CIII-Aula15_IntegraisDeLinha

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Aula 15 
Integrais de Linha 
 
 
GEX 108 – Cálculo III 
Profª Evelise 
1 
Integral de Linha: 
• Semelhante a uma integral unidimensional 
• Ao invés de efetuar a integração sobre intervalo [a,b], a 
integração será efetuada sobre uma curva paramétrica C. 
• Criadas no começo do século XIX para resolver 
problemas relacionados a: 
 Escoamentos 
 Eletromagnetismo 
 Forças 
• Ideia geométrica da integral de linha: Encontrar a massa 
de um arame. *Lousa! 
 2 
Integral ao longo de uma curva 
3 
Cálculo da integral de linha 
• Não é factível efetuar o cálculo diretamente de (3) ou (4) 
• Tentaremos expressar uma integral de linha como uma 
integral comum, já conhecida por nós. 
• Para relacionar ambas as integrais, faremos, em 2D: 
 
 
 
• Analogamente, para o espaço 3D: 
 
4 
Lembre-se que s 
era integral da 
norma da 
derivada! 
Exemplo 01: 
• Usando a parametrização dada por 
 
 0 ≤ t ≤ 1 
 
Calcule a integral de linha: 
 
 
 
 
 
*lousa 
5 
: ( ) 2C r t ti tj 
2(1 )
C
xy ds
Notação alternativa para integral: 
• Levando em conta outra forma de calcular ||r’(t)||, podemos 
escrever, para o caso 2D: 
 
 
 
 
• Para o caso 3D: 
6 
Integral de Linha em relação a x, y e z: 
• OBJETIVO: trocar o ds por dx, dy ou dz. Basta fazer, no caso 
2D: 
 
 
 
 
 
 
• Análogo para o caso 3D 
• Agora, importa a orientação da curva. 
 
7 
* *
0
1
( , ) lim ( , )
n
k k k
C s
k
f x y dx f x y x
 

 
* *
0
1
( , ) lim ( , )
n
k k k
C s
k
f x y dy f x y y
 

 
Exemplo 02: 
Calcule a integral de linha: 
 
 
 
onde C é o segmento de reta ligando (0,0) e (1,2) para os casos: 
a) C está orientada de (0,0) para (1,2), de acordo com a 
parametrização: C: x=t e y=2t para 0 ≤ t ≤ 1 
b) C está orientada de (1,2) para (0,0), de acordo com a 
parametrização: C: x=1-t e y=2-2t para 0 ≤ t ≤ 1 
 
*lousa 
8 
(3 )
C
xy dy
Resumindo: Mudança de orientação 
 
 
9 
Sinal muda! 
Sinal muda! 
Sinal NÃO muda! 
Integrais combinadas: 
 
• Numa mesma expressão, é efetuada uma 
integração em relação a x e em relação a y. 
• Neste caso, aplicamos a propriedade da 
integral da soma: 
 
10 
Exemplo 03: 
Calcule a integral de linha: 
 
 
 
Ao longo do arco circular C dado por 
 x=cos(t) e y=sen(t) para 0 ≤ t ≤ π/2 
 
*lousa 
11 
2 22 ( )
C
xydx x y dy 