apostila_11_testes_hipoteses

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Testes de Hipóteses
 Referência:
Estas notas de aula baseiam-se na seguinte referência bibliográfica:
ESTATÍSTICA BÁSICA - Wilton de O. Bussab, Pedro A. Morettin – 5a ed. - São 
Paulo - Saraiva, 2002. 
 Introdução
Inferência estatística → Estimação de parâmetros
→ Testes de hipóteses sobre parâmetros
Objetivo do teste estatístico de hipóteses:
Fornecer um critério que nos permita validar ou refutar uma hipótese 
estatística através dos resultados de uma amostra.
A hipótese estatística é uma afirmação concernente a um parâmetro θ da 
população (θ desconhecido).
 
Procedimento 1 
HIPÓTESES CONCERNENTES A DUAS POPULAÇÕES
Exemplo:
Um lote de 25 parafusos, de origem desconhecida, será leiloado a um 
preço convidativo. Sabe-se que a resistência média desta amostra de 
parafusos é 148=x (Kg-f). Para que uma indústria saiba se faz ou não 
uma oferta no leilão, ela necessita saber qual de dois países (Japão ou 
Estados Unidos) produziu tais parafusos, o que não é informado. 
Contudo, sabe-se que os parafusos japoneses apresentam resistência 
média µ1=155 e desvio padrão σ1=20; os parafusos americanos 
apresentam µ2=145 e desvio padrão σ2=12. Que regra de decisão a 
indústria deve adotar para dizer qual a procedência dos parafusos?
Uma resposta imediata seria:
Regra de decisão:
Se x150 → procedência americana;
Se x150 → procedência japonesa.
Conclusão: 
Como 148=x , concluiríamos uma procedência americana.
• Podemos estar enganados nesta conclusão?
Resposta: 
Sim, pois é possível que uma amostra de origem japonesa 
apresente 150<x .
2
ponto 
médio
parafusos
japoneses
µ
1
=145
σ
1
=12
µ
2
=155
σ
1
=20
150
↓
µ 
1
+µ 
2
2
parafusos
americanos
• Procedimento para uma melhor escolha da regra de decisão:
Seja : X → resistência de cada parafuso;
X → resistência média da amostra de n = 25 parafusos.
População 1 (parafusos japoneses) : 20,155: 111 === σµXX
População 2 (parafusos americanos): 12,145: 222 === σµXX
Teorema Central do Limite




==Ν



==Ν σµσµ 76,5,145:16,155:
2
2
22
2
1
11 n
X
n
X
Hipóteses
( )
( )americanossãoparafusososXXH
japonesessãoparafusososXXH
12,145::
20,155::
2221
1110
===
===
σµ
σµ
Erros dos tipos I e II
Erro do tipo I: Rejeitar H0 quando H0 verdadeiro. 
Concluir que os parafusos são americanos quando 
são, na verdade, japoneses.
Erro do tipo II: Aceitar H0 quando H0 falso.
 Concluir que os parafusos são japoneses quando, na 
verdade, são americanos.
Probabilidades dos Erros I e II
α = Probabilidade ( erro I ) = P ( erro I )
β = Probabilidade ( erro II ) = P ( erro II )
3
• O novo limiar CX pode ser escolhido dependendo de α e β:
Se 0HXX C ⇒≤ falso ⇒ parafusos são americanos
 Se 0HXX C ⇒> verdadeiro ⇒ parafusos são japoneses
• No caso em que escolhemos 150=CX , quais as probabilidades α e β ?
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
americanossãoqdojaponenessãoqueconcluirprob
zPXP
n
XXP
falsoHHaceitarPIIerroP
japonenessãoqdoamericanossãoqueconcluirprob
zPXP
n
XXP
verdadeiroHHrejeitarPIerroP
XX
XX
..%88,1
01876,008,2
76,5
145150
76,5
145
76,5,145:150
..%56,10
10565,025,1
4
155150
4
155
16,155:150
2
2
22
2
00
1
2
12
1
00
→≈
=>=



−
>
−
=








===µ=µΝ>=
==β
→≈
=−≤=

 −≤−=








===µ=µΝ≤=
==α
σ
σ
σ
σ
Portanto: A regra de decisão que foi adotada com 150=CX conduz a 
valores α ≈ 10,56 % e β ≈ 1,88 % o que privilegia a afirmação de que 
os parafusos são americanos !
4
japoneses
µ
1
=145 µ2=155
americanos
=?
 Esquema:
HIPÓTESES
H0 Verdadeiro H0 Falso
DECISÃO
(parafusos são 
japoneses)
(parafusos são 
americanos)
Aceita-se H0 Sem Erro Erro II
CXX > (Probabilidade β)
Rejeita-se H0 Erro I Sem Erro
CXX ≤ (Probabilidade α)
 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE X PARA H0 VERDADEIRO 
OU H0 FALSO
5
α β
  CX  
Região de
Rejeição de H
0
H
0
 FALSO ⇒ paraf. americanos
H
0
 VERDADEIRO 
⇒ paraf. são japoneses
x
• Para solucionar o problema de privilegiar a afirmação de que os 
parafusos são americanos, uma proposta seria escolher CX tal que: α =β
Isto significaria que a probabilidade de errar contra japoneses é a 
mesma de errar contra americanos.
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )








−
>=








−
≤
Ν>=Ν≤
=
=
β=α⇔=

2
1
76,5
145
4
155
76,5,145:16,155:
?
0000
z
C
z
C
CC
C
X
zP
X
zP
XXXPXXXP
falsoHHaceitarPverdadeiroHHrejeitarP
IIerroPIerroP
X
( )
( )
1 2
155 145
4 5,76
2,4 372 4 580 6,4 952 148,75
148,75 155 1,563
4
0,5 0 1,563 0,5 0,44062 0,0594
5,94%
C C
C C C C
X Xz z
X X X X
P z P z
P z
β α
α β
− −
∴ = − ⇒ = −
− = − + ⇒ = ⇒ =
− 
∴ = = ≤ = ≤ −  
= − ≤ ≤ − = − ≈
∴ = =
• Procedimento usual:
Fixa-se o erro α e determina-se CX , pois como será visto, no caso geral 
nem sempre se encontra β.
6
z
1
z
20 z
z
2
z
10 z
z
2
z
10
=
z
área 
2
área 
1 área 1 área 2
Exemplo: Fixando-se ?05,0 =⇔= CXα
( )
( )
( )( )
( )
0 0
0,05
0,05
0,05
: 155 ,16 0,05
155 0,05
4
155 0,05
4
1550 0,5 0,05 0,45
4
155
: 1,645 1,645 148,42
4
C
C
C
C
C
z
C
C C
P erro I
P rejeitar H H verdadeiro
P X X X
XP z
XP z
XP z
X
Da Tabela z X
α =
=
=
≤ Ν =
 −
≤ =  
 −
≥ − =  
  
−
≤ ≤ − = − =   
−
= ∴ − = ⇒ =
14243
Regra de decisão para α = 0,05
Rejeita-se H0 se 42,148≤X
Aceita-se H0 se 42,148>X
Região de rejeição de H0 (Região Crítica – RC) { }42,148≤∈= XRXRC
Cálculo de β (para α = 0,05): 
Neste caso em particular, é possível calcular o valor de β:
( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) %64,70764,042364,05,043,105,0
425,105,0425,1
76,5
14542,148
76,5,145:42,148
76,5,145:
00
≈=−=≤≤−≈
≤≤−=−>=



−
>
=Ν>
=Ν>
===β
zP
zPzPzP
XXP
XXXP
falsoHHaceitarPIIerroP
c
7
Procedimento 2 (Geral)
HIPÓTESE H0 CONCERNENTE À POPULAÇÃO 1 E 
HIPÓTESE H1 CONCERNENTE A QUALQUER OUTRA 
POPULAÇÃO
Exemplo:
Considere o mesmo lote de 25 parafusos com resistência média 148=x (Kg-f). 
Mas agora os parafusos poderiam ser produzidos por outros países além dos 
dois citados (Japão e EUA). Suponha que o interesse da indústria seja o de 
fazer uma proposta apenas no caso de o parafuso ser de origem japonesa. 
Sabe-se que os parafusos japoneses têm resistência média µ = 155 e desvio 
padrão σ = 20. Qual a regra de decisão que a indústria deve adotar?
As hipóteses são:
( )
japonesessãonãoparafusosH
japonesessãoparafusoseH
:
20155:
1
0 ⇔== σµ
Observações: 
1. Na hipótese alternativa H1 , já não podemos especificar os parâmetros, 
pois os parafusos não japoneses podem ser de vários outros países.
2. Α especificação da hipótese alternativa depende do grau de 
informação que se tem do problema. Segundo este grau de informação, 
pode-se construir dois tipos de testes, o teste unilateral (à esquerda ou 
à direita) e o teste bilateral.
(A) TESTE UNILATERAL (à esquerda)
 HIPÓTESES
( )
( )japonesessãonãoparafusososH
japonesessãoparafusososH
155:
155:
1
0
<µ
=µ
Obs: A hipótese alternativa foi especificada em termos de uma desigualdade 
( µ < 155 ) pois neste exemplo estamos admitindo que a indústria
japonesa 
seja a mais desenvolvida e nenhum outro país produz parafusos com µ > 155 !
8
• REGRA DE DECISÃO
Rejeita-se CXXseH ≤0
Obs.: Isto porque só desconfiamos de 1550 < <XseH !
• VALOR CRÍTICO ( )0,05CX α =
Como a hipótese alternativa é compatível com vários possíveis valores 
de µ ( µ < 155), não podemos encontrar β se não especificarmos qual destes 
possíveis valores . Assim, o procedimento usual é fixar α; por exemplo, 
α = 0,05:
( ) ( )
( )( )
42,148
05,0
4
155
05,016,155:
05,0
2
00
=⇒
=


 −
≤⇒===µΝ≤
===α
σ
C
C
XC
XTabelaDa
X
zPXXXP
verdadeiroHHrejeitarPIerroP
Obs: Com a hipótese H1 mais ampla, não podemos encontrar β, pois não 
temos um único parâmetro µ especificado em H1, pelo contrário, temos 
infinitos possíveis valores em H1: µ < 155. Não podemos encontrar o erro II !
 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE X NO CASO UNILATERAL
9
µ’’ µ’ CX µ = 155
?
155
2
0
=
<µ
σ X
falsoH
16,155 2
0
==µ σ X
verdadeiroH
Região de rejeição: 
x
α
(B) TESTE BILATERAL
• HIPÓTESES
( )
( )japonesessãonãoparafusososH
japonesessãoparafusososH
155:
155:
1
0
≠µ
=µ
Obs: Neste exemplo estamos admitindo que os parafusos japoneses não são 
necessariamente os superiores. Portanto, pode haver parafusos não japoneses 
com resistência média inferior ou superior à dos parafusos japoneses ( µ ≠ 155 
⇔ µ < 155 ou µ > 155). 
• REGRA DE DECISÃO
0 1 2
0 1 2
Rejeita-se se ou
Aceita-se se
C C
C C
H x x x x
H x x x
< >
≤ <
Obs: No teste bilateral só desconfiaremos de H0 se ( ) !155000 =µµ> >µ< < xoux
 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE X NO CASO BILATERAL
10
( ) ?,155
155
2
0
=>µ
≠µ
σ X
falsoH
x
?155 2
0
==µ σ X
verdadeiroH
1C
X
2C
Xµ = 155
α / 2 α / 2
Região de rejeição: 
( )
?
155155
2
0
=
<≠
σ
µµ
X
falsoH
• REGIÃO DE REJEIÇÃO
Valores Críticos: xc1 e xc2 simétricos (α = 0,05)
( ) ( )
( )( ) ( )( ) 05,016,155:16,155:
05,0
21
00
=Ν>+Ν<
===
XXXPXXXP
verdadeiroHHrejeitarPIerroP
CC
α
Escolhe-se xc1 e xc2 simétricos em relação à média µ, isto é:
( )( )
( )( )
025,0
4
155
4
155
:
025,0
2
16,155:
025,0
2
16,155:
2
2
1
1
21
1
=








−
>=








−
<
=
α
=Ν>
=
α
=Ν<

z
C
z
C
C
C
X
zP
X
zP
segueondeDe
XXXP
XXXP
Ou seja:
( )
( ) ( )
( ) ( )
84,162
16,147
96,1
4
155
96,1475,00025,005,0
025,0025,0
:
310155155
4
155
4
155
2
1
1
1221
21
1
111
11
21
=⇒
=⇒
−=
−
=
=−⇒=−<<⇒=−<<−
=−>⇒=<
+−=⇒−−=−⇒
/
−
−=
/
−
⇒−=
C
C
C
CCCC
CC
X
X
X
z
zzzPzzP
zzPzzP
tabelaDa
XXXX
XX
zz
Região de Rejeição: { }84,16216,147 ><∈= XouXRXRC
Conclusão: Como RC148∉=ox , aceita-se H0 .
11
z
1
z
20
0,0250,025
z
PROCEDIMENTO GERAL DO TESTE DE HIPÓTESES
1. Considera-se uma variável aleatória X de uma população.
2. Formula-se uma hipótese sobre um parâmetro θ:
θ = θ0 (em que θ0 é o parâmetro suposto).
3. Extrai-se uma amostra da população. Através da estatística observada, 
aceita-se ou rejeita-se tal hipótese.
HIPÓTESES
Hipótese Nula: H0 : θ = θ0
Hipótese Alternativa: H1 : θ ≠ θ0 (teste bilateral) ou
H1 : θ < θ0 (teste unilateral à esquerda) ou
H1 : θ > θ0 (teste unilateral à direita) .
ERROS
Erro do tipo I: rejeitar a hipótese H0 quando esta é verdadeira.( ) ( )verdadeirorejeitarerro 00 HHPIP ==α
Erro do tipo II: aceitar H0 quando esta é falsa.( ) ( )falsoaceitarerro 00 HHPIIP ==β
OBJETIVO DO TESTE DE HIPÓTESES
Através de uma estatística θˆ obtida de uma amostra, dizer se H0 é ou 
não aceitável:
( )
0
0
rejeitasenãoˆSe
serejeitarejeiçãodeoucríticaregiãoˆSe
HRC
HRC
⇒∉
−⇒∈
θ
θ
CONSTRUÇÃO DE REGIÃO CRÍTICA (RC)
( ) ( )fixovalor verdadeiraˆ 0 αθ =∈ HRCP
NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA (α) 
) erro( IP=α
Valores usualmente utilizados: α = 0,05 ; 0,01 ; 0,001.
12
PASSOS PARA CONSTRUÇÃO DE UM TESTE DE HIPÓTESES
1. HIPÓTESES: as hipóteses H0 e H1 são formuladas.
2. ESTIMADOR: decide-se qual estimador θˆ será usado para testar o 
parâmetro suposto em H0. Considera-se a distribuição amostral de θˆ 
supondo-se H0 verdadeira.
3. REGIÃO CRÍTICA: O nível de significância α = P (erro I) é fixado e a 
região crítica (RC) é construída.
4. ESTATÍSTICA DO TESTE (valor observado): calcula-se o valor da 
estatística θˆ para a amostra extraída.
5. REGRA DE DECISÃO E CONCLUSÃO: Se θˆ ∉ RC aceita-se H0 ; 
caso contrário, rejeita-se H0 .
TESTE DE HIPÓTESES SOBRE A MÉDIA DE UMA POPULAÇÃO 
COM VARIÂNCIA CONHECIDA
Exemplo:
Uma máquina automática de encher pacotes de café enche-os segundo uma 
distribuição normal, com média µ e variância 400 g2. O valor de µ pode ser 
fixado num mostrador situado em posição pouco acessível. A máquina foi 
regulada para µ = 500 g. A cada meia hora, desejamos colher uma amostra de 
16 pacotes e verificar se a produção está sob controle, isto é, se µ = 500 g ou 
não. Se uma dessas amostras apresentar uma média 492=x você pararia ou 
não a produção para verificar se o mostrador está na posição correta ?
Teste de hipóteses:
1. Hipóteses
Seja X o peso de cada pacote, então ( )400,: µΝX .
( )


≠
==
gH
gH
500:
500500:
:Hipóteses
1
00
µ
µµ
13
2. Estimador:
( )
( )




Ν⇒
Ν

Ν
=
25,500:verdadeirase
25,:ou
16
400,:
)16(
0 XH
XX
nX
µµ
3. Região Crítica. Adota-se α = 0,01. A partir de H1, vemos que H0 
deve ser rejeitada se .ou
21 CC
XXXX <<
( ) ( )
( )( )25,500:ou01,0
verdadeirorejeitarerro
21
00
Ν><=
==
XXXXXP
HHPIP
CC
α
Teste bilateral:
( )
( ) ( )
{ }
1 1
1
1
1
1
2 2
1
500 500
0,005 0,005 0 0,495
5 5
500
2,58 487,10
5
500 500 487,10 512,90 512,90
487,10 512,90
C C
C
z
C
C
C C
X X
P X X P z P z
X
z X
X X pela simetria
RC X R x ou x
  − − + 
< = ⇒ < = ⇒ < < =        
− +
= + = ⇒ =
∴ = + − = ⇒ =
= ∈ < >
14243
4. Estatística do teste: 492ˆ 0 ==θ x (para a particular amostra)
5. Conclusão: como RCx ∉0 , não se rejeita H0 . Logo, a diferença entre 
00 e µx pode ser atribuída ao sorteio aleatório dos pacotes, apenas.
14
1C
x
2C
x500
005,0
2
=
α 005,0
2
=
α
( ) 525,500::0 =Ν σ XXverdadeiroH
X
PODER DE UM TESTE
Região Crítica (ou Região de Rejeição): RC 
Fixa-se ( )verdadeiroˆ 0HRCP ∈= θα
Região de Aceitação (Complementar): RC’( )verdadeiroˆ1 0HCRP ′∈=−∴ θα
Exemplo:
No exemplo anterior, uma máquina automática enche pacotes de café 
segundo uma distribuição normal, com média µ e variância 400 g2. A 
máquina foi regulada para µ = 500 g. A cada meia hora, extrai-se uma 
amostra de 16 pacotes e calcula-se sua média x como estatística de 
teste para verificar se a produção está sob controle, isto é, se µ = 500 g 
ou não.
{ }
{ }9,51210,487
9,512ou10,487
controlesobestánãoproduçãoserejeitaSe
controlesobproduçãoseaceitaSe
0
0
≤≤∈=′
><∈=
⇒−⇒∈
⇒−⇒′∈
xRxCR
xxRxRC
HRCx
HCRx
15
=487,10
=512,90
500
2
α
X
( ) ( )controlesobproduçãoX
verdadeiroH
25,500:
500:0
Ν
=µ
2
α
RC RC
RC’
1 - α
Notação compacta:
P ( RC | H0 ) → probabilidade de RC∈θˆ dado H0 verdadeiro; ≡
probabilidade de rejeitar H0 quando H0 verdadeiro.
P ( RC’ | H1 ) → probabilidade de CR ′∈θˆ dado H1 verdadeiro;
probabilidade de aceitar H0 quando H1 verdadeiro.
Hipóteses:
H0 : µ = 500 ( especifica um valor)
H1 : µ ≠ 500 ( especifica uma família de valores alternativos)
Erros dos tipos I e II:
α = P(Erro I) = P ( RC | H0 ) → pode ser calculado
β = P(Erro II) = P ( RC’ | H1 ) → pode ser calculado somente se for 
especificado o valor de µ em H1
Exemplo de cálculo de β :
Se a máquina se desregulou para µ = 505, então:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) %28,949428,049983,044295,058,3058,10
58,305,058,105,058,358,1
5
5051,487
5
5059,512
25,505:505
12
1
=⇒=+=⇒<<+<<=
<<−−<<+=⇒−<−<=


 −
<−

 −
<=⇒<−<=
Ν′=⇒=′∈=′=
βββ
ββ
ββ
βµβ
zPzP
zPzPzPzP
zPzPXXPXXP
XCRPCRXPHCRP
CC
16
1C
x 500 2Cx 505 X
5051 =µparaH
β
0H
Tabela: 
HIPÓTESES
H0 : µ = 500 H1 : µ ≠ 500
DECISÃO (produção sob controle) (produção descontrolada)
Aceita-se H0 
(máquina sob 
controle µ = 500)
Sem Erro
P (RC’| H0 ) = 1 - α = 
0,99
Erro II
P (RC’| H1 ) = β
Depende do valor de µ 
especificado em H1
Rejeita-se H0
(máquina 
descontrolada 
 µ ≠ 500) 
Erro I
P (RC | H0 ) = α = 
0,01
Sem Erro
Poder do Teste
Função Poder do Teste:
Como β depende de µ, isto é, β = β(µ), é conveniente definir uma 
função Φ(µ) que caracterize o desempenho do teste.
O poder do teste Φ(µ) é a probabilidade de se tomar a decisão correta 
quando H1 for verdadeiro (i.e., H0 falso):
Φ(µ) = 1 - β(µ)
O poder do teste indica o comportamento do teste em termos da 
probabilidade de acerto, como função de µ, com exceção do valor µ = 
µ0 = 500 (especificado em H0). 
Cálculo do Poder do Teste para alguns valores de µ:
Verdadeiro Valor de µ Probabilidade Probabilidade
µ ≤ 500 µ ≥ 500 de acertar de errar
H0 verd: µ=500 µ=500 1 - α = 0,99 = 99 % α = 0,01 = 1 %
H1 verd: µ=498 µ=502 1 - β = 1,7 % β = 98,3 %
 " µ=495 µ=505 1 - β = 5,8 % β = 94,2 %
 " µ=490 µ=510 1 - β = 28,1 % β = 71,9 %
 " µ=485 µ=515 1 - β = 66,3 % β = 34,7 %
 " µ=480 µ=520 1 - β = 92,1 % β = 7,9 %
17
Áreas 1-β(µ) para valores especificados de µ:
Gráfico do poder do teste 1-β(µ) :
Gráfico para α = 1 % fixo com RC definida,{ }2,505ou8,494 ><∈= XXRXRC
para valores n = 16 e n = 100.
18
=487,10 =512,90
500
= 0,5 %
X
H
0
=0,5 %
RC
H
0
 : µ = 500 (verdad) α = 1 %
2C
x
510
X
H
1
 : µ ≠ 500 (µ = 510) (verd)
1C
x 500
1 – β = 28,1 %
H
0
Aumento de | µ - 500 | ⇒ Aumento de 1 - β
1 - β
90 %
480 500 520
n = 16
µ
Definição Geral da Função Poder do Teste:
H0 : θ = θ0
Fixa-se α ⇒ RC (Região de Rejeição)
1- β = P( rejeitar H0 | H1 verdadeiro )
Função Poder do Teste: ( ) ( )θθθβ RCP ∈=− ˆ1
O poder do teste é a probabilidade de decisão correta para uma 
alternativa θ (verdadeira).
Para um dado µ , 1 - β(µ) aumenta com n .
TESTE PARA PROPORÇÃO
Considere uma população e uma hipótese sobre a proporção p de 
indivíduos que apresentam certa característica. Os passos para a construção do 
teste para a proporção são os seguintes:
1. Hipóteses
0 0
0
proporção de individuos com uma dada
: : característica na população
valor suposto
p
H p p onde
p
→
=  →
Hipóteses alternativas:
(i) H1 : p ≠ p0 (teste bilateral ou bicaudal)
(ii) H1 : p > p0 (teste unilateral ou monocaudal à direita)
(iii) H1 : p < p0 (teste unilateral ou monocaudal à esquerda)
2. Estimador
( ) 

 −Ν
n
pppp 1,:ˆ
19
3. Região Crítica
Fixa-se α ⇒ RC (Região Crítica)
( ) ( )
( )
0
0 0
0 0
ˆ
1
ˆ : ,
P erro I P p RC H
p p
H verdadeiro p p
n
α = = ∈
 −
⇒ Ν   
4. Estatística do teste (valor observado)
0pˆ → proporção observada na amostra
5. Decisão e conclusão
Rejeita-se RCpseH ∈00 ˆ .
Exemplo:
Uma estação de televisão afirma que 60% dos televisores estavam 
ligados no seu programa especial. Uma rede competidora deseja 
contestar a afirmação e decide entrevistar uma amostra de 200 famílias, 
obtendo 104 respostas afirmativas. Qual o procedimento que deve ser 
adotado para julgar a veracidade da afirmação ?
1. Hipóteses:
( )valoro"erestimadosup"teriaemissoraa60,0:
60,0:
1
00
<
==
pH
ppH
2. Estimador:
n = 200 ( )(1 )ˆ : , 200
p pp p estatística− ⇒ Ν   
3. Região crítica: 
Fixando-se α = 0,05,
( ) ( )


Ν⇒
∈==
200
24,0;60,0:ˆverdadeiroSe
ˆIerro
0
0
pH
HRCpPPα
 :
20
( )
{ }
1,645
0,60 0,60ˆ ˆ 0,05 0,05 0 0,45
0,24 0,24
200 200
ˆ0,60 ˆ ˆ1,645 0,60 0,0570 0,5430
0,24
200
ˆ ˆRegião Crítica : 0,5430
C C
c
C
C C c
p pP p p P z P z
p z p p
RC p RC p
      
− −  = < = ⇒ < = ⇒ = < < =         
−
= = ⇒ − = ⇒ =
= ∈ ≤
123
4. Estatística do teste (valor observado na amostra):
5200,0
200
104ˆˆ 0 === pp
5. Decisão e conclusão
Como ⇒∈ RCp0ˆ Rejeita-se H0 ⇒ audiência p é inferior a 60 % .
21
0,6
0
05,0=α
pˆ
Cpˆ
P P
NÍVEL DESCRITIVO (p-valor)
Um outro procedimento adotado no teste de hipóteses difere do 
procedimento clássico apenas pelo fato de que, ao invés de se construir a 
região crítica (RC), apresenta-se o denominado nível descritivo ou p-valor.
Nível descritivo ou p-valor 
O p-valor é a probabilidade de ocorrer valores da estatística tão 
extremos ou mais extremos do que o observado, se a hipótese H0 for 
verdadeira.
Outra possível definição (equivalente):
O p-valor é o menor nível de significância ( )αˆ para o qual o valor 
observado conduz à rejeição de H0.
Exemplo - Nível descritivo em um teste unilateral 
Hipóteses:
60,0:
60,0:
1
0
<
=
pH
pH
Valor observado:
52,0
200
104ˆ200 0 ==⇒= pn
22
µ
0
αˆ
X
Nível
Descritivo
α
0X 1CX
01
00
:
:
µ<µ
µ=µ→
H
verdadeiroH
Valor Crítico: 
 Estatística: 
Se rejeita-se H
0
Nível descritivo (p-valor):( ) ( )
( )
%101,0ˆ
48956,05,031,2
03464,0
60,052,0
52,0ˆˆˆ 000
=≈
−=−<=

 −
<=
<=<=
α
α
α
zPzP
HpPHppP
Interpretação: 
Se H0 for verdadeiro, isto é, se a audiência for fato %60=p , a 
probabilidade de se obter uma amostra com %52ˆ 0 =p ou menos é de apenas 
%1ˆ =α . 
Neste caso, ou continuamos admitindo que a hipótese H0 é verdadeira e 
a amostra obtida é improvável de ocorrer ou então concluímos que a hipótese 
H0 não é verdadeira. O teste é construído de modo a se optar pela última 
possibilidade, isto é, rejeita-se H0 .
Decisão:
Rejeita-se H0 se: α≤αˆ
  indica o que é raro ( 1%, 5%, etc)
Exemplo - Nível descritivo em um teste bilateral
O tempo de duração das viagens entre duas cidades é normal com média 
µ = 300 minutos e desvio padrão σ = 30 minutos, segundo um estudo 
preliminar. Em 10 viagens realizadas neste trajeto, o tempo médio foi 
3140 =x minutos. Este resultado comprova ou não o estudo preliminar?
23
αˆ
pˆ
 = 0,05
o
Cpˆ
60,00 =p
[ ]0012,0;60,0
200
40,060,0;60,0:ˆ
0
Ν=

 ×Νp
verdadeiroH
Hipóteses:
 
( )
300:
30,300:300:
1
2
0
≠
Ν=
µ
µ
H
XH
Estimador: 


 σµΝ
10
,:
2
X pelo T.L.C.
Se H0 verdadeiro ⇒ 

Ν
10
900,300:X
Valor observado: 3140 =x
( ) ( )
( ) ( )?rejeitarseparararoeventoumé%7%707,048,1
2
ˆ
49,9
300314314
2
ˆ
0
00
HZP
ZPxPHxxP
==>=


 −
>=>=>=
α
α
Nível descritivo:
 0HrejeitarseparaαciasignificândenívelMenor%14ˆ →=α
Nível descritivo unilateral: 
%7
2
ˆˆ =

 α
=α ′
Para 0Hrejeitasenão%5%14ˆ%5 ⇒=>=⇒= ααα
24
300
2
αˆ
X
2
αˆ
286 3140 =X
H
0
(BILATERAL)
TESTES QUE ENVOLVEM A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Em geral, suponha que para testar hipótese H0: θ = θ0 , em um teste 
bilateral ou unilateral, utilizemos uma estatística θˆ cuja distribuição é normal 
com média  e desvio padrão  , isto é:
),(:ˆ 2θθ σµθ N .
Neste caso, também podemos utilizar como estatística de teste a 
variável
θ
θ
σ
µσ −
=
ˆZ
cuja distribuição é normal padronizada:
Z : N 0,1 .
A região crítica RC é então definida em termos da estatística Z. 
Em termos da variável Z, o valor observado Zo é calculado como
θ
θ
σ
µσ −
=
o
oZ
ˆ
 ,
em que o é o valor da estatística observado na amostra.
A regra de decisão estabelece que H0 é rejeitada se Z o∈RC .
Um teste como este, que envolve a distribuição normal padrão e, 
portanto, a estatística Z, é conhecido como teste Z. 
Exemplo:
De uma população com distribuição normal e variância 92 =σ , extraiu-
se uma amostra casual de 40=n elementos e calculou-se a média x desta 
amostra, obtendo-se 60=x . Ao nível de significância 05,0=α , teste as 
hipóteses:
(a) 59:0 =µH contra 59:0 ≠µH .
(b) 59:0 =µH contra 59:0 >µH .
25
(a) Teste bilateral
Sigamos os passos do procedimento geral:
 Hipóteses: 59:0 =µH
59:1 ≠µH
 Distribuição amostral de X (se 59:0 =µH for verdadeira). Ë dada pelo 
teorema central do limite:



===
40
9,59:
2
2
n
NX XX
σ
σµ
 Região crítica RC: como a hipótese alternativa é da forma 59:1 ≠µH , o 
teste é bilateral . Em termos da variável normal padronizada 
XXXZ σµ )( −= , a região de rejeição de 0H é da forma: 
{ }cc zZzZIRZRC −<>∈= ou|
O valor crítico cz é determinado igualando-se
025,0
2
)( ==> αczZP
pois o teste é bilateral. Da tabela da distribuição normal 
padrão, obtemos : 96,1=cz . 
● Valor observado: 108,2
403
5960
=
−
=
−
=
X
X
o
XZ
σ
µ
 Decisão: como }96,1ou96,1{108,2 −<>=∈= ZZRCZo , 
rejeita-se 0H . Conclusão: 59≠µ ao nível 05,0=α .
(b) Teste unilateral à direita
Sigamos os passos do procedimento geral:
 Hipóteses: 59:0 =µH
59:1 >µH
 Distribuição amostral de X (se 59:0 =µH for verdadeira). É dada pelo 
teorema central do limite:



===
40
9,59:
2
2
n
NX XX
σ
σµ
26
 Região crítica RC: como a hipótese alternativa é da forma 59:1 >µH , o 
teste é unilateral à direita . Em termos da variável normal padronizada 
XXXZ σµ )( −= , a região de rejeição de 0H é da forma: 
{ }czZIRZRC >∈= |
O valor crítico cz é determinado igualando-se
05,0)( ==> αczZP
pois o teste é unilateral. Da tabela da distribuição normal 
padrão, obtemos : 645,1=cz . 
● Valor observado: 108,2
403
5960
=
−
=
−
=
X
X
o
XZ
σ
µ
● Decisão: como }645,1{108,2 >=∈= ZRCZo , 
rejeita-se 0H . Conclusão: 59≠µ ao nível 05,0=α .
27