fusão do gelo sob pressão normal.
(e) a medida de uma determinada massa.
(f) a medida do diâmetro de uma esfera.
(g) a medida da densidade relativa da água.
1.23- Medindo-se várias vezes, com uma mesma régua e empregando-se a mesma técni-
ca, a distância d entre dois pontos fixos, A e B, encontraram-se os seguintes valores:
1
2
3
4
5
21,23 cm
21, 25
cm
21,28 cm
21, 27 cm
21,22 cm
d
d
d
d
d
=
=
=
=
=
(a) Qual é o valor mais provável que as medidas efetuadas nos permitem atribuir à dis-
tância?
(b) Qual é a menor subdivisão da régua utilizada?
(c) Determinar o desvio de cada medida, considerando-se como valor teórico da distân-
cia d entre os pontos A e B o valor mais provável que as medidas efetuadas permitem
atribuir a d.
1.24- Calcular o desvio relativo e o desvio percentual da terceira medida do problema
precedente, considerando-se como valor teórico da distância d entre os pontos A e B o
valor mais provável que as medidas efetuadas permitem atribuir a mesma.
1.25- Utilizando-se um goniômetro, foram medidos os dois ângulos internos agudos de
um triângulo retângulo, encontrando-se:
�
�
58º35 '
30º15'
β
γ
=
=
Pede-se determinar os erros absoluto, relativo e percentual de � �S β γ= + .
Fig. 1.123
Física Experimental 1- Professores Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira e José Carlos
da Silva.
95
1.26- A figura 1.123 representa, esquematicamente, a catapulta de um porta-aviões mo-
derno. Esse sistema totalmente acionado por vapor pode acelerar um avião de 20 ton, de
0 a 22,6 10 km h× em 2,0 s. Supondo ser de 10%± o erro percentual cometido na de-
terminação de tal velocidade, pede-se determinar entre que extremos estará o valor mais
provável da velocidade do avião.
1.27- Estime o comprimento do lápis da figura 1.124, com o número correto de algaris-
mos significativos, utilizando uma régua milimetrada, indicando também a incerteza da
medida e considerando-a como sendo igual à metade da menor divisão da escala.
Fig. 1.124
1.28- Estime o comprimento da moeda da figura 1.125, com o número correto de alga-
rismos significativos, utilizando uma régua milimetrada, indicando também a incerteza
da medida em sua opinião. Como seria expressa a medida se a incerteza considerada for
metade da menor divisão da escala? Comente os resultados.
Fig. 1.125
1.29- Estime o comprimento do besouro da figura 1.126, com o número correto de alga-
rismos significativos, utilizando uma régua milimetrada, indicando também a incerteza
da medida em sua opinião. Como seria expressa a medida se a incerteza considerada for
metade da menor divisão da escala? Comente os resultados.
Fig. 1.126
1.30- Reescreva cada uma das seguintes medidas em sua forma mais adequada:
Física Experimental 1- Professores Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira e José Carlos
da Silva.
96
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
19 21
37 9
3061,97 50 J
1,61 10 3 10 C
3,147 10 43 g . cm s 5,7583 10 4 10 kg
4,02 0,0342
v 7,6318453 0,01364 m s
32,51 0, 4 m
32,51 4 m
32,51 40 m
Eq
pm
h
x
x
x
− −
− −
± × ± ×
× ± × ± ×
± ±
±
±
±
==
==
==
=
=
(g) (a)
(h) (b)
(i) (c)
(d)
(e)
(f) =
( )
( )
( )
( )
19 20
9 m
1,6384 1 s
3,24 10 2,63 10 C
0,000000864 0,00000009 m
t
q
λ
− −
±
− × ± ×
±
(j)
(l)
(m)
=
=
=
1.31- Dizer o número de algarismos significativos que figuram em cada uma das expres-
sões seguintes:
2 3
53
30º
3,2 m min 0,150 m
cm
45min
v 1,020km h 3,00 10 kgf
5,20 10 km
A v
t P
ϕ
λ
= = = 0,0093
= = = ×= ×
(g)(a) (c) (e)
(b) (f) (h)(d)
1.32- Efetuar, com o número correto de algarismos significativos, as operações indica-
das a seguir:
33,2 0,51 513 0,83;
em que 513 não é inteiro e exato
45,10 1,15 0, 235 0,003
4 150,038573;
em que 4 não é inteiro e exato
0,05000 0,105
0,05000 0,105
38º 3º15';
em que 38º não é exat
+ + +
+ − +
×
×
÷
−
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
( )
( )
3
3
5
em que 9 não é exato, mas sim
45,0 9;em que 9 é exato
14 2,35 10 ;
em que 14 não é exato
14 2,35 10 ;
em que 14 é inteiro e exato
3,16 10 238;
em que 238 não éo
45,0 9;
÷
÷ ×
÷ ×
× ÷
÷
(h)
(i)
(j)
(l)
(g)
( )
3
7
1,29
39, 452;
em que o índice da raiz
é exato.
2 ;sendo a base e o
expoente inteiros e exatos
3,8434
log 46,4
exato ln 26
ln13,876
8,17
(n)
(o)
(p)
(q)
(r)
(s)(m)
1.33- Calcule a soma seguinte com o número certo de algarismos significativos,
1 2 3 4 5m m m m m m= + + + +
em que
1
2
3
4
5
12441g
57,91g
1,987g
0,0031g
119, 20g
m
m
m
m
m
=
=
=
=
=
¨
1.34- Determine a área de um retângulo cujas dimensões são 6, 43 m e m,b h= = 3,2 a
Física Experimental 1- Professores Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira e José Carlos
da Silva.
97
partir da expressão .A bh=
1.35- Determine o comprimento de um arco de circunferência de raio 32,3687m,r =
sabendo-se que o mesmo subtende um ângulo 2,08 radφ = , a partir de expressão .l rφ=
1.36- Uma mola de constante elástica 20 N mk = é comprimida de 15 cmx = . Determi-
ne a energia potencial armazenada na mesma a partir da expressão ( )
e
2
p 1 2E kx= .
1.37- Um corpo de massa 1,0 kgm = está suspenso por duas molas idênticas, associadas
em paralelo, tendo ambas constantes elásticas 50 N m.k = Considerando 29,8m s ,g =
determine a distensão do conjunto sabendo-se que sua expressão é
2
mg
x
k
= .
1.38- Determine a energia de repouso de um elétron de massa 319,11 10 kgm −= × , saben-
do-se que sua expressão é 2E mc= e que a velocidade da luz no vácuo é um valor exato
dado por 8299 792 458m s 2,99792458 10 m sc = = × .
1.39- Determine o período de um pêndulo simples de comprimento 2,000 ml = em um
local onde a aceleração da gravidade é 29,80m sg = , sabendo-se que sua expressão é
2T l gpi= .
1.40- Calcule, com três algarismos significativos, o valor da grandezaτ dada pela ex-
pressão
0 1
gt
λ λ
τ
−
=
sabendo-se que
8
0
3
1
2
3
1,60 10 m
58,0 10 km
g 980cm s
10,2 10 st
λ
λ
−
= ×
= ×
=
= ×
1.41- Calcule, com dois algarismos significativos, o valor da grandeza G dada pela ex-
pressão,
vW G
Ft
=
sabendo-se que
Física Experimental 1- Professores Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira e José Carlos
da Silva.
98
31,0 10 J
v km h
1,0N
10 s
W
F
t
− = ×
= 7,2
=
=
1.42- Calcule, com dois algarismos significativos, o valor da força F dada pela ex-
pressão
2F
pi µ
ϕ
=
sabendo-se que
3
3 2
3,14159
1,80g cm
12,003 10 s m
pi
µ
ϕ −
=
=
= ×
1.43- Calcule o valor da força F dada pela seguinte expressão:
( )
( )
0 1
0 1
v m m
F
t
λ
λ λ
−
=
−
sabendo-se que
0
1
0
1
21,72 kg
21,609 kg
v m / s
41 cm
2,1 m
4,0 mm
min
m
m
t
λ
λ
λ
=
=
= 0,0212
=
=
=
= 1,2
1.44- Quando uma diferença de potencial suficientemente alta é aplicada entre dois ele-
trodos no interior de um tubo de raios catódicos) estabelece-se, em decorrência, uma
descarga elétrica. O gás se ioniza, com os eletrons movendo-se para o terminal positivo
(de maior potencial) e os íons positivos para o terminal negativo. A intensidade da
corrente total em ampères (símbolo A) é determinada sabendo-se que, a cada segundo,
atravessam uma seção transversal do tubo 183,1 10× elétrons e 181,1 10× prótons e que a
carga elétrica fundamental é igual a 191,6 10 Ce −= × , o que nos conduz à seguinte ex-
pressão:
( )18 18 19
elétrons prótons
3,1 10 1,1 10 1,6 10
1,0
qi i i
t
−× + × × ×∆
= + = =
∆
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99
Determine o valor da corrente elétrica que atravessa o tubo.
1.45- Um elemento não linear tem uma característica i V× (corrente versus voltagem)
definida pela expressão
3i a V b V= +
na qual 3 18,0 10a − −= × Ω , 4 1 25,0 10b V− − −= × Ω , a corrente i está expressa em ampères
(símbolo A) e a tensão ou voltagem V está expressa em volts (símbolo V).
(a) Construa uma tabela de valores da função ( )i f V= para os valores do intervalo de
tensões 0 8,0 VV≤ ≤ .
(b) Sabendo-se que a resistência estática do elemento tem por expressão
e 3 2 3 4 2
1 1
8,0 10 5,0 10
V VR
i a V b V a b V V− −
= = = =
+ + × + ×
e que a resistência dinâmica é dada por
( )d 2 3 3 23
1 1 1 1
3 8,0 10 1,5 10
dVR di ddi a bV V
a V b V
dV dV
− −
= = = = =
+ × + ×+
,
determine os valores dessas grandezas para 4,0 VV = , sabendo-se que a unidade de
resistência elétrica é o ohm (símbolo Ω ).
1.46- A corrente em um diodo, em função da tensão de placa (tensão de filamento cons-
tante), segue a lei de Child,
na qual K é uma constante que depende das características geométricas dos eletrodos,
sendo que para o presente diodo temos 5 1 1 27,0 10 VK − − −= × Ω , a corrente i está expressa
em ampères (símbolo A) e a tensão ou voltagem V está expressa em volts (símbolo V).
(a) Construa uma tabela de valores da função ( )i f V= para os valores do intervalo de
tensões 20 6,0 10 V.V≤ ≤ ×
(b) Sabendo-se que a resistência estática do elemento tem por expressão
e 3 1 152 22
1 1
7,0 10
V VR
i K V VK V −
= = = =
×
e que a resistência dinâmica é dada por
3
2i K V=
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100
( )d 1 13 1 5 52 22 2
1 1 1 2 2
3 3 7,0 10 21 10
2
dVR di ddi V VK V K V
dV dV
− −
= = = = = =
× × ×
determine os valores dessas grandezas para 22,0 10 VV = × , sabendo-se que a unidade
de resistência elétrica é o ohm (símbolo Ω ).
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS, QUESTÕES E PROBLEMAS
1.1- A Metrologia é a ciência das medições e medidas, abrangendo todos os aspectos
teóricos e práticos relativos às medições, em quaisquer campos da ciência ou da tec-
nologia.
1.2- A calibração é a comparação entre os valores indicados por um instrumento de
medição e os indicados por um padrão (equipamento de classe superior) e a ajustagem
é a tarefa de regular um instrumento de medição com vistas a diminuir os erros de me-
dição.
1.3- São as seguintes:
a) garantir a rastreabilidade das medições;
b) permitir a confiança nos resultados medidos;
c) reduzir a variação das especificações técnicas dos produtos;
d) prevenir defeitos;
e) compatibilizar as medições.
1.4- É o atributo físico de um corpo que pode ser qualitativamente distinguido e quanti-
tativamente determinado. Também podemos dizer que uma grandeza física é um ele-
mento convencionalmente introduzido com o objetivo puro e simples de facilitar o estu-
do e a descrição de um fenômeno ou de um grupo de fenômenos, sendo tal elemento
suscetível de definição quantitativa e determinação quantitativa.
1.5- É o conjunto de operações que tem por objetivo determinar o valor de uma grande-
za.
1.6- É o objeto da medição, isto é, a grandeza específica submetida à medição.
1.7- É o resultado da medição de uma grandeza, sendo pois o valor atribuído a um men-
surando obtido através da medição.
1.8- É uma grandeza específica, definida e adotada por convenção, com a qual outras
grandezas de mesma natureza são comparadas a fim de expressar seu tamanho relati-
Física Experimental 1- Professores Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira e José Carlos
da Silva.
101
vamente àquela grandeza de referência ou padrão.
1.9- É um instrumento de medição ou uma medida materializada, destinado a reproduzir
uma unidade de medida para servir como referência.
1.10- O padrão primário é o padrão reconhecido como tendo a mais alta qualidade me-
trológica e cujo valor é aceito sem referência a outro padrão. O padrão secundário é
aquele cujo valor é estabelecido pela comparação direta com o padrão primário. O pa-
drão de trabalho é o padrão de referência disponível em uma certa indústria, empresa ou
estabelecimento comercial e que foi obtido através de uma longa cadeia de comparações
de padrões, iniciada no padrão primário.
1.11- É o grau de concordância entre o resultado de uma medição e o seu valor verda-
deiro convencional.
1.12- Quando ele acarreta pequenos erros de medição quando utilizado adequadamente.
1.13- É o parâmetro associado ao resultado de uma medição que caracteriza a dispersão
de valores que podem ser atribuídos a um mensurando.
1.14- Direta simples, instrumental direta ou indireta e indireta simples.
1.15- É a comparação da grandeza a ser medida com uma grandeza de mesma natureza
adotada como unidade ou como padrão, ou seja, quantas vezes esta cabe naquela. Exem-
plos: a medição de um terreno a passo, a contagem do número de dias de duração de um
determinado fenômeno e a determinação da massa de um corpo utilizando uma balança
mecânica de pratos e massas de referência.
1.16- É a mensuração de uma grandeza por intermédio de um efeito produzido, sob con-
dições controladas, em um instrumento ou aparelho de medição.
1.17- Na forma direta é quando o processo envolve apenas o aparelho e o sistema a ser
analisado. Na forma indireta, são envolvidos outros aparelhos ou dispositivos, que fa-
zem a interface entre o sistema sob análise e o aparelho de medição, isto é, quando este
último não é diretamente sensibilizado pelo efeito da grandeza a ser medida.
Exemplos de medições instrumentais diretas: a medição da temperatura de um
corpo utilizando um termômetro de mercúrio ou de álcool, a medição da intensidade de
uma força utilizando um dinamômetro, e a medição da corrente elétrica em um ramo de
um circuito pelo emprego de um amperímetro.
Exemplos de medições instrumentais indiretas: a medição de corrente e a medição
de tensão em subestações, feitas, respectivamente, por um amperímetro e um voltí-
metro, sensibilizados pelas imagens das grandezas a serem medidas, que foram Forné-
cidas, correspondentemente, por transformadores de corrente e por transformadores de
potencial.
1.18- É a que resulta da aplicação de uma relação matemática que vincula a grandeza a
ser medida com outras grandezas obtidas por medição, quer de forma direta simples
quer instrumental. Exemplos de medições indiretas simples: a determinação da área de
Física Experimental 1- Professores Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira e José Carlos
da Silva.
102
uma página, da velocidade média de um móvel a da aceleração da gravidade através da
fórmula do período de um pêndulo simples.
1.19-
1º) Atrito na suspensão: aumenta o período – erro sistemático por excesso (para mais).
2º) Resistência do ar: aumenta o período – erro sistemático por excesso.
3º) Temperatura: dilata ou diminui o comprimento – erro sistemático por excesso (para
mais) ou por falta (para menos), respectivamente; induz correntes de ar (vento) – erro
sistemático ou erro aleatório, dependendo do tempo de medida.
4º) Altitude: reduz o valor de g e aumenta o período – erro sistemático por excesso.
5º) Latitude: o efeito centrífugo reduz o valor de g e aumenta o período – erro sistemá-
tico por excesso.
6º) Umidade do ar: oxida a suspensão ou incha a massa do pêndulo – erro sistemático e
erro aleatório, respectivamente.
7º) Corrente de ar: altera o equilíbrio térmico e com isso altera o comprimento – erro
sistemático por excesso ou por falta; move o pêndulo - erro aleatório.
8º) Terremoto e vibração em geral: alteram as condições dinâmicas do pêndulo – erro
aleatório.
9º) Erros de medida do período (erros de cronômetro) – erros sistemáticos e/ou erros
aleatórios (o cronômetro, por sua vez, é afetado por diversas causas).
10º) Pertubação eletromagnética (ruído elétrico, indução, etc.): altera o período através
de forças magnéticas (em materiais magnéticos) ou magnetoestrictivas – erro aleatório.
11º) Atuação do próprio operador: ao mover-se provoca correntes de ar, vibrações, etc.)
– erro aleatório.
12º) Luz ambiente (do sol ou de uma lâmpada): aquece o pêndulo, aumentando o seu
comprimento e, consequentemente, o seu período – erro sistemático ou erro aleatório,
dependendo do tempo de medida.
13º) Efeitos relativísticos (contração de Lorentz36, reduzindo o comprimento do pêndu-
lo, e o aumentando a massa com o aumento da velocidade): desprezíveis, a menos que
36
Lorentz [Hendrik Antoon Lorentz (1852-1928)] - físico e matemático holandês, ganhador do Prêmio
Nobel de 1902 por suas pesquisas sobre a influência do magnetismo sobre as radiações. Ele contribuiu
notavelmente em outros ramos da Física, e foi, juntamente com o físico inglês Heaviside, quem mais
propiciou a clarificação da teoria de Maxwell entre outras coisas.
Física Experimental 1- Professores Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira e José Carlos
da Silva.
103
as experiências se façam presentes em laboratórios se deslocando relativamente com ve-
locidades que não sejam desprezíveis em presença da velocidade da luz – erros sistemá-
ticos.
1.20-
• Conjunto A: grande (muita) exatidão e grande (muita) precisão.
• Conjunto B: grande (muita) exatidão e pequena (pouca) precisão.
• Conjunto C: pequena (pouca) exatidão e grande (muita) precisão.
• Conjunto D: pequena (pouca) exatidão e pequena (pouca) precisão.
• Conjunto E: exatidão razoável (se fosse boa, teria acertado no gol dentro de
uma das faixas sombreadas) e pequena (pouca) precisão.
• Conjunto F: exatidão razoável (se fosse boa, teria acertado no gol dentro de
uma das faixas sombreadas) e grande (muita) precisão.
1.21- Erro é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor va-
lor real, valor verdadeiro ou valor correto da mesma. Desvio é a diferença entre um
valor obtido ao se medir uma grandeza e um valor adotado que mais se aproxima do va-
lor real, valor verdadeiro ou valor correto, sendo que tal valor adotado é denominado
valor mais provável da grandeza. Na prática trabalha-se, na maioria das vezes com
desvios e não com erros, mas costuma-se dizer que estão sendo determinados erros, em-
bora isso não esteja rigorosamente correto.
1.22-
(a) Erro, uma vez a soma dos ângulos formados pela interseção de duas retas concor-
rentes (360º) é um valor verdadeiro.
(b) Erro, uma vez que o ponto fixo do gelo ( 0º C ou32º F ) é um valor verdadeiro.
(c) Desvio, uma vez que o tempo é uma grandeza relativa e além do mais não existe a
priori um valor exato pré-definido para um intervalo de tempo genérico.
(d) Erro, uma vez que o ponto fixo do gelo ( 0º C ou32º F ) é um valor verdadeiro.
(e) Desvio, uma vez que só conseguimos determinar o valor mais provável para uma
determinada massa. Para uma pequena massa, por exemplo, utilizando uma balança, re-
alizamos diversas medições e, promediando os valores obtemos o valor mais provável
para a grandeza em questão, mas não o seu valor verdadeiro.
Heaviside [Oliver Heaviside (1850-1925)] - físico inglês cujos trabalhos, juntamente com outros devidos
a Lorentz, serviram de base para a Teoria da Relatividade Restrita.
Física Experimental 1- Professores Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira e José Carlos
da Silva.
104
(f) Desvio, uma vez que só conseguimos determinar o valor mais provável para o dia-
metro da esfera. Para uma pequena esfera, por exemplo, utilizando um micrômetro ex-
terno, realizamos diversas medições e, promediando os valores, obtemos o valor mais
provável para a grandeza em questão, mas não o seu valor verdadeiro.
(g) Erro, já que o valor 3 331,0g cm 1,0 10 kg m= × , que é o valor de referência, é consi-
derado como sendo um valor verdadeiro.
1.23- (a) mp 21, 25 cm;d d= = (b) 1,0 mm; (c) 0,02 cm− ; 0,00 cm ; 0,03 cm ; 0,02 cm ;
0,03 cm−
1.24- 0,001; 0,1%
1.25- 1º10 '− ; 0,013− ; 1,3%−
1.26- 22,4 10 km h× e 22,9 10 km h×
1.27- Além dos algarismos corretos 5 e 7, devemos incluir uma estimativa do algarismo
duvidoso. Optando pelo algarismo 5, ficamos, então, com 57,5 mm 5,75 cm.= Avali-
ando a incerteza em 0,1 mm = 0,01 cm, ficamos com ( )5,75 0,01 cm± , o que indica um
comprimento variando entre 5,74 cm e 5,76 cm. Se adotarmos como incerteza a metade
da menor divisão da escala, que é 0,5 mm = 0,05 cm, ficamos com ( )5,75 0,05 cm± , o
que leva a um comprimento excursionando entre 5,70 cm e 5,80 cm. Apesar desta últi-
ma ser muitas vezes adotada na prática, torna-se uma aproximação exagerada para a in-
certeza, conforme se depreende da observação da figura correspondente.
1.28- Além dos algarismos corretos 1 e 9, devemos incluir uma estimativa do algarismo
duvidoso. Optando pelo algarismo 2, ficamos, então, com 19,2 mm = 1,92 cm. Avali-
ando a incerteza em 0,1 mm = 0,01 cm, ficamos com ( )1,92 0,01 cm± , o que indica um
comprimento variando entre 1,91 cm e 1,93 cm. Se adotarmos como incerteza a metade
da menor divisão da escala, que é 0,5 mm = 0,05 cm, ficamos com ( )1,92 0,05 cm± , o
que leva a um comprimento excursionando entre 1,87 cm e 1,97 cm. Apesar desta últi-
ma ser muitas vezes adotada na prática, torna-se uma aproximação exagerada para a in-
certeza, conforme se depreende da observação da figura correspondente.
1.29- Além dos algarismos corretos 1 e 5, devemos incluir uma estimativa do algarismo
duvidoso. Optando pelo algarismo 5, ficamos, então, com 15,5 mm = 1,55 cm. Avali-
ando a incerteza em 0,1 mm = 0, 1 cm, ficamos com ( )1,55 0,01 cm± , o que indica um
comprimento variando entre 1,54 cm e 1,56 cm. Se adotarmos como incerteza a metade
da menor divisão da escala, quer é 0,5 mm = 0,05 cm, ficamos com ( )1,55 0,05 cm± , o
que leva a um comprimento entre os limites 1,50 cm e 1,60 cm. Apesar desta última ser
muitas vezes adotada na prática, torna-se uma aproximação exagerada para a incerteza,
conforme se depreende da observação da figura correspondente.
Física Experimental 1- Professores Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira e José Carlos
da Silva.
105
1.30-
(a) ( ) 19 1,61 0,03 10 Cq −± ×=
(b) ( ) 75,76 0,04 10 kgm −± ×=
(c) ( )v 7,632 0,014 m s±=
(d) ( )32,5 0,4 m x ±=
(e) ( )33 4 m x ±=
(f) ( )30 40 mx ±=
(g) ( )3060 50 J E ±=
(h) ( )3100 43 g . cm sp ±=
(i) ( ) 4,02 0,03 mh ±=
(j) ( )1,6 1 st ±= (repare que este é um caso excepcional onde foi mandatória a
inclusão de mais um dígito no valor mais provável).
(l) ( ) ( )19 19 3,2 0,3 10 C ou 3,24 0, 26 10 Cq q− −− ± × − ± × = =
(m) ( ) ( ) ( )7 6 0,9 10 m 0,86 0,09 10 m 0,86 0,09 mλ − − 8,6 ± × ± × ± µ = = =
1.31- 2; 2; 3; 3; 2; 4; 2; 3(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)
1.32-
32
33
3
5
548
3,4042
5,0
46,02
128
6,0 10
6 10 5,68
1,667
5,96
10
0,00525
3, 26
0,476
1,33 10
2,63016
35º
2,86
−
−
−
××
×= 5, 25×10
×
(g)(a) (n)
(h)(b) (o)
(i)(c) (p)
(q)(j)(d)
(r)(e) (l)
(s)(f) (m)
1.33- 12620 gm =
1.34- 221 mA =
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da Silva.
106
1.35- 67,3l = m
1.36- 0,23 J
ep
E =
1.37- 0,098 m 9,8 cmx = =
1.38- 148,19 10 JE −= ×
1.39- 2,84 sT =
1.40- 91,02 10 sτ = ×
1.41- 21, 4 10 m sG −= ×
1.42- 73,9 10 NF = ×
1-43- 66,4 10 NF −= ×
1.44- 0,67 Ai =
1.45-
(a)
( )Ai 0 0,0085 0,020 0,038 0,064 0,10 0,16 0,23 0,32
( )VV 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
Tab. 1.3
(b) e 63 R = Ω e d 31 R = Ω
1.46-
(a)
( )Ai 0 0,070 0,20 0,36 0,56 0,78 1,0
( )210 VV × 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Tab. 1.4
(b) 3e 1,0 10 R = × Ω e 2d 6,7 10 R = × ΩMais conteúdos dessa disciplina
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