GMG106-Aula 03

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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Índices de Miller e Miller-Bravais, zonas cristalográficas, cálculos cristalográficos e formas cristalinas
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Sistemas Cristalinos: referencial espacial (sistema de eixos com ângulos interaxiais e constantes lineares variáveis) para posicionar e referenciar os elementos de simetria e elementos morfológicos de cristais.
Os 7 Sistemas: cúbico, tetragonal, trigonal, hexagonal, ortorrômbico, monoclínico e triclínico.
As 32 Classes Cristalinas são distribuídas entre os 7 Sistemas Cristalinos (ou 6 Sistemas - EUA) segundo a sua simetria mínima ou característica.
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
A distribuição das 32 Classes Cristalinas entre os 7 Sistemas:
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Triclínico: 1, 1		Monoclínico: 2, m, 2/m
 
Ortorrômbico: 222, mm2, 2/m 2/m 2/m
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Tetragonal: 4, 4, 4/m, 42m, 422, 4mm, 4/m 2/m 2/m
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Trigonal: 3, 3, 3m, 32, 3 2/m
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Hexagonal: 6, 6, 6/m, 6m2, 622, 6mm, 6/m 2/m 2/m
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Cúbico: 23, 2/m 3, 432, 43m, 4/m32/m
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
A Cruz Axial genérica:
Constantes lineares: 
		a, b, c
Constantes angulares:
	 = b  c
	 = a  c
	 = a  b
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
	 A cruz axial para os 7 sistemas cristalinos:
		Obs: sistemas trigonal e hexagonal – mesma cruz!
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Características da Cruz Axial para os 7 Sistemas:
Triclínico: 	a ≠ b ≠ c, 			 ≠  ≠  ≠ 90º
Monoclínico: 	a ≠ b ≠ c, 			 =  = 90º ≠  (>90º)
Ortorrômbico:	a ≠ b ≠ c, 			 =  =  = 90º 
Tetragonal:	 a = b ≠ c (a1 = a2 ≠ c)		 =  =  = 90º
Cúbico:	 	a = b = c (a1 = a2 = a3) 		 =  =  = 90º
Hexagonal / Trigonal: a = b ≠ c (a1 = a2 = a3 ≠ c)	  =  = 90º ≠  = 120º 
					
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Equivalência dos eixos cristalográficos nos sistemas cristalinos:
Sistemas trimétricos: triclínico, monoclínico e ortorrômbico – três eixos distintos, não-equivalentes (a ≠ b ≠ c). Nenhuma operação de simetria pode sobrepor quaisquer dois eixos nas Classes Cristalinas que constituem estes sistemas.
Sistemas dimétricos: trigonal, tetragonal e hexagonal – dois tipos de eixos distintos: c e a (a1, a2 + a3). O elemento de simetria coincidente com c (E3, E4 ou E6) torna os eixos perpendiculares a ele equivalentes entre si.
Sistema monométrico: cúbico ou isométrico – apenas um tipo de eixo: a = a1, a2 e a3, equivalentes entre si graças aos 4E3.
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Orientação dos Elementos de Simetria em relação à Cruz Axial:
Um eixo X de simetria diferenciada (E3, E4 ou E6): // c (sistemas trigonal, tetragonal e hexagonal). Se houver conjuntos E2: // a1, a2 (e a3), e nas bissetrizes;
Se houver 4 E3 ou 4E (sistema cúbico) orientação segundo o cubo-guia;
Apenas 1E2 e/ou 1m: E2 // b, m  b;
Apenas 3E2: // a,b,c; ou: 1E2 e 2m: E2 // c, m  a,b
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Indexação de faces cristalinas: parâmetros de Weiss, índices de Miller e Miller-Bravais
Procedimento adotado antes da Cristalografia de Raios X:
Seleciona-se cristais o mais próximo possível das formas ideais da espécie cristalina cujas faces se deseja indexar;
Determina-se o Sistema Cristalino da espécie cristalina, através da sua Classe Cristalina, através da simetria observada;
Uma vez definida a Cruz Axial a ser utilizada, orienta-se os elementos de simetria do cristal em relação aos eixos cristalográficos;
(Cont.)
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Indexação de faces cristalinas: parâmetros de Weiss, índices de Miller e Miller-Bravais (cont.):
Escolhe-se a face de maior área que corta os três eixos – esta face é a face paramétrica;
Por definição, a face paramétrica corta os três eixos na mesma proporção (ou seja, um número equivalente de unidades fundamentais características de cada eixo): n*a0, n*b0 e n*c0;
Qualquer outra face será comparada á face paramétrica, determinando-se a sua posição através da comparação dos seus interceptos nos três eixos com os interceptos da face paramétrica. 
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Face Paramétrica: 
AO = n*a0
BO = n*b0
CO = n*c0
(a0 = “milhas”
 b0 = “léguas”
 c0 = “quilômetros”)
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Indexação de faces cristalinas: parâmetros de Weiss, índices de Miller e Miller-Bravais (cont.):
Parâmetros de Weiss: indicam, através de relação direta, a proporcionalidade dos interceptos de uma face qualquer;
Exemplo: a face paramétrica (“p”) de um cristal tem interceptos de 7,08 mm em a, 8,70 mm em b e 16,57 mm em c; uma face “s” qualquer tem interceptos de 14,95 mm em a, 18,30 mm em b e 11,65 mm em c. Dividindo os interceptos da face-problema “s” pelos interceptos da face paramétrica “p”:
	(14,95/7,08)a:(18,34/8,70)b:11,65/16,57)c
(Cont.)
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Indexação de faces cristalinas: parâmetros de Weiss, índices de Miller e Miller-Bravais (cont.):
	(14,95/7,08)a : (18,34/8,70)b : (11,65/16,57)c =
 	2,111a : 2,108b : 0,703c (÷ 0,703) ~ 3a : 3b : 1c
	ou seja: a face “s” corta os eixos a e b em distâncias proporcionalmente 3x maiores que o eixo c, quando comparado à face “p”;
- 	Se a face for paralela a um dos eixos: o intercepto será no ∞ Exemplos: 	2a : 1b : ∞c,	 ∞a: ∞b: 1c
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Indexação de faces cristalinas: parâmetros de Weiss, índices de Miller e Miller-Bravais (cont.):
Índices de Miller: indicam proporcionalidade inversa;
Os índices de Miller podem ser obtidos invertendo-se os parâmetros de Weiss e racinalizando os números obtidos, ou: dividindo-se os interceptos da face paramétrica pelos interceptos da face-problema e racinalizando os números.
	Exemplo anterior das faces “p” e “s”:
	3a : 3b : 1c  1/3; 1/3; 1/1  0,333; 0,333; 1,000 
	(÷ 0,333) = 1; 1; 3  (113)
- Índice de Miller da Face Paramétrica: (111)
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Atenção! Índices de Miller: proporcionalidade inversa!
Exemplo:
Sistema tetragonal: 
a1 = a2 ≠ c
Face clara: (111)
Face escura: (112)
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Indexação de faces cristalinas: parâmetros de Weiss, índices de Miller e Miller-Bravais (cont.):
Os índices de Miller de faces cristalinas (ou planos cristalinos) são indicados sempre entre parênteses, sem vírgulas ou qualquer separação, a não ser quando, em raríssimos casos, haja índices com dois dígitos;
A forma genérica dos índices de Miller é: (hkl), onde os dígitos h, k e l referem-se, respectivamente, aos eixos a, b e c;
Quando uma face é paralela a um dos eixos cristalográficos, o dígito correspondente é 0 (n/∞ → 0). Exemplo: (001), (hk0)
Quando uma face corta um eixo na ponta negativa, um traço é aplicado sobre o dígito correspondente; _ _
						Exemplo: (211), (hkl)
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Modelo de cristal de 
enxofre (S), ortorrômbico,
com os índices de Miller
das faces frontais
(ver Exercício!).
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Índices de Miller-Bravais: para os sistemas trigonal e hexagonal (quatro eixos cristalográficos: a1 = a2 = a3 ≠ c)
São quatro dígitos: (hkil), ou: (hk*l)
Nos índices de Miller-Bravais: (h + k + i = 0)
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Exemplos: (2111), (1210), (3211), etc.
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Relação Axial: a partir dos interceptos da Face Paramétrica, é possível calcular a relação entre as constantes lineares dos eixos, padronizada, por convenção, em relação a b0;
	a0 / b0 : b0 / b0 :
c0 / b0	=	 a0 / b0 : 1 : c0 / b0
Exemplo: na face “p” dos exemplos anteriores, os interceptos são: 7,08 mm em a, 8,70 mm em b e 16,57 mm em c; 
Relação axial: 7,08 ÷ 8,70 : 8,70 ÷ 8,70 : 16,57 ÷ 8,70
			= 	 0,814 : 1 : 1,905
Nos sistemas dimétricos, a relação axial terá a forma 1 : c0 / a0
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Zona Cristalográfica e direções:
Definição: uma zona cristalográfica é um conjunto de faces paralelas a uma direção – o eixo de zona, [uvw] ou [uv*w]; ou seja: as intersecções das faces pertencentes a uma zona resultam em arestas paralelas ao eixo de zona.
Uma face pertence a uma zona se:	 h*u + k*v + l*w = 0;
Índice da zona à qual pertencem duas faces (hkl) e (pqr):
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Exemplo:
Sistema tetragonal
Zona [001]
Planos pertencentes
à zona [001]:
(100), (110), (010), etc
(001) não pertence
à zona [001]!
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Formas Cristalinas:
Definição: uma forma cristalina é um conjunto de faces equivalentes de um cristal, relacionadas entre si pela simetria implícita da Classe Cristalina à qual pertence este cristal. Em cristais ideais, todas as faces de uma determinada forma terão a mesma área e a mesma geometria.
Símbolo: {hkl}, {hkil}
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Exemplo: a forma {100} na classe cristalina 4/m 3 2/m é o cubo; na mesma classe cristalina, a forma {111} é o octaedro, e a forma {110} é o dodecaedro. 
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
As formas cristalinas podem ser:
Abertas – Ex: prismas, pirâmides, pinacóides, pédions, ou:
Fechadas – Ex: cubo, bipirâmides, dodecaedro, tetraedro, 			romboedro, etc.
e:
Simples – Ex: cubo, octaedro, bipirâmide, diesfenóide, etc (necessariamente fechadas!), ou:
Combinadas – Ex: prisma hexagonal + bipirâmide hexagonal, cubo + octaedro, cubo + tetraedro, prisma tetragonal + pirâmide tetragonal + pédion, etc.
 
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Exemplos de formas fechadas simples: cubo {100} – em qualquer classe cristalina do sistema cúbico!
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Formas fechadas simples – sistema cúbico:
Octaedro		Tetraedro		Dodecaedro
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{111} 4/m32/m	{111} 43m		{110} 4/m32/m
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Exemplos de formas fechadas simples:
	romboedro		bipirâmide ditrigonal 	 	piritoedro
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{h0hl} 32/m		{hkil} 6m2			{210} 2/m3
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Exemplos de formas abertas simples:
Prisma tetragonal 	Prisma ditrigonal 	Pirâmide dihexagon.
	{100}		 {hki0}			{hkil}
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Exemplos de formas combinadas – sistema hexagonal: 
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prisma {1210} + bipirâmide {1211}
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Exemplos de formas combinadas: sistema triclínico – pinacóides
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Formas cristalinas: sistemas trimétricos
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Formas cristalinas: sistemas dimétricos – prismas 
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Formas cristalinas: sistemas dimétricos – pirâmides
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Formas cristalinas: sistemas dimétricos – bipirâmides
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Formas: sist. dimétricos – romboedro, esfenóide, trapezoedros, escalenoedros
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Formas cristalinas: sistema monométrico = cúbico
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Formas cristalinas: sistema monométrico = cúbico:
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Formas cristalinas: sistema monométrico = cúbico:
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental