Lista2

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Estatística I
Lista de exercícios 2
Prof. MSc. João Vinícius de França Carvalho
ATENÇÃO: não é necessário entregar
Exercício 1:
Uma caixa contém 8 peças, das quais 3 são defeituosas, e uma caixa B contém 5 peças, das quais 2 são defeituosas. Uma peça é retirada aleatoriamente de cada caixa.
Classifique a variável de interesse.
Defina o espaço amostral. Qual é a distribuição de probabilidade mais apropriada para esta variável aleatória?
Qual é a probabilidade de que ambas as peças não sejam defeituosas?
Qual é a probabilidade de que uma das peças seja defeituosa?
Qual o valor esperado e a variância desta variável aleatória?
Exercício 2:
Os dados apresentados na Tabela 1, a seguir, mostram o padrão de mortalidade nos anos 2000 de uma população de 1 milhão de indivíduos nascidos vivos (de cada gênero)
Tabela 1 - Quantidade de pessoas vivas ao final de cada ano de idade, por gênero, no padrão norte-americano de sobrevivência.
	IDADE
	AT-2000M
	AT-2000F
	0
	9976890
	9982060
	1
	9967851
	9974524
	2
	9962827
	9970614
	3
	9958762
	9967722
	4
	9955207
	9965410
	5
	9951982
	9963526
	6
	9948986
	9961972
	7
	9946141
	9960667
	8
	9942878
	9959362
	9
	9939279
	9958027
	10
	9935403
	9956633
	11
	9931299
	9955160
	12
	9927019
	9953587
	13
	9922591
	9951895
	14
	9918047
	9950073
	15
	9913385
	9948113
	16
	9908617
	9946004
	17
	9903712
	9943737
	18
	9898661
	9941310
	19
	9893435
	9938726
	20
	9888003
	9935973
	21
	9882338
	9933051
	22
	9876418
	9929952
	23
	9870226
	9926675
	24
	9863741
	9923211
	25
	9856974
	9919569
	26
	9849936
	9915750
	27
	9842667
	9911754
	28
	9835206
	9907601
	29
	9827594
	9903291
	30
	9819889
	9898835
	31
	9812141
	9894252
	32
	9804399
	9889542
	33
	9796654
	9884716
	34
	9788905
	9879773
	35
	9781152
	9874685
	36
	9773386
	9869412
	37
	9765342
	9863905
	38
	9756827
	9858085
	39
	9747607
	9851875
	40
	9737440
	9845205
	41
	9726067
	9837998
	42
	9713209
	9830167
	43
	9698590
	9821635
	44
	9681957
	9812304
	45
	9663097
	9802070
	46
	9641857
	9790817
	47
	9618109
	9778412
	48
	9591756
	9764723
	49
	9562712
	9749607
	50
	9530868
	9732935
	51
	9496109
	9714559
	52
	9458315
	9694363
	53
	9417351
	9672201
	54
	9373108
	9647953
	55
	9325521
	9621460
	56
	9274557
	9592567
	57
	9220199
	9561103
	58
	9162434
	9526893
	59
	9101101
	9489672
	60
	9035846
	9449084
	61
	8966143
	9404683
	62
	8891294
	9355957
	63
	8810445
	9302329
	64
	8722623
	9243287
	65
	8626735
	9178427
	66
	8521592
	9107441
	67
	8405937
	9030110
	68
	8278503
	8946238
	69
	8138216
	8855318
	70
	7984241
	8756448
	71
	7816005
	8648402
	72
	7633204
	8529625
	73
	7435725
	8398346
	74
	7223421
	8252836
	75
	6996049
	8091485
	76
	6753384
	7912865
	77
	6495236
	7715756
	78
	6221579
	7499143
	79
	5932729
	7262081
	80
	5629401
	7003696
	81
	5312747
	6723338
	82
	4984371
	6420673
	83
	4646301
	6095787
	84
	4300979
	5749150
	85
	3951198
	5381739
	86
	3600082
	4995250
	87
	3251026
	4592223
	88
	2907617
	4176365
	89
	2573653
	3753270
	90
	2252945
	3330055
	91
	1949111
	2914687
	92
	1665369
	2515218
	93
	1404361
	2139062
	94
	1168021
	1792365
	95
	957491
	1479612
	96
	773112
	1203446
	97
	614447
	964679
	98
	480078
	761771
	99
	368042
	591876
	100
	276126
	451571
	101
	202059
	337330
	102
	143602
	245777
	103
	98599
	173791
	104
	64982
	118521
	105
	40783
	77350
	106
	24135
	47839
	107
	13303
	27697
	108
	6722
	14776
	109
	3050
	7114
	110
	1208
	3005
	111
	401
	1068
	112
	104
	300
	113
	19
	59
	114
	2
	6
	115
	0
	0
Faça os gráficos de sobrevivência (para todas as idades) para os dois gêneros. Descreva o que está acontecendo. (Faça no Excel)
Especificamente, qual a probabilidade de que um indivíduo do gênero masculino, ao nascer, atinja a idade de 65 anos? Repita este exercício para uma mulher. (faça à mão e confira no Excel).
Calcule a probabilidade de um indivíduo jovem do gênero masculino, de 20 anos de idade, sobreviver até os 80 anos. Repita o exercício para uma mulher de 20 anos. (faça à mão e confira no Excel).
Efeito Dercy Gonçalves: qual a probabilidade de uma homem de 90 anos chegar vivo aos 101 anos de idade? E uma mulher? (faça à mão e confira no Excel).
Exercício 3:
Em uma bolsa de mulher há 5 moedas de R$ 1,00 e 4 de R$ 0,50. Selecionam-se, ao acaso, 3 moedas.
Explicite a variável em questão e defina de que tipo ela é, bem como qual a distribuição mais apropriada para a sua modelagem de incertezas.
Explicite o espaço amostral.
Qual é a probabilidade de obtermos R$ 1,50?
Calcule a esperança e variância desta variável aleatória.
Exercício 4:
Futebol. Suponha que três jogadores do glorioso clube colorado Celeiro de Ases foi participar de uma disputa de pênaltis. A probabilidade de Diego Forlán acertar a sua penalidade é de 4/5. A probabilidade de Leandro Damião acertar é de 2/3. O pior cobrador é Dagoberto, com 1/2 de probabilidade.
Interprete estes valores numéricos. Como você poderia ter uma idéia de atribuição numérica para estas probabilidades (o nome técnico disso é estimação)?
Se cada jogador cobrar o pênalti apenas uma vez, qual é a probabilidade de:
Todos acertarem?
Apenas um acertar?
Todos errarem?
Quais foram as suas suposições para resolver o problema?
Exercício 5:
É razoável acreditar que provas de múltipla escolha é uma boa maneira de avaliar alunos? Vejamos... Suponha que uma prova contenha 20 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas cada. Todas as questões têm o mesmo valor (0,5 ponto). Para passar, o aluno precisa tirar, pelo menos, a nota 7,0.
Explicite a variável em questão e defina de que tipo ela é, bem como qual a distribuição mais apropriada para a sua modelagem de incertezas.
Defina o espaço amostral.
Suponha que, apesar de o professor ter avisado para estudar, um determinado aluno não estudou nada e o seu nível de conhecimento seja zero.
Qual a probabilidade de este aluno acertar cada questão? Por que você deu esta resposta?
Qual é a probabilidade de este sujeito conseguir passar na disciplina?
Calcule qual é a nota esperada, e o desvio-padrão associado, deste aluno na prova.
Suponha agora que um outro aluno, muito aplicado, seguiu a recomendação do professor para levar a sério e estudar. Ele estudou tanto que a probabilidade de ele acertar cada questão seja de 80%.
Qual é a probabilidade de este aluno conseguir passar na disciplina?
Calcule qual é a nota esperada, e o desvio-padrão associado, deste aluno na prova.
Ficaram convencidos de que prova de múltipla escolha pode avaliar de modo razoável?
Exercício 6:
Uma amostra aleatória de 12 pessoas foi selecionada. Cada indivíduo responde se prefere comprar uma garrafa de cerveja ou uma porção de provolone à milanesa. Assumindo que 80% preferem a cerveja, qual é a probabilidade de um grupo de 3 pessoas preferirem uma porção de provolone à milanesa?
Exercício 7:
Suponha que haja, em média, 2 suicídios por ano em uma população genérica de 50 mil pessoas. Estamos em uma cidade de 100 mil habitantes. Encontre a probabilidade de que, em um dado ano, tenha havido:
nenhum suicídio;
um suicídio;
dois suicídios;
dois ou mais suicídios.
ATENÇÃO: Para a resolução deste exercício, use duas distribuições de probabilidade distintas. Compare os resultados, deixando claras as suposições utilizadas.
Exercício 8:
Um distribuidor de gasolina tem capacidade de receber, nas condições atuais, no máximo 3 caminhões por dia. Se chegarem mais de 3 caminhões, o excesso deve ser enviado a outro distribuidor. Sabendo que, em média, chagam
diariamente 2 caminhões, qual a probabilidade de, em um certo dia, ter de enviar caminhões para outro distribuidor?
Exercício 9:
Em um cruzamento de duas avenidas de tráfego intenso, a probabilidade de um carro estar envolvido em um acidente é de 0,0001. Se entre as 17h e 19h passam 1000 veículos neste cruzamento, qual é a probabilidade de que dois ou mais acidentes ocorram neste período? 
ATENÇÃO: Para a resolução deste exercício, use duas distribuições de probabilidade distintas. Compare os resultados, deixando claras as suposições utilizadas.
Exercício 10:
Uma fábrica de pneus verificou que, ao testar seus pneus nas pistas, havia, em média, 1 estouro a cada 5000 km.
Qual a probabilidade de que, em um teste de 3000 km, haja no máximo 1 pneu estourado?
Qual a probabilidade de que um carro ande 8000 km sem estourar nenhum pneu?
Exercício 11:
Três alarmes estão dispostos de tal maneira que qualquer um deles funcionará independentemente quando qualquer coisa indesejável ocorrer. Se cada alarme tem probabilidade 0,9 de trabalhar de modo correto, qual é a probabilidade de se ouvir o alarme quando necessário?
Exercício 12:
Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem, respectivamente, 25%, 35% e 40% do total. Da produção de cada máquina, 5%, 4% e 2%, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se, ao acaso, um parafuso e verifica-se se é ou não defeituoso.
Qual a probabilidade de que este parafuso seja defeituoso?
Qual é a probabilidade de que este o parafuso tenha vindo da máquina A?
Qual é a probabilidade de que este o parafuso tenha vindo da máquina B?
Qual é a probabilidade de que este o parafuso tenha vindo da máquina C?
Exercício 13:
Em média, 5% dos produtos vendidos por uma loja são devolvidos. Qual a probabilidade de que, das próximas quatro unidades vendidas deste produto, duas sejam devolvidas?
Exercício 14:
Uma certa empresa tem 15.800 empregados, cujas características estão dispostas na Tabela 2, a seguir.
Tabela 2 - Distribuição dos empregados por gênero e faixa etária.
	 
	Homens
	Mulheres
	Total
	Menos de 25 anos
	2000
	800
	2800
	de 25 a 40 anos
	4500
	2500
	7000
	Mais de 40 anos
	1800
	4200
	6000
	Total
	8300
	7500
	15800
Se um empregado é selecionado ao acaso, calcule a probabilidade de:
um empregado com 40 anos ou menos;
um empregado mulher com 40 anos ou menos;
um empregado com mais de 40 anos e que seja homem;
uma mulher, dado que é um empregado com menos de 25 anos;
As duas variáveis de interesse têm a mesma classificação, qual?
Essas variáveis são independentes? Como se verifica?
Suponha agora que selecionamos para um tarefa dois funcionários ao acaso com reposição. Qual a probabilidade de que:
ambos sejam homens?
o primeiro tenha menos de 25 anos, e o segundo seja homem e tenha menos de 25 anos?
nenhum tenha menos de 25 anos?
Qual(is) é(são) a(s) implicação(ões) prática(s) da amostragem ser feita com reposição?
Exercício 15:
Considere a seguinte tabela 2x2:
correspondente a um certo estudo em que o interesse é avaliar a associação entre a exposição de indivíduos a um certo fator de risco e a ocorrência de certa moléstia. Em estudos prospectivos (prospective, follow-up, cohort), o planejamento envolve a escolha de amostras de tamanho n1. e n2. de indivíduos expostos e não expostos ao fator de risco, respectivamente e a observação da ocorrência ou não da moléstia após um certo intervalo de tempo. A razão de chances é definida como:
Em estudos retrospectivos ou caso-controle, o planejamento envolve a escolha de amostras de tamanhos n.1 e n.2 de indivíduos não-doentes (controle) e doentes (casos), respectivamente e a observação retrospectiva de sua exposição ou não ao fator de risco. Neste caso, a razão de chances é dada por:
Utilize o Teorema de Bayes para mostrar que essas duas expressões são iguais e comente sobre a importância prática deste resultado.