2012-2_ListaExercicios1

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CA´LCULO 1 - PRIMEIRA LISTA DE
EXERCI´CIOS
1a Questa˜o :Usando a definic¸a˜o,calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
(a)f(x) = x3 (b)f(x) = 1
x
(c)f(x) =
√
x
2 a Questa˜o :
(a)Usando a definic¸a˜o, calcule a derivada da func¸a˜o f(x) = x2 − 2x + 1
(b)Calcule a declividade e a equac¸a˜o da reta tangente ao ponto P=(2,1)
da func¸a˜o f(x) acima.
3 a Questa˜o :
(a)Usando a definic¸a˜o,ache a derivada f ′(x) da func¸a˜o f(x) = 3x2 − 12x+ 7
(b)Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva f(x) acima, que e´ paralela a`
reta y − 6x + 10 = 0
4 a Questa˜o :
(a)Usando a definic¸a˜o,ache f ′(x) da func¸a˜o f(x) = x3 − 3x
(b)Use o resultado encontrado para achar os pontos onde a reta tangente
e´ horizontal.
5 a Questa˜o :Esboce a curva ,desenhe a reta tangente no ponto dado e ache
a equac¸a˜o desta mesma reta tangente:
(a) y = x2 − 4x− 5; P=(4,-5)
1
(b) y = x2 − 2x + 1;P=(-1,4)
6 a Questa˜o : Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` para´bola y = x2:
(a) no ponto P=(-2,4)
(b) no ponto em que a reta tangente tem coeficiente angular igual a 8
(c) no ponto em que a reta tangente corta o eixo x no ponto x=2
7 a Questa˜o : Tome a reta gene´rica y = mx + b.Usando a definic¸a˜o de deri-
vada, prove que f ′(x) = m,para todo x no domı´nio da func¸a˜o.
8 a Questa˜o : Ache as equac¸o˜es das duas retas que passam pelo ponto
P = (3, 1) e sa˜o tangentes a` curva y = x2 − 4.
9 a Questa˜o : Prove analiticamente(isto e´, sem usar um racioc´ınio geome´trico)
que na˜o existe uma reta que passe pelo ponto P = (1,−2) e seja tangente a`
curva y = x2 − 4.
10 a Questa˜o : Vamos analisar a func¸a˜o f(x) = |x− 1| :
(a)Fac¸a o esboc¸o do gra´fico
(b)Ache f ′(x0) se x0 > 1 e f ′(x0) se x0 < 1.
(c)O que se pode dizer acerca de f ′(x0) quando x0 = 1?
11 a Questa˜o : Calcule os limites(caso existam) das seguintes func¸o˜es, e de-
termine se estas sa˜o cont´ınuas no ponto em questa˜o:
(a) lim
x→3
7x−6 (b) lim
x→2
6
2x− 4 (c) limx→3
3x− 9
x− 3 (d) limx→−3
(
4x
x + 3
+
12
x + 3
)
(e) lim
x→0,001
x
|x| (f) limx→−3
4x
x + 3
(g) lim
x→−2
(x + 2)(x2 − x + 3)
x2 + x− 2 (h) limx→3
√
x2 + 16− 5
x2 − 3x
(i) lim
x→0
x2
|x| (j) limx→7
x2 + x− 56
x2 − 11x + 28 (l) limx→4
x− 4√
x− 2
2
(n) lim
x→0
5
x− 1 (o) limx→4
x− 4
x−√x− 2 (m) limx→3
x2 + 3x
x2 − x + 3
12 a Questa˜o : Sejam limx→a f(x) = 4, limx→a g(x) = −2, limx→a h(x) = 0.
Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→a
[f(x)− g(x)] (b) lim
x→a
[g(x)]2
(c) lim
x→a
f(x)
g(x)
(d) lim
x→a
h(x)
f(x)
(e) lim
x→a
f(x)
h(x)
(f) lim
x→a
1
[f(x) + g(x)]2
13 a Questa˜o : Qual deve ser o valor de k para que as seguintes func¸o˜es
sejam cont´ınuas:
(a) f(x) =

x2−1
x−1 ,para x 6= 1
k ,para x = 1
(b) f(x) =

x2+x
x
,para x 6= 0
k ,para x = 0
(c) f(x) =

2x−x2
2−x ,para x 6= 2
k ,para x = 2
(d) f(x) =

x+2
x2−4 ,para x 6= 2
k ,para x = 2
(e) f(x) =

x2−6x+9
x−3 ,para x 6= 3
k ,para x = 3
3