Formulario de operadores diferenciales muy claro y resumido en varios sistemas de coordenadas _cartesianas cilíndricas y esféricas_

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Gradiente, Divergencia, Rotacional, Laplaciano
Coordenadas Cartesianas (x,y, z)
f = f(x, y, z) ;
−→
G = Gxı̂+Gy ̂+Gzk̂
−→
∇f = ∂f
∂x
ı̂+
∂f
∂y
̂+
∂f
∂z
k̂
−→
∇ ·
−→
G =
∂Gx
∂x
+
∂Gy
∂y
+
∂Gz
∂z
−→
∇ ×
−→
G =
(
∂Gz
∂y
− ∂Gy
∂z
)
ı̂ +
(
∂Gx
∂z
− ∂Gz
∂x
)
̂ +
(
∂Gy
∂x
− ∂Gx
∂y
)
k̂
∇2f = ∂
2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
Coordenadas Ciĺındricas (ρ,φ, z)
f = f(ρ, φ, z) ;
−→
G = Gρρ̂+Gφφ̂+Gz ẑ
−→
∇f = ∂f
∂ρ
ρ̂+
1
ρ
∂f
∂φ
φ̂+
∂f
∂z
ẑ
−→
∇ ·
−→
G =
1
ρ
∂
∂ρ
(ρGρ) +
1
ρ
∂Gφ
∂φ
+
∂Gz
∂z
−→
∇ ×
−→
G =
(
1
ρ
∂Gz
∂φ
− ∂Gφ
∂z
)
ρ̂ +
(
∂Gρ
∂z
− ∂Gz
∂ρ
)
φ̂ +
1
ρ
(
∂
∂ρ
(ρGφ)−
∂Gρ
∂φ
)
ẑ
∇2f = 1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂f
∂ρ
)
+
1
ρ2
∂2f
∂φ2
+
∂2f
∂z2
1
Coordenadas Esféricas (r,θ,φ)
f = f(r, θ, φ) ;
−→
G = Grr̂ +Gθθ̂ +Gφφ̂
−→
∇f = ∂f
∂r
r̂ +
1
r
∂f
∂θ
θ̂ +
1
r sen θ
∂f
∂φ
φ̂
−→
∇ ·
−→
G =
1
r2
∂
∂r
(
r2Gr
)
+
1
r sen θ
∂
∂θ
(sen θ Gθ) +
1
r sen θ
∂Gφ
∂φ
−→
∇ ×
−→
G =
1
r sen θ
[
∂
∂θ
(sen θ Gφ)−
∂Gθ
∂φ
]
r̂
+
[
1
r sen θ
∂Gr
∂φ
− 1
r
∂
∂r
(r Gφ)
]
θ̂ +
1
r
[
∂
∂r
(r Gθ)−
∂Gr
∂θ
]
φ̂
∇2f = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂f
∂r
)
+
1
r2 sen θ
∂
∂θ
(
sen θ
∂f
∂θ
)
+
1
r2 sen 2θ
∂2f
∂φ2
2