Derivação Implícita

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6. Derivada de funções na forma implícita 
 
Na linguagem quotidiana a palavra implícita diz respeito a algo que não está dito de 
modo claro, evidente. Em matemática o significado é bastante semelhante. Para entendermos 
isso basta olharmos para as funções com as quais temos lidado até agora. Quando dizemos seja 
( )y f x= uma função de x, fica claro, explícito a maneira de associar um único y para cada x 
atribuído. Entretanto, nem sempre as coisas acontecem assim. Em determinados contextos, nos 
é dada uma expressão envolvendo x e y e pergunta-se: em que condições essa expressão nos 
permite explicitar y como função de x, ou o contrário? A resposta não é simples e não 
trataremos desta questão aqui. O nosso principal interesse é o seguinte: Dada uma expressão 
envolvendo x e y, e supondo que essa expressão nos permita explicitar y como função de x, 
como fazer para encontrar a derivada de y com relação a x? Antes de prosseguirmos, convém 
adotarmos uma notação. Nesta seção a derivada de y com relação a x será denotada por y’. 
Vejamos através de alguns exemplos, como proceder para atingirmos nosso objetivo. 
 
Exemplo 1. Vamos olhar para a expressão 1xy = cujo gráfico no plano cartesiano é uma curva 
chamada hipérbole que está desenhada ao lado. Observe que, neste caso, a expressão tanto 
fornece y como função de x como o contrário. Se quiséssemos encontrar y’ poderíamos proceder 
de duas maneiras. A primeira é expressar diretamente y como função de x usando a equação, o 
que resulta em: 
1y
x
= , que, quando derivada, nos fornece 2
1
'y
x
= − . 
 
 
 
A segunda será aquela que nós utilizaremos com mais freqüência. Derivamos diretamente a 
expressão 1xy = , sempre lembrando que é possível explicitar y como função de x. Fazendo 
isso, teremos: 
( )' 0xy = , 
uma vez que a derivada da função constante é zero. Usando a regra do produto e lembrando que 
y é função de x , temos que o lado esquerdo da igualdade fica igual a 
 
( ) ' ' ' 1 ' 'xy x y xy y xy y xy= + = + = + . 
 
Assim: 
' 0,y xy+ = 
ou ainda, 
' .
yy
x
−
= 
Note que se substituirmos y por 1 ,
x
 obteremos nessa última expressão 2
1
'y
x
= − , ou seja, o 
mesmo resultado que encontramos anteriormente. Aqui vale a pena um comentário sobre este 
exemplo: ele é muito especial, pois a expressão nos permite tirar y como função de x e o 
contrário. Agora vamos ver um exemplo onde não podemos fazer isso. 
 
Exemplo 2. Supondo que a expressão 4 3 3 60x y xy− = defina implicitamente y como função de 
x, vamos encontrar y’. Usando a regra do produto e a regra da cadeia para derivar ambos os 
membros da igualdade com relação a x, ficaremos com: 
 
( )3 3 2 44 3 ' 3 ' 0x y y y x y xy+ − + = . 
Agora isolando y’ ficamos com 
3 3
2 4
3 4
'
3 3
y x yy
y x x
−
=
−
. 
 
Perceba uma diferença entre este exemplo e o anterior. No primeiro, y’ ficou apenas em função 
de x, enquanto que no segundo, y’ ficou em função tanto de y como de x. Isso aconteceu porque 
no primeiro exemplo pudemos explicitar y como função de x, enquanto que no segundo isso não 
foi possível. 
 
Lembre que, no curso de Cálculo Diferencial e Integral I, foi visto que a derivada de uma 
função f no ponto ( )( ),a f a é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico daquela 
função naquele ponto. Portanto, quando calculamos a derivada y’ de uma função definida 
implicitamente por uma expressão envolvendo x e y o que estamos encontrando é o coeficiente 
angular da reta tangente àquela curva - já que no plano cartesiano a expressão é representada por 
uma curva - num dado ponto. Vamos ver dois exemplos sobre isso. 
 
Exemplo 3. Usando a técnica da derivação implícita, vamos encontrar a equação da reta 
tangente ao gráfico da curva 3 3 6x y xy+ = no ponto ( )3,3 . Ao lado está mostrado o esboço 
de um pedaço dessa curva, conhecida como Fólium de Descartes. 
Observe que para encontrarmos a equação da reta pedida, devemos primeiro encontrar o seu 
coeficiente angular que será dado por y’, calculado em ( )3,3 . Derivando a equação da curva 
com respeito a x, ficamos com: 
( )2 23 3 ' 6 ' .x y y y xy+ = + 
 
 
 
Isolando o termo y’, ficaremos com: 
2 2
2 2
6 3 2
'
3 6 2
y x y xy
y x y x
− −
= =
− −
, 
 
Agora fazendo x=3 e y=3, encontraremos ' 1.y = − Portanto, a equação da reta tangente ao 
Fólium de Descartes no ponto ( )3,3 será dada por: 
 
3 1
3
y
x
−
= −
−
, 
 
ou seja, 3 3 ,y x− = − ou ainda, 6.x y+ = Veja que na figura acima a reta possui coeficiente 
angular negativo, o que se confirma no coeficiente por nós encontrado. 
 
Exemplo 4. Vamos determinar os pontos da curva 2 2 3,x xy y− + = onde a reta tangente é 
horizontal. A curva dada representa uma elipse com eixos não paralelos aos eixos cartesianos. 
Para encontrarmos os pontos pedidos, devemos derivar a equação implicitamente com relação a 
x e encontrarmos os pontos onde ' 0,y = já que 'y representa o coeficiente angular da reta 
tangente à curva. Fazendo isso, obtemos: 
 
( )2 ' 2 ' 0.x y xy yy− + + = 
Isolando ',y ficamos com: 
 
2
'
2
y xy
y x
−
=
−
. 
Nos pontos que queremos determinar vale .0'=y Portanto, .2xy = Substituindo na equação da 
curva, teremos: 
 
( ) ( ) ,322 22 =+− xxxx 
 
ou seja, 33 2 =x o que nos fornece 12 =x e, portanto, 1=x ou 1−=x . Assim, substituindo 
em ,2xy = ficaremos com dois valores, 2=y ou 2−=y e daí os pontos serão ( )2,1 e 
( )2,1 −− . Veja a figura ao lado. 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
 
1. Determine dyy
dx
 
′ = 
 
 em cada caso. 
a. 2 25 3 7x xy y− + = 
b. 3 3 8x y+ = 
c. 
2 2
2 2
1
2
x y
x y
−
=
+
 
d. 2 2
2 3 9x y
x y
+
=
+
 
 
2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 2 2 9x y+ = , no ponto ( )2, 5 . 
 
3. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da curva 2 2 3 2 2( ) 8x y x y+ = no 
ponto ( )1, 1− . 
 
_______________________________________________ 
Soluções 
 
1. 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
 
(d) 
 
 
 
2. Sabemos que 2 2 9x y+ = . Portanto, derivando implicitamente essa equação, temos 
que 2 2 0x y y′+ ⋅ = , ou seja, xy
y
−
′ = . Substituindo no ponto ( )2, 5 , obtemos 25m −= . 
Portanto a equação da reta pedida é: 
 
 
___ 
 
 
3. Derivando ambos os membros da igualdade, temos: 
( ) ( )32 2 2 2 8 x y x y′ ′   + =     , 
Daí 
( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 23 8 8 ,x y x y x y x y′ ′ ′+ + = + 
Ou seja, 
( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 23 2 2 ' 8 2 ' 16 ,x y x yy x y y x y+ + = + 
Agora, tiramos o valor de y′ , ficando com 
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 6 6 ' 16 ' 16 ,x x y y x y y x y y x y+ + + = + 
Ou seja, 
( ) ( )2 22 2 2 2 2 26 ' 16 ' 16 6 ,y x y y x y y x y x x y+ − = − + 
Portanto 
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2' 6 16 16 6 ,y y x y x y x y x x y + − = − +   
E daí 
 
Assim, o coeficiente angular da reta tangente no ponto ( )1, 1− é dado por 
 
E portanto, a equação da reta tangente é ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 y x− = − − ou 
 2 y x= + .