Resumo Capitulo 6

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1.1 Distancia entre Dois Pontos 
A distancia d entre os pontos �����, ��, ��� e �	��	, �	, �	� é o módulo do vetor 
�
�
�� , 
isto é: 
��P�, P	� = �P�P	���������� 
e, portanto. 
��P�,P	� = ��x	 − x��	 + �y	 − y��	 + �z	 + z��² 
 
1.1-1 Exemplo 
 
1) Calcular a distancia entre os pontos P��7, 3,4� e P	�1	0,6� 
Solução: 
No caso presente, temos: 
 �� = 7 ; �	 = 1 �� = 3 ; �	 = 0 �� = 4 ; �	 = 6 
 
Logo, de acordo com (a.2), vem: 
 
����, �	� = &�1 − 7�	 +	�0 − 3�	 + �6 − 4�² 
����, �	� = √36 + 9 + 4 ����, �	� = √49 ����, �	� = 7	). + 
1.2 Distancia de um Ponto e uma Reta 
Seja uma reta r definida por um ponto �����, ��, ��� e pelo vetor diretor ,	���� = �a, b, c� e seja �0��0, �0, �0� um ponto qualquer do espaço. Os vetores ,	����	1		���0	���������� determina um paralelogramo 
cuja altura corresponde à distancia d de �0 a r que pretendemos calcular. 
Sabe-se que área A de um paralelogramo é dada pelo produto da base pela altura: 
a) 2 = |,�|� 
ou, de acordo com a interpretação geométrica no módulo do produto vetorial, por: 
b) 2 = �,�	4	���0���������� 
 
1.2-1 Exemplo 
2) Calcular a distancia do ponto �0�0,2,3� a reta 6:	 8	 = 9:		 = ;<=� 
Solução: 
A reta r passa pelo ponto >��0, 2	, −3� e tem a direção do vetor ,� = �2, 2	,1�. Seja 
ainda o vetor ���0��������� = �0 − �� = �2,−2, 10�. De acordo com (b.1), temos: 
 
���0, 6� = |�2,2,1�	4	�2, −2,10�||�2,2,1�| = |�22,−18, −8�||�2,2,1�| 
	
���0, 6� = �22² + �−18�	 + �−8�²�2² + 2² + 1² = √484 + 324 + 64√4 + 4 + 1 
���0, 6� = √8723 ). + 
Observação: 
O produto vetorial ,�	4	���0��������� = �2, 2	,1�	4	�2, −2, 10� é dado por: 
@ A� B� C��2 2 12 −2 10@ = �22, −18,−8� 
1.3 Distancia entre Duas Retas 
 
1.3.1 As Retas são Concorrentes 
 
A distancia d entre duas retas r e s concorrentes é nula, por definição. 
 
1.3.2 As Retas São Paralelas. 
A distancia d entre as retas r e s, paralelas, é a distancia de um ponto qualquer �0 de uma 
delas à outra reta, isto é: 
 
d(r,s) = d(P0, D�, P0 ∈ r ou d(r,s) = d(P0, 6�, P0 ∈ s 
 
A distancia entre duas retas paralelas se reduz ao calculo da distancia de um ponto a uma reta, 
aqui visto em 1.2. 
 
1.3.2-1 Exemplo 
3) Calcular a distancia entre as retas: 
6: F� = −2� + 3� = 	2�											G 		e							D: I� = −1 − 2J� = 		1 + 4J� = −3 − 4JG 
Solução: 
Nesse caso as retas são paralelas pois: 
 
r : ,	���� =	(1,-2,2) 
s :	)�� =	(-2,4,-4) ,� = −2)�� 
Assim o calculo da distancia e feito com exemplificado em 1.2. 
 
1.3.3 Retas Reversas 
Sabe-se que o volume V de um paralelepípedo e dado pelo produto da área da base pela altura: 
 K = |)��	4	,�|d 
Ou,de acordo com a interpretação geométrica do modulo do produto misto, por: 
K = ��),���� ,�, ���	����������� 
Temos: 
|)��	4	,�|� = ��)��, ,�, ���	����������� 
e: 
d = d�6, D� = �)��, ,�, P�P	����������|)��	X	,�| 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.3-1 Exemplo 
4) Calcular a distancia entre as retas 
Solução: 
Temos que: 
r: P1 (-2,1,4) , )�� = �1,0, −2� 
s: P2 (3,-1,3), ,� = �0,2 − 1� 
 
Então, 
���	��������� = �5,−2,−1� 
e: 
()��, ,,����� ���	���������) = O1 0 −20 2 −15 −2 −1O = 16 
 )��		4	,� = @A� B� C��1 0 −20 2 −1@ = �4, 1	,2� 
Aplicando a formula de Retas Reversas temos, 
 
d�6, D� = |16||�4, 1	,2�| = 16√16 + 1 + 4 = 16√21 
d�6, D� = 16√21 		). + 
1.4 Distancia de um Ponto a um Plano 
Sejam um ponto P0(x0,y0,z0) e um plano π: ax + by + cz + d = 0 
A distancia d do ponto P0 ao plano π e dada por: 
d�P0, π� = �AP0�������� 
Logo, 
d�P0, π� = |ax0 + by0 + cz0 + d|√a	 + b	 + c	 
1.4-1 Exemplo: 
5) Calcular a distancia do ponto P0(-4, 2 , 5) ao plano π: 2x+ y + 2z + 8 = 0 
Solução: 
No caso presente, já foi dado as coordenadas do ponto ( P0 : x0 = -4, y0 = 2 z0 = 5 ) e os 
componentes do vetor normal (R�� ∶ T = 2, U = 1, + = 2 ) . 
Substituindo na formula, temos: 
d�P0,π� = |2�−4� + 1�2� + 2�5� + 8|√2	 + 1	 + 2	 
d�P0,π� = |−8 + 2 + 10 + 8|√4 + 1 + 4 = 123 
d�P0,π� = 4	). + 
1.5 Distancia entre Dois Planos 
Obs.: A distância entre dois planos paralelos se reduz ao cálculo da distância de um ponto a 
um plano como visto em (1.4) 
 
 
 
 
 
 
1.5-1 Exemplo: 
6) Calcular a distancia entre os planos 
V�: 2� + 2� + � − 5 = 0					V	: 4� − 4� + 2� + 14 = 0 
Solução: 
V�: �0�	0, 0, 5� 
V	: R�� = �4, −4, 2� 
De acordo com a definição dada acima e a formula apresentada em 1.4, vem: 
d�π�, π	� = d�P0, π	� = |4�0� − 4�0� + 2�5� + 14|�4	 + �−4�	 + 2	 = |10 + 14|√36 
d�π�, π	� = 246 ÷ 2 
d�π�, π	� = 123 = 4	). + 
1.6 Distancia de uma Reta a um Plano 
A distancia de uma reta a um plano e definido somente quando a reta é paralela ao plano. Dada 
a reta r paralelo a um plano π, a distancia d da reta ao plano é a distancia de um ponto qualquer 
da reta ao plano isto é, 
d�6, V� = d�P0, π�			Com	�0 	 ∈ 6 
Nesse caso utilizamos o exemplo 1.4-1 para explicar a definição demonstrada acima.