vas_multidimensionais

Prévia do material em texto

Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Profa. Morganna Diniz
UNIRIO - 2012.1
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Objetivo
• Uso de duas ou mais varia´veis aleato´rias.
• O comportamento de uma das varia´veis pode influenciar o
comportamento da outra varia´vel.
• Estudo de func¸o˜es e medidas que podem ser geradas a partir
das varia´veis.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Exemplo 1: lanc¸amento de uma moeda treˆs vezes.
• X = resultado do primeiro lanc¸amento.
• Y = resultado do segundo lanc¸amento.
• Z = resultado do terceiro lanc¸amento.
• cara = 0 (zero) e coroa = 1 (um).
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
(x , y , z) p(x , y , z)
(0,0,0) 1/8
(0,1,0) 1/8
(0,0,1) 1/8
(0,1,1) 1/8
(1,0,0) 1/8
(1,1,0) 1/8
(1,0,1) 1/8
(1,1,1) 1/8
Tabela: Distribuic¸a˜o conjunta das varia´veis X , Y e Z .
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Exemplos
P [X = 0] = p(0, 0, 0)+p(0, 1, 0)+p(0, 0, 1)+p(0, 1, 1) = 4×
1
8
=
1
2
e
P [X = 1] = p(1, 0, 0)+p(1, 1, 0)+p(1, 0, 1)+p(1, 1, 1) = 4×
1
8
=
1
2
.
A func¸a˜o massa de probabilidade de X e´ obtida por
P [X = x ] =
∑
y
∑
z
p(x , y , z).
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Para as varia´veis discretas X , Y e Z , a func¸a˜o
de probabilidade conjunta possui as seguintes pro-
priedades:
• p(x , y , z) ≥ 0;
•
∑
x
∑
y
∑
z
p(x , y , z) = 1.
Essas propriedades podem ser generalizadas para
qualquer nu´mero de varia´veis aleato´rias.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Probabilidade condicional
P [X = x |Y = y ] =
P [X = x ,Y = y ]
P [Y = y ]
e
P [X = x |Y = y ,Z = z ] =
P [X = x ,Y = y ,Z = z ]
P [Y = y ,Z = z ]
.
Exemplos (treˆs dados):
P [X = 0|Y = 1] =
P [X = 0,Y = 1]
P [Y = 1]
=
2× 1/8
4× 1/8
=
1
2
.
e
P [X = 0|Y = 1,Z = 1] =
P [X = 0,Y = 1,Z = 1]
P [Y = 1,Z = 1]
=
1/8
2× 1/8
=
1
2
.
Obs: neste caso, as varia´veis X , Y e Z sa˜o independentes.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Exemplo 2: treˆs varia´veis aleato´rias de Bernoulli (X , Y e Z ) com
igual probabilidade p de sucesso (1) e probabilidade 1− p de
fracasso (zero).
(x , y , z) p(x , y , z)
(0,0,0) (1− p)3
(0,1,0) (1− p)2p
(0,0,1) (1− p)2p
(0,1,1) (1− p)p2
(1,0,0) (1− p)2p
(1,1,0) (1− p)p2
(1,0,1) (1− p)p2
(1,1,1) p3
Tabela: Distribuic¸a˜o conjunta das varia´veis X , Y e Z .
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Exemplos:
• P [X = 0] = (1−p)3+(1−p)2p+(1−p)2p+(1−p)p2 = 1−p.
• P [X = 1] = (1− p)2p + (1− p)p2 + (1− p)p2 + p3 = p.
Obs: neste caso, as varia´veis X , Y e Z sa˜o independentes.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Exemplo 3: Suponha uma comissa˜o formada por treˆs pessoas
ordenadas pela idade, onde a pessoa mais velha e´ escolhida para
chefiar o grupo. A probabilidade de uma pessoa na comissa˜o ser
do sexo feminino e´ igual a 1/3.
• X = nu´mero de pessoas do sexo feminino na comissa˜o.
• Y = 0 se o chefe e´ homem, Y = 1 se o chefe e´ mulher.
Grupo (x , y) p(x , y)
MMM (3,1) 1/27
MMH (2,1) 2/27
MHM (2,1) 2/27
MHH (1,1) 4/27
HHH (0,0) 8/27
HHM (1,0) 4/27
HMH (1,0) 4/27
HMM (2,0) 2/27
Tabela: Distribuic¸a˜o conjunta das varia´veis X e Y .
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Distribuic¸a˜o marginal de X :
• P [X = 0] =
8
27
.
• P [X = 1] =
4
27
+
4
27
+
4
27
=
12
27
.
• P [X = 2] =
2
27
+
2
27
+
2
27
=
6
27
.
• P [X = 3] =
1
27
.
Distribuic¸a˜o marginal de Y :
• P [Y = 0] =
8
27
+
4
27
+
4
27
+
2
27
=
18
27
=
2
3
.
• P [Y = 1] =
1
27
+
2
27
+
2
27
+
4
27
=
9
27
=
1
3
.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Probabilidade condicional:
• P [X = 2|Y = 0] =
P [X = 2,Y = 0]
P [Y = 0]
=
2/27
2/3
=
1
9
.
• P [X = 2|Y = 1] =
P [X = 2,Y = 1]
P [Y = 1]
=
4/27
1/3
=
4
9
.
• P [Y = 0|X = 1] =
P [Y = 0,X = 1]
P [X = 1]
=
8/27
12/27
=
2
3
.
• P [Y = 1|X = 1] =
P [Y = 1,X = 1]
P [X = 1]
=
4/27
12/27
=
1
3
.
• P [Y = 0|X = 2] =
P [Y = 0,X = 2]
P [X = 2]
=
2/27
6/27
=
1
3
.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Exemplo: treˆs varia´veis independentes de Bernoulli com p = 0, 6
(x , y , z) X + Y + Z XYZ p(x , y , z)
(0,0,0) 0 0 0,064
(0,1,0) 1 0 0,096
(0,0,1) 1 0 0,096
(0,1,1) 2 0 0,144
(1,0,0) 1 0 0,096
(1,1,0) 2 0 0,144
(1,0,1) 2 0 0,144
(1,1,1) 3 1 0,216
Tabela: Distribuic¸a˜o conjunta das varia´veis X ,Y e Z .
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Distribuic¸a˜o de X + Y + Z :
• P [X + Y + Z = 0] = 0, 064.
• P [X + Y + Z = 1] = 0, 288.
• P [X + Y + Z = 2] = 0, 432.
• P [X + Y + Z = 3] = 0, 216.
Distribuic¸a˜o de XYZ :
• P [XYZ = 0] = 0, 784.
• P [XYZ = 1] = 0, 216.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Sejam X1,X2, . . . ,Xn varia´veis aleato´rias discretas.
Teorema 1: E [X1+X2+. . .+Xn] = E [X1]+E [X2]+. . .+E [Xn].
Teorema 2: Se X1,X2, . . . ,Xn sa˜o varia´veis aleato´rias in-
dependentes, enta˜o E [X1X2 . . .Xn] = E [X1]E [X2] . . .E [Xn].
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
• E [X ] = 0× 0, 4 + 1× 0, 6 = 0, 6.
• E [Y ] = 0× 0, 4 + 1× 0, 6 = 0, 6.
• E [Z ] = 0× 0, 4 + 1× 0, 6 = 0, 6.
• E [X ] + E [Y ] + E [Z ] = 0, 6 + 0, 6 + 0, 6 = 1, 8.
• E [X+Y+Z ] = 0x0, 064+1x0, 288+2x0, 432+3x0, 216 = 1, 8.
• E [X ]E [Y ]E [Z ] = 0, 6× 0, 6 × 0, 6 = 0, 216.
• E [XYZ ] = 0× 0, 784 + 1× 0, 216 = 0, 216.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Sejam X e Y duas varia´veis aleato´rias independentes e que
possuem distribuic¸a˜o de Poisson com me´dias, respectivamente, λx
e λy . A func¸a˜o massa de probabilidade de X + Y e´
P [X + Y = n] =
e−(λx+λy )
n!
(λx + λy )
n.
Note que X + Y possui distribuic¸a˜o Poisson com me´dia λx + λy .
Portanto, a soma de duas ou mais varia´veis aleato´rias de Poisson
corresponde a uma varia´vel aleato´ria que tambe´m tem distribuic¸a˜o
de Poisson.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Covariaˆncia entre as varia´veis X e Y :
Cov(X ,Y ) = E [XY ]− E [X ]E [Y ].
Em relac¸a˜o ao sinal da covaria˜ncia:
• Positivo - as duas varia´veis se movem na mesma direc¸a˜o.
• Negativo - as duas varia´veis se movem em direc¸o˜es opostaa.
Quando Cov(X ,Y ) = 0, as varia´veis X e Y na˜o sa˜o
correlacionadas.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Observac¸o˜es:
1 Quando as varia´veis X e Y sa˜o independentes, temos
Cov(X ,Y ) = 0, pois E [XY ] = E [X ]E [Y ]. Entretanto, o fato
da covariaˆncia ser nula na˜o implica que as varia´veis aleato´rias
sa˜o independentes. Apenas que na˜o ha´ relac¸a˜o linear entre
elas.
2 Se Y = X , enta˜o Cov(X,X ) = E [X 2]− (E [X ])2 = Var [X ].
Isto significa que a variaˆncia corresponde a` covariaˆncia da
varia´vel com ela mesma.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Correlac¸a˜o:
ρX ,Y =
cov(X ,Y )
σXσY
.
A correlac¸a˜o corresponde a um valor em [−1, 1] e e´ classificada
como
• Fraca ou Nula quando ρX ,Y = 0 (neste caso, na˜o existe
nenhuma relac¸a˜o entre as duas varia´veis).
• Negativa forte quando ρX ,Y varia entre -1 e 0 (neste caso, as
duas varia´veis se movem em direc¸o˜es opostas e a relac¸a˜o entre
elas sera´ mais forte quanto mais ρX ,Y se aproxima de -1).
• Negativa perfeita quando ρX ,Y = −1.
• Positiva forte quando ρX ,Y varia entre 0 e 1 (neste caso, as
duas varia´veis se movem na mesma direc¸a˜o e a relac¸a˜o entre
elas sera´ mais forte quanto mais ρX ,Y se aproxima de 1).
• Positiva perfeita quando ρX ,Y = 1.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Sejam X e Y duas varia´veis aleato´rias quaisquer, enta˜o
Var [X + Y ] = Var [X ] + Var [Y ] + 2Cov(X ,Y ).
Se X e Y forem independentes,
Var [X + Y ] = Var [X ] + Var [Y ].
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Discretas
Sejam X1,X2, . . . ,Xn varia´veis aleato´rias, enta˜o
Var [
n∑
i=1
Xi ] =
n∑
i=1
Var [Xi ] + 2
∑∑
i<j
Cov(Xi ,Xj).
Se X1,X2, . . . ,Xn forem independentes,
Var [
n∑
i=1
Xi ] =
n∑
i=1
Var [Xi ].
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Existe uma func¸a˜o cont´ınua conjunta para as varia´veis X e Y , se
existe uma func¸a˜o densidade de probabilidade f (x , y) para todo
x ∈ A e y ∈ B , tal que
P [X ∈ A,Y ∈ B ] =
∫
B
∫
A
f (x , y)dxdy ,
ou seja,
F (a, b) =
∫ b
−∞
∫ a
−∞
f (x , y)dxdy .
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Para as varia´veis cont´ınuas X e Y , a func¸a˜o de probabilidade
conjunta possui as seguintes propriedades:
• f (x , y) ≥ 0,∀x , y ∈ <;
•
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f (x , y)dxdy = 1.
Essas propriedades podem ser generalizadas para qualquer
nu´mero de varia´veis aleato´rias.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Func¸a˜o densidade marginal de X :
fX (x) =
∫ ∞
−∞
f (x , y)dy .
Func¸a˜o densidade marginal de Y :
fY (y) =
∫ ∞
−∞
f (x , y)dx .
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Func¸a˜o densidade condicional de X dado Y = y :
fX |Y (x |y) =
f (x , y)
fY (y)
, fY (y) > 0.
Func¸a˜o densidade condicional de Y dado X = x :
fY |X (y |x) =
f (x , y)
fX (x)
, fX (x) > 0.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Se X e Y sa˜o independentes,
fX ,Y (x , y) = fX (x)fY (y).
Logo
fX |Y (x |y) = fX (x) e fY |X (y |x) = fY (y).
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Exemplo
• Func¸a˜o densidade conjunta de X e Y
f (x , y) =
{ 4
9
xe−2y 0 < x < 3, 0 < y <∞
0 nos outros casos
• Func¸a˜o marginal de X
fX (x) =
2x
9
.
• Func¸a˜o marginal de Y
fY (y) = 2e
−2y .
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
• E [X ] =
∫ 3
0
xfX (x)dx =
∫ 3
0
x
2x
9
dx =
(
2
9
)(
x3
3
)
|30 = 2.
• E [X 2] =
∫ 3
0
x2fX (x)dx =
∫ 3
0
x2
2x
9
dx =
(
2
9
)(
x4
4
)
|30 =
9
2
.
• Var [X ] = E [X 2]− (E [X ])2 =
9
2
− 4 =
1
2
= 0, 5.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
• E [Y ] =
∫ ∞
0
yfY (y)dy = 2
∫ ∞
0
ye−2ydy =
1
2
.
• E [Y 2] =
∫ ∞
0
y2fY (y)dy = 2
∫ ∞
0
y2e−2ydy =
1
2
.
• Var [Y ] = E [Y 2]− (E [Y ])2 =
1
2
−
1
4
=
1
4
= 0, 25.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais
Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
• E [XY ] =
∫ ∞
0
∫ 3
0
xyf (x , y)dxdy =
∫ ∞
0
∫ 3
0
4
9
x2ye−2ydxdy =
1.
• Cov(X ,Y ) = E [XY ]− E [X ]E [Y ] = 1− 2
(
1
2
)
= 0.
• Var [X + Y ] = Var [X ] + Var [Y ] = 0, 5 + 0, 25 = 0, 75.
Profa. Morganna Diniz Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais