Lista de exercicios calculo I derivadas compostas

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Exerc´ıcios - Matema´tica I - 1o ano Agronomia
Encontre as derivadas das func¸o˜es abaixo:
1. y = tg(3x)
2. y = csc(5x)
3. y = sen(ex)
4. y =
cos(x)
sen2(x)
5. y = ex cos(x)
6. y = sec2(x) + tg2(x)
7. y = cos3(x3)
8. y = cotg2(sen(x))
9. y = e−x sec(x2)
10. y = csc(2x3)
11. y =
√
x
x2 + 4
12. y = (x4 − 1)3(x3 + 1)4
13. y = a3 + cos3(x), onde a e´ constante.
14. y =
(x− 1)4
(x2 + 2x)5
15. y =
(
x2
x+ 1
)5
16. y = eαxsen(βx), onde α e β sa˜o constantes.
17. y = (x2 − x+ 1)3
18. y = xec x, onde c e´ constante.
19. y = (x3 + 4x)7
20. y = e
√
x
21. y = cos(b3 + x3), onde b e´ constante.
22. y = sen(sen(senx))
23. y =
√
x2 + 1
24. y = ee
x
25. y = x sen
1
x
1
Respostas - Exerc´ıcios - Matema´tica I - 1o ano Agronomia
1. y′ = 3
1
cos2(x)
=
3
cos2(x)
= 3 sec2(x)
2. y′ = −5 1
sen2(5x)
cos(5x) = −5 cos(5x)
cos2(5x)
= −5 csc2(5x) cos(5x)
3. y′ = ex cos(ex)
4. y′ =
−sen2(x)− 2 cos2(x)
sen3(x)
5. y′ = ex cos(x)(cos(x)− xsen(x))
6. y′ = 2 sec(x)
1
cos2(x)
sen(x) + 2tg(x)
1
cos2(x)
=
2 sec(x)sen(x) + 2tg(x)
cos2(x)
= 4 sec2(x)tg(x)
7. y′ = −9x2 cos2(x3)sen(x3)
8. y′ =
−2cotg(sen x) cos(x)
sen2(sen x)
9. y′ = −e−x sec(x2) + 2xe
−xsen(x2)
cos2(x2)
= −e−x sec(x2)(1− 2xtg(x2))
10. y′ = − 1
sen2(2x3)
cos(2x3)6x2 = −6x2 csc(2x3) cos(2x3)
11. y′ =
1
2
(
x
x2 + 4
)− 1
2 4− x2
(x2 + 4)2
12. y′ = 12x3(x4 − 1)2(x3 + 1)4 + 12x2(x3 + 1)3(x4 − 1)3
13. y′ = −3 cos2(x)sen(x)
14. y′ =
4(x− 1)3(x2 + 2x)5 − 5(x− 1)4(x2 + 2x)4(2x+ 2)
(x2 + 2x)10
15. y′ = 5
(
x2
x+ 1
)4
x2 + 2x
(x+ 1)2
16. y′ = eαxβ cos(βx) + αeαxsen(βx), onde α e β sa˜o constantes.
17. y′ = 3(x2 − x+ 1)2(2x− 1)
18. y′ = ec x + cxec x, onde c e´ constante.
19. y′ = 7(x3 + 4x)6(3x2 + 4)
20. y′ = e
√
x
1
2
√
x
=
e
√
x
2
√
x
21. y′ = −3x2sen(b3 + x3), onde b e´ constante.
22. y′ = cos(sen(sen x)) cos(sen x) cos x
2
23. y′ =
x√
x2 + 1
24. y′ = ee
x
ex = ee
x+x
25. y′ = sen
1
x
− 1
x
cos
1
x
Observac¸o˜es:
1. Alguns exerc´ıcios podem ter uma variac¸a˜o na apresentac¸a˜o do resultado, devido a simpli-
ficac¸o˜es e/ou manipulac¸o˜es alge´bricas. Um exemplo sa˜o os exercic´ıos que possuem func¸o˜es
trigonome´tricas como, por exemplo, o exercic´ıo 2 cuja resposta pode ser:
y′= −5 cos(5x)
cos2(5x)
ou y′ = −5 csc2(5x) cos(5x) ou y′ = −5 csc(5x)cotg(5x)
2. Em alguns exerc´ıcios temos a composic¸a˜o de treˆs func¸o˜es, ou seja:
(f ◦ g ◦ h)(x) = f(g(h(x)))
e a sua derivada sera´ dada por:
(f ◦ g ◦ h)′(x) = f ′(g(h(x)))g′(h(x))h′(x)
Resolvendo, por exemplo, o exerc´ıcio 7 temos:
y = f(g(h(x))) = cos3(x3), onde:
f(x) = x3, g(x) = cos(x) e h(x) = x3
Portanto,
y′ = f ′(g(h(x))) = [cos3(x3)]′ = 3 cos2(x3) · (−sen(x3)) · 3x2
e organizando os termos temos que:
y′ = −9x2 cos2(x3) sen(x3).
O exerc´ıcio 8 e´ a composic¸a˜o de treˆs func¸o˜es e e´ resolvido a seguir:
y = f(g(h(x))) = cotg2(sen(x)), onde:
f(x) = x2, g(x) = cotg(x) e h(x) = sen(x)
Portanto,
3
y′ = f ′(g(h(x))) = [cotg2(sen x)]′ = 2cotg(sen x) ·
(
− 1
sen2(sen x)
)
· cos(x)
e organizando os termos temos que:
y′ =
−2cotg(sen x) cos(x)
sen2(sen x)
.
4