Texto-Lei de Ampère

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Lei de Ampère* 
No capítulo 25 vimos que, de um ponto de vista prático, a utilidade da Lei 
de Gauss para o cálculo de campos elétricos resumia-se a distribuições com uma si-
metria tal que a integral SdE. pudesse ser facilmente resolvida. O mesmo acontece 
com a Lei de Ampère (aplicada ao cálculo de campos magnéticos): sua utilidade res-
tringe-se aos casos onde a simetria da distribuição de correntes permite o cálculo da 
integral de linha ldB. facilmente. Frise-se, no entanto, que a lei continua válida 
mesmo em situações onde não existe simetria. 
A Lei de Ampère é um caso particular da Lei de Ampère-Maxwell, que é 
uma das Equações de Maxwell. A equação 
)/(. 00 dtdildB E
 
 
é a expressão da Lei de Ampère-Maxwell. Esta equação descreve o efeito magnético 
de uma corrente elétrica (i) ou de um fluxo elétrico variável )/( dtd E . Porém, quando 
não existem variações de fluxo elétrico envolvidas no problema, o termo dtd E /
 
é 
nulo, e a Lei de Ampère-Maxwell se reduz à Lei de Ampère: 
ildB 0. 
Nesta equação, a integral ldB. é uma integral de linha sobre um percur-
so fechado qualquer; i é a corrente líquida
 
que atravessa a área delimitada pelo per-
curso de integração; B
 
é o vetor indução magnética sobre o percurso de integração, 
ld
 
é um vetor sempre tangente ao percurso de integração e no sentido deste, dl é um 
comprimento elementar sobre o percurso de integração; 0 é chamado de constante de 
permeabilidade. 
Para se aplicar a Lei de Ampère ao cálculo de um campo de indução 
magnética B , devido a uma distribuição simétrica de correntes, procede-se da seguin-
te maneira: 
- Determina-se (a partir da simetria do problema) a direção e o sentido de 
B . 
- Escolhe-se um percurso fechado tal que se possa tirar partido da sime-
tria do problema em questão e aplica-se a Lei de Ampère a esse percurso. 
- Explicita-se o produto escalar da integral e coloca-se B fora do sinal de 
integração. Se isso não for possível, ou seja, se, a partir da simetria do problema, não 
se puder concluir que o módulo de B
 
é constante sobre o percurso escolhido de inte-
gração, então B não deve ser calculado usando a Lei de Ampère e sim a de Biot-
Savart. 
- Calcula-se a corrente líquida que atravessa a área delimitada pelo per-
curso de integração. Substitui-se esta corrente no lado direito da Lei de Ampère e iso-
la-se B. 
 
 
*
 Texto elaborado por Sônia S. Peduzzi. 
 
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Exemplo: A figura mostra um longo cabo 
coaxial formado por um condutor cilíndrico de raio R1 
envolvido por uma casca cilíndrica condutora de raio 
R2. O condutor carrega uma corrente i uniformemente 
distribuída sobre sua seção reta. A casca cilíndrica 
conduz uma corrente de mesma intensidade, mas de 
sentido oposto. Calcule B(r), sendo r uma distância 
genérica medida radialmente a partir do eixo do con-
dutor cilíndrico. 
Vejamos primeiramente o caso r R1: 
A direção de B
 
é tangente a círculos concêntri-
cos em torno do eixo do condutor cilíndrico e o sentido de 
B
 
é anti-horário. Vamos escolher como percurso fechado 
para a aplicação da Lei de Ampère uma circunferência de 
raio r R1. 
A partir da simetria do problema, conclui-se 
então que B
 
é tangente ao percurso de integração formando 
um ângulo de 0º com ld ( ld é também tangente à circunfe- 
rência e escolhe-se o seu sentido como o mesmo de B ). Ainda baseado na simetria do 
problema, pode-se concluir que o módulo de B , ainda desconhecido, é constante so-
bre todo o percurso de integração. Pode-se então aplicar a Lei de Ampère e explicitar 
o produto escalar da integral ldB. : 
iBdliBdlildB 000 º0cos.
 
Como B é constante sobre o percurso, ele pode ser colocado fora do 
símbolo de integral: idlB 0 , mas dl é a integral de um elemento de comprimen-
to sobre toda a circunferência
 
(integral fechada). Ora, isso é simplesmente o períme-
tro da circunferência (2 r). Logo: 
irB 02.
 
O próximo passo é calcular i, a corrente líquida que atravessa a superfí-
cie delimitada pelo percurso de integração. No caso em questão, i é uma fração da 
corrente carregada pelo condutor, pois o percurso de integração tem um raio r qual-
quer, menor do que R1, i.é., a corrente que atravessa a superfície delimitada pelo per-
curso de integração é apenas uma parte da corrente conduzida pelo condutor de raio 
R1. (Nessa etapa do cálculo, é comum cometer-se o erro de considerar toda a corrente 
i; esse perigo de errar é ainda agravado pelo uso do mesmo símbolo i na Lei de 
Ampère e no enunciado do problema.) 
Como a corrente está uniformemente distribuída na seção reta do condu-
tor, pode-se nele considerar uma densidade de corrente 21// RiAiJ . J representa 
então a corrente por unidade de área
 
através da seção reta do condutor. Então, se qui-
sermos saber qual a corrente numa certa área dessa secção reta basta multiplicar J por 
esta área. (J faz aqui o papel de 
 
ou 
 
no cálculo de campos elétricos.) No presente 
 
 
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caso queremos saber qual a corrente que atravessa a área r2 (área delimitada pelo 
percurso de integração): 
2
1
2
2
2
1
2
'
R
rir
R
i
rJi
 
no qual i' é a corrente dentro do percurso de integração e i é a corrente no condutor. 
Observe que, se r = R1, i' = i, o que era de se esperar. 
Feito o cálculo da corrente, podemos escrever: 
2
1
0
2
1
2
0 2
2.
R
riB
R
rirB
 
 (1) 
Esta expressão nos dá B(r) para r R1. 
Para R1 
 
r 
 
R2 as considerações iniciais acerca de B
 
e do percurso de 
integração são as mesmas exceto que o percurso de integração deverá ter um raio ge-
nérico r entre R1 e R2 : 
ildB 0.
 
iBdliBdl 00º0cos
 
irBidlB 00 2
 
Nesse caso, porém, i é a própria corrente 
que percorre o condutor interno, pois a área delimitada 
pelo percurso de integração é maior do que a área da 
seção reta do condutor. Então: 
r
i
B
2
0
 (2) 
é a expressão de B(r) para R1 r R2. 
Observe-se que as expressões (1) e (2) dão o mesmo resultado 
para r = R1. Isso pode parecer óbvio, mas é uma boa maneira de conferir se os resul-
tados obtidos nas diferentes etapas de um problema são coerentes. 
Esta expressão (2) nada mais é do que indução magnética de um fio reti-
líneo, muito longo. 
Registre-se também que até agora a casca metálica não entrou nos cálcu-
los. Isso em princípio não significa que a casca não tenha influência nenhuma na re-
gião r 
 
R2. A indução magnética B
 
que aparece na Lei de Ampère é calculada sobre
 
o percurso de integração, podendo ser devido a correntes internas ou externas a ele. 
(Mas o i que aparece na lei refere-se somente a correntes internas.) Portanto, qualquer 
contribuição a B que a casca tivesse na região r R1 teria que ser considerada no cál-
culo de B . Entretanto, o B por ela criado nesta região é nulo. Muito cuidado, no en-
tanto, pois esta afirmação só pode ser feita a partir das condições de simetria do pro-
blema. Se a casca fosse paralelepipédica, por exemplo, a situação seria diferente. 
 
 
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Com esta discussão queremos apenas destacar o fato de que o B
 
que a-
parece na Lei de Ampère não é necessariamente devido às correntes internas ao per-
curso de integração, pois, no caso da casca cilíndrica em questão, pode-se mostrar, 
usando a mesma lei, que o campo magnético no seu interior devido à corrente que a 
percorre é nulo. 
Finalmente, examinemos o caso r > R2: 
As considerações acerca da direção
e do sentido de B
 
são as mesmas. É 
claro que o fato de que as correntes são iguais e opostas já nos leva a suspeitar que 
nessa região o campo magnético será nulo. Porém, vamos mostrar isto. Suponhamos 
que B seja diferente de zero, que sua direção seja tangente a círculos concêntricos tal 
como nos casos anteriores e seu sentido seja o do campo da casca, pois ela está mais 
próxima do ponto considerado. 
ildB 0.
 
iBdliBdl 00º0cos 
irBidlB 00 2
 
Nesse caso o percurso de integração en-
cerra as duas correntes que são iguais e opostas. Logo, 
o i que aparece no lado direito da última expressão ob-
tida será nulo: 
B.2 r=0 
de onde vem que 
B = 0, 
pois r é um raio genérico e 2 uma constante. Portanto, é nulo o campo magnético na 
região r R2.