Prova 2 - Álgebra

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PRIMEIRA AVALIAC¸A˜O DE DE INTRODUC¸A˜O A` A´LGEBRA LINEAR - MTM112
Prof. Ju´lio Ce´sar do Esp´ırito Santo
Universidade Federal de Ouro Preto
30 de julho de 2013
Aluno: ———————————————————————————————————————-
(1) Verifique se os conjuntos X abaixo constituem uma base para o espac¸o V correspondente.
Justifique.
(a) X = {(1,−2), (2,−4)} V = R2 (b) X = {(1,−2), (−2, 5), (0, 5)} V = R2
(c) X = {(1, 2, 3), (0, 0, 9)} V = R3 (d) X = {(1, 0, 0), (2, 0, 1), (3, 1, 2)} V = R3
(e) X = {(1, 2, 3), (0, 4, 6), (0, 0, 0)} V = R3 (f) X = {(1, 2), (0, 4)} V = R2
(2) Escreva, se poss´ıvel, o vetor (1, 2,−1) como bombinac¸a˜o linear dos vetores (1, 0, 0), (2, 0, 1) e
(3, 1, 2).
(3) Considere os espac¸os vetoriais
V =
{
(x, y, z) ∈ R3
/
x− y + 3z = 0
}
e
W =
{
(x, y, z) ∈ R3
/
y = 5x
}
.
Determine uma base para V ∩W . Observac¸a˜o: Note que este u´ltimo caso trata-se do espac¸o
soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo formado pelas equac¸o˜es{
x− y + 3z = 0
5x− y = 0.
Qual a dimensa˜o deste espac¸o soluc¸a˜o?
(4) Verifique se os conjuntos W1 = {A ∈ M3(R) | tr(A) = 0}; W2 = {A ∈ M3(R) | tr(A) = 1} e
W3 = {A ∈ M3(R) | det(A) = 0} sa˜o subespac¸os de M3(R).
Boa Prova!
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