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Relatório 1
Laboratório de Física II
Colisão em Duas Dimensões
 Membros: 
Rogério Melo e Sousa 611352
 Marcelo Torricelli			 612359
 Rubens Chinali Canarim 611701 
 Marcos Hiroshi Oikawa 611328
Mauricio Tozoni Júnior 611395
11 de Agosto de 2006
1.	Título: Colisão em duas dimensões.
2.	Objetivo: Verificar experimentalmente a Lei da Conservação da Quantidade de Movimento em um sistema isolado.
3.	Introdução: Quantidade de movimento linear (também chamada de momento linear ou momentum linear) é uma grandeza física que relaciona massa e velocidade de um corpo. Pode ser associada à inércia de um corpo. Quanto maior a quantidade de movimento linear de um corpo, maior é a força necessária para modificar a velocidade ou o vetor do movimento desse corpo. O momento linear é, pois, uma grandeza vetorial com a direção e sentido e cujo módulo é o produto da massa pelo módulo da velocidade. Matematicamente expressamos a quantidade de movimento da seguinte forma:
	P = mv	(1)
 onde P é a quantidade de movimento, m é a massa e v, a velocidade do objeto. A unidade dessa grandeza no sistema internacional SI é kg.m/s. 
Em um sistema isolado, “Se a força externa resultante que atua sobre um sistema de partículas for nula, a quantidade de movimento linear total do sistema não pode variar”. A esse enunciado, é chamado de Lei de conservação da Quantidade de Movimento Linear, que pode ser escrita como
	(2)
Assim, por exemplo, nas situações em que, após a colisão os objetos mudam a direção de seus movimentos, podemos analisar a quantidade de movimento de cada um deles, separando-a em duas componentes: uma na direção da quantidade de movimento inicial e outra na direção perpendicular a ela. A conservação da quantidade de movimento deve se dar nas duas direções. Esse procedimento decorre do caráter vetorial da quantidade de movimento.
	Neste experimento, verificaremos a lei da conservação da quantidade de movimento em duas dimensões, usando um lançador de projéteis preso a uma bancada, e duas bolinhas de plástico, representadas na figura a seguir:
Figura 1. Representação esquemática do experimento
	Neste experimento, utilizaremos a expressão de espaço em função do tempo do movimento uniformemente variado:
			 (3)
 onde ∆h é a variação de espaço, g é a aceleração da gravidade e tq é o tempo de queda.
	Também utilizaremos para a realização dos cálculos, a expressão do valor médio, dada por:
Valor Médio (X):
 		 
 (4)
 onde: Xi corresponde a i-ésima medida realizada e N é o número total de medidas.
	Utilizaremos ainda a expressão do espaço em função do tempo do movimento uniforme, dada por:
	
	(5)
 onde x é a distância percorrida num dado intervalo de tempo, xo é a distancia inicial e t é o intervalo de tempo.
	Para os eixos coordenados adotados conforme a figura 2, são válidos as relações das projeções ortogonais nos eixos x e y:
	
	
	(6)
	
	(7)
4.	Materiais Utilizados: Um suporte para lançador de altura Δh, um lançador de bolinhas L com um suporte S, uma bancada para apoio, 2 bolinhas de plástico ba, bb, de massa m cada uma, 1 régua graduada, uma trena, 2 folhas de papel carbono, uma folha de cartolina.
5. 	 Procedimento: Inicialmente regulamos o lançador L para que este fique exatamente paralela ao plano da bancada. Colocamos a folha de cartolina em cima da bancada de modo que o lançamento da bolinha caia em cima da folha de cartolina. Na proximidade do local da cartolina onde a bolinha cai, colocamos a folha de papel carbono virada para baixo, de modo que esta denuncie o local exato de onde a bolinha caiu. Desse modo, a bolinha ba é lançada 5 vezes. Na média das marcações dos locais de queda desses 5 lançamentos, na cartolina, é passada com a ajuda da régua graduada, um eixo x paralelo ao lado B1 da bancada. Perpendicularmente a essa reta é passada um eixo y de modo a este passar na base do suporte do lançador, conforme demonstrado na figura 2.
Figura 2 – Vista superior do experimento.
Logo em seguida, com a ajuda da trena, foi medida	a distância de cada uma dessas marcações ao eixo y, denotadas por xai.
Feito isso, colocamos agora a segunda bolinha, bb, no suporte S, de modo que este fique no mesmo nível da bolinha ba. As bolinhas são arrumadas de tal modo que no lançamento da bolinha ba, esta colida com a bolinha bb e as duas caiam no papel cartolina. Novamente, no local onde as duas bolinhas caem é colocado uma folha de papel carbono virada para baixo, de modo a acusar a localização exata da queda das bolinhas. Desse modo, são feitas 5 lançamentos da bolinha ba. Com a ajuda da trena, foram medidas as distâncias dos pontos de queda das bolinhas ba e bb em relação à origem dos eixos coordenados x,y. À essas distâncias, foram chamadas de da e db. Na média das marcações das quedas da bolinha ba foi traçada uma reta ra, com a ajuda da régua, que passava pela origem dos eixos coordenados x,y. O ângulo formado pelo eixo x e a reta ra foi chamada de 
. Na média das marcações de das quedas da bolinha bb foi traçada uma reta rb, com a ajuda da régua, que também passava pela origem dos eixos. O ângulo formado pela reta rb e o eixo x, foi chamada de 
 . Finalmente, medimos o valor de Δh, valor da altura do suporte do lançador, como indicada na figura 1. 
6.	Dados e Resultados: A medida de Δh encontrada foi de Δh=26cm. Com a medida de Δh, conseguimos determinar a partir da expressão (3) o tempo de queda tq, obtendo tq=0,23s. (Para efeito de organização, os dados obtidos do lançamento da bolinha ba foram acrescidos do índice i, e os dados obtidos do lançamento da bolinha ba com posterior colisão com a bolinha bb foram acrescidos do índice f).
Os dados apresentados na tabela 1 são 
, 
, 
, 
, 
, 
, onde 
, 
, 
, 
, 
, são as distâncias medidas em relação ao eixo y do lançamento da bolinha b1 e 
é a média aritmética dessas distâncias, calculada com a ajuda da expressão (4).
Tabela 1 – Dados das distâncias 
encontradas.
	
(cm)
	
(cm)
	
(cm)
	
(cm)
	
(cm)
	
 (cm)
	78,00
	77,5
	78,00
	78,5
	79,1
	78,46
Como na direção horizontal não há forças externas, o movimento na direção horizontal é do tipo uniforme. Assim voxi=vxi, onde vo é a velocidade inicial da bolinha. Como podemos trabalhar o movimento vertical e horizontal separadamente, podemos concluir que tq=t. Assim, com 
 e com a ajuda da expressão (5) obtemos um valor de voxi=3,41 m/s. Com o valor de voxi obtemos, a partir da expressão (1) o valor de Pxi=3,41m kg.m/s, onde m é a massa da bolinha. Como o eixo x foi traçado em cima da média das marcações da bolinha, não temos a componente vertical da velocidade vyi, sendo assim, não temos a quantidade de movimento na direção do eixo y, desse modo, Pyi=0.
Os dados da tabela 2 são 
,
, 
,
, onde 
é a distância da marcação da bolinha ba à origem dos eixos e 
é a distância da marcação da bolinha bb à origem dos eixos, medidos no 1º, 2º, 3º, 4º, 5º lançamento da bolinha ba com posterior colisão com a bolinha bb, e suas respectivas médias, calculadas a partir da expressão (4).
Tabela 2 – Dados de 
,
, 
,
	
	1º
	2º
	3º
	4º
	5º
	média
	da (cm)
	75,0
	76,8
	75,5
	75,8
	71,7
	74,96
	db (cm)
	22,0
	19,1
	19,9
	20,1
	20,8
	20,38
	
	11º30’
	10º40’
	11º
	11º30’
	12º
	11º20’
	
	50º
	47º
	50º
	48º
	47º
	48º24’
	A partir de 
e 
 e utilizando a expressão (6) e (7) foram obtidos os valores para dax=xaf=0,7350m e day=yaf=0,1473m que são as componentes ortogonais de da na direção dos eixos xe y, respectivamente. O mesmo foi feito com db e
, obtendo os valores de dbx=xbf=0,1353m e dby=ybf=-0,15240m . Com estes valores, o valor do tempo de queda tq, e com a ajuda da expressão (5) foram obtidos os valores de vaxf=3,1957m/s, vayf=0,6404m/s, vbxf=0,5883m/s, vbyf=-0,6626m/s. Com esses resultados, podemos obter, com a ajuda da expressão 1, os valores para Paxf=3,1957m kg.m/s, Payf=0,6404 kg.m/s, Pbxf=0,5883m kg.m/s, Pbyf=-0,6626m kg.m/s. Como a quantidade de movimento final é a soma da quantidade de movimento das duas bolinhas, podemos somar as componentes em x, Paxf com Pbxf obtendo Pxf=3,8361m kg.m/s e em y Payf e Pbyf, obtendo Pyf= –0,0222m kg.m/s.
Finalmente, usando a expressão (2) podemos relacionar os dois lançamentos, adotando a quantidade de movimento contida no lançamento da bolinha ba como sendo a quantidade de movimento inicial e a quantidade de movimento contida no lançamento da bolinha ba com posterior colisão com a bolinha bb como sendo a quantidade de movimento final. Assim, podemos verificar a lei da conservação das massas verificando a igualdade da expressão (2). A expressão (2), assim como a quantidade de movimento está expressa em termos vetoriais, desse modo, adotamos o método do cálculo de vetores pelo sistema de coordenadas cartesianas x,y, mostrada na figura 2. Tomando os dados de Pxi e Pxf obtemos uma divergência nos valores no eixo x da ordem de 11%. Tomando os dados de Pyi e Pyf obtemos uma divergência no eixo y da ordem de 2,2%.
Uma das possíveis fontes de erro podem ser dadas pela nivelação do suporte S contendo a bolinha bb com relação à bolinha ba, o que foi feita manualmente. Esta não ocasionando um choque totalmente frontal, provoca uma divergência no tempo de queda e no alcance da bolinha atirada pelo lançador.
8.	Bibliografia:
D. F. de Melo, Notas de Aula de Física I.
HALLIDAY, D.: RESNICK, R.: WALKER J. Fundamentos de Física. V.1. ed.6. Rio de Janeiro: LTC
htpp://futebol.incubadora.fapesp.br
htpp://pt.wikipedia.org
∆h
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