2 lista de exercicio EXA 704

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
DEPARTAMENTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - EXA 190/705
II Lista de Exerc´ıcios
1. Use a fo´rmula de reduc¸a˜o da integral
∫
sinn x dx para mostrar que
∫
sin2 x dx =
x
2
− sin 2x
4
+ C
2. (a) Prove a fo´rmula de reduc¸a˜o∫
cosn x dx =
1
n
cosn−1 x sinx+
n− 1
n
∫
cosn−2 x dx
(b) Use a parte (a) para avaliar
∫
cos2 x dx
(c) Use as partes (a) e (b) para avaliar
∫
cos4 x dx
3. Use integrac¸a˜o por partes para mostrar
∫
(lnx)n dx = x(lnx)n − n
∫
(lnx)n−1 dx
4. Avalie as integrais
a)
∫
x sin(4x) dx b)
∫
e2θ sin(3θ) dθ c)
∫
e−θ cos(2θ) dθ
d)
∫ 1
0
x5x dx e)
∫
x tan−1 x dx f)
∫
cos(lnx) dx
g)
∫
sin
√
x dx h)
∫
x5ex
2
dx i)
∫
cosx ln(sinx) dx
5. Prove que
∫ pi
−pi
sin(mx) cos(nx) dx = 0
6. Prove que
∫ pi
−pi
sin(mx) sin(nx) dx =
{
0 se m 6= n
pi se m = n
7. Avalie as integrais
a)
∫
xsin
3(x2) dx b)
∫
sin6(θ) cos3 dθ c)
∫
tan2 θ sec θ dθ
d)
∫
ex cos7(ex) dx e)
∫
sin3 x
√
cosx dx f)
∫
dx
cosx− 1
g)
∫
(1−sin(2x))2 dx h)
∫
tan2 x dx i)
∫ pi/3
0
tan5 x sec6 x dx
8. (a) Mostre que ∫
cscx dx = − ln | cscx+ cotx|+ C
1
(b) Mostre que o resultado acima tambe´m pode ser∫
cscx dx = ln | cscx− cotx|+ C
(c) ou ∫
cscx dx = − ln | tan(x/2)|+ C
9. Mostre que ∫
dx√
x2 + a2
dx = ln(x+
√
x2 + a2) + C
10. Avalie as integrais
a)
∫
et
√
9− e2t dt b)
∫
x2
(a2 − x2)3/2 dx c)
∫
x
√
25 + x2 dx
d)
∫
1√
9x2 + 6x− 8 dx e)
∫ 2/3
0
x3
√
4− 9x2 dx f)
∫
x
(x2 + 4)5/2
11. Avalie as integrais
a)
∫
x2
x+ 1
dx b)
∫
x2 + 1
x2 − 1 dx c)
∫
5x2 + 3x− 2
x3 + 2x2
dx
d)
∫ 1
0
x3
x2 + 1
dx e)
∫
1
x3 − 1 dx f)
∫
dx
x4 − x2
g)
∫
x3
(x+ 1)3
dx h)
∫ 2
1
x2 + 3
x3 + 2x
dx i)
∫
1√
x− 3√x dx
12. Se f e´ uma func¸a˜o quadra´tica tal que f(0) = 1 e
∫
f(x)
x2(x+ 1)3
dx
e´ uma func¸a˜o racional, encontre o valor de f ′(0).
Estes exerc´ıcios foram retirados dos livros:
Stewart, James. Ca´lculo Vol 1, Pioneira Thomsom Learning, 4◦ Edic¸a˜o, Sa˜o Paulo, 2002.
Leithold, Louis. Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica Vol 1, Harbra, 3◦ Edic¸a˜o, Sa˜o Paulo,
2010.
DEUS os abenc¸oe e divirtam-se
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