Relatório 6 - A constante de gravitação universal

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RELATÓRIO EXPERIMENTAL 
A constante de gravitação universal 
Aluno: Sandro Luiz Giongo (cartão 232635) 
Professor: Mario N. Baibich 
Resumo: Este relatório tratou de analisar o comportamento de uma balança de 
torção a fim de determinar o valor da constante de gravitação universal. A partir 
de uma pressuposição teórica, mostrada mais adiante, e de algumas medidas 
experimentais, tais como o período de oscilação e algumas distâncias, foi 
possível determinar o valor 𝐺 ≅ (8,9. 10−11±0,2. 10−11) 𝑚3𝑘𝑔−1𝑠−2. 
Introdução 
O experimento efetuado em laboratório buscou determinar o valor da constante universal de 
gravitação utilizando uma balança de torção. Foi realizado pela primeira vez por Henry 
Cavendish, por volta de 1797, utilizando-se de uma balança desenvolvida por Coulomb, para 
medir forças eletrostáticas. Neste experimento foi usada uma balança similar, onde duas 
esferas pequenas são presas em um suporte e suspensas por um fio metálico muito fino. Ao 
se aproximar dois pesos às esferas, pode-se perceber uma pequena perturbação no 
equilíbrio, causada pela gravidade, fazendo com que ocorra uma oscilação na balança. É 
possível determinar o valor da constante medindo o período desta oscilação e algumas 
distâncias, especificadas mais adiante. 
Materiais utilizados 
- Balança de torção; 
- Régua, com precisão de 1 𝑚𝑚; 
- Laser comum; 
- Espelhos; 
- Cronômetro manual, com precisão de 0,01 𝑠. 
Esquema de montagem 
Para realizar as medidas necessárias, a balança foi posicionada a uma distância 𝐿 de um 
anteparo, munido de uma régua. Para determinar a amplitude, foi projetado o laser à um 
espelho, fixado à balança, e este, por sua vez, fez refletir a luz até outro espelho e ao 
anteparo. Esta projeção da luz possibilitou uma melhor visualização da perturbação causada 
pelos pesos ao se aproximarem. Para um melhor entendimento, segue abaixo uma 
representação gráfica da balança utilizada: 
 
Figura 1. Balança de torção. 
Onde o suporte das esferas grandes pode girar de modo a se aproximarem de uma ou outra 
esfera pequena. Isso permite que, após partir de uma posição de equilíbrio, onde as esferas 
estão mais próximas, para uma posição oposta, a balança de torção começa a oscilar devido 
à mudança no diagrama de forças. 
Em outra representação, e especificando algumas distâncias, pode-se verificar a mesma 
balança vista de cima: 
 
 
Figura 2. Balança vista de cima. 
Na figura abaixo, é possível ver a projeção do laser através dos espelhos até o anteparo: 
 
Figura 3. Projeção do laser. 
Procedimento de coleta de dados 
As medidas efetuadas foram: 
 A diferença entre a posição do laser no anteparo antes e depois da oscilação, 𝑆; 
 O período de oscilação da balança, 𝑇. 
Outras medidas, também necessárias para estimar a constante, foram fornecidas pelo 
professor na proposta do experimento. As medidas são: 
 A distância percorrida pelo feixe de luz da balança ao anteparo, 𝐿; 
 A distância mínima entre as esferas de diferentes tamanhos, 𝑟; 
 A metade da distância entre as esferas menores, 𝑑; 
 A massa de uma esfera grande, 𝑀. 
Para medir 𝑆, foi verificado a marcação do feixe de luz na régua do anteparo com a balança 
em estado de equilíbrio; após alterar a posição das esferas maiores e fazer a balança oscilar, 
foi aguardado até o momento desta estar em equilíbrio novamente, projetando o laser em 
uma nova marcação. A diferença das duas marcações obtidas nos forneceu o valor de 𝑆. 
Para o período, foram registradas as medidas do feixe de luz no anteparo de dez em dez 
segundos. Desta forma, foi possível estruturar um gráfico dessa medida em função do 
tempo. A distância entre os máximos ou mínimos absolutos da linha formada no gráfico nos 
forneceu o período. 
O valor de 𝑥 foi obtido através do Teorema de Pitágoras, onde: 𝑥 = 2𝑑 2 + 𝑟2. 
Dados experimentais 
Os dados fornecidos foram: 
 𝐿 = 12,155 𝑚 
 𝑟 = 0,0468 𝑚 
 𝑑 = 0,05 𝑚 
 𝑀 = 1,5 𝑘𝑔 
 𝑥 = 0,11 𝑚 
Para 𝑆, as posições do laser antes e depois da oscilação foram 𝑥1 = 0,08 𝑚 e 𝑥2 = 0,147 𝑚. 
Portanto, 𝑆 = 𝑥2 − 𝑥1 = (0,067 ± 0,001) 𝑚. 
 
Obs.: ao fazer a medição de 𝑥1, foi constatado que havia uma pequena variação no seu 
valor, causada por uma leve oscilação do feixe de luz, fato que pode afetar o cálculo da 
constante. O valor 0,08 𝑚 foi escolhido pelo colega que fez as medidas de forma arbitrária. 
Os dados obtidos para a posição do feixe de luz e o tempo foram: 
Tabela 1. Posição e tempo. 
Tempo (𝑠) 
±0,01 
Posição (𝑚) 
±0,001 
 Tempo (𝑠) 
±0,01 
Posição (𝑚) 
±0,001 
 Tempo (𝑠) 
±0,01 
Posição (𝑚) 
±0,001 
0,00 0,080 240,00 0,128 480,00 0,159 
10,00 0,101 250,00 0,144 490,00 0,171 
20,00 0,121 260,00 0,161 500,00 0,179 
30,00 0,143 270,00 0,176 510,00 0,183 
40,00 0,164 280,00 0,184 520,00 0,183 
50,00 0,183 290,00 0,193 530,00 0,182 
60,00 0,195 300,00 0,193 540,00 0,177 
70,00 0,210 310,00 0,193 550,00 0,167 
80,00 0,210 320,00 0,184 560,00 0,156 
90,00 0,210 330,00 0,175 570,00 0,144 
100,00 0,198 340,00 0,165 580,00 0,133 
110,00 0,188 350,00 0,144 590,00 0,124 
120,00 0,170 360,00 0,136 600,00 0,112 
130,00 0,152 370,00 0,118 610,00 0,106 
140,00 0,133 380,00 0,106 620,00 0,100 
150,00 0,112 390,00 0,097 630,00 0,100 
160,00 0,098 400,00 0,089 640,00 0,100 
170,00 0,087 410,00 0,089 650,00 0,107 
180,00 0,078 420,00 0,090 660,00 0,127 
190,00 0,078 430,00 0,099 670,00 0,138 
200,00 0,078 440,00 0,108 680,00 0,144 
210,00 0,085 450,00 0,119 690,00 0,154 
220,00 0,096 460,00 0,133 700,00 0,163 
230,00 0,110 470,00 0,145 710,00 0,172 
Ao se analisar a Tabela 1, percebe-se que a amplitude de oscilação decai no decorrer do 
tempo. Esse efeito ocorre devido à força de atrito do ar e a força restauradora do fio 
metálico que suspende a balança. A oscilação se dá devido à essas forças, juntamente com a 
atração gravitacional entre as esferas, interagirem entre si na balança. 
 
Os dados da Tabela 1 foram traduzidos no seguinte gráfico, que mostra a amplitude 
decaindo com o tempo: 
Gráfico 1. Decaimento da amplitude. 
 
Para a determinar 𝑇, foi efetuado um cálculo da média aritmética dos períodos, encontrados 
entre os máximos e mínimos relativos do gráfico. Temos, portanto 𝑇1 ≅ 220,00 𝑠, 𝑇2 ≅ 220,00 𝑠, 
𝑇3 ≅ 220,00 𝑠 e 𝑇4 ≅ 220,00 𝑠. Logo, 𝑇 ≅ (220,00 ± 0,01) 𝑠. 
Análise dos dados 
Sendo 𝜃 o deslocamento angular produzido após a balança alcançar o estado de equilíbrio, 
sabe-se que o módulo da variação do torque que o produz é 𝑘𝜃, onde 𝑘 representa a 
constante de torção do fio e é determinado pela equação 𝑘 =
4𝜋2𝐼
𝑇2
. 𝐼 é o momento de inércia 
do sistema, dado por 𝐼 = 2𝑚𝑑2, e 𝑇 o seu período, determinado experimentalmente. 
Outra forma de expressar a variação do torque é através da equação ∆𝜏 =
2 2𝐺𝑚𝑀 𝑑
𝑟2
 1 −
𝑟3
𝑥3
 , 
cujas letras estão representadas na Figura 1. 
Ao igualar as duas equações de variação do torque obtemos 
4𝜋2𝐼
𝑇2
=
2 2𝐺𝑚𝑀 𝑑
𝑟2
 1 −
𝑟3
𝑥3
 . Isolando 
para 𝐺 e substituindo alguns valores: 𝐺 =
𝜋2𝑟2𝑑𝑆
𝑀𝑇2𝐿 1−
𝑟3
𝑥3
 
. 
Como já possuímos todos os valores necessários para o cálculo, basta substituí-los na 
equação: 𝐺 =
𝜋2 .0,04682 .0,05.0,067
1,5.2202 .12,155. 1−
0,0468 3
0,113
 
≅ (8,9. 10−11±0,2. 10−11) 𝑚3𝑘𝑔−1𝑠−2. 
O valor encontrado de 𝐺 é apenas uma aproximação do valor verdadeiro. Pode-se estimar 
inúmeras fontes de erros relacionados ao experimento que fazem com que este erro 
aumente. Entre eles temos o fato de que os valores que formam o Gráfico 1 foram medidos 
usando-se duas pessoas, onde uma marcava o tempo em um cronômetro e outra a 
amplitude do laser. Este processo,
por ser manual, acarreta um certo grau de imprecisão. 
Outra fonte de erro que pode alterar o valor final foi descrita anteriormente em uma 
observação, onde foi constatado que o valor inicial não pôde ser verificado com precisão 
devido à balança estar com uma leve oscilação. 
Conclusão 
Foi demonstrado, assim, que é possível determinar a constante universal de gravitação em 
laboratório utilizando-se do mesmo experimento realizado por Cavendish, por volta de 1797. 
O valor obtido foi 𝐺 = (8,9. 10−11±0,2. 10−11) 𝑚3𝑘𝑔−1𝑠−2, este, porém, pode conter vários erros 
associados, tais como imprecisão de medidas efetuadas manualmente e má estruturação dos 
equipamentos. 
Referências 
MEDIDA DA CONSTANTE G DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL. em: < http://200.17.141.35/ 
egsantana/celeste/constante/constante.htm >. Acesso em 22 set. 2013. 
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0 100 200 300 400 500 600 700
A
m
p
lit
u
d
e
 (
m
)
Tempo (s)
𝑇1 
𝑇2 
𝑇3 
𝑇4