GABARITO PROVA 2012.1

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Matema´tica Ba´sica (ECT1111)
Avaliac¸a˜o (27/06/2012) - Turma T09 - 2012.1
Prof. Leandro Ibiapina Bevila´qua
DADOS DO ALUNO Questa˜o Nota
Turma/Subturma: Q1
Nome (leg´ıvel): Q2
Q3
Q4
Assinatura: GABARITO TOTAL
QUESTA˜O 1 (2,5 pontos) Considere as func¸o˜es:
f(x) = x2 + 1, g(x) = 2ex, h(x) = 3x− 11
e atenda cada uma das solicitac¸o˜es a seguir justificando sua resposta1:
(a) (0,5 ponto) Calcule (h ◦ h−1 ◦ h ◦ h−1 ◦ h−1)(x).
(b) (0,5 ponto) Encontre as ra´ızes da func¸a˜o (f + h)(x).
(c) (0,5 ponto) Encontre a inversa de g(x), ou seja, calcule g−1(x).
(d) (0,5 ponto) Encontre uma func¸a˜o u(x) que satisfac¸a a relac¸a˜o u(f(x)) = 9x4 + 1.
(e) (0,5 ponto) Encontre uma func¸a˜o w(x) que satisfac¸a a relac¸a˜o f(w(x)) = 9x4 + 1.
(a) Como (h ◦ h−1)(x) = (x), enta˜o (h ◦ h−1 ◦ h ◦ h−1 ◦ h−1)(x) = h−1(x) = x+11
3
.
(b) Como (f + h)(x) = x2 + 3x− 10 = (x+ 5)(x− 2), enta˜o suas ra´ızes sa˜o x = −5 e x = 2.
(c) g−1(x) = `n
(
x
2
)
.
(d) u(f(x)) = 9(x2)2 + 1 = 9[f(x)− 1]2 + 1 portanto u(x) = 9(x− 1)2 + 1.
(e) f(w(x)) = [w(x)]2 + 1 = 9x4 + 1, ou seja, w(x) = ±3x2
1Resolva cada questa˜o na folha (frente e/ou verso) em que a mesma esta´ digitada. Outras folhas na˜o sera˜o corrigidas.
Pode usar grafite.
1
QUESTA˜O 2 (2,5 pontos) Considere a func¸a˜o
f(x) = −`n(3− x) + 4
e responda os itens a seguir justificando sua resposta2:
(a) (0,5 ponto) Quanto vale f(2)?
(b) (0,5 ponto) Qual e´ o domı´nio de f(x)?
(c) (0,5 ponto) Qual e´ a imagem de f(x)?
(d) (0,5 ponto) Em qual intervalo de x a func¸a˜o f(x) e´ crescente?
(e) (0,5 ponto) Classifique f(x) como cont´ınua ou descont´ınua.
(a) f(2) = −`n(1) + 4 = 4.
(b) 3− x deve ser maior do que zero, ou seja, x ∈ (−∞, 3)
(c) f(x) ∈ (−∞,+∞)
(d) A func¸a˜o e´ crescente em todo seu domı´nio, ou seja, e´ crescente no intervalo x ∈ (−∞, 3)
(e) Cont´ınua
2Resolva cada questa˜o na folha (frente e/ou verso) em que a mesma esta´ digitada. Outras folhas na˜o sera˜o corrigidas.
Pode usar grafite.
2
QUESTA˜O 3 (2,5 pontos) Considere a func¸a˜o
t(x) = sen(x+ pi) + 1
e responda os itens a seguir justificando sua resposta3:
(a) (0,5 ponto) Quanto vale t(0)?
(b) (0,5 ponto) Qual e´ o domı´nio de t(x)?
(c) (0,5 ponto) Qual e´ a imagem de t(x)?
(d) (0,5 ponto) Observe que t(x) e´ uma func¸a˜o perio´dica e informe seu per´ıodo.
(e) (0,5 ponto) Qual o ma´ximo valor que t(x) pode ter?
(a) t(0) = sen(pi) + 1 = 1.
(b) x ∈ (−∞,+∞)
(c) t(x) ∈ [0, 2]
(d) T = 2pi
(e) 2
3Resolva cada questa˜o na folha (frente e/ou verso) em que a mesma esta´ digitada. Outras folhas na˜o sera˜o corrigidas.
Pode usar grafite.
3
QUESTA˜O 4 (2,5 pontos) Encontre a soluc¸a˜o das equac¸o˜es (ou inequac¸o˜es) abaixo justifi-
cando sua resposta (no caso de inequac¸o˜es, represente o conjunto-soluc¸a˜o na notac¸a˜o de inter-
valo)4:
(a) (0,5 ponto) 3
√
5x+ 9 = −1
(b) (0,5 ponto) x−√x = 12
(c) (0,5 ponto) `n(x2 − 3) = 0
(d) (0,5 ponto) |4− 3x| − 2 < 4
(e) (0,5 ponto) x2 − 4x+ 3 ≥ 0
(a) x = −2.
(b) x = 16 (OBS.: A soluc¸a˜o x = 9 e´ inva´lida pois 9−√9 = 6 6= 12)
(c) x = ±2
(d) x ∈ (−2
3
, 10
3
)
(e) x ∈ (−∞, 1] ∪ [3,+∞)
4Resolva cada questa˜o na folha (frente e/ou verso) em que a mesma esta´ digitada. Outras folhas na˜o sera˜o corrigidas.
Pode usar grafite.
4