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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Aplicadas
Ca´lculo Diferencial e Integral III
Professor E´den Amorim
1 Integrais de linha no plano
E´ preciso conhecer: Campos vetoriais, func¸o˜es vetoriais (curvas parametrizadas).
1.1 Mais um problema de a´rea
A noc¸a˜o de integral de linha, ou integral de contorno, e´ uma generalizac¸a˜o da integral
simples do Ca´lculo I: ao inve´s de integrar um func¸a˜o sobre um intervalo da reta (um
segmento), estabelecemos o que significa integrar uma func¸a˜o (de va´rias varia´veis) sobre
uma curva geral.
Na figura1 a` esquerda, temos a representac¸a˜o geome´trica de uma integral simples da
func¸a˜o positiva y = f(x) sobre o intervalo [a, b]. Como ja´ sabemos, isso representa a
a´rea da regia˜o sob o gra´fico de f restrita ao intervalo em questa˜o. A figura a direita
mostra uma situac¸a˜o ana´loga, mas em dimensa˜o superior: constru´ımos uma regia˜o (na˜o
necessariamente plana) com base na curva C do plano xy e limitada por cima pelo gra´fico
da func¸a˜o positiva z = f(x, y). Observe que podemos descrever essa regia˜o como formada
por segmentos ligando um ponto (x0, y0) ∈ C a seu correspondente (x0, y0, f(x0, y0)).
(a) A´rea de regia˜o plana (b) A´rea de regia˜o sobre uma
curva
Figura 1: Problemas de a´reas
Grosseiramente, a regia˜o a` esquerda pode ser pensada como tendo base [a, b] e altura
varia´vel f(x). Portanto, sua a´rea seria “medida da base × altura”, que e´ representado
precisa e formalmente pela integral
∫ b
a
f(x)dx (base dx de a a b e altura f(x)).
Da mesma forma, a regia˜o a` direita pode ser pensada como tendo base C e altura
varia´vel f(x, y)|C (func¸a˜o f restrita a valores sobre a curva C). Usando novamente a
1Algumas figuras foram extra´ıdas do livro Ca´lculo, vol II, J. Stewart e outras foram produzidas com
o Geogebra 5.0
fo´rmula “medida da base × altura”, gostar´ıamos de escrever de modo preciso e formal o
valor da a´rea dessa regia˜o. E isso pode ser feito com a ideia de integrac¸a˜o.
1.2 Construc¸a˜o
Repetimos a ideia de integrac¸a˜o: dividimos nosso problema em problemas menores,
achamos uma aproximac¸a˜o para cada problema menor, reunimos (ou integramos) todas
as aproximac¸o˜es... e atrave´s de um processo limite, transformamos essa aproximac¸a˜o em
um valor exato. Antes de prosseguir, recomendo rever a construc¸a˜o da integral simples
para tentar fazer um paralelo com a construc¸a˜o de agora.
Figura 2: Partic¸a˜o da curva C e escolha de pontos
1 - Fac¸a uma partic¸a˜o da curva plana C com os pontos P0, P1, · · · , Pi−1, Pi, · · ·Pn. Seja
Pi = (xi, yi) as coordenadas desses pontos no plano e Ci o arco da curva C ligando Pi−1
a Pi. Ale´m disso, seja ∆si e´ o comprimento do arco Ci, a “medida da base”.
2 - Em cada Ci, escolha um ponto P
∗
i = (x
∗
i , y
∗
i ) e calcule a “altura” f(x
∗
i , y
∗
i ).
3 - Com esses dados, construa a superf´ıcie sobre Ci e abaixo do gra´fico de f . Podemos
aproximar a a´rea dessa superf´ıcie por f(x∗i , y
∗
i )∆si (altura × base). Quanto menor o
comprimento do arco Ci, menor tambe´m o erro dessa aproximac¸a˜o.
4 - Reunimos as aproximac¸o˜es para cada i, obtendo uma aproximac¸a˜o para a a´rea da
regia˜o inteira, pela soma de Riemann:
n∑
i=1
f(x∗i , y
∗
i )∆si.
Como observado, essa aproximac¸a˜o melhora quando ∆si → 0 para cada i, o que e´ equi-
valente a escolher uma partic¸a˜o cada vez mais fina da curva, ou n→∞. Definimos enta˜o
a integral de linha por ∫
C
f(x, y)ds := lim
n→∞
n∑
i=1
f(x∗i , y
∗
i )∆si
Lembrando que s indica o comprimento de arco, lemos essa integral como sendo a a´rea
de uma regia˜o de base C e altura varia´vel f(x, y).
1.3 Como calcular
Observe que na construc¸a˜o acima usamos um coringa: o comprimento de arco s. Para
avaliar a integral, devemos saber como operacionar o ca´lculo do comprimento de arco. A
chave para essa questa˜o esta´ na parametrizac¸a˜o da curva.
Entendendo: dizer que a curva C e´ parametrizada pela func¸a˜o vetorial ~r(t), a ≤ t ≤ b
e´ um modo de associar a curva C com o segmento de reta dado pelo intervalo [a, b]. Assim,
usamos a parametrizac¸a˜o para transferir o ca´lculo da integral sobre C para um integral
simples sobre [a, b]. Mas isso na˜o e´ feito de modo direto: e´ preciso obter um ‘fator de
compensac¸a˜o’ para a transfereˆncia.
Para entender como transformamos o comprimento de arco s para o paraˆmetro t,
recomendamos lembrar a construc¸a˜o da integral de comprimento de arco do gra´fico da
func¸a˜o y = f(x). O que faremos agora e´ ana´logo, so´ que usando a parametrizac¸a˜o.
Considere enta˜o C : ~r(t) = (x(t), y(t)), uma parametrizac¸a˜o suave, ou seja, x(t) e y(t)
sa˜o diferencia´veis e na˜o sa˜o ambas nulas para o mesmo paraˆmetro t (isso garante que a
curva na˜o sera´ descont´ınua nem tera´ quinas ou cu´spides, os pontos de na˜o diferenciabili-
dade).
Retomando a partic¸a˜o da construc¸a˜o anterior, seja ti o paraˆmetro para o ponto Pi, ou
seja,
Pi = ~r(ti) = (x(ti), y(ti)).
Vamos aproximar ∆si, o comprimento de arco da curva Ci, pelo comprimento do segmento
Pi−1Pi, como sugerido na figura. Assim
∆si ≈ ‖~r(ti)−~r(ti−1)‖.
Agora, vamos escolher o ponto P ∗i = (x(t
∗
i ), y(t
∗
i )) de um modo especial, usando uma
generalizac¸a˜o do TVM: a inclinac¸a˜o do seguimento Pi−1Pi coincide com a inclinac¸a˜o da
tangente a Ci em um ponto P
∗
i (a figura deve ajudar a se convencer disso). Assim, e´
poss´ıvel mostrar que
‖~r(ti)−~r(ti1)‖ = ‖~r′(t∗i )‖(ti − ti−1).
Figura 3: Aproximac¸a˜o do comprimento de arco
Escrevendo ∆ti = ti − ti−1, temos enta˜o
∆si ≈ ‖~r′(t∗i )‖∆ti
e portanto∫
C
f(x, y)ds = lim
n→∞
n∑
i=1
f(x∗i , y
∗
i )∆si =
= lim
n→∞
n∑
i=1
f(x(t∗i ), y(t
∗
i ))‖~r′(t∗i )‖∆ti =
∫ b
a
f(x(t), y(t))‖~r′(t)‖dt.
Uma interpretac¸a˜o f´ısica pode ajudar no entendimento da construc¸a˜o: se s e´ o des-
locamento, t o tempo, temos que ‖~r′(t)‖, a norma do vetor velocidade, e´ a velocidade
escalar, ou seja: ‖~r′(t)‖ = ds
dt
. Ainda fazendo um paralelo a`s tranformac¸o˜es nas integrais
duplas e triplas: pensando em ~r como uma transformac¸a˜o da reta sobre a curva C, ‖~r′(t)‖
faz o papel do Jacobiano dessa transformac¸a˜o.
Resumindo: Se C : ~r(t) = (x(t), y(t)), com a ≤ t ≤ b, temos:∫
C
f(x, y)ds :=
∫ b
a
f(x(t), y(t))‖~r′(t)‖dt.
1.4 Um referencial mo´vel
Figura 4: Base ortonormal sobre um ponto da curva
Em um ponto da curva C : ~r(t), podemos associar dois vetores importantes:
1 - o vetor tangente unita´rio a` curva no ponto (x(t), y(t)), dado por
~T(t) =
~r′(t)
‖~r′(t)‖ =
(x′(t), y′(t))√
x′(t)2 + y′(t)2
.
2 - o vetor normal unita´rio a` curva no ponto (x(t), y(t)), dado por
~N(t) =
~T′(t)
‖~T′(t)‖ =
(−y′(t), x′(t))√
x′(t)2 + y′(t)2
.
Observe que ~T e ~N sa˜o unita´rios (norma 1) e ortogonais (o produto escalar entre eles
e´ nulo) qualquer que seja o paraˆmetro t. isso significa que, para cada t, temos uma base
ortonormal para o plano (lembre-se de GAAL!).
Fisicamente, se interpretarmos a curva C como a trajeto´ria de uma part´ıcula, sendo
~r(t) a posic¸a˜o dessa part´ıcula no instante t, temos que a base (~T, ~N) e´ o referencial dessa
part´ıcula, ou seja, o plano a partir do ponto de vista dessa part´ıcula. Mais: ~T indica a
tendeˆncia de direc¸a˜o do movimento da part´ıcula (a direc¸a˜o de “sair pela tangente”) e ~N
a direc¸a˜o que cruza a curva de uma lado para o outro ortogonalmente.
1.5 Integrais de linha sob ac¸a˜o de um campo vetorial
Dado um campo vetorial no plano ~F(x, y) temos uma distribuic¸a˜o de vetores: a cada
ponto (x0, y0) do plano, associamos o vetor ~F(x0, y0). Em particular, se tivermos uma
curva C parametrizada pela func¸a˜o vetorial ~r(t) = (x(t), y(t)), temos um vetor do campo
sobre cada ponto da curva. Ao conjunto de vetores do campo ~F sobre a curva C, dizemos
ser a restric¸a˜o de~F a` C e escrevemos
~F|C := ~F( ~r(t)) = ~F(x(t), y(t)).
Observe que o campo restrito a` curva esta´ em func¸a˜o do paraˆmetro t da parametrizac¸a˜o
da curva.
Matematicamente, poder´ıamos nos perguntar como o vetor ~F(x(t), y(t)) se decompo˜e
na base ~T(t), ~N(t) em cada ponto da curva C. Assim, como essa e´ uma base ortonogonal,
ter´ıamos que as componentes de ~F|C seriam
~F(x(t), y(t)) = (~F · ~T)~T + (~F · ~N)~N,
onde o ponto indica o produto escalar entre os vetores, e o paraˆmetro t foi omitido do
lado direito da expressa˜o, apenas por uma questa˜o de clareza. Dizemos que ~F · ~T e´ a
coordenada tangencial do campo ~F a` curva C e ~F · ~N a coordenada normal.
Figura 5: Decomposic¸a˜o de um vetor do campo ~F sobre a base ~T, ~N
Vamos interpretar a relac¸a˜o do campo vetorial ~F com a curva C : ~r(t) atrave´s desse
referencial da pro´pria curva.
1.5.1 Integral de trabalho ou circulac¸a˜o
Para a componente tangencial, temos uma interpretac¸a˜o f´ısica clara. Tome C como
a trajeto´ria de uma part´ıcula no plano, onde ~r(t) representa a posic¸a˜o dessa part´ıcula
no instante t. Interprete ~F como um campo de forc¸as agindo sobre os pontos do plano.
Lembrando que o vetor tangente ~T indica a direc¸a˜o de movimento da part´ıcula sobre a
curva, podemos interpretar a componente vetorial (~F · ~T)~T como a parcela do campo que
interfere no movimento da part´ıcula em um dado instante. Comparando as grandezas,
podemos interpretar a ac¸a˜o da componente tangencial de ~F ao longo de C como o Trabalho
do campo de forc¸as sobre a part´ıcula ao longo de sua trajeto´ria. Isso pode ser expresso
com uma integral de linha
W =
∫
C
~F · ~T ds,
lembrando que ~F · ~T e´ uma func¸a˜o que pode ser escrita em termos do paraˆmetro t. Assim,
pela definic¸a˜o de integral de linha com C : ~r(t), a ≤ t ≤ b, temos
W =
∫ b
a
(~F|C · ~T)‖~r′(t)‖dt =
∫ b
a
(
~F|C · ~r
′(t)
‖~r′(t)‖
)
‖~r′(t)‖dt =
∫ b
a
~F|C ·~r′(t)dt.
Devido a essa simplificac¸a˜o, e´ comum denotarmos o trabalho pela integral
∫
C
~F ·d~r. Ainda
por essa simplificac¸a˜o, se ~F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)), P e Q as func¸o˜es compenentes do
campo, podemos escrever na notac¸a˜o diferencial
W =
∫
C
P dx+Qdy,
lembrando que dx = x′(t)dt e dy = y′(t)dt, quando considerado o paraˆmetro t da curva.
Observe que para o ca´lculo do trabalho a componente normal (~F · ~N)~N na˜o contribui,
uma vez que e´ perpendicular a` direc¸a˜o do movimento (trabalho nulo).
Outra interpretac¸a˜o poss´ıvel: considere o campo vetorial ~F como um campo de velo-
cidades em um fluido e a curva fechada C : ~r(t) como a trajeto´ria de uma part´ıcula se
movendo nele. Nesse caso, a integral ∮
C
~F · ~T ds,
e´ chamada integral de circulac¸a˜o e mede, grosso modo, a interfereˆncia do fluido no movi-
mento da part´ıcula.
1.5.2 Integral de fluxo
Agora, vamos interpretar a contribuic¸a˜o da componente normal do campo sobre a
curva. Novamente, ~F e´ um campo de velocidades em um fluido e a curva fechada C : ~r(t)
a trajeto´ria de uma part´ıcula. Sendo uma curva fechada, ela separa o plano em uma regia˜o
interna (a limitada) e uma externa (a ilimitada). Tome os vetores normais ~N de tal modo
que apontem para a regia˜o ilimitada, como mostrado na figura. Em cada ponto da curva,
a direc¸a˜o do vetor ~N indica como “atravessar” a curva da regia˜o interna para a externa.
Dessa forma, podemos pensar na compoenente normal do campo sobre a curva, (~F · ~N)~N,
como sendo a parcela do campo que cruza a curva de uma regia˜o a outra. Reunindo a
contribuic¸a˜o desse fluxo em cada ponto pelo processo de integrac¸a˜o, definimos o fluxo do
campo ~F ao longo da curva C por
Φ =
∮
C
~F · ~N ds.
Pela definic¸a˜o de integral de linha ainda podemos escrever
Φ =
∫ b
a
(~F|C · ~N)‖~r′(t)‖dt =
∫ b
a
(
~F|C · (y
′(t),−x′(t))
‖~r′(t)‖
)
‖~r′(t)‖dt =
∫ b
a
~F|C ·(y′(t),−x′(t)dt.
Com coordenadas ~F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)), podemos escrever
Φ =
∫
C
−Qdx+ P dy.
1.5.3 Testando a intuic¸a˜o
Considere os campos radial e circular,
~R(x, y) = (x, y) e ~C(x, y) = (−y, x).
Considere tambe´m as circunfereˆncias
Ca : ~r(t) = (a cos t, a sen t), t ∈ [0, 2pi]
e os raios
Lα : ~r(t) = (cosαe
t, senαet), t ∈ [0, 2pi)
Intua a circulac¸a˜o e fluxo desses campos ao longo dessas curvas.
... tempo pra pensar, espac¸o pra rascunhar ...
Agora, confirme sua intuic¸a˜o com ca´lculos expl´ıcitos.
1.6 Rotacional e Divergente
Uma vez definidos os conceitos de circulac¸a˜o e fluxo de um campo ao longo de uma curva
fechada, podemos nos perguntar o que seria a circulac¸a˜o ou fluxo infinitesimal, ou seja, o
comportamento intr´ınseco de um campo na vizinhanc¸a de um ponto.
Comec¸amos pela ana´lise da ‘circulac¸a˜o infinitesimal’. Como usual, vamos usar um
processo de limite. Suponha que o campo ~F esteja definido em uma regia˜o simplesmente
conexa. Tomamos uma curva C em torno de A e definimos D como a regia˜o interna a` C.
Calculamos enta˜o a circulac¸a˜o do campo por unidade de a`rea interna a` curva, ou seja
1
|D|
∫
C
~F · ~T ds.
Em seguida tomamos o limite dessa expressa˜o quando C degenera a P (vamos explicitar
esse limite mais adiante), denotado simbolicamente como abaixo
lim
C→A
1
|D|
∫
C
~F · ~T ds.
Observe que temos uma indeterminac¸a˜o, uma que vez que ao degenerar a curva a a´rea
de D e a circulac¸a˜o tendem a 0. Quando esse limite existe, chamamos-no de rotacional
plano de ~F no ponto A. Isso define o rotacional como uma func¸a˜o (de duas varia´veis) que
denotaremos por rot ~F.
Obs.: O rotacional e´ definido em verdade como um campo vetorial no espac¸o, comumente
denotado por rot ~F, enquanto que o rotacional plano e´ um caso particular quando esse
campo e´ paralelo ao vetor ~k da base canoˆnica, como veremos no pro´ximo cap´ıtulo. Nesse
sentido, o mais correto seria denotar nosso rotacional plano por rot ~F · ~k. Pore´m, iremos
usar a mesma notac¸a˜o por simplicidade.
A interpretac¸a˜o f´ısica do rotacional se da´ tomando nosso campo vetorial como um
campo de velocidades em um fluido. O rotacional enta˜o seria a tendeˆncia de circulac¸a˜o
do fluido em torno de um ponto, ou a densidade de circulac¸a˜o. Observe que, nesse caso,
o rotacional tem unidade de velocidade angular.
Apesar dessa construc¸a˜o ser bem intuitiva, ela na˜o e´ muito amiga´vel. Vamos obter uma
expressa˜o simples para o rotacional plano usando as coordenadas do campo vetorial. Con-
sidere o campo vetorial ~F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) e uma famı´lia de circunfereˆnicas Ca de
raio a e centro em um ponto A, com parametrizac¸o˜es dadas por ~ra = A+ (a cos t, a sen t),
0 ≤ t ≤ 2pi. Dessa forma, o limite Ca → A da definic¸a˜o de rotacional plano pode ser
tomado simplesmente por a → 0, ou seja, fazendo o raio de um circunfereˆncia tender a
zero:
rot ~F(A) = lim
a→0
1
pia2
∫
Ca
~F · ~T ds =
= lim
a→0
1
pia2
∫ 2pi
0
(−aP (~ra) sen t+ aQ(~ra) cos t) dt =
= lim
a→0
∫ 2pi
0
(Q(~ra) cos t− P (~ra) sen t) dt
pia
.
Para calcular esse limite, podemos usar a regra de L’Hospital. A derivada do denomi-
nador em relac¸a˜o a a e´ simplesmente pi, enquanto que para o numerador temos
d
da
∫ 2pi
0
(Q(~ra) cos t− P (~ra) sen t) dt =
∫ 2pi
0
d
da
(Q(~ra) cos t− P (~ra) sen t) dt,
onde usamos a comutac¸a˜o da integrac¸a˜o e derivac¸a˜o, uma vez que essas operac¸o˜es sa˜o
realizadas em varia´veis diferentes nesse caso. Agora, pela regra da cadeia temos
d
da
(P (~ra) sen t) = Px(~ra) sen t cos t+ Py(~ra) sen
2 t
e
d
da
(Q(~ra) cos t) = Qx(~ra) cos
2 t+Qy(~ra) cos t sen t.
Ale´m disso, como o limite tambe´m e´ em uma varia´vel distinta a da integral, tambe´m
podemos trocar a ordem das operac¸o˜es e obter
1
pi
∫ 2pi
0
(Qx(A) cos
2 t+Qy(A) cos t sen t− Px(A) sen t cos t− Py(A)sen2 t) dt =
= Qx(A)− Py(A).
Conclusa˜o...
rot ~F = Qx − Py.
De forma ana´loga, podemos definir um novo conceito a partir do fluxo de um campo.
Ao ‘fluxo infinitesimal’ daremos o nome de divergente de um campo vetorial, definido por
div ~F := lim
C→A
1
|D|
∫
C
~F · ~N ds.
A interpretac¸a˜o f´ısica aqui, novamente partindo de um campo de velocidades em um
fluido, diz que o divergente de um campo em um ponto e´ a tendeˆncia de dispersa˜o do
fluido a partir daquelo ponto, ou a densidade de fluxo.
Ale´m disso, tambe´m de forma ana´loga com que calculamos acima, para um campo
~F = (P,Q) temos
div ~F = Px +Qy.
Para fixarmos a intuic¸a˜o sobre os conceitos de rotacional e divergente, vamos calcula´-
los sobre os campos radial ~R = (x, y) e circular ~C = (−y, x):
rot ~R = 0 e div ~R = 2
e
rot ~C = 2 e div ~R = 0
Isso indica o que a representac¸a˜o geome´trica dos campos nos sugere: um fluido regido
por um campo de velocidades radial na˜o apresenta circulac¸a˜o, tendo apenas dispersa˜o;
para um campo de velocidades circular, ha´ apenas circulac¸a˜o sem dispersa˜o. O sinal do
rotacional e divergente tambe´m teˆm sua interpretac¸a˜o: o sentido de rotac¸a˜o e o sentido
da dispersa˜o, respectivamente.
1.7 Teorema(s) de Green
A definic¸a˜o de rotacional e divergente tem como consequeˆncia direta uma bela relac¸a˜o
entre as integrais de linha no plano e integrais duplas: em condic¸o˜es adequadas, a integral
ao longo de uma curva fechada pode ser trocada por uma integral dupla sobre a regia˜o
interna a essa curva.
Primeiramente, vamos considerar um campo vetorial ~F definido em uma regia˜o limi-
tada e simplesmente conexa. Sob esse campo, considere uma curva fechada parametrizada
C : ~r(t) que e´ bordo de uma regia˜o plana D. Costumamos denotar a relac¸a˜o entre C e D
por C = ∂D, indicando que C e´ o bordo de D, como mostrado na figura.
Se D esta´ contindo em um retaˆngulo [a, b] × [c, d], tomamos uma partic¸a˜o a = x0 <
x1 < · · · < xi < · · · < xm = b e c = y0 < y1 < · · · < yj < · · · < yn = d, considerando
distaˆncias iguais ∆x = xi − xi−1 e ∆y = yj − yj−1, para i = 1, · · · ,m e j = 1, · · · , n.
Considere os subregio˜es Rij = ([xi−1, xi] × [yj−1, yj]) ∩ D, de a´rea Aij e cujo bordo e´ a
curva Cij, considerada com orientac¸a˜o positiva.
Observe que, em termos de integrac¸a˜o, podemos considerar C como a unia˜o de todas
Cij, ou seja
C ∼
m⋃
i=1
m⋃
j=1
Cij.
Isso se deve pois duas curvas vizinhas se encontram em sentidos opostos, de modo que
sob a integrac¸a˜o se anulam.
Assim, vemos que ∮
C
~F · ~T ds =
m∑
i=1
m∑
j=1
∫
Cij
~F · ~T ds.
Agora, multiplicamos cada parcela do lado direito da expressa˜o acima por
Aij
Aij
, obtendo∮
C
~F · ~T ds =
m∑
i=1
m∑
j=1
1
Aij
∫
Cij
~F · ~T dsAij.
Escolhendo pontos P ∗ij ∈ Rij , observe que tomando limites quando m,n → ∞, ou
∆x,∆y → 0, podemos considerar, pela definic¸a˜o e continuidade do rotacional:
1
Aij
∫
Cij
~F · ~T ds ≈ rot ~F(P ∗ij).
Assim, tomando esses limites de ambos lados da equac¸a˜o, observe que o lado esquerdo
se mantem inalterado (pois na˜o varia com m,n ou ∆x,∆y) enquanto que o lado direto
definie uma integral dupla:∮
C
~F · ~T ds = lim
∆x,∆y→0
m∑
i=1
m∑
j=1
rot ~F(P ∗ij)Aij =
∫∫
D
rot ~F dA.
Apesar de usarmos coordenadas cartesianas, a construc¸a˜o pode ser adaptada para
outros sistemas de coordenadas. O resultado que obtemos e´ uma das formas do Teorema
de Green:
Teorema 1.1. Seja ~F um campo vetorial definido em uma regia˜o simplesmente conexa,
C uma curva simples fechada e D a regia˜o interna a` curva. Enta˜o∮
C
~F · ~T ds =
∫∫
D
rot ~F dA.
O teorema de Green pode apresentar outra forma: adaptando uma construc¸a˜o ana´loga
para o fluxo (ou trocando as coordenadas de um campo (P,Q) por (−Q,P )...), obtemos∮
C
~F · ~N ds =
∫∫
D
div F dA.
Uma vez entendidos os conceitos de rotacional e divergente, o significado do Teorema
de Green deve ser claro: podemos calcular a circulac¸a˜o de um campo vetorial ao longo de
uma curva somando as circulac¸o˜es infinitesimais internas a` curva; para o fluxo, somamos
as dirperso˜es infinitesimais.
O teorema de Green tambe´m continua va´lido para o caso de uma regia˜o conexa, mas
na˜o simplesmente conexa (uma regia˜o, que apresenta ‘buracos’ ou obstruc¸o˜es, e´ chamada
multiplamente conexa). A ideia de verificar a extenc¸a˜o do teoriema para esses casos
consiste em fazer ‘cortes’ na regia˜o D.
(a) Bordo de uma regia˜o multi-
plamente conexa
(b) ‘Cortes’ na regia˜o
Figura 6: Green para regio˜es multiplamente conexas
Suponha que temos uma regia˜o D conexa com um buraco (para mais buracos, a mesma
construc¸a˜o pode ser facilmente generalizada). Como indicado na figura acima, o bordo
dessa regia˜o enta˜o e´ formada por duas curvas: o bordo externo C1 e o bordo interno C2,
que iremos orientar no sentido anti-hora´rio e hora´rio respectivamente, de modo que o vetor
normal a` curva sempre aponte para dentro da regia˜o. Enta˜o, escolha pontos A1, A
′
1 ∈ C1
e A2, A
′
2 ∈ C2 e defina duas curvas: C ligando A1 e A2 e C ′ ligando A′1 e A′2. As curvas
C e C ′ funcionam como ‘cortes’ na regia˜o D, divindo D em duas regio˜es simplesmente
conexas, com
∂D′ = C1(A1A′1) ∪ −C ′ ∪ C2(A′2A2) ∪ C.
e
∂D′′ = C1(A′1A1) ∪ C ′ ∪ C2(A2A′2) ∪ −C.
onde estamos denotando C1(A1A
′
1) como o arco de C1 entre A1 e A
′
1 respeitando a ori-
entac¸a˜o da curva, analogamente aos demais.
Assim, pela propriedade de integrais duplas temos∫∫
D
div F dA =
∫∫
D1
rot F dA+
∫∫
D2
rot F dA.
Por outro lado, temos ∮
∂D
~F · ~T ds =
∮
C1
~F · ~T ds+
∮
C2
~F · ~T ds
uma vez que a integral sobre as curvas C e C ′ se anulam.
Pelo Teorema de Green em regio˜es simplesmente conexas, podemos concluir que∮
∂D
~F · ~T ds =
∮
C1
~F · ~T ds+
∮
C2
~F · ~T ds =
∫∫
D
rot F dA,
como quer´ıamos verificar.
Resultado ana´logo vale para a versa˜o do Teorema de Green para o fluxo, verifique.
1.8 Campos conservativos
Observe que, pelo teorema de Green, se rot F ≡ 0 numa regia˜o simplesmente conexa, a
circulac¸a˜o ou trabalho ao longo de um caminho fechado e´ sempre nula!
Proposic¸a˜o 1.1. Suponha ~F um campo vetorial com derivadas parciais cont´ınuas em
uma regia˜o simplesmente conexa D. Se rot ~F ≡ 0 em D, enta˜o∮
C
~F · ~T ds = 0
para qualquer curva simples fechada C em D.
Esse e´ um fato com uma se´rie de consequeˆncias interessantes a respeito do campo, as
quais vamos investigar nessa sec¸a˜o.
Primeiramente, observe que a integral de circulac¸a˜o ao longo de todo caminho fechado
ser zero implica que a integral entre quais curvas abertas ligando dois dados pontos apre-
sentam o mesmo valor. De fato, suponha que temos um campo com a propriedade que∮
C
~F · ~T = 0 para toda C. Tome C1 e C2 duas curvas abertas com extremidades sobre os
pontos A e B e considere a curva C = C1 ∪ −C2. Observe que C e´ uma curva fechada e
portanto
0 =
∮
C
~F · ~T ds =
∫
C1
~F · ~T ds−
∫
C2
~F · ~T ds⇒
∫
C1
~F · ~T ds =
∫
C2
~F · ~T ds.
Dizemos nesse caso que a integral de
∫
C
~F · ~T ds independe do caminho e costumamos
denotar por
∫ B
A
~F · ~T ds, indicando somente as extreminadas do caminho.
Explicitando o resultado:
Proposic¸a˜o 1.2. Se ∮
C
~F · ~T ds = 0
para qualquer curva simples fechada C em D regia˜o simplesmente conexa, enta˜o
∫
C
~F·~T ds
e´ independente do caminho para qualquer curva aberta C.
Na verdade, e´ fa´cil perceber que a afirmac¸a˜o rec´ıproca tambe´m e´ verdadeira nesse caso.
Baseado em um campo vetorial ~F = (P,Q) com integral de trabalho independente do
caminho, podemos construir a seguinte func¸a˜o: fixamos um ponto A em D e definimos
f(x, y) :=
∫ (x,y)
A
~F · ~T ds.
Assim como no Teorema fundamental doCa´lculo, essa func¸a˜o serve como uma ‘primitiva’
para ~F. Vamos verificar isso derivando essa func¸a˜o escolhendo curvas convenientes para
isso.
(a) Curva para a derivac¸a˜o em x (b) Curva para a derivac¸a˜o em x
Figura 7: Definindo uma func¸a˜o potencial para o campo
Tome C formada por duas partes: um arco C1 ligando A a (x1, y) e um segmento de
reta horizontal C2 ligando (x1, y) a (x, y), com (x1, y) em uma vizinhanc¸a de (x, y) dentro
de D. Com isso
f(x, y) :=
∫ (x1,y)
A
~F · ~T ds+
∫ (x,y)
(x1,y)
~F · ~T ds.
Tomando a derivada parcial em x, temos que a derivada da primeira integral e´ zero, pois
ela na˜o depende de x:
∂
∂x
f(x, y) =
∂
∂x
∫ (x,y)
(x1,y)
~F · ~T ds.
Por sua vez, como C2 tem como uma parametrizac¸a˜o t 7→ (t, y), constante na segunda
coordenada, temos que
∂
∂x
f(x, y) =
∂
∂x
∫ x
x1
P (t, y) dt = P (x, y).
pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo.
Analogamente, usando uma curva formada por um arco C ′1 ligando A a (x, y1) e um
segmento de reta vertical C ′2 ligando (x, y1) a (x, y), podemos obter que
∂
∂y
f(x, y) = Q(x, y).
Resumindo...
Proposic¸a˜o 1.3. Se ~F e´ um campo vetorial definido em uma regia˜o simplesmente conexa
com
∫
C
~F · ~T ds independente de caminhos, enta˜o existe func¸a˜o f(x, y) com derivadas
parciais cont´ınuas tal que
~F(x, y) = ~∇f(x, y).
A essa func¸a˜o f(x, y) que torna o campo ~F um campo gradiente xdamos o nome de
func¸a˜o potencial.
Por fim, observe que se ~F e´ um campo gradiente da forma ~∇f , temos que
rot ~F = Qx − Py = (fy)x − (fx)y = fyx − fxy ≡ 0,
pois as derivadas de segunda ordem mistas sa˜o iguais quando as derivadas parciais sa˜o
cont´ınuas (Teorema de Clairaut). Ou seja...
Proposic¸a˜o 1.4. Se ~F(x, y) = ~∇f(x, y), f com derivadas parciais cont´ınuas, enta˜o
rot ~F(x, y) ≡ 0.
Retome a primeira proposic¸a˜o da sec¸a˜o e perceba que observamos uma equivaleˆncia
entre as seguintes afirmac¸o˜es:
• rot ~F(x, y) ≡ 0
• ∮
C
~F · ~T ds = 0 para toda curva fechada C.
• ∫
C
~F · ~T ds e´ independente de caminho.
• Existe f tal que ~F(x, y) = ~∇f(x, y).
Um campo com alguma dessas (e portanto todas essas) propriedades, e´ chamado campo
conservativo. O nome prove´m da interpretac¸a˜o f´ısica: e´ um campo no qual a energia (tra-
balho) e´ conservado. Exemplos desses campos incluem o campo gravitacional, ele´trico e
magne´tico.
Concluimos a sec¸a˜o demonstrando uma versa˜o do
Teorema 1.2 (Teorema fundamental do Ca´lculo para integrais de linha). Se ~F e´ conser-
vativo com func¸a˜o potencial f e C uma curva ligando os pontos A e B, enta˜o∫
C
~F · ~T ds = f(B)− f(A).
Essa afirmac¸a˜o inclui o caso em que a curva e´ fechada, confirmando que a integral de
trabalho e´ nula. A demonstrac¸a˜o segue de uma aplicac¸a˜o direta da regra da cadeia.
Obs.: E se o rotacional e´ nulo em uma regia˜o com um buraco? Tente verificar que, pelo
teorema de Green aplicado a regio˜es multiplamente conexas, teremos∫
C1
~F · ~T ds =
∫
C2
~F · ~T ds
para duas curvas bordo de uma regia˜o conexa com um buraco, desde que orientadas no
mesmo sentido.