2ª Lista

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2a Lista : Os Nu´meros Inteiros. Disciplina: Aritme´tica e A´lgebra (14/fev./2011).
1. (Cuidado: em (N,+, .) na˜o temos a propriedade elemento oposto )
(a) Sejam a, b, c, d ∈ N tais que b ≤ a e d ≤ c. Prove que
a− b = c− d⇐⇒ a + d = b + c.
(b) Sejam a, b, c ∈ N tais que a + b = a + c. Prove que: b = c. (Lei do Cancelamento da Adic¸a˜o). (Dica: Usar o Pr´ıncipio da
Induc¸a˜o Finita).
2. Demonstrar as propriedades: associativa, comutativa, elemento neutro, elemento oposto e lei do cancelamento para a operac¸a˜o
Adic¸a˜o (+) em Z. (Cuidado: voceˆ apenas pode usar a definic¸a˜o de Z, a definic¸a˜o de (+) em Z e propriedades va´lidas para (+) de
N, a saber: associativa, comutativa, elemento neutro e lei do cancelamento).
3. Mostre a unicidade do elemento neutro para a adic¸a˜o (+) definida em Z. Ainda, mostre que se m ∈ Z enta˜o existe um u´nico n ∈ Z
tal que m + n = 0.
4. Esboce “geometricamente”a partic¸a˜o
N× N
∼ de N× N.
5. Verifique se as propriedades: associativa, comutativa, elemento neutro, elemento oposto e lei do cancelamento sa˜o va´lidas para
a operac¸a˜o Subtrac¸a˜o (-) em Z.(Cuidado: voceˆ apenas pode usar a definic¸a˜o de Z, a definic¸a˜o de (+) em Z e propriedades va´lidas
para (+) de N).
6. Demonstrar as propriedades: associativa, comutativa, elemento identidade, anulamento do produto e distributiva para a operac¸a˜o
Multiplicac¸a˜o (.) em Z. (Cuidado: voceˆ apenas pode usar a definic¸a˜o de Z, a definic¸a˜o de (+) em Z e propriedades va´lidas para (+)
e (.) de N).
7. Sejam m,n ∈ Z quaisquer. Definimos a seguinte relac¸a˜o:
m ≤ n⇔ ∃r ∈ Z+ : n = m + r.
Esta relac¸a˜o e´ de ordem parcial? E´ total?
Mostre que:
(a) m ≤ n⇒ m + p ≤ n + p, ∀p ∈ Z+;
(b) m ≤ n⇒ mp ≤ np, ∀p ∈ Z+.
Observac¸a˜o: Na verdade, as condic¸o˜es acima testam a compartibilidade de (+) e (.) com a relac¸a˜o de ordem ≤.
8. Seja a ∈ Z, qualquer. Definimos mo´dulo de a, |a|, da seguinte maneira:
|a| =
 a, se a ≥ 0−a, se a ≤ 0 .
Mostre que: ∀a, b ∈ Z,
(a) |a| = | − a|;
(b) −|a| ≤ a ≤ |a|;
(c) |ab| = |a||b|;
(d) |a + b| ≤ |a|+ |b|;
(e) |a| − |b| ≤ |a− b| ≤ |a|+ |b|.
9. Mostre que:
(a) a | a ∀a ∈ Z;
(b) Se a | b e b | a, enta˜o a = ±b;
(c) Se a | b e b | c, enta˜o a | c;
(d) Se a | b e a | c, enta˜o a | (bx + cy), ∀x, y ∈ Z;
(e) Se a | b enta˜o a | bx, ∀x ∈ Z;
1
(f) a | b⇔ |a|||b|;
(g) Se a = b + c e d | c, enta˜o: d | a⇔ d | b.
10. Sejam a, b ∈ Z. Definimos o mı´nimo mu´ltiplo comum entre a e b, mmc(a, b), como sendo um nu´mero inteiro m tal que: a|m, b|m e
ainda se m′ ∈ Z e´ tal que a|m′ e b|m′ enta˜o m|m′.
Mostre que:
(a) mmc(a, b) =
ab
d
, onde d = mdc(a, b);
(b) se a e b sa˜o primos entre si, enta˜o mmc(a, b) = ab.
11. Sobre o Algoritmo da Divisa˜o.
(a) Mostre que q e r determinados pelo Algoritmo da Divisa˜o sa˜o u´nicos.
(b) Demonstre o Algoritmo da Divisa˜o para o caso b < 0.
12. Demonstre a existeˆncia e unicidade do ma´ximo divisor comum de dois nu´meros inteiros a e b, mdc (a, b).
13. Sejam a, b ∈ Z. Mostre que se d = mdc (a, b), enta˜o existem x0, y0 ∈ Z tais que d = ax0 + by0.
14. Dizemos que dois nu´meros inteiros, a e b, sa˜o primos entre si (ou relativamente primos) se, e somente se, mdc (a, b) = 1. Mostre
que a e b, sa˜o primos entre si se, e somente se, existem x0, y0 ∈ Z tais que 1 = ax0 + by0.
15. Mostre que
(a) Se a | (bc) e mdc(a, b) = 1, enta˜o a | c;
(b) Se a e b sa˜o divisores de c 6= 0 e mdc (a, b) = 1, enta˜o (ab) | c.
16. Seja m ∈ {2, 3, 4, 5, . . . , n, . . .}. Mostre que
(a) a ≡ a(mod m), ∀a ∈ Z;
(b) se a ≡ b(mod m) enta˜o b ≡ a(mod m);
(c) se a ≡ b(mod m) e b ≡ c(mod m), enta˜o a ≡ c(mod m);
(d) se a ≡ b(mod m) e c ≡ d(mod m), enta˜o a + c ≡ b + d(mod m);
(e) se a ≡ b(mod m) enta˜o ac ≡ bc(mod m), ∀c ∈ Z;
(f) se a ≡ b(mod m) enta˜o ar ≡ br(mod m), ∀r ∈ N∗.
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