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Coleção Licenciatura em Matemática
Álgebra Linear I
Dedicatória
À minha esposa Fernanda, meus pais, José Raimundo e Joana,
meus irmãos, Ricardo e Bárbara, e sobrinhos (muitos), e aos meus
filhos, Fábio Hugo e Fabiana, em especial, pois o estudo é o ali-
cerce da vida.
(F.F.F.)
À minha querida esposa Tatiana Abreu, meus familiares e amigos.
(B.F.M.)
A Jaqueline, Ana Clara e Caroline em retribuição ao amor, cari-
nho, dedicação e paciência que vocês tem me dispensado. Vocês
fazem a diferença.
(H.N.P.)
Coleção Licenciatura em Matemática
Álgebra Linear I
Fábio Freitas Ferreira
Licenciado em Matemática pela FFP/UERJ, Mestre e Doutor em
Matemática Aplicada e Modelagem Computacional pelo
IPRJ/UERJ. Foi professor substituto da FFP/UERJ e do
GEM/UFF. Atualmente é Coordenador e Professor do curso de
Licenciatura em Matemática da FACNEC-ITA.
Bruno da Fonseca Monteiro
Licenciado em Matemática pela FFP/UERJ, Mestre em Engenha-
ria Civil pela COPPE/UFRJ. Foi professor de cursos pré-
vestibulares e colégios da rede privada. Atualmente é professor da
rede estadual de ensino do Rio de Janeiro e do curso de Licencia-
tura em Matemática da FACNEC-ITA.
Herivelto Nunes Paiva
É bacharel em estatística pela FACEN/UNIVERSO, Licenciado
em Matemática pela UNIVERSO, Pós-graduado em Matemática e
Estatística pela UFLA, e Mestre em Ensino de Ciências da Saúde
e do Ambiente pela UNIPLI. Mais de 22 anos como Professor
das redes públicas e privadas de ensino. Atualmente, leciona na
FACNEC nos cursos de Administração, Matemática e Pedagogia.
Sumário
1 Matrizes..........................................................................................1
1.1 Igualdade entre matrizes......................................................4
1.2 Tipos especiais de matrizes .................................................5
1.3 Operações com matrizes .....................................................8
1.4 Adição de matrizes ...............................................................9
1.5 Propriedades da adição de matrizes.................................10
1.6 Exercícios.............................................................................11
1.7 Multiplicação de uma matriz por um escalar..................13
1.8 Propriedades........................................................................14
1.9 Transposta de uma matriz.................................................16
1.10 Propriedades que envolvem matrizes transpostas.........16
1.11 Multiplicação de matrizes ..................................................17
1.12 Propriedades da multiplicação de matrizes.....................22
1.13 Matriz Inversa .....................................................................25
1.14 Propriedades da Matriz Inversa........................................26
1.15 Questões de vestibular .......................................................27
2 Sistemas Lineares........................................................................56
2.1 Introdução ...........................................................................56
2.2 Equações lineares................................................................57
2.3 Solução das equações lineares...........................................57
2.4 Sistemas de equações lineares...........................................58
2.5 Solução do sistema linear ..................................................61
2.6 Sistemas Lineares Homogêneos.......................................66
2.7 Matriz escalonada ...............................................................67
2.8 Solução do sistema por retro-substituição......................71
2.9 Solução do sistema pelo método de Gauss – Jordan....75
2.10 Solução do sistema pelo método da Matriz Inversa .....79
2.11 Cálculo da Matriz Inversa..................................................80
2.12 Exercícios.............................................................................83
2.13 Questões de vestibular .......................................................86
2.14 Resposta dos exercícios propostos ..................................98
2.15 Questões de vestibular .......................................................99
3 Espaço Vetorial ........................................................................100
3.1 Combinação linear............................................................102
3.2 Subespaço vetorial ............................................................103
3.3 Exercícios...........................................................................105
3.4 Dependência e independência linear .............................107
3.5 Base de um espaço vetorial .............................................109
3.6 Dimensão...........................................................................111
3.7 Exercícios...........................................................................112
3.8 Os quatro subespaços fundamentais .............................112
3.9 Exercícios...........................................................................118
4 Transformações Lineares ........................................................127
4.1 Transformações do plano no plano...............................131
4.2 Exercícios...........................................................................137
4.3 Questões de vestibular .....................................................141
Prefácio
Desde os tempos de graduação e agora lecionando para cur-
sos de licenciatura em matemática sentimos a carência de livros
voltados exclusivamente para este fim. Em sua maioria são livros
de conteúdo extremamente teóricos, pouco explicativos e de difí-
cil leitura, ou livros voltados para os cursos de engenharia, não
sendo assim adequados à formação de novos professores para os
ensinos fundamentais e médios.
Partindo deste prisma surgiu o desejo de escrever uma cole-
ção para satisfazer as necessidades deste seguimento. Este, então,
vem a ser o primeiro livro deste projeto.
Álgebra Linear I traz um texto claro e auto-explicativo que vai
de encontro às necessidades tanto do professor quanto do aluno.
Tornando-se um livro útil para a vida acadêmica e para as ativida-
des profissionais.
Este primeiro livro se desenvolve em 4 capítulos: Matrizes,
Sistemas Lineares, Espaço Vetorial, Transformações Lineares,
todos com exemplos resolvidos passo a passo além de exercícios
propostos.
Fica aqui o desejo de suprir este vácuo.
Os autores.
1 Matrizes
A quantidade de informações que são geradas nos dias de ho-
je é enorme. Apesar do enorme esforço em como gerá-las ou
obtê-las, outra grande questão está em como tratá-las. Não basta
gerar ou obter dados de forma aleatória. É necessário organizá-los,
ordená-los, e dar significados a eles. A maior parte destes dados
(informações) está organizada em forma de tabelas, ou pode ser
organizada desta forma. Temos como exemplos pesquisas quanti-
tativas (pesquisas eleitorais, por exemplo), ou resultados de pes-
quisas científicas (distribuição de temperatura em superfícies, por
exemplo), entre outros. Isto nos motiva a entender melhor estas
tabelas. Assim, introduzimos a idéia de matriz.
Um exemplo simples é dado a seguir: podemos organizar as
informações pertinentes aos vértices de um icosaedro regular, de
raio unitário, cujos dois vértices opostos estão fixados nos pontos
( )0,0,1 e ( )−0,0, 1 , veja a Figura 1.1, em forma de uma tabela,
veja a Tabela 1.
2 Álgebra Linear 1
Figura 1.1: Icosaedro regular
Tabela 1: Vértices do icosaedro regular de raio unitário.
x y z
V01 0 0 1
V02 0,89 0 0,45
V03 0,28 0,85 0,45
V04 -0,72 0,53 0,45
V05
-0,72 -0,53 0,45
V06 0,28 -0,85 0,45
V07 0,72 0,53 -0,45
V08 -0,28 0,85 -0,45
V09 -0,89 0 -0,45
Álgebra Linear 1 3
V10 -0,28 -0,85 -0,45
V11 0,72 -0,53 -0,45
V12 0 0 -1
Fazendo uma análise mais detalhada desta tabela, temos as
coordenadas x dispostas na coluna um, as coordenadas y dis-
postas na coluna dois, e as coordenadas z dispostas na coluna
três. Os vértices referem-se às linhas da tabela. Assim, se quiser-
mos saber qual a coordenada y do vértice onze do icosaedro, basta
eu ir até a linha onze, e até a coluna dois. Desta forma, numa no-
tação mais formal, que veremos mais adiante, a matriz A repre-
senta as coordenadas do icosaedro descrito.
0 0 1
0
0 1
A
=
−
0,89 0,45
0,28 0,85 0,45
-0,72 0,53 0,45
-0,72 -0,53 0,45
0,28 -0,85 0,45
0,72 0,53 -0,45
-0,28 0,85 -0,45
-0,89 0 -0,45
-0,28 -0,85 -0,45
0,72 -0,53 -0,45
0
4 Álgebra Linear 1
Motivados pelo exemplo dado anteriormente, a matriz que
contém os vértices do icosaedro, observamos que cada elemento
da matriz A pode ser representado por ija , onde 1, ,12i = … e
1, ,3j = … . De forma genérica, usando a notação matemática,
representamos uma matriz de m linhas por n colunas por
11 1
1
n
m mn
a a
A
a a
=
�
� � �
�
onde a letra maiúscula A representa a matriz, m é quantidade de
linhas da matriz, n é quantidade de colunas da matriz, m n× é a
ordem da matriz, e ija , 1, ,i m= … , 1, ,j n= … , representa cada
elemento da matriz.
Podemos representar as matrizes, também, através de parên-
teses e barras, como nos exemplos a seguir.
11 1
1
n
m mn
a a
A
a a
=
�
� � �
�
, ou
11 1
1
n
m mn
a a
A
a a
=
�
� � �
�
.
1.1 Igualdade entre matrizes
Duas matrizes
m nA × e m nB × são ditas iguais se elas têm o
mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas, e todos
os seus elementos correspondentes (elementos que estão posicio-
Álgebra Linear 1 5
nados na mesma linha e na mesma coluna de ambas as matrizes)
são iguais. A seguir vemos um exemplo.
2
2
3 1 log1
2 2 5 2 4 5
09 sen 90 0
=
1.2 Tipos especiais de matrizes
Vários problemas de engenharia podem ser representados
por equações matriciais. Nestes casos, geralmente, as matrizes
associadas aos problemas aparecem de uma forma especial, facili-
tando assim a interpretação do comportamento destes problemas.
Assim, veremos a seguir alguns tipos especiais de matrizes.
Matriz nula é toda matriz onde o elemento 0ija = para todo
1, ,i m= … , 1, ,j n= … .
0 0
0 0
A
=
�
� � �
�
.
Matriz quadrada é toda matriz onde m n= . Neste caso, di-
zemos que a matriz tem ordem n , isto é, 1, ,i n= … e 1, ,j n= … .
11 1
1
n
n nn
a a
A
a a
=
�
� � �
�
.
6 Álgebra Linear 1
Matriz diagonal é toda matriz quadrada de ordem n onde
0ija = sempre que i j≠ .
11 0 0
0
0
0 0 nn
a
A
a
=
�
�
�
�
�
.
Matriz identidade é toda matriz diagonal de ordem n onde
1ija = sempre que i j= . Usamos a letra I para denotar a matriz
identidade.
1 0
0 1
I
=
�
� � �
�
.
Matriz triangular superior é toda matriz quadrada de or-
dem n onde 0ija = sempre que i j> .
11 12 1
22 2
0
0 0
n
n
nn
a a a
a a
A
a
=
�
� �
� � �
�
.
Matriz triangular inferior é toda matriz quadrada de ordem
n onde 0ija = sempre i j< .
Álgebra Linear 1 7
11
21 22
1 2
0 0
0
n n nn
a
a a
A
a a a
=
�
�
� � � �
�
.
Matriz coluna é toda matriz onde 1n = . Assim, um vetor ou
uma n -upla também é uma matriz coluna.
11
1
1
ij m
n
a
A a
a
×
= =
� .
Matriz linha é toda matriz onde 1m = .
[ ]11 11ij nnA a a a× = = � .
Matriz simétrica é toda matriz quadrada de ordem n onde
ij jia a= .
11 12 1
12 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
=
�
�
� � � �
�
.
Matriz antissimétrica é toda matriz quadrada de ordem n
onde ij jia a= − .
12 1
12 2
1 2
0
0
0
n
n
n n
a a
a a
A
a a
−
=
− −
�
�
� � � �
�
.
8 Álgebra Linear 1
Podemos observar, pelo fato de termos ij jia a= − , que a dia-
gonal principal tem que ser nula, e os elementos simétricos com
relação à diagonal principal são opostos.
1.3 Operações com matrizes
Voltamos ao exemplo dado anteriormente: a matriz que ar-
mazena informações sobre os vértices do icosaedro regular. Se
quisermos transladar este icosaedro sobre o eixo x três unidades
para a direita, basta somarmos três unidades na coordenada x ,
isto é,
0 0 1 3 0 0
0 3 0 0
3 0 0
3 0 0
3 0 0
3 0 0
3 0 0
3 0 0
3 0
0 1
0,89 0,45
0,28 0,85 0,45
-0,72 0,53 0,45
-0,72 -0,53 0,45
0,28 -0,85 0,45
0,72 0,53 -0,45
-0,28 0,85 -0,45
-0,89 0 -0,45
-0,28 -0,85 -0,45
0,72 -0,53 -0,45
0
+
−
3 0 1
0
0
3 0 0
3 0 0
3 0 0 0 1
3,89 0,45
3,28 0,85 0,45
-3,72 0,53 0,45
-3,72 -0,53 0,45
3,28 -0,85 0,45
3,72 0,53 -0,45
-3,28 0,85 -0,45
-3,89 0 -0,45
-3,28 -0,85 -0,45
3,72 -0,53 -0,45
3
=
−
.
Podemos observar na Figura 1.2 os dois icosaedros: o original
e o transladado em três unidades no eixo x .
Álgebra Linear 1 9
Neste exemplo dado, vimos como é importante a soma de
matrizes. Existem outras operações que envolvem matrizes, e as
veremos, numa notação formal, a partir deste momento.
Figura 1.2: Icosaedro transladado
1.4 Adição de matrizes
Sejam
m n ij m n
A a× × = e m n ij m nB b× × = , então a adição de ma-
trizes é ij ij m nA B a b × + = + . Notamos que para somarmos matri-
zes é necessário que as mesmas tenham o mesmo número de li-
nhas e de colunas, o que já foi introduzido na notação de forma
implícita. Veja um exemplo a seguir.
10 Álgebra Linear 1
2 0 4 2 5 1
1 2 5 7 0 3
2 2 0 5 4 1 4 5 3
1 7 2 0 5 3 8 2 8
−
+ =
−
+ + −
= = + − + + −
1.5 Propriedades da adição de matrizes
Veremos nesta seção, com exemplos, as propriedades que
envolvem a adição de matrizes. Sejam então A , B e C matrizes
de mesma ordem m n× .
Comutativa: A B B A+ = + .
Com efeito, pois ij ij ij ijm n m nA B a b b a B A× × + = + = + = + .
2 0 4 2 5 1 4 5 3
1 2 5 7 0 3 8 2 8
−
+ =
− −
.
2 5 1 2 0 4 4 5 3
7 0 3 1 2 5 8 2 8
−
+ =
− −
.
Associativa: ( ) ( )A B C A B C+ + = + + .
Com efeito, pois ( ) ( )ij ij ijA B C a b c + + = + + =
( )ij ij ija b c + + = ( )A B C+ + .
1 2 2 0 4 3 1 2 6 3 7 5
2 2 1 2 8 8 2 2 9 6 7 8
+ + = + =
− − −
.
Álgebra
Linear 1 11
1 2 2 0 4 3 3 2 4 3 7 5
2 2 1 2 8 8 1 0 8 8 7 8
+ + = + =
− − −
.
Elemento neutro da adição: 0A A+ = , onde 0 denota a
matriz nula.
É fácil de verificar, pois 0 0ij ijA a a A + = + = = .
0 05 5 0 0 5
0 0cos 0 cos 0 0 0 cos 0
sen sen senpi pi pi
pi pi pi
+ +
+ = =
+ +
.
1.6 Exercícios
1) Qual o valor de k para que a igualdade a seguir seja verdadei-
ra?
2)
0 1 0
0 1 0 1
kpi
=
sen
.
3) Quais os valores de x que satisfazem a igualdade
2
0 0 0 0
0 0 2x
=
?
4) Quais os valores de x e y para que a matriz
0
0
x y
x y
+
−
seja uma matriz identidade?
12 Álgebra Linear 1
5) Sejam
2 5
0 1
A =
e
7 0
0 7
B
=
. Faça a) A B+ ; b) B A+ ;
c) A A+ ; d) B B+ ; e) A A− ; e f) B B− .
6) Quais são os valores de x e k para que a matriz
2
1 3 5
cos 2 1
0 2 2 4 5
k
x x
pi
+ − −
seja uma matriz triangular superior?
7) Responda quais os possíveis resultados das adições a seguir.
a) Duas matrizes triangulares superior.
b) Duas matrizes onde uma é oposta a outra.
c) De uma matriz diagonal com uma matriz nula.
d) De uma matriz identidade com uma matriz triangular inferior.
e) De uma matriz simétrica com uma matriz diagonal.
f) Duas matrizes simétricas.
g) De uma matriz triângulo inferior com uma matriz triangular
superior.
h) De uma matriz simétrica com uma matriz cheia qualquer.
Álgebra Linear 1 13
1.7 Multiplicação de uma matriz por um escalar
Se multiplicarmos cada componente dos vértices do icosaedro que
está sendo utilizado como exemplo por dois, então a distância da
origem do sistema cartesiano para cada vértice do icosaedro tam-
bém será multiplicada por dois.
Figura 1.3: Icosaedro regular expandido.
14 Álgebra Linear 1
0 0 1 0 0 2
0 0
2
0 1
0,89 0,45 1,79 0,90
0,28 0,85 0,45 0,56 1,70 0,90
-0,72 0,53 0,45
-0,72 -0,53 0,45
0,28 -0,85 0,45
0,72 0,53 -0,45
-0,28 0,85 -0,45
-0,89 0 -0,45
-0,28 -0,85 -0,45
0,72 -0,53 -0,45
0
⋅ =
− 0 2
-1,44 1,06 0,90
-1,44 -1,06 0,90
0,56 -1,70 0,90
1,44 1,06 -0,90
-0,56 1,70 -0,90
-1,79 0 -0,90
-0,56 -1,70 -0,90
1,44 -1,06 -0,90
0
−
Sejam uma matriz A e um escalar k , então ijkA ka = .
5 1 5 5 5 1 5 5 55 2 2 1 00 5 5 0
10 10
⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅
.
1.8 Propriedades
Sejam A e B matrizes de ordem m n× e k , 1k e 2k escala-
res.
i) ( )k A B kA kB+ = +
Temos que ( )( ) ij ij ij ijk A B k a b ka kb kA kB + = + = + = + .
Álgebra Linear 1 15
1 1 2 1 3 2 9 6
3 3
1 1 1 2 2 3 6 9
+ = =
.
1 1 2 1 3 3 6 3 9 6
3 3
1 1 1 2 3 3 3 6 6 9
+ = + =
.
ii) ( )1 2 1 2k k A k A k A+ = + .
Com efeito, pois ( )1 2k k A+ = ( )1 2 ijk k a + = 1 2ij ijk a k a + =
1 2k A k A+ .
( ) 3 5 3 5 21 352 5 7
8 15 8 15 56 105
− − −
+ = =
.
( ) 3 5 3 5 3 52 5 2 5
8 15 8 15 8 15
− − −
+ = + =
6 10 15 25 21 35
16 30 40 75 56 105
− − −
= + =
.
iii) 0 0A = .1
Com efeito, 0 0 0ijA a = ⋅ = .
3 1 0 0
0
0 03 pi
−
=
.
iv) ( ) ( )1 2 1 2k k A k k A= ⋅ .
1
Note que o símbolo 0 disposto no lado esquerdo da igualdade
refere-se ao escalar zero, e o símbolo 0 que aparece no lado direi-
to da igualdade refere-se à matriz nula.
16 Álgebra Linear 1
Com efeito, pois ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2ij ijk k A k k a k k a k k A = = = .
3 5 15 25 30 50
2 5 2
8 15 40 75 80 150
− − −
= =
.
( ) 3 5 3 5 30 502 5 10
8 15 8 15 80 150
− − −
⋅ = =
.
1.9 Transposta de uma matriz
Seja m n ij m nA a× × = . A transposta da matriz A é a matriz
TA
tal que T
m n ji n m
A a× × = . Em outras palavras, o que é linha se torna
coluna, e o que é coluna se torna linha.
Se
3 4 7
8 2 4
A
− −
=
, então
3 8
4 2
7 4
tA
−
= −
.
1.10 Propriedades que envolvem matrizes transpostas
i) Uma matriz é simétrica se e somente se TA A= .
Com efeito, como em uma matriz simétrica, ij jia a= , temos
que T ji ijA a a A = = = .
Álgebra Linear 1 17
2 8
8 3
TA A
−
= =
.
ii) ( )TTA A= .
Com efeito, pois T jiA a = . Assim, ( )TT ijA a A = = .
3 8
4 2
7 4
A
−
= −
,
3 4 7
8 2 4
TA
− −
=
, e ( )
3 8
4 2
7 4
TTA
−
= −
.
iii) ( )T T TA B A B+ = + .
Temos que ij ijA B a b + = + . Mas ( )T ji jiA B a b + = + . Co-
mo T jiA a = e
T
jiB b = , logo temos
( )TT T ji jiA B a b A B + = + = + .
iv) ( )T TkA kA= , para todo k escalar.
Com efeito, pois temos que ( ) TT Tij jikA ka ka kA = = = .
1.11 Multiplicação de matrizes
Uma aplicação prática seria separar as coordenadas x , y e
z , do icosaedro, em matrizes diferentes. Bem, poderíamos sim-
18 Álgebra Linear 1
plesmente criar três matrizes coluna e armazenar essas informa-
ções. Outra forma seria usar a matriz A já existente para obter
essas matrizes coluna. Veja a seguir.
3
0 0 1
0
0
0
1
0 1
0,89 0,45
0,28 0,85 0,45
-0,72 0,53 0,45
-0,72 -0,53 0,45
0,28 -0,85 0,45
e
0,72 0,53 -0,45
-0,28 0,85 -0,45
-0,89 0 -0,45
-0,28 -0,85 -0,45
0,72 -0,53 -0,45
0
A e
=
−
,
então
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
0 0 0 0 1 1
0,89 0 0 0 0,45 1
0, 28 0 0,85 0 0, 45 1
0,72 0 0,53 0 0, 45 1
0,72 0 0,53 0 0, 45 1
0, 28 0 0,85 0 0, 45 1
0,72 0 0,53 0 0,45 1
0,28 0 0,85 0 0,45 1
0,89 0 0 0 0, 45 1
0,28 0 0,85 0 0,45
Ae
⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅
− ⋅ + ⋅ + ⋅
− ⋅ + − ⋅ + ⋅
⋅ + − ⋅ + ⋅
=
⋅ + ⋅ + − ⋅
− ⋅ + ⋅ + − ⋅
− ⋅ + ⋅ + − ⋅
− ⋅ + − ⋅ + − ⋅
( ) ( )
( )
1
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0,45
0,45
0,45
1 0,45
0,72 0 0,53 0 0,45 1 0,45
0 0 0 0 1 1 1
=
−
−
−
−
⋅ + − ⋅ + − ⋅ −
⋅ + ⋅ + − ⋅ −
.
Álgebra Linear 1 19
Como podemos observar, multiplicamos uma matriz A de
ordem 12 3× por uma matriz coluna de ordem 3 1× , e obtemos
como resultado uma matriz coluna de ordem 12 1× . O primeiro
elemento da matriz resultante foi obtido multiplicando o primeiro
elemento da primeira linha da matriz A pelo primeiro elemento
da coluna da matriz coluna, o segundo elemento da primeira linha
da matriz A pelo segundo elemento da coluna da matriz coluna, o
terceiro elemento da primeira
linha da matriz A pelo terceiro
elemento da coluna da matriz coluna, e por último somando o
resultado destas três multiplicações, isto é, 0 0 0 0 1 1 1⋅ + ⋅ + ⋅ = . Este
procedimento foi realizado para obter cada elemento da matriz
resultante. Notamos que a segunda matriz só tem uma coluna, o
que facilitou um pouco o nosso trabalho.
Considerando que o circuncentro do icosaedro que está sen-
do tratado está na origem do sistema cartesiano, temos que as
coordenadas dos vértices do icosaedro formam vetores que tem
extremidades na origem do sistema cartesiano e nos vértices do
icosaedro. Assim, uma aplicação interessante seria obter informa-
ções sobre os ângulos formados entre esses vetores, veja na Figura
1.4: Representação de vetores no icosaedro.. Esta matriz é simé-
trica, pois o ângulo formado pelos vetores i e j é o igual ao ân-
gulo formado pelos vetores j e i .
20 Álgebra Linear 1
0 0 1
0
0 1
0,89 0,45
0,28 0,85 0,45
-0,72 0,53 0,45
-0,72 -0,53 0,45
0,28 -0,85 0,45
0,72 0,53 -0,45
-0,28 0,85 -0,45
-0,89 0 -0,45
-0,28 -0,85 -0,45
0,72 -0,53 -0,45
0
A
=
−
e
0
0
1 1
TA
=
−
0,89 0,28 -0,72 -0,72 0,28 0,72 -0,28 -0,89 -0,28 0,72 0
0 0,85 0,53 -0,53 -0,85 0,53 0,85 0 -0,85 -0,53 0
0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 -0,45 -0,45 -0,45 -0,45 -0,45
Álgebra Linear 1 21
1
1
TAA =
1 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 -0,45 -0,45 -0,45 -0,45 -0,45 -1
0,45 0,45 -0,45 -0,45 0,45 0,45 -0,45 -1 -0,45 0,45 -0,45
0,45 0,45 1 0,45 -0,45 -0,45 0,45 0,45 -0,45 -1 -0,45 -0,45
0,45 -0,45 0,45 0,45 -0,45 -0,45 0,45 0,45 -0,45 -1 -0,45
0,45 1
1
1 1−
-0,45 -0,45 0,45 0,45 -1 -0,45 0,45 0,45 -0,45 -0,45
0,45 0,45 -0,45 -0,45 0,45 -0,45 -1 -0,45 0,45 0,45 -0,45
-0,45 0,45 0,45 -0,45 -0,45 0,45 -0,45 -0,45 0,45 0,45
-0,45 -0,45 0,45 0,45 -0,45 -1 0,45 1 0,45 -0,45 -0,45 0,45
-0,45 -1 -0,45
0,45 0,45 -0,45 -0,45 0,45 1 0,45 -0,45 0,45
-0,45 -0,45 -1 -0,45 0,45 0,45 -0,45 -0,45 0,45 1 0,45 0,45
-0,45 0,45 -0,45 -1 -0,45 0,45 0,45 -0,45 -0,45 0,45 1 0,45
-1 -0,45 -0,45 -0,45 -0,45 -0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 1
Figura 1.4: Representação de vetores no icosaedro.
O resultado foi obtido multiplicando cada linha da matriz A
por cada coluna da matriz TA . Por exemplo, o elemento da linha
três, coluna quatro, foi obtido fazendo
0,28 (-0,72) + 0,85 0,53 + 0,45 0,45 = 0,45⋅ ⋅ ⋅ . Desta forma, o ângulo
formado pelos vetores 3 e 4 é de aproximadamente 63o . A in-
formação que a matriz resultante, TAA , nos mostra é que na dia-
gonal principal estão os valores dos cossenos dos ângulos forma-
22 Álgebra Linear 1
dos entre os vetores com eles mesmos. O resultado só poderia ser
1 , pois o ângulo formado entre um vetor e ele mesmo é 0o grau,
ou seja, cos0 1= . Os outros ângulos são fáceis de determinar, pois
basta calcular o arco cosseno dos valores obtidos na matriz resul-
tante.
Definimos a multiplicação de matrizes numa notação mais
formal. Sejam [ ]m p ik m pA a× ×= e p n kj p nB b× × = , então
ij m n
AB c
×
= onde 1
p
ij ik kjkc a b==∑ . Em outras palavras, na multi-
plicação de matrizes, multiplicamos cada linha da primeira matriz
por cada coluna da segunda matriz. Por este motivo, o número de
colunas da primeira matriz tem que ser igual ao número de linhas
da segunda matriz, como pode ser observado na definição. Desta
forma, se multiplicarmos uma matriz 3 2A × por uma matriz 2 7B ×
obteremos uma matriz de ordem C AB= de ordem 3 7× .
Outro exemplo de multiplicação de matrizes pode ser obser-
vado a seguir.
( ) ( )
( ) ( )
3 2 8 0 3 1 8 33 8 2 1 6 21
4 2 2 0 4 1 2 34 2 0 3 8 2
− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − −
= =
− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅− −
.
1.12 Propriedades da multiplicação de matrizes
i) Em geral, AB BA≠ .
Álgebra Linear 1 23
Para que possamos fazer a multiplicação AB e BA , é neces-
sário que o número de colunas da matriz A seja igual ao número
de linhas da matriz B , e o número de linhas da matriz A seja
igual ao número de colunas da matriz B . Se A tem ordem m n×
então B tem que ter ordem n m× . Daí, o produto AB tem or-
dem m e o produto BA tem ordem n . Para que exista a comuta-
tividade, é necessário que as matrizes A e B sejam quadradas e
tenham a mesma ordem. Mesmo nestas condições há a possibili-
dade de não existir a comutatividade (o que é mais comum).
Temos que
1
n
ij ik kik
m
AB c a b
=
= =
∑ e
1
m
ji jk kik
n
BA c b a
=
= =
∑ , o que pode gerar resultados iguais nas
condições discutidas anteriormente. Desta forma,
6 21 57 30 3
1 2 3
8 2 2 14 22
3 2 1
1 0 1 2 3
−
− = − −
, e
6 21
1 2 3 21 25
8 2
3 2 1 33 67
1 0
−
−
− =
−
.
24 Álgebra Linear 1
ii) AI IA A= = . 2
1 0 0
1 2 3 1 2 3
0 1 0
3 2 1 3 2 1
0 0 1
=
, e
1 0 1 2 3 1 2 3
0 1 3 2 1 3 2 1
=
.
iii) ( )A B C AB AC+ = + .
1 0 2 3 4 2 1 0 6 1 6 1
1 1 3 2 2 1 1 1 1 3 7 2
−
+ = =
− − − − −
1 0 2 3 1 0 4 2 2 3 4 2 6 1
1 1 3 2 1 1 2 1 5 1 2 3 7 2
− −
+ = + =
− − − − − − −
iv) ( )A B C AC BC+ = + .
v) ( ) ( )AB C A BC= .
vi) ( )T T TAB B A= .
vii) 0 0A = 3 e 0 0A = .
0 0 1 2 3 0 0 0
0 0 3 2 1 0 0 0
=
, e
2 Note que se A é uma matriz de ordem m n× , então a matriz identida-
de que multiplica A pela direita é de ordem n , e a matriz identidade que
multiplica A pela esquerda é de ordem m .
3 Aqui o símbolo 0 denota a matriz nula.
Álgebra Linear 1 25
0 0 0
1 2 3 0 0 0
0 0 0
3 2 1 0 0 0
0 0 0
=
. 4
As propriedades não exemplificadas ficam como exercícios
para o leitor.
1.13 Matriz Inversa
Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível, ou não-
singular, se existe uma matriz B , quadrada e de mesma ordem
que satisfaça a condição AB BA I= = .
B é chamada inversa de A e se representa por 1A− .
Se a matriz A não possui inversa, dizemos que A é singular
ou não-invertível.
Como exemplo, tomemos as matrizes
2 5
1 3
A
=
e
3 5
1 2
B
−
=
−
, e calculemos AB . Logo, temos que
2
2 5 3 5 1 0
1 3 1 2 0 1
AB I
−
= ⋅ = =
−
. O mesmo resultado aconte-
cerá se fizermos a multiplicação BA ,
4 A matriz nula pode ter qualquer ordem, alterando assim a ordem do
produto, basta respeitar a condição necessária para multiplicar matrizes
26 Álgebra Linear 1
2
3 5 2 5 1 0
1 2 1 3 0 1
BA I
−
= ⋅ = =
−
. Portanto B é a inversa de
A .
1.14 Propriedades da Matriz Inversa
i) Se uma matriz possui uma inversa, então esta inversa é
única.
De fato, vamos supor que A é invertível, que B e C sejam
suas inversas e ainda B C≠ . Dessa forma AB BA I= = e
AC CA I= = . Tomando a primeira equação e multiplicando am-
bos os lados da equação à esquerda
por C , temos ( )C AB CI= ,
ou seja, ( )CA B C= . Logo, B C= .
ii) Se A é invertível, então 1A− também é e ( ) 11A A−− = .
iii) Se A e B são invertíveis, então AB também é e
( ) 1 1 1AB B A− − −= .
Para verificarmos esta propriedade devemos mostrar que
( ) 1 1AB B A I− − = e ( )1 1B A AB I− − = . Mostraremos somente a
primeira identidade já que a segunda é análoga. Desta forma, Te-
mos que ( ) ( )1 1 1 1 1 1AB B A A BB A AIA AA I− − − − − −= = = = .
iv) Se A é invertível, então TA também é e ( ) ( )1 1 TTA A− −= .
Álgebra Linear 1 27
Com efeito, ( ) ( )1 1 TT TT TA A A A I I− − = = = e analogamente
mostra-se que ( )1 T TA A I− =
1.15 Questões de vestibular
1) (FUVEST 94) a) Dada a matriz A , calcule a sua inversa 1A− .
b) A relação especial que você deve ter observado entre A e 1A− ,
seria também encontrada se calculássemos as matrizes inversas de
B , C e D .
Generalize e demonstre o resultado observado.
2 3
1 2
A
−
=
−
,
3 4
2 3
B
−
=
−
,
5 6
4 5
C
−
=
−
e
1 2
0 1
D
−
=
.
2) (ITA 95) Dizemos que duas matrizes n n× A e B são seme-
lhantes se existe uma matriz n n× inversível P tal que
1B P AP−= . Se A e B são matrizes semelhantes quaisquer, então:
a) B é sempre inversível.
b) se A é simétrica, então B também é simétrica.
c) 2B é semelhante a A .
d) se C é semelhante a A , então BC é semelhante a 2A .
e) ( ) ( )det detI B I Aλ λ− = − , onde λ é um real qualquer.
28 Álgebra Linear 1
3) (ITA 95) Sejam A e B matrizes reais 3 3× . Se ( )tr A denota
a soma dos elementos da diagonal principal de A , considere as
afirmações:
(I) ( ) ( )tr trA B=
(II) Se A é inversível, então ( )tr 0A ≠ .
(III) ( ) ( ) ( )tr tr trA B A Bλ λ+ = + , para todo λ ∈� .
Temos que:
a) todas as afirmações são verdadeiras.
b) todas as afirmações são falsas.
c) apenas a afirmação (I) é verdadeira.
d) apenas a afirmação (II) é falsa.
e) apenas a afirmação (III) é falsa.
4) (UNESP 94) Determine os valores de x , y e z na igualda-
de a seguir, envolvendo matrizes reais 2 2× :
0 0 0 0 4 0
0 0 0 0
x x y z
x x z y z
− −
= +
−
5) (UNESP 93) Seja ijA a = a matriz 2 2× real definida por
1ija = se i j≤ e 1ija = − se i j> . Calcule 2A .
Álgebra Linear 1 29
6) (UNESP 93) Seja ijA a = a matriz real 2 2× definida por
1ija = se i j≤ e 1ija = − se i j> . Calcule 1A− .
7) (UFPR 95) Considere a matriz ijA a = , de ordem 4 4× ,
cujos elementos são mostrados a seguir.
1,
0,ij
i j
a
i j
≠
=
=
É correto afirmar que:
01) Na matriz A , o elemento 23a é igual ao elemento 23a .
02) Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos
nulos.
08) Se a matriz B é [ ]1 1 1 1− − , então o produto B . A é a
matriz B− .
16) Sendo I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A I+ pos-
sui todos os elementos iguais a 1.
8) (FEI 94) Se as matrizes ( )ijA a= e ( )ijB b= estão assim
definidas:
1,
0,
ij
ij
a i j
a i j
= =
= ≠
e
1, 4
0, 4
ij
ij
b i j
b i j
= + =
= + ≠
onde 3i ≤ , 3j ≤ , então a matriz A B+ é:
30 Álgebra Linear 1
a)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
b)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
c)
1 0 1
0 1 0
1 0 1
d)
1 0 1
0 2 0
1 0 1
e)
1 1 0
0 1 1
0 1 0
9) (FEI 95) Dadas as matrizes A e B , a matriz de x de 2�
ordem que é solução da equação matricial 0Ax B+ = , onde 0
representa a matriz nula de ordem 2 é:
1 2
3 4
A =
e
4 3
2 1
B =
a)
6 5
5 4
− −
b)
1 3
4 5
c)
2 3
7 9
d)
1 3
4 2
−
−
e)
1 2
4 7
−
−
10) (ITA 96) Seja a ∈� , 0a > e 1a ≠ e considere a matriz A :
( )233
10
1
1 1
10
log log
log log
log log
aa
a
aa
a a
a
A
= −
Para que a característica de A seja máxima, o valor de a deve ser
tal que:
a) 0a ≠ e 1 3a ≠ b) 10a ≠ e 1 3a ≠
c) 5a ≠ e 10a ≠ d) 2a ≠ e 3a ≠
e) 2a ≠ e 10a ≠
Álgebra Linear 1 31
11) (ITA 96) Seja a ∈� e considere as matrizes reais 2 2× ,
3 1
1 3
a
a
A
−
=
−
e
1 3
3
7 8
7 2
a a
B
− −
−
=
O produto AB será inversível se e somente se:
a) 2 5 6 0a a− + ≠ b) 2 5 0a a− ≠
c) 2 3 0a a− ≠ d) 2 2 1 0a a− + ≠
e) 2 2 0a a− ≠
12) (PUCCAMP 95) Os números reais x , y e z que satisfazem
a equação matricial mostradas a seguir, são tais que sua soma é
igual a
1 2 1 1 3 0
0 1 2 5
x y
z x y z
− + −
= + + −
a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3
13) (UEL 94) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2. Se
I e 0 são, respectivamente, as matrizes identidade e nula, de
ordem 2, é verdade que
a) A B B A+ ≠ + b) ( ) ( )AB C A BC=
c) 0 0 ou 0AB A B= ⇔ = = d) AB BA=
e) AI I=
32 Álgebra Linear 1
14) (UEL 96) Considere as matrizes M e 2M representadas a
seguir. Conclui-se que o número real a pode ser
0a
M
b a
=
−
e 2
8 0
0 8
M =
.
a) 2 3 b) 2 2 c) 2 d) 2− e) 3−
15) (UNESP 96) Considere as matrizes reais 2 2× do tipo
( ) cos sen
sen cos
x x
A x
x x
=
a) Calcule o produto ( ) ( )A x A x⋅ .
b) Determine todos os valores de [ ]0, 2x pi∈ para os quais
( ) ( ) ( )A x A x A x⋅ = .
16) (UECE 96) Sejam as matrizes 1M e 2M representadas na
figura a seguir e considere a operação entre estas matrizes.
1
1 0
1 0
M =
, 2 1 1
p q
M =
e 2 1 1 2
2 2
3 2
M M M M
−
⋅ − ⋅ =
− −
.
Nessas condições p q+ é igual a:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8
Álgebra Linear 1 33
17) (MACKENZIE 96) Considere as matrizes A e B a seguir.
2 0
1 0
3 1
A
=
e
1 1
0 1 0
a
B =
.
Se a ∈� , então a matriz AB :
a) é inversível somente se 0a = .
b) é inversível somente se 1a = .
c) é inversível somente se 2a = .
d) é inversível qualquer que seja a .
e) nunca é inversível, qualquer que seja a .
18) (FGV 95) Observe que se
0 1
2 3
A =
e
4 5
6 7
B =
, então AB
é a matriz
a)
0 5
12 21
b)
6 7
26 31
c)
6 26
7 31
d)
0 12
5 21
e)
0 0
12 14
19) (UEL 95) Sejam as matrizes A e B , respectivamente, 3 4× e
p q× . Se a matriz AB é 3 5× , então é verdade que
a) 5p = e 5q = b) 4p = e 5q = c) 3p = e 5q =
d) 3p = e 4q = e) 3p = e 3q =
34 Álgebra Linear 1
20) (MACKENZIE 96) Sejam as matrizes a seguir
( )
( )
4 3
3 4
,
,
j
ij ij
i
ij ij
A a a i
B b b j
×
×
= =
= =
Se C AB= , então 22c vale:
a) 3 b) 14 c) 39 d) 84 e) 258
21) (FEI 96) Considere as matrizes A e B .
2
0 2
a a
A
a
=
e
2 2
0
b b
B
b
−
=
Se a inversa da matriz A é a matriz B então:
a) 0a = ou 0b = b) 1ab = c) 1/ 2ab =
d) 0a = e 0b = e) 1/ 2a b+ =
22) (UFF 97) Toda matriz de ordem 2 2× , que é igual a sua
transposta, possui:
a) pelo menos dois elementos iguais.
b) os elementos da diagonal principal iguais a zero.
c) determinante nulo.
d) linhas proporcionais.
e) todos os elementos iguais a zero.
Álgebra Linear 1 35
23) (UECE 97) Sejam as matrizes
3
3
q
M
n
=
e
6 6
6 6
P =
. Se
TM M P⋅ = , sendo TM a matriz transposta de M , então
2n nq+ é igual a:
a) 6 b) 9 c) 12 d) 18
24) (UNIRIO 97) Considere as matrizes A , B e C na figura
adiante:
3 5
2 1
0 1
A
=
−
,
4
3
B
=
e [ ]2 1 3C = .
A adição da transposta de A com o produto de B por C é:
a) impossível de se efetuar, pois não existe o produto de B por
C .
b) impossível de se efetuar, pois as matrizes são todas de tipos
diferentes.
c) impossível de se efetuar, pois não existe a soma da transposta
de A com o produto de B por C .
d) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 2 3× .
e) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 3 2× .
25) (ITA 98) Sejam as matrizes reais de ordem 2,
2
1 1
a a
A
+
=
e
1 1
2
B
a a
= +
36 Álgebra Linear 1
Então, a soma dos elementos da diagonal principal de ( ) 1AB − é
igual a:
a) 1a + b) ( )4 1a + c) ( )21/ 4 5 2a a+ +
d) ( )21/ 4 1 2a a+ + e) ( )21/ 2 5 2a a+ +
26) (UEL 97) Sobre as sentenças:
I. O produto de matrizes 3 2 2 1A B× × é uma matriz 3 1× .
II. O produto de matrizes 5 4 5 2A B× × é uma matriz 4 2× .
III. O produto de matrizes 2 3 3 2A B× × é uma matriz quadrada 2 2× .
é verdade que
a) somente I é falsa.
b) somente II é falsa.
c) somente III é falsa.
d) somente I e III são falsas.
e) I, II e III são falsas.
Álgebra Linear 1 37
27) (UNIRIO 96) O produto das matrizes representadas a se-
guir,
é tal que
a b
A
b a
=
e
c d
B
d c
=
a)
ac bd
AB
bd ac
=
b)
ad bd
AB
bd ac
=
c)
ac bd
BA
bd ac
+
= +
d)
abcd abcd
AB
abcd abcd
=
e) AB BA= , ∀ a , b , c e d .
28) (UNESP 99) Seja a matriz A mostrada na figura adiante.
3 1 0
2 2
1 3 0
2 2
0 0 1
A
= −
a) Justifique, através do cálculo do determinante, que A é inversí-
vel.
b) Mostre que 1A A− = .
38 Álgebra Linear 1
29) (UNESP 99) Se A , B e C forem matrizes quadradas quais-
quer de ordem n , assinale a única alternativa verdadeira.
a) AB BA= .
b) Se AB AC= , então B C= .
c) Se 2 0nA = (matriz nula), então 0nA = .
d) ( ) ( )AB C A BC= .
e) ( )2 2 22A B A AB B+ = + + .
30) (UFRJ 99) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar
chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo.
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu
e como a despesa foi dividida:
4 1 4
0 2 0
3 1 5
S
=
e
5 5 3
0 3 0
2 1 3
D
=
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo.
Cada elemento ija nos dá o número de chopes que i pagou para
j , sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o
número 3 ( ija representa o elemento da linha i , coluna j de cada
matriz).
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu,
1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S ).
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana?
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?
Álgebra Linear 1 39
31) (UFRJ 99) Seja a matriz A representada a seguir:
a) Determine 3A A A A= ⋅ ⋅
1 1
0 1
A =
b) Se nA denota o produto de A por A n vezes, determine o
valor do número natural k tal que
2 5 6k kA A A I− + = , onde I é a
matriz identidade.
32) (UNIRIO 98) Dada a matriz representada na figura adiante
5 3
3 2
A
− −
=
Determine o valor de 1 2A A I
− + − .
33) (PUCCAMP 98) Sejam A , B e C matrizes quadradas de
ordem n e os números reais α e β , não nulos. Das sentenças a
seguir, a FALSA é
a) ( ) ( )AB C A BC= b) ( ) ( )A B C C A B+ = +
c) IA AI A= = d) ( ) ( )A B C A B C+ + = + +
e) ( )A A Aα β α β+ = +
40 Álgebra Linear 1
34) (UEL 98) Uma matriz quadrada A se diz ANTI-
SIMÉTRICA se TA A= − . Nessas condições, se a matriz A mos-
trada na figura adiante é uma matriz anti-simétrica, então x y z+ +
é igual a
a) 3 b) 1 c) 0 d) -1 e) -3
2 0 3
1 3 0
x y z
A
= −
−
35) (UNICAMP 99) Considere as matrizes mostradas na figura,
cos sen 0
sen cos 0
0 0 1
M
θ θ
θ θ
= −
,
x
X y
z
=
e
1
0
3
Y
=
.
a) Calcule a matriz inversa de M .
b) Resolva o sistema MX Y= .
36) (UFRS 96) A matriz C fornece, em reais, o custo das por-
ções de arroz, carne e salada usados num restaurante:
A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada
usados na composição dos pratos tipo 1P , 2P , 3P desse restauran-
te:
A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos
1P , 2P e 3P , está indicada na alternativa
Álgebra Linear 1 41
37) (ITA 99) Considere as matrizes
1 0 1
0 1 2
A
−
=
−
,
1 0
0 1
I =
,
x
X
y
=
e
1
2
B =
.
Se x e y são soluções do sistema ( )3TAA I X B− = , então x y+
é igual a:
a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
38) (ITA 99) Sejam x, y e z números reais com y · 0. Considere a
matriz inversível
1 1
0 0
1 1
x
A y
z
=
−
Então :
42 Álgebra Linear 1
a) A soma dos termos da primeira linha de 1A− é igual a 1x + .
b) A soma dos termos da primeira linha de 1A− é igual a 0.
c) A soma dos termos da primeira coluna de 1A− é igual a 1.
d) O produto dos termos da segunda linha de 1A− é igual a y .
e) O produto dos termos da terceira coluna de 1A− é igual a 1.
39) (UERJ 99) João comeu uma salada de frutas com a , m e p
porções de 100 g de abacaxi, manga e pêra, respectivamente, con-
forme a matriz X . A matriz A representa as quantidades de calo-
rias, vitamina C e cálcio, em mg, e a matriz B indica os preços,
em reais, dessas frutas em 3 diferentes supermercados. A matriz
C mostra que João ingeriu 295,6cal, 143,9 mg de vitamina C e 93
mg de cálcio.
Álgebra Linear 1 43
Considerando que as matrizes inversas de A e B são 1A− e 1B− ,
o custo dessa salada de frutas, em cada supermercado, é determi-
nado pelas seguintes operações:
a) 1BA C− b) 1CA B− c) 1 1A B C− − d) 1 1B A C− −
40) (UFF 99) Determine o(s) valor(es) de x para que a matriz
3 0 1
1 0
0 1
x
M x
x
=
−
, x ∈� .
não admita inversa.
41) (UFV 99) Considerando a matriz 3 3A × cujo termo geral é
dado por ( )1 x yxya += − , é CORRETO afirmar que:
a) TA A= − b) A é inversível. c) 11 22 33 0a a a+ + =
d) ( )( )cosxya x y pi= + e) 11 21 31 0a a a+ + =
42) (UFV 99) Dada a matriz mostrada na figura
adiante
1 2 3
0 1 2
1 1 1
A
=
− −
determine:
a) 2A b) TA A c) 2 3 TA A+
44 Álgebra Linear 1
43) (UEL 99) A soma de todos os elementos da inversa da ma-
triz M mostrada na figura é igual a
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
1 1
0 2
M
−
=
44) (UFES 99) Considere a matriz mostrada na figura a seguir
1 3
3 1
A
−
=
.
Determine 1998A .
45) (MACKENZIEMACKENZIEMACKENZIEMACKENZIE 99) Dada a matriz M , mostrada na figura
adiante
3
2
3
2
k
M
k
=
−
se 1M M− = , então k pode ser:
a) 3/ 4 b) 3/ 4− c) 1/ 4 d) 3/ 2− e) 1/ 2
Álgebra Linear 1 45
46) (ITAITAITAITA 2000) Considere as matrizes mostradas na figura adi-
ante
1 1 3
0 1 0
2 3 1
M
−
=
,
1 0 2
3 2 0
1 1 1
N
=
,
0
1
0
P
=
e
x
X y
z
=
.
Se X é solução de 1M NX P− = , então 2 2 2x y z+ + é igual a
a) 35 b) 17 c) 38 d) 14 e) 29
47) (UFRJ) Há 5 senadores designados para a Comissão Parla-
mentar de Inquéritos. Estes devem escolher entre si um presiden-
te para a Comissão, sendo que cada senador pode votar em até
três nomes. Realizada a votação onde cada um deles recebeu um
número de um a cinco, os votos foram tabulados na matriz
( )ijA a= , abaixo indicada. Na matriz A , cada elemento ija é igual
a 1 (um), se i votou em j , e é igual a 0 (zero) caso contrário.
A =
1 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 1 1
0 0 0 0 1
1 0 0 0 1
Responda, justificando:
46 Álgebra Linear 1
a) Qual o candidato mais votado?
b) Quantos candidatos votaram em si mesmo?
48) (UFRJ) Em uma cidade, há três revistas de noticiário sema-
nal: 1, 2 e 3. Na matriz ( )ijA a= abaixo, o elemento ija represen-
ta a probabilidade de um assinante trocar de assinatura da revista
i para a revista j , na época da renovação.
A =
0,6 0,1 0,3
0,1 0,7 0, 2
0, 4 0,2 0, 4
a) Qual é a probabilidade de os assinantes da revista 2 trocarem de
revista quando forem renovar a assinatura.
b) Quais os leitores menos satisfeitos com a revista que estão
assinando?
49) (UFRJ) Considere as matrizes
19941994 19941994
19941994 19941995
A =
e
1 1
1 1
B
−
=
−
.
Seja 2A A A= ⋅ e 2B B B= ⋅ . Determine a matriz
( )( )2 2C A B A B A B= − − + − .
Álgebra Linear 1 47
50) (UFRJ) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa utili-
zando materiais diferentes. Considere a matriz ( )ijA a= abaixo,
onde ija representa quantas unidades do material j serão empre-
gadas para fabricar uma roupa do tipo i.
5 0 2
0 1 3
4 2 1
A
=
a) Quantas unidades do material 3 serão empregadas na confecção
e uma roupa do tipo 2?
b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado
para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e
duas roupas do tipo 3.
51) (UNIFICADO-RJ) Cláudio anotou suas médias bimestrais
de matemática, português, ciências estudos sociais em uma tabela
com quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz como
mostra a figura.
1º 2º 3º 4º
5,0 4,5 6, 2 5,9
8,4 6,5 7,1 6,6
9,0 7,8 6,8 8,6
7,7 5,9 5,6 6,2
Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o mesmo peso,
isto é, para calcular a média anual do aluno em cada matéria basta
fazer a média aritmética de suas médias bimestrais.
48 Álgebra Linear 1
Para gerar uma nova matriz cujos elementos representam as mé-
dias anuais de Cláudio na mesma ordem acima apresentada bastará
multiplicar essa matriz por:
a) 1/ 2 b) (1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 ) c)
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1/ 2
d) 1/ 4 e)
1/ 4
1/ 4
1/ 4
1/ 4
52) (ACAFE-SC) Considere as matrizes
1 2
2 1
A =
− −
,
x
B
y
=
e
6
9
C =
.
Sabendo-se que AB C= , o valor de x y+ é:
a) 15 b) 1 c) 57 d) 9 e) 39
53) (ACAFE-SC) Dada a matriz
0 1
2 2
A =
−
, seja TA a sua ma-
triz transposta. O produto TAA é a matriz:
a)
0 1
2 2
−
b)
0 2
1 2
−
c)
1 2
2 0
−
−
d)
1 0
2 1
e)
1 2
2 8
−
−
Álgebra Linear 1 49
54) (UFRS) A matriz ( )2 2ijA a ×= é definida por 2ija i j= − .
Determine TA A− .
a)
0 3
3 0
b)
0 3
3 0
−
c)
0 3
3 0
−
d)
0 2
2 0
−
e)
0 2
2 0
−
55) (PUC-SP) Determine a os quais
1
3 6
a
A
−
=
é inversível.
a) a≠ 0 b) a ≠ 6 c) a ≠ 3 d) a ≠ -2 e) a ≠ -6
56) (PUC-PR) Se a matriz 1
3 2
2
A
x
−
=
é a matriz inversa de
1 1
31
2
A
−
=
−
, então o valor de x é:
a) -1 b) 2 c) 1 d) -2 e) 0
57) (ITA-SP) Considere P a matriz inversa da matriz
1 0
3
1 1
7
M
=
. A soma doa elementos da diagonal principal da ma-
triz P é:
a)
4
9−
b)
9
4
c) 4 d)
9
5
e)
9
1−
50 Álgebra Linear 1
58) (UCSALVADOR) A solução da equação matricial
1 2 1 1
0 1 2 2
1 0 1 3
x
y
z
−
− =
é a matriz:
a)
3
2
1
b)
3
2
0
c)
3
0
2
d)
2
3
0
e)
2
0
3
59) (UNESP) Seja ( )ijA a= a matriz 2x2 real definida por
1ija = se i j≤ e 1ija = − se i j> . Calcule 1A− .
60) (UEL) A soma de todos os elementos da inversa da matriz
1 1
0 2
M
−
=
é igual a:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
61) (UEL) Considere as matrizes M e 2M representadas a se-
guir. Conclui-se que o número real pode ser:
0a
M
b a
=
−
2
8 0
0 8
M =
a) 2√3 b) 2√2 c) 2 d) -√2 e) -√3
Álgebra Linear 1 51
62) (FGV-SP) Observe que, se
0 1
2 3
A =
e
4 5
6 7
B
=
, então
AB é a matriz:
a)
0 5
12 21
b)
6 7
26 31
c)
6 26
7 31
d)
0 12
5 21
e)
0 0
12 14
63) (PUCCAMP-SP) Os números reais x, y e z, que satisfazem a
equação matricial mostradas a seguir, são tais que a soma é igual a:
1 2 1 1 3 0
0 1 2 5
x y
z x y z
− + −
= + + −
a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3
64) (FAAP-SP) Dada a matriz
2 1
1 1
A
−
=
−
, achar a matriz B , tal
que AB I= , sendo
1 0
0 1
I =
.
a)
1 1
1 2
−
−
b)
1 1
1 2
−
c)
1 1
2 2
−
d)
1 0
1 0
e) n.d.a.
65) (FUVEST-SP) Considere as matrizes:
1) ( )ijA a= , 4× 7, definida por ija i j=
− ;
2) ( )ijB b= , 7× 9, definida por ijb i= ;
3) ( )ijC c= , C AB= ;
O elemento 63C é:
52 Álgebra Linear 1
a) -112 b) -18 c) -9 d) 112 e) não existe.
66) (UNB-DF) A matriz oposta da matriz 2× 2, definida por
2 ,
2 ,
ij
ij
a i j i j
a i j i j
= + ≠
= − =
, é:
a)
1 5
4 2
−
−
b)
1 4
5 2
−
−
c)
2 4
5 1
−
−
d)
1 5
4 2
−
−
e)
5 1
4 2
−
−
67) (UFPA) A matriz ( )3 3ijA a ×= é definida de tal modo que
( 1) ,
0,
i j
ij
i j
a
i j
+
− ≠
=
=
.
Então, A é igual a :
a)
0 1 1
1 0 1
1 1 0
−
− −
−
b)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
c)
0 1 1
1 0 1
1 1 0
−
−
d)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
−
e)
0 1 1
1 0 1
1 1 0
− −
−
Álgebra Linear 1 53
68) (UNIRIO) Um laboratório farmacêutico fabrica três tipos de
remédios utilizando diferentes compostos. Considere a matriz
( )ijA a= dada a seguir, onde ija representa quantas unidades do
composto j serão utilizadas para fabricar uma unidade do remé-
dio do tipo i .
1 2 4
2 5 3
0 1 4
A
=
Quantas unidades do composto 2 serão necessárias para fabricar 3
remédios do tipo 1; 2 remédios do tipo 2 e 5 remédios do tipo 3?
69) (UNIRIO) Seja
0
0
a
B
b
=
, , 0a b ≠ uma matriz que satisfaz
a equação 1
0 9
3
5 0
aB A− + =
, onde
0 3
2 0
A
−
=
. A soma dos ele-
mentos da diagonal principal de B é:
a) 1
3
b) -1 c) 11
6
− d) 13
6
− e) 19
6
−
70) (UFF-RJ) Nos processos de digitalização, imagens podem se
r representadas por matrizes cujos elementos são algarismos 0 e 1.
Considere que a matriz linha ( )1 0 1 0 0 1L = representa a figura
a seguir:
54 Álgebra Linear 1
onde 1 representa o quadrinho escuro e 0 representa o quadrinho
branco. Seja X a matriz linha dada por X LM= , onde M é a
matriz ( )ijM m= com
1, 7
, 1 6, 1 6
0, 7ij
i j
M i j
i j
+ =
= ≤ ≤ ≤ ≤
+ ≠
Dessa forma, a matriz X representa a figura da opção:
a)
b)
c)
d)
e)
71) (UFRRJ) Determine a matriz inversa da matriz ( )2 2ijA a ×= ,
em que os elementos de A são definidos por
sen( ) ,
cos( ) ,ij
i j i j
a j i i j
pi
pi
+ =
=
− ≠
.
72) (PUC-SP) Considere a equação matricial:
1 3
0 1 1
i i x i
y i
− +
=
− +
.
Álgebra Linear 1 55
em que i é a unidade imaginária. Os números complexos x e y
satisfazem essa equação são tais que a medida do argumento prin-
cipal de x y+ é:
a) 120° b) 135° c)225° d) 240° e) 330°
73) (UNIRIO) Matrizes binárias são matrizes cujos elementos
pertencem ao conjunto { }0,1 e têm aplicação em Ciência da
Computação. A matriz obtida pela soma de todas as matrizes
binárias 2 2× é:
a)
6 6
6 6
b)
6 4
4 8
c)
4 4
4 4
d)
8 8
8 8
e)
4 6
6 4
2 Sistemas Lineares
2.1 Introdução
Os sistemas lineares estão presentes e são de relevante impor-
tância em diversas aplicações da física, química, engenharia, com-
putação e da própria matemática.
Ao longo da história, os problemas que implicavam em sis-
temas de equações lineares deram grande vigor ao estudo de ma-
trizes e determinantes, conceitos estes, que tiveram, sua história
entrelaçada. O matemático italiano Gerônimo Cardano (1501-
1576), em sua obra Ars Magna (A Grande Arte), de 1545, mostrou
uma regra para a solução de sistemas de duas equações lineares
chamada regula de modo. Outros resultados importantes foram mos-
trados pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Von Leibniz
(1646-1716) e pelo matemático suíço Gabriel Cramer (1704-1752),
tornando estes conceitos objetos de investigação matemática.
Neste capítulo serão apresentados conceitos e métodos para a
resolução de sistemas de equações lineares.
Álgebra Linear 1 57
2.2 Equações lineares
Uma equação é dita linear quando tem a forma
1 1 2 2 ... n na x a x a x b+ + + = , onde, 1 2, ,...,a a b são constantes reais e
o expoente das variáveis 1 2, ,..., nx x x é no máximo 1. São equações
lineares 1 2 32 5 3 20x x x+ − = , 5 4 40x y− = e 3 5 8 16 0a b c+ − + = .
São equações não lineares 23 5 0x y+ = , 2 3 2 5xy x y− + = ,
1 2 0
x
− = e 3 2 1a b+ = .
2.3 Solução das equações lineares
Dizemos que a solução de uma equação de n variáveis é uma
seqüência ou uma n -upla ordenada de números reais, de forma
que quando substituídas no lugar das respectivas variáveis forne-
cem uma sentença verdadeira, ou seja, 1 2 3[ , , ,..., ]nS s s s s= é solu-
ção da equação linear 1 1 2 2 3 3 ... n na x a x a x a x b+ + + + = se
1 1 2 2 3 3 ... n na s a s a s a s b+ + + + = for uma sentença verdadeira. O
conjunto S é chamado conjunto solução da equação ou raiz da
equação.
Como exemplo simples, temos que a equação 2 6 0x − = tem
como solução o conjunto { }3 , pois 2 3 6 0× − = . Já a equação
58 Álgebra Linear 1
6x y+ = admite infinitas soluções, onde algumas dessas soluções
são os pares ordenados ( )5;1 ; ( )2;4 ; ( )10;16− e ( )25; 19− .5
2.4 Sistemas de equações lineares
Um sistema de equações lineares ou simplesmente sistema li-
near é um conjunto de equações lineares cuja forma é
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
...
...
...
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
� � �
em que ija e kb são constantes reais, para , 1, ,i k m= � e
1, ,j n= � , em outras palavras é um sistema linear com m equa-
ções e n incógnitas.
Todo sistema de equações lineares pode ser reescrito através
de uma notação matricial. Desta forma, a matriz dos coeficien-
tes é
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
=
�
�
� � � �
�
,
5
Esta equação linear também é conhecida como equação Diofantina, e
no curso de Teoria dos Números é possível determinar a sua solução
geral.
Álgebra Linear 1 59
e a matriz dos termos independentes é uma matriz coluna de
ordem 1m× ,
1
2
m
b
b
b
b
=
�
.
A matriz incógnita também é uma matriz coluna de ordem
1m× , isto é,
1
2
m
x
x
x
x
=
�
.
Desta forma, podemos reescrever o sistema de equações line-
ares anterior como um produto de matrizes formando uma equa-
ção matricial, Ax b= .
Além da matriz dos coeficientes, um sistema de equações li-
neares possui uma matriz aumentada, cuja ordem é ( )1m n× + ,
formada pela matriz dos coeficientes, A , e a matriz dos termos
independentes, b , disposta como segue.
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
[ | ]
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
A B
a a a b
=
� �
� �
� � � � ��
� �
.
60 Álgebra Linear 1
A seguir mostramos três exemplos de sistemas lineares nas
formas de equações lineares, equação matricial e como matriz
aumentada.
Exemplo 1:
Sistema
de equações lineares:
3 2
2 3
x y
x y
− =
+ =
.
Equação matricial Ax b= :
1 3 2
2 1 3
x
y
−
=
.
Matriz aumentada:
1 3 2
2 1 3
−
Exemplo 2:
Sistema de equações lineares:
2 3
2 3 4
3 2 1
x y z
x y z
x y z
+ + =
− − =
− − =
.
Equação matricial Ax b= :
1 2 1 3
2 3 1 4
3 1 2 1
x
y
z
− − =
− −
.
Matriz aumentada:
1 2 1 3
2 3 1 4
3 1 2 1
− −
− −
.
Exemplo 3:
Álgebra Linear 1 61
Sistema de equações lineares:
1 2 3
1 2 3
1 2
1 2 3
2 3 1
2 5 5
3 6 10
4 2 1
x x x
x x x
x x
x x x
+ − =
− + − =
− =
− + = −
.
Equação matricial Ax b= :
1
2
3
4
1 2 3 1
2 5 1 5
3 6 0 10
4 1 2 1
x
x
x
x
−
− −
=
−
− −
.
Matriz aumentada:
1 2 3 1
2 5 1 5
3 6 0 10
4 1 2 1
−
− −
−
− −
.
2.5 Solução do sistema linear
Um sistema linear quanto à solução pode ser classificado de
acordo com o diagrama a seguir.
Para ilustrar as possibilidades que podem ocorrer na solução
de sistemas lineares, vamos considerar um sistema geral de duas
equações lineares nas incógnitas x e y ,
1 1 1
1 1 2 2
2 2 2
, com , , , 0.
a x b y c
a b a b
a x b y c
+ =
≠
+ =
62 Álgebra Linear 1
Os gráficos destas equações (um estudo mais aprofundado
pode ser feito no curso de geometria analítica) são retas que de-
nominaremos por 1r e 2r . A solução do sistema corresponderá
aos pontos de interseção das retas 1r e 2r . Temos dessa forma três
possibilidades. Na primeira possibilidade discutimos a idéia de
quando o sistema seja possível e determinado, isto é, tenha solu-
ção única. Neste caso, as 1r e 2r , se interceptam num único ponto
e, assim, o sistemas possui exatamente uma única solução, Figura
2.1.
Sistema Linear
Ax b=
Possível:
Admite solu-
ção
Indeterminado:
Admite infinitas
soluções
Determinado:
Admite uma única
solução
Impossível:
Não admite
solução
P
1r
2r
x
y
Figura 2.1: A interseção de 1r e 2r é { }P .
Álgebra Linear 1 63
Na Figura 2.2 observamos a possibilidade de obtermos infini-
tas soluções, isto é, o sistema ser possível e indeterminado. As
retas 1r e 2r deste caso são coincidentes existindo assim infinitos
pontos de interseção entre elas. A terceira e última possibilidade
refere-se ao caso do sistema não ter solução, isto é, ser impossível.
Geometricamente isso acontece quando as retas 1r e 2r são parale-
las, Figura 2.3.
1 2r r≡
x
y
1r
2r
x
y
Figura 2.2: A interseção de 1r e 2r é a própria reta.
Figura 2.3: A interseção de 1r e 2r é vazia.
64 Álgebra Linear 1
Agora fica fácil de analisar o sistema de equações e dizer se
ele é possível e determinado, ou se é possível e indeterminado, ou
se é impossível. Veremos alguns exemplos comentados a seguir.
Seja o sistema de equações
2 1
3 2 4
x y
x y
+ =
+ =
.
Para sabermos o comportamento da solução, basta olhar para
a matriz aumentada do sistema, isto é, para os coeficientes e para
os termos independentes. Neste primeiro exemplo temos que
2 3 1 2 1 4≠ ≠ . Isto significa que as retas se interceptam num
único ponto, ou seja, o sistema de equações lineares tem solução
única.
Seja agora o sistema de equações
10 5 15
2 3
x y
x y
+ =
+ =
.
Neste caso temos que 10 / 2 5 /1 15 / 3 5= = = . Como os coefi-
cientes da primeira reta são proporcionais aos coeficientes da
segunda reta numa mesma razão k , temos que as retas são coin-
cidentes. Em outras palavras, o sistema de equações lineares tem
infinitas soluções.
Neste último caso apresentamos retas paralelas. Seja o siste-
ma de equações
Álgebra Linear 1 65
3 2 1
3 2 4
x y
x y
+ =
+ =
.
Observamos que 3/ 3 2 / 2 1 1/ 4= = ≠ , o que nos garante que
as retas são paralelas, e o sistema de equações lineares não tem
solução.
Para o caso de três equações nas incógnitas x, y e z, podemos
ilustrar da seguinte maneira:
Figura 2.4: uma única solução
Figura 2.5: nenhuma solução
66 Álgebra Linear 1
Figura 2.6: infinitas soluções
2.6 Sistemas Lineares Homogêneos
Um sistema linear é dito homogêneo quando todos os termos
independentes de todas as equações que compõe este sistema são
iguais a zero.
São sistemas lineares homogêneos
2 8 0
6 0
x y
x y
+ =
− =
,
2 0
3 4 2 0
6 2 8 0
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
− + =
, e 1 2 3
1 2 3
5 3 9 0
2 7 0
x x x
x x x
+ + =
− + =
.
Pode-se observar que o sistema linear homogêneo que tem o
mesmo número de incógnitas e equações admite sempre a solução
nula, ( )
elementos
0,0,0, ,0
n
…
������������
, que é chamada solução trivial.
Assim, o sistema homogêneo é sempre compatível. Quando é
determinado admite apenas a solução trivial e quando é indeter-
minado admite outras infinitas soluções.
Álgebra Linear 1 67
2.7 Matriz escalonada
Uma forma de resolver um sistema linear é substituir o siste-
ma inicial por outro que tenha o mesmo conjunto solução do
primeiro, mas que seja mais fácil de resolver. O outro sistema é
obtido depois de aplicar sucessivamente uma série de operações,
que não alteram a solução do sistema, sobre as equações.
As operações elementares com matrizes (operações elementa-
res de linhas para obter uma matriz equivalente) são operações
que mantém tanto a ordem da matriz quanto a sua característica.
São operações elementares de linhas: trocar a posição de duas
equações do sistema, que indicaremos por i jl l←→ ; multiplicar
uma equação por um escalar não-nulo, que indicaremos por
i il kl← ; somar a uma equação outra equação multiplicada por
um escalar, que indicaremos por i i jl l kl← + .
Uma matriz ij m nA a × = está na forma escalonada reduzi-
da (veremos como determiná-la na próxima seção) quando satis-
faz as seguintes condições: todas as linhas nulas (formadas intei-
ramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas; o primei-
ro elemento não nulo de cada linha não nula é igual a 1 (chamado
de pivô); o pivô da linha 1i + ocorre à direita do pivô da linha i,
68 Álgebra Linear 1
para 1, , 1i m= −… ; se uma coluna contém um pivô, então todos
os seus outros elementos são iguais a zero.
Se uma matriz satisfaz as três primeiras condições, mas não
necessariamente satisfaz a última condição, dizemos que ela é uma
matriz escalonada, o que podemos verificar nos exemplos a
seguir.
Vamos escalonar a matriz
1 2 1
1 3 2
2 4 5
A
=
. Para realizarmos
o escalonamento desta matriz vamos utilizar as operações elemen-
tares de linhas.
Como na primeira linha o primeiro elemento é igual a 1 , não
há nada o que fazer nela (segunda condição). Logo, vamos traba-
lhar para obter linhas equivalentes para as linhas 2 e 3 , elegendo
o primeiro elemento da primeira linha como pivô, e fazendo com
que os primeiros elementos dessas linhas equivalentes sejam nu-
los. Em outras palavras, vamos substituir a segunda linha, reali-
zando uma operação elementar de linhas, por ela própria menos a
linha 1 ,
e vamos substituir a terceira linha por ela mesma menos
duas vezes a linha 1 .
1 2 1
1 3 2
2 4 5
2 2 1
3 3 12
l l l
l l l
← −
← −
1 2 1
0 1 1
0 0 3
pivô
Álgebra Linear 1 69
A matriz equivalente obtida ainda não está na forma escalona,
pois o primeiro elemento da última linha não é igual a 1 . Então
faremos mais uma operação elementar de linhas, ou seja, dividi-
remos a terceira linha por três.
1 2 1
0 1 1
0 0 3
3 3
1
3
l l←
1 2 1
0 1 1
0 0 1
Portanto
1 2 1
´ 0 1 1
0 0 1
A
=
é a matriz escalonada, e conseqüen-
temente equivalente, da matriz A dada.
Vamos agora escrever a matriz
2 4 1
1 3 1
4 6 2
A
=
na forma es-
calonada. Podemos observar que a primeira linha não tem pivô.
Então vamos procurar na primeira coluna um pivô para a primeira
linha6. Iremos realizar uma operação elementar de linhas, a troca
de linhas, para “trazer” o pivô para a primeira linha. Como o pivô
é igual a um, escolhemos para pivô o elemento de posição 2 1.
Com o objetivo de simplificar algumas contas, e como todos os
elementos da terceira linha são divisíveis por dois, iremos trocá-la
por uma linha equivalente.
6 Vale à pena ressaltar que podemos trocar, sem preocupação, linhas e
colunas até encontrar o pivô, sem perdas de equivalência.
70 Álgebra Linear 1
2 4 1
1 3 1
4 6 2
1 2
3 3
1
2
l l
l l
←→
←
1 3 1
2 4 1
2 3 1
Observe que a nova matriz (equivalente) agora possui um pi-
vô na primeira linha. Desta forma, iremos trocar as linhas 2 e 3
por linhas equivalentes onde os elementos da primeira coluna
sejam nulos.
1 3 1
2 4 1
2 3 1
2 2 1
3 3 1
2
2
l l l
l l l
← −
← −
1 3 1
0 2 1
0 3 1
− −
− −
Podemos observar agora que a linha dois não tem um pivô,
pois o primeiro elemento não nulo é diferente de 1 . Logo dividi-
remos esta linha por 2− .
1 3 1
0 2 1
0 3 1
− −
− −
1 1
1
2
l l← −
1 3 1
10 1
2
0 3 1
− −
Agora temos que substituir a linha 3 por uma linha equiva-
lente onde os elementos abaixo dos pivôs sejam todos nulos.
1 3 1
10 1
2
0 3 1
− −
3 3 23l l l← +
1 3 1
10 1
2
10 0
2
Álgebra Linear 1 71
Para finalizar o processo de escalonamento da matriz, basta
obter o pivô da última linha, isto é, basta multiplicar a linha 3 por
2 .
1 3 1
10 1
2
10 0
2
3 32l l←
1 3 1
10 1
2
0 0 1
A
′=
Temos então que A′ é a matriz escalonada da matriz A da-
da.
2.8 Solução do sistema por retro-substituição
Uma das formas de resolver um sistema de equações lineares
é através da retro-substituição. É um processo simples que envol-
ve a matriz aumentada do sistema, e o escalonamento desta ma-
triz. Vamos trabalhar no sistema a seguir como exemplo.
6
4 2 5
3 2 13
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ − =
+ + =
Fazendo uma breve análise, como as equações não são múlti-
plas entre si, duas a duas, sabemos que o sistema tem solução
única. Escrevendo o sistema na forma de matriz aumentada temos
72 Álgebra Linear 1
1 1 1 6
4 2 1 5
1 3 2 13
−
Como na primeira linha tem pivô, não há nada o que fazer
com ela. Logo, vamos substituir as linhas 2 e 3 por linhas equiva-
lentes onde os elementos da primeira coluna são nulos.
1 1 1 6
4 2 1 5
1 3 2 13
−
2 2 1
3 3 1
4l l l
l l l
← − +
← −
1 1 1 6
0 2 5 19
0 2 1 7
1 1 1 6
0 2 5 19
0 2 1 7
3 2 3l l l← −
1 1 1 6
0 2 5 19
0 0 4 12
1 1 1 6
0 2 5 19
0 0 4 12
2 2
3 3
1
2
1
4
l l
l l
←
←
1 1 1 6
5 190 1 2 2
0 0 1 3
Esta matriz escalonada é equivalente ao sistema dado e é a
matriz aumentada do sistema
6
5 19
2 2
3
x y z
y z
z
+ + =
+ =
=
.
Álgebra Linear 1 73
Por retro-substituição obtemos ( )5 193
2 2
y + ⋅ = , isto é, 2y = .
Continuando a retro-substituição, temos que ( ) ( )2 3 6x + + = , ou
seja, 1x = . Assim, a solução do sistema é ( )1, 2,3S = .
Para fixarmos o processo de retro-substituição, resolveremos
o sistema a seguir. Seja
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 16
2 15
2 17
x x x
x x x
x x x
+ + =
+ + =
+ + =
.
Como primeiro passo devemos extrair a matriz aumentada do
sistema,
1 2 1 16
2 1 1 15
1 1 2 17
.
Agora devemos escalonar essa matriz. Como na primeira li-
nha temos pivô, passemos então para as outras linhas. Seguindo o
script, trocamos as linhas 2 e 3 por linhas equivalentes onde os
elementos da primeira coluna são nulos.
1 2 1 16
2 1 1 15
1 1 2 17
2 1 2
3 3 1
2l l l
l l l
← −
← −
1 2 1 16
0 3 1 17
0 1 1 1
−
Para obtermos o pivô da linha 2 faremos uma operação de
troca de linhas.
74 Álgebra Linear 1
1 2 1 16
0 3 1 17
0 1 1 1
−
2 3l l←→ −
1 2 1 16
0 1 1 1
0 3 1 17
− −
Trabalharemos agora para obter uma linha equivalente a linha
3 onde os elementos das colunas que contem pivô sejam nulos.
1 2 1 16
0 1 1 1
0 3 1 17
− −
3 3 23l l l← −
1 2 1 16
0 1 1 1
0 0 4 20
− −
Para obter o pivô da linha 3 basta dividi-la por 4 .
1 2 1 16
0 1 1 1
0 0 4 20
− −
3 3
1
4
l l←
1 2 1 16
0 1 1 1
0 0 1 5
− −
Esta matriz escalonada é a matriz aumentada do sistema e-
quivalente ao sistema dado
1 2 3
2 3
3
2 16
1
5
x x x
x x
x
+ + =
− = −
=
.
Realizando o processo de retro-substituição, obtemos
( )2 5 1x − = − , isto é, 2 4x = ; e ( ) ( )1 2 4 5 16x + ⋅ + = , ou seja, 1 3x = .
Portanto, a solução do sistema é ( )3,4,5S = .
Álgebra Linear 1 75
2.9 Solução do sistema pelo método de Gauss – Jordan
Este método é utilizado para obter a solução de um sistema
de n equações lineares e mesmo número de variáveis de forma
prática. Da mesma forma que aplicamos as operações elementares
de linhas para obter a matriz escalonada procedemos para obter a
matriz unidade a partir da matriz dos coeficientes, acrescentando
operações nas linhas acima do pivô escolhido, para que os ele-
mentos da mesma coluna deste pivô sejam todos iguais a zero.
Devemos escrever o sistema na forma de matriz aumentada e
desta forma quando a matriz dos coeficientes se tornar a matriz
identidade a matriz dos termos independentes ficará transformada
na solução do sistema. Observe a aplicação deste método através
da resolução do sistema abaixo:
1 2 3
1 2 3
2 3
1 2 3
2 5 1
3 4 7
15
2 3 8
x x x
x x x
x x
x x x
+ + =
+ + = −
− = −
− + + = −
Observamos inicialmente que as equações não são múltiplas
entre si, duas a duas, logo
o sistema tem solução única. Escreve-
mos o sistema linear na forma de matriz aumentada:
2 1 5 1
1 3 4 7
0 5 1 15
1 2 3 8
−
− −
− −
76 Álgebra Linear 1
Vamos aproveitar que se tem 1 na primeira coluna para esco-
lhê-lo como pivô, para tanto permutaremos as linhas 1 e 2, e se-
guimos com as operações elementares de linhas.
2 1 5 1
1 3 4 7
0 5 1 15
1 2 3 8
−
− −
− −
1 2l l←→
1 3 4 7
2 1 5 1
0 5 1 15
1 2 3 8
−
− −
− −
2 2 1
4 4 1
2l l l
l l l
← −
← +
1 3 4 7
0 5 3 15
0 5 1 15
0 5 7 15
−
− −
− −
−
2 2
1
5
l l← −
1 3 4 7
30 1 3
5
0 5 1 15
0 5 7 15
−
−
− −
−
1 1 2
3 3 2
4 4 2
3
5
5
l l l
l l l
l l l
← −
← −
← −
Observe que neste ponto voltamos a operar com a primeira
linha para que o elemento acima do pivô seja zero.
111 0 2
5
30 1 3
5
0 0 4 0
0 0 4 0
−
−
3 3
1
4
l l← −
111 0 2
5
30 1 3
5
0 0 1 0
0 0 4 0
−
1 1 3
2 2 3
4 4 3
11
5
3
5
4
l l l
l l l
l l l
← −
← −
← −
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 0
0 0 0 0
−
Vemos que a matriz dos coeficientes foi transformada na ma-
triz identidade e desta forma a matriz dos termos independentes é
a solução do sistema ( )2, 3,0S = − . De fato, temos que o sistema
inicial de equações lineares se transformou no sistema equivalente
Álgebra Linear 1 77
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0 0 2
0 0 3
0 0 0
0 0 0 0
x x x
x x x
x x x
x x x
+ + =
+ + = −
+ + =
+ + =
,
isto é,
1
2
3
2
3
0
x
x
x
=
= −
=
Que é a solução do sistema.
Caro leitor, acompanhe agora a resolução para obtenção da
equação geral do sistema homogêneo
2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 4
5 8 0
3 2 0
2 0
5 3 0
x x x
x x x x
x x x x
x x x
− − + =
− + + − =
− − + =
− + + =
.
Tomando a matriz dos coeficientes e aplicando as operações
elementares sobre linhas temos
3 311 0
5 5
1 80 1
5 5
0 0 0 0
0 0 0 0
− −
−
.
Dessa forma temos o sistema equivalente
78 Álgebra Linear 1
1 3 4
2 3 4
3 31 0
5 5
1 8 0
5 5
x x x
x x x
− − =
+ − =
e isolando 1 2 e x x temos a solução geral do sistema 1 3 4
3 31
5 5
x x x= +
e 2 3 4
1 8
5 5
x x x= − + , 3 4,x x ∈� são chamadas variáveis livres.
Uma ressalva importante que podemos fazer neste ponto re-
fere-se ao número de soluções do sistema linear a partir da sim-
ples observação da matriz escalonada. Se o número de incógnitas
for igual ao número de equações não-degeneradas sua solução é
única, se o número de incógnitas for superior ao número de equa-
ções não-degeneradas têm-se infinitas soluções e pode-se expres-
sar a solução geral em função das variáveis livres. E, por fim, se os
coeficientes de uma equação forem zeros e o termo independente
não nulo, o sistema é inconsistente ou incompatível, ou seja, não
tem solução. Vamos aplicar este conhecimento no exemplo a
seguir.
Determine o valor de λ para que o sistema
1 2
1 2 3
1 2 3
2
0
4
x x
x x x
x x x
λ
− =
+ + =
− + − =
se-
ja compatível.
Escrevendo na forma de matriz aumentada e aplicando as
operações elementares sobre as linhas temos:
Álgebra Linear 1 79
1 1 0 2
1 1 0
1 1 1 4
λ
−
− −
2 2 1
3 3 1
l l l
l l l
← −
← +
1 1 0 2
0 1 1 2
0 0 1 6
λ
−
+ −
−
2 2 3l l l← +
1 1 0 2
0 1 0 4
0 0 1 6
λ
−
+
−
Neste ponto, observamos que na segunda equação se
1 0λ + = esta equação se torna degenerada e o sistema é incompa-
tível. Portanto, para que o mesmo seja compatível devemos ter
1 0λ + ≠ , logo 1λ ≠ − .
2.10 Solução do sistema pelo método da Matriz Inversa
Um sistema de equações lineares Ax b= pode ser resolvido
multiplicando-se a matriz inversa de A , isto é, 1A− , caso exista,
pela matriz dos coeficientes b .
Com efeito, admitindo que exista 1A− , então podemos multi-
plicar Ax b= em ambos os membros por 1A− , ou seja,
1 1A Ax A b− −= . Mas 1A A I− = e Ix x= . Portanto 1x A b−= .
Como exemplo, temos o sistema 2 4
3 4 8
x y
x y
+ =
+ = −
que é equiva-
lente a 1 2 4
3 4 8
x
y
=
−
. A matriz inversa da matriz dos coeficien-
tes é 2 1
3 2 1 2
−
−
. De fato, pois 1 2 2 1 1 0
3 4 3 2 1 2 0 1
−
=
−
. Dessa
80 Álgebra Linear 1
forma a solução do sistema pode ser obtida multiplicando-se a
matriz inversa pela matriz dos termos independentes
2 1 4 16
3 2 1 2 8 10
− −
=
− −
. Portanto a solução do sistema é
16
10
S
−
=
.
2.11 Cálculo da Matriz Inversa
Este método consiste em determinar a inversa da matriz A
aplicando o método de Gauss-Jordan na matriz A I , até que se
obtenha a matriz escalonada reduzida da matriz A , B S . Se
B I= então S é a matriz inversa da matriz A , isto é, 1A S− = ;
caso contrário, a matriz A não admite inversa ( A é singular).
Dessa forma vamos tomar como exemplo a matriz
2 1 1
1 1 1
2 3 2
A
=
cuja inversa se deseja obter. Inicialmente vamos
escrever na forma A I
2 1 1 1 0 0
1 1 1 0 1 0
2 3 2 0 0 1
.
Procedemos agora aplicando Gauss-Jordan até que A esteja na
forma escalonada reduzida. Faremos, a cargo de mais um exem-
plo, o escalonamento passo a passo. O primeiro passo é obter um
Álgebra Linear 1 81
pivô para a linha 1. Poderíamos simplesmente dividir a linha 1 por
2, mas apareceria frações (as vezes é inevitável). Ao invés disso,
substituímos a linha 1 por uma combinação entre ela e a linha 2.
2 1 1 1 0 0
1 1 1 0 1 0
2 3 2 0 0 1
1 1 2l l l← −
Agora temos que transformar as linhas 2 e 3 em linhas equi-
valentes onde os elementos abaixo do pivô são nulos.
1 0 0 1 1 0
1 1 1 0 1 0
2 3 2 0 0 1
−
2 2 1
3 3 12
l l l
l l l
← −
← −
Na linha 2 já apareceu um pivô com as operações que foram
feitas.
1 0 0 1 1 0
0 1 1 1 2 0
0 3 2 2 2 1
−
−
−
3 3 23l l l← −
Agora iremos trocar a linha 3 por uma linha equivalente onde
os elementos abaixo do pivô são nulos. Como na linha 3 apareceu
um elemento diferente de 1, iremos trocá-la por uma linha equiva-
lente onde esse elemento seja 1.
1 0 0 1 1 0
0 1 1 1 2 0
0 0 1 1 4 1
−
−
− −
3 3l l← −
82 Álgebra Linear 1
Por fim, falta apenas trocar as linhas 1 e 2 por linhas equiva-
lentes onde os elementos acima do pivô sejam nulos.
1 0 0 1 1 0
0 1 1 1 2 0
0 0 1 1 4 1
−
−
− −
2 2 3l l l← −
Temos então a matriz inversa da matriz A .
1 0 0 1 1 0
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 4 1
−
−
− −
Como a matriz A é linha-equivalente à matriz identidade,
temos que a matriz
1 1 0
0 2 1
1 4 1
−
−
− −
é a inversa da matriz A .
Outro exemplo pode observado agora, considerando a matriz
1 6 4
2 4 1
1 2 5
A
= −
−
na qual buscaremos sua inversa. As operações
serão indicadas ao lado de cada passo.
1 6 4 1 0 0
2 4 1 0 1 0
1 2 5 0 0 1
−
−
2 2 1
3 3 1
2l l l
l l l
← −
← +
1 6 4 1 0 0
0 8 9 2 1 0
0 8 9 1 0 1
− − −
3 3 2l l l← +
Álgebra Linear 1 83
1 6 4 1 0 0
0 8 9 2 1 0
0 0 0 1 1 1
− − −
−
Como nós obtivemos uma linha de zeros no lado esquerdo, a
matriz A não é invertível, isto é, A é singular.
2.12 Exercícios
1) Determine se os vetores ( 8,6,1,1)u = − e ( 10,5,1,2)v = − são soluções
do sistema de equações lineares
4 3 5
2 3 2 1
2 5 4 3
x y z w
x y z w
x y z w
+ + + =
+ + − =
+ − + =
.
2) Resolva os sistemas abaixo:
a)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 5 4
2 8 9 9
3 5 12 17 7
x x x x
x x x x
x x x x
+ − + =
+ − + =
+ − + =
b)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3
2 5 4
3 2 5
x x x
x x x
x x x
+ + =
+ − = −
− − =
c)
2 2
2 3 9
3 3 2 3
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
+ − =
d)
10 0
5 0
3 0
x y
x z
y z
+ − =
− − =
− − =
e)
2 2 5
2 2 3
2
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
f)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x x x
x x x
x x x
+ + =
− − + =
− + =
g)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 4
2 1
2 2 2 2
2 4 1
3 3 3
x x x x
x x x x
x x x x
x x
− + − = −
+ − − = −
− + − + =
− = −
84 Álgebra Linear 1
h)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4 1
3 7 2 2
12 11 16 5
x x x x
x x x x
x x x x
− + − =
+ + + =
− − − =
i)
8
2 3 1
3 7 4 10
x y z
x y z
x y z
+ + =
− − + =
− + =
j)
4 2 2
8 4 5 6
12 7 10 6
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
k)
2 2
3 7
1
x y z
y z
x z
+ − = −
+ =
− = −
3) Determine o valor de λ em cada sistema abaixo de acordo
com cada exigência:
a) 6 12
4 4 8
x y
x y
λ+ =
+ =
seja indeterminado.
b) 3 2 1
4 0
x y
x yλ
+ =
− =
admita uma solução única.
c)
2
2 4 5
y z
x y z a
x y z
λ
λ
− + = −
+ + =
− + = −
seja compatível e determinado.
d)
2
2
4 5
x y
x y z
x y z
λ
λ
λ
+ = −
− + =
+ + = −
seja impossível.
e) (FUVEST-SP/adaptado)
1
3 2 3
2
x y z
x y z
y zλ
+ + =
− + =
+ = −
é compatível e
determinado.
4) (UFES) Examinando os anúncios a seguir, conclua o preço de
cada faca, garfo e colher.
Álgebra Linear 1 85
5) Uma loja vende certo equipamento de informática, que é
fabricado por três marcas diferentes: A, B e C. Um levantamento
sobre as vendas desse equipamento, realizado durante três dias
consecutivos, revelou que:
• no 1º dia, foram vendidos dois equipamentos da marca A, um
da marca B e um da marca C, resultando um total de vendas igual
a R$ 150,00;
• no 2º dia, foram vendidos quatro equipamentos da marca A,
três da marca B e nenhum da marca C, num total de R$ 240,00;
• no último dia, não houve vendas da marca A, mas foram vendi-
dos cinco da marca B e três da marca C, totalizando R$ 350,00.
Qual é o preço do equipamento fabricado por A? E por B? E por
C?
86 Álgebra Linear 1
6) Na feira uma dona de casa verificou que as barracas A, B e C
tinham preços diferentes por quilo de produto, conforme a tabela
a seguir:
Tomate Batata Cebola
R$40,00 R$50,00 R$30,00
R$50,00 R$40,00 R$40,00
R$50,00 R$40,00 R$30,00
Comprando-se x quilos de tomate, y quilos de batatas e z qui-
los de cebolas tanto na barraca A quanto na B, a dona de casa
gastaria a mesma quantia: R$260,00. Comprando-se as mesmas
quantidades na barraca C, ela economizaria R$ 10,00. Determine
x+y+z.
2.13 Questões de vestibular
1. (FMU – SP) O valor de a para que o sistema
=−
=+
543
182
ayx
yx
seja possível e indeterminado é:
a) -6 b) 6 c) 2 d) -2 e) 3/2
Álgebra Linear 1 87
2. (FGV – SP) O sistema
2 3 0
2 4 0
14 0
x y z
x y z
x z
+ − =
+ + =
− =
é:
a) determinado.
b) Impossível
c) Determinado e admite como solução (1, 1, 1).
d) Indeterminado.
e) N.D.A.
3. (UFRN) A solução do sistema
6
4 2 5
3 2 13
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ − =
+ + =
é:
a) (-2, 7, 1) b) (4, -3, 5) c) (0, 1, 5) d) (2, 3, 1) e) (1, 2, 3)
4. (OSEC – SP) O sistema linear
2 2
2 3 4 9
4 2 7
x y z
x y z
x y z
− + =
+ + =
+ + =
:
a) admite solução única;
b) admite infinitas soluções;
c) admite apenas duas soluções;
d) não admite solução;
e) N.D.A.
88 Álgebra Linear 1
5. (EFOA – MG) O sistema de equações
=+
=+
0
55
ybx
yax , terá uma
única solução se:
a) ba 5= b) 05 =+ ba c) 05 ≠− ba d) 05 =ab e) 05 ≠ab
6. (FAAP – SP) Para que o sistema linear
=+
=−
152
7
yx
byax admita
uma única solução, é necessário que:
a)
5
2b
a
−
≠ b)
5
2b
a
−
=
c)
2
5b
a
−
≠ d)
5
2b
a ≠ e)
2
5b
a
−
=
7. (FCC – BA) O sistema linear
=+
=+
12 yxa
ayx
é impossível se e
somente se:
a) 1≠a e 1−≠a b) 1=a ou a = –1
c) 1=a d) 1−=a
e) Ra ∉
8. (FEI – SP) Se x = A, y = B e z = C são as soluções do sistema
3
4
4 10
x y
x z
y z
− =
+ =
+ =
, então ABC vale:
a) -5 b) 8 c) -6 d) -10 e) 5
Álgebra Linear 1 89
9. (UFRS) O sistema sobre R
2 3 1
2
4 11 11
x y z
x y z b
x y z
− + = −
− − =
− − + = −
, terá solução
apenas se o valor de b for igual a:
a) 6 b) 4 c) 1 d) -11 e) -12
10. (MACK – SP) O sistema
2
4 2
x y k
x my
+ =
+ =
é indeterminado.
Então k + m vale:
a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 3
11. (UFSC) Para qual valor de m o sistema
=−
=−−
=−−
023
02
02
yx
zmyx
zymx
ad-
mite infinitas soluções?
a) m = 0 b) 0≠m c) m = 2 d) m = 10 e) m = 1
12. (FCC – BA) O sistema
=+
=−
0
02
kyx
yxk nas incógnitas x e y:
a) é impossível se 1−≠k
b) admite apenas a solução trivial se k = 1
c) é possível e indeterminado se k = -1
d) é impossível para todo k real
e) admite apenas a solução trivial para todo k real.
90 Álgebra Linear 1
13. (CESGRANRIO) O sistema
=+
=+−
=−+
byx
zayx
zyax
1
0
tem uma infini-
dade de soluções. Então, sobre os valores dos parâmetros a e b,
podemos concluir que:
a) a = 1 e b arbitrário. b) a = 1 e 0≠b
c) a = 1 e b = 1 d) a = 0 e b = 1
e) a = 0 e b = 0
14. (FUVEST – SP) O sistema linear:
=−−
=++
=−α+
3
1
02
zyx
zyx
zyx
não admi-
te solução se α for igual a:
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
15. (FUVEST – SP) Carlos e sua irmã Andréia foram com seu
cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha
balança com defeito que só indicava corretamente pesos superio-
res a 60 kg. Assim eles
se pesaram dois a dois e obtiveram as se-
guintes marcas:
• Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;
• Carlos e Andréia pesam 123 kg;
• Andréia e Bidu pesam 66 kg.
Álgebra Linear 1 91
Podemos afirmar que:
a) cada um deles pesa menos que 60 kg.
b) dois deles pesam mais de 60 kg.
c) Andréia é a mais pesada dos três.
d) o peso de Andréia é a média aritmética dos pesos de Carlos e
de Bidu
e) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.
16. (UNESP) Um indivíduo fez uma viagem de 630 km e teria
gastado menos de 4 dias se tivesse caminhado mais 10 km por dia.
Quantos dias gastou na viagem e quantos quilômetros caminhou
por dia?
17. (UNICAMP) O IBGE contratou um certo número de entre-
vistadores para realizar o recenseamento em uma cidade. Se cada
um deles recenseasse 100 residências, 60 delas não seriam visita-
das. Como, no entanto, todas as residências foram visitadas e cada
recenseador visitou 102, quantas residências tem a cidade?
18. (UFMG) Um barril cheio, contendo uma mistura com 70%
de vinho puro e 30% de suco, custa R$ 240,00. O litro de vinho
puro é R$ 6,00 e o preço do litro do suco é R$ 2,00. Qual é a ca-
pacidade do barril?
19. (UNICAMP) Em um restaurante, todas as pessoas de um
92 Álgebra Linear 1
grupo pediram um mesmo prato principal e uma mesma sobreme-
sa. Com o prato principal, o grupo gastou R$ 56,00 e com a so-
bremesa, R$ 35,00; cada sobremesa custou R$ 3,00 a menos que o
prato principal.
a) Encontre o número de pessoas neste grupo.
b) Qual é o preço do prato principal?
20. (FEI-SP) Se ( ),P a b= é o ponto de interseção das retas
9 3 7 0x y− − = e 3 6 14 0x y+ − = . Então a b+ é igual a:
a) 1a = b) 1b = c) 1a = − d) 2b = − e) 2a =
21. (UEL) Se os sistemas a seguir são equivalentes, então ab é
igual a:
3 0
2 0
ax y
x by
− =
− =
e
2 3 1
3 2 4
x y
x y
+ =
+ =
.
a)
2
7−
b) 4 c)
2
9−
d) -5 e) 6
22) (UFPE) Se ( ), ,a b c é a solução do sistema
2 3 11
1
3 2 5
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
+ + =
,
calcule ( )4a b c+ + .
23) (FUVEST)
2
2
y x b
S z y b
az x b
+ =
= − =
+ =
. Resolva o sistema S para:
Álgebra Linear 1 93
c) 0a = e 1b =
d) 4a = e 0b =
24) (PUC-MG) O sistema
3
2 4 3
x my
x y m
+ =
+ =
é indeterminado. O
valor de 2 / 2m m é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
25) (UEL) O sistema
3 2
2 0
ax y
x y
+ =
− =
é possível e indeterminado
e) para qualquer valor de 0a =
f) somente para 0a =
g) somente para 6a =
h) se 0a ≠
i) se 6a ≠ −
26) (UEL) Considere o seguinte sistema nas incógnitas x e
y
3 5
3 6 15
kx y
x y
+ =
− + = −
.
Esse sistema tem uma e uma só solução se o número real k for
diferente de:
a) 1/5 b) 1/4 c) 2/5 d) 1/3
27) (UNITAU) O sistema
2 5
3 6 15
x y
x y
− =
− + = −
j) é possível e determinado.
k) é possível e indeterminado.
l) é impossível.
m) Tem determinante principal diferente de zero.
94 Álgebra Linear 1
n) Não admite nenhuma raiz real.
28) (UNITAU) Calcule o valor de k para que o sistema a seguir
tenha solução diferente da trivial.
3 0
2 (2 ) 2 0
(1 ) 2 0
x y z
x k y z
x y k y z
+ + =
+ − + =
+ + − + =
29) (UFJF) Calcule os valores de a e b para que o sistema
3 3 4
( ) 2 8
x y a b
a b x y
+ = +
+ + =
seja possível e indeterminado.
30) (UFMG) Uma indústria produz três produtos, A , B e C ,
utilizando dois tipos de insumo, X e Y . Para a manufatura de
cada quilo de A são utilizados 1 grama do insumo X e 2 gramas
do insumo Y ; para cada quilo de B , 1 grama de insumo X e 1
grama de insumo Y e, para cada quilo de C , 1 grama de X e 4
gramas de Y . O preço de venda do quilo de cada um dos produ-
tos A , B e C é de R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 5,00, respectivamente.
Com a venda da produção de A , B e C manufaturada com 1
quilo de X e 2 quilos de Y , essa indústria arrecadou R$ 2.500,00.
Determine quantos quilos de cada um dos produtos A , B e C
foram vendidos.
31) (FGV-SP) Considere o sistema linear nas incógnitas x e y ,
2 3
4 4 2
mx y
x y b
− =
− =
;
o) Para que valores de m e n o sistema é determinado, indeter-
minado ou impossível?
Álgebra Linear 1 95
p) Resolva o sistema para 3m = e 2n − .
32) (FUVEST-SP) Seja o sistema
2 0
3 0
3
x y z
x my z
x y mz m
+ − =
− − =
+ + =
q) Determine todos os valores de m para os quais o sistema
admite solução.
r) Resolva o sistema supondo 0m = .
33) (UNB) Para o dia das mães, uma loja ofereceu a seus clientes
a possibilidade de comprarem lençóis, fronhas e colchas, agrupa-
dos nos seguintes jogos:
I. 2 lençois e 2 fronhas.
II. 2 lençois e 2 colchas.
III. 1 lençol, 1 fronha e 1 colcha.
Considerando que o preço de cada peça é o mesmo em qualquer
um dos jogos I, II e III que são vendidos por R$ 130,00, R$
256,00 e R$ 143,00, respectivamente, calcule, em reais, o preço
unitário da colcha, desprezando os centavos, caso existam.
34) (UNESP) U m negociante trabalha com as mercadorias A, B
e C das quais, de cada uma, tem um pequeno estoque não nulo. Se
vender cada unidade de A por R$ 2,00, cada unidade de B por R$
3,00 e cada unidade de C por R$ 4,00, obtém uma receita de R$
50,00. Mas se vender cada unidade por respectivamente por R$
2,00, R$ 6,00 e R$ 3,00, a receita será de R$ 60,00. Calcule o
número de unidades que possui cada uma das mercadorias.
96 Álgebra Linear 1
35) (FEI-SP) Um comerciante adquiriu 80 rolos de arame, alguns
com 30 m outros com 20 m, num total de 2.080 m de comprimen-
to. Quantos rolos de 30 m foram adquiridos?
a) 40 b) 52 c) 28 d) 32 e) 48
36) (CESGRANRIO) Resolvendo-se a equação matricial mos-
trada na figura, encontramos para x e y valores respectivamente
iguais a
1 2 5
4 3 10
x
y
=
.
a) -2 e 1 b) -1 e 2 c) 1 e -2 d) 1 e 2 e) 2 e -1
37) (FUVEST-SP) Durante uma viagem, choveu 5 vezes. A chu-
va caía pela manhã ou à tarde, nunca o dia todo. Houve 6 manhãs
e 3 tardes sem chuvas. Quantos dias durou a viagem?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
38) (FUVEST-SP) O valor, em reais, de um a pedra semipreciosa
é sempre numericamente igual ao quadrado de sua massa, em
gramas. Infelizmente uma dessas pedras, de 8 gramas, caiu e se
partiu em dois pedaços. O prejuízo foi o maior possível. Em rela-
ção ao valor original, o prejuízo foi de:
a) 92% b) 80% c) 50% d) 20% e) 18%
39) (UFMG) Supondo que 48 quilogramas de chumbo custam o
mesmo que 56.000 gramas de aço e 7 quilos aço custam R$
300,00, o preço de 150 quilogramas de chumbo é:
a) R$ 7.500,00 b) R$ 9.000,00 c) R$ 12.000,00 d) R$ 13.500,00
40) (PUCCAMP-SP) Um certo número de alunos fazia prova em
uma sala. Em um dado momento, retiraram-se 15 moças, ficando
Álgebra Linear 1 97
o número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em
seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual número de
moças e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era:
a) 96 b) 98 c) 108 d) 116 e) 128
41) (UEL) Um lojista pretende colocar um certo número de aga-
salhos em algumas prateleiras, de modo que o número de peças
em cada prateleira seja o mesmo. Se colocar 9 agasalhos em cada
prateleira, duas delas deixarão de ser usadas;
entretanto, se colocar
7 em cada um, usará todas as prateleiras. O número de agasalhos
que deve acomodar é:
a) 52 b) 56 c) 58 d) 61 e) 63
42) (UFES) Por ocasião do Natal, uma empresa gratificará seus
funcionários com um certo número de cédulas de R$ 50,00. Se
cada funcionário receber 8 cédulas sobrarão 45 delas; se cada um
receber 11 cédulas, faltarão 27. O montante a ser distribuído é:
a) R$ 9.600,00 b) R$ 10.500,00 c) R$ 11.000,00
d) R$ 13.250,00 e)R$15.000,00
43) (UNIRIO) Luís e Maria resolveram comparar suas coleções
de CDs. Descobriram que têm ao todo 104 compact disc e que,
se Maria tivesse 12 CDs a menos, teria o triplo do número de
discos de Luís. É possível afirmar que a quantidade de CDs que
Luís possui é:
a) 23 b) 29 c) 31 d) 52 e) 75
44) (UNIRIO) Na solução do sistema
98 Álgebra Linear 1
=−
=−+
74
2log3log1log(
yx
yx
, o valor de x é:
a) 15 b) 13 c) 8 d) 5
45) (PUC-PR) Resolvendo o sistema
−+++
=−−
=++
33
123
23
zyx
zyx
zyx
, o valor
da soma x y z+ + é:
a) 5 b) 15 c)6 d) 12 e) 0
46) (UNIFICADO-RJ) Se o sistema
3
(2 1) 4
y mx
y m x
= +
= − +
, tem ape-
nas uma solução (x,y), então o parâmetro m satisfaz a condição:
a) m ≠ 1 b) m ≠ -1 c) m ≠ 0 d) m ≠ ½ e) m ≠ 2
2.14 Resposta dos exercícios propostos
i) u é solução do sistema pois é solução de cada equação já v não é
solução do sistema pois não é solução da segunda equação (não é
necessário substituir v na terceira equação).
ii)
a) não possui solução;
b) {(2, 1,3)}S = −
c) {(2, 1,0)}S = −
d) {(1, 2,3)}S =
e) {(6, 4,1)}S =
f) {(1, 2, 1)}S = −
Álgebra Linear 1 99
g) 1 4 2 3 3 4{ 1; 2 ; , }S x x x x x x= = − = ∈�
h) Sistema Incompatível
i) {(11 3,5 3,8 3)}S =
j) {(2, 2, 4)}S = −
k) {(1,1, 2)}S =
l)
iii)
a) λ = 6
b) λ ≠ −6
c) { }| 4 e 1λ λ λ∈ ≠ − ≠�
d) λ = −4 ou λ = 1
e) 1|
4
λ λ ∈ ≠
�
iv) Faca: 5,50; colher: 3,00; garfo: 4,00
v) 30+40+50=120
2.15 Questões de vestibular
1. a
2. d
3. e
4. b
5. c
6. a
7. d
8. c
9. b
10. e
11. c
12. c
13. d
14. e
15. e
3 Espaço Vetorial
Voltamos ao icosaedro, ou melhor, as coordenadas do icosa-
edro representadas pela matriz A no capítulo 0. Vimos que ao
multiplicar a matriz A por um escalar k qualquer, resultou-se em
ou um icosaedro expandido ( 1k > ), ou um icosaedro contraído
0 1k< < , ou reduzimos o icosaedro a um ponto ( 0k = ), ou refle-
timos o icosaedro ( 0k < ). O mesmo acontece quando somamos
as coordenadas de dois icosaedros, ou quando transladamos o
icosaedro. Todas essas operações irão gerar um número infinito
de icosaedros. Somam-se a este conjunto as operações com matri-
zes de ordem 12 3× que não representam as coordenadas de um
icosaedro, e também não contribuem para as translações. Resu-
mindo, com todas essas operações mencionadas, e talvez mais
algumas, temos um conjunto de infinitas matrizes de ordem
12 3× , que representam ou não um icosaedro. A este conjunto
chamaremos de espaço vetorial.
Veremos então, numa notação mais formal, a definição de
espaço vetorial. Seja K um corpo7 (conjunto dos números reais,
7
A definição de corpo pode ser vista em qualquer livro de álgebra abstra-
ta.
Álgebra Linear 1 101
conjunto dos números racionais, etc.) e seja V um conjunto não
vazio com a propriedade do fechamento para as operações de
adição e de multiplicação por escalar, isto é, sejam ,u v V∈ então a
soma u v+ pertence a V , e seja e u V k K∈ ∈ então o produto
ku pertence a V . Logo, V é chamado de espaço vetorial sobre
K se os seguintes axiomas são verdadeiros:
A1) Propriedade associativa da adição – sejam , , ,u v w V∈ en-
tão ( ) ( )u v w u v w+ + = + + .
A2) Elemento neutro da adição – , 0u V u u∀ ∈ + = onde 0 é o
vetor nulo.
A3) Elemento oposto da adição – ( ), 0u V u u∀ ∈ + − = .
A4) Propriedade comutativa da adição – sejam ,u v V∈ , então
u v v u+ = + .
M1) Sejam k K∈ e ,u v V∈ , então ( )k u v ku kv+ = + .
M2) Sejam ,a b K∈ e u V∈ , então ( )a b u au bu+ = + .
M3) Sejam ,a b K∈ e u V∈ , então ( ) ( )ab u a bu= .
M4) Elemento neutro da multiplicação – seja u V∈ , então 1u u= .
Os elementos de um espaço vetorial são chamados de veto-
res.
102 Álgebra Linear 1
3.1 Combinação linear
Já foram discutidas aqui várias idéias envolvendo a matriz dos
vértices de um icosaedro. Vimos que a translação do icosaedro é
na verdade a soma de duas matrizes. Neste exemplo transladamos
o icosaedro três unidades referentes ao eixo x . Podemos reescre-
ver esta translação da forma
0 0 1
0
1 3
0 1
u
⋅ + ⋅
− ��������������������
0,89 0,45
0,28 0,85 0,45
-0,72 0,53 0,45
-0,72 -0,53 0,45
0,28 -0,85 0,45
0,72 0,53 -0,45
-0,28 0,85 -0,45
-0,89 0 -0,45
-0,28 -0,85 -0,45
0,72 -0,53 -0,45
0
1 0 0 3 0 1
1 0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
v
=
����������
3,89 0,45
3,28 0,85 0,45
-3,72 0,53 0,45
-3,72 -0,53 0,45
3,28 -0,85 0,45
3,72 0,53 -0,45
-3,28 0,85 -0,45
-3,89 0 -0,45
-3,28 -0,85 -
0 1
w
− ��������������������
0,45
3,72 -0,53 -0,45
3
,
onde denotando 1 1a = e 2 3a = , reescrevemos esta última expres-
são como 1 2a u a v w+ = . Assim, podemos dizer que w é uma
combinação linear u e v . Vale a pena notar que 1a e 2a pode
assumir qualquer valor, e que u e v podem ser quaisquer matrizes
de ordem 12 3× . Evidentemente, uma combinação de u e v não
necessariamente representará os vértices de um icosaedro.
Álgebra Linear 1 103
Assim, estamos prontos para definir uma combinação linear.
Sejam V um espaço vetorial real (ou complexo), 1 2, , , nv v v V∈� e
1 2, , , na a a� números reais (ou complexos). Então, o vetor
1 1 2 2 n nv a v a v a v= + + +� é um elemento de V ao que chamamos
de combinação linear de 1 2, , , nv v v� .
3.2 Subespaço vetorial
Dados 1, , nv v V∈� , o conjunto W de todos os vetores de V
que são combinação linear destes, é um subespaço vetorial. Di-
zemos que W é um subespaço vetorial gerado por 1 2, , , nv v v� , e
usamos a notação [ ]1 , , nW v v= � . Também podemos escrever o
conjunto W como { }1 1: , ,1n n iW v V v a v a v a i n= ∈ = + + ∈ ≤ ≤� � .
Veremos a seguir alguns exemplos clássicos de subespaços
vetoriais. Podemos enxergar a reta como um espaço vetorial. Isto
é, seja 3V = � , v V∈ , 0v ≠ , então [ ] { }:v av a= ∈� , ou seja, [ ]v
é a reta que contém o vetor v .
Figura 3.1: reta gerada pelo vetor v .
y
x
z
[ ]vv
104 Álgebra Linear 1
Num segundo exemplo, temos 2V = � , onde 1
1
0
e
=
e
2
0
1
e
=
são os vetores canônicos de 2� . Logo, temos que o
espaço 2� é gerado por esses vetores, isto é, [ ]1 2,V e e= . Isto é
fácil de verificar, pois qualquer vetor é da forma 2
x
v
y
= ∈
� , ou
seja,
1 0
0 1
x
x y
y
= +
, 1 2v xe ye= + .
Figura 3.2: espaço 2� gerado
por 1e e 2e .
Vejamos agora o subespaço vetorial gerado pelas matrizes de
ordem 2 2× da forma 1
1 0
0 0
v
=
e 2
0 1
0 0
v
=
. Temos que
[ ]1 2, : ,0 0
a b
v v a b
= ∈
� .
Sejam 31 2,v v ∈� tal que 1 2v vα ≠ ( 1v não seja paralelo e nem
coincidente a 2v ), α∀ ∈� , então [ ]1 2,v v será o plano que passa
pela origem e contém 1 2 e v v .
x
y
1 2v e x e y= +
1e
2e
Álgebra Linear 1 105
Seja um terceiro vetor que é gerado por 1 2 e v v , [ ]3 1 2,v v v∈ ,
então temos que [ ] [ ]1 2 1 2 3, , ,v v v v v= , pois todo vetor que é combi-
nação linear de 1 2 3, e v v v é também combinação linear de 1 2 e v v .
Figura 3.3: plano, em 3� , gerado por 1v e 2v .
3.3 Exercícios
01. Escreva o vetor
1
2
5
v
= −
como combinação linear dos veto-
res 1 2 1
1 1 2
1 , 2 e 1
1 3 1
u u u
= = = −
−
.
x
y
z [ ]1 2,v v
1v
2v
106 Álgebra Linear 1
02. Escreva o vetor
2
5
3
v
= −
como combinação linear dos veto-
res 1 2 1
1 2 1
3 , 4 e 5
2 1 7
u u u
= − = − = −
−
.
03. Determine o valor de k para que o vetor
1
2u
k
= −
seja uma
combinação linear dos vetores 1 2
3 2
0 e 1
2 5
v v
= = −
− −
.
04. Escreva o polinômio 2 4 3v t t= + − como uma combinação
linear dos polinômios 21 2 5u t t= − + ,
2
2 2 3u t t= − e 3 3u t= + .
05. Escreva a matriz
3 1
1 1
A =
−
como uma combinação linear
das matrizes
1 1
1 0
B =
,
0 0
1 1
C =
e
0 2
0 1
D =
−
.
06. Suponhamos que u é uma combinação linear dos vetores
1, , nv v… e suponhamos que cada vetor iv é combinação linear
dos vetores 1 , , nw w… . Mostre que u também é uma combinação
linear dos iw .
Álgebra Linear 1 107
3.4 Dependência e independência linear
Seja um espaço vetorial V e a combinação linear dos vetores
1, , nv v V∈� com os coeficientes 1 , , na a… , isto é,
1 1 2 2 n nw a v a v a v= + + +… . Os vetores 1, , nv v… são linearmente
independentes, e que a partir de agora chamaremos simplesmente
de LI, se a única combinação linear que produz o vetor nulo é
quando os coeficientes são nulos, isto é, 1 2 0na a a= = = =� .
Caso contrário, ou seja, se existe algum 0ia ≠ dizemos que os
vetores 1, , nv v� são linearmente dependentes, ou, para referências
futuras, LD. Varemos alguns exemplos a seguir.
Seja
1 4 1 2
3 5 3 2
2 2 1 3
B
=
. Temos que as colunas da matriz B
são LD, pois se fizermos uma combinação linear delas, temos
1
2
1 2 3 4
3
4
1 4 1 2 1 4 1 2
3 5 3 2 3 5 3 2
2 2 1 3 2 2 1 3
a
a
a a a a
a
a
+ + + =
. Para que as
colunas de B fossem LI, teríamos que ter uma única solução
1
2
3
4
0
0
0
0
a
a
a
a
=
para o sistema 0Ba = . Mas este sistema tem várias
108 Álgebra Linear 1
soluções, pois é homogêneo e o número de linhas é menor que o
número de colunas. Logo, os vetores são LD.
Sejam 3V = � e 1 2,v v V∈ . Logo, 1 2 e v v são LD se e somen-
te se 1 2v vλ= , isto é, 1 2 e v v estiverem sobre a mesma reta que
passa pela origem.
Figura 3.4: 1v e 2v são colineares.
Sejam 3V = � e 1 2 3, ,v v v V∈ , 1 2 3, ,v v v são LD se eles estive-
rem no mesmo plano, que passa pela origem. Isto significa que ou
1v ou 2v ou 3v é uma combinação linear dos outros dois.
Figura 3.5: 1v , 2v e 3v são coplanares.
x
y
z
1v
2v
3v
x
y
z
1v
2v
Leo
Highlight
Álgebra Linear 1 109
Sejam 2V = � , 1
1
0
e
=
e 2
0
1
e
=
. Os vetores 1e e 2 e são
LI, pois a única forma para 1 1 2 2 0a e a e+ = é quando 1 0a = e
2 0a = . Em outras palavras, 1 2
1 0 0
0 1 0
a a
+ =
, isto é,
1
2
0
0
a
a
=
.
O mesmo acontece com o espaço n� . Os vetores canônicos
deste espaço são LI. Outro exemplo refere-se ao espaço 3V = � .
Sejam 1 2,e e e 3e os vetores canônicos deste espaço. Logo,
1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
a e a e a e a a a
+ + = + + =
, isto é,
1
2
3
0
0
0
a
a
a
=
.
3.5 Base de um espaço vetorial
Seja V um espaço vetorial. A base desse espaço vetorial é
formada pelos vetores 1, , nv v� , LI, que geram o mesmo. Deno-
tamos esta base por β , { }1 , , nv vβ = … .
Sejam 2V = � , 1
1
0
e
=
e 2
0
1
e
=
. Logo, [ ]1 2,V e e= , isto é,
1e e 2e formam a base de V que é conhecida como base canônica
de 2� .
110 Álgebra Linear 1
Figura 3.6: base canônica de 2� .
Temos que 1
0
1
v
=
e 2
0
2
v
=
não formam uma base para
2� , pois 1 2
1 2
00 0 0
21 2 0
a a
a a
+ = = +
, isto é, 1 22a a= − . Logo,
podemos ter valores diferentes de 0 para 1a e 2a que façam com
que a combinação linear de 1v e 2v seja nula. Assim 1v e 2v são
LD.
Figura 3.7: 1v e 2v não geram
2� .
O conjunto de todos os vetores canônicos do espaço n�
forma uma base do mesmo. Eles são LI entre si e geram todo o
espaço n� . Diferentemente do exemplo que veremos a seguir.
x
y
1v
2v
x
y
1e
2e
Álgebra Linear 1 111
Sejam 1
1
0
0
e
=
e 2
0
1
0
e
=
vetores canônicos de 3� . Apesar de
serem LI, eles não formam uma base para 3� , pois eles não ge-
ram todo o espaço. Na verdade eles geram todo o plano xy , isto
é,
1 0
0 1
0 0 0
x
x y y
+ =
, que é um subespaço de 3� .
Seja ( )2, 2V M= o espaço de todas as matrizes de ordem 2 .
Logo,
1 0 0 1 0 0 0 0
, , e formam uma base para .
0 0 0 0 1 0 0 1
V
Vale à pena ressaltar que um espaço vetorial tem mais de uma
base, além da base canônica. Mas o que interessa para nós não é a
quantidade de bases que um espaço tem, mas sim a quantidade de
elementos que essa base tem. Faremos essa discussão a seguir.
3.6 Dimensão
Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo
número de elementos. Esse número é chamado de dimensão da
base. Verificando alguns exemplos de espaços vetoriais dados
anteriormente, temos 2V = � , onde [ ]1 2,V e e= . Então
dim 2V = . Outro exemplo é o espaço 3V = � onde
112 Álgebra Linear 1
[ ]1 2 3, ,V e e e= , isto é, dim 3V = . Vimos também o espaço das
matrizes de ordem 2 onde a dimensão da base deste espaço é 4 .
Um corolário importante diz se dimV n= , qualquer conjunto
de n vetores LI, pertencentes a V , formará uma base de V.
3.7 Exercícios
1. Verifique se os vetores abaixo formam uma base de 4� . Diga
qual a dimensão do espaço
gerado por esses vetores.
1 0 0 0
1 1 0 0
, , e
1 1 1 0
1 1 1 1
.
2. Encontre uma base para
2 5 4
3 , 2 , 6
4 1 8
V
= −
. Diga qual a
dimensão de V.
3.8 Os quatro subespaços fundamentais
Nós vimos que a base de um espaço vetorial gera todo o es-
paço. Isto é, todos os outros elementos do espaço são obtidos
através de uma combinação linear dos elementos da base desse
espaço. Por exemplo, os espaços � , 2� , ou n� são obtidos pela
Álgebra Linear 1 113
combinação de seus vetores canônicos. Claro que esses espaços
podem ter outras bases. Essa noção nos levar a definir a imagem
ou espaço coluna associado à matriz A . Por exemplo, sejam
1, , nv v… vetores que geram o espaço
n� . Logo,
1 1 n n ix v x v b+ + =� , isto é, para cada conjunto de valores reais
1, , nx x… obtemos um vetor ib diferente. Podemos dizer então
que 1, , nv v… gera uma imagem que está contida em
m� , onde m
é a quantidade de elementos do vetor iv (número de linhas da
matriz A ). Neste exemplo que estamos trabalhando temos n
vetores que formam a base do espaço, com n elementos cada um.
Logo a imagem é o próprio n� . Em outras palavras, qualquer
vetor de n� pode ser escrito como uma combinação linear de
1, , nv v… . Reescrevendo 1 1 n n ix v x v b+ + =� numa notação matrici-
al, temos que
1 1
1
| |
| |
n
n n
x b
v v
x b
=
� � � , ou de forma mais compacta,
Ax b= . Esta notação nos ajuda a entender porque a imagem de
A também é chamada de espaço coluna de A , ou seja, é o espaço
que é gerado pelas colunas da matriz A (isto se todas as colunas
forem LI).
O segundo espaço fundamental é o espaço nulo, também
conhecido como núcleo, da matriz A . O espaço nulo é o espaço
que contém todos os vetores x que multiplicados pela matriz A
114 Álgebra Linear 1
retornam o vetor nulo, isto é, 0Ax = . Como o vetor x tem n
elementos, então o espaço coluna de A está contido em n� .
O espaço linha de A é gerado pelas colunas da matriz TA
que são LI. Por isso esse espaço também é chamado de espaço
coluna de TA ou imagem de TA .
O quarto e último espaço fundamental é chamado de espaço
nulo de TA , e como 0TA y = se e somente se 0Ty A = , este es-
paço também é conhecido como espaço nulo a esquerda de A .
Apresentamos, de forma resumida, uma tabela contendo todos os
espaços fundamentais apresentados nesta seção, assim como as
suas respectivas dimensões.
Tabela 3.1: os 4 subespaços fundamentais
Espaço coluna ( )Im mA ⊂ � dim r=
mxnA
Espaço nulo ( ) nN A ⊂ � dim n r= −
Espaço coluna de TA
Espaço linha de A
( )Im TA dim r=
T
nxmA Espaço nulo de TA
Espaço nulo a es-
querda de A
( )TN A dim n r= −
Álgebra Linear 1 115
Nesta tabela r representa a dimensão do espaço coluna de A
(quantidade de pivôs obtidos no escalonamento da matriz A ,
equivalente ao posto da matriz A que é a quantidade de linhas
não nulas no processo de escalonamento), e n a quantidade de
colunas da matriz A .
3.8.1 Fatoração A=LU
Toda matriz A pode ser fatorada da forma PA LU= , onde
P é a matriz permutação, L é uma matriz triangular inferior que
contém os pivôs utilizados no escalonamento da matriz A e U é a
matriz resultante do escalonamento de A. Como exemplo fatora-
mos a matriz
2 1 1
4 6 0
2 7 2
A
= −
−
. No processo de escalonamento
obtemos a matriz que contém os pivôs do escalonamento
1 0 0
2 1 0
1 1 1
L
=
− −
, e a matriz equivalente escalonada
2 1 1
0 8 2
0 0 1
U
= − −
.
A matriz permutação é, inicialmente, a matriz identidade. No
processo de escalonamento, quando trocamos uma linha ou uma
coluna de lugar com outra, devemos realizar a mesma troca na
matriz permutação. Como não houve permutação de linhas ou de
116 Álgebra Linear 1
colunas no processo de escalonamento, a matriz
1 0 0
0 1 0
0 0 1
P
=
é a
própria matriz identidade, e como IA A= , não há necessidade de
escrever PA LU= , bastando apenas escrever A LU= . As contas
podem ser refeitas pelo leitor a cargo de prática.
3.8.2 Base dos quatro subespaços fundamentais
Uma base para o espaço coluna associado à matriz A é for-
mado pelas colunas da matriz A que correspondem às colunas de
U que contém pivô, ou seja, pelas colunas da matriz A que são
LI.
Uma base para o espaço nulo associado à matriz A é forma-
da resolvendo-se o sistema 0Ux = .
Observe a matriz
5 3 6
4 2 8
0 1 1
A
= −
. Escalonando-a temos
2 1 1
0 8 2
0 0 1
U
= − −
. Portanto, o espaço coluna de A é
( )
5 3 6
Im 4 , 2 , 8
0 1 1
A
= −
e a dimensão é ( )dim Im 3A = .
Álgebra Linear 1 117
O espaço nulo de A é formado resolvendo-se o sistema
0Ux = . Daí, temos que
2 1 1 0
0 8 2 0
0 0 1 0
x
y
z
− − =
, onde, por retro
substituição, temos que 0x y z= = = , ou seja, o único vetor que
aplicado à matriz A que dá o vetor nulo é o próprio vetor nulo.
Logo ( )dim 0N A = e ( )
0
0
0
N A
=
.
Veremos agora um segundo exemplo. Seja
2 5 1
4 6 0
A
−
=
,
onde, escalonando a matriz, temos que
2 5 1
0 4 2
U
−
=
−
. Portan-
to, o espaço coluna de A é ( ) 2 5Im ,
4 6
A
=
e
( )dim Im 2A = .
Obtemos o espaço nulo de A resolvendo o sistema 0Ux = .
Temos que
2 5 1 0
0 4 2 0
x
y
z
−
=
−
. Reescrevendo o sistema,
temos
2 5 0
4 2 0
x y z
y z
+ − =
− + =
, onde, podemos observar, z é uma variá-
vel livre. Logo, 1
2
y z= e 3
4
x z= − . Assim, escrevemos a solução
118 Álgebra Linear 1
do sistema como
3 3
4 4
1 1
2 2
1
z
x
y z z
z z
− −
= =
. Portanto, o núcleo da
matriz A é ( )
3
4
1
2
1
N A
−
=
e ( )dim 1N A = .
3.9 Exercícios
1) Seja V o conjunto do primeiro quadrante do plano xy , isto
é, : 0, 0
x
V x y
y
= ≥ ≥
. a) Se u e v pertencem a V , então
u v+ pertencem a V ? Justifique. b) Encontre um vetor u perten-
cente a V e um escalar c tal que cu não pertence a V .
2) Seja W o conjunto da união do primeiro e terceiro quadrante
do plano xy , ou seja, : 0
x
W xy
y
= ≥
. a) Se u W∈ e c é um
escalar qualquer, então cu W∈ ? Por quê? b) Encontre vetores u e
v pertencentes a W tal que u v W+ ∉ . Esse contra exemplo é
suficiente para mostrar que W não é um subespaço.
Álgebra Linear 1 119
3) Seja C o conjunto de todos os pontos do círculo unitário,
isto é, 2 2: 1
x
C x y
y
= + ≤
. Encontre um contra exemplo para
mostrar que C não é um subespaço vetorial de 2� .
4) Seja 2:
x
H y x
y
= ≥
. Encontre um contra exemplo e mos-
tre que H não é um subespaço de 2�
.
Nos exercícios de 5-8 determine se o conjunto dado é um subes-
paço de nP para um determinado valor de n .
5) Todos os polinômios da forma ( ) 2P x cx= , onde c ∈� .
6) Todos os polinômios da forma ( ) 2P x c x= + , onde c ∈� .
7) Todos os polinômios de grau maior ou igual a 3, onde os
coeficientes são números inteiros.
8) Todos os polinômios em nP tal que ( )0 0P = .
9) Seja V o conjunto de todos os vetores da forma 3
5
x
x
x
. En-
contre um vetor 3v ∈� tal que [ ]V v= . Mostre que V é um sub-
espaço de 3� .
120 Álgebra Linear 1
10) Seja V o conjunto de todos os vetores da forma
2
0
x
x
−
. Mos-
tre que V é um subespaço de 3� .
11) Seja V o conjunto de todos os vetores da forma
3b c
b
c
+
onde b e c são números reais. Encontre vetores u e v tal que
[ ],V u v= . Mostre que V é um subespaço de 3� .
12) Seja W o conjunto de todos os vetores da forma
2
2
2
3
x y
x y
x y
x
+
−
−
.
Mostre que W é um subespaço de 4� .
13) Determine quais dos subconjuntos de n n×� são subespaços
de n n� .
a) matrizes simétricas; b) matrizes diagonal;
c) matrizes não singulares; d) matrizes singulares;
e) matrizes triangulares inferior; f) matrizes triangulares superior.
g) todas as matrizes que comutam com uma matriz dada A .
h) todas as matrizes tal que 2A A= .
i) todas as matrizes tal que ( )tr 0A = .
Álgebra Linear 1 121
14) Seja 1
1
0
1
v
=
−
, 2
2
1
3
v
=
, 3
4
2
6
v
=
e
3
1
2
w
=
.
a) { }1 2 3, ,w v v v∈ ? Quantos vetores pertencem a { }1 2 3, ,v v v ?
b) Quantos vetores pertencem a [ ]1 2 3, ,v v v ? c) w pertencem ao
subespaço gerado por { }1 2 3, ,v v v ?
15) Sejam 1v , 2v e 3v os mesmos do exercício anterior, e seja
8
4
7
w
=
. Logo, w pertencem ao subespaço gerado por
{ }1 2 3, ,v v v ?
Nos exercícios 15-18, W é um conjunto de todos os vetores da
forma mostrada, onde a , b e c são números reais arbitrários.
Em cada caso, ou encontre um conjunto V de vetores que gera
W ou um contra exemplo que mostre que W não é um espaço
vetorial.
16)
3
4
5
a b
a b
+
−
17)
1
6
2
a
a b
b a
− +
−
+
18)
a b
b c
c a
b
−
−
−
19)
4 3
0
2
a b
a b c
c a
+
+ +
−
20) Determine se o conjunto V de todas as matrizes
0
a b
d
é um
subespaço de 2 2M × .
122 Álgebra Linear 1
Nos exercícios 20-31 determine quais conjuntos formam uma
base para 2� ou 3� . Os conjuntos que não formam uma base,
determinar se são LI ou LD e quais geram 2� ou 3� .
21)
3
2
e
7
5
−
.
22)
4
0
,
1
1
−
e
3
5
−
.
23)
1
3
−
,
4
12
−
e
2
6
−
.
24)
4
6
−
e
6
9
−
.
25)
1
0
0
,
1
1
0
e
1
1
1
. 26)
1
0
1
,
0
0
0
e
0
1
0
.
27)
1
0
2
−
,
3
2
4
−
e
3
5
1
−
−
. 28)
2
2
1
−
,
1
3
2
−
e
7
5
0
−
.
29)
1
3
0
−
,
2
9
0
−
,
0
0
0
e
0
3
5
−
. 30)
1
2
3
−
e
4
5
6
−
−
.
31)
2
3
0
−
e
6
1
5
−
. 32)
1
4
3
−
,
0
3
1
−
,
3
5
4
−
e
0
2
2
−
.
Encontre bases para os espaços coluna e nulo das matrizes dadas
nos exercícios 32-33.
33)
1 0 3 2
0 1 5 4
3 2 1 2
−
−
− −
34)
1 0 5 1 4
2 1 6 2 2
0 2 8 1 9
−
− − −
−
35) Encontre as dimensões dos espaços coluna e nula da matriz
3 6 1 1 7
1 2 2 3 1
2 4 5 8 4
A
− − −
= − −
− −
.
Para os exercícios 35-40 encontre a base e a sua respectiva dimen-
são.
36)
2
: ,
3
x y
x y x y
y
−
+ ∈
� 37)
4
3 : ,
x
x x y
y
− ∈
−
�
38)
2
: , ,
3
2
z
x y
x y z
y z
x y
− ∈
−
+
� 39)
2
: ,
3
x y
x
x y
x y
y
+
∈
−
−
�
40)
4 2
2 5 4
: , ,
2
3 7 6
x y z
x y z
x y z
x y
x y z
− −
+ − ∈
− +
− + +
�
41)
3 6
6 2 2
: , ,
9 5 3
3
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
+ −
− − ∈
− + +
− + +
�
42) Determine os conjuntos que geram cada um dos 4 subespaços
fundamentais associados com
1 2 1 1 5
2 4 0 4 2
1 2 2 4 9
A
= − − −
.
43) Considere o sistema de equações lineares
m nA x b× = . a) Ex-
plique porque Ax b= se e somente se ( )Imb A∈ . b) Explique
porque um sistema consistente Ax b= tem solução única se e
somente se ( ) { }0N A = .
44) Suponha que A é uma matriz 3 3× tal que
( )
1 1
Im 2 , 1
3 2
A
= −
e ( )
2
1
0
N A
−
=
, e considere o sistema
linear Ax b= tal que
1
7
0
b
= −
. a) Explique porque Ax b= deve
ser consistente. b) Explique porque Ax b= não tem solução úni-
ca.
45) Sejam
1 1 1 2 1
1 0 3 4 2
1 0 3 5 3
1 0 3 6 4
1 0 3 6 4
A
− −
− −
= − −
− −
− −
e
2
5
6
7
7
b
−
−
= −
−
−
. ( )Imb A∈ ?
Álgebra Linear 1 125
46) Suponha que A é uma matriz n n× . a) Se ( )Im nA = � , expli-
que porque A deve ser não singular. b) Se A é não singular, des-
creva os seus quatro subespaços fundamentais.
47) Considere as matrizes
1 1 5
2 0 6
1 2 7
A
=
e
1 4 4
4 8 6
0 4 5
B
−
= −
−
. a) A e
B tem o mesmo espaço linha? b) A e B tem o mesmo espaço
coluna? c) A e B tem o mesmo espaço nulo? d) A e B tem o
mesmo espaço nulo a esquerda?
Determine quais dos conjuntos dados nos exercícios 48-51 são LI.
48)
1 2 1
2 , 1 , 5
3 0 9
49) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 3 , 0 4 5 , 0 0 6 , 1 1 1
50)
3 1 2
2 , 0 , 1
1 0 0
51)
1 0 0 0
2 2 2 2
0 0 1 0
, , ,4 4 4 4
0 1 0 0
3 3 3 3
0 0 0 1
52) Considere a matriz
2 1 1 0
4 2 1 2
6 3 2 2
A
=
. a) Determine o maior
subconjunto LI das colunas de A . b) Determine o número total
126 Álgebra Linear 1
de subconjuntos que podem ser construídos a partir das colunas
de A .
53) Suponha que em uma população de um milhão de crianças a
altura de cada uma delas aos 1 ano, 2 anos e três anos de idade, e
esses dados são acumulados na matriz
11 12 13
21 22 23
1 2 23
1 2 3crianças/idade
#1
#2
# i i
h h h
h h h
H
h h hi
=
� � ��
� � ��
.
Explique porque há no máximo três “crianças independentes” no
sentido de que as alturas de todas as outras crianças devem ser
uma combinação linear desses três.
54) Determine se o conjunto de matrizes a seguir é ou não LI.
1 0 1 1 1 1 1 1
, , ,
0 0 0 0 1 0 1 1
.
4 Transformações Lineares
Como o próprio nome já diz, transformar objetos. Mas o que
significa transformar linearmente? Por exemplo, quando nós ex-
pandimos o icosaedro aconteceu uma transformação. Transfor-
mamos o icosaedro original (que estamos trabalhando desde o
capítulo 1) num icosaedro onde suas arestas são maiores. Poderí-
amos ter diminuído o icosaedro, ou simplesmente mantermos o
tamanho dele, para isso bastaria que a constante k fosse igual a 1 .
Mas será que essa transformação do icosaedro seria linear? Isto é,
dado um icosaedro, o qual a matriz das coordenadas é A , a sua
transformação, ( )T A kA= (expansão do icosaedro), é uma trans-
formação linear?
Para que a transformação seja linear, basta verificarmos duas
propriedades: a) se a transformação da soma de dois icosaedros é
igual à soma das transformações desses icosaedros; b) se a trans-
formação do icosaedro multiplicado por um escalar é igual o esca-
lar multiplicado pela transformação. Essas duas propriedades
caracterizam a linearidade.
128 Álgebra Linear 1
Formalmente, ( ) ( ) ( )1 2 1 2T A A T A T A+ = + e ( ) ( )T cA cT A= ?
Aplicando a transformação, temos que ( ) ( )1 2 1 2T A A k A A+ = + .
Mas como ( )1 2 1 2k A A kA kA+ = + , e ( ) ( )1 2 1 2kA kA T A T A+ = + .
Também temos que ( )T cA ckA= , isto é, ( ) ( )T cA cT A= . Na figu-
ra a seguir, podemos visualizar a transformação da soma de dois
icosaedros.
Vamos definir a seguir, formalmente, o que transformação li-
near.
Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma trans-
formação linear é uma função de V em W , :F V W→ , que satis-
faz as condições:
i. Quaisquer que sejam u e v em V , ( ) ( ) ( )F u v F u F v+ = +
Figura 4.1: Transformação linear da soma de dois icosaedros.
Álgebra Linear 1 129
ii. Quaisquer que sejam k ∈� e v V∈ , ( ) ( )F kv kF v= .
Vamos ver algumas funções e verificar se elas são ou não
transformações lineares.
Seja e V W= =� � , :F →� � , v av
ou ( )F v av= . Pela
primeira condição, ( ) ( ) ( ) ( )F u v a u v au av F u F v+ = + = + = + .
Pela segunda condição temos que ( ) ( ) ( ) ( )F kv a kv k av kF v= = = .
Portanto, F é uma transformação linear. O gráfico desta função é
uma reta que passa pela origem.
Será que uma função quadrática é uma transformação linear?
Aprendemos desde o primeiro ano do ensino médio que uma
função quadrática (como o próprio nome sugere) não é linear.
Veremos o porquê. Seja 2v v
ou ( ) 2F v v= . Logo, pela primeira
condição temos que ( ) ( )2 2 22F u v u v u uv v+ = + = + + . Mas
( ) ( ) 2 2F u F v u v+ = + . Logo, a primeira condição não é satisfeita e
esta função não é uma transformação linear.
Suponhamos agora uma transformação que vai do espaço bi-
dimensional para o espaço tridimensional. Sejam 2 3,V W= =� � ,
2 3:F →� � tal que
2
0
x
x
y
x y
+
.
130 Álgebra Linear 1
Pela primeira condição temos dois vetores tais que 1
1
x
u
y
=
e
2
2
x
v
y
=
onde ,i ix y ∈� . Aplicando a transformação da soma,
temos que
( ) 1 2 1 2
1 2 1 2
x x x x
F u v F F
y y y y
+
+ = + = = +
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 2
2 2 2
0 0 0
x x x x
F u F v
x x y y x y x y
+
= = + = +
+ + + + +
.
Agora, pela segunda condição,
( ) ( )
2 2
0 0
kx x
x kx
F kv F k F k kF v
y ky
kx ky x y
= = = = =
+ +
.
Portanto, F é uma transformação linear.
Numa transformação linear, ao aplicarmos o vetor nulo, o re-
sultado tem que ser o vetor nulo, isto é, ( )0 0T = . Se isso não
acontecer, isto é, ( )0 0T ≠ , então a T não é linear. Mas ( )0 0T =
não é suficiente para que T seja linear. É necessário fazer o teste
das duas condições.
Agora vamos verificar se a derivada de uma função polinomi-
al é uma transformação linear. Seja
nP o espaço dos polinômios
Álgebra Linear 1 131
de grau menor ou igual a n , e 1: n nD P P −→ , f f ′
, a função
derivada. Das propriedades do cálculo temos que
( ) ( ) ( )D f g D f D g+ = + e ( ) ( )D kf kD f= , que é exatamente as
duas condições de linearidade.
Sejam n� e m� os espaços n-dimensional e m-dimensional.
Seja
mxnA uma matriz. Seja a função :
n m
AL →� � , tal que
v Av
, onde
1
n
x
v
x
=
� , ou seja, ( )
1 1
A
n n
x y
L v A
x y
= =
� � . Pela pri-
meira condição, e aplicando as propriedades de matrizes, temos
que ( ) ( ) ( ) ( )A A AL u v A u v Au Av L u L v+ = + = + = + . Pela segunda
condição, temos que ( ) ( ) ( ) ( )A AL kv A kv k Av kL v= = = . Portanto,
AL é uma transformação linear.
4.1 Transformações do plano no plano
Algumas idéias apresentadas aqui, no plano, já foram discuti-
das anteriormente. Assim, fica mais fácil a visualização das mes-
mas.
A primeira transformação que veremos é a multiplicação por
um escalar, isto é, expansão, contração ou reflexão na origem,
132 Álgebra Linear 1
dependendo do valor deste escalar. Sejam então 2 2:T →� � , e
a ∈� , tal que v av
ou
x x
T a
y y
=
.
No primeiro caso 1a ≥ temos a expansão uniforme, como
mostra na figura a seguir.
v
x
y
T
( )T v
v
x
y
Figura 4.2: Expansão.
Figura 4.3: Janela do Windows.
Álgebra Linear 1 133
Uma comparação é feita usando janelas do Windows. Quan-
do aumentamos ou diminuímos uma janela é como se tivéssemos
aplicando uma transformação linear do plano no plano. Outros
movimentos de janelas no sistema Windows podem ser compara-
dos com as próximas transformações.
No caso em que 0 1a< < temos a contração uniforme, como
mostra na figura a seguir.
v
x
y
T
( )T v
v
x
y
Figura 4.4: Expansão da janela do Windows.
Figura 4.5: Contração.
134 Álgebra Linear 1
No caso de 1a = , então T transforma v nele mesmo. Se
0a = , então T leva v na origem, qualquer que seja o v .
No caso de termos 1a = − então a reflexão é em torno da o-
rigem, como mostra na figura a seguir.
Observamos que podemos escrever qualquer transformação
linear em forma matricial, isto é, a transformação
x x
a
y y
→
pode ser reescrita como
0
0
x a x
y a y
→
.
Outra transformação do plano no plano é a reflexão em tor-
no do eixo Ox . Seja 2 2:T →� � , tal que
x x
y y
→
−
ou
1 0
0 1
x x
y y
→
− −
.
v
x
y
T
v
x
y
( )T v
Figura 4.6: Reflexão em torno da origem.
Álgebra Linear 1 135
Queremos agora fazer uma rotação de oθ do vetor v , no
sentido anti-horário.
Temos que o ângulo do vetor eR é α θ+ . Logo,
( )cos x
r
α θ ′+ = . Assim, temos que ( )cosx r α θ′ = + , ou seja,
cos cos sen senx r rα θ α θ′ = − . Mas cosr xα = e senr yα = ,
v
x
y
T
v
x
y
( )T v
v
x
y
T
v
θ
( )R vθ
x
y
α
x x´
y
y´
Figura 4.7: Reflexão em torno do eixo x .
Figura 4.8: Rotação.
136 Álgebra Linear 1
então cos senx x yθ θ′ = − . De forma análoga, temos que
cos seny y xθ θ′ = + .
Logo, ( ) ( ), cos sen , cos senR x y x y y xθ θ θ θ β= − + , ou, em
notação matricial,
cos sen cos sen
cos sen sen cos
x x y x
y y x y
θ θ θ θ
θ θ θ θ
− −
= +
,
onde a matriz
cos sen
sen cos
θ θ
θ θ
−
é chamada de matriz rotação.
Faça o esboço do gráfico considerando
2
piθ = .
Outra transformação do plano no plano é o cisalhamento ho-
rizontal. Sejam
x x ay
T
y y
+
=
, e a ∈� , então o cisalhamento
é dado por
1
0 1
x x ay a x
y y y
+
=
. A representação geomé-
trica é apresentada na figura a seguir.
v
x
y
T
v
x
y
( )T v
Figura 4.9: Cisalhamento horizontal.
Álgebra Linear 1 137
Verifique se a função T , dada a seguir, é uma transformação
linear.
, ,
x x a
T a b
y y b
+
= ∈ +
� ,
1 0
0 1
x x a x a
y y b y b
+
= + +
.
4.2 Exercícios
1) Qual é a matriz que representa o resultado das seguintes duas
transformações em 3� ?
a) reflexão no plano xy ;
b) giro em torno do eixo Oz , de 45º no sentido de Oy (positivo) para
Ox (positivo).
2) Quais os vetores ( )* *,x y não nulos em 2� , que ao sofrerem a
aplicação de cisalhamento ( ) ( ), , / 3T x y x x y= + ficam ampliados ou
reduzidos (na mesma direção)?
3) Encontre a transformação linear 32:T M → � tal que
( )1 0 2,0,50 0T
=
, ( )1 1 0, 1,30 0T
= −
, ( )1 1 3,0,0
1 0
T
=
e
( )1 1 1,0, 2
1 1
T
= −
.
4) Determine se as transformações a seguir são lineares
2 2:T →� � .
Leo
Note
transformação linear exercícios.nullnull
138 Álgebra Linear 1
a) T(x, y) = (x + 2y, xy); b) T(x, y) = (x + 2y, x − y);
c) T(x, y) = (x2 + 2y, y); d) T(x, y) = (x + 2y, 0);
e) T(x, y) = (x + 2, 2x − y).
5) Seja :T V W→ . A definição correta para o núcleo de T é:
a) ( ){ }| 0w W T w∈ = ; b) ( ){ }| 0w W T w∈ = ;
c) ( ){ }| 0v V T v∈ = ; d) ( ){ }| 0v V T v∈ = .
6) Seja nP o espaço vetorial dos polinômios de grau máximo menor
ou igual a n . Verifique quais aplicações a seguir são lineares:
a) 4 4:T P P→ definida por ( )( )( ) ( )1T P x P x= + ;
b) 2 2:T P P→ definida por ( )( )( ) ( ) 1T P x P x= + ;
c) 2:T P → � definida por ( )( ) ( ) ( )( )0 1 / 2T P P P= + .
d) 2 2:T P P→ definida por ( )( )( ) 2T P x cx ax b= + + se
( ) 2P x ax bx c= + + ;
(e) 5 5:T P P→ definida por ( )( )( ) ( ) 2T P x P x= + .
7) Determine o núcleo, a imagem e suas respectivas dimensões de:
a) 3 5:T →� � onde
( ) ( ), , , 2 ,3 2 2 , 2 ,2T x y z z x y x z x y y x y z= − + − + − − ;
b) 3 4:T →� � , onde ( ) ( ), , , , ,T x y z x y y z y x y z= − − − − + ;
c) 3 3:T →� � , onde ( ) ( ), , , 2 , 2T x y z x y z x y z= − + + ;
d) 4 3:T →� � , onde
( ) ( ), , , , 2 , 2 2T x y z w x z w y x x y z aw= + + − + + + com a ∈� ;
e) 3 4:T →� � , onde
( ) ( ), , 2 , , 4 , 2 2 2T x y z x y z y z x y z x y z= − + − − + − + ;
f) 4 3:T →� � , onde
( ) ( ), , , 3 , 2 ,3 2T x y z w x y z w x y z w x w= − + − + − + − ;
Álgebra Linear 1 139
g) 5 3:T →� � , onde
( ) ( ), , , , 3 , , 4T a b c d e a b c c d b a c d= − + − + + − .
8) Considere 3 2:T →� � dada por
( ) ( ), , 4 2 , 2 / 2T x y z x y z x y z= − + − + − .
a) Determine se ( )1, 2 pertence a ( )Im T .
b) Determine a dimensão e uma base para o ( )N T .
9) Determine quais das funções a seguir são transformações linea-
res sobre 2� .
a) ( ) ( ), ,1T x y x y= + b) ( ) ( ), 0,T x y xy=
c) ( ) ( ), ,T x y y x= d) ( ) ( )2 2, ,T x y x y=
e) ( ) ( ), ,senT x y x x= f) ( ) ( ), ,T x y x y x y= + −
10) Para n nA ×∈� , determine quais das seguintes funções são trans-
formações lineares.
a) ( )n nT X AX XA× = − . b) ( )1nT X Ax b× = + , 0b ≠ .
c) ( ) TT A A= . c) ( ) ( ) / 2Tn nT X X X× = + .
11) Seja :T V W→ uma função. a) Explique porque se T é uma
transformação linear então ( )0 0T = . b) Explique o porque ( )0 0T ≠
é suficiente para garantir que T não é uma transformação linear.
12) Qual é a transformação linear 3 2:T →� � tal que
( ) ( )1,0,0 2,0T = , ( ) ( )0,1,0 1,1T = e ( ) ( )0,0,1 0, 1T = − .
13) Qual é a transformação linear do plano no plano que é uma re-
flexão em torno da reta y x= − ? Faça a representação matricial.
Leo
Note
parei aqui 24/11 continuar para a prova terça feiranullnull
140 Álgebra Linear 1
14) Qual é a transformação linear do plano no plano que é uma re-
flexão em torno da reta y x= ? Faça a representação matricial.
15) Qual é a transformação linear do plano no plano que representa
o cisalhamento vertical? Faça a representação matricial.
16) Qual matriz tem o efeito de rotacionar qualquer vetor em 090 e
então projetar o resultado sobre o eixo Ox ?
17) A matriz
2 0
0 1
A =
produz uma extensão horizontal. Desenhe a
circunferência 2 2 1x y+ = e esboce em torno dela os pontos ( )2 ,x y
que resultam da multiplicação por A . Qual é a forma da curva?
18) A matriz
1 0
3 1
A =
retorna uma transformação de cisalhamento
vertical. Faça um esboço gráfico aplicando os vetores ( )1,0 , ( )2,0 ,
( )1,0− , ( )1,1 e ( )1, 1− na transformação. O que acontece com os
eixos Ox e Oy ?
19) Quais matrizes 3 por 3 que representam as transformações onde:
a) projeta qualquer vetor sobre o plano xy ? b) reflete qualquer vetor
através do plano xy ? c) gira o plano xy em 090 , fazendo com que o
eixo Oz fique isolado?
Álgebra Linear 1 141
4.3 Questões de vestibular
1) (UFF 94) Considerando a transformação linear 3 3:T →� � ,
com ( ) ( )1,0,0 1,0,0T = , ( ) ( )0,1,0 0,1,0T = e ( ) ( )0,0,1 0,0,0T = ,
pode-se afirmar que ( )300,500,700T é igual a:
a) (300 ,700, 0); b) (300, 500, 0); c) (0, 300, 700);
d) (700, 0, 500); e) (500, 700, 0).
2) No gráfico a seguir está representada uma circunferência de
raio R centrada na origem, na qual foram destacados os pontos
M , N e P . Considere a transformação 2 2:T →� � tal que
( ) ( ), ,T x y y x= − .
Se ( ) 1T M M= , ( ) 1T N N= e ( ) 1T P P= , o gráfico que melhor
representa 1M , 1N e 1P é:
x
P
M
N
R
142 Álgebra Linear 1
x
P1
M1
N1
R
y
x
N1
R
P1
y
M1
x
P1 M1
R
y
N1
x
P1
M1
N1
R
y
x
P1
R
y
M1
N1
a) b) c)
d) e)
3) (ESFAO 92) Seja 2:T →� � a transformação linear para a
qual ( )1,1 3T = e ( )0,1 2T = − . Determine ( ),T a b .
a) ( ), 4 3T a b a b= + b) ( ), 6 3T a b a b= − c) ( ), 5 2T a b a b= −
d) ( ), 2T a b a b= − e) ( ), 2 3T a b a b= +
4) (UFF 93) Considere 2 2:f →� � a transformação linear tal
que
( ) ( )
( ) ( )
1,1 1,3
1, 1 3,3
f
f
=
− =
.
A imagem de ( )0,1 , por f , é:
Álgebra Linear 1 143
a) (2,-1) b) (3,0) c) (2,3) d) (0,-1) e) (-1,0)
5) (UFRJ 91) Considere o triângulo T da figura a seguir.
Se outro triângulo T ′ , definido do seguinte modo: a cada ponto
( ),x y de T está associado um ponto ( ),x y′ ′ de T ′ pela equação:
4 4
0 1
x x
y y
′
=
′
.
Determine a área do triângulo T ′ .
6) (UERJ) Considere as transformações do plano definidas por:
( ) ( )1 , ,T x y y x= , ( ) ( )2 , ,T x y y x= − , ( ) ( )3 , 2 , 2T x y x y= . 1T , 2T e
3T são, respectivamente:
a) homotetia, simetria, rotação;
b) rotação, simetria, homotetia;
c) rotação, rotação, homotetia;
d) simetria, rotação, homotetia;
1 -1
2
x
y
T
144 Álgebra Linear 1
e) simetria, simetria, homotetia.
7) (PUC) A matriz
0
0
pi
pi
representa, na base canônica do 2� ,
a aplicação linear 2 2:T →� � tal que:
a) multiplica por pi cada vetor;
b) gira de pi cada vetor, no sentido horário;
c) gira de pi cada vetor, no sentido anti-horário;
d) leva ( ),x y em ( ),x ypi pi+ + .
e) ( )0 0T = .
Álgebra Linear 1 145
5 Referências
1) Anton, Howard A. Elementary Linear Algebra Vol 2.
Santos, Reginaldo J., Álgebra Linear e Aplicações – UFMG 2004.
2) Orellana, Carlos M. A. D., Álgebra Linear I – Notas de aula –
– UERJ 2002.
3) Lipson, Seymour Lipschuts Marc, Shaums Easy Outlines of
Linear Algebra, 2002
4) Paulino, Petronio, Álgebra Linear e suas Aplicações – Notas
de aula – Unicamp 2008
5) Steinbruch, Alfredo, Winterle, Paulo, Álgebra Linear 2ª
edição – Pearson Makron Books.
6) Lay, David C., Linear Algebra and its Application, Addison-
Wesley Publishing Company, 1994.
7) Meyer, Carl D., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra,
SIAM.
8) Strang, G., Linear Algebra and its Applications, terceira
edição, Harcourt College Publishers.Mais conteúdos dessa disciplina
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