Produto Vetorial

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Milene Pimenta 
 Para definir o produto vetorial entre dois 
vetores é indispensável distinguir o que são 
bases positivas e bases negativas 
 Para isso, considere uma base do espaço 
{v1, v2 , v3} e um observador 
 O observador deve estar com os pés em um 
plano que contém representantes de v1 e v2 
(os dois primeiros vetores da base) 
 v3 (o terceiro vetor da base), esteja dirigido 
para os seus olhos 
 No exemplo considere OA =v1 e OB =v2 
 Considere agora, a rotação de menor ângulo em 
torno de O, que torna o vetor v1 ( o primeiro vetor 
da base) com mesmo sentido do vetor v2 ( o 
segundo vetor) 
 Se esta rotação for no sentido contrário ao dos 
ponteiros de um relógio (anti-horário), dizemos 
que a base é positiva 
 Caso contrário (sentido horário), a base é 
negativa. 
 Assim, a base {v1, v2 , v3}, do exemplo, é positiva 
 A base {v2 , v1, v3} é positiva? 
 
 E {v3 , v2 , v1}? 
 
 Note que nem sempre o observador está no 
mesmo semi-espaço que nós 
 Neste caso, o sentido da rotação que ele 
verá é contrário ao que nós vemos 
 Para ilustrar este fato, desenhe em uma 
folha de papel dois vetores LI com a mesma 
origem e considere uma rotação que torna 
um deles com mesmo sentido do outro 
 
 
 A folha de papel pode ser considerada com 
um plano, assim, a folha de papel divide o 
espaço em dois semi-espaços 
 Note que, em um desses semi-espaços 
vemos esta rotação com um sentido. Se 
mudarmos de semi-espaço vemos esta 
rotação com um sentido contrário ao 
anterior 
 Esta observação é útil na identificação de 
bases positivas e negativas, quando o 
observador não está no mesmo semi-
espaço que nós 
 Por exemplo, ao analisar a base {v2 , v1,- v3} 
vemos a rotação no sentido horário, porém 
o observador, por estar no semi-espaço 
distinto do qual nos encontramos, vê esta 
rotação no sentido anti-horário 
 Portanto esta base é positiva. 
 Considere o sistema {O, i, j, k} 
 Quais as bases positivas e negativas? 
 As bases {i , j, k}, { j, k, i} e {k, i , j} são 
positivas. 
 
 As bases { j, i , k}, {i , k, j} e {k, j, i} são 
negativas. 
 
 Definição: Sejam u e v vetores não colineares. 
 O produto vetorial de u por v, indicado u x v, 
é um vetor, tal que: 
| u x v |= | u | | v | sen(u, v) 
O vetor u x v é ortogonal ao plano que contém 
representantes dos vetores u e v 
A base {u, v, u x v} é positiva 
 Sejam u e v vetores com representantes no 
plano alpha , onde | u |= 2, | v |= e 
ângulo entre u, v igual a 30º 
3
 | u x v | = | u || v | sen 30º= 
 
=2 ½ = 
 
 | v x u | = | v | | u |sen 30º= 
 
½ 2 = 
 
3 3
3 3
 |u x v| = |v x u|, mas estes vetores são 
opostos 
 Dada a base ortonormal positiva {i, j, k} 
 i x i= j x j= k x k= 0 
 i x j= k, j x k =i e k x i= j 
 j x i =-k, k x j=- i e i x k=- j 
 Consideremos o paralelogramo ABCD, 
 
 Sabemos que a área S desse paralelogramo é: 
 S = base x altura, ou seja S = | AB | × h. 
 Do triângulo AMD, temos: 
 h =| AD | sen () 
 
 S = | AB | |AD | sen () 
 
 S =| AB x AD| 
 
 Encontre a área do triângulo ABD 
 
 S = |AB | |AD | sen () 
 
 S =|AB x AD| 
 
 Logo a área do triângulo é |AB x AD|/2 
 
 Encontre a área do paralelogramo, onde 
A(1,1,0), B(0,1,2) e C(4,1,0) 
 
 | AB| =| (-1,0,2)| = 
 | AD| =| (4,0,-2)|= 2 
 Cos(AB,AD) = (AB.AD)/(|AB||AD|) = -4/5 
 Sen2x + cos2 x =1 
 Sen(AB,AD)=3/5 
 S = (3/5) 2 = 6 u.a. 
 
5
5
5 5
 Considere u, v e w vetores quaisquer e t um 
número real 
 1) u x v = - v x u 
 2) (t v) x u = v x(t u) = t (v x u) , t ℝ 
 3) u x (v + w)= u x v + u x w 
 4) u x u = 0 
 5) u x v = 0 , se e somente se , um dos 
vetores é o vetor nulo ou se os dois vetores 
são colineares. 
 *6) u x v é simultaneamente ortogonal aos 
vetores u e v. 
 
 Dados uma base ortonormal positiva {i, j, k} e 
dados os vetores u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2) 
 u x v = (x1i + y1j + z1k) x (x2i + y2j + z2k) 
 =(x1x2 ) ixi + (x1y2 ) ixj + (x1z2 ) ixk+ 
 +(y1x2 ) jxi + (y1y2 ) jxj + (y1z2 )jxk+ 
 +(z1x2) kxi + (z1y2 ) kxj+ (z1z2) kxk 
 u x v = (y1z2-y2z1)i + (z1x2-z2x1)j + 
(x1y2-x2y1)k 
 
 Dados os vetores u = (1,2,3), v = (3,1,2) e w 
= (2,4,6), calcule: 
 u x v = ? 
 u x w = ? 
 Dados os vetores u = (1,2,3), v = (3,1,2) e w 
= (2,4,6), calcule: 
 u x v = (4-3) i + (9-2) j + (1-6) k = (1,7,-5) 
 
 u x w = (12-12)i+(6-6)j+(4-4)k = (0,0,0)=0 
 Observe os paralelogramos ABCD e ABC’C 
 S e S’ são as áreas dos paralelogramos ABCD e 
ABC’C, respectivamente 
 
 Determine a relação de S e S’ 
 S e S’ são as áreas dos paralelogramos ABCD e 
ABC’C, respectivamente 
 S =| AB x AD| 
 S’ =| AB x AC| 
 | AB x AC|= | AB x (AB+ BC) |= 
 
 | AB x(AB +BC)|= | AB x AB + AB x BC| 
 
 =| 0 + AB x AD| 
 
 = | AB x AD| = S