AULA INTRODUTÓRIA LEIS DE CONSERVAÇÃO - fentran II

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Universidade Federal Fluminense (UFF)
Departamento de Engenharia Agrícola e Meio Ambiente
Curso de Graduação em Engenharia Agrícola e Meio Ambiente
Curso de Graduação em Engenharia de Meio Ambiente e Recursos Hídricos
Hidráulica III
Fenômenos de Transporte e Hidráulica III
Prof: Antonio Henrique Monteiro da Fonseca Thomé da Silva
ahmfts@gmail.com
Fenômenos de Transporte, Hidráulica e 
Saneamento Ambiental
Equação da Conservação da Massa
Variação de massa dentro do volume de 
controle (fontes ou vertedouros).
Variação de massa através da superfície de 
controle (limite do volume de controle)
VC
SC
Massa entra no VC Massa sai do VC
Fluxo Mássico = 
Fluxo Volumétrico EQUAÇÃO 
ESCALAR
ou kwjviuV ˆˆˆ ++=x y
z
Equação da Conservação da Massa
Equação da Conservação da Massa
Equação da Conservação da Massa
EXERCÍCIO 1
Qual é o melhor volume de 
controle a ser definido ??
EXERCÍCIO 1
EXERCÍCIO 1
EXERCÍCIO 1
EXERCÍCIO 2
montante jusante
EXERCÍCIO 2
EXERCÍCIO 2
EXERCÍCIO 3
EXERCÍCIO 3
EXERCÍCIO 3
Equação da Conservação da 
Quantidade de Movimento
Forças de Campo Ex. Peso
Forças de Superfície. 
Ex. Atrito e Pressão Variação da quantidade de 
movimento dentro do volume de 
controle
Variação da quantidade de 
movimento através da 
superfície de controle
VC
SC
Equação da Conservação da 
Quantidade de Movimento
x y
z
Escalar
EQUAÇÃO VETORIAL
ou
kwjviuV ˆˆˆ ++=
Equação da Conservação da 
Quantidade de Movimento
EXERCÍCIO 1
EXERCÍCIO 1
EXERCÍCIO 1
Entrada
de fluido
Mas quem é V1 ??
Exercício 1
Exercício 1
VC
Aplicação Esforços sobre condutos forçados
Rx
Ry
WjWa
Equação da Conservação da 
Quantidade de Movimento
Aplicação 
Esforços sobre
condutos forçados
i) Regime Permanente
ii) Ausência de atrito
iii) Uniforme
=0=0
Rx
Ry
Na direção X
Na direção Y =0
Wj
Wa
Equação da Conservação de Energia 
(Primeira Lei da Termodinâmica)
Energia específica (J/kg) = 
Somatório das parcelas de 
energia interna, energia 
cinética e energia 
potencial.
Q > 0 Calor recebido pelo sistema
Q < 0 Calor cedido pelo sistema
W < 0 Trabalho recebido pelo sistema
W > 0 Trabalho realizado pelo sistema
Variação da energia 
dentro do volume de 
controle
Variação da energia através da 
superfície de controle
VC
SC
gzVue ++=
2
2
Formas de 
Transferência de Calor
CONDUÇÃO CONVECÇÃO
RADIAÇÃO
Dando origem à
Equação de Bernoulli
Potência 
(Útil e Perdas)
z
z
dTcu v=
Energia interna esp.(J/kg)
Desprezando-
se as perdas
de calor
Dica:
Força = Pressãp * Área
Potência = Força * Velocidade
Equação de Bernoulli
Se não houver perda de carga (λ=0)
Se não houver bomba (Head=0)
Ou, multiplicando todos os termos pela gravidade com ρ=constante
Desprezando-se as perdas por calor, desconsiderando-se o termo relacionado à energia interna, 
inserindo a notação de perda de carga (λ), utlizando o conceito de energia (e não potência) e 
dividindo-se as grandezas pelo peso específico do fluido (γ) para obter unidades de METRO (HEAD)
λ
γ
+−+
−
+
−
= 12
2
1
2
212
2
zz
g
VVPP
Head
2
2
22
1
2
11
22
z
g
VP
z
g
VP
++=−++
γ
λ
γ
2
2
22
1
2
11
22
z
g
VP
z
g
VP
++=++
γγ
2
2
22
1
2
11
22
gzVPgzVP ++=++
ρρ
BERNOULLI
Aplicação 
Bombas centrífugas
P1= 350kPa
P2 =450kPa
9m
5m
7m
3m
bomba
Linha de centro
da bomba
SISTEMA ORIGINAL
•P1 e P2 são pressões absolutas.
•Perda de carga na linha de sucção: λs= 1m 
•Perda de carga na linha de descarga: λd ≈ 0 m
•Fluido de trabalho = água (ρ=1000kg/m3)
•Pressão de Vapor na T de trabalho = 3,0kPa
•Vazão = 4,5 m3/h 
•gravidade = 10m/s2
4m
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
sistema na nova condição
sistema original
Q (m3/h)
H
 
(
m
)
λ
γ
+−+
−
+
−
= 12
2
1
2
212
2
zz
g
VVPP
Head
Equação de Bernoulli
Para λ=0, tem-se:
2
2
22
1
2
11
22
z
g
VP
z
g
VP
++=++
γγ
Z=0
Equação de Bernoulli
EXERCÍCIO 1
Equação de Bernoulli – EXERCÍCIO 2
Eq. Continuidade
Equação de Bernoulli – EXERCÍCIO 2
Base manométrica
Equação de Bernoulli 
EXERCÍCIO 2
Exercício Final
Equação da Conservação de Massa + Equação da Conservação da 
Quantidade de Movimento + Equação da Energia (Bernoulli)
Água escoa a baixa velocidade (v1=7m/s) através de um tubo circular com 
diâmetro interno de D=50mm. Um tampão bem arredondado de d=40mm de 
diâmetro é mantido na extremidade do tubo por onde a água descarrega para 
a atmosfera. Ignore os efeitos de atrito e admita perfis uniformes de 
velocidade em cada seção. Determine a pressão medido pelo manômetro e a 
força requerida para manter o tampão no lugar. Determine também a pressão 
de estagnação na extremidade interna do tampão.
Resolução
� Considerações:
� Regime Permanente
� Fluido Incompressível
� Escoamento sem atrito
� Propriedades Uniformes nas seções 1 e 2
� Z1=Z2
� Como a questão será reduzida na base 
manométrica, consideramos P2=0 porque o duto 
descarrega para a atmosfera.
� Observe que, neste caso, as equações vetoriais 
precisam ser resolvidas apenas na direção x.
Determinando Volume de Controle de 
Forças atuantes
VC
A suposição da força apontando para o sentido positivo de x 
facilita as contas e garante que, no final, a força já sai com o 
sinal correto para a representação vetorial
Rx
Resolução – Cálculo de V2
� Primeira Etapa: Calcular a velocidade de saída (V2), 
utilizando a Lei de Conservação de Massa no 
Regime Permanente.
( )
4
4
0
0..
22
2
1
2
11
2
2211
2211
dD
D
u
A
Au
u
AuAu
AVAV
−
==
=+−
=+
pi
pi
rrrr
0. =+∀
∂
∂
∫ ∫ AdVdt
rr
ρρ
=0
d D
D
iuV
iuV
)r
)r
22
11
=
= Dica: É sempre bom escrever 
as velocidades vetorialmente.
Resolução – Cálculo de P1
� Segunda Etapa: Calcula-se a Pressão na 
seção 1 a partir da Lei de Conservação da 
Energia (=Equação de Bernoulli).
( )
g
VVP
z
g
VP
z
g
VP
g 2
22
2
1
2
2
1
2
2
22
1
2
11
−
=
++=++
γ
γγ
Neste caso, lembre-se que, na 
base manométrica a pressão 
na seção 2 é nula. Observe o 
sub-índice “g” na pressão na 
seção 1 após a simplificação, 
indicando base manométrica.
Resolução – Cálculo da Força F Rx
[ ] [ ]
2111
.. ∫∫ +=+ AdVuAdVuRAP xg
rrrr
ρρ
∫ ∫+∀∂
∂
=+ AdVVVd
t
FF sc
rrrrr
.ρρ
Avaliando apenas a expressão em X, em regime permanente.
11222111 APAuuAuuR gx −+−= ρρ
Lembre-se que a resposta final deve ser vetorial
iRR x
)r
=
Resolução – Cálculo da Pressão de 
Estagnação no Ponto A
� Calcula-se a Pressão 
no ponto A 
(Estagnação: VA=0m/s) 
a partir da Lei de 
Conservação da 
Energia 
(=Equação de Bernoulli) 
entre a seção 1 e o 
ponto A.
{
γγ
γγ
Agg
A
AgAg
P
g
VP
z
g
VP
z
g
VP
=+
++=++
43421
2
22
2
11
2
1
2
11
Pressão dinâmica pressão estática
Rx
Exercícios – Tubo Venturi
Tubo Venturi
Tubo Venturi
Tubo Venturi
Referências
�Fox, McDonald – Introdução à Mecânica dos Fluidos, LTC, 1998
�Netto, A.; Manual de Hidráulica, Edgard Blücher, 1998.
�Porto, R. M.; Hidráulica Básica, EESC USP Projeto Reenge, 2006.
�Garcez, L N. Elementos de Engenharia Hidráulica e Sanitária, Edgard Blucher, 1976.
� Ritcher, C; Azevedo Netto, J M
. Tratamento de Água, Edgard Blucher, 1991.
�Universidade do Algarve - Instituto Superior de Engenharia - Hidráulica Aplicada e Hidráulica Fluvial – Prof. Rui Miguel Madeira Lança
�UFLA - ENG – 187 - Hidráulica Geral - Prof. Alberto Colombo, Prof. Geraldo Magela Pereira, Prof. Carlos Rogério de Mello 
�Escola Superior de Tecnologia Viseu – Prof Francisco José Paulos Martins
�MEC- UFLA-DEG - ENG 170 – HIDROLOGIA - Prof. Antônio Marciano da Silva, Prof. Carlos Rogério de Mello, Pesq. Gilberto Coelho
�UFRRJ – IT-503 – Fundamentos de Hidráulica - Daniel Fonseca de Carvalho e Leonardo Duarte Batista da Silva
�UFRRJ – IT144 – Hidráulica aplicada – Daniel Fonseca de Carvalho 
�UFRRJ – IT-179 – Curso de Saneamento Básico – Guimarães, Carvalho e Silva 
�Sistemas Urbanos de Drenagem - Prof. Antonio Cardoso Neto
TA 631 – Operações Unitárias 1 – Escoamento em leitos porosos (fixos e móveis)
�PUC-Rio n. 0521686 – Cap 2,3
�Igor Eduardo Otiniano Mejía - Comportamento dinâmico de dutos enterrados:Metodologia e Implementação Computacional, tese de 
Doutorado, PUC-Rio, 2008.
�Marianna Ansiliero de Oliveira Coelho – Estabilidade de dutos enterrado sujeitos a carga térmicas, Dissertação de Mestrado, PUC-Rio, 
2007.
�Paulo Márcio Fernandes Viana – GEOVALA: um novo processo construtivo para dutos enterrados, Tese de Doutorado, UFSCAR, 2003.
�Anselmo Fioranelli Junior – Análise de Novo procedimento para o projeto estrutural de tubos de concreto enterrados, Dissertação de 
Mestrado, UFSCAR, 2005
�UFLA - Jefferson Lins da Silva, Diogo Tenório Cintra, Profa. Dra. Viviane Carrilho Leão Ramos - Estudo paramétrico de dutos enterrados 
sob condições de aterro -
�http://www.demec.ufmg.br/disciplinas/ema833/
�Universidade Federal do Paraná – LemmaWiki - http://www.lemma.ufpr.br/wiki/index.php/Imagem:Critflow.gif
�http://www.daebauru.com.br/site2006/material/tratamento_agua.htm
�http://www.dec.ufcg.edu.br/saneamento/Dren01.html
�http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/meio-ambiente-agua/agua-subterranea-2.php
�http://e-geo.ineti.pt/edicoes_online/diversos/agua_subterranea/aguaterra.htm
�Fundação Centro Tecnológico de Hidráulica
�Notas de aula das disciplinas “Acionamentos Oleodinâmicos e Pneumáticos” e Máquinas Hidráulicas III” do Depto Eng Mecânica UFF –
Prof. Antonio Henrique Monteiro F T Silva.