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ME480 A - Estatística para Biologistas
Prof.: Mariana R. Motta
2a Lista de Exercícios - Gabarito
Questão 1
(a) P (A ∩B) = 0, 4 6= 0. Não são mutuamente exclusivos
(b) São independentes pois P (A)× P (B) = P (A ∩B) = 0, 4
(c) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 0, 9
(d)
P (A | B) = P (A ∩B)/P (B) = 0, 25
P (B | A) = P (B ∩ A)/P (A) = P (A ∩B)/P (A) = 0, 4
Questão 2
(a)
1. 30
50
= 0, 6
2. 10
50
= 0, 2
3. P(20−39∪60−79) = P (20−39)+P (60−79)−P (20−39∩60−79) = 10/50+30/500 = 0, 8
(b)
1. 205
505
= 0, 010
2. 305
505
= 0, 077
Questão 3
(a) P (A ∩B) = 1
2
3
4
= 3
8
(b)P (NãoA ∩ NãoB) = 1
2
1
4
= 1
8
(c)P ({NãoA} ∩B) + P (A ∩ {NãoB}) = 1
2
3
4
+ 1
2
1
4
= 1
2
Questão 4 Probabilidade Condicional e Independência de Eventos
1
(a) 256
340
= 0, 75
(b) 752
800
= 0, 94
(c) 304
1140
= 0, 26
(d) 84
340
= 0, 24
(e) Não são independentes, pois podemos ver na tabela que o teste tem grande probabilidade
de estar correto.
Questão 5 Aplicação do Teorema de Bayes
Do enunciado, podemos tirar as seguintes informações:
P (IM agudo) = 0.4 e P (IM não agudo) = 0.6
P (+ | IM agudo) = 0.7
P (+ | IM não agudo) = 0.1
Queremos P (IM agudo | +).
Como não temos essa probabilidade e existe uma certa ordem no experimento, precisamos
usar o Teorema de Bayes. Assim
P (IM agudo | +) = P (+ | IM agudo)P (IM agudo)
P (+ | IM agudo)P (IM agudo) + P (+ | IM não agudo)P (IM não agudo)
=
0.7 ∗ 0.4
0.7 ∗ 0.4 + 0.1 ∗ 0.6
= 0.82 (1)
Questão 6 Aplicação da distribuição Binomial e Aproximação para a Normal
O evento "sucesso"nesse caso é "pessoa favorável a adição de flúor na água", que tem proba-
bilidade p=0.6
(a)
O tamanho da amostra é n=10. Defina a variável: X="Número de pessoas favoráveis a adição de
flúor na água". Dessa forma, X∼ Binomial(10,0.6).Isto é, a probabilidade de encontrar k pessoas
favoráveis a adição de flúor na água é dada por:
2
P (X = k) =
(
10
k
)
0.6k ∗ (1− 0.6)10−k = 10!
k!(10− k)!0.6
k ∗ (0.4)10−k (2)
P (X = 5) =
(
10
5
)
0.65 ∗ (0.4)10−5 = 252 ∗ 0.65 ∗ 0.45 = 0.2 (3)
P (X = 6) =
(
10
6
)
0.66 ∗ (0.4)4 = 210 ∗ 0.66 ∗ 0.44 = 0.26 (4)
P (X = 7) =
(
10
7
)
0.67 ∗ (0.4)3 = 120 ∗ 0.67 ∗ 0.43 = 0.21 (5)
(b)
Sabemos que a esperança de uma variável que tem distribuição binomial é np e a variância é np(1-p).
Dessa forma, basta substituir os valores de n e p, respectivamente.
E(X) = 10 ∗ 0.6 = 6 e V ar(X) = 10 ∗ 0.6 ∗ 0.4 = 2.4
(c)
Nesse caso o tamanho da amostra é n=100. Logo, podemos usar a aproximação da normal para a
binomial. Isto é, X∼ N(np,np(1-p)). Assim, X∼ N(60,2400).
P (55 < X < 65) = P (
55− 60√
2400
<
X − µ√
2400
<
65− 60√
2400
)
= P (−0.1 < Z < 0.1)
= Φ(0.1)− Φ(−0.1)
= 0.5398− 0.4602 = 0.08 (6)
Questão 7 Aplicação da distribuição de Poisson
Defina: X="Número de microorganismos encontrados em em uma especimen de 1 cm2". Como
temos em média 5 microorganismos em uma especimen de 1 cm2, temos que λ = 5.
Logo X ∼ Poisson(λ).Isto é, a probabilidade de encontrar k microorganismos é dada por:
P (X = k) =
e−λλk
k!
=
e−55k
k!
(7)
(a)
P (X < 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) (8)
3
P (X = 0) =
e−550
0!
= e−5 (9)
P (X = 1) =
e−551
1!
= 5e−5 (10)
P (X = 2) =
e−552
2!
=
25
2
e−5 (11)
Logo,
P (X < 3) = e−5 + 5e−5 + 12.5e−5 = 18.5e−5 = 0.12 (12)
(b)
P (X = 5) =
e−555
5!
=
3125
120
e−5 = 0.175 (13)
(c)
P (X > 6) = 1− P (X <= 6)
= 1− (P (X = 0) + P (X = 1) + ...+ P (X = 5) + P (X = 6)) (14)
P (X = 4) =
e−554
4!
=
625
24
e−5 (15)
P (X = 3) =
e−553
3!
=
125
6
e−5 (16)
P (X = 6) =
e−556
6!
=
15625
720
e−5 (17)
Logo,
P (X > 6) = 1− P (X <= 6)
= 1− (P (X = 0) + P (X = 1) + ...+ P (X = 5) + P (X = 6))
= 1− (18.5e−5 + 125
6
e−5 +
625
24
e−5 +
3125
120
e−5 +
15625
720
e−5)
= 1− 0.76 = 0.24 (18)
4
(d)
P (X = 2) + P (X = 3) =
25
2
e−5 +
125
6
e−5 =
200
6
e−5 = 0.225 (19)
Questão 8 Distribuição Multinomial
Temos 4 eventos possíveis:
Evento 1: Plantas altas e coloridas
Evento 2: Plantas altas e sem cor
Evento 3: Plantas pequenas e coloridas
Evento 4: Plantas pequenas e sem cor
Defina as variáveis:
X1= Número de plantas altas e coloridas, p1=0.5
X2= Número de plantas altas e sem cor, p2=0.2
X3= Número de plantas pequenas e coloridas, p3=0.2
X4= Número de plantas pequenas e sem cor, p4=0.1
P (X1 = 5, X2 = 2, X3 = 2, X4 = 1) =
5!2!2!1!
10!
0.550.220.220.11 (20)
Questão 9 Distribuição Normal
Defina: X="Peso de um puma macho adulto".
Sabemos que X ∼ N(µ,σ2) e que P (X < 82.8) = 0.33 e P (X > 98.25) = 0.004.
(a)
Primeiramente, temos que padronizar a variável X, pois Z = X−µ
σ
∼ N(0, 1). Então
P (X < 82.8) = P (
X − µ
σ
<
82.8− µ
σ
) = P (Z <
82.8− µ
σ
) = Φ(
82.8− µ
σ
) = 0.33 (21)
Assim, Φ(82.8−µ
σ
) = 0.33, −→ 82.8−µ
σ
= −0.44 −→ µ = 82.8 + 0.44σ
Por outro lado,
P (X > 98.25) = 1− P (X <= 98.25)
= 1− P (X − µ
σ
<
98.25− µ
σ
)
5
= 1− P (Z < 98.25− µ
σ
)
= 1− Φ(98.25− µ
σ
) = 0.004 (22)
Assim, 1−Φ(98.25−µ
σ
) = 0.004 −→ Φ(98.25−µ
σ
) = 0.996 −→ 98.25−µ
σ
= 2.65 −→ µ = 98.25−2.65σ.
Dessa forma, temos 2 equações e 2 incógnitas e o sistema tem solução. Para resolver o sistema,
basta substituir uma equação na outra. Temos então:
82.8 + 0.44σ = 98.25− 2.65σ −→ 3.09σ = 15.45 −→ σ = 5.
E
µ = 82.8 + 0.44σ −→ µ = 85
(b)
P (X < 100) = P (
X − 85
5
<
100− 85
5
)
= P (Z <
100− 85
5
) = Φ(
100− 85
5
)
= Φ(3)
= 0.9987 (23)
6
