calc30001

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08S: As questões devem ser justificadas.
18 QUESTÃO: Considere a EDO y" + 2y' = O.
a) Resolva-a usando séries de potências em tomo de um ponto ordinário da EDO.
b) Considerando que ao resolver a EDO pelos métodos tradicionais obtém-se a solução
y(x) == A + Be-2r , em que A e B são constantes arbitrárias, verifique que essa solução e a do item a
são equivalentes. Dado: i = f.t;.
n.
n-O
28 QUESTÃO: Em cada item faça o que se pede:
A) Determine e Classifique todos os pontos singulares para a equação
x3(X + 2)2(X -l)y"- (x + 2)y'+ 3y = O.
11
B) Use propriedades da função Gama e calcule r(\6) em termos de n!) = 4,551. Obtenha L'{3t"5}.
. d y _ y _ ~. (-1)" (~)211+P
C) Verifique que dx [x Jy(x)]- X JY_l(X) , sabendo que Jp(x) - ~ r(n + l)r(p+ n + 1) 2 '
(Sugestão: Derive o membro esquerdo antes de substituir Jv).
38 QUESTÃO: Considere a EDO de Bessel de ordem v , dada por X2 y "+ xy '+ (x2 - y2)y == O.
Escolha valores reais de y que ilustrem os possíveis tipos de soluções da equação de Bessel. Para
cada valor escolhido escreva a solução geral da equação em termos de funções de 8essel de primeira
espécie (J p(x)) e de segunda espécie (Yp(x)). Quando a solução pode ser expressa em termos de
funções de Bessel LI de primeira espécie, escreva a solução usando a função de Bessel dada no
exercício 2C Explique seu raciocínio.
48 QUESTÃO: Use transformada de Laplace para resolver o PVI
y"-lOy'+ 25y ==t2e51; y(O) == 2, y'(O) = 10.
53 QUESTÃO: Calcule as transformadas a seguir:
a) L'{(t+3)Zlo(t)} b) .e-l{ ;e-S}.
s -9
c) .e-l{ 2 s 1.
s -4s +51
6" QUESTÃO: Em cada item faça o que se pede.
A) Use a definição de transformada de Laplace para mostrar que L:{f(kt)} = t F( Z), k > O,
especificando o domínio da transformada. Expresse a transformada inversa para .c-1{F(Z)}.
Aplique o resultado para encontrar .c-I{2n:~~ !}.
s'
rt seü::;t<l
B) Represente a função j(t) = ~2 se 1::; t < 2, por uma única expressão, com o uso da função degrau
l4-tset~2
unitário e calcule L'{f(t)}.
~=======================================================================
Parte 2
13 QUESTÃO: (2,5) A EDO de Bessel de ordem zero é x2y"+ ~;'+ x2y = O.
a) Mostre que x = O é um ponto singular regular da EDO;
b) Mostre que as teizes da equação indicial são 'í = 'í = O;
ee ( I)" 2n
c) Mostre que uma solução para x> O é Jo(x) = 1+I ~x ') ;
n=121l(n!)-
d) Mostre que a série Jo(x) converge para iodo x.
d) EXPLIQUE qual a forma de uma segunda solução LI da EOO e como obtê-Ia.
22 QUESTÃO: (2,5) A EDO de Legendre é dada por (1- X2)yll_ 2xy'+a(a + l)y = O, para a>-l
ee
a) Explique porque a EDO apresenta solução gera! da forma y(x) = I anxll = aOYl(x) + aIY2 (x) , onde Qo
1/-0
e QI são arbitrários e YI e Y2 são duas soluções analíticas em algum intervalo 1 = (-r, r), r E R .
b) Mostre que basta considerar a restrição a> -1 (no enunciado), pois, se a::; -1, então a
substituição a = -(r +1), r ~O, leva à equação de Legendre (1- x2)y 11 - 2xy'+ y(Y+ l)y = O.
c) Determine o maior valor possível do raio de convergência r, mencionado no item a.
d) É possível mostrar que duas soluções da EDO de Legendre são
YICx)=l a(a;l) x' + a(a-2)(a; l)(a+ 3) x4 +IC-I)"' a ..·(a-2m+2)(a+l) ..·(a+2m-l) x2m e,
2. 4. >11=3 (2m)l
(x) (a-l)(a+2) 3 (a-1)(a-3)(a+2)(a+4) 5 ~(1)" (a-l) ...(a-2m+l)(.a+2) ...(a+2m) 2m+1
Y2 X = X ,x + X +L. - x. 3.· ... 5! - . iiF3 (2m+1)!. ____ __. _
Considerando a informação acima é possível concluir também, que se a é um inteiro não negativo, as
soluções YI e )'2 dadas são polinôrnios. Encontre esses polinômios correspondentes aos valores
inteiros de aE {O,1,2,3,4,5}.
e) Sabendo que o polinômio de Legendre Pn(x) é definido como a solução polinomial da EDO de
Legendre com a= 17, que satisfaz também a condição P"(l) = 1, use o resultado do item d para
encontrar os três primeiros polinômios de Legendre contendo apenas potências pares.
'!
rx:/
_ .... -- .... ------. ---rr .----
=----
38 QUESTÃO.(1 ,O) Verifique que :Ix [XVJveX)] = XVJV-lex), sabendo que
Jp(x) = ta r(n + l)~tr+ n + 1) (1-t"'"P , (Sugestão: Derive o membro esquerdo antes de substituir Jv)'
48 QUESTÃO: (2,0) Use transformada de Laplace para resolver o PVI
{
I se 5:St < 20
y'+ 2y'+ Y = f(t) y(O) = O, y'(O) = O, sabendo que f(t) = .
O se o:::; t < 5 e t z 20
Expresse a solução sem o uso da função degrau unitário.
58 QUESTÃO: (vale 2,0 )
A) Calcule as transformadas a seguir.
a) L'{(2t+6)u:,(t)} b) L'{tS/2+cos22t} dado que r(1)=.Jn
B) Enuncie as formas inversas dos dois teoremas de translação e ilustre-as com um exemplo para cada,
resolvendo o exemplo.
===============================================================================
Dados: No que se segue F(8) = L'{f(t)} .
10 teorema de translação L'{eat t( t)} = F( 8 - a)
2° teorema de translação L'{J(t - a)Zla (t)} = e" F(8)
Transformada da derivada: L'{J(n)(t)} = s" F(8) - 8,,-1f(O) _ ... _ /,,-1)(0)
Algumas transformadas básicas
1
L'{l}=-, 8>0
s
L'{-ta} = na + 1) 8> O,a > -1
a+1 ,
8
,s>a
kL'{ sen 1.,-t} = 2 2
8 + k
8
L'{ cos kt} = 2 2
8 +k