F129 apostila 2. Formatação de Tabelas e Gráficos

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Tabelas e Gráficos
J. D. Marconi/V. Rodrigues/L. E. E. de Araujo
Tabelas
Usualmente os resultados de um experimento são apresentados em tabelas ou gráficos. Quando
a escolha for uma tabela, ela deve apresentar um resumo, com o máximo de informações, de
uma série de medidas. Ela precisa apresentar:
1. O título, com uma breve descrição do que trata a tabela;
2. O cabeçalho da tabela deve apresentar o que tem em cada coluna, com a grandeza medida
(ou sua abreviação), a unidade usada e, se for necessário, a potência de 10 pela qual os
valores da coluna devem ser multiplicados;
3. Se forem usadas abreviações na tabela, elas devem ser explicadas na própria tabela ou
em algum lugar do texto;
4. Os valores das medidas deverão aparecer com os algarismos significativos adequados e
com o seu erro total;
5. No exemplo da tabela abaixo, as medidas foram realizadas para uma determinada mola.
Por isso, é interessante colocar suas características. Assim poderemos apreciar mais fa-
cilmente os dados da tabela;
6. Quando a ordem em que foram feitas as medidas for importante, ela deve ser indicada.
Tabela 1: Lei de Hooke
N m (103 g) ∆x (cm)
1 0,030 ± 0,002 0,9 ± 0,1
2 0,052 ± 0,003 1,4 ± 0,1
3 0,080 ± 0,002 2,2 ± 0,1
4 0,103 ± 0,004 2,7 ± 0,1
5 0,135 ± 0,001 3,6 ± 0,1
m = massa colocada na extremidade da mola;
∆x = variação do comprimento da mola;
N = número de ordem das medidas.
Mola presa por uma de suas extremidades
na vertical e sujeita à esforços por massas
colocadas na outra extremidade.
Características da mola:
massa = (27 ± 1) g
diâmetro = (16 ± 1) mm
diâmetro do fio= (1,0 ± 0,1) mm
número de espiras = 100
Gráficos
Quando a escolha for um gráfico, ele precisa apresentar:
1. O título, com uma breve descrição do que trata o gráfico;
2. Uma legenda para cada eixo indicando que valores estão sendo ali colocados, qual a sua
unidade e se for necessário, a potência de 10 pela qual os valores da escala devem ser
multiplicados;
3. Uma escala para cada eixo:
(a) usando valores com intervalos regulares entre si;
(b) com valores fáceis de serem lidos, como múltiplos inteiros por exemplo;
(c) os dois eixos não precisam ter a mesma origem e nem tão pouco a mesma escala
numérica;
4. Evite “ligar os pontos”. Somente deverá ser usada uma curva entre os pontos quando for
útil apresentar um guia para os olhos ou quando um modelo for comparado ou ajustado
aos pontos experimentais. Em ambos os casos, o procedimento, modelo ou utilidade da
curva deve ser mostrada no texto e a curva claramente identificada.
5. Se forem usadas abreviações no gráfico, elas devem ser explicadas na própria gráfico ou
em algum lugar do texto;
6. Os valores dos pontos nunca devem ser colocados no gráfico. Para isto exitem as tabelas.
Salvo quando for um ponto especial e que mereça destaque. Neste caso, evite carregar de
informações o gráfico, somente indicando o ponto e deixando as explicações para o texto.
7. Os pontos das medidas deverão aparecer com suas respectivas barras de erro. A posição
central do ponto é a média da medida (x, y). A barra de erro da abscissa começa em
x−∆xtotal e vai até x+∆xtotal. O mesmo para a ordenada. Na figura a seguir temos um
exemplo de como fazer uma barra de erro.
(a) (b)
Figura 1: (a) Procedimento para fazer a barra de erro de uma medida. As linhas tracejadas
só foram feitas para ilustrar como o tamanho da barra de erro é definido. (b) Exemplo de um
gráfico simples.
Histogramas
Foi Gauss quem desenvolveu a teoria matemática dos erros. Essa teoria se baseia nos cálculos de
probabilidade e tem por finalidade conhecer melhor o grau de precisão de uma série particular
de medidas.
Nunca se consegue reproduzir uma medida exatamente. Intuitivamente, podemos perceber
que, realizando-se uma série muito grande de medidas, elas deverão se distribuir simetricamente
2
Figura 2: Distribuição gaussiana.
em torno de um certo valor, que por razões óbvias é chamado de valor médio. Se fosse possível
fazer infinitas medições, a distribuição das medidas teria uma forma bem definida, a chamada
distribuição gaussiana, mostrada na Figura 2.
Mas, como nunca é possível fazer infinitas medições, vamos apresentar uma maneira útil de
apresentar os resultados em forma gráfica, o chamado histograma. Para isso vamos considerar
um experimento no qual foram medidos 100 valores medidos de um certo tempo. Entre todos
os valores vamos identificar o menor e o maior, e os chamamos de A e B. Todos os demais
valores vão estar dentro do intervalo de tempos determinado por estes dois valores. Vamos
separar este intervalo em 7, 8, 9, ou até 10 intervalos iguais, cada um de largura ∆. Então, o
primeiro intervalo vai estar entre A e A+∆, o segundo intervalo entre A+∆ e A+2∆, e assim
até chegar a B.
Agora vamos contar quantas das 100 medições estão dentro do primeiro intervalo, quantas
no segundo, e assim por diante. A este número de vezes chamamos de frequência (pode-se usar
como alternativa a frequência normalizada, que é a frequência de cada intervalo dividido pelo
número total de valores medidos). Representando graficamente a frequência (ou a frequência
normalizada) no eixo Y e os intervalos no eixo X, vamos obter o histograma tal como mostra
a Figura 3.
Vemos imediatamente que:
i. os intervalos correspondentes a pequenos desvios em relação ao valor médio são mais
populados,
ii. a figura é simétrica em relação ao valor médio da série de medidas. No caso limite
quando ∆ → 0 e o número de medições tende a infinito, vamos obter uma curva contínua, a
distribuição gaussiana. Essa curva é característica de uma vastíssima gama de medidas físicas.
Mas como determinar a largura ∆ dos intervalos mais apropriada para se confeccionar o
histograma? A melhor largura para os intervalos depende muito da distribuição dos valores e
geralmente faz-se necessário testar vários valores até se encontrar o mais apropriado. Em geral,
um bom ponto de partida para se estimar ∆ é:
∆ =
xmax − xmin√
N
, (1)
onde xmax,min é o valor máximo (mínimo) da distribuição e N é a quantidade de medições feitas.
A partir do histograma podemos estimar o valor médio e o desvio padrão da distribuição.
Em um histograma, a média é o ponto, no eixo das abscissas, que passa pelo centro de gravidade
da figura. Em uma curva simétrica do tipo gaussiana, o valor médio corresponde ao ponto mais
alto da curva - Figura 4. O desvio padrão coincide com metade da largura do histograma a
3
Figura 3: Exemplo de histograma, onde no eixo Y colocamos a frequência normalizada
aproximadamente 60% da altura máxima.
Gráficos logarítmicos
Em ciência é comum existirem medidas com variações muito grandes. Dizemos então que os
dados variam em várias ordens de grandeza. Se ao tentarmos marcar esses os valores em um
gráfico linear, perceberemos que muitos dos dados ficarão “acumulados” em uma região do
gráfico, dificultando muito a leitura dos dados, pois os pontos ficam “embaralhados”.
Uma das formas para resolver o problema de apresentação gráfica de resultados com grandes
variações é aplicar o logaritmo aos valores que estão sendo utilizados. O logarítmo reduz os
valores a serem colocados no gráfico à mesma ordem de grandeza. A função logarítmica foi
desenvolvida para facilitar alguns cálculos que eram muito difíceis, antes do surgimento das
calculadoras e computadores. Por exemplo, a medida de pH é −Log10(CH+), ou seja, as medidas
de pH variam várias ordens de grandeza na concentração de H+.
Se a grandeza medida obedece a uma lei de escala do tipo:
f(z) = kzn, (2)
então, aplicando logaritmo base 10 na equação acima, temos
Log10f = Log10k + nLog10z. (3)
Redefinimos assim a Equação (1) na forma de uma equação linear de uma reta!! Medindo o
coeficiente angular da reta passamos a ter o valor do expoente n.
O papel log-log é desenhado de forma a simplificar a necessidade de realizar
os cálculos
necessários para obtenção dos logaritmos, pois ele já está em escala logarítmica - Figura 5.
4
n
u
m
e
ro
d
e
o
c
o
rr
e
n
c
ia
s
tempo(s)1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
2
4
6
8
10
12 alturadovalormedio
60%daaltura
dovalormedio
x
valormedio
desviopadrao
Figura 4: Determinando o valor médio e o desvio padrão a partir do histograma.
5
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
2
10
3
10
4
10
5
10
1
Figura 5: Exemplo de papel gráfico em escala logarítmica
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