02-FuncoesdeVariasVariaveis

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FUNÇÕES
DE
VÁRIAS VARIÁVEIS
1a Edição - 2.007
SOMESB
SOCIEDADE MANTENEDORA DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DA BAHIA S/C LTDA.
WILLIAM OLIVEIRA
PRESIDENTE
SAMUEL SOARES
SUPERINTENDENTE ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO
GERMANO TABACOF
SUPERINTENDENTE DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO
PEDRO DALTRO GUSMÃO DA SILVA
SUPERINTENDENTE DE DESENVOLVIMENTO E PLANEJAMENTO ACADÊMICO
FTC-EAD
FACULDADE DE TECNOLOGIA E CIÊNCIAS – ENSINO A DISTÂNCIA
REINALDO DE OLIVEIRA BORBA
DIRETOR GERAL
MARCELO NERY
DIRETOR ACADÊMICO
ROBERTO FREDERICO MERHY
DIRETOR DE DESENVOLVIMENTO E INOVAÇÕES
MÁRIO FRAGA
DIRETOR COMERCIAL
JEAN CARLO NERONE
DIRETOR DE TECNOLOGIA
ANDRÉ PORTNOI
DIRETOR ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO
RONALDO COSTA
GERENTE DE DESENVOLVIMENTO E INOVAÇÕES
JANE FREIRE
GERENTE DE ENSINO
LUÍS CARLOS NOGUEIRA ABBEHUSEN
GERENTE DE SUPORTE TECNOLÓGICO
OSMANE CHAVES
COORD. DE TELECOMUNICAÇÕES E HARDWARE
JOÃO JACOMEL
COORD. DE PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO
MATERIAL DIDÁTICO
PRODUÇÃO ACADÊMICA PRODUÇÃO TÉCNICA
JANE FREIRE JOÃO JACOMEL
GERENTE DE ENSINO COORDENAÇÃO
ANA PAULA AMORIM CARLOS MAGNO BRITO ALMEIDA SANTOS
SUPERVISÃO REVISÃO DE TEXTO
GECIARA DA SILVA CARVALHO JONES GARCIA DA MATA
COORDENADOR DE CURSO REVISÃO DE CONTEÚDO
ADRIANO PEDREIRA CATTAI
PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO
AUTOR(A) EDIÇÃO EM LATEX 2ε
EQUIPE
ALEXANDRE RIBEIRO, ANGÉLICA JORGE, BRUNO LEMOS CEFAS GOMES, CLAUDER FILHO, DANILO BARROS DIEGO DORIA
ARAGÃO, FÁBIO GONÇALVES, FRANCISCO FRANÇA JÚNIOR, HERMÍNIO FILHO, ISRAEL DANTAS, LUCAS DO VALE, MARCIO
SERAFIM, MARIUCHA PONTE, RUBERVAL DA FONSECA E TATIANA COUTINHO.
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Sumário
Bloco 1: Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis 7
Tema 1: Diferenciabilidade 7
Funções Reais de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Gráfico de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 As Curvas de Nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Gráfico de Funções de Duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Limites e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Vizinhança de um Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Conjunto Aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Ponto de Fronteira ou do Bordo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Conjunto Fechado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9 Ponto de Acumulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.10 Limite de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10.1 Exercício Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.11 Propriedades Operatórias dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.12 Funções Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Funções Diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.13 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.14 O Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.15 As Derivadas Direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.16 Funções Implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.16.1 Derivada de uma Função Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.17 Plano Tangente e Reta Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.18 Máximos e Mínimos de Funções Reais de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.18.1 Critério para Identificar os Extremantes Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.18.2 Valores Máximos e Mínimos Absolutos de Funções de Duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.18.3 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.18.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tema 2: Integração 38
Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1 Funções Integráveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Volume, Soma de Riemann e a Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1 Propriedades da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Integrais Duplas sobre Regiões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 42
2.4.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Cálculo de Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.1 Região do Tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.2 Região do Tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Integrais Duplas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 3
2.7 Massa, Centro de Massa e Momento de Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.9 Integrais Triplas sobre Regiões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.9.1 Regiões do Tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.9.2 Regiões do Tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9.3 Regiões do Tipo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.10 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.11 Massa, Centro de Massa e Momento de Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.11.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.12 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas e Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.12.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.13 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.13.1 Coordenadas Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.13.2 Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.13.3 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Bloco 2: Funções Vetoriais 62
Tema 3: Análise Vetorial 62
Integrais de Linha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1 Integral de Linha em Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Integrais de Linha em Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.1 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.2 O Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.3 O Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.4 O Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.5 Integrais de Linha de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.7 Campos Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.8 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Tema 4: Teoremas de Green, Stokes e Gauss 71
Relações entre as Integrais de Linha e de Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1 O Teorema de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.2 Um Pouco de História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2 Campos Conservativos em Domínios Simplesmente Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Superfícies Parametrizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 78
4.4 Área de uma Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5 Integrais de Superfície de Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5.1 Dispositivo Prático para o Cálculo do Fator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA4
4.6 O Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7 O Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.7.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.8 Um Pouco da História das Funções de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 5
Caro aluno,
Este material foi elaborado para servir como referência aos estudos da disciplina Funções de
Várias Variáveis, do curso de Licenciatura em Matemática da FTC-EAD .
Nos temas a seguir, generalizaremos o conceito de função real de variável real para funções
escalares, ou seja, funções reais de mais do que uma variável real. Além destas, consideraremos,
ainda, as funções vetoriais de variáveis reais que, mais uma vez, podem ser vistas como uma
generalização das funções escalares, com o fim de descrever vetores que variam de ponto a ponto
no espaço.
Através do operador diferencial ∇ (nabla) conseguiremos estabelecer transformações entre os
diferentes tipos de funções. Do mesmo modo, generalizamos o conceito de integral definida de uma
função real de variável real para funções escalares, introduzindo o conceito das integrais duplas
e triplas. Além disso, tendo como referência as funções vetoriais, generalizaremos as integrais
conhecidas, introduzindo as integrais de linha e de superfície.
O resultado final é animador. Veremos que, no espaço euclidiano representado em coordenadas
cartesianas, as funções vetoriais são transformadas numa “lista” de várias funções escalares (duas,
quando trabalhamos no plano e três, no espaço). O mesmo acontece em coordenadas curvilíneas
ortogonais, porém, tendo o cuidado de que, neste caso, os versores não são imutáveis como no
caso cartesiano e, portanto, as coordenadas, num dado ponto do espaço, estão relacionadas entre
si. Isto leva à introdução de alguns fatores {h1, h2, h3} e suas combinações, no que toca à forma do
gradiente, divergente e rotacional nesses sistemas de coordenadas, bem como ao aparecimento do
Jacobiano no estabelecimento de uma medida de integração nas integrais iteradas ou múltiplas.
Tornar-se-á, também, necessário fazer um revisão dos conceitos de derivada parcial, que nos
permitem “organizar” e “sistematizar” o processo de diferenciação para funções de mais do que
uma variável real. De um modo análogo, será necessário generalizar o conceito de integral definida
para estabelecer o processo de integração de funções de mais do que uma variável real. Também
veremos que as integrais de linha e de superfície de funções vetoriais estão diretamente ligadas a
integrais iteradas de funções escalares, podendo, muitas vezes, serem convertidas entre si, bem
como nestes últimos (e vice-versa), recorrendo aos teoremas de Green, Gauss e Stokes.
Prof. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
BLOCO01
Cálculo Diferencial e Integral em
Várias Variáveis
TEMA01 Diferenciabilidade
Funções Reais de Várias Variáveis
Uma função real com n variáveis é uma relação do tipo f : D → R, com D ⊂ Rn = R×R× . . .× R, ou seja,
uma função cujo domínio D é um subconjunto de Rn e seu contra-domínio é R. Por exemplo,
f : R2 → R
(x , y) 7→ 2x + 3y
g : R3 → R
(x , y , z) 7→ x2 + y + 3z
h : R3 \ {(0, 0, 0)} → R
(x , y , z) 7→ 3y
x2 + y2 + z2
A f é função real de duas variáveis onde Dom(f ) = R2 e seu contra-domínio é R. Observe que f é uma
função linear.
A g é uma função real de três variáveis onde Dom(g) = R3 e seu contra-domínio é R. Observe que g é,
também, uma função polinomial.
A h é uma função real de três variáveis onde Dom(h) = R3 \ {(0, 0, 0)} e seu contra-domínio é R. Observe
que h é uma função racional.
Usamos, também, a notação y = f (x1, . . . , xn) (mais simples) para representar funções reais de n variáveis
e, neste caso, o seu domínio Dom(f ) é o conjunto:
Dom(f ) = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn; f (x1, . . . , xn) ∈ R}.
ER 1. Determine e represente geometricamente os domínios das seguintes funções:
(a) f (x , y) = 4x2 − 1
(d) f (x , y) = x
3
x − y
(b) f (x , y) = 3y
2 − 1
x2 + y2 + 1
(e) f (x , y) = ln

x − y
y − 1
‹
(c) f (x , y) = x
3 + 3y
x2 + y2
(f) f (x , y) = 3x + yp
x2 − y
Solução:
(a) Observe que Dom(f ) = R2, pois não existem restrições nesta relação de igualdade.
(b) f é uma função racional e, portanto, o seu denominador não pode ser zero. Como, x2 + y2 + 1 > 0,
para todo (x , y) ∈ R2, Dom(f ) = R2.
(c) Temos, novamente, uma função racional e, portanto, seu denominador não
pode ser zero. Como x2 + y2 = 0 ⇔ x2 = 0 e y2 = 0, segue que x = 0 e y = 0.
Logo, Dom(f ) = R2 \ {(0, 0)}. A representação gráfica do seu domínio é, portanto:
x
y
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 7
(d) Neste caso, temos que Dom(f ) = {(x , y) ∈ R2; x − y 6= 0} = {(x , y) ∈ R2; y 6=
x}, ou seja, todo o plano exceto a 1a bissetriz. A representação gráfica do seu
domínio é, portanto:
x
y
(e) A condição x − y
y − 1 > 0 é equivalente a x − y > 0 e y − 1 > 0 ou x − y < 0 e y − 1 < 0. De fato,
8
<
:
x − y > 0
y − 1 > 0
⇒
8
<
:
y < x
y > 1
. Esta região do plano é:
x
y
8
<
:
x − y < 0
y − 1 < 0
⇒
8
<
:
y > x
y < 1
. Esta região do plano é:
x
y
O domínio da função é o conjunto Dom(f ) =
§
(x , y) ∈ R2; x − y
y − 1 > 0
ª
= {(x , y) ∈
R2; y < x e y > 1 ou y > 1 e y > 1} e sua representação gráfica é: x
y
(f) Neste caso Dom(f ) = {(x , y) ∈ R2; x2− y > 0} = {(x , y) ∈ R2; y < x2}, ou seja,
o conjunto dos pares ordenados que possuem ordenada menor do que o quadrado
da abscissa. A representação gráfica do seu domínio é a região do plano que se
situa abaixo do gráfico da parábola y = x2.
x
y
(g) f (x , y) = arcsec(x2 + y2)
O domínio da função é dado por Dom(f ) = {(x , y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ −1 ou x2 + y2 ≥ 1}, ou melhor, como
x2 + y2 ≤ −1 não ocorre seja qual for o par (x , y) ∈ R2, Dom(f ) = {(x , y) ∈ R2; x2 + y2 ≥ 1}.
Lembre-se que x2 + y2 = 1 é a equação de uma circunferência de raio 1 e centro
na origem do sistema cartesiano, Dom(f ) é a região do plano formada pela cir-
cunferência e por seu exterior. Portanto, a representação gráfica do domínio de f
é:
x
y
(g) O domínio da função é dado por Dom(f ) =
�
(x , y);∈ R2;−1 ≤ x
2
4
+ y2 ≤ 1
�
. Como x
2
4
+y2 ≥ 0, para
todo (x , y) ∈ R2, o domínio pode ser reescrito como Dom(f ) =
�
(x , y);∈ R2; x
2
4
+ y2 ≤ 1
�
.
Lembre-se que x
2
4
+ y2 = 1 é a equação padrão de uma elipse com
centro na origem e comprimentos dos eixo maior e menor, respectiva-
mente, iguais a 2a = 4 e 2b = 2, Dom(f ) é a região do plano formada
pela elipse e por seu interior.
x
y
1.2 Gráfico de uma Função
Dada uma função f : D → R, D ⊂ Rn, seu gráfico
é o conjunto graf(f ) = {(a, f (a); a ∈ D}.
Analisemos estas funções para alguns valores de n.
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA8
Funções reais de uma variável real (n = 1) f : D → R; D ⊂ R, o gráfico é uma curva do R2.
Para uma função de duas variáveis reais (n = 2)
f : D → R,D ⊂ R2
(x , y) 7→ f (x , y) ,
o gráfico é uma superfície do R3.
Por exemplo, a esfera x2 + y2 + z2 = 9 de centro na origem e raio 3 é uma superfície do R3 que, claramente,
não é gráfico de uma função z = f (x , y). De fato, isolando-se o z desta equação, tem-se z = ±p9− x2 − y2.
Considere, agora, as funções f (x , y) =
p
9− x2 − y2 e g(x , y) = −p9− x2 − y2 e observe que seus
domínios são iguais a Dom(f ) = Dom(g) = {(x , y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 9}, a circunferência de centro na origem
e raio igual a três unido ao seu interior. O gráfico de f é a semi-esfera superior (z ≥ 0) e o gráfico de g é a
semi-esfera inferior (z ≤ 0).
Para valores de n > 2, a representação gráfica, claramente, não é possível.
1.3 As Curvas de Nível
Dados uma função z = f (x , y) e uma constante k ∈ R, a curva de nível de f em z = k é o conjunto
{(x , y) ∈ R2; f (x , y) = k}, ou seja, é o conjunto dos elementos do domínio de f que possuem imagens iguais a
k . Pode, também, ser entendido como a intersecção do gráfico de f com o plano (paralelo a xOy ) de equação
z = k .
Nota 1. As curvas de nível de uma função são um recurso auxiliar para o esboço de gráficos.
ER 2. Determine e esboce a curva de nível da função f (x , y) = y
x
em z = 3.
Solução: A curva de nível é o conjunto dos pontos (x , y) ∈ R2 que satis-
fazem a 3 = y
x
⇒ y = 2x , com x 6= 0, ou seja, trata-se da equação de uma
reta excluindo-se o ponto (0, 0). Sendo assim, sua representação gráfica é:
x
y
ER 3. Dada a função f (x , y) = y
x2 − 1 , determine e represente graficamente o seu domínio e as suas curvas
de nível.
Solução: Temos que x2−1 6= 0 e, portanto, o domínio da função é Dom(f ) =
{(x , y) ∈ R2; x 6= ±1}, ou seja, todo o plano exceto as retas de equação
x = −1 e x = 1. A representação gráfica é:
x
y
Para encontrarmos as curvas de nível tomamos a equação y
x2 − 1 = k , que é equivalente a y = k(x
2−1),
com x 6= −1 e x 6= 1.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 9
Para cada k 6= 0 temos uma parábola y = k(x2 − 1), excluindo-se os
pontos (−1, 0) e (1, 0).
Para k = 0, temos y = 0, excluindo-se os pontos (−1, 0) e (1, 0), ou
seja, o eixo das ordenadas exceto os pontos (−1, 0) e (1, 0). A repre-
sentação gráfica é:
x
y
k > 0
1.3.1 Exercícios Propostos
EP 1.1. Seja f (x , y) = x2 − 2x3 + 3xy . Determine a equação da curva de nível que passa pelo ponto:
(a) (−1, 1) (b) (0, 0) (c) (−1,−1)
EP 1.2. Seja f (x , y , z) = x2 + y2 − z. Determine a equação da superfície de nível que passa pelo ponto:
(a) (1, 0, 3) (b) (1,−2, 0) (c) (0, 0, 0)
1.4 Gráfico de Funções de Duas Variáveis
Para esboçarmos o gráfico de uma função de duas variáveis f , deveremos determinar:
i. o domínio de f ;
ii. as suas curvas de nível;
iii. as interseções com os planos coordenados.
ER 4. Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) f (x , y) = x2 + y2 (b) f (x , y) = 1− y2 (c) f (x , y) = y2 − x2 (d) f (x , y) = ln
�
x2
9
+ y2
�
(a) f (x , y) = x2 + y2
i. O domínio da função é Dom(f ) = R2.
ii. As curvas de nível são obtidas da equação f (x , y) = k , ou seja, x2 +
y2 = k . Como x2 ≥ 0 e y2 ≥ 0, temos que,
⋆ se k < 0 a equação não tem solução, ou seja, para qualquer k < 0 a
curva de nível correspondente é o conjunto vazio.
⋆ se k = 0 (intersecção com o plano xOy ) a equação x2 +y2 = 0 tem como
solução o par (0, 0).
⋆ se k > 0, a equação x2 + y2 = k é a de uma circunferência de centro na
origem do sistema xOy e raio
√
k .
A representação gráfica das curvas de nível é dada na figura ao lado.
x
y
k > 0
√
k
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA10
Como todas as curvas de nível são circunferências com centros em (0, 0), concluímos que o gráfico de
f (x , y) é uma superfície de revolução em torno de Oz.
iii. Interseções com os planos coordenados.
⋆ Graf(f ) ∩ xOy : Já foi obtido e corresponde à curva no nível z = 0 (no caso, a origem do sistema xOy ).
⋆ Graf(f )∩ xOz: Fazendo y = 0 na equação z = x2 + y2 obtemos z = x2, que é a equação de uma parábola
obtida em xOz.
⋆ Graf(f ) ∩ yOz: Fazendo x = 0 na equação z = x2 + y2 obtemos z = y2, que é a equação de parábola
obtida em yOz.
A representação gráfica das interseções com os planos xOy , xOz e yOz é dada, respectivamente, pelas
figuras:
x
y
x
z
y
z
Concluímos que o gráfico é um parabolóide de revolução, da figura:
x
y
z
(b) f (x , y) = 1− y2
i. O domínio é Dom(f ) = R2
ii. As curvas de nível são obtidas da equação f (x , y) = k , ou seja, 1 − y2 = k . Isolando-se a variável y
nesta equação, obtemos y = ±√1− k . Logo para
⋆ k > 1 (isto é, 1− k < 0) a curva de nível correspondente é o conjunto vazio.
⋆ k = 1, temos y = 0, z = 1 e x variando em R. Então, a curva de nível é uma reta paralela ao eixo Ox no
plano z = 1.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 11
⋆ k < 1, y assume dois valores (y = ±√1− k), com x variando em R e z = k . Então, a curva de nível é
constituída de duas retas paralelas a Ox no plano z = k .
A representação gráfica das curvas de nível é dada na figura:
x ′
y ′
x
y√
1− k, k < 1
−√1− k , k < 1
iii. Intersecções com os eixos coordenados
⋆ Graf(f ) ∩ xOy : z = 0 ⇒ 1− y2 = 0 ⇒ y = ±1, ou seja, as retas de equação y = −1 e y = 1.
⋆ Graf(f ) ∩ xOz: y = 0 ⇒ z = 1− 02 = 1, ou seja, a reta de equação y = 0 e z = 1.
⋆ Graf(f ) ∩ yOz: Fazemos x = 0 e temos z = 1− y2, que é a equação de uma parábola no plano yOz.
Representação gráfica:
x
y
1
−1
x
z
1
y
z
Portanto, podemos concluir que o gráfico é de uma superfície cilíndrica de geratrizes paralelas ao eixo
Ox tal que a parábola do plano yOz, de equação z = 1− y2, é uma diretriz.
(0, 0, 1)
b
x
y
z
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA12
Nota 2. O gráfico de funções z = f (x , y) que possuem apenas uma variável independente (x ou y ) são
de superfícies cilíndricas.
(c) f (x , y) = y2 − x2
i. O domínio da função é Dom(f ) = R2.
ii. As curvas de nível são obtidas da equação f (x , y) = k , ou seja, y2 − x2 = k . Logo para
⋆ k = 0 temos x2 = y2, que é equivalente a x = y ou x = −y .
Os pontos que satisfazem essas equações correspondem
às bissetrizes dos quadrantes ímpares e dos pares do plano
xOy , respectivamente.
⋆ k > 0 podemos reescrever a equação y2 − x2 = k como y
2
k
−
x2
k
= 1 e, assim, temos, para cada valor de k , uma hipérbole
com focos sobre o eixo Oy .
⋆ k < 0 então −k > 0 e, assim, podemos reescrever a equação
y2−x2 = k como x
2
k
− y
2
k
= 1. Neste caso, temos, também,
uma hipérbole, porém, com focos sobre o eixo Ox .
A representação gráfica da curvas de nível obtidas é dada na
figura ao lado:
y
z
√
k,k>0
√−k,k<0
iii. Intersecções com os planos coordenados
⋆ Graf(f ) ∩ xOy : Já foi obtido e corresponde à curva no nível z = 0.
⋆ Graf(f ) ∩ xOz: Fazendo y = 0 na equação z = y2 − x2, obtemos z = −x2, que é a equação de uma
parábola de vértice na origem do plano xOz e foco sobre o semi-eixo negativo das cotas.
⋆ Graf(f ) ∩ yOz: Fazendo x = 0 na
equação z = y2− x2, obtemos z = y2,
que é a equação de uma parábola de
vértice na origem do plano yOz e foco
sobre o semi-eixo positivo das cotas.
A figura ao lado representa graficamente
os traços sobre os planos coordena-
dos xOz e yOz.
x
z
y
z
O gráfico da função é, portanto, um parabolóide hiperbólico (sela).
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 13
x
y
z
(d) f (x , y) = ln
�
x2
9
+ y2
�
i. Como x
2
9
+ y2 > 0, o domínio é Dom(f ) = R2 \ {(0, 0)}
ii. As curvas de nível são obtidas da equação f
(x , y) = k , ou seja, ln
�
x2
9
+ y2
�
= k , que é equivalente a
x2
9
+ y2 = ek . Como ek > 0 para todo k , então a curva de nível em z = k é formada por elipses cuja equação
padrão é x
2
9ek
+
y2
ek
= 1.
Podemos perceber que o seu eixo maior está sobre o eixo Ox e é
sempre três vezes maior que o seu eixo menor que está situado sobre
o eixo Oy .
A representação gráfica da curva de nível é dada pela figura ao lado:
x
y
3
√
ek
√
ek
iii. Intersecções com os planos coordenados
⋆ Graf(f ) ∩ xOy : Fazemos z = 0, ou seja, x
2
9
+ y2 = 1, que é a
equação de uma elipse.
⋆ Graf(f ) ∩ xOz: Fazemos y = 0 na equação z = ln
�
x2
9
+ y2
�
e
obtemos z = ln
�
x2
9
�
, que é equivalente a z = 2[ln |x |− ln(3)].
⋆ Graf(f ) ∩ yOz: Fazendo x = 0 na equação z = ln
�
x2
9
+ y2
�
e
obtemos z = 2 ln |y |.
A representação gráfica dos traços obtidos com os planos coor-
denados xOz e yOz é feita na figura ao lado:
x
z
3−3 y
z
1−1
O gráfico é, portanto, o da seguinte superfície:
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA14
x
y
z
Nota 3. Dada uma função z = f (x1, . . . , xn) a superfície de nível de f em z = k é definida, de modo
análogo, às curvas de nível para n = 2.
ER 5. Determine e represente graficamente as superfícies de nível da função f (x , y , z) = x2 + y2 + z2.
Seja a equação x2 + y2 + z2 = k . Então:
⋆ se k < 0, então a superfície de nível é, claramente, o conjunto
vazio.
⋆ se k = 0, então a superfície de nível é o ponto (0, 0, 0).
⋆ se k > 0, então a superfície é esférica de centro em (0, 0, 0) e
raio
√
k.
A representação gráfica das superfícies de nível é dada pela
figura ao lado: x
y
z
Limites e Continuidade
Aqui estudaremos o limite e a continuidade de funções reais com n variáveis, em particular, as funções reais
de duas ou três variáveis.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 15
1.5 Vizinhança de um Ponto
A bola aberta ou vizinhança de centro em a = (a1, . . . , an) ∈ Rn e de raio r > 0 é dada por
B = B(a, r) = {a ∈ Rn; ||x − a|| < r}.
Utilizaremos, aqui, a norma euclidiana
d(x , a) = ||x − a|| =
È
(x1 − a1)2 + . . .+ (xn − an)2.
Assim sendo, uma vizinhança do ponto a ∈ R2, de raio r > 0, é um conjunto
de pontos que satisfazem
È
(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 < r que é equivalente a
(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 < r2, ou seja,
B(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2;
È
(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 < r}.
Graficamente, B(a, r) é o interior de um círculo de raio r , centrado em a =
(a1, a2) e é chamado de disco aberto de centro em a e raio r .
x
y
x1
x2
(x1, x2)
r
A vizinhança do ponto (1, 2), de raio 3, por exemplo, é o conjunto
{x ∈ R2; (x1 − 1)2 + (x2 − 2)2 < 9},
cuja representação gráfica é o disco da figura ao lado.
x1
x2
1
2
Analogamente, uma vizinhança de a = (a1, a2, a3) é:
B(a, r) = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3; (x1−a1)2+(x2−a2)2+(x3−a3)2 < r2},
o interior de uma esfera de raio r e centro em a.
x
y
z
1.6 Conjunto Aberto
Um dos principais conceitos da Matemática é o que apresentaremos agora. Os conjuntos abertos são
demasiadamente importantes e tratados, também, nas disciplinas ligadas à álgebra, topologia e análise. Este
conceito é muito utilizado no estudo dos limites de uma função real com n variáveis reais.
Um subconjunto A ∈ Rn é um aberto do Rn se, para todo a ∈ A, existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A. Os
subconjuntos próprios (∅ e o Rn) são, também, abertos.
A ⊂ Rn é aberto ⇔ ∀ a ∈ A, ∃r > 0;B(a, r) ⊂ A.
Nota 4. Os conjuntos abertos do Rn, n ≥ 2, são uma generalização dos intervalos abertos em R.
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA16
ER 6. Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
(a) O conjunto A = {(a1, . . . , an)} é um aberto do Rn;
(b) A = R é um aberto de R2;
(c) Considere A = Rm, m < n. A é um aberto em Rn;
(d) A = (a1, a2)× (b1, b2) é um aberto em R2;
(e) Seja a ∈ Rn e r > 0. A bola B(a, r) é um aberto do Rn.
(a) FALSO. O conjunto A = {(a1, . . . , an)} não é um aberto do Rn, pois, para todo r > 0, a bola centrada
em (a1, . . . , an) e de raio r , B(a, r), não está contida em A.
(b) FALSO. O conjunto A = R não é um aberto do R2, pois, para todo r > 0, a bola centrada em a ∈ R e
de raio r , B(a, r), não está contida em A.
(c) FALSO. O conjunto A = Rm não é um aberto em Rn, pois, para todo r > 0, a bola centrada em
(a1, . . . , am, 0, . . . , 0) ∈ Rn e de raio r , B(a, r), não está contida em A.
(d) VERDADE. A = (a1, a2) × (b1, b2) é um aberto em R2. De fato, se (a, b) inA, temos que a1 < a < a2
e b1 < b < b2. Se considerarmos ǫ = min{|a − a1|, |a − a2|, |b − b1|, |b − b2|}, γ > ǫ e r = ǫ
γ
, temos que
B((a, b), r) ⊂ A.
(e) VERDADE. Se a′ ∈ B(a, r), temos que |a′ − a| < r . Se r ′ = r − |a′ − a|, temos 0 < r ′ < r . Assim,
B(a′, r ′) ⊂ B(a, r).
1.7 Ponto de Fronteira ou do Bordo
Considere A um subconjunto do Rn e a ∈ A. O ponto a é um ponto de fronteira ou do bordo de A se toda
vizinhança de a intercepta A e o seu complemento Rn ⊂ A.
Denota-se o conjunto dos pontos de fronteira ou do bordo de A por ∂A.
Um importante resultado é formulado a partir dos conceitos vistos e sua prova deverá ser vista em um livro
de análise matemática.
1.1 Teorema. Um conjunto A ⊂ Rn é um aberto do Rn se A ∩ ∂A = ∅.
ER 7. Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
(a) Se a ∈ Rn e r > 0, então ∂B(a, r) = {x ∈ Rn; |x − a| = r};
(b) O conjunto F = {x ∈ Rn; |x − a| ≤ r} é aberto;
(c) Se A = {(x1, x2) ∈ Rn; x1 > 0}, então ∂A = {(0, x2); x2 ∈ R}
1.8 Conjunto Fechado
Um conjunto A ⊂ Rn é dito fechado em Rn se ∂A ⊂ A. O vazio e o próprio Rn são também fechados.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 17
ER 8. Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
(a) Se a ∈ Rn e r > 0, então A não é fechado. De fato, ∂B(a, r) = {x ∈ Rn; |x − a| = r} 6⊂ B(a, r);
(b) O sólido W = {(x1, x2, x3) ∈ Rn; x21 + x22 + x23 ≥ r2, r > 0} é fechado. De fato, ∂W = {(x1, x2, x3) ∈
Rn; x21 + x
2
2 + x
2
3 = r
2, r > 0} e ∂W ⊂W .
(c) Se A = {(x1, x2) ∈ Rn; x1 > 0}, então ∂A = {(0, x2); x2 ∈ R}
1.9 Ponto de Acumulação
Se A é um subconjunto do Rn e a = (a1, . . . , an) ∈ Rn, dizemos que a é um ponto de acumulação de A se
toda vizinhança B de a é tal que
B ∩ (A \ {a}) 6= ∅.
Por exemplo, se A = {(a1, a2) ∈ R2; a2 < a1}, então:
⋆ (2, 1) é um ponto de acumulação de A;
⋆ (1, 1) é ponto de acumulação de A;
⋆ (1, 2) não é ponto de acumulação de A.
O conjunto dos pontos de acumulação de A é {(a1, a2) ∈ R2; a2 ≤ a1}.
x
y
(2, 1)(1, 1)
(1, 2)
x
y
Pontos de acumulação de A
Agora, para A = {(a1, a2) ∈ R2; a2 > a21} ∪ (2,−2) temos que (2,−2) ∈ A, mas não é ponto de acumulação
de A, pois existe r > 0 tal B(a, r) ∩ A = ∅. Observe que o conjunto dos pontos de acumulação de A é
{(a1, a2) ∈ R2; a2 ≥ a21}.
x
y
2
−1
x
y
Pontos de acumulação de A
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA18
1.10 Limite de uma Função
Considere f : D ⊂ Rn → R uma função e a um ponto de acumulação de D. Dizemos que L ∈ R é o limite de
f (x) em a se, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que, se x ∈ B(a, δ)∩A, então, que |f (x)−L| < ǫ. Simbolicamente,
lim
x→a
f (x) = L⇔ (∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0; x ∈ B(a, δ) ∩ A⇒ |f (x)− L| < ǫ).
ou, ainda,
lim
x→a f (x) = L⇔ (∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0; 0 < ||x − a|| < δ ⇒ |f (x)− L| < ǫ.) .
Para uma função f : D ⊂ R2 → R consideraremos x = (x , y), a = (x0, y0), a norma usual ||x − a|| = |x − a| =
È
(x − x0)2 + (y − y0)2 e a notação
lim
(x,y)→(x0 ,y0)
f (x , y) = L.
Para uma função f : D ⊂ R3 → R consideraremos x = (x , y , z), a = (x0, y0, z0), a norma usual ||x − a|| =
|x − a| =
È
(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 e a notação
lim
(x,y ,z)→(x0 ,y0,z0)
f (x , y
, z) = L.
ER 9. Prove que lim
(x,y)→(2,1)
(x + 3y) = 5
Solução: Observe que |f (x , y)− 5| = |x + 3y − 5| = |x − 2 + 3(y − 1)| e, de acordo com a desigualdade
triangular, |x − 2 + 3(y − 1)| ≥ |x − 2| + 3|y − 1|. Como |x − 2| =
È
(x − 2)2 ≤
È
(x − 2)2 + (y − 1)2 e
|y − 1| =
È
(y − 1)2 ≤
È
(x − 2)2 + (y − 1)2, temos que
|x − 2|+3|y − 1| ≤
È
(x − 2)2 + (y − 1)2 +3
È
(x − 2)2 + (y − 1)2 ≤ 4
È
(x − 2)2 + (y − 1)2 ≤ 4||(x , y)− (2, 1)||.
Dado ǫ > 0, considere δ = ǫ
4
. Segue que ||(x , y)− (2, 1)|| < δ ⇒ |x + 3y − 5| < 4δ = ǫ.
1.2 Teorema. Dados f (x , y) = x e g(x , y) = y , para todo (x , y) ∈ R2, então lim
(x,y)→(x0 ,y0)
f (x , y) = x0 e
lim
(x,y)→(x0 ,y0)
g(x , y) = y0.
1.3 Teorema. [Conservação do sinal]Se lim
(x,y)→(x0 ,y0)
f (x , y) = L, então existe uma vizinhança V de (x0, y0) tal
que, para todo (x , y) ∈ V \ {(x0, y0)}, o sinal de f (x , y) é o mesmo de L.
Por exemplo, para f (x , y) = 4x temos lim
(x,y)→(1,0)
f (x , y) = 4 e, para todo (x , y) ∈ {(x , y) ∈ R2; |(x , y)−(1, 0)| <
1}, temos f (x , y) > 0.
1.10.1 Exercício Proposto
EP 1.3. Sabendo que f (x , y) = 1, g(x , y) =
8
<
:
1 , se (x , y) 6= (1, 2)
x2 + 2 , se (x , y) = (1, 2)
, prove os seguintes limites
(a) lim
(x,y)→(x0 ,y0)
f (x , y) = 1; (b) lim
(x,y)→(1,2)
g(x , y) = 1.
Nota 5. De modo geral, dada uma função f (x , y) = c , c ∈ R, ∀ (x , y) ∈ R2 e (x0, y0) ∈ R2,
lim
(x,y)→(x0 ,y0)
f (x , y) = c .
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 19
1.11 Propriedades Operatórias dos Limites
Considere as funções f (x , y) e g(x , y), com domínio em D ⊂ R2 e (x0, y0) ∈ R2 um ponto de acumulação de
D. Se lim
(x,y)→(x0 ,y0)
f (x , y) = L1 e lim
(x,y)→(x0 ,y0)
g(x , y) = L2, então:
(a) lim
(x,y)→(x0 ,y0)
[f (x , y)± g(x , y)] = L1 + L2;
(b) lim
(x,y)→(x0 ,y0)
[f (x , y) · g(x , y)] = L1 · L2;
(c) lim
(x,y)→(x0 ,y0)
f (x , y)
g(x , y)
=
L1
L2
, L2 6= 0;
Nota 6. As propriedades do limite para as funções de duas ou mais variáveis são análogas às do limite
de funções de uma variável e as provas seguem da definição.
ER 10. Calcule lim
(x,y)→(1,2)
3x2 − 2y3
x − 3 .
Solução: lim
(x,y)→(1,2)
3x2 − 2y3
x − 3 =
3 lim
(x,y)→(1,2)
x2 − lim
(x,y)→(1,2)
2y3
lim
(x,y)→(1,2)
x − lim
(x,y)→(1,2)
3
=
3 · 12 − 2 · 23
1− 3 =
3− 16
−2 =
13
2
.
1.12 Funções Contínuas
1.4 Definição. Dizemos que f : D ⊂ Rn → R é contínua em a ∈ D se, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que
||x − a|| < δ, |f (x)− f (a)| < ǫ. Simbolicamente:
f : D ⊂ Rn → R é contínua em a ∈ D ⇔ (∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0; ||x − a|| < δ ⇒ |f (x)− f (a)| < ǫ) .
De forma equivalente, temos que uma função f : D ⊂ Rn → R é contínua em a ∈ D se
(a) lim
x→a
f (x) existe; (b) lim
x→a
f (x) = f (a).
Nota 7. Análogo ao que foi visto no curso de Cálculo I, temos que, se lim
(x,y)→(x0 ,y0)
f (x , y) = f (x0, y0), a
função f (x , y) é contínua em (x0, y0). Observe, aqui, que (x0, y0) é, claramente, um ponto do domínio da
função e que o limite deve existir.
ER 11. Calcule lim
(x,y)→(1,−1)
3x2y − 2y3
xy − 1 .
Solução: lim
(x,y)→(1,−1)
3x2y − 2y3
xy − 1 =
3 · 12 · (−1)− 2 · (−1)3
1 · (−1)− 1 =
−3 + 2
−1− 1 =
1
2
.
Nota 8. Em alguns casos, mesmo quando o ponto não pertence ao domínio da função, podemos calcular
o valor do limite de uma função racional bastando, para isso, eliminar a indeterminação por cancelamento
de fatores.
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA20
ER 12. Calcule lim
(x,y)→(−1,1)
2(y + 1)2 · (x3 − 1)
(1− x) · y2 .
Solução: lim
(x,y)→(−1,1)
2(y + 1)2 · (x3 − 1)
(1− x) · y2 =
2(y + 1)2 · (x − 1) · (x2 + x + 1)
(1− x) · y2 =
2(y + 1)2 · (x2 + x + 1)
−y2 =
2(1 + 1)2 · [(−1)2 − 1 + 1]
−12 = −4.
Nota 9. Claro que, se f é uma função racional e a pertence ao seu domínio (isto é, não anula o denomi-
nador da função), então f é contínua em a.
Nota 10. As funções contínuas num ponto a têm as mesmas propriedades operatórias já descritas para
os limites.
1.5 Proposição. Se f (x , y) é continua em (x0, y0), L1 = f (x0, y0), e g(z) é uma função de uma variável real tal
que existe lim
z→L1
g(z) = L2, então lim
(x,y)→(x0 ,y0)
g(f (x , y)) = L2.
ER 13. Determine:
(a) lim
(x,y)→(−2,1)
Ê
x2 − 3y
x · y2 ;
(b) lim
(x,y)→(0,pi4 )
sen

x + y
x · y − 1
‹
.
Solução:
(a) lim
(x,y)→(−2,1)
Ê
x2 − 3y
x · y2 =
(−2)2 − 3(1)
(−2) · 12 = −
1
2
;
(b) lim
(x,y)→(0,pi4 )
sen

x + y
x · y − 1
‹
= sen
„
0 +
π
4
0 · π
4
− 1
Ž
= sen
�
−π
4
�
= −
√
2
2
.
1.6 Proposição. Se lim
(x,y)→(x0 ,y0)
f (x , y) = L, então para toda curva C , dada por uma função contínua y = y(x)
(ou x = x(y)) tal que C ⊂ {(x0, y0)} está contido no domínio de f e y0 = y(x0) (ou x0 = x(y0)), temos:
lim
x→x0
f (x , y(x)) = L

ou lim
y→y0
f (x(y), y) = L
‹
.
Nota 11. Dada a curva C de equação y = y(x), usaremos a notação
lim
(x,y)→(x0 ,y0)
f (x , y) = lim
x→x0
f (x , y(x)), onde (x , y) ∈ C .
ER 14. Determine lim
(x,y)→(1,0)
(x − 1) · y
(x − 1)2 + y2 .
Solução: Temos, aqui, que lim
(x,y)→(1,0)
x − 1 = 0 e lim
(x,y)→(1,0)
(x − 1)2 + y2 = 0.
Para que este limite exista devemos ter que os limites, em qualquer uma das direções, seja o mesmo.
De forma análoga, podemos pensar que, se existem duas curvas C1 e C2 tais que lim
x→x0
f (x , y(x)) =
L1, onde (x , y) ∈ C1 e lim
x→x0
f (x , y(x)) = L2, onde (x , y) ∈ C2, com L1 6= L2, então lim
x→x0
f (x , y(x)) não existe.
Vamos mostrar que este limite não existe apresentando duas curvas que passam por (1, 0) e são tais que
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 21
os limites sobre elas são diferentes (análogo ao que se faz para funções de uma variável, usando os limites
laterais).
Temos que o domínio da função f (x , y) = (x − 1) · y
(x − 1)2 + y2 é D = R
2−{(1, 0)}. Lembre-se, aqui, da importân-
cia de se conhecer o domínio da função: os valores (x , y) de cada uma das curvas C1 e C2 consideradas,
devem pertencer a D.
Considere, por exemplo, as curvas C1 : y = 0 e C2 : x = 1. Observe que as curvas citadas contêm o
ponto (1, 0). Então, para (x , y) ∈ C1, temos que
lim
(x,y)→(1,0)
f (x , y) = lim
x→1
(x − 1) · 0
(x − 1)2 + 02 = 0
e para (x , y) ∈ C2
lim
(x,y)→(1,0)
f (x , y) = lim
y→0
(x − 1)2
2(x − 1)2 =
1
2
.
Desta forma, temos que não existe lim
(x,y)→(1,0)
(x − 1) · y
(x − 1)2 + y2 .
ER 15. Determine os pontos de descontinuidade da função
f (x , y) =
8
<
:
x2 · y
x4 + y2
; se (x , y) 6= (0, 0)
0 ; se (x , y) = (0, 0)
Solução: A expressão racional x
2 · y
x4 + y2
está definida para todo (x , y) 6= (0, 0). Portanto, a função f (x , y)
é contínua para todo (x , y) 6= (0, 0).
Para o ponto (0, 0) vamos mostrar, como no exemplo anterior, que não existe limite neste ponto e a função,
por conseguinte, é descontínua.
Considere, por exemplo, as curvas C1 : x = 0 e C2 : y = x2. Observe que as curvas citadas contêm o
ponto (0, 0)). Então, para (x , y) ∈ C1, temos que
lim
(x,y)→(0,0)
f (x , y) = lim
x→0
df rac02 · y04 + y2 = 0
e para (x , y) ∈ C2
lim
(x,y)→(0,0)
f (x , y) = lim
x→0
x2 · x2
x4 + (x2)2
=
1
2
.
Desta forma, temos que não existe lim
(x,y)→(0,0)
x2 · y
x4 + y2
e, portanto, a função f não é contínua.
ER 16. Calcular, caso exista, lim
(x,y)→(2,2)
1
x − y .
Solução: O domínio da função f (x , y) = 1
x − y é D = {(x , y) ∈ R
2; x 6= y}.
Considere a curva C : x = 2. Observe que essa curva contém o ponto (2, 2) e que para (x , y) ∈ C temos
que lim
(x,y)→(2,2)
f (x , y) = lim
y→2
1
2− y não existe. De fato, limy→2−
1
2− y = ∞ e limy→2+
1
2− y = −∞.
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA22
Funções Diferenciáveis
As funções de mais de uma variável são diferentes das funções de uma variável quando falamos de diferen-
ciabilidade. Esta condição, se fosse análoga a das funções de uma variável, requereria, apenas, que a função
de mais de uma variável possuísse derivadas parciais, o que não é o caso.
Restringiremos o estudo da diferenciabilidade, aqui, para funções reais de duas variáveis reais definida
numa vizinhança de (x0, y0). A notação d [(x , y), (x0, y0)] é para representar a distância entre os pontos (x , y) e
(x0, y0).
1.7 Definição. Dizemos que f (x , y) é diferenciável em (x0, y0) se as seguintes condições são verdadeiras:
i. Existem ∂f
∂x
(x0, y0) e
∂f
∂y
(x0, y0)
ii. lim
(x,y)→(x0 ,y0)
r(x , y)
d [(x , y), (x0, y0)]
= 0, para r(x , y) = f (x , y)−
•
∂f
∂x
(x0, y0) · (x − x0) + ∂f
∂y
(x0, y0) · (y − y0) + f (x0, y0)
˜
ER 17. Verifique se a função f (x , y) = 2x + 3y é diferenciável em (1,−1).
Solução: Temos que
i. ∂f
∂x
(1,−1) = 2 e ∂f
∂y
(1,−1) = 3;
ii. r(x , y) = 2x + 3y − (2− 3)− 2 · (x − 1)− 3(y + 1) = 0, para todo (x , y).
Portanto, lim
(x,y)→(1,−1)
r(x , y)
d [(x , y), (x0, y0)]
= 0.
1.13 Interpretação Geométrica
A equação z1 =
∂f
∂x
(x0, y0) · (x − x0) + ∂f
∂y
(x0, y0) · (y − y0) + f (x0, y0) é de um plano que passa por
(x0, y0, f (x0, y0)). Temos que r(x , y) = f (x , y) − z1. Logo, dizer que lim
(x,y)→(1,−1)
r(x , y)
d [(x , y), (x0, y0)]
= 0 significa
que f (x , y) − z1 tende a zero “mais rápido” do que (x , y) tende a (x0, y0), ou seja, próximo de (x0, y0) o gráfico
de f (x , y) está, ainda, mais próximo desse plano.
1.8 Definição. Se f (x , y) é diferenciável em (x0, y0), então
i. O plano tangente à superfície f (x , y) em (x0, y0) tem equação
z1 =
∂f
∂x
(x0, y0) · (x − x0) + ∂f
∂y
(x0, y0) · (y − y0) + f (x0, y0);
ii. A diferencial (ou diferencial total) de f (x , y) em (x0, y0) é
df (x0, y0) =
∂f
∂x
(x0, y0) · ∆x
|{z}
(x−x0)
+
∂f
∂y
(x0, y0) · ∆y
|{z}
(y−y0)
=
∂f
∂x
(x0, y0) ·∆x + ∂f
∂y
(x0, y0) ·∆y .
ER 18. Seja a função f (x , y) = 2x + 3y e o ponto (1,−1). Determine a equação do plano tangente e a
diferencial neste ponto.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 23
Solução: O plano tangente à superfície f (x , y) = 2x + 3y é z = 2(x − 1) + 3(y + 1)− f (1,−1) = 2x + 3y ,
ou seja, é ela própria. Observe que a superfície é um plano.
A diferencial no ponto é dada por df (1,−1) = 2 ·∆x + 3∆y .
1.9 Proposição. Se f (x , y) é diferenciável em (x0, y0), então é contínua em (x0, y0).
Prova: Devemos mostrar que
lim
(x,y)→(x0 ,y0)
f (x , y) = f (x0, y0)
que é equivalente a
lim
(x,y)→(x0 ,y0)
f (x , y) − f (x0, y0) = 0.
Portanto, como f (x , y) é diferenciável, temos lim
(x,y)→(x0 ,y0)
f (x , y)−f (x0, y0) = ∂f
∂x
(x0, y0)·(x−x0)+ ∂f
∂y
(x0, y0)·
(y − y0) + r(x , y).
Como (x − x0) → 0, (y − y0) → 0 e r(x , y) → 0, quando (x , y) → (0, 0), temos que lim
(x,y)→(x0 ,y0)
f (x , y) −
f (x0, y0) = 0.
ER 19. Verifique se a função
f (x , y) =
8
<
:
(x − 1) · y
(x − 1)2 + y2 ; se (x , y) 6= (1, 0)
1 ; se (x , y) = (1, 0)
é diferenciável em (1, 0).
Solução: A função em questão, apesar de possuir derivadas parciais em (1, 0), não é diferenciável em
(1, 0), pois não é contínua neste ponto.
No exercício a seguir veremos que uma função pode ser contínua sem que seja diferenciável neste ponto.
ER 20. Verifique se a função f (x , y) =
p
x2 + y2 é diferenciável em (0, 0).
Solução: Verifique que a função não possui derivadas parciais neste ponto e, assim, pode-se concluir
que não é diferenciável, apesar dela ser contínua neste ponto.
Nota 12. Esboce o gráfico da superfície do exercício anterior e conclua que era de se esperar que esta
função não fosse diferenciável em (0, 0), pois, neste ponto, ocorre o vértice do cone, onde não existe
plano tangente à superfície.
1.10 Teorema. Se f (x , y) possui derivadas parciais em todos os pontos de uma vizinhança de (x0, y0) e as
derivadas parciais são contínuas em (x0, y0), então f (x , y) é diferenciável em (x0, y0).
ER 21. Verifique se a função f (x , y) = x
(x − y + 1)2 + y2 é diferenciável em (−1, 0)
Solução: Observemos, inicialmente, que o domínio da função f (x , y) é D = R2 \ {(−1, 0)} e, para todo
ponto (x , y) ∈ D, temos que
∂f
∂x
(x , y) =
(x − y + 1)2 + y2 − 2x · (x − y + 1)
[(x − y + 1)2 + y2]2 e
∂f
∂y
(x , y) = −x [−2(x − y + 1) + 2y ]
[(x − y + 1)2 + y2]2 .
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA24
Como ∂f
∂x
(x , y) e
∂f
∂y
(x , y) são funções racionais de mesmo domínio D, então são funções contínuas neste
domínio. Concluímos que f (x , y) é diferenciável em todo o seu domínio.
Nota 13. Uma função racional é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.
Considerando-se que dx = ∆x e dy = ∆y , podemos, para a diferencial de uma função no ponto (x0, y0),
escrever
df (x0, y0) =
∂f
∂x
(x0, y0) · dx + ∂f
∂y
(x0, y0) · dy .
ER 22. Calcule o diferencial da função f (x , y) = cos(3xy) + y e determine a equação do plano tangente ao
ponto
�π
2
,−1
�
.
Solução: As derivadas parciais de f são: ∂f
∂x
(x , y) = −3y sen(3xy) e ∂f
∂y
(x , y) = −3x sen(3xy) + 1 e são
contínuas em todo ponto pertencente ao R2.
Portanto,
df
�π
2
,−1
�
=
∂f
∂x
�π
2
,−1
�
·dx+∂f
∂y
�π
2
,−1
�
·dy = −3·(−1) sen
−3π
2
‹
−3π
2
sen
−3π
2
‹
+1 = 3 dx+

1− 3π
2
‹
dy .
Temos que f
�π
2
,−1
�
= cos
�π
2
�
− 1 = −1 e, portanto, a equação do plano tangente é:
z = −1 + 3 ·
�
x − π
2
�
+

1− 3π
2
‹
(y + 1) = 3x +

1− 3π
2
‹
y − 3π.
1.14 O Gradiente
Inicialmente, relembremos dois conceitos importantes visto na disciplina de Álgebra Linear. Dados dois
vetores u = (x1, x2, . . . , xn) e v = (y1, y2, . . . , yn), o produto escalar (ou produto interno) de u por v é dado por
u · v = x1 · y1 + x2 · y2 + . . . + xn · yn =
n
X
i=1
xi · yi
e, se u e v são vetores não nulos, então
u · v = |u| · |v | · cos(θ),
sendo θ o ângulo por eles formado.
Trabalharemos, a partir deste ponto, com o espaço R2, visto que podemos trabalhar, de modo análogo, com
funções de mais de duas variáveis. O propósito disto se deve a questão de melhor visualização.
1.11 Definição. Se f (x , y) é diferenciável em (x0, y0), então seu vetor gradiente em (x0, y0) é definido por
∇f (x0, y0) =

∂f
∂x
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0)
‹
.
ER 23. Calcule o gradiente de f (x , y) = cos(x2 · y)− x no ponto
�
1,
π
2
�
.
Solução: Temos que
∂f
∂x
= −2xy sen(x2 · y)− 1 e ∂f
∂y
= x2 sen(x2 · y)
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 25
Portanto,
∂f
∂x
�
1,
π
2
�
= −2 · π
2
· sen
�π
2
�
− 1 = −1− π e ∂f
∂y
�
1,
π
2
�
= − sen
�π
2
�
= −1
Segue que ∇f
�
1,
π
2
�
= (−π − 1,−1).
1.15 As Derivadas Direcionais
Vimos que, se f (x , y) é diferenciável em (x0, y0) e u é um vetor não nulo, então
∂f
∂u
(x0, y0) = a · ∂f
∂x
(x0, y0) + b · ∂f
∂y
(x0, y0),
em que (a, b) = u◦ = u|u| é o versor de u. Temos, então, que
i. ∂f
∂u
(x0, y0) = ∇f (x0, y0) · u◦
ii. Se ∇f (x0, y0) 6= 0, então ∂f
∂u
(x0, y0) = |∇f (x0, y0)| · |u◦|
|{z}
1
· cos(θ) = |∇f (x0, y0)| · cos(θ).
Na expressão acima, fixando o ponto (x0, y0) e variando o vetor unitário u◦, observamos que o gradiente
e, conseqüentemente, seu módulo, permanecem constantes. A variação das derivadas direcionais dependem
apenas do cos(θ). Como cos(θ) ∈ [−1, 1], então, num só ponto (x0, y0), encontramos derivadas direcionais de
todos os valores, que vão desde −|∇f (x0, y0)| até |∇f (x0, y0)|.
A maior derivada direcional é |∇f (x0, y0)| e ocorre para cos(θ) = 1 ⇒ θ = 0, ou seja, ocorre se u tem
mesma direção
e mesmo sentido que ∇f (x0, y0). Então, o gradiente aponta para a direção e sentido em que o
crescimento da função é maior.
A menor derivada direcional ocorre para cos(θ) = −1 ⇒ θ = 180◦, ou seja, se u tem a direção do gradiente
e sentido contrário a ele.
A derivada direcional é nula se, e somente se, cos(θ) = 0, ou seja, se θ = 90◦. Isto é, se u é ortogonal a
∇f (x0, y0). Como a derivada direcional na direção da tangente à curva de nível é nula. Então, o gradiente é
ortogonal à tangente à curva de nível. Ou, mais simples, o gradiente é normal à curva de nível.
ER 24. Dada a função f (x , y) = cos(x2 · y)− x e o ponto
�
1,
π
2
�
. Determine:
(a) Um vetor unitário na direção em que f (x , y) cresce mais rapidamente neste ponto e a respectiva taxa de
variação de f .
(b) Um vetor unitário na direção em que f (x , y) decresce mais rapidamente neste ponto e a respectiva taxa
de variação de f .
(c) Vetor(es) unitário(s) na direção em que f (x , y) permanece(m) constante(s) e a respectiva taxa de variação
de f neste ponto.
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA26
Solução: (a) O vetor unitário na direção em que f (x , y) cresce mais rapidamente neste ponto é o versor
u◦ na direção de ∇f
�
1,
π
2
�
e, pelo exemplo anterior,
u =
„
−π − 1
È
(−π − 1)2 + (−1)2
,
−1
È
(−π − 1)2 + (−1)2
Ž
=
 −π − 1√
π2 + 2π + 2
,
−1√
π2 + 2π + 2
‹
.
Segue que
∂f
∂u
�
1,
π
2
�
=
�
�
�
∇f (1, π
2
�
| =
p
π2 + 2π + 2.
(b) O vetor unitário na direção em que f (x , y) cresce mais rapidamente neste ponto é o versor u1 na
direção de ∇f
�
1,
π
2
�
. Assim,
u1 =

π + 1√
π2 + 2π + 2
,
1√
π2 + 2π + 2
‹
.
Segue que
∂f
∂u1
�
1,
π
2
�
= −
�
�
�
∇f
�
1,
π
2
�
�
�
�
= −
p
π2 + 2π + 2.
(c) São os versores ortogonais ao versor u (ou u1).
u2 =
 −1√
π2 + 2π + 2
,
π + 1√
π2 + 2π + 2
‹
e u3 =

1√
π2 + 2π + 2
,
−π − 1√
π2 + 2π + 2
‹
. Segue que:
∂f
∂u2
�
1,
π
2
�
= − ∂f
∂u2
�
1,
π
2
�
= 0.
ER 25. A superfície de um rio se encontra no plano XOY e o seu leito é representado pela parte do gráfico
da função f (x , y) = z = −5 + x2 que se encontra abaixo desse plano. Se um barco está situado na superfície
do rio no ponto (1, 1) em que direção (e sentido) deve se deslocar para que
(a) A profundidade da água aumente mais rapidamente;
(b) A profundidade permaneça a mesma.
Solução: (a) Na direção e sentido de −∇f (1, 1) = −(2, 0) = (−2, 0).
(b) Nas direções ortogonais ao gradiente, ou seja, nas direções e sentidos dos vetores (0, 2) e (0,−2).
Podemos trabalhar com funções com mais de duas variáveis, de modo análogo ao que fazemos com funções
de duas variáveis.
ER 26. A densidade de massa de certo corpo (dada em g/cm3) é variável e, em cada ponto (x , y , z) do corpo,
é igual a f (x , y , z) = 4x2 + y2 + 16z2. Consideremos o ponto P0(1, 2,−1). Determine:
(a) A taxa de variação da densidade em P0, na direção de P0 para a origem. A densidade cresce ou decresce
nesta direção?
(b) A direção e o sentido em que a densidade cresce mais no ponto P0 e o valor da taxa.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 27
Solução: (a) O vetor (0−1, 0−2, 0− (−1)) = (−1,−2, 1) possui a direção e sentido de P0 para a origem,
(0, 0, 0). O versor na direção deste vetor é
u =
−1√
6
,
−2√
6
,
1√
6
‹
e ∇f = (8x , 2y , 32z) ⇒ ∇f (P0) = (8, 4,−32).
Logo
∂f
∂u
(P0) =
−8√
6
+
−8√
6
+
−32√
6
=
−48√
6
.
A densidade decresce, pois ∂f
∂u
(P0) < 0.
Nota 14. Aqui, utilizamos o teorema da conservação do sinal aplicado à função contínua ∂f
∂u
(x , y , z) =
−8x√
6
− −4y√
6
+
−32z√
6
que é a “função derivada direcional na direção do vetor u” dado acima.
(b) Direção de ∇f (P0) = (8, 4,−32). A taxa de variação (ou derivada direcional) é:
∂f
∂u
(P0) = |∇f (P0)| =
È
64 + 16(−32)2 =
√
1184.
1.16 Funções Implícitas
Vamos considerar uma elipsóide E cuja equação é x
2
4
+
y2
4
+ z2 − 1 = 0.
Explicitando a variável z desta, temos:
z = ±
r
1− x
2
4
− y
4
4
.
As funções de duas variáveis
f1(x , y) =
r
1− x
2
4
− y
4
4
e f2(x , y) = −
r
1− x
2
4
− y
4
4
são dadas implicitamente pela equação de E e o gráfico de cada uma destas é parte do elipsóide.
1.12 Definição. Sejam as funções F (x , y , z) e z = f (x , y) e a constante C ∈ R. Dizemos que f (x , y) é
dada implicitamente pela equação F (x , y , z) = C se F (x , y , f (x , y)) = C , para todo (x , y) do domínio de f .
Geometricamente, temos que o gráfico de f é parte da superfície de nível C de F .
Portanto, se fizermos F (x , y , z) = x
2
4
+
y2
4
+ z2 − 1, uma função de 3 variáveis, a equação de E pode ser
escrita como F (x , y , z) = 0, ou seja, esta é a equação da superfície de nível 0 de F (x , y , z).
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA28
1.16.1 Derivada de uma Função Implícita
Seja a função z = f (x , y) diferenciável em (x0, y0), dada implicitamente pela equação F (x , y , z) = C , tal que
F (x , y , z) é diferenciável em (x0, y0, z0
|{z}
f (x0,y0)
) e
∂F
∂z
(x0, y0, z0) 6= 0. Então,
∂f
∂x
(x0, y0) = −
∂F
∂x
(x0, y0, z0)
∂F
∂z
(x0, y0, z0)
e
∂f
∂y
(x0, y0) = −
∂F
∂y
(x0, y0, z0)
∂F
∂z
(x0, y0, z0)
A demonstração dessa propriedade é apenas uma aplicação da regra da cadeia e, por essa razão, vamos
mostrar apenas a derivada de F em relação a x . A derivada de F em relação a y segue de modo análogo.
Na equação F (x , y , f (x , y)) = C temos que a função de duas variáveis h(x , y) = F (x , y , f (x , y)) é constante,
ou seja, h(x , y) = C . Logo, suas derivadas são iguais a zero. Além disso, usando a regra da cadeia, temos,
∂h
∂x
(x0, y0)
| {z }
0
=
∂F
∂x
(x0, y0, z0)
∂x
∂x
|{z}
1
+
∂F
∂y
(x0, y0, z0)
∂y
∂x
|{z}
0
+
∂F
∂z
(x0, y0, z0)
∂f
∂x
=⇒ ∂f
∂x
(x0, y0) = −
∂F
∂x
(x0, y0, z0)
∂F
∂z
(x0, y0, z0)
.
ER 27. Determinar ∂z
∂x
(0,−1, 1) para z = z(x , y) dada implicitamente pela equação
z3 + cos(x)z2 + y2z + sen(2x) = 5.
Solução: Seja F (x , y , z) = z3 + cos(x)z2 + y2z + sen(2x). Temos
∂F
∂x
= − sen(x)z2 + 2 cos(2x) ⇒ ∂F
∂x
(0,−1, 1) = 2
∂F
∂y
= 2yz ⇒ ∂F
∂y
(0,−1, 1) = −2
∂F
∂z
= 3z2 + 2 cos(x)z + y2 ⇒ ∂F
∂z
(0,−1, 1) = 6
Portanto,
∂z
∂x
(0,−1) = −1
3
e
∂z
∂y
(0,−1) = 1
3
.
Podemos, também, resolver este exercício considerando que na equação z3+cos(x)z2+y2z+sen(2x) = 3,
z ou z3 + cos(x)z2 + y2z + sen(2x) são funções de x e y . Fixando x e derivando em relação a y , temos:
3z2
∂z
∂y
+ 2 cos(x)z
∂z
∂y
+ 2yz + y2
∂z
∂y
= 0 ⇒ 3 · 12 ∂z
∂y
+ 2 cos(0)1
∂z
∂y
2 + 12
∂z
∂y
= 0
⇒ 3 · 12 ∂z
∂y
+ 2 cos(0)1
∂z
∂y
+ 2 + 12
∂z
∂y
= 0
⇒ ∂z
∂y
= −2
6
= −1
3
De modo análogo, calculamos a derivada em relação a x .
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 29
1.17 Plano Tangente e Reta Normal
Plano Tangente a uma Superfície
Existe um resultado (Teorema da Função Implícita) que nos garante que, se a função F (x , y , z) possui
derivadas parciais contínuas e sua derivada em relação a z não se anula no ponto P0 = (x0, y0, z0), então,
numa vizinhança deste ponto, a superfície de nível de F (que passa em P0) coincide com o gráfico de uma
função de duas variáveis z = f (x , y) e esta função também possui derivadas parciais contínuas.
Ocorre o análogo se a derivada de F em relação a x ou a y é não nula em P0, e, assim, teremos funções
x = f (y , z) ou y = f (x , z). Nestas condições, se o gradiente de F é não nulo, definimos o plano tangente à
superfície S , como sendo o plano tangente ao gráfico da função f em
P0. Assim, se a derivada de F em relação
a z for não nula, o plano tangente tem equação
z =
∂F
∂x
(x0, y0)(x − x0) + ∂F
∂y
(y − x0) + z0.
Substituindo as derivadas de f (x , y) em função das derivadas de F (x , y), temos:
z = −
∂F
∂x
(P0)
∂F
∂z
(P0)
(x − x0)−
∂F
∂y
(P0)
∂F
∂z
(P0)
(y − x0) + z0
Segue que,
∂F
∂x
(P0)(x − x0) + ∂F
∂y
(P0)(y − y0) + ∂F
∂z
(P0)(z − z0) = 0.
Da última equação, temos que se Q = (x , y , z) é um ponto qualquer do plano tangente, então o vetor
Q − P0 = (x − x0, y − y0, z − z0) é tal que ∇F (P0) · (Q − P0) = 0. Isto é, o vetor Q − P0 = (x − x0, y − y0, z − z0)
é ortogonal a ∇F (P0).
Então, o plano tangente a S em P0 é o plano que passa neste ponto cujo vetor normal é ∇F (P0).
Reta Normal a uma Superfície
Nas mesmas condições citadas definimos a reta normal a S em P0: reta que passa neste ponto na direção
de ∇F (P0). Portanto, temos:
Equação Vetorial
(x , y , z) = P0 + t ·

∂F
∂x
(P0),
∂F
∂y
(P0),
∂F
∂z
(P0)
‹
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA30
Equações Paramétricas
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
x = x0 + t · ∂F
∂x
(P0)
y = y0 + t · ∂F
∂y
(P0)
z = z0 + t · ∂F
∂z
(P0)
ER 28. Determinar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície x
2
4
+
y2
4
+ z2 − 1 = 0 em
P0 =

1, 1,
1√
2
‹
.
Solução: Façamos F (x , y , z) = x
2
4
+
y2
4
+ z2 − 1. Assim, ∇F (x , y , z) =
�x
2
,
y
2
, 2z
�
. Determinemos o
gradiente no ponto P0, ou seja,
∇F

1, 1,
1√
2
‹
=

1
2
,
1
2
,
2√
2
‹
.
O plano tangente tem equação
1
2
(x − 1) + 1
2
(y − 1) + 2√
2

z − 1√
2
‹
= 0
A reta normal tem equação vetorial
(x , y , z) =

1, 1,
1√
2
‹
+ t ·

1
2
,
1
2
,
2√
2
‹
.
1.18 Máximos e Mínimos de Funções Reais de Várias Variáveis
As definições de máximo e de mínimo para funções de várias variáveis são as mesmas que no caso de
funções de uma variável.
Seja z = f (x , y) definida num conjunto aberto U ⊂ R2. Um ponto (x0, y0) ∈ U é um ponto crítico de f se as
derivadas fx(x0, y0) e fy (x0, y0) são iguais a zero ou se f não é diferenciável em (x0, y0) ∈ U. Geometricamente,
um ponto é crítico de uma função num ponto quando o gráfico da função nesse ponto não tem plano tangente
ou o plano tangente é horizontal.
1.13 Definição. Seja f : U ⊂ Rn → R e x0 ∈ U. Dizemos que x0 é ponto de mínimo (ou mínimo absoluto) de
f , se para todo x ∈ U, f (x0) ≤ f (x). Analogamente, x0 é ponto de máximo (ou máximo absoluto) de f , se para
todo x ∈ U, f (x0) ≥ f (x). Dizemos que x0 é ponto de mínimo local (ou relativo) de f , se existe uma vizinhança
V de x0, tal que, para todo x ∈ V ∩ U, f (x0) ≤ f (x). Analogamente, x0 é ponto de máximo local (ou relativo) de
f , se existe uma vizinhança V de x0, tal que, para todo x ∈ V ∩ U, f (x0) ≥ f (x).
Por exemplo,
• o ponto (1, 2) é de mínimo para a função f (x , y) = x2 + y2 − 2x − 4y + 6, pois, para todo (x , y) ∈ R2,
f (1, 2) = 1 ≤ f (x , y) = 1 + (x − 1)2 + (y − 2)2.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 31
• o ponto (0, 0) é de máximo para a função g tal que g(x , y) = p1− x2 − y2, pois, sendo o domínio de g
o conjunto Dom(g) = {(x , y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 1}, temos que, para todo (x , y) ∈ Dom(g), g(0, 0) = 1,
1 ≥ 1− x2 − y2 e 1 ≥p1− x2 − y2.
1.14 Teorema. Se f : U ⊂ Rn → R é contínua e U é compacto, então f possui ponto de mínimo e ponto de
máximo em U.
1.15 Teorema. Se f : U ⊂ Rn → R é diferenciável em x0 e x0 é ponto de mínimo local ou de máximo local de
f , então ∇f (x0) = 0.
1.18.1 Critério para Identificar os Extremantes Locais
Com o determinante a seguir somos capazes de determinar se um dado ponto x0 do domínio da função é
um ponto de máximo, de mínimo ou de sela.
1.16 Definição. Seja f : U ⊂ R2 → R uma função com derivadas segundas contínuas numa vizinhança de
(x0, y0). O determinante
H(x0, y0) =
fxx (x0, y0) fxy (x0, y0)
fyx (x0, y0) fyy (x0, y0)
=
�
�
�
�
�
�
fxx fxy
fyx fyy
�
�
�
�
�
�
(x0,y0)
= fxx (x0, y0) · fyy (x0, y0)− f 2xy (x0, y0)
é chamado Hessiano de f em (x0, y0).
Observe que utilizamos a notação fxx , fxy , fyy e fyx para representar, respectivamente, as derivadas parciais
de segunda ordem ∂
2f
∂x2
,
∂2f
∂y2
,
∂2f
∂x∂y
e
∂2f
∂y∂x
.
1.17 Teorema. Sejam (x0, y0) um ponto interior do conjunto U, f : U ⊂ R2 → R uma função com derivadas
segundas contínuas numa vizinhança de (x0, y0) e fx (x0, y0) = fy (x0, y0) = 0, ou seja, ∇f (x0, y0) = 0. Então
(a) Se H(x0, y0) > 0 e fxx (x0, y0) > 0 (ou, fyy (x0, y0) > 0), então (x0, y0) é ponto de mínimo local de f .
(b) Se H(x0, y0) > 0 e fxx (x0, y0) < 0 (ou, fyy (x0, y0) < 0), então (x0, y0) é ponto de máximo local de f .
(c) Se H(x0, y0) < 0, então (x0, y0) é ponto de sela de f .
Nota 15. O Teorema nada diz no caso em que H(x0, y0) = 0.
1.18.2 Valores Máximos e Mínimos Absolutos de Funções de Duas Variáveis
Vimos, anteriormente, como identificar localmente os pontos de máximo e de mínimo. Mas, como podemos
identificar o maior ou menor valor que uma função assume? Esses valores são importantes para resolvermos
alguns problemas de otimização.
O teorema a seguir é conhecido como de Weierstrass e é um importante resultado.
1.18 Teorema. Seja f uma função contínua em um conjunto fechado e limitado D ⊂ R2. Então f atinge um
valor máximo absoluto f (x1, y1) e um valor mínimo absoluto f (x2, y2), para algum ponto (x1, y1) e (x2, y2) de D.
Segue que, para se determinar um valor máximo ou mínimo absoluto para uma função contínua f em um
conjunto fechado e limitado D, temos que:
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA32
• Determinar os valores de f nos pontos críticos de f em D;
• Estabelecer os valores de f na fronteira de D;
• O maior e o menor valor encontrado são, respectivamente, o valor máximo e mínimo absoluto.
1.18.3 Multiplicadores de Lagrange
O método dos multiplicadores de Lagrange é utilizado para resolver problemas de máximos e mínimos
“relativos”. Por exemplo, o problema clássico de construir uma caixa de papelão com a forma de paralelepípedo
que tenha máximo volume para uma área de papelão dada, pode ser formulado assim: determinar o máximo da
função f (x , y , z) = xyz (volume do paralelepípedo de arestas x , y e z) com a condição de que xy + xz + yz = k
(a área total das faces é fixa e igual a 2k). Esta condição é denominada vínculo ou condição subsidiária.
A solução decorre, imediatamente, usando a condição de área fixa para eliminar, digamos, z, em função
de x e de y . O volume passa, então, a ser uma função só de x e y , à qual se aplicam os métodos usuais.
O problema se complica, e este método se torna inaplicável, quando as condições subsidiárias são muitas
ou muito complicadas. Lagrange descobriu uma maneira genial de simplificar o problema: o método dos
multiplicadores de Lagrange. Vamos discutir este problema.
Seja f (x , y , z) a função da qual queremos saber os máximos e mínimos e g(x , y , z) = 0 a condição sub-
sidiária. No problema citado acima, teríamos f (x , y , z) = xyz e g(x , y , z) = 0 seria dada por xy+yz+zx−K = 0.
Desta última relação, segue que:
z =
K − xy
x + y
que, levada a equação xy + yz + zx − K = 0, dá:
F (x , y) = f (x , y , z(x , y)) = xy
K − xy
x + y
.
A solução é obtida, agora, igualando a zero as derivadas parciais ∂F
∂x
e
∂F
∂y
, ou seja
∂F
∂x
=
y2
(x + y)2
{K − 2xy − x2}
∂F
∂y
=
x2
(x + y)2
{K − 2xy − y2}
Igualadas a zero, obtemos as equações 2xy + x2 = K e 2xy + y2 = K , de onde se conclui que x = y e que
K = 3x2. Logo, temos, também, x = z, ou seja, o paralelepípedo de volume máximo, para área dada, é o cubo.
Os “métodos usuais” que mencionamos
acima consistem em procurar os “pontos críticos”, ou seja, os
pontos em que todas as derivadas parciais da função a maximizar se anulam.
A receita para achar os pontos de máximo é igualar a zero todas as derivadas parciais. Se não houvesse
vínculos isto seria o mesmo que impor df = 0, onde df , o diferencial da função f , é dado por
df =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy +
∂f
∂z
dz
Uma vez eliminado z por meio do vínculo, temos, em lugar desta última, a equação
dF =
∂F
∂x
dx +
∂F
∂y
dy = 0,
ou seja, não aparece mais o diferencial dz, indicando que a função F não depende de z. O método de Lagrange
oferece uma técnica mais eficiente e simétrica para eliminar a dependência em z, ou seja, para se livrar do
termo em dz na expressão do diferencial da função cujos máximos se procura.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 33
Considere o diferencial da função f
df =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy +
∂f
∂z
dz
e, como g(x , y , z) = 0, temos
dg =
∂g
∂x
dx +
∂g
∂y
dy +
∂g
∂z
dz = 0.
Seja λ um número qualquer, de valor a ser determinado posteriormente. Adicionemos a df a quantidade
λ dg , que é zero. Logo, df = df + λ dg . Portanto, podemos escrever
df =

∂f
∂x
+ λ
∂g
∂x
‹
dx +

∂f
∂y
+ λ
∂g
∂y
‹
dy +

∂f
∂z
+ λ
∂g
∂z
‹
dz
Mas, como λ é indeterminado, podemos determiná-lo, agora, impondo que o coeficiente de dz, na expressão
anterior, seja nulo, ou seja, que ∂f
∂z
+ λ
∂g
∂z
= 0. Com isso, temos, agora, um df independente de z e podemos
localizar seus pontos de máximo impondo que df = 0, ou, mais precisamente, que df + λ dg = 0. Mas isso dá
as condições ∂f
∂x
+ λ
∂g
∂x
= 0 e
∂f
∂y
+ λ
∂g
∂y
= 0. Como, adicionalmente, temos a condição dada, notamos que
o conjunto das equações que determinam os pontos de máximo (bem como o valor de λ) é obtido da seguinte
maneira: igualam-se a zero as derivadas parciais da função f + λg .
A generalização é imediata. Seja f (x , y , z, u, v) a função cujos pontos de máximo queremos localizar, e
sejam g(x , y , z, u, v) = 0 e h(x , y , z, u, v) = 0 condições subsidiárias. Então, igualam-se a zero as derivadas
parciais da função f + λ1g + λ2h, em que λ1 e λ2 são coeficientes a determinar. Se houver n condições
subsidiárias gi = 0, igualem-se a zero as derivadas parciais da função f +
P
i λigi Os λi são denominados
multiplicadores de Lagrange.
Voltemos ao problema do paralelepípedo e vamos resolvê-lo pelo método de Lagrange. A função cujos
máximos procuramos é f (x , y , z) = xyz; o vínculo é g(x , y , z) = xy + yz + xz − K = 0. Logo, temos de igualar
a zero as derivadas parciais da função f + λg . Um cálculo simples leva a
∂f
∂x
+ λ
∂g
∂x
= yz + λ(y + z) = 0
∂f
∂y
+ λ
∂g
∂y
= xz + λ(x + z) = 0
∂f
∂z
+ λ
∂g
∂z
= xy + λ(x + y) = 0
Das duas primeiras temos
yz + λ(y + z) = xz + λ(x + z),
de onde segue que x = y . Das duas últimas, analogamente, segue que y = z. Logo, x = y = z. Trata-se,
portanto, de um cubo. Note que não foi sequer necessário calcular λ. Assim, mesmo neste caso muito simples,
é vantajoso usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Formalizemos, então, o método dos multiplicadores de Lagrange para uma função real de duas variáveis
reais.
1.19 Teorema. Seja f (x , y) uma função diferenciável num conjunto aberto U e g(x , y) uma função com
derivadas parciais contínuas em U tal que ∇g (x , y) 6= (0, 0), para todo (x , y) ∈ V , em que V = {(x , y) ∈
U; g(x , y) = 0}. Uma condição necessária para que (x0, y0) ∈ V seja extremante local de f em V é que
∇f (x0, y0) = λ∇g(x0, y0),
para algum valor real λ.
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA34
1.18.4 Exercícios Propostos
EP 1.4. Construa o gráfico de f (x , y) = x2 + y2 − 2x − 4y + 6 (utilize o winplot) e justifique porque f não tem
ponto de máximo absoluto.
EP 1.5. Justifique (analiticamente) porque, para a função g(x , y) = p1− x2 − y2, todo ponto (a, b); a2+b2 = 1
é ponto de mínimo de g . Construa o gráfico de g (utilize o winplot) e comprove o resultado.
EP 1.6. Dadas as funções abaixo, calcule o indicado, sendo:
(a) f (x , y) = 5x − 13y − x2y + 7 (a1) f(2,3) (a2) f(−1,0) (a3) lim(x,y)→(−3,2) f (x , y)
(b) f (x , y) = 4y3+ 12x
y
+
√
y + 3−15 (b1) f(3,1) (b2) f(6,−2) (b3) lim(x,y)→(1,6) f (x , y)
EP 1.7. Dê o conjunto domínio e calcule as derivadas parciais de 1a e 2a ordem de cada uma das funções:
(a) f (x , y) = 12y2 + 7xy + 24√
x
(b) f (x , y) = 8y + 5√x + 15− x2y3
(c) f (x , y) = √4x + 3 + 3√y + 12
y
(d) f (x , t) = 3
t2
+
t
x
+ x2
(e) f (r , s) = 5r5 + rs2 +√2s + 1
(f) f (x , y) = 3 sen(x) + cos(y2) + 5y
EP 1.8. Usando a Regra da Cadeia, resolva os seguintes problemas:
(a) A altura de um cone é de 14cm e aumenta na razão de 0, 03cm/s. O raio é de 8cm e aumenta na razão
de 0, 04cm/s. Determine a taxa de variação do volume em relação ao tempo.
(b) A voltagem V de um circuito elétrico está decrescendo à medida que a bateria se descarrega. A resistência
R está aumentando devagar com o aumento de calor do resistor. Use a lei de Ohm, V = I ·R , para achar
como a corrente I está variando no momento em que R = 30ohms e estiver aumentando 0, 15ohms/s e
V = 26volts e estiver diminuindo 0, 25volts/s.
(c) A lei do gás ideal é dada pela fórmula PV = kT , onde P é a pressão, V é o volume, T é a temperatura e
k é a constante de proporcionalidade. Encontre a taxa de variação da pressão em relação ao tempo, no
instante em que o volume do gás for 400cm3 e estiver com temperatura de 40 graus e em que o volume
aumenta à razão de 0, 1cm3/s e a temperatura diminui à razão de 0, 018graus/s. Supor k = 10.
(d) O comprimento c , a largura l e a altura h de uma caixa variam com o tempo. A certo instante as dimensões
da caixa são c = 5m, l = 3m e h = 10m, onde c e l estão aumentando a uma taxa de 0, 25m/s, ao passo
que h está diminuindo à taxa de 0, 5m/s. Nesse instante, determine as taxas nas quais o volume e a área
da superfície estão variando.
EP 1.9. Usando diferencial, resolva os seguintes problemas:
(a) Determine a quantidade de estanho numa lata cilíndrica fechada com 7, 5cm de diâmetro e 15cm de altura,
se a espessura da folha de estanho for de 0,03 cm. DADO : V = πr2h.
(b) Determine o máximo erro no cálculo da área da superfície e no cálculo de volume de uma caixa aberta
retangular com altura 25m, largura 30cm e comprimento 70cm, com erro máximo de 0, 3cm em cada
dimensão.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 35
(c) A potência consumida numa resistência elétrica é dada por P = V
2
R
watts. Se V = 12volts e R =
6ohms, determine o valor da variação da potência se V é aumentada de 0, 015volts e R é aumentada de
0, 002ohms. Interprete o sinal do resultado: a potência é reduzida ou aumentada?
(d) O período T em segundos para oscilações de um pêndulo simples que tem ρcm de largura é dado pela
fórmula T = 2π
É
ρ
g
, onde g é a constante de aceleração da gravidade. Sabendo que ρ = 13cm e
g = 9, 8cm/s2 e que foi a leitura incorreta com ρ = 12, 95cm e g = 9, 85cm/s2, encontre a variação do
período T .
(e) Seja um retângulo com lados x = 3cm e y = 4cm. Determine a variação aproximada da diagonal deste
retângulo, sabendo que o lado x foi aumentado 0, 005cm e o lado y diminuído 0, 004cm.
(f) A resistência de um circuito elétrico é dada por R = E
C
ohms. Sabendo que E = 18volts e C = 6 ampères,
porém, foi feita a leitura de E = 17, 985 voltas e C = 6, 125 ampères, determinar a variação da resistência.
EP 1.10. Dadas as funções abaixo, classifique os pontos críticos em máximo, mínimo ou sela.
(a) f (x , y) = −2y2x − 4x2y + 24xy (b) f (x , y) = 9xy + 7xy2 − 3x2y (c) f (x , y) = 3x
2+y2−18x+6y−3xy+
27
EP 1.11. (a) Deseja-se construir uma caixa retangular, com tampa, cujo volume é de 2744cm3, sendo que
a quantidade de material
para a sua fabricação deve ser mínima.
(b) Deseja-se construir uma caixa retangular, com tampa, de 64cm3 de volume. O custo do material a ser
usado é de 1u.m. por cm2 para o fundo e tampa, 4u.m. por cm2 para um par de lados opostos e 2u.m. por
cm2 para o outro par de lados opostos. Determine as dimensões da caixa de tal maneira que o custo seja
mínimo.
(c) Determine três números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima.
(d) Deseja-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270m3 de combustível,
gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas as paredes serão
feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as dimensões do tanque.
(e) Determine a temperatura mínima num disco de raio igual a 1 centrado na origem, sabendo que a temper-
atura T em qualquer ponto (x , y) do plano é dada por T (x , y) = 3y2 + x2 − x − 7.
(f) Determine a temperatura máxima num disco de raio igual a 2 centrado na origem, sabendo que a temper-
atura T em qualquer ponto (x , y) do plano é dada por T (x , y) = −y2 − x2 − 2x + 2y + 8.
(g) Uma indústria produz dois produtos, denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda de x unidades
do produto A e y unidades do produto B é dado pela função L(x , y) = 60x + 100y − 3
2
x2 − 3
2
y2 − xy .
Supondo que toda a produção da indústria seja vendida, determinar a produção de tal modo que o lucro
seja máximo.
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA36
Gabarito
1.1 (a) 3y − 2x2 + x = 0; (b) 3y − 2x2 + x = 0; (c) 3xy − 2x3 + x2 − 6 = 0. 1.2 (a) z = x2 + y2 + 2; (b) z = x2 + y2 − 5; (c)
z = x2 + y2 . 1.6 (a1) -34; (a2) 2; (a3) -52; (b1) 27; (b2) -82; (b3) 854; 1.7 (a) ∂f
∂x
= 7y − 12x
−3
2 ,
∂2f
∂x2
= 18x
−5
2 ,
∂f
∂y
= 24y + 7x,
∂2f
∂y2
= 24,
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
= 7 e Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2; x > 0}; (b) ∂f
∂x
=
1
5
(x + 15)
4
5 − 2xy3 , ∂
2f
∂x2
=
−4
25
(x + 15)
−9
5 − 2y3 ,
∂f
∂y
= 8 − 3x2y2 , ∂
2f
∂y2
= −6x2y , ∂
2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
= −6xy2 e Dom(f ) = R2; (c) ∂f
∂x
= 2(4x + 3)
−1
2 ,
∂2f
∂x2
= −4(4x + 3)
−3
2 ,
∂f
∂y
=
1
3
y
−2
3 − 12y−2, ∂
2f
∂y2
=
−2
9
y−53+ 24y−3,
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
= 0 e Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2; x ≥ −3
4
, y 6= 0}; (d) ∂f
∂x
= −tx−2 +2x,
∂2f
∂x2
= 2tx−3 +2,
∂f
∂t
= −6t−3 + x−1 , ∂
2f
∂t2
= 18t4 ,
∂2f
∂x∂t
=
∂2f
∂t∂x
= −x−2 e Dom(f ) = {(x, t) ∈ R2; x 6= 0, t 6= 0}; (e) ∂f
∂r
= 25r4 + s2,
∂2f
∂r2
= 100r3,
∂f
∂s
= 2rs + (2s + 1)
−1
2 ,
∂2f
∂s2
= 2r − (2s + 1)
−3
2 ,
∂2f
∂r∂s
=
∂2f
∂s∂r
= 2s e Dom(f ) =
�
(r , s) ∈ R2; s 6= −1
2
©
; (f)
∂f
∂x
= 3 cos(x),
∂2f
∂x2
= −3 sen(x), ∂f
∂y
= −2y sen(y2) + 5, ∂
2f
∂y2
= −4y2 cos(y2) − 2 sen(y2), ∂
2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
= 0 e Dom(f ) = R2. 1.8
(a) ∂v
∂t
= 3, 62picm3/s; (b) ∂I
∂t
= −0, 01266 ampères/s; (c) ∂P
∂t
= −0, 0007dinas/cm2/s. 1.9 (a) dv = 4, 219picm3; (b) dv = 1.380cm3
e dA = 120cm2; (c) dP = 0, 052watts; (d) dT = 0, 0102pis; (e) dD = −0, 0002cm; (f) dR = 0, 063ohms; 1.10 (a) (0, 0), (6, 0), (0, 12) e
(2, 4) são pontos de sela; (b) (0, 0), (0,−9/7) e (3, 0) são pontos de sela e (1,−3/7) é de mínimo; (c) (6, 6) é ponto de mínimo. 1.11 (a)
x = y = z = 14cm (b) x = 8cm, y = 4cm e z = 2cm
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 37
TEMA02 Integração
Integrais Duplas
Até agora sabemos calcular o volume de alguns sólidos, por exemplo, dos prismas, dos cilindros, das
pirâmides, dos cones e das esferas. Aqui, estaremos interessados em desenvolver uma teoria que nos dê
a medida do volume de um sólido qualquer, porém, com algumas restrições. Comecemos por abordar este
problema pensando no sólido a seguir:
Considere uma função de duas variáveis f , definida em um retângulo fechado R = [a, b]× [c , d ] e suponha
que f (x , y) é positiva, para todo (x , y) ∈ R . Lembrando que o gráfico desta função é um subconjunto do R3,
considere o sólido
S = {(x , y , z) ∈ R3 : 0 ≤ f (x , y), (x , y) ∈ R}.
Nosso objetivo é o de calcular o volume deste sólido.
Por exemplo, a função f : R → R, f (x , y) = x(1− y4), com R = [0, 2]× [0, 1]. Poderíamos pensar em calcular
o volume da superfície S = {(x , y , z) ∈ R3 : 0 ≤ f (x , y), (x , y) ∈ R} de várias maneiras. Podemos “fatiar” o
sólido com planos paralelos ao plano yz.
x
y
z
x
y
z
Assim, para cada x fixo entre 0 e 2 temos
uma região onde se calcula a área, facil-
mente, usando integral de uma variável. Va-
mos denotá-la por A(x). Então
y
z
z =
1− y4
2
; x =
1
2
0 1 y
z
z =
3− 3y4
2
; x =
3
2
0 1
A(x) =
Z 1
0
x(1− y4) dy =
�
xy − xy
5
5
�1
0
= x − x
5
.
Assim, o volume do sólido poderia ser definido como sendo a “soma” de todos os A(x). Somar em x é integrar.
Então, uma boa definição do volume de S parece ser
V =
Z 2
0
A(x) dx =
Z 2
0
�
Z 1
0x(1− y4) dy
�
dx =
Z 2
0x − x
5
dx =
�
2x2
5
�2
0
=
8
5
Veja que outro tipo de “fatiamento” poderia ter sido feito, por exemplo, com planos paralelos ao plano xz.
Teríamos obtido o mesmo valor? E, se a função possuir uma expressão mais complicada, ainda assim isto
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA38
funciona? E, se o domínio da função for outra região que não um retângulo, poderíamos usar este método?
Estas e outras questões serão abordadas devidamente a seguir. Daremos uma definição formal de integral
dupla e suas propriedades. Discutiremos em que situações podemos calcular o volume de S da forma acima e
veremos algumas outras aplicações da integral dupla.
2.1 Funções Integráveis
Uma questão natural quando necessitamos integrar é: que funções de uma variável real são integráveis?
Assim, é natural, também, que nos questionemos: quais funções de duas ou mais variáveis são integráveis?
Vejamos, a seguir, um exemplo de função não integrável.
ER 29. Considere o retângulo R = [0, 1]× [0, 1] e a função
f (x , y) =
8
<
:
1, se (x , y) ∈ Q ∩ R
0, se (x , y) 6∈ Q ∩ R
Verifique se f é integrável.
Solução: Tomemos uma partição qualquer de R e em cada Ri e escolhamos (xi , yi ) ∈ Q×Q. Assim, por
um raciocínio simples, temos:
n
X
i=1
f (xi , yi ) · A(Ri ) = 1.
Entretanto, ao escolhermos (xi , yi ) ∈ R2 \Q2, temos
n
X
i=1
f (xi , yi ) · A(Ri ) = 0.,
Dessa forma, o limite não existe, ou seja, f não é integrável.
O fato de se calcular o volume de um sólido delimitado pelo gráfico de uma função positiva, definida num
retângulo, utilizando-se o método anterior, nem sempre é possível. Portanto, restringiremos este cálculo ao
gráfico de funções contínuas, de acordo com o teorema:
2.1 Teorema. Se f é uma função contínua em um retângulo R , então f é integrável em R .
A definição de integral dupla não é muito simples de se manipular. Entretanto, uma conseqüência da
definição nos dá uma forma de encontrar funções não-integráveis. O resultado é o seguinte:
2.2 Teorema. Se f é uma função integrável em R , então f é limitada em R , isto é, existe M > 0 tal que
|f (x , y)| < M , para todo (x , y) ∈ R .
O resultado acima é útil no seguinte aspecto: se uma função de duas variáveis não é limitada em R então
ela não é integrável em R . Por exemplo, a função
f (x , y) =
(x − y)
(x + y)3
não é limitada em [0, 1]× [0, 1] (mostre como exercício), logo, não é integrável.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 39
2.2 Volume, Soma de Riemann e a Integral Dupla
No curso de Cálculo I vimos que a integral definida de
funções de uma variável era aplicada para o cálculo de áreas
de certas regiões planas. Aqui, veremos que a integral dupla
determinará a medida do volume de alguns sólidos (regiões
do espaço).
Para motivar a definição de integral dupla em um retân-
gulo R , vamos tentar calcular o volume de um sólido particu-
lar usando a mesma idéia que tivemos para funções de uma
variável.
Considere a região abaixo do gráfico de uma função f de
duas variáveis, definida num retângulo fechado R = [a, b] ×
[c , d ] e suponha que f (x , y) é positiva, para todo (x , y) ∈ R2.
x
y
z
a
b
c d
Vamos calcular o volume de um sólido do tipo
S = {(x , y , z) ∈ R3; 0 ≤ z ≤ f (x , y) e (x , y) ∈ R}
dividindo o retângulo R em pequenos retângulos
Ri (esta divisão é chamada de “partição” de R).
Escolhendo-se um ponto qualquer (xi , yi ) de Ri , monte-
mos o paralelepípedo de base Ri e altura f (xi , yi ), que
terá volume f (xi , yi ) ·A(Ri ), onde A(Ri) indica a área do
retângulo Ri .
x
y
Ri
xi
yi
Uma partição da região R
A soma de todos os valores destes volumes é:
n
X
i=1
f (xi , yi ) · A(Ri ).
Se os retângulos Ri forem suficientemente pequenos, a soma obtida parece ser uma boa aproximação do
volume procurado do sólido. Assim, nossa intuição nos diz que o volume de S pode ser encontrado calculando
lim
A(Ri )→0
n
X
i=1
f (xi , yi ) · A(Ri).
Na verdade, queremos que A(Ri ) seja uma valor muito pequeno. Consideremos, então, a diagonal d(Ri) dos
retângulos e façamos max d(Ri ) ir para zero. Então, temos a seguinte definição:
2.3 Definição. A integral dupla de f sobre R é:
ZZ
R
f (x , y) dA = lim
max d(Ri )→0
n
X
i=1
f (xi , yi ) · A(Ri ),
se tal limite existe. Neste caso, diz-se que f é integrável em R .
Portanto, se a função f é positiva e integrável em um retângulo R , o volume de S pode ser obtido por:
V (S) =
ZZ
R
f (x , y) dA.
2.2.1 Propriedades da Integral Dupla
Se f e g são funções integráveis em R e c é constante, então:
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA40
1.
ZZ
R
[f (x , y) + g(x , y)] dA =
ZZ
R
f (x , y) dA +
ZZ
R
g(x , y)] dA
2.
ZZ
R
c · f (x , y) dA = c ·
ZZ
R
f (x , y)] dA
3.
ZZ
R
f (x , y) dA ≤
ZZ
R
g(x , y) dA sempre que f (x , y) ≤ g(x , y) em R .
2.3 Integrais Iteradas
A definição de integral dupla pode ser natural, porém, ela não é uma forma muito prática de se calcular.
Entretanto, para se calcular o volume de um sólido vimos que poderíamos “fatiá-lo”, paralelamente, ao eixo x
ou ao eixo y . Mas, por enquanto, pensemos num caso particular.
Seja f (x , y) ≥ 0, ∀ (x , y) ∈ R = [a, b]× [c , d ] e considere, novamente, a região
S = {(x , y , z) ∈ R3; 0 ≤ z ≤ f (x , y) e (x , y) ∈ R}.
Para cada x fixo entre a e b, a área da fatia é dada por
A(x) =
Z d
c
f (x , y) dy .
Então, o volume de S é
Z b
a
A(x) dx =
Z b
a
�
Z d
c
f (x , y) dy
�
dx .
Entretanto, fixando y entre c e d poderíamos, também, calcular a área de cada fatia e depois o volume, fazendo
Z d
c
A(y) dy =
Z d
c
�
Z b
a
f (x , y) dx
�
dy .
Estas integrais são chamadas de integrais iteradas e, usualmente, se escreve apenas
Z b
a
Z d
c
f (x , y) dy dx ou
Z d
c
Z b
a
f (x , y) dx dy
ER 30. Verifique se
Z 2
1
Z 3
0
x2y dx dy =
Z 3
0
Z 2
1
x2y dy dx .
Solução:
Z 2
1
Z 3
0
x2y dx dy =
Z 2
1
�
x3
3
y
�3
0
dy =
Z 2
1
9y dy =
27
2
e
Z 3
0
Z 2
1
x2y dy dx =
Z 3
0
�
x2
y2
2
�2
1
dx =
Z 3
0
3x2
2
dx =
27
2
O que obtivemos anteriormente não é uma mera coincidência. O resultado, que é denominado teorema de
Fubbini, nos diz que se f é uma função integrável, a ordem a qual fazemos a integração nos dá resultados
idênticos. Lembre-se de que toda função contínua é integrável e, assim, poderemos calcular o volume de
muitos sólidos.
2.4 Teorema. [de Fubini] Se f é integrável em R = [a, b]× [c , d ], então
ZZ
R
f (x , y) dA =
Z d
c
Z b
c
f (x , y) dx dy =
Z b
a
f (x , y) dy dx .
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 41
Nota 16. O teorema acima foi provado em 1907 pelo matemático italiano Guido Fubini (1879-1943), en-
tretanto a versão para funções contínuas era conhecida pelo matemático francês Augustin-Louis Cauchy,
quase um século antes.
ER 31. Esboce o gráfico das funções abaixo usando o Winplot e calcule as integrais duplas. Sugestão: como
são funções contínuas nos respectivos retângulos, aplique o Teorema de Fubini.
(a) f (x , y) = 2y2 − 3xy3 e R = [1, 2]× [0, 3];
(b) f (x , y) = 1
x + y
e R = [1, 2]× [0, 1]
ER 32. Calcule as seguintes integrais iteradas
Z 1
0
Z 1
0
(x − y)
(x + y)3
dy dx e
Z 1
0
Z 1
0
(x − y)
(x + y)3
dx dy
e responda se contradiz o Teorema de Fubini. Explique o que está acontecendo.
2.4 Integrais Duplas sobre Regiões
Nem sempre e, aliás, muito freqüentemente, o domínio da região de integração da função f não é um
retângulo. Como calcular a integral dupla sobre essas regiões?
Por exemplo, se o objetivo fosse calcular o volume do sólido limitado pela superfície f (x , y) = 4 − x2 − y2
sobre a região x2 + y2 = 1, como fazer?
Tome uma região D limitada do R2, isto é, D está contida num retângulo R , e f (x , y) uma função definida
em D. Defina a função
F (x , y) =
¨
f (x , y) , se (x , y) ∈ D
0 , se (x , y) 6∈ D
Se a integral dupla sobre R existe, definimos a integral dupla de f em D por
ZZ
D
f (x , y) dA =
ZZ
R
F (x , y) dA.
Como F (x , y) = 0 quando (x , y) ∈ R ⊂ D, então ela contribui em nada no cálculo da integral. Assim, não
importa qual retângulo tomamos.
Da mesma forma que fizemos antes, se f (x , y) é positiva e é integrável em D, definimos o volume do sólido
S = {(x , y , z); (x , y) ∈ D} e 0 ≤ z ≤ f (x , y) como sendo
V (S) =
ZZ
D
f (x , y) dA.
É importante notar que, mesmo f sendo contínua em D, em geral, não temos a continuidade de F em R .
Observe que as descontinuidades ocorrem no bordo (ou fronteira) de D (veja a figura acima). Assim, dizemos
que Se f é contínua em D e se o bordo da região D é “bem comportado”, então f é integrável em D. Mas o
que é bordo “bem comportado”?
Pensemos no seguinte caso: f (x , y) = 1 em D. Visualize o sólido S da figura anterior. Ele parece um
“cilindro” de base D e altura 1. A integral dupla de f (x , y) = 1 sobre D é, por definição, o volume deste sólido.
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA42
É natural pensar que o volume deve ser 1 · A(D), só que não sabemos se D “tem área”. Dizemos que D tem
área se f (x , y) = 1 é integrável em D e define-se a área de D por
A(D) =
ZZ
D
1 dA.
Isto não é estranho, pois existem conjuntos do plano que “não têm área”. Por exemplo, D = Z × Z ∈
[0, 1]× [0, 1] não tem área.
As regiões com as quais iremos trabalhar são as que possuem área e um bordo “bem comportado”.
2.4.1 Propriedades
Além das mesmas propriedades vistas para integração num retângulo R , vale para a integral dupla sobre D
uma outra propriedade muito útil para determiná-la:
2.5 Proposição. Suponha que f (x , y) é integrável em D1 e em D2, duas regiões limitadas do plano. Se
D = D1 ∪ D2 e D1 ∩ D2 tem área nula, então f é integrável em D e vale
ZZ
D
f (x , y) dA =
ZZ
D1
f (x , y) dA +
ZZ
D2
f (x , y) dA.
2.5 Cálculo de Integrais Duplas
Vimos que Se f é contínua em D e se o bordo da região D é “bem comportado”, então f é integrável em D.
Mas, afinal, que regiões são deste tipo e como calcular a integral dupla? Veremos que são mais comuns dois
tipos destas regiões e como podemos calcular as integrais duplas.
2.5.1 Região do Tipo I
Região do plano entre gráficos de funções contínuas de uma variável real
x definidas num intervalo [a, b]. Mais explicitamente, são regiões do tipo:
D = {(x , y); a ≤ x ≤ b e g1(x) ≤ y ≤ g2(x)},
em que g1 e g2 são duas funções contínuas em [a, b].
Neste caso, se R = [a, b]× [c , d ] contém D, então, pelo Teorema de Fubini,
temos
que:
ZZ
D
f (x , y) dA =
Z b
a
Z d
c
F (x , y) dy dx =
Z b
a
Z g2(x)
g1(x)
f (x , y) dy dx .
x
y
g1(x)
g2(x)
a b
c
d
2.5.2 Região do Tipo II
Região do plano entre gráficos de funções contínuas de uma variável real y definidas num intervalo [c , d ].
Mais explicitamente, são regiões do tipo:
D = {(x , y); c ≤ y ≤ d e h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}.
em que h1 e h2 são funções contínuas em [c , d ].
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 43
Também podemos calcular a integral dupla fazendo
ZZ
D
f (x , y) dA =
Z d
c
Z b
a
f (x , y) dx dy =
Z d
c
Z h2(y)
h1(y)
f (x , y) dx dy .
ER 33. Calcular a
ZZ
D
(x + 2y) dA, sabendo-se que D é a região limitada pelas parábolas y = x2 e y = 1 + x2.
Solução:
ZZ
D
(x + 2y) dA =
Z 1
−1
Z 1+x2
x2
(x + 2y) dy dx =
Z 1
−1
xy + y2
�
�
�
1+x2
x2
dx =
Z 1
−1
(−3x4 − x2 + 2x2 + x + 1) dx = 32
15
ER 34. Encontre o volume do sólido S que fica abaixo do parabolóide z = x2 + y2, acima da região no plano
xy e delimitada pelas superfícies y = x2 e y = 2x .
Solução: Temos, neste caso, que descobrir a região de integração (no plano
xy ). A região é
D = {(x , y); 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 2x}.
e o volume V (S) é dado pela integral dupla
Z 2
0
Z 2x
x2
(x2 + y2) dy dx =
216
35
. x
y
ER 35. Calcule
Z 1
0
Z 1
0
sen(y2) dy dx .
Solução: Se tentarmos calcular a integral do modo como ela aparece, teremos problemas. Mas, a
integral proposta é igual à integral dupla de f (x , y) = sen(y2) em D = {(x , y); 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1} (Desenhe
a região e perceba que também podemos escrevê-la na forma D = {(x , y); 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ x ≤ y}). Então
ZZ
D
sen(y2) dA =
Z 1
0
Z y
0
sen(y2) dx dy =
Z 1
0
x sen(y2)
�
�
�
y
0
dy =
Z 1
0
y sen(y)2 dy =
1
2
[1− cos(1)].
2.6 Integrais Duplas em Coordenadas Polares
Considere o problema de calcular o volume do sólido que está
sob o parabolóide z = x2 + y2, acima do plano xy e dentro do
cilindro x2 + y2 = 2x . Então,
V (S) =
ZZ
D
(x2 + y2) dA, em que D = {(x , y); (x − 1)2 + y2 = 1}.
x
y
z
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA44
Esta é uma região do Tipo I e, então,
V (S) =
Z 1
0
Z
√
1−(x−1)2
−
√
1−(x−1)2
(x2 + y2) dy dx
=
Z 1
0
2x2
È
1− (x − 1)2 + 2
3
(
È
1− (x − 1)2)3 dx
x
y
θ
O cálculo desta integral é muito trabalhoso e uma pergunta natural é: existe uma forma mais simples de
obtê-la? A resposta é: pode existir um modo mais fácil, porém, se existir um modo, este pode ser quando
mudamos o sistema de coordenadas uma vez que o valor da integral iterada não é modificada.
Por exemplo:
D1 = {(x , y); x2 + y2 ≤ 1} ou D2 = {(x , y); 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ y}
são tipos regiões circulares. Se fizermos x = r cos(θ) e y = r sen(θ), então as regiões D1 e D2 passam a ser,
respectivamente,
R1 = {(r , θ); 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π} e R2 = {(r , θ); 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π}
que são retângulos!
A região D passa a ser R = {(r , θ) : −π
2
≤ θ ≤ π
2
, 0 ≤ r ≤ 2 cos(θ)}, pois, substituindo-se x = r cos(θ) e
y = r sen(θ) na equação x2 + y2 = 2x , temos que r2 = 2r cos(θ). Será, então, que
V (S) =
Z
pi
2
−pi2
Z 2 cos(θ)
0
r2 dθ dr?
Antes de responder, note o que ocorre com f (x , y) = 1 definida em Da disco de centro na origem e raio
fixado a.
A integral dupla de f em Da é
ZZ
Da
1 dx dy = πa2,
pois é a área da região Da.
Em coordenadas polares, temos:
ZZ
R
1 dr dθ =
Z a
0
Z 2pi
0
1 dr dθ = 2πa.
Para se calcular a integral dupla de f (x , y) em coordenadas polares devemos, além de descrever a região e
escrever a função f (x , y) em coordenadas polares, multiplicar f por um fator de correção.
O que vale é a fórmula
ZZ
D
f (x , y) dx dy =
ZZ
R
f (r cos(θ), r sen(θ))r dr dθ.
Nota 17. A fórmula acima pode ser provada diretamente da definição de integral (soma de Riemann) e
o fator r aparece quando se escreve A(Ri ) em função de r e θ.
Vamos, agora, continuar com o cálculo do volume da região descrita no início do texto usando a fórmula em
coordenadas polares. Portanto,
V (S) =
Z
pi
2
−pi2
Z 2 cos(θ)
0
r2r dr dθ = 4
Z
pi
2
−pi2
cos4(θ) dθ = 8
Z pi/2
0

1 + cos(2θ)
2
‹2
dθ =
•
2
3θ
2
+ sen(2θ) +
sen(4θ)
8
˜
pi
2
0 =
3π
2
ER 36. Calcule
ZZ
D
(3x + 4y2) dA, em que D = {(x , y); 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ y}.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 45
Solução:
ZZ
D
(3x + 4y2) dA =
Z pi
0
Z 2
1
(3r cos(θ) + 42 sen2(θ))r dr dθ =
Z pi
0
h
r3 cos(θ) + r4 sen2(θ)
i2
1
dθ =
15π
2
2.6.1 Exercícios Propostos
EP 2.1. Faz-se um buraco cilíndrico de raio b passando pelo centro de uma esfera de raio a.
(a) Calcule o volume do buraco. Observe que esta fórmula dá o volume da esfera quando a = b.
(b) Calcule o volume do sólido em forma de anel que restou. Expresse esse volume em termos da altura h do
anel. Observe que esse volume depende apenas de h e não do raio a ou do raio b!
EP 2.2. Use integral dupla para calcular a área interior à lemniscata r2 = 2a2 cos(2θ) e exterior à circunferência
de raio a.
EP 2.3. Calcule as seguintes integrais duplas:
(a)
ZZ
R
(2y2 − 3xy3) dx dy , onde R = {(x , y); 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3}
(b)
ZZ
R
x sen(y) dx dy , onde R = {(x , y); 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ π
6
}
(c)
ZZ
R
1
x + y
dx dy , onde R = [1, 2]× [0, 1]
EP 2.4. Determine o volume do sólido limitado pela superfície z = x
p
x2 + y e os planos x = 0, x = 1, y = 1
e z = 0.
EP 2.5. Determine o volume do sólido contido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 9 − y2 e pelo
plano x = 2.
EP 2.6. Calcule as integrais iteradas
Z 1
0
Z 1
0
x − y
(x + y)3
dy dx e
Z 1
0
Z 1
0
x − y
(x + y)3
dx dy . As respostas contradizem
o Teorema de Fubini? Explique.
EP 2.7. Calcule as seguintes integrais duplas: (Sugestão: escreva D de forma conveniente e esboce a região
D)
(a)
ZZ
D
xy dx dy , onde D = {(x , y); 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ √x}
(b)
ZZ
D
(x2 − 2xy) dx dy , onde D = {(x , y); 0 ≤ x ≤ 1,√x ≤ y ≤ 2− x}
(c)
ZZ
D
e(x/y) dx dy , onde D = {(x , y); 1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ y3}
(d)
ZZ
D
x cos(y) dx dy , onde D é a região limitada por y = 0, y = x2 e x = 1.
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA46
(e)
ZZ
D
4y3 dx dy , onde D é a região limitada por y = x − 6 e y2 = x .
(f)
ZZ
D
xy dx dy , onde D é a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência de centro (0, 0) e raio 1.
(g)
ZZ
D
(x2 tg(x) + y3 + 4) dx dy , onde D = {(x , y); x2 + y2 ≤ 2}
EP 2.8. Determine o volume do sólido S em cada um dos seguintes casos:
(a) S é limitado superiormente pelo parabolóide z = x2 + y2 e sua projeção no plano xy é a região limitada
por x = y2 e x2 = y .
(b) S é limitado superiormente por z = xy e sua projeção no plano xy é o triângulo de vértices (1, 1), (4, 1) e
(1, 2).
(c) S é a região do primeiro octante limitada pelo cilindro x2 + z2 = 9 e pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e
x + 2y = 2.
EP 2.9. Determine o volume do sólido S em cada um dos seguintes casos:
(a) S é limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 1.
(b) S é a região do primeiro octante limitada pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pelos planos y = x , x = 0 e z = 0.
(c) S é limitado pelos cilindros x2 + y2 = r2 e x2 + z2 = r2.
EP 2.10. Escreva as duas integrais iteradas correspondentes à integral dupla
ZZ
D
f (x , y) dx dy , em que D é
a região do plano limitada pelas curvas y = −x2 + x + 2 e x − 2y + 1 = 0.
EP 2.11. Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração:
(a)
Z 1
0
Z 3
3y
ex
2
dx dy (b)
Z 3
0
Z 9
y2
y cos(x2) dx dy (c)
Z
1
0
Z
pi
2
arcsen(y) cos(x)
È
1 + cos2(x) dx dy
EP 2.12. Calcule as integrais:
(a)
ZZ
R
x dx dy , onde R é o disco de centro na origem e raio 5.
(b)
ZZ
R
xy dx dy , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x2 + y2 = 4 e
x2 + y2 = 25.
(c)
ZZ
R
1
p
x2 + y2
dx dy , onde R é a região interior à cardióide r = 1 + sen(θ) e exterior à circunferência r = 1.
(d)
ZZ
D
(x2 + y2) dx dy , onde D é a região limitada pelas espirais r = θ e r = 2θ, com 0 ≤ θ ≤ 2π.
EP 2.13. Determine o volume da região interior à esfera x2 +y2 +z2 = 4a2 e exterior ao cilindro x2 +y2 = 2ax ,
com a > 0.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 47
2.7 Massa, Centro de Massa e Momento de Inércia
A massa total de um sistema de k partículas cuja massa de cada partícula é mi , i = 1, . . . , k , é a soma
m = m1 +m2 + . . .+mk .
Seja uma lâmina ou placa fina plana cujo formato é uma região D limitada do plano. Se ρ(x , y) é uma função
contínua em D que representa a densidade superficial de massa, então a massa total de D deve ser “a soma
das massas em cada ponto (x , y) de D”.
Sendo assim, faz sentido definir a massa de D como
M =
ZZ
D
ρ(x , y) dA
já que ρ(x , y) dA pode ser interpretado como a massa do elemento de área dA.
Fazendo, também, analogia a um sistema finito de partículas temos que o centro de massa da lâmina é o
ponto (x , y) =
„
1
M
ZZ
D
xρ(x , y) dA,
1
M
ZZ
D
yρ(x , y) dA
Ž
.
Quando a função densidade é constante (ρ(x , y) = k), o ponto (x , y) é chamado de centróide da lâmina (ou
da região D).
O momento de inércia de uma partícula de massa m com relação a uma reta é dado por m2, onde r é a dis-
tância da partícula a esta reta. Estendendo este conceito a uma placa de formato D com densidade de massa
ρ(x , y), temos que as definições dos momentos de inércia com relação aos eixos x e y são, respectivamente:
Ix =
ZZ
D
y2ρ(x , y) dA e Iy =
ZZ
D
x2ρ(x , y) dA.
O momento de inércia polar (ou com relação à origem) é definido por
I0 = Ix + Iy =
ZZ
D
(y2 + x2)ρ(x , y) dA
Nota 18. Nas fórmulas de momento de inércia não troque x por y !
ER 37. A densidade de cada ponto de uma placa semicircular é proporcional à distância ao centro do círculo.
Encontre o centro de massa da placa.
Solução: Vamos colocar a placa na parte superior do circulo de raio a. A distância de (x , y) ao cen-
tro (origem) é px2 + y2, portanto, a densidade ρ(x , y) é ρ(x , y) = Kpx2 + y2, para alguma constante K .
Calculemos, primeiramente, a massa
M =
ZZ
D
K
È
x2 + y2 dA =
Z pi
0
Z a
0
(Kr)r dr dθ =
Kπa2
3
.
Como a região é simétrica com relação ao eixo y , temos que x = 0 e y = 1
M
ZZ
D
yρ(x , y) dA =
3
Kπa3
Z pi
0
Z a
0
r sen(θ)(Kr)r dr dθ =
3a
2π
. Logo, o centro de massa é o ponto (0, (3a)/2π). Observação: se
a densidade fosse constante, então o centro de massa seria o ponto (0, (4a)/2π).
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA48
2.7.1 Exercícios Propostos
EP 2.14. Encontre a massa, o centro de massa e os momentos de inércia de uma lâmina de formato D e
densidade (x , y) para:
(a) D a região do primeiro quadrante limitada pela parábola y = x2 e a reta y = 1; ρ(x , y) = xy .
(b) D a região interior a circunferência x2 + y2 = 1 no primeiro quadrante; a densidade em cada ponto é
proporcional ao quadrado da sua distância à origem.
EP 2.15. Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem densidade ρ, nos
seguintes casos:
(a) D = {(x , y);−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} e ρ(x , y) = x2;
(b) D é o triângulo de vértices (0, 0), (2, 1), (0, 3) e ρ(x , y) = x + y ;
(c) D é a região do primeiro quadrante limitada pela parábola x2 = y e a reta y = 1 e ρ(x , y) = xy ;
(d) D é a região limitada pela parábola y2 = x e a reta y = x − 2 e ρ(x , y) = 3;
(e) D = {(x , y); 0 ≤ y ≤ sen(x), 0 ≤ x ≤ π} e ρ(x , y) = y .
EP 2.16. Determine os momentos de inércia Ix , Iy e I0 das lâminas descritas nos ítens (c) e (d) do exercício
anterior.
Integrais Triplas
Trabalharemos, agora, com funções de três variáveis f (x , y , z). O domínio destas funções são subconjuntos
do R3 e não podemos mais visualizar seus gráficos, visto que são subconjuntos do R4. Apesar disto, podemos
definir integrais de funções de três variáveis, assim como fizemos para funções de duas variáveis.
Considere o paralelepípedo
P = [a, b]× [c , d ]× [p, q] = {(x , y , z); a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , p ≤ z ≤ q}
e f (x , y , z) uma função definida em P . Divida P em pequenos paralelepípe-
dos dividindo os intervalos [a, b], [c , d ] e [p, q]. Vamos nomeá-los de
P1,P2, . . . ,Pn que chamamos de partição de P . Para cada i = 1, . . . , n,
escolha um ponto (xi , yi , zi ) de Pi . Podemos formar “paralelepípedos” de
“altura” f (xi , yi , zi ) e base Pi . Claro que não podemos desenhá-lo, mas, seu
“volume” é f (xi , yi , zi ) · V (Pi ), em que V (Pi ) é o volume do paralelepípedo
Pi .
x
y
z
Pi
2.6 Definição. A integral tripla de f sobre P é
ZZZ
P
f (x , y , z) dV = lim
max{d(Pi )}→0
n
X
i=1
f (xi , yi , zi )V (Pi ),
se tal limite existe. Neste caso, se diz que f é integrável em P .
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 49
Propriedades
São válidas para a integração tripla as mesmas propriedades operatórias que valem para integrais duplas.
Assim, se f e g são funções integráveis em P e k ∈ R, então
⋆
ZZZ
P
[f (x , y , z) + g(x , y , z)] dV =
ZZZ
P
f (x , y , z) dV +
ZZ
P
g(x , y , z) dV
⋆
ZZZ
P
k · f (x , y , z) dV = k ·
ZZZ
p
f (x , y , z) dV
⋆
ZZZ
P
f (x , y , z) dV ≤
ZZZ
P
g(x , y , z) dV , sempre que f (x , y) ≤ g(x , y).
e, principalmente, temos que:
⋆ se f é contínua em P , então f é integrável em P .
Note que, se f (x , y , z) = 1 (que é contínua e, portanto, integrável), então
ZZZ
S
1 dV é o volume de P , que é
(b−a) ·(d−c) ·(q−p). Será que, para calcular integrais triplas, também usamos as integrais iteradas? A ordem
com que se fazem as integrações deve ser levada em consideração? E quantas integrais iteradas temos?
2.8 Integrais Iteradas
Assim como fomos capazes de calcular uma integral dupla para funções de duas variáveis definida num
paralelogramo usando integrais iteradas, seremos, também, capazes de calcular a integral tripla de uma função
definida num paralelepípedo P usando as integrais iteradas e, assim como antes, não importará, também, a
ordem com que fazemos o cálculo das integrais, pois o seu resultado não se altera. Porém, como estamos
trabalhando com três variáveis, teremos 6 combinações possíveis. Este resultado, também, é devido a Fubini.
2.7 Teorema. [de Fubini] Se f é uma função integrável em P = [a, b]× [c , d ]× [p, q], então:
ZZZ
s
f (x , y , z) dV =
Z q
p
Z d
c
Z b
a
f (x , y , z) dx dy dz =
Z q
p
Z b
a
Z d
c
f (x , y , z) dy dx dz
=
Z d
c
Z q
p
Z b
a
f (x , y , z) dz dy dx =
Z d
c
Z b
a
Z q
p
f (x , y , z) dz dx dy
=
Z b
a
Z d
c
Z q
p
f (x , y , z) dz dy dx =
Z b
a
Z q
p
Z d
c
f (x , y , z) dy dz dx
ER 38. Calcule
ZZZ
P
f (x , y , z) dV , em que P = [0, 1]× [−1, 2]× [0, 3] e f (x , y , z) = xyz2.
Solução: Se P = [0, 1]× [−1, 2]× [0, 3] e f (x , y , z) = xyz2, então:
ZZZ
P
xyz2 dV =
Z 3
0
Z 2
−1
Z 1
0
xyz2 dx dy dz =
Z 3
0
Z 2
−1
yz2
2
dy dz =
Z 3
0
3z2
4
dz =
27
4
Poderíamos obter este resultado por mais 5 diferentes maneiras. Que tal você treinar um pouco e fazer
algumas delas?
ER 39. Calcule
ZZZ
p
x sen(yz) dx dy dz, onde P = [0, 1]3 é o cubo de lado 1 e arestas sobre os eixos x , y e z.
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA50
Solução:
ZZZ
P
x sen(y
+ z) dV =
Z 1
0
Z 1
0
Z 1
0
x sen(y + y) dx dy dz =
Z 1
0
Z 1
0
sen(y + z)
2
dy dz
=
1
2
Z 1
0
h
− cos(y + z)
i1
0
dz =
1
2
Z 1
0
[− cos(z + 1) + cos(z)] dz
=
1
2
h
− sen(z + 1) + sen(z)
i1
0
=
1
2
[− sen(2) + sen(1) + sen(1)− sen(0)]
= sen(1)− sen(2)
2
.
Observe que a função f (x , y , z) = x sen(yz) é positiva em P e a integral tripla resultou em um número
positivo.
2.9 Integrais Triplas sobre Regiões
Seja S uma região limitada do R3, isto é, S está contida num paralelepípedo P , e f (x , y , z) uma função
definida em S . Como fizemos para integrais duplas, defina a função F (x , y , z) em P como sendo igual a
f (x , y , z) em S e assumindo valor 0 em pontos que estão em P , mas não em S .
Definimos a integral tripla de f (x , y , z) sobre S como:
ZZZ
S
f (x , y , z) dV =
ZZZ
P
F (x , y , z) dV ,
quando a segunda integral existe.
A questão é saber quando esta integral existe e como calculá-la! Aliás, ela nem sempre existe. Encontre
um exemplo, parecido com o que apresentamos para integrais duplas.
Como antes, o que vale é que se f é contínua em S e se o bordo da região S é “bem comportado”, então f
é integrável em S .
E que tipo de regiões S são estas? Lembre que estamos no R3 e tais regiões são sólidos do espaço.
Novamente, não iremos discutir aqui o que significa ser “bem comportado”, mas, você pode encontrar isto feito
em [BCHS ].
Vamos destacar os tipos de regiões S que aparecem com maior freqüência.
2.9.1 Regiões do Tipo I
Regiões em que S = {(x , y , z); (x , y) ∈ D, u1(x , y) ≤ z ≤ u2(x , y)}, em que u1 e u2 são funções contínuas
em D e D é a projeção de S no plano xy (Ver gráfico).
Assim, a integral fica
ZZZ
S
f (x , y , z) dV =
Z b
a
Z g2(x)
g1x
Z u2(x,y)
u1(x,y)
f (x , y , z) dz dy dx
ou
ZZZ
S
f (x , y , z) dV =
Z d
c
Z h2(y)
h1y
Z u2(x,y)
u1(x,y
f (x , y , z) dz dx dy
Atenção: Muito cuidado com a ordem de integração!
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 51
2.9.2 Regiões do Tipo II
S = {(x , y , z); (y , z) ∈ D, v1(y , z) ≤ z ≤ v2(y , z)}, em que v1 e v2 são funções contínuas em D e D é a
projeção de S no plano yz.
Da mesma forma que antes, podem-se ter dois tipos de integração, dependendo da forma da região D.
ZZZ
S
f (x , y , z) dV =
Z d
c
Z g2(y)
g1(y)
Z v2(y ,z)
v1(y ,z)
f (x , y , z) dx dz dy
ou
ZZZ
S
f (x , y , z) dV =
Z q
p
Z h2(z)
h1z
Z v2(y ,z)
v1(y ,z)
f (x , y , z) dx dy dz
2.9.3 Regiões do Tipo III
São regiões do espaço com a característica do conjunto
S = {(x , y , z); (x , z) ∈ D,w1(x , z) ≤ y ≤ w2(x , z)},
em que w1 e w2 são funções contínuas em D que é a projeção de S no plano xz. Pode existir, também, dois
tipos de integração, dependendo da forma da região D:
ZZZ
S
f (x , y , z) dV =
Z q
p
Z g2(z)
g1(z)
Z w2(x,z)
w1(x,z)
f (x , y , z) dy dx dz
ou
ZZZ
S
f (x , y , z) dV =
Z b
a
Z h2(x)
h1(x)
Z w2(x,z)
w1(x,z)
f (x , y , z) dy dz dx .
ER 40. Calcule
ZZ
S
p
x2 + z2 dV , em que S é a região limitada pela parábola y = x2 + z2 e pelo plano y = 4.
Solução:
Pode-se descrever esta região de várias formas. Projetando S no plano xy temos a região D limitada
pela parábola y = x2(z = 0) e a reta y = 4 e, se (x , y) está nesta região D, então −py − x2 ≤ z ≤py − x2.
Assim,
ZZZ
S
p
x2 + z2 dV =
ZZ
D
Z
√
y−x2
−
√
y−x2
p
x2 + z2 dz dA =
Z 2
2
Z 4
x2
Z
√
y−x2
−
√
y−x2
p
x2 + z3 dz dy dx
Entretanto, a primeira integral que temos que calcular é um pouco complicada (vai ser necessário fazer
uma mudança de variável). Vamos tentar escapar disto vendo S de outra maneira. Projetando S no plano xz
temos um disco D2 de raio 2 e centro na origem (pois, no máximo x2 + z2 = 4). Para (x , z) em D2 temos que
y varia entre v1(x , z) = x2 + z2ev2(x , z) = 4.
Então
ZZZ
S
p
x2 + z2 dV =
ZZ
D2
Z 4
x2+z2
p
x2 + z2 dy dA =
ZZ
D2
(4−x2+z2)
p
x2 + z2 dA =
Z 2
0
Z 2pi
0
(4−r2)r dθ dr = 128π
15
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA52
Nota 19. Não esqueça que na integração dupla ou tripla a cada vez que se integra com relação a uma
determinada variável ela deve desaparecer, pois, estamos fazendo uma integral definida, e o que sobra é
apenas função das variáveis restantes. O resultado de integração dupla ou tripla é sempre um número!
2.9.4 Exercícios Propostos
EP 2.17. Calcule
ZZZ
S
f (x , y , z) dV e veja o gráfico de S usando o winplot nos casos a seguir.
(a) f (x , y , z) = z e S sólido limitado pelos 4 planos z = 0, x = 0, y = 0 e x + y + z = 1 (que sólido é este?)
(b) f (x , y , z) = z, em que S é limitado pelo cilindro y2 + z2 = 9 e os planos x = 0, y = 3x e z = 0 no primeiro
octante.
EP 2.18. Compare
ZZ
D
Z u(x,y)
0
1 dz dA com
ZZ
D
u(x , y) dA. São iguais? Por quê?
2.10 Volume
Vimos que a integral dupla pode ser usada para o cálculo de áreas. A área de uma região D é, por definição,
A(D) =
ZZ
D
1 dA
Podemos usar a integral tripla para calcular volume de sólidos.
2.8 Definição. Seja S uma região limitada do R3 (significa que S está dentro de um paralelepípedo). O volume
de S é dado por
V (S) =
ZZZ
S
1 dV
quando tal integral existe.
Assim, para regiões com bordo “bem comportado”, o volume é dado pela integral tripla da função constante
igual a 1. Portanto, as regiões do Tipo I, II e III, possuem volume e este pode ser calculado usando a integral
tripla.
Só que já tínhamos definido o volume de certos sólidos. Lembrando: Seja f (x , y) ≥ 0 integrável em D.
Definimos o volume do sólido S = {(x , y , z); (x , y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f (x , y)} como sendo
V (S) =
ZZ
D
f (x , y) dA.
Será que são iguais? Bom, têm que ser, e é só entender S como uma região do Tipo I . Então,
ZZZ
S
1 dV =
ZZ
D
Z f (x,y)
0
1 dz dA =
ZZ
D
[z]
f (x,y)
0 dA =
ZZ
D
f (x , y) dA
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 53
2.11 Massa, Centro de Massa e Momento de Inércia
De forma análoga ao que fizemos para lâminas planas, podemos calcular a massa e o centro de massa de
sólidos usando integrais triplas.
Considere um sólido S , que pode ser descrito como uma região do R3 do Tipo I, II ou III e cuja função
densidade é ρ(x , y , z) no ponto (x , y , z). Então, a massa de S é
M =
ZZZ
S
ρ(x , y , z) dV
e o centro de massa de S é o ponto de coordenadas
(x , y , z) =
„
1
M
ZZZ
S
xρ(x , y , z) dV ,
1
M
ZZZ
S
yρ(x , y , z) dV ,
1
M
ZZZ
S
zρ(x , y , z) dV
Ž
.
Podemos calcular os momentos de inércia de S com relação aos eixos x , y e z, respectivamente, por:
Iy =
ZZZ
S
(x2 + z2)ρ(x , y , z) dV Iz =
ZZZ
S
(x2 + y2)ρ(x , y , z) dV
ER 41. Seja S o sólido limitado pelo cilindro parabólico x = y2 e pelos planos x = z, z = 0 e x = 1.
(a) Calcule o volume de S ;
(b) Encontre o centro de massa de S , considerando que a densidade é constante.
Solução: Projetando S no plano xy temos a região
S = {(x , y , z);−1 ≤ y ≤ 1, y2 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x}.
(a) V (S) =
ZZ
S
1 dV = −
Z 1
−1
Z 1
y2
Z x
0
dz dx dy =
Z 1
−1
Z 1
y2
x dx dy =
Z 1
−1
(1− y4) dz = 4
5
.
(b) Como a densidade é constante k em S (isto é, ρ(x , y , z) = k) a massa de S será, simplesmente,
k ·V (S). A região é a função V (x , y , z) são simétricas com relação ao plano xz, então a segunda coordenada
do centro de massa é 0. Calculando as outras, temos que
x =
5
4k
ZZZ
S
xk dV =
5
7
, y = 0, z =
5
4k
ZZZ
S
zk dV =
5
14
que não dependem de k .
2.11.1 Exercícios Propostos
EP 2.19. Um cabo delgado é dobrado na forma de um semi-círculo
x2 + y2 = 4 para x ≥ 0. Se a densidade
linear é uma constante K , determine a massa e o centro de massa do cabo.
EP 2.20. (a) Escreva as fórmulas que determinam o centro de massa (x , y , z) de um fio delgado com função
densidade ρ(x , y , z) que tem o formato de uma curva γ no espaço R3.
(b) Determine a massa e o centro de massa de um fio no espaço com o formato da hélice x = 2 sen(t), y =
2 cos(t) e z = 3t, para 0 ≤ t ≤ π
2
, se a densidade é uma constante K .
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA54
EP 2.21. Se um cabo com densidade linear ρ(x , y , z) tem o formato de uma curva γ do espaço, seus
momentos de inércia Ix , Iy e Iz , em relação aos eixos x , y e z são definidos, respectivamente, por
Ix =
Z
γ
(y2 + z2)ρ(x , y , z) ds
Iy =
Z
γ
(x2 + z2)ρ(x , y , z) ds
Iz =
Z
γ
(x2 + y2)ρ(x , y , z) ds
Determine os momentos de inércia do fio da questão anterior item (b).
2.12 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas e Triplas
Vimos que em integrais duplas ou triplas quando mudamos para coordenadas polares, cilíndricas ou esféri-
cas temos que multiplicar a função por um fator de correção (r ou ρ2 sen(φ)?. Isto é semelhante ao que se faz
com integrais de funções na reta
Z b
a
f (x) dx =
Z d
c
f (x(t))x ′(t)dt =
Z d
c
f (x(t))
dx
dt
dt.
As mudanças de variáveis para integrais duplas (polares) e para integrais triplas (cilíndricas e esféricas) são
muito utilizadas, mas, às vezes, a mudança mais conveniente para calcular a integral não é nenhuma destas.
Em geral, uma mudança de coordenadas em R2 ou R3 é uma transformação ϕ contínua e injetora no interior da
região. Em R2, escrevemos ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) e em R3, ϕ(u, v ,w) = (x(u, v ,w), y(u, v ,w), z(x , y ,w)).
Uma fórmula análoga ao caso de integral no intervalo é:
ZZ
Dxy
f (x , y) dx dy =
ZZ
Duv
f (x(u, v , ), y(u, v), y(u, v))2dudv
ZZ
Dxyz
f (x , y , z) dx dy dz =
ZZ
Duvw
f (x(u, v ,w), y(u, v ,w), z(u, v))2dudvdw
O que viria no lugar do 2? Já vimos que, no caso da mudança para as coordenadas polares e cilíndricas
aparece r e no caso da mudança para as coordenadas esféricas, ρ2 sen(φ)?
Para responder a essa pergunta vamos calcular a integral
ZZ
D
(x + y)7
x − y dA, em que D é a região limitada
pelas retas x + y = 4, x + y = 3, y − x = 3 e y − x = 1.
Observa-se que teríamos algum trabalho se integrássemos na região requerida pela questão (veja figura).
Entretanto, se rotacionarmos os eixos, de modo que o retângulo fique paralelo aos novos eixos, a integração
será, com certeza, mais simples.
Sendo assim, façamos u = x + y e v = y − x (ou x = (u − v)/2 e y = (u + v)/2). Transformamos Dxy em
Duv = [3, 4]× [1, 3]. Mas a integral em Dxy (dx dy ) é igual à integral em Duv (dudv )? Vejamos o que acontece
com as áreas dos retângulos Dxy e Duv . A área de Duv é 2, mas a área de Dxy é 1. Então, 2A(Dxy ) = A(Duv ).
Seria 2 o fator de correção de uma integral para a outra?
Na verdade, o que vale é o seguinte:
Para integrais duplas
ZZ
Dxy
f (x , y) dx dy =
ZZ
Duv
f (x(u, v), y(u, v))|Jϕ(u, v)|dudv ,
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 55
em que Jϕ(u, v) é o Jacobiano da transformação, ou seja,
Jϕ(u, v) =
∂(x , y)
∂(u, v)
=
�
�
�
�
�
�
�
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
�
�
�
�
�
�
�
=
∂x
∂u
· ∂x
∂v
− ∂y
∂u
· ∂y
∂v
Para integrais triplas
ZZ
Dxyz
f (x , y , z) dx dy dz =
ZZ
Duvw
f (x(u, v ,w), y(u, v ,w), z(u, v ,w))|Jϕ(u, v ,w)|dudvdw ,
em que Jϕ(u, v ,w) é o Jacobiano da transformação, ou seja,
Jϕ(u, v ,w) =
∂(x , y , z)
∂(u, v ,w)
=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Estas fórmulas são válidas quando os jacobianos são diferentes de zero, ou seja, Jϕ(u, v) 6= 0 ou Jϕ(u, v ,w) 6=
0, nas respectivas regiões de integração, ou seja, Duv ou Duvw .
Atenção: Nas fórmulas aparece o módulo do Jacobiano!
Voltemos, portanto, ao exemplo, Calculando o Jacobiano obtemos Jϕ(u, v) = 1
2
. Logo
ZZ
Dxy
(x + y)7
(x − y) =
ZZ
Duv
u7
2v
dudv =
Z 4
3
Z 2
1
u7
2v
dvdu
ER 42. Determine o volume da região limitada pelo plano z = 0 e pelas superfícies z = x2 + y2 e x
2
2
+
y2
3
= 1.
Solução: O volume pode ser determinado se calcularmos a integral dupla
V (S) =
ZZ
Dxy
x2 + y2 dx dy
A região de integração Dxy é o interior de uma elipse, ou seja, Dxy = {(x , y); x
2
3
+
y2
2
≤ 1}.
A melhor mudança de coordenadas, aqui, não é exatamente a polar, mas quase isso. Façamos x =
√
3 cos(θ) e y =
√
2 sen(θ), em que r varia de 0 a 1 e θ de 0 a 2π.
Portanto,
V (S) =
Z 2pi
0
Z 1
0
3r2 cos(θ) + 2r2 sen(θ)|Jϕ(r , θ)| dr dθ e Jθ(r , θ) =
�
�
�
�
�
�
√
3 cos(θ)−√3r sen(θ)
√
2 sen(θ)
√
2 cos(θ)
�
�
�
�
�
�
=
√
6r
2.12.1 Exercícios Propostos
EP 2.22. Calcule a integral
ZZ
D
e
x+y
x−y dA, em que D é o trapézio de vértices em (1, 0), (2, 0), (0,−2) e (0,−1).
SUGESTÃO: Use a transformação u = x + y e v = x − y .
EP 2.23. Verifique que, de fato, os Jacobianos das transformações para coordenadas polares, cilíndricas e
esféricas são, respectivamente, r , r e φ sen(ϕ).
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA56
2.13 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
2.13.1 Coordenadas Cilíndricas
Sabemos que um ponto P(x , y , z) em coordenadas cartesianas pode, também, ser escrito em coordenadas
cilíndricas (r , θ, z), em que
8
>
<
>
:
x = r cos(θ)
y = r sen(θ)
z = z
Suponha que S é uma região do tipo I , isto é,
S = {(x , y , z); (x , y) ∈ D, u1(x , y) ≤ z ≤ u2(x , y)}.
Se D pode ser descrita em coordenadas polares, então
ZZZ
S
f (x , y , z) dV =
ZZ
Dxy
Z u2(x,y)
u1
(x , y)f (x , y , z) dz dx dy =
Drθ
ZZ Z u2(r cos(θ),r sen(θ))
u1(r cos(θ),r sen(θ))
f (r cos(θ), r sen(θ), z)r dz dr dθ.
Esta é a fórmula utilizada para o cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas.
ER 43. Calcule
ZZZ
S
x2 + y2 dV , em que S é a região interior ao cone z2 = x2 + y2 para z entre 0 e 2.
Solução: Note que
ZZZ
S
x2 + y2 dV =
ZZ
D
Z 2
√
x2+y2
x2 + y2 dz dA,
em que D é o disco de centro 0 e raio 2.
Em coordenadas cilíndricas, temos
ZZZ
S
x2 + y2 dV =
Z 2pi
0
Z 2
0
Z 2
r
r2r dz dr dθ =
16π
5
.
ER 44. Seja D a região do espaço que corresponde ao interior ao cilindro x2 + y2 = 16 e exterior ao cilindro
x2 + y2 − 4x = 0, compreendida entre os planos z = 0 e z = y + 6. Calcule
ZZZ
D
x dx dy dz.
Solução: Temos
ZZZ
D
x dx dy dz =
ZZZ
D1
x dx dy dz −
ZZZ
D2
dx dy dz, em que D1 é a região compreendida
entre os planos e interior ao cilindro maior e D2 é a região compreendida entre os planos e interior ao cilindro
menor.
Usando coordenadas cilíndricas, temos as seguintes parametrizações:
D1 = {(r , θ, z); 0 ≤ θ2π, 0 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ z ≤ r sen(θ) + 6}
D2 =
n
(r , θ, z);−π
2
≤ θ ≤ π
2
, 0 ≤ r ≤ 4 cos(θ), 0 ≤ z ≤ r sen(θ) + 6
o
.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 57
Então
ZZZ
D1
x dx dy dz =
Z 2pi
0
Z 4
0
Z 6+r sen(θ)
0
r2 cos(θ) dz dr dθ
=
Z 2pi
0
Z 4
0
(6r2 cos(θ) + r3 sen(θ) cos(θ)) dr dθ
=
Z 2pi
0
(128 cos(θ) + 64 sen(θ) cos(θ)) dθ = 0
e
ZZZ
D2
x dx dy dz =
Z
pi
2
−pi2
Z 4 cos(θ)
0
Z 6+r sen(θ)
0
r2 cos(θ) dz dr dθ
=
Z
pi
2
−pi2
Z 4 cos(θ)
0
r3 cos(θ) sen(θ) + 6r2 cos(θ) dr dθ
=
Z
pi
2
−pi2
128 cos4 θ dθ +
Z
pi
2
−pi2
64 cos3 θ sen(θ)) dθ
= 32
Z
pi
2
−pi2
(1 + cos 2θ)2 dθ
= 32
Z
pi
2
−pi2
1 dθ + 64
Z
pi
2
−pi2
cos 2θ dθ + 16
Z
pi
2
−pi2
(1 + cos 4θ) dθ
= 32π + 0 + 16π + 0 = 48π
Portanto,
ZZZ
D
x dx dy dz = 0− 48π = −48π.
2.13.2 Coordenadas Esféricas
Um ponto P do espaço pode ser escrito tanto em co-
ordenadas cartesianas (x , y , z) como em coordenadas
esféricas (ρ,φ, θ), sendo que
x = ρ sen(φ) cos(θ)
y = ρ sen(φ) sen(θ)
z = ρ cos(φ).
Se quisermos calcular uma integral tripla sobre uma
região S , que é mais facilmente descrita em coorde-
nadas esféricas, como devemos fazer?
x
y
z
b
P(x , y , z)
φ
θ
r
Vimos que se usássemos coordenadas cilíndricas teríamos que multiplicar a função por um fator de correção
(r ). Qual é o fator de correção no caso de coordenadas esféricas?
A esfera de raio a é o conjunto Sa = {(x , y , z); x2 + y2 + z2 ≤ a2}. Em coordenadas esféricas passa a ser o
paralelepípedo [0, a]× [0,π]× [0, 2π].
Sabemos que o volume de uma esfera de raio a é dado por V = 4
3
πa3, mas o volume do paralelepípedo
é 2π2 · a. Portanto, o volume não é preservado através desta mudança de coordenadas. Gostaríamos de
estabelecer alguma relação entre o volume de um “pedaço” da esfera, em que a1 ≤ ρ ≤ a2,α1 ≤ θ ≤ α2,β1 ≤
φ ≤ β2.
Considerando que ∆ρ, ∆φ e ∆θ são as variações das respectivas coordenadas e supondo que são pe-
quenos, temos que o volume da região é, aproximadamente, ρ2 sen(φ)∆ρ∆θ∆φ (e não apenas ∆ρ∆θ∆φ. Por-
tanto, é razoável que este seja o fator de correção quando se passa de coordenadas cartesianas para esféricas
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA58
numa integração. De fato, vale que
ZZZ
Sxyz
f (x , y , z) dV =
ZZZ
Sρθφ
f (ρ sen(φ) cos(θ), ρ sen(φ) sen(θ), ρ cos(φ))ρ2 sen(φ)dρ dθdφ,
em que Sxyz indica a região descrita em coordenadas cartesianas e Sρθφ ?indica a região em coordenadas
esféricas. Esta é a fórmula de integrais triplas em coordenadas esféricas.
Atenção Não se esqueça do fator de correção quando fizer a mudança de variáveis nas integrais:
⋆ cilíndricas: r ;
⋆ esféricas: ρ2 sen(φ).
ER 45. Calcule
ZZZ
S
z dV sendo S a região interior ao cone z2 = x2 + y2, com z positivo, e limitada pela
esfera x2 + y2 + z2 = 2z (esfera de centro em (0, 0, 1) e raio 1).
Solução: A equação x2 + y2 + z2 = 2z em coordenadas polares é ρ cos(φ). A intersecção do cone com
a esfera se dá quando z = 1 e x2 + y2 = 1. O ângulo φ varia de 0 até o encontro da esfera com o cone, que
se dá quando z = 1. Segue que, o ângulo φ é π
4
. Então, nossa região, que é o interior de um “sorvete” é:
Sρθφ = {(ρ, θ,φ); 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ 2 cosφ}.
Logo,
ZZZ
S
z dV =
Z 2pi
0
Z
pi
4
0
Z 2 cos(φ)
0
(ρ cos(φ))ρ2 sen(φ)dρdφ dθ
=
Z 2pi
0
Z
pi
4
0
�
ρ4
4
�2 cos(φ)
0
sen(φ)dφ dθ =
Z 2pi
0
Z
pi
4
04 cos4 φ sen(φ)dφ dθ
= 4
Z
pi
2
0
�
cos5 ϕ
5
�
pi
4
0
dθ =
8π
5
(2
√
2− 1)
ER 46. Seja D a região do primeiro octante limitada pela esfera x2 + y2 + z2 = 4 e pelos planos y = 0 e
y =
√
3x . Calcule
ZZZ
D
y dx dy dz.
Solução:
Em coordenadas esféricas a parametrização de D é:
D =
n
(ρ, θ,ϕ); 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π
3
, 0 ≤ ϕ ≤ π
2
o
.
Sendo assim,
ZZZ
D
y dx dy dz =
Z
pi
2
0
Z
pi
3
0
Z 2
0
(ρ sen(ϕ) sen(θ))p2 sen(ϕ)dρ dθdϕ
=
Z
pi
2
0
Z
pi
3
0 sen2(ϕ) sen(θ)
ρ4
4
�
�
�
2
0
dθdϕ = 4
Z
pi
2
0
Z
pi
3
0
sen2(ϕ) sen(θ) dθdϕ
= 4
Z
pi
2
0
sen2(ϕ)(− cos(θ))
�
�
�
pi
3
0
dϕ = 4
Z
pi
2
0
sen2(ϕ)
−1
2
+ 1
‹
dϕ
=
Z
pi
2
0
[1− cos2(ϕ)]dϕ = π
2
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 59
2.13.3 Exercícios Propostos
EP 2.24. Calcule as integrais iteradas:
(a)
Z 1
0
Z z
0
Z y
xyz dx dy dz (b)
Z pi
0
Z 2
0
Z
√
4−x2
0
z sen(y) dx dz dy
EP 2.25. Calcule as integrais triplas:
(a)
ZZZ
D
yz dx dy dz, em que D = {(x , y , z); 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2z, 0 ≤ x ≤ z + 2}.
(b)
ZZZ
D
y dx dy dz, em que D é a região abaixo do plano z = x + 2y e acima da região no plano xy limitada
pelas curvas y = x2, y = 0 e x = 1.
(c)
ZZZ
D
xy dx dy dz, em que D é o tetraedro sólido com vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 3).
(d)
ZZZ
D
z dx dy dz, em que D é limitada pelos planos x = 0, y = 0, z = 0, y + z = 1 e x + z = 1.
(e)
ZZZ
D
x dx dy dz, em que D é limitada pelo parabolóide x = 4y2 + 4z2 e pelo plano x = 4.
EP 2.26. Determine a massa e o centro de massa do cubo Q = [0, a]× [0, a]× [0, a] cuja densidade é dada
pela função ρ(x , y , z) = x4 + y2 + z2.
EP 2.27. Determine os momentos de inércia de um cubo de densidade constante k e aresta L se um dos
seus vértices é a origem e três de suas arestas estão sobre os eixos coordenados.
EP 2.28. Calcule as seguintes integrais:
(a)
ZZZ
E
(x2 + y2) dx dy dz, em que E é a região limitada pelo cilindro x2 + y2 = 4 e pelos planos z = −1 e
z = 2.
(b)
ZZZ
E
y dx dy dz, em que E é a região entre os cilindros x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 1, limitada pelo plano xy e
pelo plano z = x + 2.
(c)
ZZZ
E
x2 dx dy dz, em que E é o sólido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 1, acima do plano z = 0 e abaixo do
cone z2 = 4x2 + 4y2.
EP 2.29. Determine o volume da região R limitada pelos parabolóides z = x2 + y2 e z = 36− 3x2 − 3y2.
EP 2.30. Determine a massa e o centro de massa do sólido S limitado pelo parabolóide z = 4x2 + 4y2 o pelo
plano z = a(a > 0), se S tem densidade constante k .
EP 2.31. Calcule as integrais:
(a)
ZZZ
B
(x2 + y2 + z2) dx dy dz, em que B é a bola unitária x2 + y2 + z2 ≤ 1.
(b)
ZZZ
E
y2 dx dy dz, em que E é a parte da bola unitária x2 + y2 + z2 ≤ 1 contida no primeiro quadrante.
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA60
(c)
ZZZ
E
È
x2 + y2 + z2 dx dy dz, em que E é a região interior ao cone φ = π
6
e à esfera ρ = 2.
EP 2.32. Determine a massa de um hemisfério sólido H de raio a se a densidade em qualquer ponto é
proporcional a sua distância ao centro da base.
EP 2.33. Calcule o volume da região limitada pelo elipsóide x
2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1.
EP 2.34. Seja f contínua em [0, 1] e seja R a região triangular com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1). Mostre que
ZZ
R
f (x + y) dx dy =
Z 1
0
uf (u)du.
EP 2.35. (a) Calcule
ZZ
D
1
(x2 + y2)n/2
dx dy , onde D é a região entre os círculos com centros na origem e
raios r e R , 0 < r < R . Para que valores de n a integral tem limite quando r → 0+? E quando R →∞?
(b) Faça uma análise semelhante para a integral tripla
ZZZ
D
1
(x2 + y2 + z2)n/2
,
em que D é a região interior às esferas com centros na origem e raios r e R , 0 < r < R .
EP 2.36. Use a transformação x = u2, y = v2 e z = w 2 para calcular o volume da região limitada pela
superfície √x +√y +√z = 1 e pelos planos coordenados.
Gabarito
2.3 (a) −585
8
(b) 15
4
(2 − √3) (c) ln
€
27
16
Š
2.4 V (S)
4
15
(2
√
2 − 1) 2.5 V (S) = 36 2.6 − 1
2
e
1
2
. 2.7 (a) 1/12; (b) −19/42; (c) e4/2 − 2e;
(d) 1− cos(1)
2
; (e) 500/3; (f) 1/8; (g) 8pi. 2.8 (a) 6/35 (b) 31/8 (c) 1
6
(11
√
5 − 27) 2.9 (a) 1/6 (b) 1/3 (c) 16r3/3 2.10 2.11 (a) (e9 − 1)/6;
(b) sen(81)/4; (c) (2
√
2− 1)
3
. 2.15 (a) 2/3 e (0, 1/2); (b) 6 e (3/4, 3/2); (c) 1/6 e (4/7, 3/4) (d) 27/2 e (8/5, 1/2) 2.16 (c) Ix = 1/10,
Iy = 1/16 e Iz = 13/80; (d) Ix = 189/20, Iy = 1269/28 e Iz = 1917/35. 2.17 2.18 2.19 2.20 (a) −→x = 1
m
Z
γ
xρ(x, y , z) ds,−→y =
1
m
Z
γ
yρ(x, y , z) ds−→z = 1
m
Z
γzρ(x, y , z) ds, onde m =
Z
γ
ρ(x, y , z) ds; (b) 2√13kpi, (0, 0, 3pi). 2.21 2.22 2.23 2.24 (a) 1/48; (b) 16/3.
2.25 (a) 7/5; (b) 5/28; (c) 1/10; (d) 1/12; (e) 16pi/3. 2.26 m = a/5 e (x , y , z) = (7a/12,
7a/12, 7a/12). 2.27 Ix = Iy = Iz = 2
3
kL5.
2.28 (a) 24pi; (b) 0; (c) 2pi. 2.29 162pi. 2.30 pia2/8 , (0, 0, 2a/3). 2.31 (b) p/30; (c) 4pi(2 − √3). 2.32 pia2, onde k é a constante de
proporcionalidade.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 61
BLOCO02 Funções Vetoriais
TEMA03 Análise Vetorial
Trabalharemos, aqui, integrais de linha e integrais de superfície, bem como consideraremos algumas das
suas aplicações mais comuns. Veremos como integrais de linha podem ser transformados em integrais de
superfície e vice-versa, o mesmo acontecendo entre integrais de superfície e integrais triplas, culminando com
os resultados dos teoremas de Gauss, Green e Stokes.
Integrais de Linha
3.1 Integral de Linha em Campos Escalares
Definiremos uma integral semelhante à integral simples, mas a qual é feita sobre uma curva γ. Ela foi
descoberta no início do século XIX para resolver problemas envolvendo escoamento de fluidos, eletricidade,
magnetismo, etc.
Considere uma curva γ(t) = (x(t), y(t)), em que t ∈ [a, b] tal que γ′(t) é contínua e que γ′(t) 6= −→0 .
Dividindo-se o intervalo [a, b] em n subintervalos [ti−1, ti ], temos os correspondentes pontos na curva Pi =
γ(x(ti ), y(ti )). A imagem do intervalo [ti−1, ti ] é o pedaço da curva (arco) que vai de Pi−1 a Pi . Vamos denotar
por si o comprimento de cada um desses arcos. Assim, a curva γ fica dividida em sub-arcos de comprimentos
s1, s2, . . . , sn. Vamos tomar uma função f de duas variáveis cujo domínio D contém a curva γ. Lembre-se que
isto quer dizer que γ(t) = (x(t), y(t)) está contido em D, para todo t ∈ [a, b]. Calculando f em Pi , multiplicando
pela variação γi e somando tudo temos
∞
X
i=1
f (x(ti ), y(ti )) ·∆si .
3.1 Definição. A integral de linha ao longo de γ é:
Z
γ
f (x , y) ds = lim
n→∞
∞
X
i=1
f (x(ti )y(ti ))∆si
quando tal limite existe. Mas o comprimento de um pequeno arco da curva é, aproximadamente, o tamanho do
vetor tangente. Assim
∆si ≈
È
x ′(ti)2 + y ′(ti )2
e, se f é uma função contínua, o limite acima sempre existe e a seguinte fórmula é valida
Z
γ
f (x , y) ds =
Z b
a
f (x(t), y(t))
È
x ′(t)2 + y ′(t)2 dt.
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA62
Nota 20. De forma análoga, define-se a integral de linha para funções f de três variáveis. Ainda, também,
temos que, se f (x , y , z) é contínua numa região que contém uma curva γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) tal que
γ′(t) é contínua e que γ′(t) 6= −→0 , então
Z
γ
f (x , y , z) ds =
Z b
a
f (x(t), y(t), z(t))
È
x ′(t)2 + y ′(t)2 + z ′(t)2 dt.
Podemos, também, escrever a integral de linha numa forma mais sintética
Z b
a
f (γ(t)) · |γ′(t)| dt.
Importante! A integral de linha não depende da parametrização de γ.
Nota 21. Note que comprimento de uma curva nada mais é que a integral de linha
L(γ) =
Z
γ
1 ds =
Z b
a
|γ′(t)| dt.
Se temos uma curva “lisa por partes”, isto é, γ é a união finita de curvas γi , 1 ≤ i ≤ n, em que o ponto inicial
de γ1 coincide com o ponto final de γn, então definimos a integral de f ao longo de γ por
Z
γ
f ds =
Z
γ1
f ds +
Z
γ2
f ds + . . . +
Z
γn
f ds.
ER 47. Calcule
Z
γ
y sen(z) ds, em que γ é a hélice circular de equação
8
>
>
<
>
>
:
x(t) = cos(t)
y(t) = sen(t)
z(t) = t
, 0 ≤ t ≤ 2π.
x
y
z
Solução:
Z
γ
y sen(z) ds =
Z 2pi
0
sen(t) sen(t)
È
sen2(t) + cos2(t) + 1 dt =
√
2
Z 2pi
0
sen2(t) dt = π
√
2.
3.1.1 Exercícios Propostos
EP 3.1. Denota-se por −γ a curva que tem os mesmo pontos de γ, mas com orientação contrária. As
integrais de linha
Z
γ
f ds e
Z
−γ
f ds são iguais?
EP 3.2. Calcule as integrais de linha para
(a) f (x , y) = xy + ln(x) para γ o arco da parábola y = x2 de (1, 1) a (3, 9).
(b) f (x , y , z) = x2z para γ o segmento com extremidades (0, 6,−1) e (4, 1, 5).
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 63
3.2 Integrais de Linha em Campos Vetoriais
3.2.1 Campos Vetoriais
O vento possui uma direção, um sentido e uma intensidade. Assim, em cada instante temos um vetor que
representa o vento para cada ponto de uma região. Este é um típico exemplo de um campo de vetores. Outro
exemplo é um campo de força em que a cada ponto associa-se um vetor.
Um campo de vetores do R2 é uma função −→F de uma região D do R2 que a cada ponto (x , y) associa um
vetor
−→
F (x , y) do R2. Podemos escrever
−→
F (x , y) = P(x , y)
−→
i + Q(x , y)
−→
j ,
em que P e Q são funções de D em R e um campo de vetores do R2 é uma função −→F de uma região D do R3
que a cada ponto (x , y , z) associa um vetor −→F (x , y , z) do R3
−→
F (x , y , z) = P(x , y , z)
−→
i + Q(x , y , z)
−→
j + R(x , y , z)
−→
k ,
em que P , Q e R são funções de D em R .
São muitos os exemplos de campos vetoriais, principalmente na Física, mas os mais importantes são o
gradiente, o divergente e o rotacional.
3.2.2 O Gradiente
Dada uma função f : D ⊂ R2 → R, com derivadas parciais, o gradiente de f é um campo que a cada ponto
(x , y) ∈ D associa o vetor
−→∇ f (x , y) =

∂f
∂x
(x , y),
∂f
∂y
(x , y)
‹
=
∂f
∂x
(x , y)
−→
i +
∂f
∂y
(x , y)
−→
j .
Se a função está definida no R3, ou seja, f : D ⊂ R3 → R, com derivadas parciais, o gradiente de f é um
campo que a cada ponto (x , y , z) ∈ D associa o vetor
−→∇f (x , y , z) =

∂f
∂x
(x , y , z),
∂f
∂y
(x , y , z),
∂f
∂z
(x , y , z)
‹
=
∂f
∂x
(x , y , z)
−→
i +
∂f
∂y
(x , y , z)
−→
j +
∂f
∂z
(x , y , z)
−→
k .
Nota 22. Utiliza-se, também, a notação:
−→∇ =

∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
‹
=
∂
∂x
−→
i +
∂
∂y
−→
j +
∂
∂z
−→
k
com versão análoga para o caso R2.
Nota 23. Um campo de vetores −→F é chamado conservativo se ele é um campo gradiente de alguma
função f , isto é, se −→F = −→∇f . Nesta situação chamamos de f o potencial de −→F .
3.2.3 O Divergente
Dado um campo vetorial −→F (x , y) = P(x , y)−→i + Q(x , y)−→j definido em D tal que P e Q possuam derivadas
parciais em D, então o divergente de −→F é
div
−→
F =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
.
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA64
Analogamente, se −→F (x , y , z) = P(x , y , z)−→i +Q(x , y , z)−→j +R(x , y , z)−→k tal que P , Q e R possuam derivadas
parciais
div
−→
F =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
.
Nota 24. Note que o divergente é uma função de D em R (conjunto dos números reais) e é o que
chamamos de campo escalar. Simbolicamente, ele pode ser expresso como o “produto interno”:
div
−→
F =
−→∇ · −→F = ( ∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
) · (P ,Q,R).
3.2.4 O Rotacional
Dado um campo vetorial −→F (x , y , z) = P(x , y , z)−→i + Q(x , y , z)−→j + R(x , y , z)−→k definido em D tal que P , Q e
R possuam derivadas parciais em D, então o rotacional de −→F é dado por:
rot
−→
F =

∂R
∂y
− ∂Q
∂z
‹−→
i +

∂P
∂z
− ∂R
∂x
‹−→
j +

∂Q
∂x
− ∂P
∂y
‹−→
k ,
ou ainda, simbolicamente, como um “produto vetorial” ou o determinante de uma matriz
rot
−→
F =
−→∇ ×−→F =
�
�
�
�
�
�
�
�
−→
i
−→
j
−→
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Se rot−→F (x , y) = P(x , y)−→i + Q(x , y)−→j , então dizemos que rot−→F =

∂Q
∂x
− ∂P
∂y
‹−→
k .
Podemos citar como exemplo importante a Lei de Gravitação de Newton: a intensidade da força gravitacional
entre dois objetos de massa M e m é F = g mM
r2
, em que r é a distância entre os objetos e g é a constante
gravitacional. Vamos assumir que um objeto de massa M está localizado na origem de R3 (M pode ser a massa
da Terra e a origem seu centro). Se o objeto de massa m está no ponto (x , y , z), então a força gravitacional que
está agindo em m é
−→
F (x , y , z) = −G mM
(
p
x2 + y2 + y2)3
(x , y , z).
Este é um exemplo de campo conservativo, pois
f (x , y , z) = G
mM
(
p
x2 + y2 + y2)3
é um potencial para −→F (verifique!).
3.2.5 Integrais de Linha de Campos Vetoriais
Considere uma partícula que se move no plano ao longo da curva γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b]. Ela está sob
a ação de um campo de forças −→F (x , y) = P(x , y)−→i + Q(x , y)−→j . Queremos calcular o trabalho realizado pela
força −→F quando a partícula se desloca de γ(a) até γ(b).
Se −→F é uma força constante e se a partícula se desloca sob um segmento de reta AB, então o trabalho W
é dado pelo produto escalar W = −→F · −→AB.
Dividindo-se o intervalo [a, b] em pequenos subintervalos [ti − 1, ti ], criamos pequenos arcos na curva
γ(t) : γ([ti−1, ti ]). Se estamos com intervalos pequenos, o deslocamento de Ai−1 = γ(ti−1) a Ai = γ(ti ) é,
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 65
aproximadamente, um deslocamento ao longo do segmento Ai−1Ai . Se também a variação de
−→
F ao longo do
arco γ([ti−1, ti ]) for muito pequena, podemos pensar que é quase constante. Assim, o trabalho neste trecho
será, aproximadamente,
Wi ≈ −→F (x(ti ), y(ti )) · −−−−→Ai−1Ai = P(x(ti ), y(ti ))∆xi + Q(x(ti ), y(ti ))∆yi ,
em que ∆xi = x(ti )− x(ti−1) e ∆yi = y(ti )− y(ti−1).
Aplicando-se o teorema do valor médio, podemos dizer que o trabalho total é
W ≈
n
X
i=1
Wi ≈
n
X
i=1
P(x(ti ), y(ti ))x
′(ti )∆ti + Q(x(ti ), y ′(ti )∆ti .
Assim, uma definição razoável para o trabalho é:
W =
Z b
a
P(x(t), y(t))x ′(t) + Q(x(t), y(t))y ′(t) dt
Pode-se fazer um raciocínio análogo para o caso de R3.
3.2 Definição. Sejam γ(t) = (x(t), y(t)) (ou γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) uma curva diferenciável por partes e −→F
um campo contínuo cujo domínio contém esta curva. A integral de linha de −→F ao longo de γ é:
Z
γ
−→
F d−→r =
Z b
a
−→
F (γ(t)) · γ′(t).
No caso R2 temos:
Z b
a
[P(x(t), y(t)) · x ′(t) + Q(x(t), y(t)) · y ′(t)] dt
No caso R3 temos:
Z b
a
[P(x(t), y(t), z(t)) · x ′(t) + Q(x(t), y(t), z(t)) · y ′(t) + R(x(t), y(t), z(t)) · z ′(t)] dt.
Usando a notação dx = x ′(t) dt, dy = y ′(t) dt e dz = z ′(t) dt, podemos escrever que:
Z
γ
−→
F d−→r =
Z b
a
P dx + Qdy + Rdz ou
Z
γ
−→
F d−→r =
Z b
a
P dx + Qdy .
Importante Não é difícil provar que a integral de linha não depende da particular parametrização da
curva, desde que não se inverta a orientação da curva.
ER 48. Calcule
Z
γ
−→
F d−→r , em que −→F = x−→i + y−→j + z−→k e a curva é a hélice γ(t) = (cos(t), sen(t), t), para t
entre 0 e 2π.
Solução:
Z
γ
−→
F d−→r =
Z b
a
P dx + Qdy + Rdz =
Z 2pi
0
[cos(t)(− sen(t)) + sen(t)(cos(t)) + t1] dt = 2π2.
ER 49. Calcule o trabalho realizado pelo campo de força −→F = x2−→i − xy−→j quando uma partícula se move
ao longo da curva γ(t) = (cos(t), sen(t)), para t entre 0 e π
2
partindo de (1, 0) até (0, 1) e partindo de (0, 1) até
(1, 0).
Solução: Partindo de (1, 0) até (0, 1) temos:
W =
Z
γ
−→
F d−→r =
Z
pi
2
0
[cos2(t)(− sen(t))−cos(t) sen(t)(cos(t))] dt =
Z
pi
2
0
−2 cos2(t) sen(t) dt =
�
2 cos3 t
3
�
pi
2
0
= −2
3
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA66
Partindo de (0, 1) até (1, 0)
W =
Z
γ
−→
F d−→r =
Z
pi
2
0
[sen2(t)(cos(t))− sen(t) cos(t)(− sen(t))] dt =
Z
pi
2
0
2 sen2(t) cos(t) dt =
�
2 sen3 t
3
�
pi
2
0
=
2
3
Nota 25. Observe, no exercício anterior, que as integrais são diferentes, pois, na primeira estamos
percorrendo no sentido anti-horário, enquanto na segunda, no sentido horário. Em geral, o que temos é
que
Z
γ
−→
F d−→r = −
Z
−γ
−→
F d−→r (verifique isto!).
ER 50. Considere o campo −→F = x2−→i − xy−→j e a curva γ(t) = (cos(2t), sen(2t)), para t entre 0 e π. Calcule a
integral de linha.
Solução:
W =
Z
γ
−→
F d−→r =
Z pi
0
[cos2(2t)(−2 sen(2t))− cos(2t) sen(2t)(2 cos(2t))] dt
=
Z pi
0
−4 cos2(2t) sen(2t) dt =
�
4 cos3 t
6
�2pi
0
= −2
3
As respostas dos exercícios anteriores são iguais. Como se explica isso? As curvas são as mesmas
(traço e sentido), só que foram parametrizadas de formas diferentes. A integral de linha não depende da
parametrização, desde que não se inverta sua orientação.
3.2.6 Exercícios Propostos
EP 3.3. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo da curva indicada:
(a)
Z
γ
x ds, γ(t) = (t3, t) e 0 ≤ t ≤ 1.
(b)
Z
γ
xy4 ds, γ é a semi-circunferência positiva x2 + y2 = 16 para x ≥ 0.
(c)
Z
γ
(x − 2y2) dy , γ é o arco da parábola y = x2 de (−2, 4) a (1, 1).
(d)
Z
γ
xy dx + (x − y) dy , γ consiste dos segmentos de reta de (0, 0) a (2, 0) e de (2, 0) a (3, 2).
(e)
Z
γ
xyz ds, γ(t) = (2t, 3 sen(t), 3 cos(t)) para? ?0 ≤ t ≤ π
2
.
(f)
Z
γ
xy2z ds, γ é o segmento de reta de (1, 0, 1) a (0, 3, 6).
(g)
Z
γ
x3y2z ds, γ é dada por x = 2t, y = t2 e z = t2 , para 0 ≤ t ≤ 1.
(h)
Z
γ
z2 dx − z dy + 2y dz, γ consiste dos segmentos de reta de (0, 0, 0) a (0, 1, 1), de (0, 1, 1) a (1, 2, 3) e de
(1, 2, 3) a (1, 2, 4).
EP 3.4. Calcule
Z
γ
−→
F · d−→r , onde −→F = (x2 + y)−→i − 7yz−→j + 2xz2−→k e γ é a curva ligando o ponto (0, 0, 0) a
(1, 1, 1), nos seguintes casos:
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 67
(a) γ(t) = (t, t2, t3);
(b) γ é composta dos segmentos de reta de (0, 0, 0) a (1, 0, 0), depois a (1, 1, 0) e depois a (1, 1, 1);
(c) γ é o segmento de reta de (0, 0, 0) a (1, 1, 1).
EP 3.5. Calcule
Z
γ
−→
F · d−→r nos seguintes casos:
(a) −→F (x , y) = x2y−→i − xy−→j e γ : −→r (t) = t3−→i + t4−→j , 0 ≤ t ≤ 1;
(b) −→F (x , y , z) = sen(x)−→i + cos y−→j = xz−→k e γ : −→r (t) = t3−→i − t2−→j + t−→k , 0 ≤ t ≤ 1.
3.2.7 Campos Conservativos
Para funções de uma variável temos o Teorema Fundamental do Cálculo, que pode ser escrito como:
Z b
a
f ′(x) dx = f (b)− f (a)
que usamos com freqüência. Queremos obter um resultado semelhante para funções de duas ou três variáveis.
O gradiente de uma função f (x , y) (ou f (x , y , z)) é um tipo de “derivada” da f .
Tomemos uma curva γ de [a, b] em R2, lisa por partes, e uma função f (x , y) de classe C 1 cujo domínio D
contém a curva γ. Calculando
Z
γ
−→∇f d−→r =
Z a
b
−→
∆f (γ(t))γ′(t) dt =
Z b
a

∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
‹
dt =
Z b
a
d
dt
f (γ(t)) dt = f (γ(b))− f (γ(a))
Note que aplicamos a Regra da Cadeia, o Teorema Fundamental do Cálculo e, ainda, podemos fazer os
mesmos cálculos para funções de três variáveis f (x , y , z).
O que mostramos acima pode ser escrito da seguinte forma:
Se −→F é um campo contínuo em D, onde existe f tal que −→∇f = −→F , chamado de campo gradiente, ou
conservativo, e se γ : [a, b] → R2 (ou R3) é uma curva lisa por partes contida em D, então
Z
γ
−→
F d−→r =
Z
γ
∇f d−→r = f (γ(b))− f (γ(a)).
Além disso, se γ é um caminho fechado,
Z
γ
−→
F d−→r = 0.
3.3 Proposição. Se γ : [a, b] ⊂ D → Rn é uma curva com extremidades em dois pontos (a, γ(a)) e (b, γ(b))
pertencentes a D e −→F é conservativo, então
Z
D
−→
F d−→r não depende do caminho γ.
Seja f uma função potencial de −→F e γ : [a, b] → Rn um caminho. Então
Z
γ
−→
F d−→r =
Z
γ
∇f d−→r = f (γ(b))− f (γ(a)).
A função f é chamada potencial de F em D e, portanto f (γ(b))− f (γ(a)) é uma diferença de potencial.
ER 51. Verifique se o campo −→F (x , y , z) = (x2, y , 1) é conservativo.
Solução: Sendo, por exemplo, f (x , y , z) = x
3
3
+
y2
2
+ z, temos que o campo −→F é conservativo, pois
∇f = −→F .
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA68
Nota 26. Note que o valor da integral de linha de um campo gradiente sobre uma curva só depende do
ponto inicial e final da curva e
não da particular curva.
Não é verdade que todo campo é conservativo. Por exemplo: seja −→F (x , y) = y−→i + (x2 + y2)−→j e dois
caminhos ligando os pontos (−2, 0) a (0, 2). γ1(t) = (2 cos(t), 2 sen(t)) para t em
hπ
2
,π
i
e γ2 o segmento
ligando os pontos de coordenadas (−2, 0) e (0, 0) e, em seguida, os de (0, 0) a (0, 2). Então,
Z
γ1
−→
F d−→r = −
Z pi
−pi2
(2 sen(t), 4) · (−2 sen(t), 2 cos(t)) dt = −
Z pi
−pi2
(2 cos(2t) + 8 cos(t)− 2) dt = π + 8
e
Z
γ2
−→
F d−→r =
Z 2
−2
(0, x2) · (1, 0) dt +
Z 2
0
(y , y2) · (0, 1) dt = 8
3
.
Uma questão que, naturalmente, pode aparecer é: se tivermos um campo cujas integrais ao longo de
curvas não dependem particularmente de curvas, mas, apenas, dos pontos finais e iniciais, então o campo é
conservativo?
Para responder a essa pergunta vamos considerar um campo−→F (x , y) = P(x , y)−→i +Q(x , y)−→j nas condições
acima especificadas, definido em D ⊂ R2.
Queremos encontrar uma função f tal que −→∆f = −→F , isto é:
∂f
∂x
= P e
∂f
∂y
= Q.
Usando uma idéia já conhecida para funções reais, poderíamos definir f da seguinte forma: se X = (x , y) e
γ é uma curva qualquer ligando A a X tome
f (x , y) =
Z
γ
−→
F d−→r .
Note que, por hipótese, a integral não depende da particular curva e, resumidamente, teríamos que
∂f
∂x
(x , y) = lim
h→∞
f (x + h, y)− f (x , y)
h
= lim
h→∞
1
h
Z (x+h,y)
(x,y)
−→
F d−→r = lim
h→∞
Z 1
0
P(x + th, y) dt = P(x , y)
e, analogamente, mostramos que ∂f
∂y
= Q.
Uma outra questão é: será que sempre existe uma curva ligando A a X em D?
Um conjunto D é dito conexo se, para dois pontos de D, existe uma curva lisa por partes contida em D.
Lembramos que um subconjunto D do R2 ou R3 é dito aberto se, para todo ponto P de D, existe uma “bola”
(disco ou esfera) de centro P contida em D. Desta forma, temos uma idéia da prova, para D em R2, do seguinte
fato:
Se −→F é um campo contínuo num domínio aberto conexo, então −→F é conservativo se, e somente se, para
cada par de pontos (A,B) a integral de linha de −→F é a mesma ao longo de qualquer curva lisa ligando A e B
contida em D.
ER 52. Seja −→F (x , y) = P(x , y)−→i + Q(x , y)−→j um campo conservativo, onde P e Q são funções C 1, em um
aberto conexo D. Mostre que rot−→F = −→0 .
Solução: Como −→F é conservativo, então −→∇f = −→F . Segue que ∂f
∂x
= P e
∂f
∂y
= Q. Mas,
∂P
∂y
=
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂x∂y
=
∂Q
∂x
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 69
e, então
rot
−→
F =

∂Q
∂x
− ∂P
∂y
‹−→
k =
−→
0
Nota 27. Este exercício já foi proposto no texto sobre campos e é válido, também, para campos em R3.
Será que podemos concluir que quando rot−→F = −→0 o campo é conservativo?
3.2.8 Exercícios Propostos
EP 3.6. Verifique que a integral
Z
γ
2x sen(y) dx + (x2 cos y − 3y2) dy , em que γ é uma curva ligando (−1, 0) a
(5, 1), é independente do caminho e calcule o seu valor.
EP 3.7. Seja−→F (x , y) = P(x , y)−→i + Q(x , y)−→j = −y
−→
i + x
−→
j
x2 + y2
.
(a) Mostre que ∂P
∂y
=
∂Q
∂x
;
(b) Analise o valor de
Z
γ
−→
F · d−→r , em que γ é uma curva simples e fechada.
EP 3.8. Nem todo campo é conservativo. Procure um exemplo de um campo não-conservativo.
EP 3.9. Quando o campo é conservativo só existe um potencial para este campo? Como são todos os
potenciais de um campo conservativo?
EP 3.10. Tomando uma função f de classe C 2 (lembra o que isto quer dizer?) verifique que −→rot(−→∇ f ) = −→0 .
EP 3.11. Se −→F é um campo de classe C 2, isto é, as funções P , Q e R são de classe C 2, verifique que
div
−→
rot(
−→
F ) = 0.
EP 3.12. Se −→F (x , y) = (3x2 + 2xy , x2 + 3y2), verifique se −→F é conservativo no R2 e, em caso afirmativo,
determine a função potencial de −→F .
Gabarito
3.3 (a) (10√10 − 1)/54; (b) 1638, 4; (c) 48; (d) 17/3; (e) 9√13pi/4; (f) 3√35; (g) 16/11; (h) 77/6. 3.4 (a) −11/15; (b) 1; (c) −1. 3.5 (a)
−19/143; (b) 6/5− cos(1)− sen(1). 3.6 25 sen(1)− 1.
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TEMA04 Teoremas de Green, Stokes e Gauss
Relações entre as Integrais de Linha e de Superfície
As relações entre as integrais de linha e de superfícies são dadas pelos teoremas de Green, Stokes e Gauss
que, além de sua utilidade teórica, servem para diminuir, consideravelmente, o trabalho para o cálculo de certas
integrais.
4.1 O Teorema de Green
O Teorema de Green nos dá uma relação entre integrais de linha sobre curvas fechadas e integrais sobre
regiões limitadas pela curva. Para compreendê-lo, precisamos estabelecer algumas definições e convenções.
Uma curva γ : [a, b] → R2 (ou γ : [a, b] → R3) é fechada se γ(a) = γ(b).
Uma curva é chamada de simples se ela não se auto-intercepta entre o ponto inicial e final. Formalmente,
uma curva γ é simples se γ(t) é diferente de γ(s) para todo t e s pertencentes ao intervalo [a, b].
As regiões que vamos considerar nas hipóteses do Teorema de Green são regiões planas fechadas e
limitadas cuja fronteira (ou bordo) é composto por um número finito de curvas simples, fechadas, lisa por
partes, duas a duas disjuntas.
No Teorema iremos calcular a integral de linha sobre as curvas da fronteira de D. Para isso, temos que
orientar estas curvas convenientemente. A orientação para o nosso teorema deve ser tal que, ao caminharmos
sobre a curva, a região fica sempre à esquerda.
Vejamos, agora, como é possível relacionar integrais de linha com as integrais duplas e vice-versa. Esse é
o resultado contido no teorema de Green no plano.
4.1 Teorema (de Green). Seja D uma região fechada e limitada de R2 cuja fronteira ∂D é formada por um
número finito de curvas simples, fechadas e lisa por partes, duas a duas disjuntas orientadas no sentido que
deixa D à esquerda das curvas. Seja um campo vetorial
−→
F (x , y) = P(x , y)
−→
i + Q(x , y)
−→
j
de classe C 1 (as derivadas parciais de P e Q são contínuas) em um aberto que contém D. Então,
ZZ
D

∂Q
∂x
− ∂P
∂y
‹
dA =
Z
∂D
−→
F · d−→r =
Z
∂D
P dx + Q dy
ou, pode-se escrever
ZZ
D
(rot
−→
F ) · −→k dA =
Z
∂D
−→
F · d−→r
em que a integral de linha é a soma de integrais sobre as curvas componentes da fronteira de D, isto é,
∂D = γ1 + γ2 + . . .+ γn.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 71
A prova deste Teorema é bem complicada e não cabe a este curso.
Vamos ver alguma aplicações para entender melhor o Teorema de Green.
Nota 28. Usa-se a notação
I
γ
P dx + Q dy quando se trata de integrais de linha de curvas fechadas.
ER 53. Calcule
I
γ
x2y dx + xy3 dy sendo γ o bordo do quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1),
orientado positivamente (anti-horário).
Solução: Claramente poderíamos calcular diretamente esta integral:
I
γ
x2y dx + xy3 dy =
Z 1
0
x20 dx +
Z 1
0
1y3 dy −
Z 1
0
x21 dx −
Z 1
0
0y3 dy
Usando o Teorema de Green:
A região é o quadrado D; as funções P e Q possuem derivadas parciais contínuas em D e a curva está
orientada de forma a deixar a região à esquerda. Então, vale que
I
γ
x2y dx + xy3 dy =
ZZ
D

∂Q
∂x
− ∂P
∂y
‹
dA =
Z 1
0
Z 1
0
y3 − x2 dx dy = − 1
12
Podemos, também, utilizar o Teorema de Green quando uma das integrais envolvidas é muito difícil de
calcular.
ER 54. Calcule
I
γ
(3y + esen(x)) dx + (7x +
È
y4 + 1) dy , em que γ é o círculo de raio 3 centrado na origem
orientado no sentido anti-horário.
Solução: Verifica-se que ao se tentar calcular diretamente a integral de linha proposta, logo se chega a
integrais complicadas. Portanto, usaremos o Teorema de Green como alternativa.
Z
∂D
P dx + Q dy =
ZZ
D

∂Q
∂x
− ∂P
∂y
‹
dA =
ZZ
D
(7− 3) dx dy = 36π.
onde D é o disco de centro (0, 0) e raio 3.
O Teorema
de Green nos permite passar de integrais de linha complicadas para integrais de linha mais
simples de se calcular.
ER 55. Calcule
Z
γ
−→
F · d−→r , em que −→F (x , y) = 2x cos y−→i + (7xy − x2 sen(y))−→j e γ é o gráfico de y = cos x
percorrido de −π
2
a
π
2
.
Solução:
Usando o Teorema de Green, temos que
ZZ
D

∂Q
∂x
− ∂P
∂y
‹
dA =
Z
∂D
−→
F · d−→r = −
Z
γ
P dx + Q dy +
Z
pi
2
−pi2
2t cos(0) dt
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA72
Portanto,
Z
γ
−→
F · d−→r =
Z
pi
2
−pi2
2t cos(0) dt −
ZZ
D

∂Q
∂x
− ∂P
∂y
‹
dA = 0−
ZZ
D
7y dx dy
= −
Z
pi
2
−pi2
Z cos x
0
7y dx dy = −7
4
Z
pi
2
−pi2
(1 + cos 2x) dx = −7
4
π
Cuidado! Ao usar o Teorema de Green, não se esqueça de verificar todos os itens da hipótese.
ER 56. Calcule a integral de linha de −→F (x , y) = −y
−→
i + x
−→
j
x2 + y2
sobre γ, uma curva fechada, simples, lisa por
partes qualquer, que contém a origem no seu interior, percorrida uma vez no sentido anti-horário.
Solução: Temos que ∂Q
∂x
− ∂P
∂y
= 0 (verifique!). O aluno, apressado, vai concluir que a integral de linha
é zero. Errado! O campo em questão não está definido na origem! Não podemos usar o Teorema de Green
desta forma.
Tomemos um círculo γ1 de centro na origem e raio r que está no interior da curva γ (sempre existe?).
Pelo Teorema de Green
0 =
ZZ
D

∂Q
∂x
− ∂P
∂y
‹
dA =
Z
∂D
P dx + Q dy =
Z
γ
P dx + Q dy +
Z
γ1
P dx + Q dy
Portanto, sendo γ1(t) = (r cos(t), r sen(t)), para t em [0, 2π], temos uma parametrização de γ1 no sentido
anti-horário e, assim,
Z
γ
P dx + Q dy =
Z 2pi
0
1
r2
[−r sen(t)(−r sen(t)) + cos(t)(r cos(t))] dt = 2π
4.1.1 Exercícios Propostos
EP 4.1. Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:
(a)
I
γ
x2y dx+xy3 dy , em que γ é o quadrado com vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1), orientado positivamente
(sentido horário);
(b)
I
γ
(x + 2y) dx + (x − 2y) dy , onde γ consiste do arco da parábola y = x2 de (0, 0) a (1, 1) e do segmento
de reta de (1, 1) a (0, 0) orientada positivamente (sentido horário).
(c)
I
γ
(y + e
√
x) dx + (2x + cos y2) dy , onde γ é a fronteira da região limitada pelas parábolas y = x2 e x = y2
percorrida no sentido anti-horário.
(d)
I
γ
x2y dx + y2 dy , γ é a curva x6 + y6 = 1, sentido anti-horário.
(e)
I
γ
xy dx+2x2 dy , γ consiste do segmento de reta unindo (−2, 0) a (2, 0) e da semi-circunferência x2 +y2 =
4, com y maior ou igual a 0 e orientada positivamente.
(f)
I
γ
2xy dx + x2 dy , γ é a cardióide r = 1 + cos(θ) orientada positivamente.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 73
(g)
I
γ
(xy + ex
2
) dx + (x2 − ln(1 + y)) dy , γ consiste do segmento de reta de (0, 0) a (π, 0) e do arco da curva
y = sen(x), orientado positivamente.
(h)
I
γ
−→
F · d−→r , onde −→F (x , y) = (y2 − x2y)−→i + xy2−→j e γ consiste do arco de circunferência x2 + y2 = 4, de
(2, 0) a (
√
2,
√
2), e dos segmentos de reta de (
√
2,
√
2) a (0, 0) e de (0, 0) a (2, 0).
(a) −1/12; (b) −1/6; (c) 1/3; (d) 0; (e) 0; (f) 0; (g) π; (h) π + 16
3
•
1√
2
− 1
˜
.
4.1.2 Um Pouco de História
O Teorema de Green é assim chamado devido ao cientista inglês George Green (1793-1841), que o formulou
e provou. Ele trabalhava em tempo integral na padaria de seu pai desde os 9 anos de idade e aprendeu sozinho
Matemática e Física com livros de biblioteca. Em 1828 ele publicou, com recursos próprios, seu trabalho mais
importante: “An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Eletricity and Magnetism”.
Apenas 100 cópias foram feitas, as quais ele distribuiu entre seus amigos. Este trabalho contém uma forma
equivalente do que hoje conhecemos como Teorema de Green, que foi pouco notado. Finalmente, aos 40 anos,
Green ingressa na Universidade de Cambridge como um aluno de graduação. Em 1846, Willian Thomson (Lord
Kelvin) descobre uma cópia do trabalho de Green, percebe sua importância e o republica em 1846, cinco anos
depois de sua morte. Green foi o primeiro a tentar formular uma teoria matemática para a eletricidade e o
magnetismo. Seu trabalho foi a base para os trabalhos de Thomson, Stokes, Rayleigh e Maxwell sobre a teoria
de eletromagnetismo.
4.2 Campos Conservativos em Domínios Simplesmente Conexos
No texto sobre Campos Conservativos vimos que se um campo −→F é conservativo, então ele tem um poten-
cial e, facilmente, se prova que rot−→F = −→0 . Deixamos a seguinte pergunta sem resposta: podemos concluir
que quando rot−→F = −→0 , o campo é conservativo, ou seja, que toda integral de linha do campo sobre uma curva
fechada é zero? Afinal, não é só aplicar o Teorema de Green usando a região interior à curva e concluir que a
integral de curvas fechadas dá sempre 0? Calma!
Considere o campo −→F = −y
−→
i + x
−→
j
x2 + y2
cujo domínio é R2 \ {(0, 0)}. É fácil ver que rot−→F = −→0 , mas que
Z
γ
−→
F d−→r = 2π para qualquer circunferência centrada na origem percorrida no sentido anti-horário. Basta
calcular para ver isto. O problema é o tipo de domínio do campo que tem um “buraco”. Então, a resposta é não,
ou seja, não basta ver que o rotacional é zero para concluir que o campo é conservativo! Entretanto, quando
consideramos regiões D sem “buracos”, então a resposta à nossa pergunta é sim!
Uma região D (de R2 ou R3) é dita simplesmente conexa se é conexa e se toda curva fechada, simples, lisa
por partes, contida em D pode ser contraída continuamente a um ponto sem sair de D. Intuitivamente, uma
região assim, no R2, é a que não tem “buracos”.
E, assim, temos o seguinte resultado:
4.2 Teorema. Seja −→F um campo de classe C 1 definido num aberto simplesmente conexo D do R2. Se
rot
−→
F =
−→
0 , então −→F é conservativo.
Podemos, dessa forma, aplicar o Teorema de Green para obtermos o resultado acima.
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA74
Atenção! É válido, também, que se −→F é conservativo em um conjunto simplesmente conexo, então
rot
−→
F =
−→
0 .
Podemos enunciar o teorema anterior para campos do R2 e do R3 da seguinte forma:
4.3 Proposição (para campos em R2). Seja −→F (x , y) = (P(x , y),Q(x , y)), um campo definido em um domínio D
e suponha que as derivadas parciais de P e Q sejam contínuas. Então −→F (x , y) é conservativo se, e somente
se,
∂P
∂x
=
∂Q
∂y
e D é simplesmente conexo.
4.4 Proposição (para campos em R3). Seja−→F (x , y , z) = (P(x , y , z),Q(x , y , z),R(x , y , z)), um campo definido em
um domínio D e suponha que as derivadas parciais de P , Q e R sejam contínuas. Então −→F (x , y) é conservativo
se, e somente se, rot
−→
F e D é simplesmente conexo.
Atenção! Não existem “campos simplesmente conexos”. O domínio do campo que deve ser simples-
mente conexo para que o resultado valha.
Nos dois exercícios a seguir, devemos observar que em campos cujo domínio não é simplesmente conexo,
não implica que ele não seja conservativo. Leia as hipóteses do teorema: quando o domínio for simplesmente
conexo, então podemos dizer que, se o rotacional é nulo, então o campo é conservativo. Se o domínio não for
simplesmente conexo, nada podemos dizer.
ER 57. Verifique se o campo −→F (x , y) = x
−→
i + y
−→
j
x2 + y2
é conservativo.
Solução: Alguns podem responder que não é conservativo, pois o domínio R2 \ {(0, 0)} não é sim-
plesmente conexo. Mas a resposta é sim, apesar deste fato. Isto se deve ao fato de que −→F (x , y) =
∇
�
ln(x2 + y2)
2
�
.
ER 58. Verifique se o campo −→F (x , y) = (x
2 + y2)(x
−→
i + y
−→
j )
p
x2 + y2 − 1 é conservativo.
Seu domínio é o conjunto D = {(x , y); x2 + y2 > 1}. Para mostrar que este campo é conservativo vamos
calcular
a integral de linha deste campo sobre toda curva fechada e ver que é zero usando o teorema de
Green. Verifique que o rotacional do campo é nulo (lembre que se não fosse, o campo não poderia ser
conservativo!).
1o caso: tome uma curva γ fechada de forma que o disco de centro (0, 0) e raio 1 não está contido na
região interior a γ, orientada no sentido anti-horário.
Aplicando o Teorema de Green, temos que
ZZ
D

∂Q
∂x
− ∂P
∂y
‹
dA = 0 =
Z
∂D
−→
F · d−→r =
Z
γ
−→
F · d−→r
2o caso: tome uma curva γ fechada, de forma que o disco de centro (0, 0) e raio 1 esteja contida na região
interior a γ, orientada no sentido anti-horário.
Agora, para aplicarmos o teorema de Green, temos que considerar outra região. Tome a curva γ como
sendo uma circunferência de centro em (0, 0) e raio r > 1 e que contenha γ no seu interior. Agora, sim, para
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 75
a região R indicada vale que
0 =
Z
D

∂Q
∂x
− ∂P
∂y
‹
dA =
Z
∂D
−→
F · d−→r =
Z
γ2
−→
F · d−→r −
Z
γ
−→
F · d−→r .
Note o sinal negativo por causa da orientação.
Sendo assim, temos que
Z
γ
−→
F d−→r =
Z 2pi
0
r2√
r2 − 1 [r cos(t)(−r sen(t)) + r sen(t)(r cos(t))] dt = 0
4.2.1 Exercícios Propostos
EP 4.2. Considere o campo vetorial −→F (x , y) =
 −y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
‹
.
(a) Verifique que −→F é conservativo em qualquer região simplesmente conexa que não contém a origem e
calcule
I
γ
−→
F d−→r , onde γ é uma curva fechada contida na referida região.
(b) Considere uma curva γ fechada, contornando a origem, e mostre que
I
γ
−→
F −→r = 2π.
EP 4.3. Mostre que para um campo −→F contínuo num domínio aberto conexo tem-se que é conservativo se,
e somente se,
Z
γ
−→
F d−→r = 0 para qualquer curva lisa por partes fechada em D.
EP 4.4. Determine o trabalho realizado pelo campo de forças −→F (x , y) = x−→i + (y + 2)−→j ao mover um ponto
ao longo da ciclóide −→r (t) = (t − sen(t))−→i + (1− cos(t))−→j , 0 ≤ t ≤ 2π, 0 ≤ t ≤ 2π.
EP 4.5. Determine se os campos são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial.
(a) −→F (x , y) = (2x − 3y)−→i + (2y − 3y)−→j ;
(b) −→F (x , y) = (3x2 − 4y)−→i + (4y2 − 2x)−→j ;
(c) −→F (x , y) = (x2 + y)−→i + x2−→j ;
(d) −→F (x , y , z) = y−→i + x−→j +−→k ;
(e) −→F (x , y , z) = x−→i + y−→j + x−→k ;
(f) −→F (x , y , z) = yz−→i − z2−→j + x2−→k ;
(g) −→F (x , y , k) = yz−→i + (y2 + xz)−→j + xy−→k ;
(h) −→F (x , y , z) = zx−→i + xy−→j + yz−→k .
EP 4.6. (a) Se γ é o segmento de reta ligando o ponto (x1, y1) ao ponto (x2, y2), mostre que:
Z
γ
x dy − y dx = x1 · y2 − x2 · y1.
(b) No sentido anti-horário, os vértices de um polígono são (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xN , yN). Mostre que sua área
é dada por:
A =
1
2
[(x1y2 − x2y1) + (x2y3 − x3y2) + . . .+ (xN−1yN − xNyN−1) + (xNy1 − x1yN)]
(c) Determine a área do pentágono de vértices (0, 0), (2, 1), (1, 3), (0, 2) e (−1, 1).
EP 4.7. Calcule
I
γ
−→
F · d−→r para:
(a) −→F (x , y , z) = xy−→i − y−→j +−→k , onde γ é o segmento unindo (0, 0, 0) a (1, 1, 1);
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA76
(b) −→F (x , y , z) = xy−→i − y−→j +−→k , onde γ(t) = (t, t2, t3), 0 ≤ t ≤ 1;
(c) −→F (x , y) = y−→i +(x2 + y2)−→j , onde γ é o arco de circunferência γ(x) = (x ,√4− x2), ligando (−2, 0) a (2, 0);
(d) −→F (x , y) = (x+y)−→i +(x−y)−→j , onde γ é a elipse de equação x
2
a2
+
y2
b2
= 1, percorrida uma vez em sentido
anti-horário;
EP 4.8. Calcule:
(a)
Z
γ
x dx + y dy + z dz, sendo γ a intersecção das superfícies z = x2 + y2 e z = 2x + 2y − 1, orientada de
modo que sua projeção no plano Oxy seja percorrida uma vez no sentido horário;
(b)
Z
γ
2y dx + z dy +x dz, sendo γ a intersecção das superfícies 1 = x2 +4y2 e 1 = x2 + z2 , com y e z maiores
ou iguais a 0, percorrida uma vez do ponto (1, 0, 0) ao ponto (−1, 0, 0);
(c) dintγy dx + z dy + x dz, sendo γ a intersecção das superfícies x + y = 2 e x2 + y2 + z2 = 2x +2y , orientada
de modo que sua projeção no plano Oxz seja percorrida uma vez no sentido horário;
(d)
Z
γy dx + z dy + x dz, sendo γ a intersecção das superfícies z = xy e 1 = x2 + y2, orientada de modo que
sua projeção no plano Oxy seja percorrida uma vez no sentido horário;
EP 4.9. Calcule:
(a)
Z
γ
2x dx + (z2 − y2) dz, onde γ é o arco circular dado por x = 0, x2 + z2 = 4, de (0, 2, 0) a (0, 0, 2);
(b)
Z
γ
(x + y) dx − (x − y) dy
x2 + y2
, onde γ é a circunferência a2 = x2 + y2, percorrida uma vez no sentido horário;
(c)
Z
γ
dx + dy
|x |+ |y | , onde γ é o quadrado de vértices (±1,±1), percorrido uma vez no sentido horário;
(d)
Z
γ
√
y dx +
√
x dy , sendo γ a fronteira da região limitada por x = 0, y = 1 e y = x2, percorrida uma vez no
sentido horário.
EP 4.10. Prove que o trabalho realizado pelo campo −→F (x , y) = x−→i + xy−→j é nulo ao longo de qualquer
circunferência com centro no eixo das abscissas. Pode-se concluir que −→F é conservativo?
EP 4.11. Considere o campo −→F (x , y) = cxy−→i + x6y2−→j , c > 0, atuando sobre uma partícula que se move do
ponto (0, 0) até a reta x = 1 sobre a curva γ, gráfico da função y = axb, com a > 0 e b > 0. Determine um valor
de c em termos de a e de b para que o trabalho realizado por −→F seja nulo.
EP 4.12. Um campo de vetores −→F em R2 é chamado de radial (ou central) se existe uma função g : R → R tal
que −→F (x , y) = g(|−→r |)−→r , onde −→r = x−→i + y−→j . Suponha que g é de classe C 1. Mostre que −→F é conservativo.
EP 4.13. Determine todos os valores possíveis da integral
Z (2,2)
(1,0)
−y dx + x dy
x2 + y2
sobre um caminho que não passe pela origem.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 77
4.3 Superfícies Parametrizadas
Uma curva é uma “linha” do plano ou do espaço que pode ser vista como um segmento deformado. Uma
superfície é uma região do espaço que pode ser vista como uma região plana deformada. O conjunto dos
pontos (x , y , z) do R3 tais que x = x(u, v), y = y(u, v) e z = z(u, v), onde (u, v) pertence a D, é chamado de
superfície parametrizada S . Estas equações são chamadas de equações paramétricas de S (ou apenas uma
parametrização de S). Note que é como se pegássemos a região plana D e a deformássemos criando S . Como
no caso das curvas, temos a equação vetorial de S que descreve as coordenadas dos pontos de S de forma
vetorial. Gráficos de funções de duas variáveis são sempre superfícies parametrizadas. De fato, se z = f (x , y),
onde (x , y) pertence a D que é o domínio de f (D é uma região do plano xy ) uma parametrização do gráfico
de f (que está no R3) é x = u, y = v e z = f (u, v), para (u, v) em D.
Por exemplo, a equação vetorial −→r (u, v) = 2 cos(u)−→i + v−→j + 2 sen(v)−→k , com (u, v) em D = R2 descreve o
cilindro infinito de raio 2, com eixo no y . Se mudamos a região D e tomamos D = [−1, 1]× [0, 4], temos outra
superfície, que é uma parte da anterior.
As equações x = x(u, v) = 2 cos(u), y = y(u, v) = v e z = z(u, v) = 2 sen(v) são equações paramétricas de
S , ou, como se diz, uma parametrização de S .
Note que, deixando u = u0 constante e fazendo v variar, temos, no plano uv , uma reta e na superfície
uma curva, r(u0, v). Analogamente, se fixamos v = v0, temos, variando v , a curva r(u, v0). Estas curvas são
chamadas de curvas coordenadas.
Um outro exemplo é a superfície parametrizada dada por r(u, v) = ((2+sen(v)) cos(u), (2+sen(v)) sen(u), u+
cos(v)), para (u, v) ∈ [0, 4]× [0, 2π](tente construir usando o software winplot). Observe as curvas coordenadas.
Uma questão natural é: a parametrização de uma superfície é única? Ou seja, só existe uma maneira de
descrever os pontos de uma superfície S usando duas variáveis? A resposta ...
Considere a parte superior da esfera x2+y2+z2 = a2, ou seja, z = pa2 − x2 − y2 e observe as parametriza-
ções:
i. tomando x = x(u, v) = u; y = y(u, v)
= v e z = z(u, v) =
√
a2 − u2 − v2, com (u, v) ∈ D = {(u, v); u2 + v2 ≤
a2.
ii. usando coordenadas esféricas x = x(θ,φ) = a cos(θ) senφy ; y = y(θ,φ) = a sen(θ) senφ e z = z(θ,φ) =
a cosφ, em que D = [0, 2π]× [0,π].
Nota 29. Construindo-se o gráfico da superfície (parte superior de uma esfera) com o Winplot utilizando
as parametrizações obtidas, podemos observar uma diferença. No caso ii, as curvas coordenadas são
os meridianos e os paralelos. Já no caso i, temos que as curvas coordenadas são cortes por planos
paralelos aos planos x = 0 e y = 0. O gráfico deste não fica tão bom como no caso ii, exatamente pelo
tipo de parametrização usada.
4.3.1 Exercícios Propostos
EP 4.14. Use o winplot para esboçar o gráfico das seguintes superfícies parametrizadas. Identifique as
curvas coordenadas. Quais destas superfícies são gráficos de funções de duas variáveis f (x , y)? Quais são
superfícies conhecidas?
(a) x(u, v) = u cos(v), y(u, v) = u sen(v), z(u, v) = u2, com (u, v) em [0, 4]× [0,π];
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA78
(b) x(u, v) = 1 + 2u, y(u, v) = −u + 3v , z(u, v) = 2 + 4u + 5v , com (u, v) em [−3, 4]× [0, 7];
(c) x(u, v) = sen(u) cos(v), y(u, v) = sen(u) sen(v), z(u, v) = cos(u)+ ln(tg(v/2)), com (u, v) em [0, 2π]× [1, 6.2]
(d) x(u, v) = cos3(u) cos3(v), y(u, v) = sen3(u) cos3(v), z(u, v) = sen3 v , com (u, v) em [0,π]× [0, 2π]
(e) x(u, v) = u sen(u) cos(v), y(u, v) = u cos(u) cos(v), z(u, v) = u sen(v) , com (u, v) em [0, 2π]× [0, 2π]
(f) x(u, v) = u, y(u, v) = u cos(v), z(u, v) = u sen(v), com (u, v) em [0,π]× [0,π]
4.4 Área de uma Superfície
Até aqui, conhecemos fórmulas para calcular a área de algumas superfícies, como, por exemplo, a superfície
do cilindro, do cone ou da esfera. Se S é uma superfície, como calcular a sua área?
Partiremos do seguinte exemplo: o telhado de uma estrutura tem o formato da superfície S dada por z =
2− y
2
4
para (x , y) ∈ [0, 5]× [0, 2].
Tomemos uma parametrização de S : X (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), em que x = x(u, v) = u, y =
y(u, v) = v e z = z(u, v) = 2− v
2
4
, para (u, v) ∈ D = [0, 5]× [0, 2]. A fim de calcular a área deste telhado, vamos
dividi-lo em pequenos pedaços Si , tão pequenos que são quase planos. Mesmo assim, temos o problema de
calcular a área destes pequenos pedaços de planos.
Assim, podemos pensar em cobrir nosso telhado com pequenos paralelogramos. O plano tangente pode
ajudar. Temos dois vetores que extraímos de cada curva coordenada que são tangentes a estas curvas, os
quais possuem coordenadas:
−→
X u =

∂x
∂u
,
∂y
∂u
,
∂z
∂u
‹
e
−→
X v =

∂x
∂v
,
∂y
∂v
,
∂z
∂v
‹
Cada paralelogramo tem área
|−→X u∆u ×−→X v∆v | = |−→X u ×−→X v |∆u∆v
No nosso caso: −→X u = (1, 0, 0), −→X v =
�
0, 1,−v
2
�
e
−→
X u ×−→X v =
�
0,
v
2
, 1
�
.
Portanto, a área do telhado é, aproximadamente, a soma das áreas de cada pequeno paralelogramo, isto é:
X
|−→X u ×−→X v |∆u∆v
Intuitivamente, podemos concluir que quanto menor a partição mais próximos estamos da área “real” do
telhado. Assim, nos parece que um valor que pode ser chamado de “área da superfície” é:
ZZ
D
|−→X u ×−→X v | du dv
Portanto, a área do telhado é
Z 2
0
Z 5
0
r
1 +
v2
4
du dv .
Deixamos como exercício o cálculo desta integral.
Podemos concluir que, para uma superfície parametrizada S qualquer, é razoável encontrar a medida da
sua área, como fizemos acima. Entretanto, temos alguns problemas. O paralelogramo −→X u × −→X v 6= −→0 deve
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 79
ser conhecido e, além disso, a integral referida tem que existir. Desta forma, nos restringiremos a superfícies
parametrizadas S as quais certas condições são satisfeitas. Resumidamente, temos que ter uma região limitada
e fechada D cuja fronteira é composta de um número finito de curvas lisas por partes, simples e fechadas, duas
a duas disjuntas, com parametrização tal que −→X u × −→X v 6= −→0 , no interior de D e biunívoca. Uma superfície
como esta chamaremos de superfície lisa parametrizada.
4.5 Definição. Seja S uma superfície lisa parametrizada dada por x = x(u, v), y = y(u, v ) e z = z(u, v), em
que (u, v) ∈ D ⊂ R2. A área de S é dada pela integral
ZZ
D
|−→X u ×−→X v | du dv ,
quando esta existir.
Nota 30. A definição de área de superfície não depende da parametrização de S .
Nota 31. Às vezes S não pode ser descrita globalmente usando apenas uma parametrização. Às vezes,
também, aquela que temos não satisfaz as condições (não é globalmente lisa). Se pudermos dividir S em
pedaços e calcular a área de cada um, basta, no final, somá-las, ou seja , se S = S1 ∪ S2 ∪ . . . ∪ Sn, com
cada Sk superfície lisa parametrizada, então A(S) = A(S1) + A(S2) + . . .+ A(Sn).
Podemos, então, com o que foi visto, concluir que se a superfície é o gráfico de uma função f (x , y), para
(x , y) ∈ D, região do R2, então uma parametrização natural é x = x , y = y e z = f (x , y) (não precisamos trocar
o nome das variáveis) e a área da superfície é:
A(S) =
ZZ
D
Ê
1 +

∂f
∂x
‹2
+

∂f
∂y
‹2
dA
ER 59. Calcule a área de parte do parabolóide z = x2 + y2 que está abaixo do plano z = 9.
Solução: O plano intercepta o parabolóide na circunferência x2 + y2 = 9; z = 9. Portanto, a superfície
que queremos é o conjunto dos pontos
S = {(x , y , z); (x , y) ∈ D, z = x2 + y2},
em que D = {(x , y); 0 ≤ x2 + y2 ≤ 9}.
Logo, A(S) =
ZZ
D
È
1 + (2x)2 + (2y)2 dA.
Usando coordenadas polares
A(S) =
ZZ
D
È
1 + (2x)2 + (2y)2 dA =
Z 2pi
0
Z 3
0
r
p
1 + 4r2 drdtheta = 2π
1
8
•
2
3
(1 + 4r2)3/2
˜3
0
=
π
6
(37
√
37− 1)
ER 60. Determine uma representação paramétrica da superfície S : toro obtido pela rotação da circunferência
no plano xz, com centro (b, 0, 0) e raio a < b, em torno do eixo z e calcule sua área.
Solução:
Uma parametrização para a superfície: x = (b + a cos(v)) cos(u), y = (b + a cos(v)) sen(u), z = a sen(v).
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA80
Segue que
|−→X u ×−→X v | =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
−→
i
−→
j
−→
k
− sen(u)(b + a cos(v)) cos(u)(b + a cos(v)) 0
−a cos(u) sen(v) −a sen(u) sen(v) a cos(v)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
= |a cos(u) cos(v)(b + a cos(v))−→i + a sen(u) cos(v)(b + a cos(v))−→j + a sen(v)(b + a cos(v))−→k |
= a(b + a cos(v))
Então
A(S) =
Z 2pi
0
Z 2pi
0
a(b + a cos(v)) du dv = 4π2ab.
4.4.1 Exercícios Propostos
EP 4.15. Calcule a área da parte da superfície z = 4− x2 − y2 limitada por 0 ≤ z ≤ x2 + y2.
EP 4.16. Determine a área da região limitada pela hipociclóide dada por−→r (t) = cos3 t−→i +sen3 t−→j , 0 ≤ t ≤ 2π.
4.5 Integrais de Superfície de Campos Escalares
4.6 Definição. Seja S um superfície parametrizada lisa com domínio D. Seja f (x , y , z) uma função real
contínua, definida em S . A integral de superfície de f em S é a integral dupla
ZZ
D
f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))|−→X u ×−→X v (u, v)| du dv
que é denotada por
ZZ
S
f dS .
Atenção: Note a presença do fator |−→X u ×−→X v |.
4.5.1 Dispositivo Prático para o Cálculo do Fator
Como o fator |−→X u×−→X v | sempre aparece quando queremos calcular uma integral de superfície de um campo
escalar, é interessante termos um modo prático de obtê-lo.
Um cálculo simples mostra que |−→X u×−→X v | =
√
E · G − F 2, onde E = −→X u ∗−→X u , G = −→X v ∗−→X v e F = −→X u ∗−→X v .
De fato, quando f (x , y , z) = 1 a área de S é dada pela integral de |−→X u ×−→X v |.
ER 61. Calcule a massa da superfície S que é a fronteira da região limitada pelo cilindro x2 + z2 = 1 e pelos
planos y = 0 e x + y = 2, sendo a densidade f (x , y , z) = xy .
Solução: A superfície S é a união de 3 superfícies: o cilindro e as duas “tampas”, que chamaremos de
S2,
S1 e S3, respectivamente, (veja o desenho). Então, a massa procurada é:
ZZ
S
xy dS =
Z
S1
xy dS +
ZZ
S2
xy dS +
ZZ
S3
xy dS .
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 81
Calcularemos cada uma separadamente.
S1 : x = u, y = 0, z = v para, D1 o disco de raio 1. Temos que:
−→
X u ×−→X v =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
−→
i
−→
j
−→
k
1 0 0
0 1 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
= (0,−1, 0)
Segue que
ZZ
S1
xy dS =
ZZ
D1
u · 0 du dv = 0
S3 : x = u cos(v), y = 2− u cos(v), z = u sen(v), para (u, v) em [0, 1]× [0, 2π]. Temos que:
−→
X u ×−→X v =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
−→
i
−→
j
−→
k
cos(v) cos(v) sen(v)
−u sen(v) −u sen(v) u cos(v)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
= (u,−u, 0)
Segue que
ZZ
S2
xy dS =
ZZ
D2
u cos(v)(2 − cos(v))
√
2u du dv
=
√
2
Z 2pi
0
Z 1
0
(2u2 cos(v) − u3 cos2(v)) du dv
=
Z 2pi
0
2 cos(v)
3
− cos
2(v)
4
dv
=
−√2
4
π
S2 : x = cos(u), y = v , z = sen(u), para u ∈ [0, 2π] e v ∈ [0, 2− cos(u)]. Temos que
−→
X u ×−→X v =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
−→
i
−→
j
−→
k
sen(u) 0 cos(u)
0 1 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
= (− cos(u), 0,− sen(u))
Segue que
ZZ
S
xy dS =
ZZ
D2
v cos(u) du dv
=
Z 2pi
0
Z 2−cos(u)
0
v cos(u) dv du
=
Z 2pi
0
(2− cos(u))2
2
cos(u) du
=
1
2
Z 2pi
0
4 cos(u)− 4 cos2(u) + cos3(u) du
=
1
2
‚
0 + 4
•
u
2
+
sen 2u
4
˜2
0
+
�
sen(u)− sen
3(u)
3
�2pi
0
Œ
= −2π
Portanto,
ZZ
S
xy dS = −2π −
√
2
4
π.
ER 62. Calcule
ZZ
S
x + 1 dS , em que S é a parte de z =
p
x2 + y2 limitada por x2 + y2 = 2y .
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA82
Solução: Inicialmente, esboce a superfície utilizando o software winplot:
Agora, vamos mostrar duas maneiras de parametrizar a superfície.
1a maneira: temos o gráfico de uma função e então podemos parametrizar da forma x = u, y = v e
z =
√
u2 + v2, em que (u, v) pertencem à região D (disco de centro (0, 1) e raio 1). Como vimos antes, nesta
situação temos que:
|−→X u ×−→X v | =
Ê
1 +

u√
u2 + v2
‹2
+

v√
u2 + v2
‹2
=
√
2
Portanto,
ZZ
S
x + 1 dS =
ZZ
D
(u + 1)
√
2 du dv .
O mais indicado, agora, é fazer a seguinte mudança de coordenadas: u = r cos(θ), v = 1 + r sen(θ), para
r ∈ [0, 1] e θ ∈ [0, 2π]. Logo
ZZ
D
(u + 1)
√
2 du dv =
√
2
Z 2pi
0
Z 1
0
(r cos(θ) + 1)r drdtheta =
√
2
Z 2pi
0

cos(θ)
3
+
1
2
‹
dtheta =
√
2π
2a maneira: podemos parametrizar S da forma x = u cos(v), y = u sen(v) e z = u, onde v varia em [0,π]
e u varia em [0, 2 sen(v)] (pois x2 + y2 = 2y se, e só se, u2 = 2u sen(v)). Então, neste caso,
−→
X u ×−→X v =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
−→
i
−→
j
−→
k
cos(v) sen(v) 1
−u sen(v) −u cos(v) 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
= (−u cos(v),−u sen(v), u)
Segue que |−→X u ×−→X v | = u
√
2 e, portanto,
ZZ
S
x + 1 dS =
ZZ
D
(u cos(v) + 1)u
√
2 du dv =
√
2
Z pi
0
Z 2 sen(v)
0
u2 cos(v) + u du dv
=
Z pi
0
8 sen3(v) cos(v)
3
+ 2 sen2(v) dv =
√
2
�
3 sen4(v)
4
+ 1− sen(2v)
4
�pi
0
=
√
2π
4.6 O Teorema de Gauss
O teorema de Gauss, também conhecido como o teorema da divergência, permite-nos relacionar integrais
de superfície com os integrais triplos já estudados anteriormente.
Seja T uma região fechada e limitada no espaço, cuja fronteira é uma superfície S orientável ou, então, se
pode decompor num conjunto finito de superfícies orientáveis. Seja −→F (x , y , z) uma função vetorial contínua,
com primeiras derivadas parciais contínuas num dado domínio que contém T . Nestas condições, temos que
ZZZ
T
÷−→F dV =
ZZ
S
−→
F −→n dA,
em que −→n é o versor normal que aponta para fora da superfície S . Em coordenadas cartesianas, podemos
escrever
ZZZ
T
•
dFx
dx
+
dFy
dy
+
dFz
dz
˜
dx dy dz =
ZZ
S
F1 dy dz + F2 dz dx + F3 dx dy .
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 83
Curiosidade! O teorema de Gauss é resultado de ligações entre a divergência de um campo vetorial e o
valor da integral de superfície do fluxo definido pelo campo. Ele é um importante resultado que a
Física utiliza, em particular, na Eletrostática e na Dinâmica dos Fluidos.
ER 63. Determine o integral
ZZ
S
(x3 dx dy + x2y dx dy + x2z dx dy), onde S é a superfície fechada delimitada
pelo cilindro x2 + y2 = a2, 0 ≤ z ≤ b e respectivas bases circulares.
Solução: Temos que ÷−→F = ∇ ·−→F = 5x2. Em coordenadas cilíndricas, e utilizando o teorema de Gauss,
podemos escrever:
ZZZ
T
5x2 dx dy dz = 5
Z b
0
dz
Z a
0
ρ2ρ dρ
Z 2pi
0
dφ cos2(φ) =
5
4
ba4
Z 2pi
0
dφ cos2(φ) =
5
4
πba4.
ER 64. Verifique o teorema de Gauss na integral
ZZ
S
(7x
−→
i −z−→k ) ·−→n dA, onde S é a superfície x2+y2 +z2 = 4.
Solução: Uma vez que ÷−→F = ∇ · −→F = 6, pelo teorema de Gauss, podemos escrever que o integral
vale 64
3
π23 = 64π. Para calcular a integral de superfície, diretamente, podemos utilizar a representação
paramétrica da superfície esférica e calcular a integral para a = 2. Temos que,
−→r (u, v) = 2 sen(u) cos(v)−→i + 2 sen(u) sen(v)−→j + 2 cos(u)−→k ,
em que 0 ≤ u ≤ π e 0 ≤ v ≤ 2π.
Através de um cálculo direto, obtém-se:
−→r u(u, v) = 2 cos(u) cos(v)−→i + 2 cos(u) sen(v)−→j − 2 sen(u)−→k
−→r v (u, v) = −2 sen(u) sen(v)−→i + 2 sen(u) cos(v)−→j − 2 sen(u)−→k
Segue que,
−→
N = −→r u ×−→r v = [4 sen2(u) cos(v)]−→i + [4 sen2(u) sen(v)]−→j + [4 cos(u) sen(u)]−→k .
Na superfície S , o campo −→F = 7x−→i − z−→k possui a seguinte representação paramétrica:
−→
F = 14 sen(u) cos(v)
−→
i − 2 cos(u)−→k .
Sendo assim, a área da superfície esférica é dada por (4 sen3(u) = 3 sen(u)− sen(3u)),
ZZ
S
−→
F · −→n dA =
ZZ
S
−→
F · −→N du dv =
Z 2pi
o
dv
Z pi
0
du[56 sen3(u) cos2(v) − 8 sen(u) cos2(u)] = 64π.
4.7 O Teorema de Stokes
O teorema de Stokes nos permite transformar as integrais de linha em integrais de superfície e vice-versa.
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4.7 Teorema (de Stokes). Considere, então, S uma superfície orientada no espaço, que é lisa ou, então,
decomponível em um número finito de superfícies orientadas lisas. Seja C a fronteira de S , constituindo uma
curva fechada lisa ou, então, decomponível num número finito de curvas lisas. Seja −→F (x , y , z) uma função veto-
rial contínua, com primeiras derivadas parciais contínuas num dado domínio que contém S . Nestas condições,
temos que:
ZZ
S
(∇×−→f ) · −→n dA =
I −→
F · d−→r ,
em que −→r é um versor normal a S de acordo com o sentido de circulação em C
Nota 32. É importante não esquecer que o teorema de Stokes se aplica a superfícies abertas, pois só
neste caso se estabelece inequívocamente uma curva delimitadora.
Do teorema de Stokes se torna evidente que, se uma função vetorial pode ser escrita como o gradiente
de uma função escalar, então a integral ao longo de qualquer circuito fechado é zero. Voltamos a encontrar
funções cuja integral de linha não depende da trajetória que liga os pontos inicial e final - são as denominadas
funções conservativas.
ER 65. Verifique o teorema de Stokes para o campo−→F = y−→i +z−→j +x−→k , onde S é o parabolóide z = 1−x2−y2,
z ≥ 0
Solução:
Determinemos, primeiramente, a integral de linha. O contorno C é a circunferência de raio unitário no
plano xy .
−→r (t) = cos(t)−→i + sen(t)−→j ⇒ −→r ′(t) == sen(t)−→i + cos(t)−→j
Logo,
I
C
−→
F · d−→r =
Z 2pi
0
[sen(t) · (− sen(t))] dt
= −π. Para determinar a integral de superfície precisamos
calcular ∇ × −→F = −−→i − −→j − −→k . Para calcular um vetor normal à superfície, basta recordar que esta é a
superfície equipotencial w = 0 do campo escalar w = 1− x2 − y2 − z. Sendo assim,
−→
N = ∇w = wx−→i + wy−→j + wz−→k = −2x−→i − 2y−→j −−→k .
No ponto de coordenadas

1
2
,
1
2
,
1
2
‹
o vetor
−→
N aponta para o interior do parabolóide. Isso significa que
o sentido de −→N não está de acordo com o sentido de circulação de C . Portanto, ou mudamos o sentido de −→N
ou, então, ficamos desde já sabendo que vamos obter o simétrico do resultado pretendido. Podemos, assim,
escrever:
ZZ
S
(∇×−→F ) · −→n dA =
ZZ
S
(∇×−→F ) · −→N dx dy =
ZZ
S
(2x + 2y + 1) dx dy .
A solução é mais simples se convertêssemos a integral para coordenadas cilíndricas. Obtemos, portanto:
ZZ
S
(∇×−→F ) · −→n dA =
Z 2pi
0
dφ
Z 1
0
ρ dρ(2ρ cos(φ) cos(φ) + 2ρ sen(φ) + 1) = π,
que é o resultado simétrico, como se pretendia.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 85
4.7.1 Exercícios Propostos
EP 4.17. Determine, utilizando o teorema de Gauss, a integral de superfície
ZZ
S
−→
F · −→n dA, em que S é a
superfície do paralelepípedo de limites 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2 e 0 ≤ z ≤ 1.
EP 4.18. Determine a integral
ZZ
S
(∇ × −→F ) · −→n dA por integração direta, em que S é o quadrado de limites
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, z = 1 e −→F = 2z2−→i + 3x−→j .
EP 4.19. Mostre a validade do teorema de Stokes na questão anterior.
4.8 Um Pouco da História das Funções de Várias Variáveis
Durante o século XVI, a matemática estava se desenvolvendo para resolver problemas nas ciências físicas.
Como o mundo físico é multidimensional (isto é, três dimensões espaciais e o tempo), muitas das quantidades
usadas nestes modelos aplicados eram de várias variáveis. A Astronomia era uma área da ciência que era
rica neste tipo de matemática de várias variáveis. Por isso, o cenário estava sendo montado por astrônomos
e matemáticos para o desenvolvimento de funções de várias variáveis e, finalmente, para o cálculo de várias
variáveis.
Galileu (1564–1642) tentou aplicar a Matemática ao seu trabalho em Astronomia, cinemática e resistência
dos materiais. Pelo seu trabalho nestas áreas, é, freqüentemente, chamado de fundador da mecânica e Física
moderna.
O astrônomo, matemático e físico alemão Johannes Kepler (1571–1630) contribuiu grandemente através
do desenvolvimento das suas três leis do movimento planetário. Estes resultados mudaram a Astronomia e
desempenharam um papel crucial no desenvolvimento da física newtoniana e do cálculo. Seu trabalho ajudou
a desacreditar o modelo geocêntrico de Ptolomeu e ajudou a estabelecer a teoria heliocêntrica de Copérnico.
Também, montou o cenário para o surgimento da matemática aplicada em várias variáveis.
Depois do desenvolvimento do cálculo de uma variável no século XVII, sua aplicação para resolver proble-
mas em um mundo multidimensional resultou na necessidade de generalização para incluir funções de mais de
uma variável e cálculo de várias variáveis. O que seriam os análogos da derivada e da integral para funções
de mais de uma variável?
Jean d’Alembert (1717–1783) desenvolveu e usou o cálculo de várias variáveis para lidar com métodos para
resolver equações diferenciais e movimento de corpos considerando a resistência do meio. De várias maneiras,
usou os trabalhos de Newton, L’Hospital e dos Bernoulli para estender os conceitos de cálculo para várias
variáveis. D’Alembert pesquisou nesta área e publicou muitos trabalhos em matemática e física matemática.
Seu trabalho principal foi o Traité de dynamique (1743), o qual ajudou a fazer com que a diferenciação parcial
fizesse parte do cálculo.
Próximo na linha de refinamento e uso do cálculo de várias variáveis foi Joseph Louis Lagrange (1736–
1813). Este aplicou seu conhecimento de cálculo à mecânica. Foi muito produtivo nesta área aplicada da
Matemática. Seus principais trabalhos foram sobre as equações de movimento e no entendimento da energia
potencial. Lagrange também foi o primeiro a desenvolver os métodos de hoje para encontrar máximos e míni-
mos usando cálculo. Seu trabalho em otimização em várias variáveis resultou na técnica que agora chamamos
de multiplicadores de Lagrange. Ele tinha apenas 19 anos quando inventou estes métodos e até muito mais
tarde em sua vida ainda os considerava como seu melhor trabalho em Matemática. Publicou Mécanique an-
alytique (1787), no qual aplicou cálculo de várias variáveis ao movimento e às propriedades de objetos no
espaço.
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Colega de Lagrange, o astrônomo e matemático Pierre-Simon Laplace (1749–1827), se sobressaiu ao re-
solver, ainda jovem, um problema de gravitação mútua que tinha frustrado Euler e Lagrange. Seu trabalho
contribuiu para a análise do sistema solar. Laplace generalizou as leis da mecânica para sua aplicação ao
movimento e às propriedades de corpos celestes, por isso precisou e desenvolveu resultados em cálculo de
várias variáveis. Seu famoso tratado sobre este assunto foi intitulado Mécanique celeste.
Em 1782, Adrien Legendre (1752–1833) venceu um prêmio de pesquisa da Academia de Berlim com seu
trabalho sobre balística exterior. Analisou a curva descrita pelas bolas de canhão, levando em consideração
a resistência do ar e desenvolveu relações para alcance dadas as velocidades iniciais. Legendre pôde de-
senvolver estas equações a partir de seu trabalho avançado em equações diferenciais e cálculo de várias
variáveis.
Sylvestre François Lacroix (1765–1843) escreveu um tratado importante sobre cálculo em 1797. Em seu
livro, unificou e generalizou muitos métodos para incluir cálculo de várias variáveis. Enquanto Lacroix seguiu
muitos dos fundamentos estabelecidos por Euler, também incorporou resultados obtidos no final do século
XVIII ao seu texto. Seu tratado expandiu o papel do cálculo de várias variáveis nas ciências.
O matemático francês Joseph Fourier (1768–1830) também aplicou cálculo para resolver problemas práticos
em ciência. Por sua habilidade, foi selecionado por Napoleão para ir numa expedição ao Egito como consultor
técnico em engenharia e pesquisa técnica. Posteriormente, Fourier continuou sua pesquisa matemática usando
seu entendimento de derivadas parciais e de cálculo de várias variáveis. Fourier fez contribuições para o estudo
e cálculo de difusão de calor e para a solução de equações diferenciais. Muito daquele trabalho aparece em
seu influente livro Théorie analytique de la chaleur.
À frente daqueles que contribuíram para o cálculo de várias variáveis estava Carl Friedrich Gauss (1777–
1855). As conquistas de Gauss em ciências e, especialmente, na Matemática, foram assombrosas. Seu
desenvolvimento de uma teoria de órbitas planetárias foi publicado em 1809. Gauss desenvolveu e provou o
Teorema da Divergência enquanto trabalhava na teoria de gravitação, mas suas anotações não foram publi-
cadas até muitos anos depois, por isso foi dado crédito a outros pelo desenvolvimento e prova deste importante
resultado de várias variáveis. O teorema é, algumas vezes, chamado de Teorema de Gauss. Gauss desen-
volveu resultados que estabeleceram a teoria do potencial como um ramo coerente da Matemática.
Mikhail Ostrogradsky (1801–1862) foi o primeiro a publicar uma prova do teorema da divergência. Ostro-
gradsky deixou a Rússia para Paris, em 1822, onde encontrou Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy.
Enquanto trabalhava na teoria do calor, na metade da década de 1820, formulou o teorema da divergência
como uma ferramenta para tornar integrais de volume em integrais de superfície.
O matemático francês Siméon Poisson (1781–1840) estudou com Lagrange e Laplace, fazendo seus trabal-
hos iniciais em mecânica. Utilizou a matemática nas aplicações de elasticidade e vibrações.
O famoso matemático Augustine Cauchy
(1789–1857) construiu sobre os conceitos de várias variáveis no
Mécanique céleste de Laplace e no Traité des functions analytiques de Lagrange. Em 1816, resolveu um
problema de hidrodinâmica a respeito da propagação de ondas sobre a superfície de um líquido. Usou seus
conhecimentos de diferenciação parcial e de integrais de linha para analisar soluções e propriedades das
equações diferenciais parciais.
O matemático aplicado Carl Jacobi (1804–1851) desenvolveu a teoria de determinantes e transformações
em uma ferramenta poderosa para avaliar integrais múltiplas. Também aplicou métodos de transformação para
estudar integrais como as que surgiram no cálculo do comprimento de arco.
O trabalho de George Green (1793–1841) sobre os fundamentos matemáticos da gravitação, da eletricidade
e do magnetismo foi publicado em 1828 em um pequeno livro intitulado An Essay on the Application of Mathe-
matical Analysis to Electricity and Magnetism. A matemática de Green deu a base na qual Thomson, Stokes,
Rayleigh, Maxwell e outros construíram a teoria atual do eletromagnetismo.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 87
Central a este desenvolvimento foi o cálculo de várias variáveis, resultado que agora chamamos de Teorema
de Green. George Stokes (1819–1903) aplicou o cálculo de várias varáveis para estudar hidrodinâmica, elasti-
cidade, luz, gravitação, som, calor, meteorologia e física solar. Ele não foi o primeiro a desenvolver o teorema
integral que agora chamamos de Teorema de Stokes; ele o aprendeu de Thomson, em 1850, e, poucos anos
depois, incluiu entre questões de um exame. Desde então tornou-se conhecido como Teorema de Stokes.
Bernhard Riemann (1826–1866) trabalhou com o físico Wilhelm Weber (1804–1891), introduzindo as idéias
básicas da geometria diferencial. Continuou a estudar e contribuir com o cálculo de várias variáveis aplicando
resultados em dinâmica e física computacional.
Similarmente, Josiah Willard Gibbs (1839–1903), que nasceu em Connecticut e estudou em Yale, trabal-
hou em problemas de ciência aplicada em física matemática. Suas contribuições foram em termodinâmica,
eletromagnetismo e mecânica.
Sonya Kovalevsky (1850–1891), a matemática russa mais conhecida do final do século XIX, aprendeu
matemática lendo papel de parede de um quarto que consistia de páginas de um texto matemático do cál-
culo diferencial e integral de Ostrogradsky. Ela trabalhou, principalmente, na teoria de equações diferenciais
parciais.
Trabalhos posteriores de cientistas e matemáticos aplicados no final do século XIX e no século XX refinaram
resultados anteriores de várias variáveis e utilizaram estas técnicas em várias áreas de ciência e engenharia.
O físico James Maxwell (1831–1879) usou ferramentas de várias variáveis como a divergência, o rotacional,
fluxo e potencial para avançar no entendimento de ótica, luz, eletricidade e magnetismo.
Ernst Mach (1838–1916) usou muitas destas mesmas ferramentas para produzir novos resultados em
mecânica, termodinâmica e Física. Seu trabalho influenciou trabalhos posteriores de Albert Einstein em Física
e relatividade.
O matemático italiano Guido Fubini (1879–1943) avançou ambos os aspectos, aplicado e teórico, do cálculo
de várias variáveis. Seu trabalho aplicou Matemática à ciência e à engenharia. Ele provou o método de avaliar
integrais iteradas, que tem o seu nome, e utilizou os resultados em mecânica e física.
Gabarito
4.4 2pi2. 4.6 (c) 9/2. 4.8 (a) 0, (b) 0, (c) −2pi√2, (d) pi. 4.15 pi
6
[173/2 − 27]. 4.16 3pi/8. 4.17 4.18 4.19
FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA88
FTC-EAD
Faculdade de Tecnologia e Ciências – Educação a Distância
Democratizando a educação.
www.ead.ftc.br