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UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — UPE CAMPUS MATA NORTE — CMN Prof. Esdras Jafet Aristides da Silva Lista de exerc´ıcios de Geometria Anal´ıtica Obs.: (versa˜o: 5 de setembro de 2013) Esta lista esta´ em constante atualizac¸a˜o, certifique-se de que esta´ com a versa˜o mais recente. 1. Considerando a modelagem matema´tica da reta, sejam P e Q dois pontos da reta com coordenadas p e q. Assumindo que P esta´ a` esquerda e Q esta´ a` direita da origem, mostre que ainda se tem d(P,Q) = |p− q|. 2. Esboce um quadrado de lado a e coloque um sistema de coordenadas cartesianas com origem no canto inferior esquerdo. Explicite as coordenadas de todos os ve´rtices deste quadrado. Fac¸a o mesmo colocando agora a origem do sistema de coordenadas cartesianas no ponto que corresponde ao encontro das diagonais deste quadrado. 3. Esboce um cubo de lado a e coloque um sistema de coordenadas cartesianas com a origem no canto inferior esquerdo da face de tra´s do cubo. Exiba as coordenadas de todos os ve´rtices deste cubo. Fac¸a o mesmo colocando agora a origem do sistema de coordenadas cartesianas no ponto que corresponde ao encontro das diagonais deste cubo. 4. Considere os seguinte pontos do espac¸o: P1 = (1,−1, 0), P2 = (1, 1, 0), P3 = (−1, 1, 0), P4 = (−1,−1, 0) e P5 = (0, 0, 1). Esboce o so´lido limitado pelos segmentos de reta P1P2, P2P3, P3P4, P4P1, P1P5, P2P5, P3P5 P4P5. 5. Dados dois pontos P e Q, encontre as coordenadas do ponto me´dio do segmento definido por esses pontos quando: (a) estes pontos sa˜o considerados sobre a reta real. (b) estes pontos sa˜o considerados sobre um plano. (c) estes pontos sa˜o considerados no espac¸o. 6. Seja r > 0 um nu´mero real: (a) Fixado um ponto P na reta, exiba os pontos da reta que esta˜o a uma distaˆncia r de P . Que figura representa? Qual a representac¸a˜o anal´ıtica deste conjunto de pontos. (b) Fixado um ponto P no plano, exiba os pontos do plano que esta˜o a uma distaˆncia r de P . Que figura representa? Qual a representac¸a˜o anal´ıtica deste conjunto de pontos. (c) Fixado um ponto P no espac¸o, exiba os pontos do espac¸o que esta˜o a uma distaˆncia r de P . Que figura representa? Qual a representac¸a˜o anal´ıtica deste conjunto de pontos. 7. Determine a extremidade da seta que representa o vetor ~v = (3,−7) sabendo que sua origem e´ o ponto A = (2, 1). 8. Dado B = (3, 4) e sendo ‖ ~AB‖ = 2, qual e´ o valor ma´ximo que a primeira coordenada de A pode assumir? E o mı´nimo? 9. Encontrar um vetor: (a) com a mesma direc¸a˜o e sentido de ~v = (3, 4) e mo´dulo igual a 6. 1 (b) Com a mesma direc¸a˜o e sentido contra´rio ao vetor ~v = (−1, 2) e mo´dulo igual a 5. 10. Encontrar nu´meros k1 e k2 tais que ~v = k1~u + k2 ~w, onde (a) ~v = (2, 3), ~u = (−1, 2) e ~w = (1, 2). Encontrar essas constantes significa dizer que o vetor ~v e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores ~u e ~w. (b) Mostre que qualquer vetor ~v = (x, y) pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de ~u e ~w. Dizemos que ~u e ~w geram todo o espac¸o vetorial R2. 11. Represente graficamente os vetores da forma (2, 4) + t(3,−1), onde t e´ um nu´mero real. 12. Dados A = (1, 3) e B = (2, 2), determine x para que a reta definida pelo ponto me´dio de AB e o ponto X = (x, 0) seja paralela ao vetor ~v = (1, 2). 13. Sejam A = (0, 0), B = (1, 0) e C = (1, 1). (a) esboce estes pontos no sistema de coordenadas cartesianas e observe que eles na˜o sa˜o colineares; isto e´, na˜o pertencem a uma mesma reta. (b) Como na˜o sa˜o colineares, os treˆs pontos podem ser considerados ve´rtices de um paralelogramo. Quantas possibilidades existem para o quarto ve´rtice D deste paralelogramo. (c) Encontre as coordenadas de D em todos os casos que voceˆ identificou no item anterior. (d) Resolva o problema anterior usando o software de geometria dinaˆmica Geogebra (o download do programa pode ser feito a partir do site oficial http://www.geogebra.org/cms/en/download/), e confira a resposta que voceˆ obteve naquela ocasia˜o. 14. Considere um cubo de lado a e seja T o triaˆngulo que tem como lados um lado do cubo, uma diagonal da face e uma diagonal do cubo: (a) Esboce este triaˆngulo. (b) Se ~v, ~u e ~w sa˜o, respectivamente, os vetores que representa a diagonal da face, o lado e a diagonal do cubo mostre gra´fica e analiticamente que ~w = ~v + ~u. 2