AULA 03 - ESTATISTICA - ICMS SP

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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 1 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
AULA 3 
 
 
 
VII MEDIDAS SEPARATRIZES ................................................................................................................ 3 
 
 
VIII FORMAS DE APRESENTAÇÃO DOS DADOS AGRUPADOS EM CLASSES........................... 53 
 
1 Histograma.............................................................................................................................................. 53 
 
2 Polígono de freqüências.......................................................................................................................... 67 
 
IX ASSIMETRIA ............................................................................................................................................ 69 
 
1 Noções de assimetria............................................................................................................................... 69 
 
2 Formas da curva de freqüência. ............................................................................................................. 73 
 
LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSOS ................................................................................................... 82 
 
 
GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSOS ......................................................................................... 99 
 
 
ANEXO .............................................................................................................................................................. 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 2 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
Antes da matéria nova, vamos às correções. 
 
Eu mando as aulas para o Ponto, que dá uma última formatada no arquivo, passa para 
pdf, e disponibiliza no site. Assim, pode ser que a numeração de página que eu vou 
indicar seja ligeiramente diferente da que vocês têm aí. 
 
O erro foi na página 5 da aula 2. Eu escrevi: 
 
Como regra geral, se tivermos ‘n’ elementos, podemos dizer que: 
 
n 
∑ f i = n 
i =1 
 
Para o caso acima, ‘n’ vale 10 (são dez salários pesquisados). Então, ficamos com: 
 
10 
∑ f i = ? 
i 1= 
 
O que significa mesmo a expressão acima? Significa que queremos somar valores (pois 
há um símbolo de somatório). Que valores? Valores de if (freqüência absoluta simples). 
 
Quais valores de f i ? Aqueles para os quais ‘i’ vai de 1 até 10. 
 
10 
∑ f i = 
i 1= 
 
 
f1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f8 + f 9 + f10 
 
 
10 
∑ f i = 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10 
i 1= 
 
 
 
Mas o correto seria: 
 
Como regra geral, se tivermos ‘n’ elementos, podemos dizer que: 
 
∑ f i = n 
 
Para o caso acima, ‘n’ vale 10 (são dez salários pesquisados). Então, ficamos com: 
 
∑ f = n 
i 
 
O que significa mesmo a expressão acima? Significa que queremos somar valores (pois 
há um símbolo de somatório). Que valores? Valores de 
if (freqüência absoluta simples). 
 
Quais valores de 
 
de 1 até 7). 
f i ? Como são 7 valores de 
 
X i , temos 7 valores de 
 
f i (ou seja, ‘i’ vai 
 
 
7 
∑ f i = 
i 1= 
 
 
f1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 
 
 
7 
∑ f i = 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10 
i 1= 
 
 
 
Vamos analisar com calma o erro cometido. 
 
Se são ‘n’ elementos e se somarmos todas as freqüências, realmente o valor da soma 
será igual a n. 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 3 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
No exemplo acima, onde temos 10 elementos, somando todas as freqüências obtemos, 
de fato, o número 10. 
 
Então qual o problema? 
 
O problema é que temos 10 elementos (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7), mas não temos dez 
valores de X i . Temos apenas 7. São eles: 
 
X 1 = 1; 
 
X 2 = 2 ; 
 
X 3 = 3 , 
 
X 4 = 4 , 
 
X 5 = 5 , 
 
X 6 = 6 , 
 
X 7 = 7 
 
Consequentemente, temos sete valores de freqüência. São elas: 
 
f1 = 1 ; 
 
f 2 = 3 ; 
 
f 3 = 1 , 
 
f 4 = 2 , 
 
f 5 = 1 , 
 
f 6 = 1 , 
 
f 7 = 1 
 
10 
Portanto, na hora de somar todos os valores de freqüência, não podemos escrever ∑ f i . 
i =1 
Esta simbologia significa que queremos somar dez valores de freqüência. Mas não há dez 
valores de freqüência. Há apenas 7. 
 
Então, para somar todos os valores de freqüência, neste caso, deveríamos escrever: 
 
7 
∑ f i = ? 
i 1= 
 
E o resultado seria: 
 
7 
∑ f i = 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10 
i 1= 
 
 
 
A correção a ser feita na aula passada é essa. Na hora de somar todas as freqüências, ‘i’ 
vai de 1 até 7. 
 
Vamos à matéria de hoje! 
 
 
 
VII MEDIDAS SEPARATRIZES 
 
Medidas separatrizes são medidas que separam os dados de formas bem específicas. 
 
Uma medida separatriz que nós já estudamos é a mediana. Quando a vimos pela 
primeira vez, dissemos que ela era uma medida de tendência central. Ela, assim como a 
média e a moda, fornece pontos em torno dos quais os dados “giram”. 
 
Além de ser uma medida de tendência central, ela também é uma medida separatriz. 
Isto porque ela separa os dados de uma forma bem específica. Sendo a mediana o termo 
do meio, ela deixa metade dos dados à sua esquerda e a outra metade à sua direita. 
 
O nosso ROL do começo do curso (pesquisa salarial no bairro Nova Vila) era: 1, 2, 2, 2, 
3, 4, 4, 5, 6, 7. 
 
A mediana foi calculada com sendo 3,5. 
 
Ora, temos 5 valores menores que 3,5 (são eles: 1, 2, 2, 2, 3). E temos outros 5 valores 
maiores que 3,5 (4, 4, 5, 6, 7). 
Por isto a mediana é uma medida separatriz. Ela separa os dados em duas partes iguais. 
E esta foi a única medida separatriz que nós vimos. 
 
Outra medida separatriz é o quartil. São três quartis, dividindo a seqüência de dados em 
quatro partes iguais (em quatro partes com o mesmo número de termos). 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 4 
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O primeiro quartil separa a seqüência de dados de forma que à sua esquerda fiquem 
25% dos valores e à sua direita 75%. Assim, o primeiro quartil é o valor que não é 
superado por 25% das observações. 
 
O segundo quartil coincide com a mediana, deixando 50% dos valores de cada lado. 
 
O terceiro quartil deixa à sua esquerda 75% dos valores e à sua direita 25%. Logo, o 
terceiro quartil é o valor que não é superado por 75% das observações. 
 
 
Outra medida separatriz é o decil. São nove decis que dividem a série em dez
partes 
iguais. 
 
O primeiro decil deixa à sua esquerda 10% dos valores; à sua direita 90% (ou seja, não 
é superado por 10% das observações). O segundo decil deixa à sua esquerda 20% dos 
valores; à sua direita 80%. E assim por diante. 
 
O quinto decil coincide com a mediana, deixando 50% dos valores de cada lado. 
 
 
A última medida separatriz que veremos é o percentil. O primeiro percentil deixa à sua 
esquerda 1% dos valores e à sua direita 99% (ou seja, não é superado por 1% das 
observações). O segundo percentil deixa à sua esquerda 2% dos valores e à sua direita 
98%. E assim por diante. O qüinquagésimo percentil coincide com a mediana, deixando 
50% dos valores de cada lado. 
 
 
Então, resumindo as medidas separatrizes que estudaremos, temos: a mediana, os 
quartis, os decis, os percentis. 
 
 
Quando os dados estão em ROL ou agrupados por valor, o cálculo das medidas 
separatrizes pode ser meio complicado. 
 
Para a mediana, nós vimos que bastava identificar o termo central. Ou, caso o conjunto 
tivesse um número par de termos, bastava identificar os dois termos centrais e fazer a 
média. 
 
Para as demais medidas, a maneira de calcular varia bastante. Costumo dizer que “vai do 
gosto do freguês”. Talvez por isso dificilmente caia em prova. Em seguida, veremos 
alguns exercícios de concursos, tirados de provas específicas para a área de estatística. 
Antes, vamos ver um exemplo. Neste ponto específico, vou utilizar a mesma idéia 
apresentada no livro “Estatística Aplicada à Economia, Administração e Contablidade”, 
dos autores John Freund e Gary Simon. Os autores trabalham com um exemplo 
envolvendo quartis, demonstrando que “há vasto campo para a arbitrariedade na 
definição do quartil inferior Q1 e do quartil superior Q3”. 
 
Então é isso. O exemplo abaixo é uma adaptação dos exemplos do livro citado. 
 
 
 
Estamos pesquisando as alturas das crianças de uma escola. 
 
Selecionamos doze crianças. Medimos suas alturas, obtendo o seguinte rol (valores em 
metros): 
 
1,40; 1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56. 
 
 
São doze valores. Se vamos dividir o ROL em quatro partes iguais, cada parte terá três 
elementos. Ficaremos com: 
 
 
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1,40; 1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56 
 
 
 
Acima temos as quatro partes de três elementos. Portanto, quatro partes iguais. 
 
Neste exemplo, uma forma de determinar os quartis poderia ser a que segue: tomamos 
os números que ficam perto das “fronteiras” entre as partes e fazemos a média entre 
eles. 
 
A primeira parte termina no 1,44. A segunda parte começa no 1,45. Fazendo a média 
 
entre eles temos: 
 
 ,1 44 + ,1 45 = ,1 445 2 
 
Assim, o primeiro quartil seria 1,445 (
 1
Q 
 
= ,1 445 ). 
 
A segunda parte termina no 1,47. A terceira parte começa no 1,49. Fazendo a média 
 
entre eles temos: 
 
 ,1 47 + ,1 49 = ,1 48 2 
 
O segundo quartil (que coincide com a mediana) é 1,48 ( Q2 = ,1 48 ). 
 
A terceira parte termina no 1,52. A quarta parte começa no 1,53. Fazendo a média entre 
eles temos: 
 
1 
52, 
 
 
 
+ 1 53, = 1 525, 2 
 
E o terceiro quartil é igual a 1,525 (
 3
Q 
 
= 1 525, ). 
 
Pronto, descobrimos os três quartis. Três valores que separam a série de dados em 
quatro partes iguais. 
 
 
1,40; 1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56 
 
 
Q1=1,445 Q2=1,48 Q3=1,525 
 
 
Agora vamos mudar a situação. Em vez de 12 crianças, medimos altura de apenas 11. A 
criança mais baixa, com 1,40, não foi analisada. O novo ROL, com 11 termos, fica: 
 
1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56. 
 
E agora? 11 não é múltiplo de 4. Como separar a seqüência em quatro partes iguais? Bom, 
o segundo quartil sempre coincide com a mediana. Agora temos um número ímpar de 
elementos. Há um termo do meio, que é o sexto. A mediana é igual a 1,49. Portanto, o 
segundo quartil também é igual a 1,49. 
O problema é achar os demais quartis. 
Neste caso, podemos pensar que: 
 
· à direita do primeiro quartil existem três vezes mais termos que à sua esquerda; à 
esquerda do terceiro quartil existem três vezes mais termos que à sua direita; 
 
· o número de elementos entre Q1 e Q2 é igual ao número de elementos à esquerda de 
Q1, que é igual ao número de elementos à direita de Q3; 
 
· metade dos dados está entre Q1 e Q3. 
 
 
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Quando a seqüência tinha 12 termos (múltiplo de quatro) todas estas propriedades 
foram satisfeitas (pode conferir). 
 
Agora, quando a seqüência tem apenas 11 termos, não é possível fazer com que todas 
sejam observadas ao mesmo tempo. 
 
Adotando a segunda propriedade, poderíamos determinar os quartis do seguinte modo: 
 
 
1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56 
 
 
Q1=1,45 Q2=1,49 Q3=1,53 
 
Mas observe que as demais propriedades não foram satisfeitas. 
 
Pois bem, este mesmo problema enfrentado com os quartis acontece com todas as 
demais medidas separatrizes (decis e percentis). Foi por isso que não estudamos as 
medidas separatrizes nas aulas anteriores, quando vimos dados em ROL e agrupados por 
valor. 
 
Talvez, devido a este tipo de problema, não seja comum a cobrança de tais medidas em 
provas de concursos (para dados em ROL ou agrupados por valor). 
 
No caso específico de quartis, ainda se vê cobrança vez ou outra (seguem exemplos na 
seqüência, tirados de provas voltadas para a área de estatística). E o método que se 
costuma utilizar para determinar o valor dos quartis é sempre o mesmo e acaba 
correspondendo à aplicação da segunda propriedade. O segundo quartil divide a 
seqüência em duas partes iguais. Consideramos que o primeiro quartil é a mediana da 
primeira parte. E o terceiro quartil é a mediana da segunda parte. 
 
 
 
 
EC 1 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS 
 
 
AFC/CGU - 2008. Área: Estatística e cálculos atuariais. [ESAF] 
 
[Conjunto de dados da questão anterior: 58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 
73, 5 e 56]. 
 
Dado o conjunto de dados da questão anterior, determine a amplitude interquartilica Q3 
– Q1. 
a) 33. 
b) 37. 
c) 40. 
d) 46. 
e) 51. 
 
 
 
Vamos obter o ROL. 
 
ROL: 5, 9, 12, 17, 21, 28, 31, 44, 56, 57, 58, 63, 73, 88, 95. 
 
 
 
Amplitude interquartílica ou intervalo interquartil nada mais é que a diferença entre o 
terceiro quartil ( 3Q ) e o primeiro 
quartil 
( 1Q ) . 
 
Este conceito é muito importante, pois não são raras as questões que exigem seu 
conhecimento. 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 7 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
Amplitude interquartílica (ou intervalo interquartílico): 
Diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil. 
 
 
 
Vamos encontrar os quartis Q3 e Q1. 
 
O primeiro quartil é o valor que deixa à sua esquerda 25% dos dados e à sua esquerda 
75%. 
O terceiro quartil é o valor que deixa à sua esquerda 75% dos dados e à sua direita 25%. 
Só que a série tem 15 dados. 25% de 15 é um número quebrado. Da mesma forma, 
75% de 15 também não é um número inteiro. Como fazer? 
 
Nestes casos, como já dissemos, há diferentes formas de se encontrar os quartis. Vai “do 
gosto do freguês”. A forma necessária para resolver a questão era: 
 
 
 
Primeiro: encontramos a mediana. 
 
A mediana deste conjunto nós já calculamos na
aula 1, em que resolvemos um outro 
exercício da mesma prova. Foi lá no EC 17. A mediana é 44. A mediana separa os dados 
em duas partes iguais (com sete termos cada uma). 
Segundo: assumimos que o primeiro quartil é a mediana da primeira parte. 
A primeira parte tem os seguintes termos: 
 
5, 9, 12, 17, 21, 28, 31. 
São sete termos. O do meio é o quarto (=17). 
O primeiro quartil é igual a 17. 
 
Q1 = 17 
 
 
Terceiro: assumimos que o terceiro quartil é a mediana da segunda parte. 
A segunda parte tem os seguintes termos: 
 
56, 57, 58, 63, 73, 88, 95 
São sete termos. O do meio é o quarto. 
O terceiro quartil é 63. 
 
Q3 = 63 
 
A amplitude interquartílica fica: 
 
Q3 −
 1
Q 
 
= 63 − 17 = 46 
 
 
 
Resposta: D 
 
 
 
Mais um exemplo: 
 
 
EC 2 
 
Analista CVM 2001 [ESAF] 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 8 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Uma firma distribuidora de eletrodomésticos está interessada em estudar o 
comportamento de suas contas a receber em dois meses consecutivos. Com este 
objetivo, seleciona, para cada mês, uma amostra de 50 contas. As observações 
amostrais constam da tabela seguinte: 
Valor (R$) Freqüência de março Freqüência de abril 
1.000,00 6 10 
3.000,00 13 14 
5.000,00 12 10 
7.000,00 15 13 
9.000,00 4 - 
11.000,00 - 3 
 
Assinale a opção que corresponde ao intervalo interquartílico, em reais, para o mês de 
março. 
a) 3.250,00 
b) 5.000,00 
c) 4.000,00 
d) 6.000,00 
e) 2.000,00 
 
 
Intervalo interquartílico corresponde à diferença entre o terceiro quartil e o primeiro 
quartil. 
 
 
 
 
Valor (R$) Freqüência de março Freqüência acumulada de março 
1.000,00 6 6 
3.000,00 13 19 
5.000,00 12 31 
7.000,00 15 46 
9.000,00 4 50 
 
Vamos encontrar a mediana. 
São 50 termos. Temos dois elementos centrais: o 25º e o 26º. 
O 19º termo é igual a 3.000. 
O 20º, o 21º, o 22º, .... e o 31º termo são iguais a 5.000. Portanto, 
o 25º e o 26º termos são iguais a 5.000. A mediana fica: 
 
D = 5.000 
 
A mediana divide o conjunto de dados em duas partes. A primeira parte tem 25 termos. 
O termo do meio é o 13º. 
 
O 13º termo é igual a 3.000. Assumimos que a mediana da primeira parte é o primeiro 
quartil. 
 
Q1 = 3.000 
 
A segunda parte tem 25 termos. O do meio é o 13º. 
 
O 1º termo da segunda parte é o 26º termo da seqüência inteira. 
Portanto, o 13º termo da segunda parte é o 38º termo da seqüência inteira. 
O 38º termo é igual a 7.000. 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 9 
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Vamos assumir que a mediana da segunda parte corresponde ao terceiro quartil. 
 
Q3 = 7 000. 
 
Logo, o intervalo interquartil fica: 
 
Q3 −
 1
Q 
 
= 7 
000. 
 
− 3 
000. 
 
= 4 000. 
 
Resposta: C. 
 
 
Pronto. Vimos exemplos de exercícios de cálculo de medidas separatrizes para dados em 
ROL e dados agrupados por valor. Pelas dificuldades já comentadas, acaba sendo um 
assunto pouco cobrado. De qualquer modo, faço alguns comentários adicionais em 
anexo. 
 
O que realmente cai em prova, e cai bastante, é o cálculo de medidas separatrizes para 
dados agrupados em classes. Eu diria que, de toda a estatística descritiva, este é o 
assunto mais importante, justamente porque é o mais cobrado em concursos. 
 
A representação dos dados na forma “agrupados em classes” é comum quando o número 
de observações é muito grande. Nestas situações, os problemas que vimos na 
determinação das medidas separatrizes tornam-se irrelevantes. Especialmente 
considerando-se que nem acesso a todos os dados nós temos (ou seja, obrigatoriamente 
considerações têm que ser feitas). Quando os dados estão agrupados em classes, não há 
mais “vasto campo de arbitrariedade” na determinação dos quartis (ou dos decis, ou dos 
percentis). O método é sempre o mesmo. 
 
Para resolver exercícios de medidas separatrizes para dados agrupados em classes, 
utilizamos interpolação linear. Vai funcionar mais ou menos assim. 
 
Precisamos trabalhar com valores de freqüências acumuladas (não importa se absolutas 
ou relativas, importa que sejam acumuladas). Neste ponto a conta é diferente de média 
e moda. Lembram? Para média e moda sempre usamos freqüências simples. Para 
medidas separatrizes (incluindo mediana) é o contrário: freqüências acumuladas. 
 
Para determinados valores de freqüências acumuladas, saberemos muito bem quais os 
valores da nossa seqüência de dados são correspondentes. Para outros, não. Estes 
outros valores nós determinaremos por meio da interpolação linear. 
 
Novamente: se tivéssemos que apontar um tópico de estatística descritiva como o mais 
cobrado em concursos, seria exatamente este. O cálculo de medidas separatrizes para 
dados agrupados em classes utilizando interpolação linear. Vamos a alguns exercícios 
para ver como fica. 
 
 
EC 3 
AFRF – 2003 [ESAF] 
Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. 
Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral de X 
que não é superado por cerca de 80% das observações. 
a) 10.000 
 
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b) 12.000 
c) 12.500 
d) 11.000 
e) 10.500 
 
 
Questão da ESAF. A pergunta pode ser resumida como: qual o valor do oitavo decil? Ou 
seja, quer se saber qual valor deixa à sua esquerda 80% dos dados. Ou ainda, qual valor 
não é superado por 80% das observações. 
 
O primeiro passo é verificar se as freqüências dadas são acumuladas. Para medidas 
separatrizes, sempre devemos utilizar freqüências acumuladas. Não importa se forem 
absolutas ou relativas. Basta que sejam acumuladas. Lembre que aqui é o contrário do 
cálculo para média e moda. Para média e moda sempre utilizamos freqüências simples. No 
caso, o exercício já deu as freqüências acumuladas. Não temos que fazer nenhuma 
transformação. 
 
Antes de responder à pergunta, vamos relembrar um pouco do significado de uma tabela 
de freqüências acumuladas. Observe a linha em vermelho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O que ela significa? 
 
 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
 
 
O que significa dizer que a freqüência acumulada da classe 8.000 – 10.000 é igual a 77? 
Significa que temos 77 valores de X nesta classe ou nas classes anteriores. Significa que 
temos 77 valores de X entre 2.000 e 10.000. 
 
E se a pergunta fosse: qual o valor que não é superado por 77% das observações? Se a 
pergunta fosse essa, não precisaríamos fazer nenhuma conta. Bastaria olhar direto na 
tabela. 
 
Se 77 valores de X estão entre 2.000 e 10.000, concluímos que o valor de X que não é 
superado por 77% das observações é justamente 10.000. 
 
 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
 
O valor 10.000 não é superado por 77% 
observações 
 
 
E se a pergunta fosse: qual o valor não
é superado por 89% das observações? 
Novamente, não precisaríamos fazer nenhuma conta. Bastaria olhar na tabela. Veja a 
linha em vermelho. 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 11 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
Temos 89 valores entre 2.000 e 12.000. Ou seja, 12.000 não é superado por 89% das 
observações. 
 
 
Classes Freqüências 
Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
 
O valor 12.000 não é superado por 89% 
observações 
 
O problema é que a pergunta foi qual o valor não é superado por 80% das observações. 
E na coluna de freqüências acumuladas não temos o valor 80. Logo, não temos como 
saber qual é o valor de X que não é superado por 80% das observações. 
 
O que faremos? Vamos “chutar”. Vamos fazer uma consideração. Vamos considerar que o 
gráfico dos valores de freqüências acumuladas versus valores de X se comporta como um 
conjunto de segmentos de reta. 
 
Neste curso nós não vamos ficar desenhando gráficos de segmentos de reta. Vamos só 
utilizar o resultado destes gráficos. 
 
 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
 
Sabemos que o valor 10.000 corresponde a uma freqüência acumulada de 77. Sabemos 
que o valor 12.000 corresponde a uma freqüência acumulada de 89. A pergunta é: quem 
corresponde a 80? (vamos chamar de Z) 
 
Sabemos que 80 está entre 77 e 89. Portanto, o valor que a ele corresponde tem que 
estar entre 10.000 e 12.000. 
 
 
 
 
10.000 77 10.000 corresponde a 77 
Z = ? 80 Quem corresponde a 80? 
12.000 89 12.000 corresponde a 89 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 12 
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Na interpolação linear, nós vamos fazer o seguinte. Fazemos a segunda linha menos a 
primeira. Fazemos a terceira linha menos a primeira. 
Primeira linha 10.000 77 
Segunda linha Z 80 
Terceira linha 12.000 89 
 
 
 
Subtraindo, ficamos com: 
 
 
 
 
 
 
 
Z − 10.000 
12.000 − 10.000 
 
 
 
 
80 − 77 
89 − 77 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que as diferenças das linhas de baixo com a linha de cima 
são proporcionais. 
 
 Z − 10 000. = 80 − 77 12 
000. 
− 10 
000. 
89 − 77 
 
 
 
Isolando o Z, temos: 
 
 
Z = 10 000. 
 
 
Z = 10 500. 
 
+ 2 000. × 3 12 
 
 
Concluindo: O valor 10.500 não é superado por 80 observações. 
Resposta: letra E. 
 
 
Antes de passarmos para o próximo exercício, vamos mostrar graficamente o que foi 
feito. 
 
Para os dados fornecidos, podemos construir a seguinte tabela de freqüências 
acumuladas: 
 
 
Valores F 
2.000 0 
4.000 5 
6.000 16 
8.000 42 
10.000 77 
12.000 89 
14.000 100 
 
 
 
Podemos plotar estes valores num gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 13 
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100 
 
80 
 
60 
 
40 
 
20 
 
0 
0 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000 
 
Valores 
 
 
 
 
Ou seja, para alguns valores, sabemos exatamente as respectivas freqüências 
acumuladas. Mas não sabemos qual valor corresponde à freqüência acumulada 80 (ou 
qual o oitavo decil). 
 
Assim, supomos que o gráfico acima é composto por diversos segmentos de retas que 
unem os pontos conhecidos. 
 
 
 
100 
 
80 
 
60 
 
40 
 
20 
 
0 
0 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000 
 
Valores 
 
 
Com esta suposição, passamos a ter, para qualquer freqüência acumulada, a respectiva 
observação. E vice-versa. 
 
Esta suposição de que o gráfico é formado por segmentos de reta é justamente a 
interpolação linear. O gráfico acima é por vezes chamado de ogiva de Galton. E a 
interpolação linear acaba sendo chamada de interpolação da Ogiva. 
 
Mas estes são só nomes diferentes para a mesma coisa. 
 
Assim, em vez de resolvermos o exercício da forma como fizemos, poderíamos trabalhar 
diretamente com o gráfico. Mas como ficar desenhando gráfico é meio trabalhoso, vou 
fazer uma vez só. 
 
A pergunta é: qual valor corresponde à freqüência acumulada 80? 
 
 
 
 
 
 
 
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100 
 
80 
 
60 
 
40 
 
20 
 
0 
0 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000 
 
Valores 
Z=? 
 
 
 
 
Ou ainda: qual o valor de Z da figura acima? 
 
Vamos analisar apenas uma parte do gráfico. Vamos olhar apenas para o último 
segmento de reta. 
 
 
 
89 
 
 
86 
 
 
83 
 
 
80 
 
 
77 
10.000 12.000 
 
Z=? 
 
Valores 
 
 
 
 
Podemos visualizar dois triângulos no gráfico acima. O primeiro, menor, destacado em 
verde: 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 15 
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A altura deste triângulo é igual a 3 (=80-77). A base deste triângulo é igual a 
( Z − 10.000 ). 
 
Há um outro triângulo, maior, destacado em laranja: 
 
 
 
A altura deste triângulo maior é 12 (=89-77). 
Sua base é igual a 2.000 (=12.000 – 10.000). 
Esses dois triângulos são semelhantes. 
Portanto, a relação entre as alturas é igual à relação entre as bases. 
Assim: 
 
 base _ triangulo _ verde = altura _ triangulo _ verde base _ triangulo _ laranja 
 
Z − 10 000. = 3 
altura _ triangulo _ laranja 
 
 
 
2 000. 12 
 
E foi exatamente desta igualdade que partimos para resolver o problema. Ou seja, esta 
igualdade nada mais é que o resultado da semelhança de triângulos, triângulos estes 
obtidos por causa da interpolação linear. 
 
Aqui no curso on line, acho que não é muito proveitoso ficar resolvendo os exercícios 
diretamente no gráfico. Portanto, nos próximos exercícios de concursos, faremos o 
primeiro procedimento visto, achando as três linhas, subtraindo as duas de baixo pela de 
cima. 
 
 
EC 4 
AFRF/2002-2 [ESAF] 
 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências 
seguinte: 
 
Classes Freqüência ( f ) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
 
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89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. 
a) 71,04 
b) 65,02 
c) 75,03 
d) 68,08 
e) 70,02 
 
 
 
Questão da ESAF. 
 
A pergunta é: qual a mediana? Ou seja, temos que calcular o valor que deixa à sua 
esquerda 50% das observações. Ou ainda: o valor que não é superado por 50% das 
observações. 
 
Antes de começar qualquer conta, vejamos as freqüências fornecidas. São freqüências 
simples. 
 
Temos que passá-las para freqüências acumuladas. 
 
 
Classes Freqüência simples 
( f ) 
 
 
Freqüência acumulada 
(F) 
29,5-39,5
4 4 
39,5-49,5 8 12 
49,5-59,5 14 26 
59,5-69,5 20 46 
69,5-79,5 26 72 
79,5-89,5 18 90 
89,5-99,5 10 100 
 
 
 
Não temos o valor 50 na coluna de freqüências acumuladas. 
 
E se a pergunta fosse: qual o valor que não é superado por 46 observações? A resposta 
seria: 69,5. Sem fazer contas. Basta a leitura da tabela. 
 
Se a pergunta fosse: qual o valor que não é superado por 72 observações? A resposta 
seria: 79,5. Também, sem contas. 
 
 
Classes Freqüência acumulada 
(F) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 12 
49,5-59,5 26 
59,5-69,5 46 
69,5-79,5 72 
79,5-89,5 90 
89,5-99,5 100 
 
Mas a pergunta é sobre o valor que não é superado por 50 observações. Este dado não 
tem na tabela. Mas sabemos que 50 está entre 46 e 72. Portanto, o valor procurado está 
entre 69,5 e 79,5. 
 
 
69,5 46 69,5 corresponde a 46 
Z 50 Quem corresponde a 50? 
79,5 72 79,5 corresponde a 72 
 
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Primeira linha 69,5 46 
Segunda linha Z 50 
Terceira linha 79,5 72 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
Z − 69 5, 
 
 
 
 
50 − 46 
79 5, − 69 5, 72 − 46 
 
Essas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 69 5, = 50 − 46 79 5, − 69 5, 72 − 46 
 
 
Z = 69 5, 
 
 
+ 10 × 4 � 71 04, 
26 
 
Resposta: A. 
 
Para fugir do denominador 26, dava para aproximar a fração. Ficaria assim: 
 
 
Z = 69 5, 
 
 
+ 10 × 4 � 69 5, 
26 
 
+ 10 × 4 = 69 5, 
25 
 
+ 8 = 69 5, 
5 
 
 
+ 1 6, 
 
 
 
= 7110, 
 
 
Quando trocamos o denominador 26 por 25, nós aumentamos um pouco o valor de Z. 
Portanto, Z é, na verdade, um pouco menor que 71,10. 
 
 
 
Vejamos a questão a seguir, ligeiramente diferente. 
 
 
EC 5 
 
Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 [FCC] 
 
Considere a tabela abaixo que mostra a distribuição de salários (em reais) de 160 
funcionários de determinada empresa, com suas respectivas freqüências relativas 
acumuladas. 
 
Classes em reais Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
Utilizando a interpolação linear, o número de funcionários que ganham salários menores 
ou iguais a R$ 1.700,00 é: 
a) 96 
b) 84 
c) 72 
d) 64 
e) 56 
 
 
E se a pergunta fosse qual o valor de freqüência acumulada corresponde a 1.400? Neste 
caso, não precisaríamos fazer contas. A resposta seria 30%. 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 18 
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E se a pergunta fosse: qual o valor de freqüência acumulada corresponde a 1.800? 
Também não precisaríamos de contas. A resposta seria 70%. 
 
 
Classes em reais Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
 
 
Só que queremos saber o valor de freqüência acumulada que corresponde a 1.700. 
Sabemos que 1.700 está entre 1.400 e 1.800. Logo, o valor de freqüência acumulada 
correspondente deve estar entre 30% e 70%. 
 
 
 
 
1.400 30% 1.400 corresponde a 30% 
1.700 W 1.700 corresponde a quem? 
1.800 70% 1.800 corresponde a 70% 
 
 
Primeira linha 1.400 30% 
Segunda linha 1.700 W 
Terceira linha 1.800 70% 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
1.700 − 1.400 
 
 
 
 
W − 0 3, 
1.800 − 1.400 0 7, − 0 3, 
 
Fazendo as razões: 
 
1 
700. 
 
 
− 1 400. = 
 
W − 0 3, 
 
1 
800. 
− 1 
400. 
0 7, − 0 3, 
 
Isolando o W: 
 
W = ,0 4 × 300 + 0 
3, 400 
 
 
 
 
= 0 6, 
 
 
Ou seja, sabemos que a freqüência acumulada correspondente a 1.700 é de 60%. O que 
isso significa? Que 60% das pessoas ganham R$ 1.700,00 ou menos. 
 
Como foram entrevistados 160 funcionários, temos: 
 
 60 ×160 = 96 
100 
 
96 funcionários ganham R$ 1.700 ou menos. 
 
 
 
Resposta: A. 
 
 
 
 
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PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
EC 6 
 
Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 [FCC] 
 
Considere a tabela abaixo que mostra a distribuição de salários (em reais) de 160 
funcionários de determinada empresa, com suas respectivas freqüências relativas 
acumuladas. 
 
Classes em reais Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
 
O valor absoluto da diferença entre a mediana, obtida por interpolação linear, e a média 
aritmética dos salários, em reais, é [considere que você já sabe que a média é 1580]: 
a) 20 
b) 80 
c) 100 
d) 200 
e) 300 
 
 
A média desta seqüência de dados nós já achamos. Ela vale 1580 (ver EC 4 da aula 
passada). 
 
Passemos à mediana de X. 
Classes em reais Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
 
 
 
Podemos montar o seguinte quadro: 
 
 
1400 30% 1400 corresponde a 30% 
D 50% Quem corresponde a 50%? 
1800 70% 1800 corresponde a 70% 
 
Olha como a questão veio generosa. 50% está exatamente no meio, entre 30% e 70%. 
Consequentemente, a mediana (=D) estará bem no meio entre 1400 e 1800. 
 
D = 1400 + 1800 = 1600 2 
 
De todo modo, vamos manter o procedimento de sempre. 
 
 
Primeira linha 1400 30% 
Segunda linha D 50% 
Terceira linha 1800 70% 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 20 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
Fazendo as razões: 
 
 D − 1400 = 50 − 30 
 
 
 
 
 
D − 1400 
1800 − 1400 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 − 30 
70 − 30 
 
 
 
 
 
1800 − 1400 
 
Isolando o D: 
70 − 30 
 
 
 
D = 400 × 20 + 1400 = 1600 
40 
 
A diferença entre a mediana e a média é: 
 
D − X 
 
= 1600 − 1580 = 20 
 
Resposta: A. 
 
 
 
EC 7 
 
Fiscal ICMS/PA – 2002 [ESAF] 
 
A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a 
uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do 
departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com 
as extremidades das classes salariais. 
 
Classes F 
29,5 – 39,5 2 
39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 13 
59,5 – 69,5 23 
69,5 – 79,5 36 
79,5 – 89,5 45 
89,5 – 99,5 50 
 
Assinale a opção que corresponde ao valor z, obtido por interpolação da ogiva, que, 
estima-se, não é superado por 80% das realizações de Y. 
a) 82,0 
b) 80,0 
c) 83,9 
d) 74,5 
e) 84,5 
 
 
As freqüências fornecidas são acumuladas. Como o problema é de medidas separatrizes, 
não precisamos fazer nenhuma transformação. 
 
O valor Z que não é superado por 80% das observações é o oitavo decil. Ou ainda, o 80º 
percentil. 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 21 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
São 50 observações ao todo. Como sabemos disto? Basta ver a última linha de 
freqüência acumulada. Lembrem-se de que o último valor de freqüência acumulada é 
sempre igual a n. Portanto, n = 50 . São 50 valores na amostra. 
 
80% de 50 é igual a 40. Assim, queremos saber qual o valor Z que não é superado por 
40 observações. 
 
Se a pergunta fosse sobre o valor que não é superado por 45 observações, não 
precisaríamos fazer conta. A resposta seria 89,5. Bastava consultar a tabela fornecida. 
 
Se a pergunta fosse qual o valor que não é superado por 36 observações, também 
bastaria consulta direta à tabela. A resposta seria 79,5. 
 
Mas
a pergunta foi qual o valor que não é superado por 40 observações. E 40 não tem na 
nossa coluna de freqüência acumulada. Vamos, portanto, fazer a interpolação linear. 
Classes F 
29,5 – 39,5 2 
39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 13 
59,5 – 69,5 23 
69,5 – 79,5 36 
79,5 – 89,5 45 
89,5 – 99,5 50 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
79,5 36 79,5 corresponde a 36 
Z 40 Quem corresponde a 40??? 
89,5 45 89,5 corresponde a 45 
 
 
 
 
Primeira linha 79,5 36 
Segunda linha Z 40 
Terceira linha 89,5 45 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
Z – 79,5 40 – 36 
89,5 – 79,5 45 - 36 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 79 5, = 40 − 36 89 5, − 79 5, 45 − 36 
 
Z − 79 5, = 4 10 9 
 
Z = 40 + 79 5, 
9 
 
Resposta: C. 
 
 
= 83 944, 
 
 
 
 
Para fugir do denominador 9 dava para aproximar a fração. 
 
Z = 40 + 79 5, 
9 
 
� 40 + 79 5, 
10 
 
 
= 83 5, 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 22 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Quando nós trocamos o denominador 9 por 10, nós diminuímos um pouco o valor de Z. 
Portanto, na verdade, Z é um pouco maior que 83,5. 
 
 
 
 
EC 8 
 
Fiscal ICMS PI - 2001 [ESAF] 
 
A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência obtida de uma amostra aleatória dos 
salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são acumuladas. 
Classes de salário Freqüências 
5.000 – 6.500 12 
6.500 – 8.000 28 
8.000 – 9.500 52 
9.500 – 11.000 74 
11.000 – 12.500 89 
12.500 – 14.000 97 
14.000 – 15.000 100 
 
Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é 
ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa 
estimativa. 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 9.500,00 
c) R$ 12.500,00 
d) R$ 11.000,00 
e) R$ 11.500,00 
 
 
As freqüências fornecidas são acumuladas. Como o problema é de medidas separatrizes, 
não precisamos fazer nenhuma transformação. 
 
O valor Z que não é superado por 79% das observações é o 79º percentil. 
 
São 100 observações ao todo. Como sabemos disto? Basta ver a última linha de 
freqüência acumulada. Lembrem-se de que o último valor de freqüência acumulada é 
sempre igual a n. Portanto, n = 100 . São 100 valores na amostra. 
 
79% de 100 é igual a 79. Assim, queremos saber qual o valor Z que não é superado por 
79 observações. 
 
Se a pergunta fosse qual o valor que não é superado por 74 observações, não 
precisaríamos fazer conta. A resposta seria 11.000. Direto, sem fazer contas. Bastava 
consultar a tabela fornecida. 
 
Se a pergunta fosse qual o valor que não é superado por 89 observações, também 
bastaria consulta direta à tabela. A resposta seria 12.500. 
 
Mas a pergunta foi qual o valor que não é superado por 79 observações. E 79 não tem na 
nossa coluna de freqüência acumulada. Vamos, portanto, fazer a interpolação linear. 
 
 
Classes de salário Freqüências 
5.000 – 6.500 12 
6.500 – 8.000 28 
8.000 – 9.500 52 
9.500 – 11.000 74 
11.000 – 12.500 89 
12.500 – 14.000 97 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 23 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
14.000 – 15.000 100 
 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.000 74 11.000 corresponde a 74 
Z 79 Quem corresponde a 79??? 
12.500 89 12.500 corresponde a 89 
 
Antes de continuarmos as contas, olha só que interessante. 79 está entre 74 e 89. 
Portanto, o número que corresponde a 79 (que estamos chamando de Z) está entre 
11.000 e 12.500. 
 
Pronto. Só aí já eliminamos as alternativas A, B, C e D. A resposta só pode ser letra E. 
 
 
 
Continuando com a resolução: 
Primeira linha 11.000 74 
Segunda linha Z 79 
Terceira linha 12.500 89 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
Z – 11.000 79-74 
12.500 – 11.000 89 - 74 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 11 000. = 79 − 74 12 
500. 
− 11 
000. 
89 − 74 
 
Z − 11 000. = 5 1 500. 15 
 
Z = 500 + 11.000 = 11.500 
 
Resposta: E. 
 
 
 
EC 9 
 
Auditor ISS/Recife - 2003 [ESAF] 
 
O quadro seguinte apresenta a distribuição de freqüências da variável valor do aluguel 
(X) para uma amostra de 200 apartamentos de uma região metropolitana de certo 
município. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a 
opção que corresponde à estimativa do valor Z tal que a freqüência relativa de 
observações de X menores ou iguais a Z seja 80%. 
Classes R$ Freqüências 
350 – 380 3 
380 – 410 8 
410 – 440 10 
440 – 470 13 
470 – 500 33 
500 – 530 40 
530 – 560 35 
560 – 590 30 
590 – 620 16 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 24 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
a) 530 
b) 560 
c) 590 
d) 578 
e) 575 
 
 
620 - 650 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No fundo, o que se pede é o oitavo decil (ou ainda, o octogésimo percentil). Ou seja, é 
um problema de medidas separatrizes, que é resolvido por interpolação linear, baseada 
em freqüências acumuladas. 
 
Foram fornecidas freqüências simples. Precisamos passá-las para acumuladas. 
Classes R$ Freqüências 
Simples 
Freqüências 
Acumuladas 
Memória de 
cálculo 
350 – 380 3 3 =3 
380 – 410 8 11 =3+8 
410 – 440 10 21 =11+10 
440 – 470 13 34 =21+13 
470 – 500 33 67 =34+33 
500 – 530 40 107 =67+40 
530 – 560 35 142 =107+35 
560 – 590 30 172 =142+30 
590 – 620 16 188 =172+16 
620 – 650 12 200 =188+12 
 
 
São 200 observações ao todo. 
 
80% de 200 é igual a 160. Assim, queremos saber qual o valor Z que não é superado por 
160 observações. 
 
Se a pergunta fosse qual o valor que não é superado por 142 observações, não 
precisaríamos fazer conta. A resposta seria 560. Consulta direta à tabela. 
 
Se a pergunta fosse qual o valor que não é superado por 172 observações, também 
bastaria consulta direta à tabela. A resposta seria 590. 
 
Mas a pergunta foi qual o valor que não é superado por 160 observações. E 160 não tem 
na nossa coluna de freqüência acumulada. Vamos, portanto, fazer a interpolação linear. 
Classes R$ Freqüências 
Acumuladas 
350 – 380 3 
380 – 410 11 
410 – 440 21 
440 – 470 34 
470 – 500 67 
500 – 530 107 
530 – 560 142 
560 – 590 172 
590 – 620 188 
620 - 650 200 
 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
560 142 560 corresponde a 142 
Z 160 Quem corresponde a 160??? 
590 172 590 corresponde a 172 
 
Antes de continuarmos as contas, vamos tentar arriscar uma resposta, por meio de 
contas mais rápidas. 
 
E se a pergunta fosse: que corresponde a 157? 
 
157 está bem no meio entre 142 e 172. 
 
Portanto, o número que corresponde a 157 está bem no meio entre 560 e 590. 
 
� + 
O número que corresponde a 157 é 575 , pois: 575 = 560 590 � 
� 2 � 
 
Mas nós estamos procurando quem corresponde a 160. 
 
160 é um pouquinho maior que 157. 
Portanto, o número que corresponde a 160 deve ser um pouquinho maior que 575. 
Já descartamos as letras A, B e E. 
 
Um bom chute é a letra D, que de fato é a resposta. 
 
 
 
Vamos continuar com a resolução usual: 
 
 
Primeira linha 560 142 
Segunda linha Z 160 
Terceira linha 590 172 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
Z-560 160-142 
590-560 172-142 
 
A interpolação linear nos diz que
estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 560 = 160 − 142 590 − 560 172 − 142 
 
Z − 560 = 18 30 30 
 
Z = 18 + 560 = 578 
 
Resposta: D. 
 
 
 
AFRF/96 [ESAF] 
Texto para as questões EC 10 e EC 11 
Distribuição de Freqüências das Idades dos funcionários da Empresa Alfa, em 1/1/90. 
Classes 
de 
idades 
(anos) 
if Ptos 
médios 
( X i ) 
 
 37X 
i − 
5 
 
 
 
d= i 
 
 
d i × f i 
 
 
 
id 
2 
 
 
 
× f i 
 
 
 
id 
3 
 
 
 
f× i 
 
 
 
id 
4 
 
 
 
× f i 
 
 
 
19,5-24,5 2 22 -3 -6 18 -54 162 
24,5-29,5 9 27 -2 -18 36 -72 144 
29,5-34,5 23 32 -1 -23 23 -23 23 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 26 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
34,5-39,5 29 37 0 0 0 0 0 
39,5-44,5 18 42 1 18 18 18 18 
44,5-49,5 12 47 2 24 48 96 192 
49,5-54,5 7 52 3 21 63 189 567 
TOTAL 100 16 206 154 1106 
 
 
 
EC 10 
 
AFRF 96 [ESAF] 
Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1/1/90. 
a) 35,49 
b) 35,73 
c) 35,91 
d) 37,26 
e) 38,01 
 
Foram fornecidas freqüências simples. Precisamos passar para freqüências acumuladas. 
Classes de idades (anos) f i iF Memória de cálculo 
19,5-24,5 2 2 =2 
24,5-29,5 9 11 =2+9 
29,5-34,5 23 34 =11+23 
34,5-39,5 29 63 =34+29 
39,5-44,5 18 81 =63+18 
44,5-49,5 12 93 =81+12 
49,5-54,5 7 100 =93+7 
 
Precisamos saber qual o valor não é superado por 50% das observações (=mediana). 
Como são 100 observações, precisamos saber qual valor não é superado por 50 
observações. 
Classes de idades (anos) 
iF 
19,5-24,5 2 
24,5-29,5 11 
29,5-34,5 34 
34,5-39,5 63 
39,5-44,5 81 
44,5-49,5 93 
49,5-54,5 100 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
34,5 34 34,5 corresponde a 34 
Z 50 Quem corresponde a 50??? 
39,5 63 39,5 corresponde a 63 
 
 
Primeira linha 34,5 34 
Segunda linha Z 50 
Terceira linha 39,5 63 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
Z-34,5 50-34 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 27 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
39,5-34,5 63-34 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 34 5, = 50 − 34 39 5, − 34 5, 63 − 34 
 
Z − 34 5, = 16 5 
 
 
Z = 34 5, 
 
29 
 
+ 80 � ,37 26 
29 
 
Note que o denominador 29 atrapalha as contas. 
 
Tentando fugir do denominador 29, podemos aproximar a fração: 
 
 
Z = 34 5, 
 
 
+ 80 � 34 5, 
29 
 
+ 80 � 34 5, 
30 
 
 
+ 2 
66, 
 
 
 
= 37 16, 
 
 
Quando trocamos o denominador 29 por 30, nós diminuímos um pouco o valor de Z. 
Portanto, na verdade, Z é um pouco maior que 37,16. 
 
Resposta: D 
 
EC 11 
 
AFRF 96 [ESAF] 
 
Sabe-se que o quadro de pessoal da empresa continua o mesmo em 1/1/96. Marque a 
opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1/1/96 
a) 35,49 
b) 36,44 
c) 41,49 
d) 41,91 
e) 43,26 
 
 
 
Agora nem precisa fazer muita conta. 
 
Se todos os valores foram aumentados em seis anos, a mediana também é aumentada 
em seis anos. 
 
A nova mediana fica: 37,26+6= 43,26 
 
Resposta: E 
 
Algumas propriedades que vimos para média valem para mediana e moda. 
 
Se adicionarmos ou subtrairmos uma constante c em todos os valores da série de dados, 
a mediana e a moda sofrem a mesma alteração. 
 
Se multiplicarmos ou dividirmos todos os dados por uma constante c, a mediana e a 
moda sofrem a mesma alteração. 
 
O detalhe é que estas propriedades (aplicadas à mediana e moda) raramente são 
exigidas em prova. O que cai mesmo é saber as propriedades para a média. Este 
exercício do AFRF 96 é que foi uma exceção. 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 28 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
EC 12 
 
AFRF/2002-1 [ESAF] 
 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício 
produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de 
valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X. 
a) 138,00 
b) 140,00 
c) 136,67 
d) 139,01 
e) 140,66 
 
 
Quinto decil é sinônimo de mediana. É o valor que não é superado por 50% das 
observações. 
 
Foram dadas freqüências acumuladas. Não importa que sejam relativas. Basta que sejam 
acumuladas. Podemos começar a resolver a questão. 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
130 40 130 corresponde a 40 
Z 50 Quem corresponde a 50??? 
150 70 150 corresponde a 70 
 
 
Primeira linha 130 40 
Segunda linha Z 50 
Terceira linha 150 70 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
Z-130 50-40 
150-130 70-40 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 29 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 130 = 50 − 40 150 − 130 70 − 40 
 
Z − 130 = 10 20 30 
 
Z = 130 + 20 � 136 66, 
30 
 
Resposta: C. 
Note que 50 está a uma distância de 10 em relação a 40 (50-40=10). 
E 50 está a uma distância de 20 em relação a 70 (70-50=20). 
 
A primeira distância é metade da segunda. 
 
Por isso, a distância de Z em relação a 130 (=6,66) é metade da distância de Z em 
relação a 150 (=13,34). 
 
 
EC 13 
 
AFRF - 2001 [ESAF] 
 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma 
amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação 
linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$ 
7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. 
a) 180 
b) 120 
c) 150 
d) 160 
e) 130 
 
 
 
Foram dadas freqüências acumuladas. Não precisamos fazer nenhuma transformação. 
 
Se a pergunta fosse: quantos empregados, na amostra feita, têm salários menores ou 
iguais a R$ 6.000, a resposta seria: 12. Basta consulta à tabela. 
 
Se a pergunta fosse: quantos empregados, na amostra feita, têm salários menores ou 
iguais a R$ 9.000,00, a resposta seria: 30. Novamente, basta consulta à tabela. 
 
Mas a pergunta foi:
quantos funcionários têm salários menores ou iguais a R$ 7.000,00. 
Para este valor não temos informação na tabela. Precisamos fazer uma interpolação 
linear. 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 30 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
6 12 6 corresponde a 12 
7 W 7 corresponde a quem??? 
9 30 9 corresponde a 30 
 
 
Primeira linha 6 12 
Segunda linha 7 W 
Terceira linha 9 30 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
7-6 W-12 
9-6 30-12 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
7 − 6 = W − 12 9 − 6 30 − 12 
 
18 + 12 = W 
3 
 
W = 18 
 
OU seja, na amostra selecionada, 18 funcionários têm salários menores ou iguais a R$ 
7.000,00. 
 
Só que não tem nenhuma opção com 18. Erramos em alguma coisa?? 
 
Não, nós não erramos nada. Os cálculos feitos foram todos referentes à amostra de 10% 
dos funcionários. Dentro desta amostra, 18 pessoas têm salários menores ou iguais a R$ 
7.000,00. 
 
Só que a pergunta do exercício foi outra. Considerando toda a empresa (e não apenas a 
amostra feita), quantos funcionários têm salários menores ou iguais a R$ 7.000,00? 
(contando inclusive os que não foram pesquisados). 
 
Nós só sabemos os salários daqueles que foram pesquisados. Ou seja, para responder à 
questão, vamos “dar um chute”. Vamos considerar que a proporção de pessoas que 
ganham salários menores ou iguais a R$ 7.000,00 seja a mesma, tanto na amostra, 
quanto na população. 
 
É como se fôssemos fazer uma regra de três: 
 
 
 
Em 10% dos funcionários ...... 18 funcionários ganham menos de 7 mil 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 31 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
Em 100% dos funcionários ...... X ganham menos de 7 mil 
 
 
 
10% ---- 18 
 
100% ---- X 
 
 
 
Multiplicando cruzado: 
 
X ×10 = 18 ×100 � X 
 
Resposta: A 
 
 
 
 
= 180 
 
 
 
 
EC 14 
 
Analista IRB 2006 [ESAF] 
 
No campo estatístico, ogivas são: 
 
a) polígonos de freqüência acumulada 
b) polígonos de freqüência acumulada relativa ou percentual. 
c) histograma de distribuição de freqüência 
d) histograma de distribuição de freqüência relativa ou percentual 
e) o equivalente à amplitude do intevalo. 
 
 
Nós vimos que o gráfico de freqüência acumulada também é chamado de ogiva. 
Resposta: A 
 
 
 
Texto para as questões EC 15 e EC 16 
 
Analista MPU 2004 – Área Pericial. Especialidade: Estatística [ESAF] 
 
A distribuição de freqüências de determinado atributo X é dada na tabela abaixo. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
Classes Freqüências 
2.000 – 4.000 18 
4.000 – 6.000 45 
6.000 – 8.000 102 
8.000 – 10.000 143 
10.000 – 12.000 51 
12.000 – 14.000 41 
EC 15 
Analista MPU 2004 – Área Pericial. Especialidade: Estatística [ESAF] 
Assinale a opção que corresponde à amplitude interquartílica. 
a) 4.500,1 
b) 6.200,2 
c) 3.000,4 
d) 3.162,6 
e) 2.400,0 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 32 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Foram dadas freqüências simples. Precisamos de freqüências acumuladas. 
 
 
Classes Freqüências 
Simples 
 
 
Freqüências 
acumuladas 
2.000 – 4.000 18 18 
4.000 – 6.000 45 63 
6.000 – 8.000 102 165 
8.000 – 10.000 143 308 
10.000 – 12.000 51 359 
12.000 – 14.000 41 400 
 
Encontremos o terceiro quartil. O terceiro quartil é o valor que não é superado por 75% 
das observações. 
 
75% de 400 equivale a 300. 
Classes Freqüências 
acumuladas 
2.000 – 4.000 18 
4.000 – 6.000 63 
6.000 – 8.000 165 
8.000 – 10.000 308 
10.000 – 12.000 359 
12.000 – 14.000 400 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.000 165 8.000 corresponde a 165 
Z 300 Quem corresponde a 300??? 
10.000 308 10.000 corresponde a 308 
 
 
Primeira linha 8.000 165 
Segunda linha Z 300 
Terceira linha 10.000 308 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
Z – 8.000 300-165 
10.000 – 8.000 308-165 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 8 000. = 300 − 165 10 
000. 
− 8 
000. 
308 − 165 
 
Z − 8 000. = 135 2 
000
. 
143 
 
Z = 135 × 2 000. + 8 000. 143 
 
O terceiro quartil vale: 
 
3Q = 
135 × 2 000. + 8 000. 143 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 33 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Encontremos o primeiro quartil. O primeiro quatil é o valor que não é superado por 25% 
das observações. 25% de 400 equivale a 100. 
Classes Freqüências 
Acumuladas 
2.000 – 4.000 18 
4.000 – 6.000 63 
6.000 – 8.000 165 
8.000 – 10.000 308 
10.000 – 12.000 359 
12.000 – 14.000 400 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.000 63 6.000 corresponde a 63 
Z 100 Quem corresponde a 100??? 
8.000 165 8.000 corresponde a 165 
 
 
Primeira linha 6.000 63 
Segunda linha Z 100 
Terceira linha 8.000 165 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
Z – 6.000 100-63 
8.000-6.000 165-63 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 6 000. = 100 − 63 8 
000. 
− 6 
000. 
165 − 63 
 
Z − 6 000. = 2 000. 
 
37 
102 
 
 
Z = 6 
000. 
 
 
+ 37 × 2 000. 102 
 
O primeiro quartil é igual a: 
 
 
1Q = 6 
000. 
 
 
+ 37 × 2 000. 102 
 
A amplitude interquartílica é igual à diferença entre o terceiro e o primeiro quartis. 
 
3Q − Q1 
 
 
 
= 8 
000. 
 
 
+ 135 × 2 000. − 6 
000. 143 
 
− 37 × 2 000. 102 
 
Q3 −
 1
Q 
 
= 3162 62, 
 
Resposta: D. 
 
Questão chata, hein. Com muita conta pra fazer. A ESAF muitas vezes exagera nas 
contas. 
Vejamos uma solução “alternativa”, fazendo aproximações. 
Vamos começar pelo terceiro quartil. 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 34 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Tínhamos o seguinte quadro: 
8.000 165 8.000 corresponde a 165 
Z 300 Quem corresponde a 300??? 
10.000 308 10.000 corresponde a 308 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
Primeira linha 8.000 165 
Segunda linha Z 300 
Terceira linha 10.000 308 
 
Procuramos quem corresponde a 300. Mas 300 é bem próximo de 308. 300 é um 
pouquinho menor que 308. 
 
Sabemos que 308 corresponde a 10.000. 
 
Portanto, o número que corresponde a 300 deve ser bem próximo a 10.000. O número 
que corresponde a 300 deve ser um pouquinho menor que 10.000. 
 
Vamos aproximar? 
 
Vamos dizer que o terceiro quartil é aproximadamente 10.000. 
 
Q3 � 10 000. 
Agora vamos para o primeiro quartil. 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
6.000 63 6.000 corresponde a 63 
Z 100 Quem corresponde a 100??? 
8.000 165 8.000 corresponde a 165 
 
 
Primeira linha 6.000 63 
Segunda linha Z 100 
Terceira linha 8.000 165 
 
 
Z – 6.000 100-63 
8.000-6.000 165-63 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 6 000. = 100 − 63 8 
000. 
− 6 
000. 
165 − 63 
 
Z − 6 000. = 2 000. 
 
37 
102
Z = 6 
000. 
 
 
+ 37 × 2 000. 102 
 
O denominador 102 é muito ruim. Vamos aproximar? Vamos trocá-lo por 100. 
 
 
Z � 6 
000. 
 
 
+ 37 × 2 000. = 6 
000. 100 
 
 
+ 37 × 20 = 6 740. 
 
 
O primeiro quartil vale, aproximadamente, 6.740. 
 
Q1 � 6.740 
 
A amplitude interquartílica fica, aproximadamente, igual a: 
 
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PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Q3 −
 1
Q 
 
 
� 10 
000. 
 
 
− 6 
740. 
 
 
= 3 260. 
 
E a alternativa mais próxima é a letra D. 
 
 
EC 16 
 
Analista MPU 2004 – Área Pericial. Especialidade: Estatística [ESAF] 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor de X que não é superado por 
80% das observações do atributo X 
a) 12.000 
b) 10.000 
c) 10.471 
d) 9.000 
e) 11.700 
 
 
 
 
Oitenta por cento de 400 corresponde a 320. 
 
Assim, estamos buscando pelo valor que não é superado por 320 observações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
Classes Freqüências 
acumuladas 
2.000 – 4.000 18 
4.000 – 6.000 63 
6.000 – 8.000 165 
8.000 – 10.000 308 
10.000 – 12.000 359 
12.000 – 14.000 400 
 
 
10.000 308 10.000 corresponde a 308 
Z 320 Quem corresponde a 320??? 
12.000 359 12.000 corresponde a 359 
 
 
Primeira linha 10.000 308 
Segunda linha Z 320 
Terceira linha 12.000 359 
 
Antes de continuarmos as contas, olha que detalhe interessante. 
 
320 está entre 308 e 359. 
 
Portanto, o número que corresponde a 320 (que estamos chamando de Z), está entre 
10.000 e 12.000. Já dá para descartar as letras A, B e D. 
 
320 está mais próximo de 308 do que de 359. 
Portanto, Z está mais próximo de 10.000 do que de 12.000. 
Com isso, descartamos a letra E e ficamos com a letra C. 
 
De todo modo, vamos continuar com a resolução de sempre. 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
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Z – 10.000 320-308 
12.000-10.000 359-308 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 10 000. = 320 − 308 12 
000. 
− 10 
000. 
359 − 308 
 
Z − 10 000. = 12 2 
000. 
 
 
Z = 2 
000. 
 
51 
 
× 12 + 10 
000. 
51 
 
 
 
� 10 
470. 
 
 
 
 
58, 
 
Note como o denominador 51 dificulta as contas. 
Vamos tentar “fugir” dele. 
 
Aproximando a fração: 
 
 
Z = 2 
000. 
 
 
× 12 + 10 
000. 
51 
 
 
� 2 
000. 
 
 
× 12 + 10 
000. 
50 
 
 
= 10 480. 
 
 
Quando trocamos o denominador 51 por 50, nós aumentamos um pouco o valor de Z. 
Portanto, na verdade Z, é um pouco menor que 10.480. 
 
Resposta: C 
 
 
Texto para as questões EC 17 e EC 18. 
Analista IRB 2004 [ESAF] 
 
As questões EC 17 e EC 18 dizem respeito à distribuição de freqüências conforme o 
quadro abaixo, no qual não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
Classe Freqüência acumulada 
129,5 – 139,5 4 
139,5 – 149,5 12 
149,5 – 159,5 26 
159,5 – 169,5 46 
169,5 – 179,5 72 
179,5 – 189,5 90 
189,5 – 199,5 100 
 
 
EC 17 
 
Analista IRB 2004 [ESAF] 
Assinale a opção que corresponde ao oitavo decil 
a) 179,5 
b) 189,5 
c) 183,9 
d) 184,5 
e) 174,5 
 
 
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O oitavo decil é o valor que não é superado por 80% das observações. 
 
Como foram dadas freqüências acumuladas, não precisamos fazer nenhuma 
transformação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
Classe Freqüência acumulada 
129,5 – 139,5 4 
139,5 – 149,5 12 
149,5 – 159,5 26 
159,5 – 169,5 46 
169,5 – 179,5 72 
179,5 – 189,5 90 
189,5 – 199,5 100 
 
 
179,5 72 179,5 corresponde a 72 
Z 80 Quem corresponde a 80??? 
189,5 90 189,5 corresponde a 90 
 
 
Primeira linha 179,5 72 
Segunda linha Z 80 
Terceira linha 189,5 90 
 
Antes de iniciarmos as contas, vamos olhar as alternativas. Z está entre 179,5 e 189,5. 
Já descartamos as letras A e B. 
 
81 está no exatamente no meio entre 72 e 90. 
 
O número que corresponde a 81, portanto, está bem no meio entre 179,5 e 189,5. Logo, o 
número que corresponde a 81 é 184,5. 
 
80 é um pouquinho menor que 81. 
 
Portanto, o número que corresponde a 80 (que estamos chamando de Z), é um 
pouquinho menor que 184,5. 
Descartamos a letra D. E entre as letras C e E, ficamos com certeza com a letra C. 
Retomemos nossa resolução usual. 
 
Subtraindo as linhas: 
Z – 179,5 80-72 
189,5-179,5 90-72 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 179 5, = 80 − 72 189 5, − 179 5, 90 − 72 
 
Z − 179 5, = 8 10 18 
 
 
Z = 179 5, 
 
 
+ 80 � 183 94, 
18 
Note como a fração 80/18 não é muito “amigável”. 
Aproximando a fração: 
 
 
Z = 179 5, 
 
 
+ 80 � 179 5, 
18 
 
+ 81 = 179 5, 
18 
 
+ 9 = 179 5, 
2 
 
 
+ 4 5, 
 
 
 
= 184 
 
 
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PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Quando nós trocamos o numerador 80 por 81, nós aumentamos um pouco o valor de Z. 
Z é na verdade um pouco menor que 184. 
 
Resposta: C 
 
 
 
EC 18 
 
Analista IRB 2004 [ESAF] 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa, via interpolação da ogiva, do número de 
observações menores ou iguais ao valor 164. 
a) 46 
b) 26 
c) 72 
d) 35 
e) 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
Classe Freqüência acumulada 
129,5 – 139,5 4 
139,5 – 149,5 12 
149,5 – 159,5 26 
159,5 – 169,5 46 
169,5 – 179,5 72 
179,5 – 189,5 90 
189,5 – 199,5 100 
 
 
159,5 26 159,5 corresponde a 26 
164 W 164 corresponde a quem??? 
169,5 46 169,5 corresponde a 46 
 
 
Primeira linha 159,5 26 
Segunda linha 164 W 
Terceira linha 169,5 46 
Novamente, antes de iniciarmos as contas, vamos ver as alternativas. 
W está entre 26 e 46. Já descartamos as letras A, B, C e E. 
 
E marcamos a letra D. 
Marcada a resposta correta, vejamos as contas. 
Subtraindo as linhas: 
164-159,5 W-26 
169,5-159,5 46-26 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 164 − 159 5, = W − 26 169 5, − 159 5, 46 − 26 
 
4 5, = W − 26 10 20 
 
 
 
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W = 4 5, × 20 + 26 = 9 + 26 = 35 
10 
 
Resposta: D 
 
 
 
EC 19 
 
AFRF - 2002-2 – [ESAF] 
 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências 
seguinte: 
 
Classes Freqüência ( f ) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população 
com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. 
a) 700 
b) 638 
c) 826 
d) 995 
e) 900 
 
 
 
Questão um pouco mais trabalhosa, pois precisamos fazer duas interpolações. 
 
Primeira interpolação:
vamos encontrar quantas observações são menores ou iguais a 
95,5. 
 
Para tanto, precisamos das freqüências acumuladas. 
Classes Freqüência ( f ) Freqüência 
acumulada (F) 
29,5-39,5 4 4 
39,5-49,5 8 12 
49,5-59,5 14 26 
59,5-69,5 20 46 
69,5-79,5 26 72 
79,5-89,5 18 90 
89,5-99,5 10 100 
 
 
Classes Freqüência 
acumulada (F) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 12 
49,5-59,5 26 
59,5-69,5 46 
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69,5-79,5 72 
79,5-89,5 90 
89,5-99,5 100 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
89,5 90 89,5 corresponde a 90 
95,5 W 95,5 corresponde a quem??? 
99,5 100 99,5 corresponde a 100 
 
 
Primeira linha 89,5 90 
Segunda linha 95,5 W 
Terceira linha 99,5 100 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
95,5-89,5 W-90 
99,5-89,5 100-90 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
95 5, 
99 5, 
 
− 89 5, = − 89 5, 
 
W − 90 
100 − 90 
 
6 = W − 90 � W = 96 10 10 
 
 
 
Segunda interpolação: vamos encontrar quantas observações são menores ou iguais a 
50,5. 
Classes Freqüência 
acumulada (F) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 12 
49,5-59,5 26 
59,5-69,5 46 
69,5-79,5 72 
79,5-89,5 90 
89,5-99,5 100 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
49,5 12 49,5 corresponde a 12 
50,5 W’ 50,5 corresponde a quem??? 
59,5 26 59,5 corresponde a 26 
 
 
Primeira linha 49,5 12 
Segunda linha 50,5 W’ 
Terceira linha 59,5 26 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
50,5-49,5 W’-12 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 41 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
59,5-49,5 26-12 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
50 5, 
 
 
− 49 5, = W ' 12− 59 5, − 49 5, 26 − 12 
 
 1 = W '−12 � W ' = ,13 4 
10 14 
 
Ou seja, 13,4 observações são menores ou iguais a 50,5. 
 
Eu sei que não faz sentido falar em 13,4 observações (pois deveríamos apenas ter 
números naturais quando nos referimos a observações). Mas tudo bem, continuemos o 
exercício. 
 
Feitas as duas interpolações, sabemos que: 
 
96 observações são menores ou iguais a 95,5. Isto na amostra de tamanho 100. Na 
população de tamanho 1.000, são 960 observações menores ou iguais a 95,5. É como se 
fôssemos fazer uma regra de três, a exemplo da que fizemos no EC 13 (fl.29). 
Na amostra de tamanho 100 .... 96 observações são menores ou iguais a 95,5. 
Na população de tamanho 1.000 ... X observações são menores ou iguais a 95,5 
 
X ×100 = 96 ×1.000 � X 
 
= 960 
 
 
Sabemos também que 13,4 observações são menores ou iguais a 50,5. Isto na amostra 
de tamanho 100. Na população de tamanho 1.000 são 134 observações menores ou 
iguais a 50,5. Basta fazer outra regra de três. 
 
Na amostra de tamanho 100 ...... 13,4 observações são menores ou iguais a 50,5 
 
Na população de tamanho 1.000 .... X’ observações são menores ou iguais a 50,5 
 
X '×100 = ,13 4 
×1 000. 
 
� X ' = 134 
 
 
 
Assim, sabemos que, na população, temos 960 observações menores ou iguais a 95,5. 
Destas 960, 134 são menores ou iguais a 50,5. 
 
Portanto, 826 (=960-134) observações são menores ou iguais a 95,5 e maiores que 
50,5. 
Resposta: C. 
 
Muita conta, né? 
Vamos ver uma solução alternativa, fazendo aproximações. 
Na primeira interpolação nós tínhamos: 
 
 
Primeira linha 89,5 90 
Segunda linha 95,5 W 
Terceira linha 99,5 100 
 
 
 
Sabemos que 94,5 está bem no meio entre 89,5 e 99,5. 
 
Portanto, ele corresponde a 95, que está bem no meio entre 90 e 100. 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 42 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
95,5 é um pouquinho maior que 94,5. 
 
Logo, o número que corresponde a 95,5 (que estamos chamando de W) é um pouquinho 
maior que 95. 
 
Vamos aproximar? 
 
W � 95 
 
Na segunda interpolação nós tínhamos: 
49,5 12 49,5 corresponde a 12 
50,5 W’ 50,5 corresponde a quem??? 
59,5 26 59,5 corresponde a 26 
 
49,5 corresponde a 12. 
 
50,5 é um pouquinho maior que 49,5. 
 
Portanto, o número que corresponde a 50,5 (que estamos chamando de W’) é um pouco 
maior que 12. 
 
Vamos aproximar? 
 
W ' � 12 
 
E a diferença entre os resultados das interpolações fica: 
 
W − W ' = 95 − 12 = 83 
 
Isso na amostra. 
 
Na população, temos que multiplicar esse valor por 10. 
 
83 ×10 = 830 
 
E novamente marcamos a letra C. 
 
 
EC 20 
 
Técnico Municipal de Nível Superior – Estatística – Prefeitura Municipal de Vila Velha 
[CESPE] 
 
Uma prefeitura registrou o aumento do valor venal V (em R$ por metro quadrado) de 
200 imóveis localizados em certo bairro residencial, conforme apresentado na tabela a 
seguir: 
 
 
Valor V (R$/m2) Número de imóveis 
V = 0 80 
0 < V ≤ 10 50 
10 < V ≤ 20 35 
20 < V ≤ 30 25 
30 < V ≤ 50 10 
Total 200 
 
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
 
99. A mediana, que é igual a R$ 25,00/m2, divide os 50% valores mais baixos dos 50% 
valores mais altos. 
 
 
 
Questão do CESPE. 
 
Como as freqüências fornecidas são simples, calculemos as freqüências acumuladas. 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 43 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Valor V (R$/m2) f F 
V = 0 80 80 
0 < V ≤ 10 50 130 
10 < V ≤ 20 35 165 
20 < V ≤ 30 25 190 
30 < V ≤ 50 10 200 
 
Note que na primeira linha nem temos realmente uma classe. Sabemos que todas as 80 
observações da primeira linha são exatamente iguais a 0. Não é uma classe, é um valor 
único. 
 
A pergunta é sobre a mediana. Ou seja, o valor que não é superado por 100 observações 
(= 50% de 200). 
 
Sabemos que a freqüência acumulada que corresponde ao valor 0 é 80. A freqüência 
acumulada que corresponde ao valor 10 é 130. 
 
Sabemos que 100 está entre 80 e 130. Portanto, o valor procurado está entre 0 e 10. 
 
 
0 80 0 corresponde a 80 
Z 100 Quem corresponde a 100? 
10 130 10 corresponde a 130 
 
 
 
Ora, se sabemos que 0 < Z < 10, concluímos que o valor procurado não pode ser igual a 
25. Portanto, a questão está incorreta. 
 
 
 
EC 21 
Analista Previdenciário Pleno – Área de Estatística – Paraná Previdência – 2002 [CESPE] 
Texto II 
 
Em estudos previdenciários, é importante avaliar estatisticamente o tempo de sobrevida 
dos beneficiários. O tempo de sobrevida, em geral, depende do perfil do beneficiário, que 
abrange um conjunto de características como idade, espécie de benefícios (aposentadoria 
por idade, invalidez etc.), tipo de clientela (urbana/rural) etc. Para um estudo realizado 
acerca do tempo de sobrevida de beneficiários com um certo perfil, foram obtidos os 
resultados apresentados na tabela abaixo. 
Tempo de sobrevida T em 
anos 
0≤ T < 5 5≤ T < 
10 
10≤T< 20 20≤T< 40 Total 
 
Freqüência de 
beneficiários falecidos 
(%) 
20 40 30 10 100 
 
 
 
Com base nos estudos obtidos para o estudo apresentado no texto II, julgue o item que 
se segue. 
 
1. O primeiro quartil da distribuição é inferior a 5 anos. 
 
 
 
 
Outra questão do CESPE. Também, não precisa de muita conta. Foram fornecidas 
freqüências
relativas simples. Precisamos achar as freqüências acumuladas. 
Classes Freqüência relativa 
simples (fr) 
 
Freqüência 
relativa 
acumulada (Fr) 
[0;5) 20 20 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 44 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Classes Freqüência relativa 
simples (fr) 
 
 
 
Freqüência 
relativa 
acumulada (Fr) 
[5;10) 40 60 
[10;20) 30 90 
[20;40) 10 100 
 
O primeiro quartil é o valor que não é superado por 25% das observações. Portanto, 
temos que achar o valor que corresponde à freqüência acumulada de 25%. 
 
Só que na tabela acima não tem o valor 25%. Sabemos que 25 está entre 20 e 60. 
Portanto o valor procurado está entre 5 e 10. 
 
 
5 20 5 corresponde a 20 
Z 25 Quem corresponde a 25? 
10 60 10 corresponde a 60 
 
 
Se o valor procurado está entre 5 e 10, então não pode ser inferior a 5. A questão está 
errada. 
 
 
 
EC 22 
 
Analista de Regulação – Economista – ARCE/2006 [FCC] 
 
Uma empresa tem 1.000 empregados, classificados conforme a tabela abaixo: 
Salários (R$) Homens Mulheres Total 
(500; 1.500] 40 40 80 
(1.500; 2.500] 140 100 240 
(2.500; 3.500] 180 120 300 
(3.500; 4.500] 140 80 220 
(4.500; 5.500] 100 60 160 
Total 600 400 1000 
 
Observação: calculou-se as médias aritméticas correspondentes para grupo e geral 
considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são 
coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Para o cálculo das medianas utilizou-se 
o método da interpolação linear. 
 
Analisando os valores obtidos com relação aos empregados desta empresa, tem-se que: a) 
a média aritmética e a mediana dos salários dos homens são iguais a R$ 3.250,00 e R$ 
3.000,00, respectivamente. 
 
b) a média aritmética e a mediana dos salários das mulheres são iguais a R$ 3.200,00 e 
R$ 3.000,00, respectivamente. 
 
c) o valor encontrado para a média aritmética dos salários dos empregados de toda a 
empresa é igual a 3.125,00. 
 
d) o módulo da diferença entre as médias aritméticas dos salários dos 2 grupos é igual a 
R$ 150,00 
 
e) o módulo da diferença entre os valores das medianas dos salários entre os 2 grupos é 
inferior a R$ 150,00. 
 
 
Comecemos pela letra A. Segue a tabela salarial dos homens, considerando freqüências 
acumuladas: 
Salários (R$) f F 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 45 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
(500; 1.500] 40 40 
(1.500; 2.500] 140 180 
(2.500; 3.500] 180 360 
(3.500; 4.500] 140 500 
(4.500; 5.500] 100 600 
 
Vamos achar a mediana dos homens. A mediana é o valor salarial que não é superado 
por 300 observações (são 600 homens; 50% de 600 = 300). 
 
Sabemos que: 
2.500 180 2500 corresponde a 180 
Z 300 quem corresponde a 300? 
3.500 360 3500 corresponde a 360 
 
 
 
Ficamos com: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primeira linha 2500 180 
Segunda linha Z 300 
Terceira linha 3500 360 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
Z-2500 300-180 
3500-2500 360-180 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais. 
 
 Z − 2500 = 300 − 180 3500 − 2500 
 
Isolando o Z: 
360 − 180 
 
 
 
Z = 1000 × 120 + 2500 � 666 + 2500 = 3 166. 
180 
A mediana salarial masculina não é de R$ 3.000. 
Descartamos a letra A. 
 
Vejamos à mediana feminina. 
 
Salários (R$) f F 
(500; 1.500] 40 40 
(1.500; 2.500] 100 140 
(2.500; 3.500] 120 260 
(3.500; 4.500] 80 340 
(4.500; 5.500] 60 400 
 
São 400 mulheres. A mediana é o valor que não é superado por 200 observações (200 = 
50% de 400). 
 
Podemos montar o seguinte quadro: 
2.500 140 2500 corresponde a 140 
Z’ 200 quem corresponde a 200? 
3.500 260 3500 corresponde a 260 
 
 
 
Ficamos com: 
 
 
 
 
 
 
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Primeira linha 2500 140 
Segunda linha Z’ 200 
Terceira linha 3500 260 
 
 
Observe que 200 está bem no meio entre 140 e 260. Portanto, Z’ está bem no meio 
entre 2500 e 3500. 
 
Temos que: 
 
Z ' = 3000 
 
A mediana feminina é de R$ 3.000,00. 
 
Ainda não deu para descartar a letra B. Vamos calcular a média das mulheres. Para 
tanto, façamos uso da variável transformada. 
 
 
Classes Pontos 
médios 
 
 
d = X − 1000 
f 
 
 
d × f 
 
( X ) 1000 
(500; 1.500] 1.000 0 40 0 
(1.500; 2.500] 2.000 1 100 100 
(2.500; 3.500] 3.000 2 120 240 
(3.500; 4.500] 4.000 3 80 240 
(4.500; 5.500] 5.000 4 60 240 
TOTAL 400 820 
 
E a média de d fica: 
 
d = 820 400 
 
Vamos achar a média de X: 
 
X = 1000 × d + 1000 
 
X = 1000 × d + 1000 
 
X = 1000 × 820 + 1000 = 3 050. 
400 
 
Descartamos a letra B. 
 
A letra E também está errada. A mediana dos homens é de R$ 3.166,00. A mediana das 
mulheres é R$ 3.000,00. A diferença entre ambas é maior que R$ 150,00. 
 
Sobraram as letras C e D. 
 
Vamos achar a média dos homens. 
Classes Pontos 
médios d = X − 1000 
f 
d × f 
 
( X ) 1000 
(500; 1.500] 1.000 0 40 0 
(1.500; 2.500] 2.000 1 140 140 
(2.500; 3.500] 3.000 2 180 360 
(3.500; 4.500] 4.000 3 140 420 
(4.500; 5.500] 5.000 4 100 400 
TOTAL 600 1320 
 
A média de d fica: 
 
 
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d = 1320 = ,2 2 
600 
 
Sabemos que: 
 
X = 1000 + 1000 × d 
 
Portanto: 
 
X = 1000 + 1000 × d = 1000 + 1000 × ,2 2 = 3 200. 
 
A média salarial dos homens é de 3.200,00 
A diferença entre as médias dos homens e das mulheres, de fato, é de R$ 150,00. 
Resposta: C. 
 
Vejam que a questão não é difícil. Mas é trabalhosa. Tomou muito tempo. Foi preciso 
calcular várias medidas (médias e medianas para cada grupo). 
 
Na hora da prova, se você se deparar com algo desse tipo, pense na hipótese de deixar a 
questão para depois. Principalmente se você não for muito rápido em contas. Se sobrar 
tempo, ao final da prova você volta e resolve. Você não vai para uma prova para fazer 
todas as questões. Você vai para tentar fazer o maior número de pontos possível. Às 
vezes compensa pular uma questão muito trabalhosa, poupando tempo para fazer muitas 
questões fáceis. 
 
E não custa destacar que esta questão foi extraída de uma prova específica da área de 
Economia, onde os candidatos, possivelmente, já têm mais agilidade em fazer contas. 
 
 
 
Texto para as questões EC 23 e EC 24 
 
A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências das notas obtidas num teste de 
matemática, realizado por 50 estudantes. 
Notas Freqüência absoluta 
0 │− 2 4 
2 │− 4 12 
4 │− 6 15 
6 │− 8 13 
8 │− 10 6 
 
 
EC 23 
 
Analista Judiciário. Especialidade: estatística. TRF 1ª Região [FCC] 
 
Se a nota mínima para aprovação no teste é 5,8, a porcentagem de aprovação é de: 
a) 51% 
b) 48% 
c) 45% 
d) 41% 
e) 38% 
 
 
EC 24 
Analista Judiciário. Especialidade: estatística. TRF 1ª Região [FCC] 
A nota mediana desses estudantes é: 
 
a) 4,8 
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b) 5,0 
c) 5,2 
d) 5,5 
e) 5,8 
 
 
 
Comecemos pelo EC 23 
 
Vamos achar as freqüências acumuladas. 
Notas Freqüência simples Freqüência acumulada 
0 │− 2 4 4 
2 │− 4 12 16 
4 │−
6 15 31 
6 │− 8 13 44 
8 │− 10 6 50 
 
 
Queremos saber qual a freqüência acumulada que corresponde a 5,8. 
Podemos montar o seguinte quadro: 
4 16 4 corresponde a 16 
5,8 W 5,8 corresponde a quem? 
6 31 6 corresponde a 31 
 
 
 
Ficamos com: 
 
 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
Primeira linha 4 16 
Segunda linha 5,8 W 
Terceira linha 6 31 
 
 
5,8-4 W-16 
6-4 31-16 
 
A interpolação linear nos garante que estas diferenças são proporcionais. 
 
5 8, 
 
 
− 4 = W − 16 6 − 4 31 − 16 
 
Isolando o W: 
 
W = 1 8, ×15 + 16 = 29 5, 
2 
 
Então 29,5 alunos tiraram notas menores ou iguais a 5,8. Eu sei que não faz sentido falar 
em 29,5 alunos (pois só podemos ter um número inteiro de alunos). Mas vamos 
continuar. 
 
Se 29,5 alunos tiraram menos que 5,8 e, ao todo, são 50 alunos, então 20,5 alunos 
tiraram mais que 5,8. 
 
O percentual de alunos aprovados é: 
 
20 5, = %41 50 
 
Resposta: D. 
 
 
 
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Agora vamos para o EC 24. 
 
A mediana é o valor que não é superado por 50% das observações. Ou seja, é o valor 
que não é superado por 25 observações. 
 
Podemos montar o seguinte quadro: 
4 16 4 corresponde a 16 
Z 25 quem corresponde a 25? 
6 31 6 corresponde a 31 
 
 
 
Ficamos com: 
 
 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
Primeira linha 4 16 
Segunda linha Z 25 
Terceira linha 6 31 
 
 
Z - 4 25-16 
6 - 4 31-16 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais. 
 
Z − 4 = 25 − 16 6 − 4 31 − 16 
 
Isolando o Z: 
 
=Z 9 × 2 + 4 = ,5 2 
15 
A mediana é 5,2. 
Resposta: C. 
 
 
EC 25 
 
Especialista em regulação de saúde suplementar. Especialidade: Estatística. Ministério da 
Saúde/2007 [FCC] 
 
A tabela fornece informações sobre o tipo de câncer e a idade de 500 pacientes que 
sofrem desta doença, internados num determinado hospital especializado na doença. 
Idade Câncer 
estomacal 
Câncer 
pulmonar 
Outros Total 
 
[0;10) 0 6 60 66 
[10;30) 30 9 25 64 
[30;50) 100 75 55 230 
[50;70) 70 60 10 140 
Total 200 150 150 500 
 
 
 
A idade mediana dos 150 pacientes com câncer pulmonar é: 
a) 30 anos 
b) 38 anos 
c) 40 anos 
d) 46 anos 
e) 49 anos 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 50 
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Para o câncer pulmonar, temos: 
Idade Freqüência simples Freqüência acumulada 
[0;10) 6 6 
[10;30) 9 15 
[30;50) 75 90 
[50;70) 60 150 
 
A mediana é o valor que não é superado por 75 observações. 
Podemos montar o seguinte quadro: 
30 15 30 corresponde a 15 
Z 75 quem corresponde a 75? 
50 90 50 corresponde a 90 
 
 
 
Ficamos com: 
 
 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
Primeira linha 30 15 
Segunda linha Z 75 
Terceira linha 50 90 
 
 
Z – 30 75 – 15 
50 – 30 90 – 15 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais. 
 
 
Z − 30 
 
 
 
= 75 − 15 � Z = 60 × 20 + 30 = 46 
50 − 30 90 − 15 75 
Resposta: D. 
 
 
EC 26 
 
Técnico de planejamento e pesquisa – IPEA/2004 [ESAF] 
 
Para uma amostra aleatória de determinado tributo encontrou-se a seguinte distribuição 
de freqüências. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
Classes Freqüências 
2.000 – 4.000 18 
4.000 – 6.000 45 
6.000 – 8.000 102 
8.000 – 10.000 143 
10.000 – 12.000 32 
12.000 – 14.000 60 
Assinale a opção que corresponde à melhor aproximação do nonagésimo quinto percentil. 
a) 13.000 
b) 12.585 
c) 13.333 
d) 12.667 
e) 13.900 
 
 
O nonagésimo quinto percentil é o valor que não é superado por 95% das observações. 
Como são 400 observações, o nonagésimo quinto percentil não é superado por 380 
observações. 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 51 
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Classes Freqüências Freqüências 
acumuladas 
2.000 – 4.000 18 18 
4.000 – 6.000 45 63 
6.000 – 8.000 102 165 
8.000 – 10.000 143 308 
10.000 – 12.000 32 340 
12.000 – 14.000 60 400 
 
 
 
Podemos montar o seguinte quadro: 
12000 340 12000 corresponde a 340 
Z 380 quem corresponde a 380? 
14000 400 14000 corresponde a 400 
 
 
Note que 380 é mais próximo de 400 do que de 340. Portanto, o número que a ele 
corresponde (que estamos chamando de Z) é mais próximo de 14000 do que de 12000. 
Já descartamos as letras A, B e D. 
 
Ficamos com: 
 
 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
Primeira linha 12000 340 
Segunda linha Z 380 
Terceira linha 1400 400 
 
 
Z – 12000 380 - 340 
14000 – 12000 400 – 340 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais. 
 
 Z − 12000 = 380 − 340 14000 − 12000 400 − 340 
 
 
Z = 12 
000. 
 
 
+ 40 × 2 000. = 13 333. 60 
Desse modo, a minha resposta seria letra C. 
O gabarito preliminar foi letra D. 
 
E, no gabarito definitivo, a questão foi anulada. Confesso que não sei o motivo. 
 
 
EC 27 
 
Analista BACEN/2006 – Área 5 [FCC] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 52 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
O valor da mediana dos salários dos empregados da empresa XYZ, obtida pelo método 
da interpolação linear, é igual a: 
 
 
a) R$ 3.500,00 b) R$ 3.625,00 c) R$ 3.650,00 d) R$ 3.800,00 
 
 
e) R$ 4.000,00 
 
 
 
A mediana é o valor que não é superado por 50% das observações. Como são 40 
observações, a mediana não é superada por 20 observações. 
 
 
Classes Freqüências Freqüências 
acumuladas 
[1.000 – 2.000) 2 2 
[2.000 – 3.000) 8 10 
[3.000 – 4.000) 16 26 
[4.000 – 5.000) 10 36 
[5.000 – 6.000) 4 40 
 
 
 
Podemos montar o seguinte quadro: 
3.000 10 8 corresponde a 10 
Z 20 quem corresponde a 20? 
4.000 26 4000 corresponde a 26 
 
Z está entre 3.000 e 4.000. Já descartamos a letra E. 
 
Repare que 20 está mais próximo de 26 do que de 10. Portanto, Z está mais próximo de 
4.000 do que de 3.000. Descartamos a letra A. 
Ficamos com: 
 
 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
Primeira linha 3000 10 
Segunda linha Z 20 
Terceira linha 4000 26 
 
 
Z – 3.000 20 – 10 
4.000 – 3.000 26 - 10 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais. 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 53 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 Z − 3 000. = 20 − 10 � Z = 3 
000. 
 
 
+ 1 
000. 
 
 
×10 = 3 625. 
4 
000. 
− 3 
000. 
26 − 10 16 
 
Resposta: B. 
 
 
Acho que deu para notar que o cálculo de medidas separatrizes com interpolação linear 
cai e cai bastante em provas. Dentro de estatística descritiva este é disparado o assunto 
mais importante (se considerarmos o número de questões cobradas). E olha que ainda 
não terminamos as questões em que este assunto é cobrado. Vamos apenas dar uma 
pausa. Isto porque, para resolvermos as demais questões, precisamos estudar o 
histograma. 
 
Em sala de aula costumo falar: se você não gosta muito de exatas e quer só estudar um 
pouco de estatística para tentar fazer o mínimo, o assunto que você vai estudar é este:
medidas separatrizes para dados em classes. 
 
 
 
Lembrete de medidas separatrizes. 
Sempre utilize freqüências acumuladas. Nunca utilize freqüências simples. 
Identificar o valor de freqüência acumulada desejada. 
Utilizar interpolação linear. 
 
 
VIII FORMAS DE APRESENTAÇÃO DOS DADOS AGRUPADOS EM CLASSES 
 
Desde a aula passada temos estudados os dados agrupados em classes. E vimos uma 
única forma de apresentá-los: por meio de tabelas. 
 
Pois bem, agora vejamos outras formas. 
 
 
 
1 Histograma 
 
O histograma é uma forma gráfica de representar uma distribuição de dados agrupados 
em classes. 
 
Creio que a melhor maneira de explicar é por meio de um exemplo. 
 
 
EC 28 
 
Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 
 
O gráfico abaixo é o histograma de freqüências absolutas de uma amostra de valores 
arrecadados de determinado tributo em um município. 
 
 
 
Com relação aos dados desta amostra, é verdade que: 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 54 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
a) 60% dos valores são maiores ou iguais a R$ 1.500,00 e menores que R$ 3.000,00. 
 
b) Mais de 30% dos valores são maiores ou iguais a R$ 2.500,00 e menores que R$ 
3.500,00 
 
c) A porcentagem dos valores iguais ou superiores a R$ 3.500,00 é maior que a 
porcentagem dos valores inferiores a R$ 1.500,00 
 
d) A freqüência relativa de valores inferiores a R$ 1.500,00 é menos que 10% 
 
e) A amplitude da amostra é R$ 4.000,00. 
 
 
 
Vamos analisar o histograma. 
 
A primeira coluna é amarela. Ela corresponde à classe 0,5 – 1. Sua altura corresponde à 
freqüência 100. 
 
Isto significa que temos 100 valores entre R$ 500,00 e R$ 1.000,00. 
 
A segunda coluna é laranja. Ela corresponde à classe 1,0 – 1,5. Sua altura corresponde à 
freqüência 100. Isto significa que temos 100 valores entre R$ 1.000,00 e R$ 1.500,00. 
 
A terceira coluna é azul. Ela corresponde à classe 1,5 – 2,0. Sua altura corresponde à 
freqüência 200. Isto significa que temos 200 valores entre R$ 1.500,00 e R$ 2.000,00. 
 
E assim por diante. 
 
Podemos dizer que o histograma acima é outra forma de representar a tabela abaixo: 
Classe Freqüência absoluta 
simples 
0,5 ≤ x < 1,0 100 
1,0 ≤ x < 1,5 100 
1,5 ≤ x < 2,0 200 
2,0 ≤ x < 2,5 400 
2,5 ≤ x < 3 300 
3 ≤ x < 3,5 300 
3,5 ≤ x < 4 200 
Total 1600 
 
 
 
Vamos às alternativas. 
 
A alternativa ‘A’ afirma que 60% dos valores são maiores ou iguais a R$ 1.500,00 e 
menores que R$ 3.000,00. 
 
Os valores que se enquadram nessas condições são os da terceira, quarta e quinta 
classes (ver destaque em vermelho na tabela abaixo) 
Classe Freqüência absoluta 
simples 
0,5 ≤ x < 1,0 100 
1,0 ≤ x < 1,5 100 
1,5 ≤ x < 2,0 200 
2,0 ≤ x < 2,5 400 
2,5 ≤ x < 3 300 
3 ≤ x < 3,5 300 
3,5 ≤ x < 4 200 
Total 1600 
 
Somando, são: 200 + 400 + 300 = 900. São 900 valores nesta condição. 
 
900 representa apenas 56,25% do total dos valores. A alternativa está errada. 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 55 
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Segundo a alternativa ‘B’, mais de 30% dos valores são maiores ou iguais a R$ 2.500,00 
e menores que R$ 3.500,00. 
 
Os valores que estão nesta condição estão destacados na tabela abaixo. 
Classe Freqüência absoluta 
simples 
0,5 ≤ x < 1,0 100 
1,0 ≤ x < 1,5 100 
1,5 ≤ x < 2,0 200 
2,0 ≤ x < 2,5 400 
2,5 ≤ x < 3 300 
3 ≤ x < 3,5 300 
3,5 ≤ x < 4 200 
Total 1600 
 
Somando, são: 300 + 300 = 600. São 600 valores nesta condição. 
 
600 corresponde a 37,5% de 1.600. Portanto, mais de 30% dos valores são maiores ou 
iguais a R$ 2.500,00 e menores que R$ 3.500,00. Alternativa correta. 
 
Resposta: B. 
 
 
 
Vamos verificar os erros das demais alternativas. 
 
A alternativa C afirma que a porcentagem dos valores iguais ou superiores a R$ 3.500,00 
é maior que a porcentagem dos valores inferiores a R$ 1.500,00. 
 
200 valores são maiores ou iguais a R$ 3.500,00. E valores inferiores a R$ 1.500,00 
também são 200. Ou seja, as duas porcentagens são iguais. 
 
 
A alternativa D afirma que a freqüência relativa de valores inferiores a R$ 1.500,00 é 
menos que 10% 
 
São 200 valores inferiores a R$ 1.500,00. 200 é 12,5% de 1600. Alternativa errada. 
 
 
A alternativa E fala da amplitude dos dados. A amplitude é dada pela diferença entre o 
maior limite superior e o menor limite inferior. No caso, a amplitude fica: 4 – 0,5 = 3,5. 
Portanto, a amplitude é de R$ 3.500,00. 
 
 
Pronto! Vimos o tal do histograma. Não é difícil. Mas poderia deixar confuso quem nunca 
tivesse visto um. 
 
Para treinar, vamos a outros exercícios de histograma. 
 
 
EC 29 
Fiscal ICMS/SP – 2006 [FCC] 
O histograma de freqüências absolutas, abaixo, demonstra o comportamento dos valores 
arrecadados de um determinado tributo, no ano de 2005, em uma região a ser 
analisada: 
 
 
 
 
 
 
 
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Observação – Considere que todos os intervalos de classe do histograma são fechados à 
esquerda e abertos à direita. 
 
Utilizando as informações contidas neste histograma, calculou-se a média aritmética 
destes valores arrecadados, considerando que todos os valores incluídos num certo 
intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Também 
calculou-se a mediana de tais valores pelo método da interpolação linear. Então, o 
módulo da diferença entre a média aritmética e a mediana é igual a: 
a) R$ 100,00 
b) R$ 400,00 
c) R$ 800,00 
d) R$ 900,00 
 
e) R$ 1.000,00 
 
 
Temos um histograma. O histograma é uma outra forma de representar dados em 
classes. A primeira classe é [1;2). A ela corresponde uma freqüência simples de 200. Como 
sabemos que a freqüência é simples? Basta ver que as freqüências aumentam, até a 
classe [4;5), e depois diminuem. 
 
Se o histograma fosse um histograma de freqüências acumuladas, as freqüências sempre 
aumentariam, nunca decresceriam. 
 
Ok, então vamos transformar o histograma na tabela correspondente. 
Classe Freqüência simples 
[1.000 ; 2.000) 200 
[2.000 ; 3.000) 400 
[3.000 ; 4.000) 500 
[4.000 ; 5.000) 600 
[5.000 ; 6.000) 300 
 
Temos que calcular a média e a mediana. 
 
Para calcular a média, consideramos que todos as observações correspondem aos pontos 
médios das classes. Sempre que tivermos dados em classes, este é o procedimento visto 
(matéria da aula anterior). Note que o exercício foi até legal nesse sentido, dando a dica 
de como calcular a média. 
 
Para cálculo da média, sempre trabalhamos com freqüências simples. Não importa se 
absolutas ou relativas. Basta que sejam simples. 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 57 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Classe (valores 
em R$ 1.000,00) 
 
 
 
Ponto médio de classe 
(valores em R$ 
1.000,00) 
 
 
Freqüência simples 
 
 
[1 ; 2) 1,5 200 
[2 ; 3) 2,5 400 
[3 ; 4) 3,5 500 
[4 ; 5) 4,5 600 
[5 ; 6) 5,5 300 
 
 
Poderíamos criar uma variável auxiliar ‘d’, da maneira vista na aula 2. Mas acho que os 
valores envolvidos são relativamente tranqüilos, e as contas não estão difíceis. Assim, 
vou abrir mão desta variável auxiliar. Se você quiser criar a variável auxiliar, sem 
problemas, o resultado tem que ser o mesmo. 
 
Vamos criar a coluna adicional, de valor vezes freqüência. 
 
 
Ponto médio de classe 
X (em R$ 1.000,00) 
 
 
Freqüência simples 
f 
 
 
X × f
1,5 200 300 
2,5 400 1000 
3,5 500 1750 
4,5 600 2700 
5,5 300 1650 
 
Somamos as colunas: 
Ponto médio de classe 
X (em R$ 1.000,00) 
Freqüência simples 
f 
X × f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E a média fica: 
 
X = 7400 = 3 7, 
2000 
 
1,5 200 300 
2,5 400 1000 
3,5 500 1750 
4,5 600 2700 
5,5 300 1650 
TOTAL 2000 7400 
 
 
 
 
 
 
Lembrando que este valor está em R$ 1.000,00. 
Na verdade a média é igual a R$ 3.700,00. 
 
 
Para achar a mediana, precisamos trabalhar com freqüências acumuladas. 
Transformando as freqüências simples em freqüências acumuladas, temos: 
Classe Freqüência 
simples 
Freqüência 
acumulada 
Memória de cálculo 
 
[1.000 ; 2.000) 200 200 =200 
[2.000 ; 3.000) 400 600 =200+400 
[3.000 ; 4.000) 500 1100 =600+500 
[4.000 ; 5.000) 600 1700 =1100+600 
[5.000 ; 6.000) 300 2000 =1700+300 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 58 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
São 2000 observações. Queremos saber qual o valor que não é superado por 50% das 
observações (ou seja, o valor que não é superado por 1000 observações). 
Classe Freqüência acumulada 
[1.000 ; 2.000) 200 
[2.000 ; 3.000) 600 
[3.000 ; 4.000) 1100 
[4.000 ; 5.000) 1700 
[5.000 ; 6.000) 2000 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
3000 600 3000 corresponde a 600 
Z 1000 Quem corresponde a 1000? 
4000 1100 4000 corresponde a 1100 
 
 
Primeira linha 3000 600 
Segunda linha Z 1000 
Terceira linha 4000 1100 
 
 
 
Fazendo a subtração das linhas: 
Z-3000 1000-600 
4000-3000 1100-600 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que as diferenças acima são proporcionais. 
 
 Z − 3000 = 1000 − 600 4000 − 3000 1100 − 600 
 
Z − 3000 = 400 1000 500 
 
Z = 400 ×1000 + 3000 = 800 + 3000 = 3800 
500 
 
A mediana é igual a R$ 3.800,00. 
Portanto, o módulo da diferença entre a média e a mediana é de R$ 100,00. 
Resposta: A. 
 
 
EC 30 
 
Analista – Área documentação. Especialidade – Estatística – MPU/2007 [FCC] 
 
Considere o histograma da variável X a seguir, em que as freqüências simples absolutas 
foram anotadas no interior dos retângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 59 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
O valor do terceiro quartil de X é: 
a) 40 
b) 35 
c) 30 
d) 25 
e) 12 
 
 
Vamos achar qual a tabela de freqüências simples que corresponde ao histograma acima. 
O histograma dado corresponde à seguinte tabela: 
Classes Freqüência absoluta simples 
20 – 25 5 
25 – 30 15 
30 – 35 25 
35 – 40 8 
40 - 45 7 
Total 60 
 
O terceiro quartil é o valor que não é superado por 75% das observações. Como são 60 
dados, o terceiro quartil é valor que não é superado a 45 observações. Ou seja, é o valor 
que corresponde à freqüência acumulada 45. 
 
Abaixo segue a tabela de freqüências acumuladas: 
Classes Freqüência absoluta simples Freqüência acumulada 
simples 
20 – 25 5 5 
25 – 30 15 20 
30 – 35 25 45 
35 – 40 8 53 
40 - 45 7 60 
 
E nem precisamos fazer a interpolação linear. Na tabela acima temos direto o valor que 
corresponde à freqüência acumulada 45. Este valor é 35. Ou seja, 35 é o terceiro quartil. 
Resposta: B. 
 
Agora eu queria chama a atenção para um detalhe. Voltemos ao histograma. Considere 
apenas a área à esquerda do terceiro quartil. É a área destacada em verde na figura 
abaixo. 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 60 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
Temos três retângulos verdes. O primeiro tem altura igual a 5. O segundo tem altura 
igual a 15. O terceiro tem altura igual a 25. Todos eles tem base igual a 5. A área total 
desses três retângulos fica: 
 
A _ verde = 5 × 5 + 5 ×15 + 5 × 25 = 225 
 
Agora vejamos qual a área total de todos os retângulos (área amarela da figura abaixo). 
 
 
 
Temos cinco retângulos, todos com base 5. Os três primeiros nós já analisamos. Juntos, 
eles têm área de 225. 
 
Os dois últimos têm alturas de 8 e 7. A área dos dois últimos fica: 
 
5 × 8 + 5 × 7 = 75 
 
Portanto, a área amarela é de: 
 
A _ amarela = 225 + 75 = 300 
 
Vamos dividir as áreas? 
 
 A _ verde = 225 = 0 75, 
 
 
 
 
= %75 
A _ amarela 300 
 
A área à esquerda de 35 (=área verde) é igual a 75% da área total. E 35 é justamente o 
terceiro quartil, ou seja, o valor que não é superado por 75% das observações. 
 
Isso não é coincidência. 
 
Um histograma também pode ser útil para achar medidas separatrizes. As áreas a 
esquerda de um dado valor têm íntima relação com a posição que este valor ocupa. 
 
Por exemplo, a área à esquerda da mediana será sempre igual a 50% da área total. 
 
 
 
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A área à esquerda do primeiro quartil será sempre igual a 25% da área total. E assim por 
diante. 
 
Por enquanto não precisam se preocupar em utilizar esta propriedade para resolver as 
questões. Só quis fazer alguns comentários a respeito porque esta propriedade será 
extremamente importante quando entrarmos em estatística inferencial. 
 
 
EC 31 
 
Especialista em regulação de saúde suplementar. Especialidade: Estatística. Ministério da 
Saúde/2007 [FCC] 
 
O histograma abaixo representa a distribuição das idades dos pacientes atendidos no ano 
de 2000 em uma clínica infantil, expressa em anos. 
 
 
 
A idade que separa os 30% mais jovens é: 
a) 3,5 
b) 4,2 
c) 4,4 
d) 4,6 
e) 5,0 
 
 
 
Vamos achar a tabela que corresponde ao histograma. 
Classes Freqüência relativa simples Freqüência relativa 
acumulada 
2 – 4 18 18 
4 – 6 40 58 
6 – 8 25 83 
8 – 10 17 100 
 
Queremos saber qual o valor que corresponde à freqüência relativa acumulada de 30%. 
Podemos montar o seguinte quadro: 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
4 18 4 corresponde a 18% 
Z 30 Quem corresponde a 35%? 
6 58 6 corresponde a 58% 
 
 
Primeira linha 4 18 
Segunda linha Z 30 
Terceira linha 6 58 
 
 
 
Fazendo a subtração das linhas: 
Z-4 30 – 18 
6 – 4 58 – 18 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 62 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que as diferenças acima são proporcionais. 
 
Z − 4 = 30 − 18 6 − 4 58 − 18 
 
Z − 4 = 12 � Z = 4 6, 
2 40 
 
Resposta: D 
 
 
Novamente, vamos ver como ficam as áreas do histograma. 
A área à esquerda de 4,6 é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4,6 
 
 
Temos um retângulo de base 2 e altura 0,18. E outro de base 0,6 e altura 0,40. A área 
total desses dois retângulos é de: 
 
A _ verde = 2 × 0 
18, 
 
+ 0 6, 
 
× ,0 40 = 0 6, 
 
E a área de todo o histograma é igual a 2. 
 
Portanto, a área verde representa 30% da área de todo o histograma. A área verde é a 
área à esquerda de 4,6, que é justamente o valor que separa os 30% mais jovens. 
Novamente, isto não é coincidência! 
 
 
EC 32 
 
Analista Judiciário. Área apoio especializado. Especialidade: Estatística. TRF 2ª 
Região/2007 [FCC] 
 
 Considere
o histograma da variável X: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 63 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
O valor da mediana de X é: 
a) 25,0 
b) 32,5 
c) 37,5 
d) 40,0 
e) 42,0 
 
 
Para resolver esse problema, você pode perfeitamente montar a tabela de freqüências e 
fazer o procedimento que temos visto desde o começo da aula (montando o quadro com 
as três linhas, subtraindo as debaixo pela de cima, fazendo as razões, et). 
 
Para variar um pouco, vou fazer uma solução diferente. Vou usar a propriedade do 
histograma. 
 
A área total da figura é igual a: 
 
A _ total = 10 × 8( 
 
+ 12 + 16 + 12 + 8 + )8 
 
= 640 
 
A mediana é o valor que divide esta área em duas partes iguais. Ou seja, em duas áreas 
de 320. 
O primeiro retângulo da figura tem área de 80. 
O segundo retângulo tem área de 120. 
 
Somando esses dois retângulos, temos uma área de 200. Para completar 320, 
precisamos de mais uma área de 120. 
 
O terceiro retângulo tem área de 160. Se levarmos em conta toda a sua área, 
extrapolamos os 320. Assim, temos que considerar apenas parte de sua área. 
 
Como o terceiro retângulo tem altura igual a 16, precisamos de uma base igual a 7,5, 
para que a área seja de 120. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 64 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37,5 
 
Note como a área verde da figura acima atende ao que precisamos. Ela é exatamente 
igual a 320. Ou seja, em vez de usarmos todo o terceiro retângulo, usamos apenas parte 
dele. Apenas a parte à esquerda do 37,5. 
 
Pronto. O número 37,5 é tal que a área à sua esquerda é metade da área inteira do 
histograma. Ele é a nossa mediana. 
 
Resposta: C 
 
 
Antes de passarmos ao próximo exercício, um detalhe. O histograma é uma forma 
gráfica de representar dados agrupados em classes. Quando todas as classes têm a 
mesma amplitude, o histograma é exatamente do jeito que vimos acima. As alturas dos 
retângulos correspondem às freqüências absolutas de cada classe. 
 
Há uma outra maneira de montar o histograma, que é mais usual quando as classes têm 
amplitudes diferentes (embora também possa ser usada para o caso de amplitude de 
classe constante). 
 
Quando as classes tiverem amplitudes diferentes, o histograma muda. Em vez de as 
alturas corresponderem às freqüências, elas correspondem às densidades de freqüência 
(= freqüência dividida pela amplitude de classe). 
 
É exatamente a mesma adaptação que fizemos quando comentamos algo sobre cálculo 
de moda para dados agrupados em classes quando a amplitude de classe não é 
constante (lembram do finalzinho da aula passada? Foi lá na página 62). 
 
E aí vem a pergunta: já caiu alguma questão cobrando histograma quando a amplitude 
de classe não é constante? Novamente, não conheço nenhuma questão assim. 
 
Mas esta informação nos será muito útil quando entrarmos em estatística inferencial. 
Retomamos este assunto lá na aula 5. 
 
 
EC 33 
 
Analista BACEN/2006 – Área 5 [FCC] 
 
O histograma de freqüências absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações 
contidas na revista “O empreiteiro”, de junho de 2005, que demonstra o comportamento 
das empresas construtoras do ramo da construção civil no Brasil que obtiveram 
faturamento em 2004 maior ou igual a 15 milhões de reais e menor o igual a 120 
milhões de reais. 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 65 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do faturamento das 
empresas deste estudo, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo 
de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Com relação ao total de 
empresas deste histograma, o valor encontrado para esta média pertence ao intervalo de 
classe que contém 
a) 24% das empresas 
b) 16% das empresas 
c) 9% das empresas 
d) 7% das empresas 
e) 5% das empresas 
 
 
 
Podemos encontrar a tabela correspondente ao histograma. 
Ponto médio ( X ) 
 
 d = 
X − 22 5, Freqüência ( f ) 
15 
d × f 
 
 
22,5 0 31 0 
37,5 1 24 24 
52,5 2 16 32 
67,5 3 9 27 
82,5 4 5 20 
97,5 5 7 35 
112,5 6 8 48 
TOTAL 100 186 
 
 
A média de d fica: 
 
d = 186 100 
 
Agora temos que encontrar a média de X. 
 
=d X − 22 5, � X 15 
 
 
= 15 × d + 22 5, 
 
 
X = 15 × d + 22 5, 
 
X� = ,50 4 
Esse valor está na terceira classe, que contém 16% das empresas. 
Resposta: B 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 66 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Lá na página 59 da aula passada, nós falamos sobre a moda de Pearson. Dissemos que 
sua fórmula era: 
 
M � 3D − 2 X 
 
Nessa fórmula temos: 
 
· M é a moda 
 
· D é a mediana 
 
· X é a média. 
 
E não foi possível passar nenhum exercício, porque ainda não tínhamos estudado a 
mediana para dados em classes. 
 
Agora chegou a hora de ver um exercício a respeito. Ele engloba moda de Pearson e 
histograma. 
 
 
 
EC 34 
 
Técnico de controle externo III – TCE/MG – 2007. Área – Economia [FCC] 
 
O histograma de freqüências absolutas a seguir demonstra a distribuição dos salários dos 
empregados de uma empresa em dezembro de 2006: 
 
 
 
Sabendo-se que todos os intervalos de classe referentes a este histograma são fechados à 
esquerda e abertos à direita, calculou-se a média aritmética dos salários dos 
empregados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe 
são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. A moda de Pearson é igual a: 
 
a) R$ 3.200,00 b) R$ 2.950,00 c) R$ 2.900,00 d) R$ 2.850,0 
 
e) 2.800,00 
 
 
 
Podemos montar a seguinte tabela: 
Classes Freqüências 
[0,5; 1,5) 40 
[1,5; 2,5) 50 
[2,5; 3,5) 100 
[3,5; 4,5) 40 
[4,5; 5,5) 20 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 67 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Primeiro vamos calcular a média. 
Classes Ponto médio 
( X ) 
 
 
 
 
Freqüências 
( f ) 
 
 
 
 
X × f 
 
 
[0,5; 1,5) 1 40 40 
[1,5; 2,5) 2 50 100 
[2,5; 3,5) 3 100 300 
[3,5; 4,5) 4 40 160 
[4,5; 5,5) 5 20 100 
TOTAL 250 700 
 
A média de X fica: 
 
X = 700 = 2 8, 
250 
 
Para encontrar a mediana, precisamos das freqüências acumuladas. 
Classes Freqüências Freqüências 
acumuladas 
[0,5; 1,5) 40 40 
[1,5; 2,5) 50 90 
[2,5; 3,5) 100 190 
[3,5; 4,5) 40 230 
[4,5; 5,5) 20 250 
A mediana não é superada por 125 observações. 
Podemos montar o seguinte quadro: 
2,5 90 2,5 corresponde a 90 
Z 125 quem corresponde a 125? 
3,5 190 3,5 corresponde a 190 
 
Ficamos com: 
 
 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
Primeira linha 2,5 90 
Segunda linha Z 125 
Terceira linha 3,5 190 
 
 
Z – 2,5 125 – 90 
3,5 – 2,5 190 – 90 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais. 
 
 Z − 2 5, = 125 − 90 � Z = 2 5, 
 
+ 1× 35 = 2 85, 
3 5, − 2 5, 190 − 90 100 
A mediana é igual a 2,85. 
Portanto, a moda de Pearson fica: 
 
M = 3 × 2 
85, 
 
− 2 × 2 8, 
 
M = 2 
85, 
 
+ 2 × 2 
85,
− 2 × 2 8, 
 
M = 2 
85, 
 
+ 2 × (2 
85, 
 
− ,2 
)8 
 
= 2 95, 
 
Resposta: B 
 
 
 
2 Polígono de freqüências 
 
Considere o seguinte histograma: 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 68 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
Se nós passarmos uma linha unindo todos os pontos médios das laterais superiores dos 
retângulos do histograma, obtemos o seguinte gráfico: 
 
 
25 
 
 
20 
 
 
15 
 
 
10 
 
 
5 
 
 
0 
0 1 2 3 4 
 
 
 
 
Este gráfico acima é chamado de polígono de freqüência. É uma forma alternativa de 
representação de dados, que pode substituir o histograma. 
 
 
EC 35 
 
Analista IRB 2006 [ESAF] 
 
Histograma e Polígono de freqüência são: 
 
a) a mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de freqüência. 
b) um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de freqüência. 
c) um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de freqüência. 
 
d) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência. 
 
e) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência, porém com sentidos 
opostos. 
 
 
 
Resposta: D 
 
O histograma é uma representação gráfica. Temos várias barras, cada uma associada a 
uma classe. A altura das barras tem relação com a freqüência da classe, no caso das 
amplitudes de classe serem todas iguais. Se forem diferentes, a altura das barras têm 
relação com a densidade de freqüência da classe. 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 69 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
O polígono de freqüência é um gráfico de linhas que relaciona valores e freqüências. 
 
 
 
IX ASSIMETRIA 
 
1 Noções de assimetria 
 
No último edital NÃO constou o tópico “assimetria”. Assim, nós não vamos estudar como 
calcular os diversos índices de assimetria. A idéia é só que vocês tenham uma noção do 
que se trata. Por quê? Porque isso pode ajudar a resolver questões de medidas 
separatrizes com maior rapidez. 
 
Em vez de definir assimetria, vamos a alguns exemplos. 
Considere a seguinte seqüência de dados, que representam as idades de 16 pessoas. 
ROL: 2, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 10 
 
Vamos colocar estes dados em uma tabela: 
Idade Freqüência 
2 1 
4 2 
5 3 
6 4 
7 3 
8 2 
10 1 
TOTAL 16 
 
Esta seqüência acima é simétrica. Temos sete valores diferentes (2, 4, 5, 6, 7, 8, 10). 
 
Por enquanto, vamos esquecer a coluna de freqüências. Vamos considerar apenas a 
coluna das idades. O valor do meio é o 6. 
 
 
 
 
 
considerando apenas 
a coluna de idades, este é o 
termo do meio 
 
 
 
 
Idade Freqüência 
2 1 
4 2 
5 3 
6 4 
7 3 
8 2 
10 1 
TOTAL 16 
 
 
Analisemos agora os termos vizinhos ao seis. Temos o 5 e o 7. Os dois estão igualmente 
distantes de 6. 
 
 
 
 
 
6-1=5 
 
6+1=7 
 
 
 
 
 
Idade Freqüência 
2 1 
4 2 
5 3 
estão a uma distância de1 6 4 
7 3 em relação a 6 
8 2 
10 1 
TOTAL 16 
 
Na seqüência, afastando-nos do 6, temos o 4 e o 8. E ambos estão igualmente 
espaçados em relação a 6. 
 
 
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PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
 
6-2=4 
 
 
 
 
6+2=8 
 
 
 
 
 
Idade Freqüência 
2 1 
4 2 
5 3 
6 4 estão a uma distância de 2 
7 3 em relação a 6 
8 2 
10 1 
TOTAL 16 
 
Na seqüência, afastando-nos ainda mais de 6, temos o 2 e o 10. E ambos estão 
igualmente espaçados em relação a 6. 
 
Idade Freqüência 
6-4=2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6+4=10 
 
2 1 
3 0 
4 2 
5 3 
6 4 Estão a uma distância de 
7 3 4 em relação a 6 
8 2 
9 0 
10 1 
TOTAL 16 
 
Pronto, vimos que, à medida que nos afastamos de 6, os valores estão, aos pares, à 
mesma distância do centro. 
 
Analisemos agora as freqüências. 
A freqüência que corresponde ao 6 é 4. 
Idade Freqüência 
2 1 
4 2 
5 3 
6 4 frequencia correspondente 
7 3 ao 6 
8 2 
10 1 
TOTAL 16 
A partir da freqüência 4, analisemos as demais freqüências. 
As freqüências imediatamente vizinhas são 3 e 3. 
 
Idade Freqüência 
2 1 
4 2 
5 3 
6 4 frequencias iguais 
7 3 
8 2 
10 1 
TOTAL 16 
 
Afastando-nos mais do 4, as próximas freqüências também são iguais entre si (2 e 2). 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 71 
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Idade Freqüência 
2 1 
4 2 
5 3 
6 4 frequencias iguais 
7 3 
8 2 
10 1 
TOTAL 16 
E, afastando-nos ainda mais da freqüência 4, as freqüências continuam iguais. 
Idade Freqüência 
2 1 
4 2 
5 3 
6 4 frequencias iguais 
7 3 
8 2 
10 1 
TOTAL 16 
 
Quando isto acontece, ou seja, quando os valores estão igualmente espaçados em 
relação ao valor central, e quando as freqüências igualmente espaçadas em relação à 
freqüência central são iguais entre si, dizemos que a seqüência de dados é simétrica. 
Quando uma seqüência é simétrica, a média e a mediana são iguais ao termo do meio. 
Neste caso, a média, a mediana (e a moda) são iguais a 6. 
 
 
 
A visualização de uma seqüência simétrica é mais fácil por meio de gráficos. 
 
 
 
5 
 
4 
 
3 
 
2 
 
1 
 
0 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 
Idades 
 
 
 
Observe o gráfico de colunas correspondente à nossa série de dados. Se você colocar um 
espelho bem em cima da coluna correspondente à idade 6, as duas partes vão se 
sobrepor perfeitamente. 
Quando os dados estão em classes, o raciocínio é análogo. 
Vamos criar um outro exemplo, bem parecido: 
 
 
Classes de idade Freqüência 
2 – 3 1 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 72 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Classes de idade Freqüência 
3 – 4 2 
4 – 5 3 
5 – 6 4 
6 – 7 3 
7 – 8 2 
8 – 9 1 
TOTAL 16 
 
Agora, em vez de fazer um gráfico de colunas, vamos fazer um histograma. 
 
 
 
Novamente, observe que, se colocássemos um espelho bem no meio da classe central 
(classe de 5 a 6), a parte esquerda se sobreporia com perfeição à parte direita. 
Esta seqüência de dados é simétrica. 
 
A visualização também fica facilitada por meio do polígono de freqüência: 
 
 
 
5 
 
4 
 
3 
 
2 
 
1 
 
0 
2 3 4 5 6 7 8 9 
 
Idades 
 
 
Nestes casos, a média e a mediana são justamente iguais ao ponto médio da classe 
central. Ou seja, são iguais ao ponto médio da classe 5 – 6. Portanto, a média e a 
mediana são iguais a 5,5. 
 
Ainda em relação às seqüências simétricas, em geral, a moda também coincidirá com a 
média e a mediana.
Usei a expressão “em geral” porque seria perfeitamente possível a seguinte situação: 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 73 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
5 
 
4 
 
3 
 
2 
 
1 
 
0 
2 3 4 5 6 7 8 9 
 
Idades 
 
 
Numa situação assim, a seqüência continua simétrica. A média e a mediana continuam 
sendo iguais a 5,5 (o ponto médio da classe central). 
 
Mas a moda não é 5,5. Pelo contrário. A classe central é a classe com menor freqüência. 
As classes modais são as classes extremas. 
 
Mas esta situação, embora possível, não é usual. O mais “normal” é que, em seqüências 
simétricas, a moda seja igual à média e à mediana. 
 
Pois bem, sempre que um conjunto de dados não for simétrico, dizemos que ele é 
assimétrico. Nesses casos, não será possível construir um gráfico de colunas (ou um 
histograma, se tivermos dados em classes) de tal forma que existam duas partes que se 
sobreponham com perfeição. 
 
 
 
2 Formas da curva de freqüência. 
 
As curvas de freqüência (ou os polígonos de freqüência) podem ter vários formatos. Um, 
em especial, é algumas vezes perguntado em provas. É o que tem formato de sino: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As maiores freqüências correspondem aos valores do meio. Um exemplo deste tipo de 
gráfico poderia ser as notas dos alunos em uma dada prova. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 74 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
6 
 
5 
 
4 
 
3 
 
2 
 
1 
 
0 
4 5 6 7 8 9 10 
 
Notas 
 
 
 
A grande maioria das notas girou em torno de 7. 
 
Algumas poucas pessoas tiraram notas baixa. E tivemos algumas poucas notas altas. 
Note que, se colocarmos um espelho sobre o valor 7, as duas partes se sobrepõem com 
perfeição. A seqüência é simétrica. A média é igual à mediana que é igual à moda, e 
todas elas são iguais a 7. 
 
 
 
6 
média = moda = mediana = 7 
5 
 
4 
 
3 
 
2 
 
1 
 
0 
4 5 6 7 8 9 10 
 
Notas 
 
A partir deste gráfico simétrico, podemos imaginar outras curvas, assimétricas. 
A primeira é a que segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 75 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
6 
 
5 
 
4 
 
3 
 
2 
 
1 
 
0 
4 5 6 7 8 9 10 
 
Notas 
 
Este gráfico já representa uma prova mais difícil, em que não houve muitas notas altas. 
Observe que há uma “cauda” mais alongada na parte esquerda do gráfico. Dizemos que a 
curva é assimétrica negativa, ou desviada à esquerda. 
 
6 
 
5 
 
4 
 
3 cauda 
 
2 
 
1 
 
0 
4 5 6 7 8 9 10 
 
Notas 
 
 
 
Como lembrar desses nomes? 
 
Bom, lembre sempre da cauda. A cauda está à esquerda, então a curva é desviada à 
esquerda. E como a cauda está mais próxima dos números negativos da reta real, então a 
curva é assimétrica negativa. 
 
Para encontrar a moda não tem erro. A moda corresponde ao termo de maior freqüência 
que, no caso, é o 7. 
 
A média sempre estará do lado da cauda. E a mediana estará entre a média e a moda. 
Assim, se tivéssemos que apontar, “mais ou menos”, onde se encontram cada uma 
destas medidas, ficaria assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 76 
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6 mediana: entre a média e a moda 
 
5 
 
4 
 
3 
 
2 moda = 7 
 
1 
 
0 
4 5 6 7 8 9 10 
 
Notas 
 
 
média: está em 
algum lugar à esquerda do 7 
(portanto, do lado da cauda) 
 
A moda seria igual a 7. A média estaria a esquerda de 7 (portanto, do lado da cauda). E 
a mediana estaria entre a média e a moda. 
 
Agora imagine uma outra prova, em que as questões foram bem fáceis. A curva de 
freqüências das notas seria: 
 
 
 
6 
 
5 
 
4 
 
3 
 
2 
 
1 
 
0 
4 5 6 7 8 9 10 
 
Notas 
 
 
 
Observe que, agora, as notas são bem altas. Há uma cauda mais alongada do lado 
direito. Dizemos que a curva é desviada à direita ou assimétrica positiva. 
 
Como lembrar desses nomes? 
 
É só lembrar da cauda. Se a cauda está do lado direito, a curva é assimétrica à direita. 
Como a cauda está do lado dos números positivos, a assimetria é positiva. 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 77 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
6 
 
5 
 
4 cauda 
 
3 
 
2 
 
1 
 
0 
4 5 6 7 8 9 10 
 
Notas 
 
 
Vamos localizar as medidas de tendência central? A moda é fácil. A moda é igual a 7. 
 
A média, novamente, estará do lado da cauda. Será, portanto, um pouco maior que 7. E 
a mediana estará entre a média e a moda. 
 
 
 
6 mediana: entre a média e a moda 
 
5 
 
4 
 
3 
 
2 moda = 7 
 
1 
 
0 
4 5 6 7 8 9 10 
 
Notas 
 
 
média: está em 
algum lugar à direita do 7 
(portanto, do lado da cauda) 
 
 
 
Agora vejamos algumas questões. Não de assimetria, mas de medidas de posição. Vou 
apenas usá-las como exemplo para mostrar a vantagem de ter uma noção de assimetria. 
 
 
EC 36 
Analista Ministerial MPE PE/2006. Área: estatística [FCC] 
Considere a tabela a seguir: 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 78 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
A tabela acima apresenta a distribuição de freqüências relativas do valor do salário pago 
aos funcionários da fábrica Y no mês de abril de 2006. A média e a mediana do valor do 
salário pago pela fábrica Y no mês de abril de 2006 são, respectivamente, 
 
a) R$ 200,00 e R$ 400,00 
b) R$900,00 e R$1.000,00 c) 
R$1.050,00 e R$1.000,00 d) 
R$800,00 e R$800,00 
 
e) R$900,00 e R$900,00 
 
 
 
Repare que a distribuição fornecida é simétrica. 
 
Nesse caso, a média coincide com a mediana. Portanto, já descartamos as letras A, B e 
C. 
 
Ficamos entre as letras D e E. E para achar a média (ou a mediana), não precisa de 
muita conta. Simplesmente adotamos o ponto médio da classe central. 
 
Media = Mediana = 800 + 1000 = 900 
2 
 
Resposta: E. 
 
 
EC 37 
 
Auditor do Tesouro Municipal – Prefeitura Municipal de Natal – 2008 [ESAF] 
 
A coleta de dados do município, relativa ao ensino fundamental, apresentou a seguinte 
composição etária: 
 
Composição Etária dos Alunos do Ensino Fundamental: 
Faixa Etária Masc. Fem. 
Até 06 anos 9.000 10.200 
De 07 a 08 anos 10.000 9.300 
De 09 a 10 anos 8.000 8.500 
De 11 a 12 anos 7.000 5.500 
De 12 a 14 anos 5.000 3.500 
De 15 a 18 anos 3.000 2.500 
Acima de 18 anos 1.000 1.500 
Total 43.200 40.800 
Com base nos dados acima, temos as seguintes sentenças: 
I. A Moda está na faixa etária até os 06 anos. 
II. A Média de alunos está na faixa etária de 12 a 14 anos. 
III. A Mediana é superior à média. 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 79 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Apontando nos 3 (três) itens acima como V – Verdadeiro e 
 
F – Falso, a opção correta é: 
a) V, V, V 
b) V, F, V 
c) F, V, F 
d) F, F, F 
e) V, V, F 
 
 
 
Observe que as classes têm amplitudes diferentes. 
 
O primeiro item é sobre a moda. Não se pediu o cálculo da moda. Apenas se afirmou que a 
classe modal
era a primeira, o que é falso. 
 
A segunda classe (de 7 a 8 anos) tem a maior freqüência absoluta (19.300) e, o que é 
realmente importante, a maior relação f h . 
 
Algumas críticas à questão. Em primeiro lugar, a última linha (com os totais) está errada, 
não representando realmente as somas das colunas. 
 
Em segundo lugar, ‘faltaram classes’. De acordo com a tabela acima, não há nenhum 
aluno com 8 anos e tantos meses. Ou com 10 anos e tantos meses. Ou com 14 anos e 
tantos meses. Embora seja uma situação possível, é bastante improvável. 
 
Estas classes faltantes dificultam um pouco a resposta ao item III, sendo necessário que o 
candidato faça algumas suposições. 
 
Reescrevendo a tabela, corrigindo a linha com os totais, temos: 
 
 
Faixa Etária Masc. Fem. Total 
Até 06 anos 9.000 10.200 19.200 
De 07 a 08 anos 10.000 9.300 19.300 
De 09 a 10 anos 8.000 8.500 16.500 
De 11 a 12 anos 7.000 5.500 12.500 
De 12 a 14 anos 5.000 3.500 8.500 
De 15 a 18 anos 3.000 2.500 5.500 
Acima de 18 anos 1.000 1.500 2.500 
Total 43.000 41.000 84.000 
 
O segundo item afirma que a média está na classe 12 a 14 anos. Sem fazer contas, isto é 
falso. 
 
Notem como as quatro primeiras classes têm muito mais alunos que as três últimas. A 
média deve ser menor que 12 anos. De 
todo modo, vamos fazer as contas. 
 
Para achar a média, supomos que todas as idades correspondam ao ponto médio das 
classes. Só que para a primeira e a última classes não foram fornecidos os dois limites. 
Na primeira classe só foi fornecido o limite superior. Na última classe só foi fornecido o 
limite inferior. 
 
Vamos tentar elevar ao máximo a média. Vamos supor que a primeira classe represente 
um valor único (represente apenas as crianças com exatamente 6 anos). E vamos supor 
que o limite superior da última classe seja 50 anos (uma idade extremamente alta para o 
ensino fundamental). 
 
A média, nesta situação ‘exagerada’, ficaria: 
 
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Faixa Etária Ponto médio f 
da classe ( X ) 
 
 
 
 
X × f 
 
6 anos 6 19.200 115.200,00 
De 07 a 08 anos 7,5 19.300 144.750,00 
De 09 a 10 anos 9,5 16.500 156.750,00 
De 11 a 12 anos 11,5 12.500 143.750,00 
De 12 a 14 anos 13 8.500 110.500,00 
De 15 a 18 anos 16,5 5.500 90.750,00 
De 18 a 50 anos 34 2.500 85.000,00 
Total 84.000 846.700 
 
 
 
X = 846 700. � 10 08, 84 000. 
 
Ou seja, mesmo numa situação exagerada, a média não ficou na classe de 12 a 14 anos. 
Ficou bem longe disso. 
O segundo item está falso. 
Agora vamos à mediana. 
 
Creio que a intenção da questão era que o candidato usasse as propriedades de 
assimetria. Esta curva seria assimétrica à direita. A média é maior que a mediana, que é 
maior que a moda. Concluímos que o terceiro item também está falso. E a resposta é a 
letra D. 
 
 
Pronto, treinamos o posicionamento relativo de média, mediana e moda para seqüências 
assimétricas. Esse era o meu intuito quando coloquei a questão. 
 
 
Só que tem um porém. Essa questão tem uma falha que atrapalha um pouco as coisas. 
Esse posicionamento relativo de média, mediana e moda vale quando a curva é mais 
“bem comportada”. Não é o caso desses dados acima. Como já dissemos, há várias 
classes faltantes, o que tornam esta curva atípica. 
 
Em situações assim, não há garantias que média, mediana e moda obedeçam ao 
posicionamento visto. Portanto, para uma resolução com maior segurança, teríamos que 
buscar estimar a mediana. 
 
Vamos achar a mediana. No cálculo da mediana, a primeira e a última classe não 
importam muito. 
Faixa Etária Ponto médio f F 
da classe ( X ) 
Até 6 anos 6 19.200 19.200 
De 07 a 08 anos 7,5 19.300 38.500 
De 09 a 10 anos 9,5 16.500 55.000 
De 11 a 12 anos 11,5 12.500 67.500 
De 12 a 14 anos 13 8.500 76.000 
De 15 a 18 anos 16,5 5.500 81.500 
Acima de 18 anos 34 2.500 84.000 
 
A mediana é o valor que corresponde à freqüência acumulada de 42.000. 
 
E aqui, devido às classes ‘faltantes’, vamos reescrever a tabela acima, para facilitar a 
visualização: 
 
 
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Faixa Etária Ponto médio f F 
Da classe ( X ) 
Até 6 anos 6 19.200 19.200 
De 6 até 7 anos 6,5 0 19.200 
De 07 a 08 anos 7,5 19.300 38.500 
De 08 a 09 anos 8,5 0 38.500 
De 09 a 10 anos 9,5 16.500 55.000 
De 10 a 11 anos 10,5 0 55.000 
De 11 a 12 anos 11,5 12.500 67.500 
De 12 a 14 anos 13 8.500 76.000 
De 14 a 15 anos 14,5 0 76.000 
De 15 a 18 anos 16,5 5.500 81.500 
Acima de 18 anos 34 2.500 84.000 
 
Agora podemos continuar com o cálculo da mediana. 
 
A idade de 9 anos corresponde à freqüência acumulada de 38.500. A idade de 10 anos 
corresponde à freqüência acumulada de 55.000. A pergunta é: quem corresponde à 
freqüência acumulada de 42.000? 
9 38.500 9 corresponde a 38.500 
Z 42.000 Quem corresponde a 
42.000? 
10 55.000 10 corresponde a 55.000 
 
 
Primeira linha 9 38.500 
Segunda linha Z 42.000 
Terceira linha 10 55.000 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
Fazendo as razões: 
 
 
 
 
Z − 9 
10 − 9 
 
 
 
 
 
 
42.000 − 38.500 
55.000 − 38.500 
 
 
 
Z − 9 
10 − 9 
 
= 42 
000. 
55 
000. 
 
− 38 500. 
− 38 500. 
 
Z − 9 = 3 500. = ,0 21 
16 500. 
 
Z = ,9 21 
 
E a mediana é igual a 9,21. 
 
O último item pede que comparemos a média e a mediana. 
 
Como a tabela em questão é ‘meio esquisita’, é conveniente fazermos alguns cálculos. O 
primeiro foi achar a mediana (=9,21). 
 
O segundo é achar uma nova estimativa para a média. 
 
No item anterior, tentamos achar uma estimativa máxima para a média (criando uma 
situação exagerada que aumentasse seu valor e fizesse que a média fosse bem grande). 
Ainda assim a média não ficou na classe 12 – 14, o que nos fez marcar falso no segundo 
item. 
 
Agora vamos achar uma estimativa mínima para a média (criando uma situação 
exagerada que diminua o valor da média). 
 
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Vamos supor que o limite inferior da primeira classe é 4 (crianças com menos de 4 anos 
no ensino fundamental seria ‘forçar demais’). E vamos supor que a última classe se refira 
apenas às pessoas com exatamente 18 anos. 
 
A nova média fica: 
 
 
Faixa Etária Ponto médio f 
da classe ( X ) 
 
 
X × f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E a média fica: 
De 04 a 06 anos 5 19.200 96.000 
De 07 a 08 anos 7,5 19.300 144.750 
De 09 a 10 anos 9,5 16.500 156.750 
De 11 a 12 anos 11,5 12.500 143.750 
De 12 a 14 anos 13 8.500 110.500 
De 15 a 18 anos 16,5 5.500 90.750 
18 anos 18 2.500 45.000 
Total 81 84.000 787.500 
 
 
 
X = 787 500. = 9 38, 84 000. 
 
Ou seja, numa situação extrema, tentando fazer com que a média seja mínima, ela seria 
igual a 9,38 anos. Ainda assim, seria maior que a mediana e o último item também 
estaria falso. 
 
Caso a tabela do exercício representasse uma situação real, não precisaríamos fazer 
tantas suposições e tantas contas para resolver. Bastaria aplicar os conceitos que vimos 
lá em assimetria que a questão seria respondida praticamente sem contas. 
 
Não é o caso deste exercício. Como já dissemos, é muito improvável que um município 
não tenha nenhum aluno no ensino fundamental com 10 anos e tantos meses, ou 14 
anos e tantos meses. Estas ‘classes faltantes’ dificultam um pouco as coisas. 
 
 
 
 
LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
EC 1 
 
AFC/CGU
- 2008. Área: Estatística e cálculos atuariais. [ESAF] 
 
[Conjunto de dados da questão anterior: 58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 
73, 5 e 56]. 
 
Dado o conjunto de dados da questão anterior, determine a amplitude interquartilica Q3 
– Q1. 
a) 33. 
b) 37. 
c) 40. 
d) 46. 
e) 51. 
 
 
 
EC 2 
 
Analista CVM 2001 [ESAF] 
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PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Uma firma distribuidora de eletrodomésticos está interessada em estudar o 
comportamento de suas contas a receber em dois meses consecutivos. Com este 
objetivo, seleciona, para cada mês, uma amostra de 50 contas. As observações 
amostrais constam da tabela seguinte: 
Valor (R$) Freqüência de março Freqüência de abril 
1.000,00 6 10 
3.000,00 13 14 
5.000,00 12 10 
7.000,00 15 13 
9.000,00 4 - 
11.000,00 - 3 
 
Assinale a opção que corresponde ao intervalo interquartílico, em reais, para o mês de 
março. 
a) 3.250,00 
b) 5.000,00 
c) 4.000,00 
d) 6.000,00 
e) 2.000,00 
 
 
 
EC 3 
AFRF – 2003 [ESAF] 
Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. 
Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral de X 
que não é superado por cerca de 80% das observações. 
a) 10.000 
b) 12.000 
c) 12.500 
d) 11.000 
e) 10.500 
 
 
 
EC 4 
AFRF/2002-2 [ESAF] 
 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências 
seguinte: 
 
Classes Freqüência ( f ) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 84 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. 
a) 71,04 
b) 65,02 
c) 75,03 
d) 68,08 
e) 70,02 
 
 
 
EC 5 
 
Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 [FCC] 
 
Considere a tabela abaixo que mostra a distribuição de salários (em reais) de 160 
funcionários de determinada empresa, com suas respectivas freqüências relativas 
acumuladas. 
 
Classes em reais Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
Utilizando a interpolação linear, o número de funcionários que ganham salários menores 
ou iguais a R$ 1.700,00 é: 
a) 96 
b) 84 
c) 72 
d) 64 
e) 56 
 
 
 
EC 6 
 
Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 [FCC] 
 
Considere a tabela abaixo que mostra a distribuição de salários (em reais) de 160 
funcionários de determinada empresa, com suas respectivas freqüências relativas 
acumuladas. 
 
Classes em reais Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
 
O valor absoluto da diferença entre a mediana, obtida por interpolação linear, e a média 
aritmética dos salários, em reais, é [considere que você já sabe que a média é 1580]: 
a) 20 
b) 80 
c) 100 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 85 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
d) 200 
 
e) 300 
 
 
 
EC 7 
 
Fiscal ICMS/PA – 2002 [ESAF] 
 
A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a 
uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do 
departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com 
as extremidades das classes salariais. 
 
Classes F 
29,5 – 39,5 2 
39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 13 
59,5 – 69,5 23 
69,5 – 79,5 36 
79,5 – 89,5 45 
89,5 – 99,5 50 
 
Assinale a opção que corresponde ao valor z, obtido por interpolação da ogiva, que, 
estima-se, não é superado por 80% das realizações de Y. 
a) 82,0 
b) 80,0 
c) 83,9 
d) 74,5 
e) 84,5 
 
 
 
EC 8 
 
Fiscal ICMS PI - 2001 [ESAF] 
 
A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência obtida de uma amostra aleatória dos 
salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são acumuladas. 
Classes de salário Freqüências 
5.000 – 6.500 12 
6.500 – 8.000 28 
8.000 – 9.500 52 
9.500 – 11.000 74 
11.000 – 12.500 89 
12.500 – 14.000 97 
14.000 – 15.000 100 
 
Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é 
ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa 
estimativa. 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 9.500,00 
c) R$ 12.500,00 
d) R$ 11.000,00 
e) R$ 11.500,00 
 
 
 
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EC 9 
 
Auditor ISS/Recife - 2003 [ESAF] 
 
O quadro seguinte apresenta a distribuição de freqüências da variável valor do aluguel 
(X) para uma amostra de 200 apartamentos de uma região metropolitana de certo 
município. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a 
opção que corresponde à estimativa do valor Z tal que a freqüência relativa de 
observações de X menores ou iguais a Z seja 80%. 
Classes R$ Freqüências 
350 – 380 3 
380 – 410 8 
410 – 440 10 
440 – 470 13 
470 – 500 33 
500 – 530 40 
530 – 560 35 
560 – 590 30 
590 – 620 16 
620 - 650 12 
a) 530 
b) 560 
c) 590 
d) 578 
e) 575 
 
 
AFRF/96 [ESAF] 
Texto para as questões EC 10 e EC 11 
Distribuição de Freqüências das Idades dos funcionários da Empresa Alfa, em 1/1/90. 
Classes 
de 
idades 
(anos) 
if Ptos 
médios 
( X i ) 
 
 37X 
i − 
5 
 
 
 
d= i 
 
 
d i × f i 
 
 
 
id 
2 
 
 
 
× f i 
 
 
 
id 
3 
 
 
 
× f i 
 
 
 
id 
4 
 
 
 
× f i 
 
 
 
19,5-24,5 2 22 -3 -6 18 -54 162 
24,5-29,5 9 27 -2 -18 36 -72 144 
29,5-34,5 23 32 -1 -23 23 -23 23 
34,5-39,5 29 37 0 0 0 0 0 
39,5-44,5 18 42 1 18 18 18 18 
44,5-49,5 12 47 2 24 48 96 192 
49,5-54,5 7 52 3 21 63 189 567 
TOTAL 100 16 206 154 1106 
 
 
 
EC 10 
 
AFRF 96 [ESAF] 
Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1/1/90. 
a) 35,49 
b) 35,73 
c) 35,91 
d) 37,26 
e) 38,01 
 
 
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EC 11 
 
AFRF 96 [ESAF] 
 
Sabe-se que o quadro de pessoal da empresa continua o mesmo em 1/1/96. Marque a 
opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1/1/96 
a) 35,49 
b) 36,44 
c) 41,49 
d) 41,91 
e) 43,26 
 
 
 
EC 12 
 
AFRF/2002-1 [ESAF] 
 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício 
produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de 
valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130
40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X. 
a) 138,00 
b) 140,00 
c) 136,67 
d) 139,01 
e) 140,66 
 
 
 
EC 13 
 
AFRF - 2001 [ESAF] 
 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 88 
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Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma 
amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação 
linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$ 
7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. 
a) 180 
b) 120 
c) 150 
d) 160 
e) 130 
 
 
 
EC 14 
 
Analista IRB 2006 [ESAF] 
 
No campo estatístico, ogivas são: 
 
a) polígonos de freqüência acumulada 
b) polígonos de freqüência acumulada relativa ou percentual. 
c) histograma de distribuição de freqüência 
d) histograma de distribuição de freqüência relativa ou percentual 
e) o equivalente à amplitude do intevalo. 
 
 
 
Texto para as questões EC 15 e EC 16 
 
Analista MPU 2004 – Área Pericial. Especialidade: Estatística [ESAF] 
 
A distribuição de freqüências de determinado atributo X é dada na tabela abaixo. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
Classes Freqüências 
2.000 – 4.000 18 
4.000 – 6.000 45 
6.000 – 8.000 102 
8.000 – 10.000 143 
10.000 – 12.000 51 
12.000 – 14.000 41 
 
 
 
EC 15 
Analista MPU 2004 – Área Pericial. Especialidade: Estatística [ESAF] 
Assinale a opção que corresponde à amplitude interquartílica. 
a) 4.500,1 
b) 6.200,2 
c) 3.000,4 
d) 3.162,6 
e) 2.400,0 
 
 
 
EC 16 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 89 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Analista MPU 2004 – Área Pericial. Especialidade: Estatística [ESAF] 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor de X que não é superado por 
80% das observações do atributo X 
a) 12.000 
b) 10.000 
c) 10.471 
d) 9.000 
e) 11.700 
 
 
Texto para as questões EC 17 e EC 18. 
Analista IRB 2004 [ESAF] 
 
As questões EC 17 e EC 18 dizem respeito à distribuição de freqüências conforme o 
quadro abaixo, no qual não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
Classe Freqüência acumulada 
129,5 – 139,5 4 
139,5 – 149,5 12 
149,5 – 159,5 26 
159,5 – 169,5 46 
169,5 – 179,5 72 
179,5 – 189,5 90 
189,5 – 199,5 100 
 
 
 
 
 
 
EC 17 
 
Analista IRB 2004 [ESAF] 
Assinale a opção que corresponde ao oitavo decil 
a) 179,5 
b) 189,5 
c) 183,9 
d) 184,5 
e) 174,5 
 
 
 
EC 18 
 
Analista IRB 2004 [ESAF] 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa, via interpolação da ogiva, do número de 
observações menores ou iguais ao valor 164. 
a) 46 
b) 26 
c) 72 
d) 35 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 90 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
e) 20 
 
 
 
EC 19 
 
AFRF - 2002-2 – [ESAF] 
 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências 
seguinte: 
 
Classes Freqüência ( f ) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população 
com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. 
a) 700 
b) 638 
c) 826 
d) 995 
e) 900 
 
 
 
EC 20 
 
Técnico Municipal de Nível Superior – Estatística – Prefeitura Municipal de Vila Velha 
[CESPE] 
 
Uma prefeitura registrou o aumento do valor venal V (em R$ por metro quadrado) de 
200 imóveis localizados em certo bairro residencial, conforme apresentado na tabela a 
seguir: 
 
 
Valor V (R$/m2) Número de imóveis 
V = 0 80 
0 < V ≤ 10 50 
10 < V ≤ 20 35 
20 < V ≤ 30 25 
30 < V ≤ 50 10 
Total 200 
 
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
 
99. A mediana, que é igual a R$ 25,00/m2, divide os 50% valores mais baixos dos 50% 
valores mais altos. 
 
 
 
EC 21 
Analista Previdenciário Pleno – Área de Estatística – Paraná Previdência – 2002 [CESPE] 
Texto II 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 91 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Em estudos previdenciários, é importante avaliar estatisticamente o tempo de sobrevida 
dos beneficiários. O tempo de sobrevida, em geral, depende do perfil do beneficiário, que 
abrange um conjunto de características como idade, espécie de benefícios (aposentadoria 
por idade, invalidez etc.), tipo de clientela (urbana/rural) etc. Para um estudo realizado 
acerca do tempo de sobrevida de beneficiários com um certo perfil, foram obtidos os 
resultados apresentados na tabela abaixo. 
Tempo de sobrevida T em 
anos 
0≤ T < 5 5≤ T < 
10 
10≤T< 20 20≤T< 40 Total 
 
Freqüência de 
beneficiários falecidos 
(%) 
20 40 30 10 100 
 
 
 
Com base nos estudos obtidos para o estudo apresentado no texto II, julgue o item que 
se segue. 
 
1. O primeiro quartil da distribuição é inferior a 5 anos. 
 
 
 
EC 22 
 
Analista de Regulação – Economista – ARCE/2006 [FCC] 
 
Uma empresa tem 1.000 empregados, classificados conforme a tabela abaixo: 
Salários (R$) Homens Mulheres Total 
(500; 1.500] 40 40 80 
(1.500; 2.500] 140 100 240 
(2.500; 3.500] 180 120 300 
(3.500; 4.500] 140 80 220 
(4.500; 5.500] 100 60 160 
Total 600 400 1000 
 
Observação: calculou-se as médias aritméticas correspondentes para grupo e geral 
considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são 
coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Para o cálculo das medianas utilizou-se 
o método da interpolação linear. 
 
Analisando os valores obtidos com relação aos empregados desta empresa, tem-se que: a) 
a média aritmética e a mediana dos salários dos homens são iguais a R$ 3.250,00 e R$ 
3.000,00, respectivamente. 
 
b) a média aritmética e a mediana dos salários das mulheres são iguais a R$ 3.200,00 e 
R$ 3.000,00, respectivamente. 
 
c) o valor encontrado para a média aritmética dos salários dos empregados de toda a 
empresa é igual a 3.125,00. 
 
d) o módulo da diferença entre as médias aritméticas dos salários dos 2 grupos é igual a 
R$ 150,00 
 
e) o módulo da diferença entre os valores das medianas dos salários entre os 2 grupos é 
inferior a R$ 150,00. 
 
 
 
Texto para as questões EC 23 e EC 24 
 
A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências das notas obtidas num teste de 
matemática, realizado por 50 estudantes. 
Notas Freqüência absoluta 
0 │− 2 4 
2 │− 4 12 
4 │− 6 15 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 92 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
6 │− 8 13 
8 │− 10 6 
 
 
 
EC 23 
 
Analista Judiciário. Especialidade: estatística. TRF 1ª Região [FCC] 
 
Se a nota mínima para aprovação no teste é 5,8, a porcentagem de aprovação é
de: 
a) 51% 
b) 48% 
c) 45% 
d) 41% 
e) 38% 
 
 
 
EC 24 
Analista Judiciário. Especialidade: estatística. TRF 1ª Região [FCC] 
A nota mediana desses estudantes é: 
a) 4,8 
b) 5,0 
c) 5,2 
d) 5,5 
e) 5,8 
 
EC 25 
 
Especialista em regulação de saúde suplementar. Especialidade: Estatística. Ministério da 
Saúde/2007 [FCC] 
 
A tabela fornece informações sobre o tipo de câncer e a idade de 500 pacientes que 
sofrem desta doença, internados num determinado hospital especializado na doença. 
Idade Câncer 
estomacal 
Câncer 
pulmonar 
Outros Total 
 
[0;10) 0 6 60 66 
[10;30) 30 9 25 64 
[30;50) 100 75 55 230 
[50;70) 70 60 10 140 
Total 200 150 150 500 
 
 
 
A idade mediana dos 150 pacientes com câncer pulmonar é: 
a) 30 anos 
b) 38 anos 
c) 40 anos 
d) 46 anos 
e) 49 anos 
 
 
 
EC 26 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 93 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Técnico de planejamento e pesquisa – IPEA/2004 [ESAF] 
 
Para uma amostra aleatória de determinado tributo encontrou-se a seguinte distribuição 
de freqüências. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
Classes Freqüências 
2.000 – 4.000 18 
4.000 – 6.000 45 
6.000 – 8.000 102 
8.000 – 10.000 143 
10.000 – 12.000 32 
12.000 – 14.000 60 
Assinale a opção que corresponde à melhor aproximação do nonagésimo quinto percentil. 
a) 13.000 
b) 12.585 
c) 13.333 
d) 12.667 
e) 13.900 
 
 
 
EC 27 
 
Analista BACEN/2006 – Área 5 [FCC] 
 
 
 
O valor da mediana dos salários dos empregados da empresa XYZ, obtida pelo método 
da interpolação linear, é igual a: 
 
 
a) R$ 3.500,00 b) R$ 3.625,00 c) R$ 3.650,00 d) R$ 3.800,00 
 
 
e) R$ 4.000,00 
 
 
 
EC 28 
 
Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 
 
O gráfico abaixo é o histograma de freqüências absolutas de uma amostra de valores 
arrecadados de determinado tributo em um município. 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 94 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
Com relação aos dados desta amostra, é verdade que: 
 
a) 60% dos valores são maiores ou iguais a R$ 1.500,00 e menores que R$ 3.000,00. 
 
b) Mais de 30% dos valores são maiores ou iguais a R$ 2.500,00 e menores que R$ 
3.500,00 
 
c) A porcentagem dos valores iguais ou superiores a R$ 3.500,00 é maior que a 
porcentagem dos valores inferiores a R$ 1.500,00 
 
d) A freqüência relativa de valores inferiores a R$ 1.500,00 é menos que 10% 
 
e) A amplitude da amostra é R$ 4.000,00. 
 
 
 
EC 29 
Fiscal ICMS/SP – 2006 [FCC] 
O histograma de freqüências absolutas, abaixo, demonstra o comportamento dos valores 
arrecadados de um determinado tributo, no ano de 2005, em uma região a ser 
analisada: 
 
Observação – Considere que todos os intervalos de classe do histograma são fechados à 
esquerda e abertos à direita. 
 
Utilizando as informações contidas neste histograma, calculou-se a média aritmética 
destes valores arrecadados, considerando que todos os valores incluídos num certo 
intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Também 
calculou-se a mediana de tais valores pelo método da interpolação linear. Então, o 
módulo da diferença entre a média aritmética e a mediana é igual a: 
a) R$ 100,00 
b) R$ 400,00 
c) R$ 800,00 
d) R$ 900,00 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 95 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
e) R$ 1.000,00 
 
 
 
EC 30 
 
Analista – Área documentação. Especialidade – Estatística – MPU/2007 [FCC] 
 
Considere o histograma da variável X a seguir, em que as freqüências simples absolutas 
foram anotadas no interior dos retângulos. 
 
 
 
O valor do terceiro quartil de X é: 
a) 40 
b) 35 
c) 30 
d) 25 
e) 12 
 
 
 
EC 31 
 
Especialista em regulação de saúde suplementar. Especialidade: Estatística. Ministério da 
Saúde/2007 [FCC] 
 
O histograma abaixo representa a distribuição das idades dos pacientes atendidos no ano 
de 2000 em uma clínica infantil, expressa em anos. 
 
 
 
A idade que separa os 30% mais jovens é: 
a) 3,5 
b) 4,2 
c) 4,4 
d) 4,6 
e) 5,0 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 96 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
EC 32 
 
Analista Judiciário. Área apoio especializado. Especialidade: Estatística. TRF 2ª 
Região/2007 [FCC] 
 
 Considere o histograma da variável X: 
 
 
 
O valor da mediana de X é: 
a) 25,0 
b) 32,5 
c) 37,5 
d) 40,0 
e) 42,0 
 
EC 33 
 
Analista BACEN/2006 – Área 5 [FCC] 
 
O histograma de freqüências absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações 
contidas na revista “O empreiteiro”, de junho de 2005, que demonstra o comportamento 
das empresas construtoras do ramo da construção civil no Brasil que obtiveram 
faturamento em 2004 maior ou igual a 15 milhões de reais e menor o igual a 120 
milhões de reais. 
 
 
 
Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do faturamento das 
empresas deste estudo, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo 
de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Com relação ao total de 
empresas deste histograma, o valor encontrado para esta média pertence ao intervalo de 
classe que contém 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 97 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
a) 24% das empresas 
b) 16% das empresas 
c) 9% das empresas 
d) 7% das empresas 
e) 5% das empresas 
 
 
 
EC 34 
 
Técnico de controle externo III – TCE/MG – 2007. Área – Economia [FCC] 
 
O histograma de freqüências absolutas a seguir demonstra a distribuição dos salários dos 
empregados de uma empresa em dezembro de 2006: 
 
 
 
Sabendo-se que todos os intervalos de classe referentes a este histograma são fechados à 
esquerda e abertos à direita, calculou-se a média aritmética dos salários dos 
empregados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe 
são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. A moda de Pearson é igual a: 
 
a) R$ 3.200,00 b) R$ 2.950,00 c) R$ 2.900,00 d) R$ 2.850,0 
 
e) 2.800,00 
 
 
 
EC 35 
 
Analista IRB 2006 [ESAF] 
 
Histograma e Polígono de freqüência são: 
 
a) a mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de freqüência. 
b) um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de freqüência. 
c) um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de freqüência. 
 
d) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência. 
 
e) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência, porém com sentidos 
opostos. 
 
 
 
EC 36 
 
Analista Ministerial MPE PE/2006. Área: estatística [FCC] 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 98 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Considere a tabela a seguir: 
 
 
 
A tabela acima apresenta a distribuição de freqüências relativas do valor do salário pago 
aos funcionários da fábrica Y no mês de abril de 2006. A média e a mediana do valor do 
salário pago pela fábrica Y no mês de abril de 2006 são, respectivamente, 
 
a) R$ 200,00 e R$ 400,00 
b) R$900,00 e R$1.000,00 c) 
R$1.050,00 e R$1.000,00 d) 
R$800,00 e
R$800,00 
 
e) R$900,00 e R$900,00 
 
 
 
EC 37 
 
Auditor do Tesouro Municipal – Prefeitura Municipal de Natal – 2008 [ESAF] 
 
A coleta de dados do município, relativa ao ensino fundamental, apresentou a seguinte 
composição etária: 
 
Composição Etária dos Alunos do Ensino Fundamental: 
Faixa Etária Masc. Fem. 
Até 06 anos 9.000 10.200 
De 07 a 08 anos 10.000 9.300 
De 09 a 10 anos 8.000 8.500 
De 11 a 12 anos 7.000 5.500 
De 12 a 14 anos 5.000 3.500 
De 15 a 18 anos 3.000 2.500 
Acima de 18 anos 1.000 1.500 
Total 43.200 40.800 
Com base nos dados acima, temos as seguintes sentenças: 
I. A Moda está na faixa etária até os 06 anos. 
II. A Média de alunos está na faixa etária de 12 a 14 anos. 
III. A Mediana é superior à média. 
 
Apontando nos 3 (três) itens acima como V – Verdadeiro e 
 
F – Falso, a opção correta é: 
a) V, V, V 
b) V, F, V 
c) F, V, F 
d) F, F, F 
e) V, V, F 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 99 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
 
 
EC 1 - D 
EC 2 - C 
EC 3 - E 
EC 4 - A 
EC 5 - A 
EC 6 - A 
EC 7 - C 
EC 8 - E 
EC 9 - D 
EC 10 - D 
EC 11 - E 
EC 12 - C 
EC 13 - A 
EC 14 - A 
EC 15 - D 
EC 16 - C 
EC 17 - C 
EC 18 - D 
EC 19 - C 
EC 20 - ERRADO 
EC 21 - ERRADO 
EC 22 - C 
EC 23 - D 
EC 24 - C 
EC 25 - D 
 
 
 
 
 
GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EC 26 – GABARITO PRELIMINAR: D; MINHA RESPOSTA: C; GABARITO DEFINITIVO: 
QUESTÃO ANULADA 
EC 27 - B 
EC 28 - B 
EC 29 - A 
EC 30 - B 
EC 31 - D 
EC 32 - C 
EC 33 - B 
EC 34 - B 
EC 35 - D 
EC 36 - E 
EC 37 – D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
100 
 
 
 
 
 
 
ANEXO 
 
 
Em anexo trago mais alguns comentários sobre medidas separatrizes. 
 
Basicamente, vou reproduzir aqui um texto que eu coloquei no site (Ponto 17), que fala 
como sistematizar o cálculo de medidas separatrizes para dados em ROL ou agrupados 
por valor. É um procedimento que não tem sido cobrado em provas. Mas, pra quem tiver 
curiosidade, fica a informação. 
 
 
 
Ponto 17: 
 
Hoje respondo a uma dúvida de Tarcísio Garcia, sobre medidas separatrizes. E aproveito a 
dúvida dele para complementar alguns comentários que fizemos na aula 2 do curso de 
estatística para AFRFB. 
 
Quando temos dados em classes, a forma de se calcular os quantis (mediana, quartis, 
decis, percentis, etc) é sempre a mesma. Basta fazer uma interpolação linear usando os 
valores de freqüência acumulada. Quem está fazendo o nosso curso de estatística viu 
isso exaustivamente na aula 2, em que resolvemos dezoito exercícios só sobre este 
assunto. 
 
Pois bem, o problema surge quando temos dados em ROL ou dados agrupados por valor. 
O Tarcísio inicia o e-mail explicando que aprendeu duas formas de se calcular quantis 
nessas situações. Uma para dados em ROL, outra para dados agrupados por valor (no e- 
mail ele usou a expressão ‘dados tabulados’ em vez de ‘dados agrupados por valor’). E 
disse que as duas formas resultam em respostas diferentes e que aí estaria a sua 
dificuldade. Como resolver os exercícios? 
 
Bom Tarcísio, na verdade dados em ROL e dados agrupados por valor guardam uma 
correspondência perfeita. Qualquer medida que você calcular será a mesma, estejam os 
dados em ROL ou agrupados por valor. Como você bem disse no seu e-mail, são duas 
formas diferentes de se representar exatamente o mesmo conjunto de dados. 
 
O cálculo de quantis não é influenciado pela forma de organização de dados (Rol ou 
agrupados por valor). Quando temos dados em classes sim, o cálculo de quantis é 
padronizado (interpolação linear a partir dos valores de freqüência acumulada). 
 
A finalidade das medidas separatrizes é separar os dados de forma bem específica. 
Vamos trabalhar, por exemplo, com os quartis. Eles separam os dados em quatro partes 
com o mesmo número de observações. 
 
Ocorre que, nestas duas situações (dados em rol ou agrupados por valor), é muito 
comum que surjam dificuldades na determinação dos quartis. Pode ser que existam 
muitas possibilidades para o mesmo quartil. Assim, pode ser que dois números diferentes 
consigam fazer o papel de primeiro quartil (deixando à sua esquerda 25% das 
observações e 75% à direita). Ou pode ser também que nenhum número consiga fazer 
este papel. 
 
Um exemplo. 
 
A seqüência: 1, 2, 3, 4. 
 
O número 1,5 consegue deixar à sua esquerda 25% das observações e à sua direita 75% 
das observações. Poderia ser um candidato ao primeiro quartil. 
 
Só que o número 1,6 também consegue deixar à sua esquerda 25% das observações e à 
sua direita 75% das observações. O mesmo vale para 1,4. Ou para 1,37895. Qual deles 
adotar? 
 
 
 
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101 
 
 
 
 
Outro exemplo. A seqüência 1, 2, 3, 4, 5. O primeiro quartil é o número que deixa à sua 
esquerda 25% das observações. Neste caso, 25% das observações corresponde a 1,25 
observações. 
 
Qual é o número que deixa à sua esquerda 25% das observações? 
 
Nenhum. 1,25 não é um número inteiro. Não dá para deixar à esquerda 1,25 
observações. Nesta hipótese, geralmente procuramos atender a pelo menos uma das 
seguintes propriedades: 
 
· à direita do primeiro quartil existem três vezes mais termos que à sua esquerda; 
à esquerda do terceiro quartil existem três vezes mais termos que à sua direita; 
 
· o número de elementos entre Q1 e Q2 é igual ao número de elementos à 
esquerda de Q1, que é igual ao número de elementos à direita de Q3; 
 
· metade dos dados está entre Q1 e Q3. 
 
Quando queremos calcular quantis para dados em rol (ou agrupados por valor), há 
diversas formas de se proceder. Cada uma faz uma consideração diferente. No nosso 
curso de estatística até mencionamos alguns comentários extraídos do livro “Estatística 
aplicada à Economia, Administração e Contabilidade” dos autores Freund e Simon, 
justamente nesse sentido. 
 
No nosso curso procuramos ver a forma necessária para resolver os últimos exercícios da 
ESAF que têm caído a respeito. Vimos alguns da última prova de Analista da CGU/2008. 
E vimos outro, um pouco mais antigo, de Analista CVM/2001. Ambos eram sobre quartis e 
mediana. E a resolução envolvia sempre a mesma consideração. Considerávamos que a 
mediana é sempre o termo do meio (ou a média dos termos centrais, em caso de um 
número par de observações). 
 
A mediana separa a série de dados em duas partes iguais. 
 
Calculada a mediana, tomamos apenas a primeira parte dos dados. A mediana desta 
primeira parte é o primeiro quartil. 
 
Depois, tomamos apenas a segunda metade dos dados. A mediana desta segunda parte 
é o terceiro quartil. 
 
Acontece que o Tarcísio achou um exercício mais antigo da ESAF em que a consideração 
feita para resolver a questão era outra. 
Vamos ao exercício. 
AFC-94 – ESAF 
 
Para a solução das duas questões seguintes, utilize a série estatística abaixo: 
52 7 13 
63 9 13 
63 11 13 
64 11 13 
74 12 15 
 
 
 
Os valores do 1° e do 3° quartil da série são, respectivamente: 
a) 2 e 15 
b) 5 e 12 
c) 4 e 13 
d) 4 e 12 
e) 6 e 13 
 
 
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O Tarcísio informa que a resposta da questão foi letra C. 
 
Notem que são 20 observações. Neste caso, é possível separar o conjunto de dados 
em quatro
partes iguais. 
 
 
 
 
2 5 7 13 
3 6 9 13 
3 6 11 13 
4 6 11 13 
4 7 12 15 
 
 
 
primeira parte 
 
 
segunda parte 
 
 
 
terceira parte 
 
quarta parte 
 
 
 
Ou seja, é possível calcularmos os quartis de modo que o conjunto de dados seja 
separado em quatro partes iguais. 
 
Para tanto, o primeiro quartil deve estar entre 4 e 5. De forma que à sua esquerda 
fiquem 5 observações (=25% das observações). O segundo quartil deve estar entre o 
primeiro 7 e o segundo 7, de forma a separar o conjunto de dados em duas 
partes iguais. E o terceiro quartil deve estar entre 12 e 13, de forma a deixar à sua 
esquerda 75% das observações e à sua direita 25% das observações. 
 
A resposta dada como correta indica 4 para o primeiro quartil e 13 para o terceiro 
quartil. Mas estes dois valores só satisfazem à terceira propriedade vista. Contudo, 
num caso em que o número de dados é múltiplo de 4, era perfeitamente possível 
satisfazer todas as três propriedades. 
 
A figura abaixo apresenta a resposta fornecida. 
 
10 valores 
 
 
 
 
2 3 3 4 4 5 6 6 6 7 7 9 11 11 12 13 13 13 13 15 
 
 
 
 
4 valores 
 
 
 
4 valores 
 
 
 
 
Acho que o enunciado é questionável. 
 
Bom, de qualquer forma, dentre as alternativas fornecidas, sem dúvidas a melhor é a 
letra C mesmo, que pelo menos deixa metade dos dados entre o primeiro e o 
terceiro quartil. Numa situação dessas, não brigue com o enunciado. Marque a 
resposta mais razoável. 
 
Vamos agora resolver a questão da forma que vimos no nosso curso. Esta forma 
envolve a mesma consideração feita para se resolver a recente prova da 
CGU/2008. E também foi cobrada pela ESAF na prova de Analista da CVM 2001. 
Estas questões estão resolvidas lá na aula 2 (EC 16, 17 e 18) 
 
Primeiro achamos a mediana. Como são 20 termos (número par), a mediana é a 
média dos dois termos centrais. 
 
 
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Os termos centrais são o 10° e o 11°. 
O 10° termo é 7. O 11° também é 7. 
A mediana fica: 
 
D = 
7 + 7 
= 7 
2 
 
A mediana separa os dados em duas partes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 3 3 4 4 5 6 6 6 7 7 9 11 11 12 13 13 13 13 15 
 
 
 
 
primeira parte segunda parte 
i i 
 
Na primeira parte são dez observações. 
Vamos achar a mediana desta primeira parte. 
 
Como são dez valores (número par), a mediana é a média dos dois termos centrais. 
Os termos centrais são o quinto e o sexto elementos. 
 
O quinto termo é 4. O sexto termo é 5. A mediana desta primeira parte é 
justamente o primeiro quartil. Ficamos com: 
 
Q1 = 4 + 5 = 4 5, 
2 
 
Na segunda parte também temos dez observações. Vamos achar a mediana da 
segunda parte. 
 
Como são dez valores (número par), a mediana é a média dos dois termos centrais. 
Os termos centrais são o quinto e o sexto elementos. 
 
O quinto termo da segunda parte é 12. O sexto termo da segunda parte é 13. A 
mediana desta segunda parte é justamente o terceiro quartil. Ficamos com: 
 
Q3 = 12 + 13 = 12 5, 
2 
 
Com esses quartis, todas as propriedades foram obedecidas e conseguimos de fato 
separar o conjunto de dados em quatro partes iguais, o que não foi feito com o 
gabarito fornecido. 
 
 
2 3 3 4 4 5 6 6 6 7 7 9 11 11 12 13 13 13 13 15 
 
 
O Tarcísio também pergunta se, para achar os quartis, ele pode simplesmente 
utilizar os valores de freqüência acumulada. 
 
Assim, por exemplo, o primeiro quartil seria o valor que corresponde à freqüência 
acumulada 5 (pois 5 é igual a 25% de 20). 
 
Bom Tarcísio, quando o número de dados é bem grande, este método é razoável, 
fornecendo bons resultados. Ele acaba coincidindo com a metodologia empregada 
para cálculo de medidas separatrizes para dados em classes. 
 
Quando o número de dados não é tão grande, o resultado já não fica bom. Vamos 
usar este exercício como exemplo. 
 
Tomando como primeiro quartil o quinto elemento (pois 5 é igual a 25% de 20), 
temos que o primeiro quartil seria igual a 4. Ele já não estaria entre 4 e 5. Já não 
seria apto a deixar à sua esquerda 25% das observações. 
Fazendo isso, até a mediana pode ser calculada de forma incorreta. 
Por exemplo, o conjunto: 1, 2, 4, 6. 
 
A mediana é igual a 3. É a média entre os termos centrais. 
 
 
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Com a utilização da freqüência acumulada, tomaríamos o termo que corresponde à 
freqüência acumulada 2 (pois 2 é igual a 50% de 4). E a mediana, por este 
raciocínio, seria igual a 2. 
 
Mais alguns comentários sobre este exercício. 
 
Interessante observar que, como temos 20 observações (múltiplo de 4), haveria 
diversas outras possibilidades de quartis que também separariam os dados em 
quatro partes iguais. 
 
Por exemplo. Se os quartis fossem: 4,8; 7; 12,3, Também teríamos separado os 
dados em quatro partes iguais. 
 
Uma forma bem interessante (e sistemática) de se achar qualquer medida 
separatriz é apresentada no livro Estatística Básica dos autores Bussab e Morettin. 
Contudo, apesar de ser um procedimento bem interessante, não tem sido cobrado 
em provas de concursos. 
 
Como já vimos, os valores de freqüência acumulada não podem ser usados, no 
caso de dados em rol e dados agrupados por valor, para achar medidas 
separatrizes. Mas é possível adaptar os valores de freqüência acumulada de forma a 
definir tais medidas. Esta é a idéia apresentada pelos autores. E, para quem está 
fazendo o nosso curso de estatística, aqui está novidade. Isso eu não comentei na 
aula. E não comentei porque não tem sido cobrado em concursos. 
 
Basicamente, considera-se uma função que passa pelos pontos formados por: 
 
� − � 
� X , 
i
 
0 5, � 
 
� 
i n � 
 
A tabela abaixo detalha os cálculos envolvidos. 
 
freq. Acumulada 
relativa adaptada 
 
 
i Xi (i-0,5)/20 
1 2 0,025 
2 3 0,075 
3 3 0,125 
4 4 0,175 
5 4 0,225 
6 5 0,275 
7 6 0,325 
8 6 0,375 
9 6 0,425 
10 7 0,475 
11 7 0,525 
12 9 0,575 
13 11 0,625 
14 11 0,675 
15 12 0,725 
16 13 0,775 
17 13 0,825 
18 13 0,875 
19 13 0,925 
20 15 0,975 
 
Assim, a mediana é o valor que corresponde a 0,5 (=50%). Só que 0,5 não tem na 
tabela acima. Fazemos interpolação linear considerando os valores vizinhos a 0,5. 
Ou seja, considerando que o primeiro 7 corresponde a 0,475 e o segundo 7 
corresponde a 0,525. 
 
 
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Fazendo interpolação linear, obtém-se que a mediana é igual a 7. 
 
O primeiro quartil é o valor que corresponde a 0,25 (=25%). Só que 0,25 não tem 
na coluna de freqüências relativas acumuladas adaptadas. Consideramos, 
novamente, os valores vizinhos. Consideramos que o segundo 4 corresponde a 
0,225 e 5 corresponde a 0,275. 
Fazendo interpolação linear, descobrimos que o primeiro quartil é igual a 4,5. 
De forma análoga, descobrimos que o terceiro quartil é igual a 12,5. 
 
Por fim, não custa lembrar que quando os dados estão
em classes, o método para 
se achar medidas separatrizes é sempre por interpolação linear a partir dos valores 
de freqüências acumuladas. É que a utilização de dados em classes faz mais sentido 
quando o número de dados é bem grande. Sendo uma forma de apresentação que 
resulta em perda de informação, não é adequado o seu uso quando são poucos 
dados. 
 
Pois bem, quando o número de dados cresce muito, todos os problemas listados, 
referentes à determinação dos quantis, ficam minimizados. Isso pode ser visto 
mesmo no caso de dados em Rol. Quando o número de dados cresce, os vários 
métodos de se determinar os quantis tendem a fornecer resultados muito próximos. 
E, voltando para o caso de dados em classes, além do número de dados ser 
grande, ainda temos a questão da perda de informação. Não tendo acesso a todas 
as observações, teremos que, invariavelmente, fazer considerações sobre a forma 
de distribuição dos dados. Razoável, portanto, tratá-los como se fossem realizações 
de uma variável contínua, fazendo interpolação linear a partir do gráfico de 
freqüências acumuladas. 
 
Então Tarcísio, resumindo tudo, temos: 
 
· Quando os dados estão em rol ou agrupados por valor, há diversas formas de 
cálculo de medidas separatrizes; 
 
· A maneira que eu tenho visto ser cobrada se refere especificamente aos quartis: 
achamos a mediana e dividimos os dados em duas partes; a mediana da 
primeira parte é o primeiro quartil; a mediana da segunda parte é o terceiro 
quartil; apesar de ser uma forma sistemática de resolução, só se aplica aos 
quartis; 
 
· Existe uma maneira bem interessante que sistematiza o cálculo de medidas 
separatrizes (quaisquer que sejam elas), usando uma adaptação da freqüência 
acumulada; tal procedimento não tem sido cobrado nas provas de concursos. 
 
· Sobre esta questão do AFC 94 que você mandou, não concordei com o gabarito 
não; numa série de dados com 20 valores é sim possível dividir em quatro 
partes iguais, o que não foi feito com o gabarito fornecido (embora, das 
alternativas fornecidas, realmente a melhor seja a letra C). 
 
· O cálculo de medidas separatrizes para dados em rol ou agrupados por valor é 
muito pouco cobrado em provas; a grande exigência é sobre medidas 
separatrizes para dados em classes. 
É isso. 
Abraços. 
Vítor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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