Notasdeaulatema03

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Fluxo Elétrico e Lei de Gauss
Sérgio Antenor de Carvalho
c©2011
2
Conteúdo
3 Fluxo Elétrico e Lei de Gauss 5
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1.2 Experiência de Michael Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Densidade de Fluxo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.2 ~D ⇐⇒ ~E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Aplicações da Lei de Gauss - Superfícies Gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4.1 Propriedades das Superfícies Gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.5 Divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5.1 Lei de Gauss num Elemento Diferencial de Volume . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.6 1a Equação de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7 Teorema da Divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.8 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3
4 CONTEÚDO
Capítulo 3
Fluxo Elétrico e Lei de Gauss
3.1 Introdução
3.1.1 Objetivos
• introduzir o conceito de fluxo elétrico
• Lei de Gauss
• Teorema da Divergência
• novas abordagens para o cálculo de campo elétrico
3.1.2 Experiência de Michael Faraday
• construiu um par de esferas metálicas concêntricas
• a esfera externa constituída de dois hemisférios que presos formam a esfera
• conchas de material isolante que preenchem o espaço entre as esferas
• com o equipamento desmontado carrega-se a esfera interna (r = a) com uma carga positiva
conhecida
• prende-se os hemisférios de material isolante en torno da esfera interna
• a esfera externa é descarregada por conexão momentânea a terra
• a esfera externa é cuidadosamente separada do material isolante
5
6 CAPÍTULO 3. FLUXO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS
• mede-se a carga negativa induzida em cada hemisfério
• a carga negativa induzida é igual, em magnitude, a carga positiva colocada na esfera interna
• que esta indução era independente do material isolante usado
• uma carga positiva maior induz uma carga negativa maior
• Faraday concluiu que existia um certo tipo de deslocamento independente do meio
• este deslocamento é denominado de fluxo elétrico
• o fluxo representa o deslocamento de carga da esfera interna para a externa
• no aterramento temos cargas negativas deslocando-se para a esfera externa
3.2. DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO 7
• uma maior carga +Q na esfera interna induz uma maior carga −Q na esfera externa
• temos uma proporcionalidade entre fluxo elétrico e a carga elétrica na esfera interna
• no sistema internacional de medidas a constante de proporcionalidade é unitária
Ψ = Q
• fluxo elétrico é medido em coulombs
• fluxo elétrico está dirigido da carga positiva para a carga negativa
• da experiência temos o conceito de fluxo elétrico e deste a sua forma matemática
3.2 Densidade de Fluxo Elétrico
3.2.1 Definição
• na superfície da esfera interna
– Ψ coulombs de fluxo elétrico são produzidos por uma carga Q = Ψ
– a carga Q está uniformemente distribuída sobre uma superfície de área 4pi a2
• podemos definir uma densidade de fluxo elétrico como
D =
Q
4pi a2
C/m2
• no SI a densidade de fluxo elétrico é igual a uma densidade superficial de carga
• como o fluxo elétrico emana de cargas positivas e termina em cargas negativa, definimos um
vetor densidade de fluxo elétrico ~D como
~D|r=a = Q
4pi a2
~ar esfera interna
~D|r=b = Q
4pi b2
~ar esfera interna
8 CAPÍTULO 3. FLUXO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS
• na região do material isolante, isto é, a ≤ r ≤ b temos
~D =
Q
4pi r2
~ar
• se fizermos a esfera interna diminuir, mantendo a mesma carga, no limite torna-se uma carga
pontual com
~D =
Q
4pi r2
~ar
• comparando com a expressão do campo elétrico temos
~D =
Q
4pi r2
~ar ⇐⇒ ~E = Q
4pi ε0 r2
~ar
• assim, no espaço livre temos
~D = ε0 ~E
• embora (agora) seja aplicável somente no vácuo veremos, mas tarde em materiais dielétricos, a
sua aplicação em outros meios
• ela é pode ser generalizada para uma distribuição volumétrica de cargas
~E =
∫
v
ρv dv
′
4pi ε0R2
~aR =⇒ ~D =
∫
v
ρv dv
′
4pi R2
~aR
3.2. DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO 9
3.2.2 ~D ⇐⇒ ~E
• ~D ⇐⇒ ~E
~E =
∫
v
ρv dv
′
4pi ε0R2
~aR ⇐⇒ ~D =
∫
v
ρv dv
′
4pi R2
~aR
• ~D é diretamente proporcional a ~E no espaço livre
• os campos ~D são mais simples que os campos ~E
– não aparece o termo ε0
• ~D está associado com o conceito de fluxo elétrico
• ~E está associado com o conceito de força elétrica
3.2.3 Exemplos
exemplo de aplicação no 1
• encontre o fluxo elétrico ΨE que passa através da superfície mostrada na figura sabendo que
~D = (y~ax + x~ay) 10
−2C/m2
• o fluxo através do elemento diferencial é dado por dΨE = ~D · ~ds, assim
dΨE = (y~ax + x~ay) 10
−2 ·
~ds︷ ︸︸ ︷
dx dz~ay
= x 10−2 dx dz
ΨE =
∫ 2
0
∫ 3
0
x 10−2 dx dz
= 9× 10−2C
exemplo de aplicação no 2
• uma carga pontual de 64µC esta localizada na origem, encontre o fluxo elétrico ΨE que passa
através da superfície esférica definida por r = 26 cm, 0 ≤ θ ≤ pi/2 e 0 ≤ φ ≤ pi/2
~D =
Q
4pi r2
~ar −→ ΨE =
∫
s
~D · ~ds
~ds = r d θ r sen θ d φ~ar
ΨE =
∫
s
Q
4pi r2
~ar · r2 sen θ d θ dφ~ar
10 CAPÍTULO 3. FLUXO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS
ΨE =
∫
s
Q
4pi r2
~ar · r2 sen θ d θ dφ~ar
=
∫ φ=pi/2
φ=0
∫ θ=pi/2
θ=0
Q
4pi
sen θ dθ dφ
=
Q
4pi
[pi/2][1] = 8µC
3.3 Lei de Gauss
3.3.1 Definição
• carga elétrica Q gera um fluxo elétrico ΨE
– ΨE = Q
• definimos um vetor densidade de fluxo elétrico ~D
– sua integração fornece o fluxo elétrico por uma área
– sua direção fornece o sentido do fluxo elétrico
• numa região fechada observamos um vetor ~D
• o que gera este vetor densidade de fluxo elétrico?
– cargas elétricas dentro da região
– o fluxo está saindo da região
• temos um saldo de cargas elétricas positivas
"o fluxo elétrico que atravessa qualquer superfície fechada é igual a carga total en-
volvida por esta superfície"
3.3. LEI DE GAUSS 11
• carga total é a carga líquida dentro da região
• na figura a esquerda temos um saldo de cargas elétricas positivas
• na figura a direita temos que calcular para saber o saldo
"o fluxo elétrico que atravessa qualquer superfície fechada é igual a carga total en-
volvida por esta superfície" ∮
s
~D · ~ds = ΨE = Q
• a carga envolvida pode ser
– conjunto de cargas pontuais Q =
∑
Qn
– uma linha de cargas Q =
∫
l
ρl dl
– uma superfície de cargas Q =
∫
s
ρs ds
– uma distribuição volumétrica de cargas Q =
∫
v
ρv dv
• como a distribuição volumétrica é a mais geral∮
s
~D · ~ds =
∫
v
ρv dv
"o fluxo elétrico que atravessa qualquer superfície fechada é igual a carga total en-
volvida por esta superfície"∮
s
~D · ~ds =
∫
v
ρv dv
• a contribuição do matemático Gauss foi a obtenção da expressão matemática para esta
declaração
• o fluxo que atravessa ~ds é o produto escalar dΨ = ~D · ~ds, assim,
o fluxo total é
Ψ =
∫
dΨ =
∮
superfície
fechada
~D · ~ds
= carga envolvida = Q
12 CAPÍTULO 3. FLUXO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS
3.3.2 Exemplos
• carga pontual na origem do sistema de coordenadas
• o campo elétrico gerado pela carga pontual é
~E =
Q
4pi ε0 r2
~ar
• como ~D = ε0 ~E temos
~D =
Q
4pi r2
~ar
• carga pontual na origem do sistema de coordenadas
• queremos avaliar a expressão∮
s
~D · ~ds =
∫
v
ρv dv
• que superfície fechada escolheremos?
• carga pontual na origem do sistema de coordenadas
• queremos avaliar a expressão∮
s
~D · ~ds =
∫
v
ρv dv
• que superfície fechada escolheremos?
• a expressão do vetor ~D apresenta simetria esférica
~D =
Q
4pi r2
~ar
• carga pontual na origem do sistema de coordenadas
3.4. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS - SUPERFÍCIES GAUSSIANAS 13
• na superfície da esfera de raio a temos
~Ds =
Q
4pi a2
~ar
• o elemento diferencial é ~ds = r2 sen θ dθ dφ~ar = a2 sen θ dθ dφ~ar
• assim temos ∮
s
~D · ~ds =
∫ 2pi
0
∫ pi
0
Q
4pi a2
~ar · a2 sen θ dθ dφ~ar
• carga pontual na origem do sistema de coordenadas∮
s
~D · ~ds =
∫ 2pi
0
∫ pi
0
Q
4pi a2
~ar · a2 sen θ dθ dφ~ar
=
Q
4pi
[2pi] [−cos θ]pi0
= Q
• por que foi fácil avaliar a integração?
– o vetor ~D constante na região de integração
– produto escalar ~D · ~ds trivial (~ar · ~ar)
3.4 Aplicações da Lei de Gauss - Superfícies Gaussianas
3.4.1 Propriedades das Superfícies Gaussianas
• analisemos a lei de Gauss para obter ~D a partir de Q∮
s
~D · ~ds =
∫
v
ρv dv
• é uma equação integral na qual a incógnita aparece sob o sinal de integração
• a solução será fácil se pudermos escolher uma superfície fechada que facilite a integração
• a solução será fácil se pudermos escolher uma superfície fechada que satisfaça às seguintes
condições ∮
s
~D · ~ds =
∫
v
ρv dv
14 CAPÍTULO 3. FLUXO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS
1. ~D em qualquer lugar é normal ou tangencial a superfície fechada assim
~D · ~ds =
{
D ds D é normal
0 D é tangencial
~D · ~ds = Dds cos θ caso geral
• a solução será fácil se pudermos escolher uma superfície fechada que satisfaça às seguintes
condições ∮
s
~D · ~ds =
∫
v
ρv dv
2. na seção diferencial da superfície onde ~D · ~ds 6= 0 D é constante
• com as condições atendidas temos
∮
s
~D · ~ds

~D
normal
ou
tangencial
→
∮
s
D ds
{
D
constante
}
→ D
∮
s
ds
∮
s
ds = área da superfície
• a superfície que atende as condições é denominada superfície gaussiana
• carga pontual na origem do sistema de coordenadas
• perguntas necessárias
– com que coordenadas o vetor fluxo varia?
∗ será função da coordenada r
– que componentes do vetor fluxo existem?
∗ só existe a componente ~ar
• qual é a superfície escolhida?
– a superfície gaussiana é uma superfície esférica com centro na carga
• temos então
– ~D = D~ar, D = f(r)
– ~ds = r2 sen θ dθ dφ~ar
exemplo de aplicação no 1
• carga pontual na origem do sistema de coordenadas
• usando as seguintes considerações
– ~D = D~ar, D = f(r)
– ~ds = r2 sen θ dθ dφ~ar
• obtemos
3.4. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS - SUPERFÍCIES GAUSSIANAS 15∮
s
~D · ~ds =
∮
sup esférica
D ds = q
D
∮
sup esférica
ds = q ⇒ D
∫ 2pi
0
∫ pi
0
r2 sen θ dθ dφ
⇒ 4pi r2D = q
D =
q
4pi r2
→ ~D = q
4pi r2
~ar
exemplo de aplicação no 2
• linha infinita con distribuição de carga ρl
• perguntas necessárias
• com que coordenadas o vetor fluxo varia?
– será função da coordenada ρ
• que componentes do vetor fluxo existem?
– só existe a componente ~aρ
• linha infinita con distribuição de carga ρl
• vetor fluxo elétrico ~D = D~aρ, D = f(ρ)
• qual é a superfície escolhida?
– a superfície gaussiana é uma superfície cilíndrica fechada com eixo na linha infinita
• linha infinita con distribuição de carga ρl
• vetor fluxo elétrico ~D = D~aρ, D = f(ρ)
• aplicando a lei de Gauss temos∮
cilindro
~D · ~ds = Q = D
∫
sup lateral
ds
+ 0
∫
sup topo
ds
+ 0
∫
sup base
ds
16 CAPÍTULO 3. FLUXO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS
• linha infinita con distribuição de carga ρl
• vetor fluxo elétrico ~D = D~aρ, D = f(ρ)
• aplicando a lei de Gauss temos
Q = D
∫ L
0
∫ 2pi
0
ρ dφ dz
= D 2pi ρL
D =
Q
2pi ρL
, ρl =
Q
L
D =
ρl
2pi ρ
→ ~D = ρl
2pi ρ
~aρ → ~E = ρl
2pi ε0 ρ
~aρ
exemplo de aplicação no 3
• calcular e esboçar a distribuição de campo elétrico gerado por uma nuvem esférica de raio a e
densidade de cargas dada por ρv = 3 r
• com que coordenadas o campo varia?
– r no sistema de coordenadas esféricas
• que componentes de ~D estão presentes?
– ~ar no sistema de coordenadas esféricas
• calcular e esboçar a distribuição de campo elétrico gerado por uma nuvem esférica de raio a e
densidade de cargas dada por ρv = 3 r
• o vetor densidade de fluxo elétrico tem a seguinte forma
~D = Dr ~ar, Dr = f(r)
• qual é a superfície gaussiana?
– superfície esférica de raio r centrada na origem
• calcular e esboçar a distribuição de campo elétrico gerado por uma nuvem esférica de raio a e
densidade de cargas dada por ρv = 3 r
• aplicando a Lei de Gauss obtemos para r < a
~ds = r2 sen θ d θ d φ~ar∮
s
~D · ~ds = Dr
∫ θ=pi
θ=0
∫ φ=2pi
φ=0
r2 sen θ d θ d φ = Dr 4pi r
2
∫
ρv dv =
∫ r
0
∫ pi
0
∫ 2pi
0
ρvr
2 sen θd θ d φ dr = 3 pi r4
Dr 4pi r
2 = 3pi r4
~D =
3
4
r2~ar → ~E = 3
4 ε0
r2~ar
3.4. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS - SUPERFÍCIES GAUSSIANAS 17
• calcular e esboçar a distribuição de campo elétrico gerado por uma nuvem esférica de raio a e
densidade de cargas dada por ρv = 3 r
• aplicando a Lei de Gauss obtemos para r > a
• a carga total envolvida é∫
ρv dv =
∫ r=a
0
∫ pi
0
∫ 2pi
0
ρvr
2 sen θd θ d φ dr = 3 pi a4
Dr 4pi r
2 = 3pi a4
~D =
3 a4
4 r2
~ar → ~E = 3 a
4
4 ε0 r2
~ar
• calcular e esboçar a distribuição de campo elétrico gerado por uma nuvem esférica de raio a e
densidade de cargas dada por ρv = 3 r
• para r < a temos
~E =
3 r2
4 ε0
~ar
• para r > a temos
~E =
3 a4
4 ε0 r2
~ar
18 CAPÍTULO 3. FLUXO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS
3.5 Divergência
3.5.1 Lei de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
• aplicaremos a lei de Gauss∮
s
~D · ~ds =
∫
v
ρv dv
• num elemento diferencial de volume
• o que estaremos relacionando?
• lei de Gauss num elemento diferencial de volume
• sistema de coordenadas retangulares
• num ponto P qualquer o vetor densidade de fluxo elétrico ~D é dado por
~D = ~D0 = Dx0~ax +Dy0~ay +Dz0~az
• numa caixa diferencial, centrada em P , com arestas ∆x, ∆ y e ∆ z aplicaremos a lei de Gauss∮
s
~D · ~ds = Q
3.5. DIVERGÊNCIA 19
• a lei de Gauss aplicada no volume diferencial fornece∮
s
~D · ~ds =
∫
frente
+
∫
atra´s
+
∫
esquerda
+
∫
direita
+
∫
topo
+
∫
base
• consideremos a primeira integral
• como o elemento de superfície é muito pequeno ~D é considerado constante sobre esta superfície∫
frente
= ~Dfrente · −→∆Sfrente
= ~Dfrente ·∆ y ∆ z ~ax
= Dx,frente ∆ y ∆ z
• vamos aproximar o valor de Dx na face frontal
• a face frontal está a uma distância ∆x/2 do ponto P , assim
Dx,frente ≈ Dx0 + ∆x
2
× taxa de variação
de Dx com x
≈ Dx0 + ∆x
2
∂ Dx
∂x
• a primeira integral torna-se∫
frente
=
(
Dx0 +
∆x
2
∂ Dx
∂x
)
∆y ∆z
• a integral na superfície posterior fornece∫
atra´s
≈ ~Datra´s · −→∆Satra´s
≈ ~Datra´s · (−∆y∆z~ax)
≈ −Dx,atra´s ∆y∆z
• aproximando Dx,atra´s por
Dx,atra´s ≈ Dx0 − ∆x
2
∂Dx
∂x
• obtemos ∫
atra´s
≈
(
−Dx0 + ∆x
2
∂Dx
∂x
)
∆y∆z
20 CAPÍTULO 3. FLUXO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS
• combinando as duas integrais
obtemos∫
frente
+
∫
atra´s
≈ ∂Dx
∂x
∆x∆ y ∆ z
• usando o mesmo procedimento obtemos∫
direita
+
∫
esquerda
≈ ∂Dy
∂y
∆x∆ y ∆ z
∫
topo
+
∫
base
≈ ∂Dz
∂z
∆x∆ y ∆ z
• reunindo todas as partes combinadas obtemos∮
s
~D · ~ds ≈
(
∂Dx
∂x
+
∂Dy
∂y
+
∂Dz
∂z
)
∆x∆ y ∆ z = q
• reescrevemos como(
∂Dx
∂x
+
∂Dy
∂y
+
∂Dz
∂z
)
≈ q
∆x∆ y ∆ z
=
q
∆ v
• no limite ∆ v → 0 a aproximação torna-se igualdade, assim(
∂Dx
∂x
+
∂Dy
∂y
+
∂Dz
∂z
)
= lim
∆ v→0
q
∆ v
= lim
∆ v→0
∮
s
~D · ~ds
∆ v
= ρv
• a relação
lim
∆ v→0
∮
s
~D · ~ds
∆ v
=
(
∂Dx
∂x
+
∂Dy
∂y
+
∂Dz
∂z
)
• não envolve densidade de cargas e pode ser aplicada a qualquer campo vetorial
• esta operação é denominada de divergência é definida e representada por
∇ · ~A , lim
∆ v→0
∮
s
~A · ~ds
∆ v
• que informação esta operação nos traz?
• divergência de um campo vetorial
∇ · ~A , lim
∆ v→0
∮
s
~A · ~ds
∆ v
• que informação esta operação nos traz?
– razão entre o saldo de fluxo num ponto e o volume deste ponto
– a divergência é uma quantidade escalar
– determina a existência de fontes ou sorvedouros
3.6. 1A EQUAÇÃO DE MAXWELL 21
• fontes - ∇ · ~A > 0
• sorvedouros - ∇ · ~A < 0
• sem fontes ou sorvedouros - ∇ · ~A = 0
• operador nabla ∇ no sistema retangular
∇ , ∂
∂ x
~ax +
∂
∂ y
~ay +
∂
∂ z
~az
• assim
∇ · ~A = ∂ Ax
∂ x
+
∂ Ay
∂ y
+
∂ Az
∂ z
• nos outros sistemas de coordenadas temos
• coordenadas cilíndricas
∇ · ~A = 1
ρ
∂
∂ ρ
(ρAρ) +
1
ρ
∂ Aφ
∂ φ
+
∂ Az
∂ z
• coordenadas esféricas
∇ · ~A = 1
r2
∂
∂ r
(r2Ar) +
1
r sen θ
∂
∂ θ
(Aθ sen θ) +
1
r sen θ
∂ Aφ
∂ φ
3.6 1a Equação de Maxwell
• sabemos que
∇ · ~D , lim
∆ v→0
∮
s
~D · ~ds
∆ v
= lim
∆ v→0
q
∆ v
= ρv
• assim
∇ · ~D = ρv
• esta equação é uma relação pontual
• o que diz a 1a Equação de Maxwell
– fonte ou sorvedouro do vetor densidade de fluxo elétrico é uma distribuição positiva ou
negativa de carga elétrica, respectivamente
22 CAPÍTULO 3. FLUXO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS
3.7 Teorema da Divergência
• da Lei de Gauss temos∮
s
~D · ~ds =
∫
v
ρv dv
• como ∇ · ~D = ρv temos∮
s
~D · ~ds =
∫
v
∇ · ~D dv
• que o Teorema da Divergência, que diz
– a integral da componente normal de qualquer campo vetorial sobre uma superfície fechada
é igual à integral de volume da divergência deste campo
3.8 Aplicações
• o diodo de silício ou de germânio é constituído por uma junção onde há duas camadas de cargas,
uma positiva e a outra negativa, calcular e esboçar o campo elétrico desprezando o efeito das
bordas, isto é, considerando que a junção é plana e infinita, nas camadas as densidades de
cargas são constantes e seu módulo vale ρv
• o que podemos dizer sobre o campo elétrico?
3.8. APLICAÇÕES 23
• o que podemos dizer sobre o campo elétrico?
– só possui componente ~ax
– esta componente só varia com a coordenada x
• temos Ex = f(x) assim
∇ · ~E = ∂ Ex
∂x
=
dEx
dx
=
ρv
ε0
→ Ex =
∫
ρv
ε0
dx
→ Ex = ρv
ε0
x+ k
• para cada região temos uma expressão para o Ex
• na região de cargas positivas 0 < x < h o campo vale E+x = ρvε0 x+ k1
• na região de cargas negativas −h < x < 0 o campo vale E−x = −ρvε0 x+ k2
• como definiremos o valor da constante k1?
• na região de cargas positivas 0 < x < h o campo vale E+x = ρvε0 x+ k1
• onde sabemos o valor do campo na região de cargas positivas?
• em x = h o campo é nulo por quê?
– as contribuições dos planos infinitos se cancelam
– não existe densidade de carga no plano x = h
• assim
E+x (x = h) = 0 =
ρv
ε0
x+ k1 → E+x =
ρv
ε0
(x− h)
24 CAPÍTULO 3. FLUXO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS
• em x = −h o campo é nulo por quê?
– as contribuições dos planos infinitos se cancelam
– não existe densidade de carga no plano x = −h
• assim
E−x (x = −h) = 0 =
ρv
ε0
x+ k2 → E−x = −
ρv
ε0
(x+ h)
• na região 0 < x < h temos
E+x =
ρv
ε0
(x− h)
• na região −h < x < 0 temos
E−x = −
ρv
ε0
(x+ h)
• no ponto x = 0 temos
E−x = −
ρv
ε0
h