Apostila - Capítulo 1 - Métodos de contagem

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Me´todos de contagem
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1.1 Introduc¸a˜o
A princ´ıpio, pode parecer desnecessa´ria a existeˆncia de me´todos para realizar uma contagem.
Isto de fato e´ verdade se o nu´mero de elementos que queremos contar for pequeno. Entretanto,
se o nu´mero de elementos for grande, a contagem pode se tornar uma tarefa a´rdua.
Exemplo 1.1: Seja A o conjunto de nu´meros de 3 algarismos distintos. Assim,
A = {123, 124, 125, ..., 875, 876}.
Observe que e´ trabalhoso obter todos os elementos deste conjunto e depois conta´-los. Corre-se
o risco de haver omisso˜es ou repetic¸o˜es de elementos.
Resultado 1.1: Consideremos os conjuntos A = {a1, a2, ..., an} e B = {b1, b2, ..., bm}.
Podemos formar n ·m pares ordenados (a, b), onde a ∈ A e b ∈ B.
O diagrama de a´rvore, ilustrado abaixo, pode ser usado para visualizar os pares ordena-
dos.
𝒃𝟏 𝒂𝟏,𝒃𝟏 
𝒃𝟐 𝒂𝟏,𝒃𝟐 ⋮ ⋮ 
𝒃𝒎 𝒂𝟏,𝒃𝒎 
𝒃𝟏 𝒂𝟐,𝒃𝟏 
𝒃𝟐 𝒂𝟐,𝒃𝟐 
⋮ ⋮ 
𝒃𝒎 𝒂𝟐,𝒃𝒎 
𝒃𝟏 𝒂𝒏,𝒃𝟏 
𝒃𝟐 𝒂𝒏,𝒃𝟐 
⋮ ⋮ 
𝒃𝒎 𝒂𝒏,𝒃𝒎 
𝒂𝟏 
𝒂𝟐 
⋮ 
𝒂𝒏 
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Exemplo 1.2: Consideremos 3 cidades: X, Y e Z. Suponhamos 4 rodovias que ligam X a`
Y e 5 que ligam Y a` Z. Partindo de X e passando por Y , de quantas formas podemos chegar
ate´ Z?
Soluc¸a˜o:
𝒃𝟏 
𝒂𝟏 
𝒂𝟐 
𝒂𝟑 
𝒂𝟒 
𝒃𝟐 
𝒃𝟑 
𝒃𝟒 
𝒃𝟓 
𝒀 𝑿 𝒁 
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SejamA = {a1, a2, a3, a4} o conjunto das rodovias que ligamX a` Y eB = {b1, b2, b3, b4, b5}
o conjunto das rodovias que ligam Y a` Z. Cada modo de viajar de X ate´ Z pode ser associado
a um par (a, b), com a ∈ A e b ∈ B. Logo nu´mero de modos de viajar de X ate´ Z e´ 4 · 5
(nu´mero de pares ordenados).
Definic¸a˜o 1.1: Seja n um nu´mero natural (inteiro na˜o negativo). O fatorial de n, indicado
por n!, e´ definido por:
n! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · · · 3 · 2 · 1, para n ≥ 2,
1! = 1 e
0! = 1.
Exemplo 1.3:
• • 3! = 3 · 2 · 1.
• • 4! = 4 · 3 · 2 · 1.
• • 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1.
1.2 Princ´ıpio fundamental da contagem
Resultado 1.2 (Primeira parte do princ´ıpio fundamental da contagem):
Consideremos os conjuntos A1, A2, ..., An. O nu´mero de n-uplas ordenadas (sequeˆncias de
n elementos) do tipo (a1, a2, ..., an) tais que ai ∈ Ai ∀i ∈ {1, 2, ..., n} e´
#A1 ·#A2 · · ·#An.
𝒂𝟏, 𝒂𝟐, ⋯ , 𝒂𝒏 
𝑨𝟏 𝑨𝟐 𝑨𝒏 
⋯ 
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Exemplo 1.4: Treˆs classes diferentes conte´m 20, 18 e 25 estudantes e nenhum estudante e´
membro de mais de uma das classes. Se uma equipe deve ser composta por um estudante de
cada classe, de quantos modos diferentes os membros desta equipe podem ser escolhidos?
Soluc¸a˜o: Sejam A1, A2, A3 conjuntos que representam as 3 classes. Cada equipe escolhida
pode ser associada a um vetor (a1, a2, a3), com ai ∈ Ai.
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𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑 
𝑨𝟏 𝑨𝟐 𝑨𝟑 
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Logo, aplicando a primeira parte do princ´ıpio fundamental da contagem, o nu´mero de modos
que esta equipe pode ser escolhida e´
#A1 ·#A2 ·#A3 = 20 · 18 · 25 = 9000.
Resultado 1.3 (Segunda parte do princ´ıpio fundamental da contagem):
SejamA = {a1, a2, ..., an} e p ≤ n. O nu´mero de sequeˆncias (vetores) do tipo (b1, b2, ..., bp)
tais que bi ∈ A ∀i ∈ {1, ..., p} e bi 6= bj para i 6= j e´
n!
(n− p)! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · · · (n− p+ 1)︸ ︷︷ ︸
p fatores
.
Em outras palavras, o nu´mero de sequeˆncias de tamanho p formadas com elementos distintos
2 a 2 de A e´ n!/(n− p)!.
𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 , ⋯ , 𝒃𝒑 
𝒃𝟏 ≠ 𝒃𝟐 ≠ ⋯ ≠ 𝒃𝒑 
𝑨 
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Exemplo 1.5: Em um campeonato de futebol participam 20 times. Quantos resultados sa˜o
poss´ıveis para os 3 primeiros lugares?
Soluc¸a˜o: Seja A o conjunto dos times que participam do campeonato. Os resultados pos-
s´ıveis para os 3 primeiros lugares podem ser associados a sequeˆncias-vetores (b1, b2, b3) de
elementos distintos dois a dois escolhidos em A.
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𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 , 𝒃𝟑 
𝒃𝟏 ≠ 𝒃𝟐 ≠ 𝒃𝟑 
𝒃𝟏 
𝒃𝟐 
𝒃𝟑 
𝑨 
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Logo, aplicando a segunda parte do princ´ıpio fundamental da contagem, o nu´mero de resultados
poss´ıveis para os 3 primeiros lugares e´
20!
(20− 3)! = 20 · 19 · 18 = 6840.
Como veremos no exemplo a seguir, algumas vezes as sequeˆncias a serem contadas possuem
tamanhos diferentes, o que impede o uso do princ´ıpio fundamental da contagem.
Exemplo 1.6: Uma pessoa lanc¸a uma moeda sucessivamente ate´ que ocorram duas caras
consecutivas ou quatro lanc¸amentos sejam feitos, o que ocorrer primeiro. Quantos sa˜o os resul-
tados poss´ıveis?
Soluc¸a˜o: No diagrama abaixo, representamos os resultado “cara” e “coroa” com “K” e “C”,
respectivamente. Como podemos ver, o nu´mero de resultados poss´ıveis e´ 12.
C 
K 
1° lançamento 
2° lançamento 
3° lançamento 
4° lançamento 
C 
K 
C 
K 
K 
C 
K 
C 
K 
C 
K 
C 
K 
C 
K 
C 
K 
C 
K 
C ww
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1.3 Arranjos
Definic¸a˜o 1.2: Um arranjo e´ uma sequeˆncia formada com os elementos de um conjunto.
Um arranjo de elementos distintos e´ chamado de arranjo sem repetic¸a˜o.
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O nu´mero de arranjos com p elementos de um conjuntoA com n elementos sera´ denotado por
An,p e chamado de arranjo de n tomado p a p. Para o nu´mero de arranjos sem repetic¸a˜o,
usaremos a notac¸a˜o ASn,p e diremos arranjo sem repetic¸a˜o de n tomado p a p.
Arranjo sem repetição 
A 
Arranjo 
A 
𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑, . . . , 𝒃𝒑 
𝒃𝟏 ≠ 𝒃𝟐 ≠... ≠ 𝒃𝒑 
𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 , 𝒃𝟑, … , 𝒃𝒑 
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Obs: Para formar um arranjo, na˜o e´ preciso usar todos os elementos do conjunto.
Resultado 1.4: Pelo princ´ıpio fundamental da contagem, temos que
An,p = n
p
e
ASn,p =
n!
(n−p)! , para p ≤ n.
Exemplo 1.7: As placas dos automo´veis sa˜o formadas por 3 letras (26 letras no alfabeto)
seguidas de 4 algarismos (nu´meros de 0 a 9). Quantas placas podem ser formadas?
Soluc¸a˜o: Seja A um conjuntos de sequeˆncias de 3 letras e B um conjunto de sequeˆncias
de 4 algarismos. Pelo princ´ıpio fundamental da contagem, temos que #A = A26,3 = 26
3 e
#B = A10,4 = 10
4. Assim, cada placa pode ser associada a um par (a, b) tal que a ∈ A
e b ∈ B. Aplicando novamente o princ´ıpio fundamental da contagem, o nu´mero de placas que
podem ser formadas e´
#A ·#B = 263 · 104 = 175760000.
Exemplo 1.8: Uma linha ferrovia´ria tem 16 estac¸o˜es. Quantos tipos de bilhetes devem ser
impressos, se cada tipo deve assinalar a estac¸a˜o de partida e a de chegada.
Soluc¸a˜o: Seja A o conjunto de estac¸o˜es da linha ferrovia´ria. Cada bilhete pode ser associado
a um par (a1, a2), tal que a1 ∈ A, a2 ∈ A e a1 6= a2. Logo, pelo princ´ıpio fundamental da
contagem, o nu´mero de bilhetes e´
AS16,2 = 16 · 15.
Exemplo 1.9: Os caracteres em co´digo MORSE sa˜o formados por sequeˆncias de trac¸os (-)
e pontos (.), sendo permitidas repetic¸o˜es. Por exemplo: “- . - - . .”.
a) Quantos caracteres podem ser representados usando 3 s´ımbolos?
b) Quantos caracteres podem ser representados usando no ma´ximo 8 s´ımbolos?
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Soluc¸a˜o: a) Seja A = {−, .}. Cada caracter de 3 s´ımbolos pode ser associado a um vetor
(a1, a2, a3), tal que a1, a2, a3 ∈ A. Pelo princ´ıpio fundamental da contagem, temos que o
nu´mero de caracteres de 3 s´ımbolos e´ A2,3 = 2
3 = 8.
b) O nu´mero de caracteres usando p s´ımbolos
e´ A2,p e, consequentemente, o nu´mero de
caracteres com no ma´ximo 8 s´ımbolos e´ a soma do nu´mero de caracteres obtidos com p =
1, 2, ..., 8 s´ımbolos, ou seja,
A2,1 +A2,2 + ...+A2,8 = 2 + 2
2 + ...+ 28 = 510.
1.4 Permutac¸o˜es
Definic¸a˜o 1.3: Uma permutac¸a˜o, e´ uma sequeˆncia de elementos distintos formada com
todos os elementos de um determinado conjunto. O nu´mero de permutac¸o˜es de um conjunto
com n elementos sera´ denotado por Pn e chamado simplesmente de permutac¸a˜o de n elementos.
𝒃𝟏, 𝒃𝟐 , . . . , 𝒃𝒏 
𝒃𝟏 ≠ 𝒃𝟐 ≠... ≠ 𝒃𝒏 
 
A 
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Obs: Para formar uma permutac¸a˜o, todos os elementos do conjunto devem ser utilizados.
Resultado 1.5: Pelo princ´ıpio fundamental da contagem, temos
Pn = ASn,n = n!
Exemplo 1.10: Quantos anagramas possui a palavra “Joaquim”?
Soluc¸a˜o: Seja A o conjunto das letras da palavra “Joaquim”. Como cada anagrama e´ uma
permutac¸a˜o dos elementos de A, temos que a quantidade procurada e´
P7 = 7! = 5040.
1.5 Permutac¸o˜es com repetic¸a˜o
Resultado 1.6: Seja A = {a1, ..., ar} um conjunto qualquer. Uma sequeˆncia com
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n1 elementos iguais a a1,
n2 elementos iguais a a2,
...
nr elementos iguais a ar
e´ uma permutac¸a˜o com repetic¸a˜o dos elementos de A. Sendo n = n1 + n2 + ... + nr, o
nu´mero total de sequeˆncias deste tipo e´
Pn1,n2,...,nrn =
n!
n1!n2!...nr!
.
(∆
, ◊
, ◊
, ◊
,∆
 ,
,∆
)
૚
૛
૜
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Exemplo 1.11: Um bairro e´ formado por 12 quarteiro˜es dispostos segundo a figura abaixo.
Uma pessoa sai do ponto P e caminha ate´ o ponto Q, sempre usando o caminho mais curto
(movendo-se sempre da esquerda para direita ou de baixo para cima no gra´fico). Nestas condi-
c¸o˜es, quantos caminhos diferentes ela podera´ fazer?
Q 
P ww
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Soluc¸a˜o: Usando V para denotar um movimento vertical e H para um movimento horizon-
tal, cada caminho pode ser associado a uma sequeˆncia com 3 elementos iguais a V e 4 elementos
iguais a H. Por exemplo, a sequeˆncia (V, V, V,H,H,H,H) representa 3 movimentos verti-
cais seguidos de 4 movimentos horizontais. Deste modo, o problema se resume a contagem de
sequeˆncias com elementos repetidos. Logo, a quantidade procurada e´
P 3,47 =
7!
4!3!
= 35.
1.6 Combinac¸o˜es
Definic¸a˜o 1.4: SejaA um conjunto qualquer. Um subconjunto deA e´ chamado de combinac¸a˜o
dos elementos de A. O nu´mero de combinac¸o˜es com p elementos de um conjunto com n ele-
mentos e´ denotado por Cn,p e chamado de combinac¸a˜o de n tomado p a p.
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𝒃𝟏, 𝒃𝟐, . . . , 𝒃𝒑 
𝒃𝟏 ≠ 𝒃𝟐 ≠... ≠ 𝒃𝒑 
A 
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Obs: Uma outra notac¸a˜o para Cn,p e´
(
n
p
)
.
E´ importante notar a diferenc¸a entre combinac¸a˜o e arranjo sem repetic¸a˜o. Em uma combi-
nac¸a˜o a ordem dos elementos na˜o importa, ou seja, elementos que diferem apenas pela ordem
sa˜o contados como um u´nico elemento. Ja´ em um arranjo, a ordem importa, ou seja, sequeˆncias
com os mesmos elementos, mas em ordem diferente sa˜o contadas separadamente.
Resultado 1.7: A combinac¸a˜o de n tomado p a p e´ dada por
Cn,p =
n!
(n− p)!p! .
Exemplo 1.12: Dentre 10 homens e 8 mulheres, quantas comisso˜es de 5 pessoas podem ser
formadas, sendo que em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres?
Soluc¸a˜o: Seja A o conjunto dos subconjuntos de 3 homens e B o conjunto dos subconjuntos
de 2 mulheres. Pelo resultado 1.6, temos que #A = C10,3 = 120 e #B = C8,2 = 28. Ale´m
disso, cada comissa˜o pode ser associada a um par (a, b), com a ∈ A e b ∈ B. Logo, pela
primeira parte do princ´ıpio fundamental da contagem, o nu´mero de comisso˜es e´
#A ·#B = 120 · 28 = 3360.
1.7 Triaˆngulo de Pascal
O triaˆngulo de pascal e´ uma forma de organizar os resultados de
(
n
p
)
para diferentes
valores de n e p. A figura abaixo apresenta o triaˆngulo.
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A seguir, veremos alguns resultados relacionados a` combinac¸o˜es e, consequentemente, ao
Triaˆngulo de Pascal.
Resultado 1.8: ∀n ∈ N, temos que
(
n
0
)
= 1.
Prova: (
n
0
)
=
n!
(n− 0)!0! =
n!
n!
= 1.
Resultado 1.9: ∀n ∈ N, temos que
(
n
n
)
= 1.
Prova: (
n
n
)
=
n!
(n− n)!n! =
n!
n!
= 1.
Resultado 1.10 (Relac¸a˜o de Stiefel): Se n, p ∈ N e n > p ≥ 0 enta˜o
(
n
p
)
+
(
n
p+ 1
)
=
(
n+ 1
p+ 1
)
.
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Prova:(
n
p
)
+
(
n
p+ 1
)
=
n!
p! (n− p)! +
n!
(p+ 1)! (n− p− 1)!
=
n!
p! (n− p)! +
n!
(p+ 1) p! (n− p− 1)!
=
n!
p!
(
1
(n− p)! +
1
(p+ 1) (n− p− 1)!
)
=
n!
p!
(
1
(n− p) (n− p− 1)! +
1
(p+ 1) (n− p− 1)!
)
=
n!
p! (n− p− 1)!
(
1
(n− p) +
1
(p+ 1)
)
=
n!
p! (n− p− 1)!
(
n+ 1
(n− p) (p+ 1)
)
=
n! (n+ 1)
(n− p) (n− p− 1)! (p+ 1) p!
=
(n+ 1)!
(n− p)! (p+ 1)! =
(
n+ 1
p+ 1
)
.
Podemos usar os resultados acima para fazer o ca´lculo das combinac¸o˜es do triaˆngulo de
pascal. Note que:
• • Como
(
n
0
)
= 1 ∀n ∈ N, todos os elementos da coluna 0 sa˜o iguais a 1.
• • Como
(
n
n
)
= 1 ∀n ∈ N, o u´ltimo elemento de cada linha e´ igual a 1.
• • Cada elemento do triaˆngulo que na˜o seja da coluna 0 nem o u´ltimo de cada linha e´ igual
a` soma daquele que esta´ na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa a`
esquerda deste u´ltimo (Relac¸a˜o de Stifel).
A figura abaixo ilustra passo-a-passo como a relac¸a˜o de Stiefel pode ser usada para construir
o triaˆngulo de Pascal.
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Resultado 1.11: Se n, p ∈ N e p ≤ n, enta˜o(
n
p
)
=
(
n
n− p
)
.
Prova: (
n
n− p
)
=
n!
(n− p)! [n− (n− p)!] =
n!
(n− p)!p! =
(
n
p
)
.
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O resultado anterior afirma que os elementos de uma linha do triaˆngulo de Pascal equ¨idis-
tantes dos extremos sa˜o iguais. Veja a figura abaixo.
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Resultado 1.12: ∀n ∈ N, temos(
n
0
)
+
(
n
1
)
+
(
n
2
)
+ ...+
(
n
n
)
= 2n.
Prova: Seja A um conjunto com n elementos. Como
(
n
p
)
e´ o nu´mero de subconjuntos
com p elementos do conjunto A, temos que
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+
(
n
2
)
+ ... +
(
n
n
)
e´ o
nu´mero total de subconjuntos de A. Pensando de outra forma, para formar um subconjunto,
temos duas opc¸o˜es de escolha para cada elemento de A: ou o elemento esta´ no subconjunto ou
na˜o esta´. Como A tem n elementos, tera´ 2n subconjuntos.
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1.8 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1.1 Treˆs classes diferentes conte´m 20, 18 e 25 estudantes e nenhum estudante e´
membro de mais de uma das classes. Se uma equipe deve ser composta por um estudante de
cada classe, de quantos modos diferentes os membros desta equipe podem ser escolhidos?
Exerc´ıcio 1.2 Em um campeonato de futebol participam 20 times. Quantos resultados sa˜o
poss´ıveis para os 3 primeiros lugares?
Exerc´ıcio 1.3 Um cofre possui um disco marcado com os d´ıgitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. O segredo
do cofre e´ formado por uma sequeˆncia de 3 d´ıgitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre,
quantas tentativas devera´ fazer (no ma´ximo) para conseguir abri-lo? Suponha que a pessoa sabe
a quantidade de d´ıgitos do segredo e que este e´ formado por d´ıgitos distintos.
Exerc´ıcio 1.4 De quantas formas
6 pessoas podem sentar-se numa fileira de 6 cadeiras se duas
delas, Joaquim e Rafael, se recusam a sentar um ao lado do outro?
Exerc´ıcio 1.5 Considere 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas maneiras 2 pessoas
podem sentar-se, devendo haver ao menos uma cadeira entre eles?
Exerc´ıcio 1.6 Quantos anagramas da palavra “estudo” comec¸am e terminam com vogal?
Exerc´ıcio 1.7 Considere 2 urnas. A primeira com 4 cartas numeradas de 1 a 4 e a segunda
com 3 cartas numeradas de 7 a 9. Duas cartas sa˜o extra´ıdas da primeira urna, sucessivamente
e sem reposic¸a˜o, e em seguida duas cartas sa˜o extra´ıdas da segunda urna, sucessivamente e sem
reposic¸a˜o. Quantos nu´meros de 4 algarismos podem ser formados com os nu´meros das cartas
obtidas?
Exerc´ıcio 1.8 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos nu´meros de 4 algarismos
com pelo menos dois algarismos iguais existem?
Exerc´ıcio 1.9 De quantas formas 5 meninos e 5 meninas podem ficar em fila, de modo que
meninos e meninas devem ficar em posic¸o˜es alternadas?
Exerc´ıcio 1.10 Dez pessoas, dentre elas Antoˆnio e Beatriz, devem ficar em fila. De quantas
formas isto pode ser feito de modo que Antoˆnio e Beatriz fiquem sempre juntos?
Exerc´ıcio 1.11 De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em fila se
a) os homens devem ficar juntos?
b) E se os homens devem ficar juntos e as mulheres tambe´m?
Exerc´ıcio 1.12 Considere 15 livros em uma estante, dos quais 4 sa˜o de probabilidade. De quan-
tas formas podemos coloca-lo em uma prateleira da estante de modo que os livros de probabilidade
fiquem sempre juntos?
Exerc´ıcio 1.13 Quantos anagramas existem da palavra “AMARILIS”?
Exerc´ıcio 1.14 Uma urna conte´m 3 bolas vermelhas e 2 amarelas, que se distinguem apenas
pela cor. Quantas sequeˆncias de cores sa˜o poss´ıveis de observar extraindo uma a uma sem
reposic¸a˜o?
Exerc´ıcio 1.15 Quantos nu´meros de 7 algarismos existem nos quais comparecem uma so´ vez
os algarismos 3, 4 e 5 e quatro vezes o algarismo 9?
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Exerc´ıcio 1.16 Uma moeda e´ lanc¸ada 20 vezes. Quantas sequeˆncias de caras e coroas existem
com 10 caras e 10 coroas?
Exerc´ıcio 1.17 Quantos produtos podemos obter se tomarmos 3 fatores distintos escolhidos
entre 2,3,5,7 e 11?
Exerc´ıcio 1.18 Um time de futebol de sala˜o deve ser escalado a partir de um conjunto de 10
jogadores, entre eles Joaquim e Caio. Quantos times de 5 jogadores podem ser formados se Ari
e Arnaldo devem ser escalados necessariamente?
Exerc´ıcio 1.19 Considere 10 homens e 10 mulheres. Quantas comisso˜es de 5 pessoas podemos
formar se em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres?
Exerc´ıcio 1.20 Uma urna conte´m 10 bolas brancas e 6 pretas, todas marcadas com s´ımbolos
distintos. Quantos conjuntos de 7 bolas (retiradas desta urna) podemos formar de modo que pelo
menos 4 bolas do conjunto sejam pretas?
Exerc´ıcio 1.21 Em uma reunia˜o, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo
45 apertos de ma˜o. Quantas pessoas haviam na reunia˜o?
Exerc´ıcio 1.22 Um qu´ımico possui 10 tipos diferentes de substaˆncias. De quantos modos pos-
s´ıveis podera´ associar 6 diferentes tipos destas substaˆncias, sendo que dois tipos (somente) na˜o
podem ser juntados pois produzem mistura explosiva?
Exerc´ıcio 1.23 Quantas diagonais tem um pol´ıgono regular de n lados?
Exerc´ıcio 1.24 Obter o nu´mero de maneiras que nove algarismos iguais a 0 e seis algarismos
iguais a 1 podem ser colocados em sequeˆncia de modo que dois uns na˜o comparec¸am juntos.
Exerc´ıcio 1.25 Quantos subconjuntos de 5 cartas contendo exatamente 3 ases podem ser for-
mados de um baralho de 52 cartas?
Exerc´ıcio 1.26 A diretoria de uma firma e´ composta por 7 diretores brasileiros e 4 japoneses.
Quantas comisso˜es podem ser formadas com 3 diretores brasileiros e 3 japoneses?
Exerc´ıcio 1.27 Em um grupo de 15 pessoas existem 5 me´dicos, 7 engenheiros e 3 advogados.
Selecionando pessoas neste grupo, quantas comisso˜es de 5 pessoas podemos formar, de modo que
cada comissa˜o seja constitu´ıda de 2 me´dicos, 2 engenheiros e 1 advogado?
Exerc´ıcio 1.28 Um homem possui 8 pares de meias distintos. De quantas formas ele pode
selecionar escolher dois pe´s de meia (um direito e um esquerdo) de modo que eles sejam de
pares diferentes?
Exerc´ıcio 1.29 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos nu´meros de algarismos
distintos existem entre 500 e 1000?
Exerc´ıcio 1.30 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos nu´meros pares de 3 algarismos
distintos podemos formar?
Exerc´ıcio 1.31 Quantos nu´meros pares de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,
3, 6, 7, 8 e 9?
Exerc´ıcio 1.32 Suponhamos que todos os nu´meros obtidos a partir da permutac¸a˜o dos algaris-
mos 1,2,4,6 e 8 foram dispostos em ordem crescente. Qual posic¸a˜o ocupa o nu´mero 68412?
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1.9 Respostas dos exerc´ıcios
1.1) 20× 18× 25 =9000.
1.2) 20× 19× 18 =6840.
1.3) 10× 9× 8 =720.
1.4) 6!− 2× 5! =480.
1.5) 90− 18 =72.
1.6) 3× 2× 4× 3× 2× 1 =144.
1.7) 4× 3× 3× 2 =72.
1.8) 94 − 9× 8× 7× 6 =3537.
1.9) 5!× 5!× 2 =28800.
1.10) 2× 9! =725760.
1.11) a) 4!× 5!× 6 =17280; b) 4!× 5!× 2 =5760.
1.12) 4!× 11!× 12 =11496038400.
1.13) 8!
2!2!
=10080.
1.14) 5!
3!2!
=10.
1.15) 7!
4!
=210.
1.16) 20!
10!10!
=184756.
1.17) C5,3 =10.
1.18) C8,3 =56.
1.19) C10,3 × C10,2 =5400.
1.20) C6,4 × C10,3 + C6,5 × C10,2 + C6,6 × C10,1 =2080.
1.21) Cn,2 = 45⇒ n =10.
1.22) C10,6 − C8,4 =140.
1.23) Cn,2 − n = n(n−3)2 .
1.24) C10,6 =210.
1.25) C4,3 × C48,2 =4512.
1.26) C7,3 × C4,3 =140.
1.27) C5,2 × C7,2 × C3,1 =630.
1.28) 8× 7 + 8× 7 =112.
1.29) 5× 8× 7 =280.
1.30) 3× 5× 4 =60.
1.31) 2× 6× 6 =72.
1.32) 3× 4! + 3× 3! + 2× 2! + 1 =95.
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