exercicios CACAB

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. ,
EXERCICIOS 12.1
Encontrand9Regiõesde Integraçãoe
IntegraisDuplas
It.
Nos exercícios1-10,esbocea regiãode integraçãoe calculea.
integral.
1. J3J2 (4 - y2)dydx.o o
3. f~lf~1(x+y + 1)dxdy
21T 1T .
4. f f (senx + cosy)dxdy
1T o
s.I1TIX x senydydx .o o
fln 8Jln y7. I o eX+Ydx dy
9. fOif: 3y3eXYdxdy
2. f03f~2(X2y- 2xy)dydx
6.I1TIsenx ydydxo o
f
2
f
l
8. dxdy
I Y
f
4
J
~ 3
10. - eY/~ dy dx
102
Nosexercícios11-16,integref sobrearegiãodada.
11. Quadrilateralf(x, y) = x/y sobrea regiãono primeiroqua-
drantelimitadapelasretasy =x,y =2x,x= 1ex =2.
12. Quadradof(x, y) = 1/(xy)sobreo quadrado1 ::;x ::;2, 1 ::;
y ::;2.
13. Triângulof(x, y) =X2+ l sobrearegiãotriangularcomvérti-
ces(O,O),(1,O)e(O,1).
j
14. Retângulof(x, y) = y cosxy sobreo retânguloO ::;x ~ 1T,
O::;y ::;1.
15. Triângulof(u, v) = v - ~ sobrearegiãotriangularcortada
doprimeiroquadrantedoplanouvpelaretau +v=1
16.RegiãoCurvaf(s, .t)=eSlnt sobrearegiãonoprimeiroqua-
drantedoplanostqueestáacimadacurvas =ln t det =I a
t=2.
Cadaumdosexercícios17-20dáumaintegralsobreumaregião
noplanocartesiano.Esbocearegiãoecalculeaintegral.
~7.f~2fv-v2dpdv. (oplanopv)
IIIví=S218. 8tdtds (oplanost)o o
f
1T/3
J
sect
19. 3costdudt (oplanotu)
-1T/3o
J
3
f4-2U 4 220. ~ dvdu (oplanouv)o 1 V
Invertendo a Ordemde Integração
Nosexercícios21-30,esbocearegiãodeintegraçãoeescrevauma
integralduplaequivalentecomaordemdeintegraçãoinyertida.
J
1
f
4-~
f
2
f
o
21. dydx 22. dxdy
o 2 o y-2 .
f
l
f
vY
23. . dxdy
o y f
l
J
I-r
24. dydx
o I-x
25.foiré dydx f
,n2
f
2
26. dxdy
o eY
f
3/2
f
9-4r
27. o o 16xdydx f
2
f
4-1
28. o o ydxdy
f
I
f
v'l=?
29. 3ydxdy
o -v'l=? f
2
f
~
30. 6xdydx
o -~
~CalculandoIntegraisDuplas
~osexercícios31-40,esbocea regiãode integração,invertaa
lordemdeintegraçãoecalculeaintegral.
f
7T
f7T seny f
2
f
2
~1. ---,y- dydx 32. 2i senxydydxo x o X
I
f
2
f4-r xe2y34. o o 4-ydydx
I f
l
f
'
f3.o y x2tfYdx dy
!
f
2ViD3f
ViD3
l
B5~ o y/2 er dx dy
1/16 1/2
7.f f cos(16~) dxdy
I o ,'"
B9. RegiãoquadradaII(y - 2x2)dA,
R
pelo quadrado Ix I+Iy I= 1
36.f
3
fl el dydxo Vill
f
8
f2 dydx38. -o vs:y4+ 1
ondeRéaregiãolimitada
o. RegiãotriangularIIxy dA, ondeR é a regiãolimitadapelas
R
retasy =x,y =2xex + y =2.
olumesobumaSuperfíciez = f(x.y)
1.Encontreovolumedaregiãolimitadapeloparabolóidez=X2 +
y2e inferiormentepelo triângulodelimitadopelasretasy =x,
x=Oex +y = 2noplanoxy.
:2.Encontreovolumedosólidoqueélimitadosuperiormentepelo
cilindroz ~ X2e inferiormentepelaregiãodelimitadapela
parábolay =2 - x2e pelaretay =xnoplanoxy.
:3.Encontreo volumedosólidocujabaseé aregiãonoplanoxy
queélimitadapelaparábolay = 4 - X2e pelaretay = 3x,
enquantootopodosólidoélimitadopeloplanoz =x +4.
'.Encontreo volumedo sólidono primeirooctantelimitado
pelosplanoscoordenados,pelocilindroX2+ y2= 4 e pelo
planoz+y=3.
~.Encontreo volumedo sólidono primeirooctantelimitado
pelosplanoscoordenados,peloplanox = 3 e pelocilindro
parabólicoz=4 - Y2.
l6.Encontreo volumedos6lidocortadodoprimeirooctantepela
superfíciez = 4 - X2- y.
'.Encontreo volumedacunhacortadadoprimeirooctantepelo
cilindroz=12- 3y2epeloplanox +y = 2.
I.Encontreo volumedo sólidocortadoda colunaquadrada
IxI+IyI :S 1pelosplanosz=Oe3x+z = 3.
12.1 IntegraisDuplas 365
49. Encontreo volumedosólidoqueé limitadonafrentee atrás
pelosplanosx = 2 e x = 1, nos ladospeloscilindros
y = :!: l/x e acimae abaixopelosplanosz =x + 1 ez =O.
50. Encontreo volumedosólidolimitadonafrentee atráspelos
planosx = :!:'TT/3,nosladospeloscilindrosy = :!: secx,
acimapelocilindroz = 1 +i e abaixopeloplanoxy.
Integrais sobre RegiõesNão Limitadas
Calculeasintegraisimprópriasnosexercícios51-54comointe-
graisiteradas.
J
oo
fI 151. ]dydxI e-X X y f
l
f
l/Vf=X2
52. -I -1Vf=X2(2y + 1) dydx
f
00
f 00 1 dxdy53. -00 -00 (X2 + 1)(y2+ 1)
54. JoooJoooxe-(x+2y)dx dy
Aproximando Integrais Duplas
Nosexercícios55e56,aproximeaintegraldupladef(x,y)sobrea
regiãoR divididapelasretasverticaisx = a e horizontais
y =c dadas.Em cadasub-retângulo,use(XbYk)comoindicado
parasuaaproximação.
J J f(x, y)dA =~f(xk>Yk)MkR
55.f(x, y) =x +y sobrearegiãoR limitadaacimapelosemi-cír-
culo y = ~ e abaixopelo eixo x, usandoa partição
x = -1, -1/2, O,1/4,1/2,1ey =O,1/2,1,com(Xk,Yk)sendo
o cantoinferioresquerdodok-ésimosub-retângulo(desdeque
o sub-retânguloestejacontidoemR).
56.f(x, y) = x + 2ysobrea regiãoR dentrodacircunferência
(x - 2)2+ (y- 3)2= 1usandoapartiçãox = 1,3/2,2,5/2,3
ey = 2, 5/2,3,7/2,4,com(Xk>Yk)sendoo centro(centróide)
do k-ésimosub-retângulo(desdequeo sub-retânguloesteja
contidoemR).
Teoriae Exemplos
57. SetorcircularIntegref(x, y) = V 4 - X2sobreo setormenor
cortadododiscor +i :s4pelosraios8 = 'TT/6e 8 = 'TT/2.
58. RegiãonãolimitadaIntegref(x, y) = 1/[(r - x)(y - 1)213]
sobreoretânguloinfinito2 :sx < 00,O:sy :s2.
59. CilindronãocircularUmcilindrosólidoreto(nãocircular)tem
suabaseR noplanoxyeé limitadosuperiormentepelopara--
bolóidez =r +i. o volumedocilindroé
f
l
f
Y
J
2
f
2-Y
V = o o (X2+y2)dxdy + I o (X2+y2)dxdy.
EsboceabaseR e expresseo volumedocilindrocomouma
únicaintegraliteradacoma ordemdeintegraçãoinvertida.
Entãocalculea integralparaencontrarovolume.
60. ConvertendoemumaintegralduplaCalculeaintegral
JO2(arctg7TX- arctgx)dx.
\
(Dica:Escrevao integrandocomoumaintegral.)
366 Capítulo12:IntegraisMúltiplas
61. Maximizandoumaintegraldupla Que regiãoR no planoxy
maximizao valorde
II (4- X2 - 2i) dA?
R
Justifiquesuaresposta.
62. Minimizandoumaintegraldupla QueregiãoR noplanoxymini-
mizao valorde
II(X2 +y2- 9)dA?
R
Justifiquesuaresposta.
63. EscrevendoparaaprenderÉ corretocalculara integraldeuma
funçãocontínuaf(x, y) sobreumaregiãoretangularno plano.
xy e obterrespostasdiferentesdependendoda ordemda inte-
gração?Justifiquesuaresposta.
64. EscrevendoparaaprenderComovocêcalculariaaintegraldupla
deumafunçãocontínuaf(x, y)sobreumaregiãoR noplanoxy
limitadapelotriângulocomvértices(O,1),(2,O)e(1,2)?Jus-
tifiquesuaresposta.
65. RegiãonãolimitadaProveque
f
oo
foo e-il-l dx dy =l~~f
b
fb e-il-l dxdy-00 -00 b -b-b
= 4 (J: e-r dX)'.
66. IntegralduplaimprópriaCalculeaintegralimprópria
'I' f
I
f
3 2
o o (y':' 1)213dy dx.
(~SA;;O OCOMPUTADOR
CalculandoIntegraisDuplasNumericamente
UseumSAC paraestimarosvaloresdasintegraisnosexercícios
67-70.
f
3
fX 167. I I xy dy dx
68. IOIIOI e-(il+l) dy dx
I I
69.f f arctgxydydxo o
f
I
fV1=X270. 3\11 - X2- y2 dy dx-I o ,
UseumSAC paraencontraras integraisnosexercícios71-76.
Entãoinvertaa ordemdeintegraçãoe calcule,novamentecom
umSACo
f
l
f
4
71. eildxdy
o 2y 72. IO3I; x cos (y2)dydx
f
2
f
4V2Y
( )73. o l x2y- xy2 dxdy f
2
f
4-l
74. o o eXYdxdy
f
2
f
il 175. - + dydxI o X Y