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Energia e Potencial
Sérgio Antenor de Carvalho
c©2011
2
Conteúdo
4 Energia e Potencial 5
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 Energia para movimentar uma carga em um campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3 Integral de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.4 Diferença de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.5 Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.6 Potencial de um sistema de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.7 Gradiente do Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.8 Dipolo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.9 Densidade de Energia no Campo Eletrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3
4 CONTEÚDO
Capítulo 4
Energia e Potencial
4.1 Introdução
4.1.1 Objetivos
• determinar a energia gasta para formar um sistema de cargas elétricas
• relacionar esta energia com o campo elétrico
• novas abordagens para o cálculo de campo elétrico
• um sistema de cargas é construído gastando-se energia
• calculamos o campo elétrico de duas formas
– Lei de Coulomb
– Lei de Gauss
• desenvolveremos um novo método
– relação entre energia e campo elétrico
4.2 Energia para movimentar uma carga em um campo elétrico
• uma carga elétrica sob campo elétrico sofre a seguinte força
~Fe = q ~E
• a componente desta força na direção do deslocamento d` é
Fel = ~Fe · ~a` = q ~E · ~a`
• a força aplicada para movimentar a carga é
Fapl = −q ~E · ~a`
• o que significa o sinal de −?
5
6 CAPÍTULO 4. ENERGIA E POTENCIAL
• o gasto de energia para realizar este deslocamento é
dW = −q ~E · ~a` d` = −q ~E · −→d`
• o gasto de energia ( trabalho) para realizar um deslocamento diferencial é
dW = −q ~E · ~a` d` = −q ~E · −→d`
• o trabalho para mover a carga por uma distância finita é
W = −q
∫ final
inicial
~E · −→d`
• Uma carga pontual de q = 5µC é liberada com velocidade inicial nula em um campo elétrico
~E = 2x~ax+ y
3~ay − z ~az V/m. Encontre a troca aproximada de energia do campo para energia
cinética da carga, quando a carga desloca-se uma distância de 10µm do ponto (2, 1, 2)ret.
• em que direção será o movimento inicial da carga?
4.2. ENERGIA PARA MOVIMENTAR UMA CARGA EM UM CAMPO ELÉTRICO 7
• Uma carga pontual de q = 5µC é liberada com velocidade inicial nula em um campo elétrico
~E = 2x~ax+ y
3~ay− z ~az V/m. Encontre a troca aproximada de energia do campo para energia
cinética da carga, quando a carga desloca-se uma distância de 10µm do ponto (2, 1, 2)ret.
• em que direção será o movimento inicial da carga?
• na direção do campo elétrico ~E, assim
∆WE = −q ~E ·
−→
∆ ` = q | ~E||−→∆ `|
∆WE = −5µ
[
(2x)2 + (y3)2 + (z2)2
]1/2
/(2,1,2) 10× 10−6
= −229 pJ → ∆Wc = 229 pJ
• o trabalho para mover a carga em um campo elétrico
W = −q
∫ final
inicial
~E · −→d`
• em que situações o trabalho é nulo?
– ~E e/ou
−→
d` são nulos
– ~E ⊥ −→d`
– existe uma outra situação!
• o elemento diferencial −→d` em coordenadas retangulares é
−→
d` = dx~ax + dy~ay + dz ~az
• o elemento diferencial −→d` em coordenadas cilíndricas é
−→
d` = dρ~aρ + ρ dφ~aφ + dz ~az
• o elemento diferencial −→d` em coordenadas esféricas é
−→
d` = dr~ar + r dθ~aθ + r sen θ dφ~aφ
• estes elementos são gerais e fixos
• os elementos diferenciais representam um deslocamento numa direção genérica
• consideremos que temos um campo elétrico da forma ~E = Er ~ar + Eφ~aφ
8 CAPÍTULO 4. ENERGIA E POTENCIAL
• o produto ~E · −→d` será
~E · −→d` = (Er ~ar + Eφ~aφ) · (dr~ar + r dθ~aθ + r sen θ dφ~aφ)
= Er dr + Eφ r sen θ dφ
• olhando o campo elétrico podemos ver que elementos diferenciais estarão na integral?
W = −q
∫ final
inicial
~E · −→d`
4.3 Integral de Linha
• vamos fazer a interpretação gráfica da integral de linha
W = −q
∫ final
inicial
~E · −→d`
• o trabalho será
W = −q
[
~E1 ·∆~L1
+ ~E2 ·∆~L2 + ...
+ ~E8 ·∆~L8
]
• sendo o campo uniforme temos
W = −q ~E ·
(
∆~L1 +∆~L2 + ...+∆~L8
)
W = −q ~E · ~LBA
• ~LBA vetor do ponto B ao ponto A
• para campo uniforme o trabalho não depende do caminho escolhido
• Calcule o trabalho realizado ao mover uma carga q sob o campo de uma linha infinita de cargas,
por dois caminhos: a) percurso circular; b) percurso radial
4.3. INTEGRAL DE LINHA 9
• o campo de uma linha infinta no eixo z é
~E =
ρl
2pi ε0 ρ
~aρ
• no percurso circular o trabalho é nulo
W = −q
∫ final
inic
ρl
2pi ε0 ρ1
~aρ · ρ1 d φ~aφ = 0
• no percurso radial o trabalho é
W = −q
∫ final
inic
ρl
2pi ε0 ρ
~aρ · d ρ~aρ = −q
∫ b
a
a
2pi ε0
d ρ
ρ
= − q ρl
2pi ε0
ln
(
b
a
)
• b > a→ ln(b/a)) > 0 não gastamos energia
• b < a→ ln(b/a)) < 0 gastamos energia por quê?
10 CAPÍTULO 4. ENERGIA E POTENCIAL
4.4 Diferença de Potencial
• trabalho realizado por uma fonte externa ao deslocar uma carga sob um campo ~E é
W = −q
∫ final
inicial
~E · −→d`
• vemos que esta expressão depende da carga q
• da mesma forma que a definição do campo elétrico podemos definir uma expressão indepen-
dente da carga q
• esta definição leva ao conceito de diferença de potencial (ddp)
• diferença de potencial é o trabalho realizado pelo fonte externa para mover uma carga unitária
positiva
ddp , −
∫ final
inicial
~E · −→d` J/C → V
VAB , −
∫ A
B
~E · −→d` V
• para movimentar a carga positiva
• VAB > 0 gasto energia
• VAB < 0 não gasto energia
• Determine a diferença de potencial entre os pontos A e B nas distâncias radiais rA e rB de uma
carga pontual q
• o campo elétrico é dado por
~E =
q
4pi ε0 r2
~ar e
−→
d` = dr~ar
4.5. POTENCIAL 11
• a ddp VAB será
VAB = −
∫ rA
rB
q
4pi ε0 r2
dr
=
q
4pi ε0
(
1
rA
− 1
rB
)
• Determine a diferença de potencial entre os pontos A e B nas distâncias radiais rA e rB de uma
carga pontual q
VAB =
q
4pi ε0
(
1
rA
− 1
rB
)
• para movimentar a carga positiva
• rB > rA → VAB > 0 gasto energia
• rB < rA → VAB < 0 não gasto energia
4.5 Potencial
• até agora calculamos ddp entre dois pontos genéricos
• para facilitar comparações é conveniente adotar uma referência comum
• um ponto em relaçao ao qual calculamos as ddp nos outros pontos
– num laboratório medimos a ddp de um ponto do circuito em relação ao terra comum
– podemos medir a ddp de um ponto em um estágio do sistema em relação a entrada deste
estágio
• duas referências são comuns
– o infinito
– a superfície da Terra ( terra)
12 CAPÍTULO 4. ENERGIA E POTENCIAL
• potencial é a ddp em relação a uma referência comum pré-estabelecida
• exemplo
– o infinito
– a superfície da Terra ( terra)
– terra do sistema ou circuito
• campo potencial de uma carga pontual
VAB =
q
4pi ε0
(
1
rA
− 1
rB
)
• vamos adotar referência V = 0 para r = rB =∞
VA =
q
4pi ε0
1
rA
→ V = q
4pi ε0 r
• vamos adotar uma referência de V = 0 indireta
• por exemplo V = V0 em r = r0
– no caso da carga pontual
– V = 10V em r = 2m
V =
q
4pi ε0 (r = 2)
+ C1 = 10V
C1 = 10− q
8pi ε0
4.6. POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS 13
• a expressão para V torna-se
V = 10 +
q
4pi ε0 r
− q
8pi ε0
V
• da expressão do campo potencial de uma carga pontual
V =
q
4pi ε0 r
• vemos que temos uma superfície em que todos os pontos estão num mesmo potencial
• superfície eqüipotencial superfície em que todos os pontos estão num
mesmo potencial
• o que representa esta superfície?
• a superfície eqüipotencial de uma carga pontual é uma superfície esférica com centro na carga
• qual seria a superfície eqüipotencial de uma linha infinita carregada com ρl = ρ0?
• superfície eqüipotencial de uma linha infinita carregada com ρl = ρ0?
4.6 Potencial de um sistema de cargas
• a expressão do campo potencial de uma carga pontual é
V =
q
4pi ε0 r
• o campo elétrico gerado por uma carga pontual é
~E =
q
4pi ε0 r2
~ar
• o que observamos nas duas expressões?
• o termo 1
r2
é igual a − ∂
∂ r
1
r
• uma relação entre V e ~E deve existir e nós a deduziremos!
14 CAPÍTULO 4. ENERGIA E POTENCIAL
• agora calcularemos o potencial de distribuições de carga
• o potencial de uma carga pontual é
V =
q
4pi ε0 r
• com n cargas e usando superposição temos
V =
q1
4pi ε0 r1
+ · · ·
+
qn
4pi ε0 rn
=
n∑
m=1
qm
4pi ε0 rm
• porque podemos usar a superposição?
• para distribuições contínuas de cargas temos
• distribuição linear
V =
∫
l
ρl dl
4pi ε0R
• distribuição superficial
V =
∫
s
ρs ds
4pi ε0R
• distribuição volumétrica
V =
∫
v
ρv dv
4pi ε0R
• Determine o campo potencial V , ao longo do eixo z, para uma linha na forma de um anel com
densidade de carga ρl
• temos uma distribuição linear
V =
∫
l
ρl dl
4pi ε0R
• dl = a d φ′ e R = √a2 + z2
4.6. POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS 15
• substituindo na integral temos
V =
∫ 2pi
0
ρl a d φ
′
4pi ε0
√
a2 + z2
=
ρl a
2 ε0
√
a2 + z2
V
• o potencial devido a uma carga pontual é independente do caminho escolhido
• o potencial de qualquer distribuição de cargas é independente do caminho escolhido, por quê?
• a diferença de potencial independe do caminho escolhido
• este importante resultado é estabelecido por∮
~E · −→d` = 0
• que é válido para campos invariantes no tempo
• consideremos um circuito dc simples
• a equação ∮
~E · −→d` = 0
• estabelece que
– não há trabalho envolvido no deslocamento de uma unidade de carga entre os pontos A e
B
• o somatório das tensões num laço fechado é igual a zero
16 CAPÍTULO 4. ENERGIA E POTENCIAL
4.7 Gradiente do Potencial
• até agora temos dois métodos de determinação do potencial, através
• do campo elétrico ~E • da distribuição de cargas
V = −
∫
~E · −→d` V =
∫
v
ρv dv
4pi ε0R
• se queremos determinar o campo elétrico ~E nenhum destes métodos são práticos, por quê?
• queremos estabelecer uma operação V → ~E mas fácil que V = − ∫ ~E · −→d`
• V → ~E mas fácil que V = − ∫ ~E · −→d`
• considerando uma ddp incremental ∆V temos
∆V ≈ − ~E · ~∆L = −E∆L cos θ
• considerando uma referência V será uma função do ponto final (x, y, z)
• V é uma função unívoca, por quê?
• com estas considerações podemos passar ao limite e obter
d V
dL
= −E cos θ
• em que situação
d V
dL
= −E cos θ
• é maximo?
• quando cos = −1, assim temos
d V
dL |max
= E
• conhecemos duas características da relação ~E e V
– magnitude de ~E = d V
dL |max
– a direção de ~E é oposta ao do crescimento de V , por quê?
4.7. GRADIENTE DO POTENCIAL 17
• na superfície eqüipotencial temos ∆V = 0, assim
∆V = − ~E · ~∆L = 0
• se ~E 6= 0 e ~∆L 6= 0 temos
~E ⊥ ~∆L
• o campo elétrico é perpendicular a superfície eqüipotencial, assim
~E = −d V
dL |max
~aN
• onde ~aN é o vetor unitário normal a superfície eqüipotencial na direção de crescimento do
potencial
• a operação sobre V pela qual obtemos ~E
~E = −d V
dL |max
~aN = −d V
dN
~aN
• é conhecida como gradiente de um campo escalar T
Gradiente deT = ∇T = d T
dN
~aN
• assim
~E = −∇V
• o que esta equação expressa?
• o que esta equação expressa?
~E = −∇V
18 CAPÍTULO 4. ENERGIA E POTENCIAL
• o gradiente é definido em cada sistema de coordenadas
• sistema de coordenadas retangulares
∇V = ∂V
∂x
~ax +
∂V
∂y
~ay +
∂V
∂z
~az
• sistema de coordenadas cilíndricas
∇V = ∂V
∂ρ
~aρ +
1
ρ
∂V
∂φ
~aφ +
∂V
∂z
~az
• sistema de coordenadas esféricas
∇V = ∂V
∂r
~ar +
1
r
∂V
∂θ
~aθ +
1
r sen θ
∂V
∂φ
~aφ
• Em uma região do espaço livre temos o campo potencial V = 2x2 y z − 5 y z V , determine o
campo elétrico ~E e a densidade volumétrica de carga ρv.
• como resolvemos?
• Em uma região do espaço livre temos o campo potencial V = 2x2 y z − 5 y z V , determine o
campo elétrico ~E e a densidade volumétrica de carga ρv.
• da relação ~E = −∇V obtemos
~E = −4x y z~ax −
(
2x2 z − 5 z) ~ay − (2x2 y − 5 y) ~az V/m
• da relação ~D = ε0 ~E e ∇ · ~D = ρv obtemos
~D =
(−4x y z~ax − (2x2 z − 5 z)~ay − (2x2 y − 5 y)~az) ε0C/m2
ρv = ∇ · ~D = −4 y z ε0C/m3
4.8. DIPOLO ELÉTRICO 19
4.8 Dipolo Elétrico
• Determine o campo elétrico devido a um dipolo elétrico, na região de campo distante
• o potencial num ponto P é dado por
V =
q
4pi ε0
(
1
R1
− 1
R2
)
=
q
4pi ε0
(
R2 −R1
R1R2
)
• aproximação para pontos distantes
• o que podemos aproximar em um ponto distante?
• aproximação para pontos distantes
• no denominador fazemos R1 ≈ R2 ≈ r assim
V =
q
4pi ε0
(
R2 −R1
r2
)
• no numerador o que podemos fazer?
• aproximação para pontos distantes
• no numerador devemos definir uma aproximação para R2 −R1
20 CAPÍTULO 4. ENERGIA E POTENCIAL
• num ponto distante consideramos R1 ‖ r ‖ R2, assim, R2 −R1 = d cos θ
• a expressão para V torna-se
V =
q d cos θ
4pi ε0 r2
• o campo elétrico é dado por
~E = −∇V = −
(
∂V
∂r
~ar +
1
r
∂V
∂θ
~aθ +
1
r sen θ
∂V
∂φ
~aφ
)
=
q d
4pi ε0 r3
(2 cos θ~ar + sen θ~aθ) V/m
• momento de dipolo
– definimos um vetor dirigido de −q para +q
• a partir deste vetor definimos o momento de dipolo como
~p = q ~d
• como ~d · ~ar = d cos θ podemos escrever o potencial V como
V =
q d cos θ
4pi ε0 r2
=
~p · ~ar
4pi ε0 r2
• para um dipolo fora da origem temos
V =
~p · ~aR
4pi ε0R2
4.8. DIPOLO ELÉTRICO 21
• o campo elétrico de um dipolo é
~E =
q d
4pi ε0 r3
(2 cos θ~ar + sen θ~aθ) V/m
• aplicando o método para definir as linhas de campo obtemos
Eθ
er
=
r dθ
dr
=
senθ
2 cosθ
→ dr
r
= 2 cotθ dθ
• a partir da qual obtemos
r = C1 sen
2θ
• na figura temos a linhas de força para C1 = 1; 1, 5; 2 e 2, 5
r = C1 sen
2θ
V =
q d cos θ
4pi ε0 r2
=
~p · ~ar
4pi ε0 r2
~E =
q d
4pi ε0 r3
(2 cos θ~ar + sen θ~aθ) V/m
• o que acontece quando o dipolo sofre a influência de um campo elétrico externo?
• comparemos os resultados
carga pontual dipolo elétrico
V = q
4pi ε0 r
V V = q d cos θ
4pi ε0 r2
V
~E = q
4pi ε0 r2
~ar V/m ~E =
q d
4pi ε0 r3
(2 cos θ~ar + sen θ~aθ) V/m
22 CAPÍTULO 4. ENERGIA E POTENCIAL
4.9 Densidade de Energia no Campo Eletrostático
• vamos desenvolver uma expressão para avaliar a energia no campo eletrostátrico
• de onde vem esta energia?
– gastamos uma energia para formar uma distribuição de cargas - fonte
• para colocar uma carga q2 em um ponto sob um campo elétrico gerado por uma carga q1 requer
W2 = q2 V21
{
1o índice indica localização
2o índice indica fonte
• para colocar outra carga q3 depois de ter colocado a carga q2 requer
W3 = q3 V31 + q3 V32
• o trabalho total para posicionar n cargas é
WE = q2 V21 + q3 V31 + q3 V32 + q4 V41 + q4 V42 + q4 V43 + · · ·
4.9. DENSIDADE DE ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO 23
• o trabalho total para posicionar n cargas é
WE = q2 V21 + q3 V31 + q3 V32 + q4 V41 + q4 V42 + q4 V43 + · · ·
• observemos que
q3 V31 = q3
q1
4pi ε0R13
= q1
q3
4pi ε0R31
= q1 V13
• assim podemos escrever uma outra expressão para WE como
WE = q1 V12 + q1 V13 + q2 V23 + q1 V14 + q2 V24 + q3 V34 + ·
· ·
• o trabalho total para posicionar n cargas é
WE = q2 V21 + q3 V31 + q3 V32 + q4 V41 + q4 V42 + q4 V43 + · · ·
• segunda expressão para WE
WE = q1 V12 + q1 V13 + q2 V23 + q1 V14 + q2 V24 + q3 V34 + · · ·
• somando as duas expressões para WE obtemos
2.0WE = q1 (V12 + V13 + V14 + · · · )
+ q2 (V21 + V23 + V24 + · · · )
+ q3 (V31 + V32 + V34 + · · · ) + · · ·
• o que representa cada soma entre ( )
• cada soma entre ( ) é o potencial devidos a todas as cargas exceto a carga do ponto
V12 + V13 + V14 + · · · = V1
V21 + V23 + V24 + · · · = V2
Vn1 + Vn2 + Vn3 + · · · = Vn
• assim podemos escrever a expressão para WE como
WE =
1
2
N∑
m=1
qm Vm
24 CAPÍTULO 4. ENERGIA E POTENCIAL
• para uma distribuição volumétrica de cargas ρv temos
WE =
1
2
∫
vol
ρv V dv
• vamos trabalhar a expressão
WE =
1
2
∫
vol
ρv V dv
• para obter uma em termos do campo elétrico
• sabemos que ∇ · ~D = ρv, assim
WE =
1
2
∫
vol
∇ · ~D V dv
• usando a identidade vetorial ∇ · (V ~D) ≡ V (∇ · ~D) + ~D · (∇V ) obteremos
• usando a identidade vetorial ∇ · (V ~D) ≡ V (∇ · ~D) + ~D · (∇V ) obteremos
WE =
1
2
∫
vol
∇ · ~D V dv = 1
2
∫
vol
(
∇ · (V ~D)− ~D · (∇V )
)
dv
• usando o teorema da divergência na 1a integral obtemos
WE =
1
2
∮
s
V ~D · ~ds − 1
2
∫
vol
~D · ( ~E) dv
• considerando que o volume deve conter todas as cargas, podemos considerar o volume infinito!
por quê?
• se o volume é infinito a 1a integral é nula! por quê?
• a integral ∮
s
V ~D · ~ds
• é nula porque
– V varia com 1/r, ~D varia com 1/r2 e ds cresce com r2 assim
– o integrando varia com 1/r
– no infinito o integrando é nulo!
• a expressão para a energia torna-se
WE =
1
2
∫
vol
~D · ~E dv ou WE = 1
2
∫
vol
ε0 | ~E|2 dv
• determine a energia armazenada em um cabo coaxial com L metros de comprimento sabendo
que o campo interno é dado por
~E =
a ρs
ε0 ρ
~aρ
4.9. DENSIDADE DE ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO 25
• o campo foi obtido usando a lei de Gauss!
• em que região está armazenada a energia?
• em que região está armazenada a energia?
• na região onde o campo não é nulo
• integrando na região entre os condutores obtemos
WE =
1
2
∫ L
0
∫ b
a
∫ 2pi
0
ε0 (a ρs)
2
(ε0 ρ)2
ρ dφ dρ dz
=
1
2
(a ρs)
2
ε0
L 2pi ln
(
b
a
)
=
pi La2 ρ2s
ε0
ln
(
b
a
)
J