Derivadas de Funções Trigonométricas

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56. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\sin^3(x)) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{3\cos(x)}{\sin(x)} \). Explicação: Utilizamos a regra do logaritmo e 
a derivada da função seno ao cubo. 
 
57. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = e^{\sqrt{\ln(x)}} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{e^{\sqrt{\ln(x)}}}{2x\sqrt{\ln(x)}} \). Explicação: Utilizamos a regra 
da cadeia e a derivada da função exponencial e da raiz quadrada. 
 
58. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{\sqrt{x} - \frac{1}{2}\ln(x)}{x} \). Explicação: Utilizamos a regra do 
quociente e a derivada do logaritmo natural e da raiz quadrada. 
 
59. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\sqrt{e^x}) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{2} \). Explicação: Utilizamos a regra do logaritmo e a derivada 
da função exponencial e da raiz quadrada. 
 
60. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = e^{\tan^2(x)} \). 
 Resposta: \( f'(x) = 2\sec^2(x)\tan(x)e^{\tan^2(x)} \). Explicação: Aplicamos a regra da 
cadeia para derivar a função exponencial composta. 
 
61. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \frac{\sin(x)}{e^x} \). 
 Resposta: \( f'( 
 
x) = \frac{e^x\cos(x) - \sin(x)e^x}{e^{2x}} \). Explicação: Utilizamos a regra do quociente e a 
derivada da função seno e exponencial. 
 
62. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\tan^2(x)) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{2\tan(x)}{\tan^2(x)} \). Explicação: Utilizamos a regra do 
logaritmo e a derivada da função tangente ao quadrado. 
 
63. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = e^{\ln(\sin(x))} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \cos(x) \). Explicação: Utilizamos a regra da cadeia e a derivada da 
função seno.