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Material Didático para a Disciplina de
Introdução à Lógica
Curso de Ciência da Computação
Profa. Dra. Thereza Patrícia Pereira Padilha
Palmas – TO
Última Revisão: Janeiro/2013
Apostila de Introdução à Lógica Página 2
Sumário
Aula 1 – Raciocínio Lógico-Quantitativo .......................................................................... 3
Aula 2 – Enunciado Categórico ..................................................................................... 20
Aula 3 – Lógica Proposicional ....................................................................................... 37
Aula 4 – Tabela-verdade ............................................................................................... 56
Aula 5 – Implicação e Equivalência Lógica ................................................................... 64
Aula 6 – Prova do Condicional ...................................................................................... 82
Aula 7 – Redução ao Absurdo ...................................................................................... 84
Aula 8 - Árvore de Refutação para Lógica Proposicional .............................................. 85
Aula 9 – Lógica de Predicados ...................................................................................... 92
Aula 10 – Regras para Lógica de Predicados ............................................................. 106
Aula 11 – Árvore de Refutação para Lógica de Predicados ........................................ 111
Aula 12 – Programação em Lógica - Prolog ................................................................ 115
Apostila de Introdução à Lógica Página 3
Aula 1 – Raciocínio Lógico-Quantitativo
Introdução
Nesta primeira aula da nossa disciplina, iremos abordar os conceitos da teoria dos
conjuntos. Para isso, apresentaremos a forma de notação (representação) dos conjuntos,
elementos e operações. Serão descritas também algumas leis já definidas na literatura
envolvendo as relações entre conjuntos. Por fim, apresentaremos os diagramas de Venn como
um mecanismo de representação dos conjuntos, elementos e seus relacionamentos, e ainda
fórmulas para o cálculo de probabilidades, arranjos, permutações e combinações.
1.1 Teoria dos Conjuntos
1.1.1 Definição e notação
O estudo da teoria dos conjuntos é importante para várias subáreas da área da
informática e computação, tais como: lógica, banco de dados, inteligência artificial, entre outros.
Segundo Mortari (2001), os conjuntos podem ser definidos como coleções não-ordenadas
(classes ou agregado) de objetos.
A notação usada para representar um conjunto é por meio de letras maiúsculas. Os
elementos, por sua vez, são representados por letras minúsculas, quando se trata de letras.
Os elementos do conjunto são separados por vírgula (mais comum) ou por ponto-e-vírgula.
Assim, temos os seguintes exemplos:
16,14,12,10,8,6,4,2A
edcbaB ,,,,
99,...,5,4,3,2,1C
inclusive 50 a inclusive 1 de ímpares, inteiros númerosD
20| xxE
pares inteiros númerosF
Nestes exemplos, temos a apresentação do conjunto
A
contendo uma coleção de
números, iniciando com dois e terminando em 16, com um incremento de dois. No conjunto
B
,
temos um conjunto de vogais do nosso alfabeto. No conjunto
C
, temos a especificação
limitada dos números pertencentes ao conjunto embora não seja possível a sua visualização.
Já no conjunto
D
, embora temos uma descrição é possível identificar quais valores pertencem
Apostila de Introdução à Lógica Página 4
a este conjunto. Assim, podemos dizer que
A
,
B
,
C
e
D
são conjuntos limitados, ou seja,
possui um conjunto específico de elementos.
Outro aspecto que podemos analisar nos conjuntos limitados é a sua cardinalidade,
isto é, a quantidade de elementos que um conjunto finito possui. A cardinalidade é denotada
por
)( conjunton
. Considerando estes conjuntos, teríamos:
8)( An
5)( Bn
99)( Cn
25)( Dn
PS: A ordem em que os elementos são apresentados num conjunto é irrelevante. Por
exemplo,
},,{,, abccbaX
(Roisenberg, 2008).
O conjunto
E
, por sua vez, é constituído por todos os elementos que são maiores ou
igual a 20. Neste caso, usamos a variável
x
para designar a existência de um elemento sendo
que este precisa ser maior ou igual a 20. Neste caso, lê-se “
x
, tal que
x
é maior ou igual a 20”.
No conjunto
F
é composto por todos os números inteiros pares. De forma similar ao conjunto
D
, a partir da descrição é possível identificar quais os elementos que pertencem a este
conjunto. No caso dos conjuntos
E e F , especificamente, podemos ainda denominá-los de
ilimitados, ou seja, não existe um limite definido.
1.1.2 Conjuntos especiais
Dentre os conjuntos existentes, podemos destacar a existência de três conjuntos
especiais, que são: vazio, unitário e universo (Iezzi e Murakami, 1993). Vamos analisar e
exemplificar agora cada um desses conjuntos.
O conjunto vazio, como seu próprio nome indica, é vazio, isto é, não possui elementos.
Assim, podemos representar um conjunto vazio da seguinte maneira:
ou
É importante ressaltar que o conjunto vazio faz parte de todo conjunto, ou seja, é um
subconjunto de todos os outros conjuntos.
Apostila de Introdução à Lógica Página 5
Não confundam. A representação do conjunto vazio é realizada somente por
ou
e
não por
}{
(Mortari, 2001).
Um conjunto é chamado unitário quando este possui somente um elemento. Alguns
exemplos de conjunto unitário são:
2T
aZ
MariaV
E um conjunto universo refere-se a reunião de todos os elementos dos conjuntos em
questão. A notação utilizada para denotar o conjunto universo é
U
.
A repetição dos elementos num conjunto é também irrelevante. Por exemplo,
},,{,,,,,, cbabbccbaaX
(Roisenberg, 2008).
1.1.3 Relações entre conjuntos
Pertinência é uma relação que podemos analisar se elementos pertencem, ou seja,
fazem parte de um determinado conjunto. Para isso, utilizamos o símbolo
, para representar
tal fato. Assim, podemos exemplificar a relação de pertinência da seguinte forma, observando
os conjuntos definidos na seção 1.1:
A2
(lê-se: 2 pertence ao conjunto A)
Bd
(lê-se: d pertence ao conjunto B)
C52
(lê-se: 52 pertence ao conjunto C)
E500
(lê-se: 500 pertence ao conjunto E)
Quando não se tem esta relação de pertinência entre elemento e conjunto, dizemos que
tal elemento não pertence ao conjunto. Neste caso, usamos o símbolo
para mostrar esta
informação. Desta maneira, alguns exemplos desta relação são:
A3
(lê-se: 3 não pertence ao conjunto A)
Bt
(lê-se: t não pertence ao conjunto B)
D57
(lê-se: 57 não pertence ao conjunto D)
F1
(lê-se: 1 não pertence ao conjunto F)
Apostila de Introdução à Lógica Página 6
Além de verificar se um elemento pertence ou não a um conjunto, podemos ainda
investigar sobre a ocorrência de subconjuntos. Dizemos que um conjunto é subconjunto do
outro quando todos os elementos do primeiro conjunto estão presentes também no segundo.
Desta maneira, dizemos que o primeiro conjunto está contido no segundo. Analisando os
conjuntos C e D definidos anteriormente, podemos afirmar que o conjunto D está contido em C.
De modo notacional, podemos expressar esta relação da seguinte forma:
CD
Outra forma de expressar este fato é por meio da relação
contém. Assim, podemos
dizer que
C
contém
D
, que pode ser expresso da seguinte forma:
DC
A partir desses relacionamentos entre conjuntos, é possível identificar algumas
propriedades genéricas, que são (Mortari, 2001):
A
AA
se
BA
e CB então CA
se BA e AB então BA
O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado
A
é chamado de conjunto
potência (ou conjunto das partes) de
A
, denotado por
)(AP
(WIKIPEDIA, 2008). Podemos
ainda definir assim:
AxxAP |)(
O número total de subconjuntos possíveis num conjunto qualquer é encontrado pela
fórmula n2 , em que
n refere-se à quantidade de elementos do conjunto. Considerando
5,3,1S
, então teremos
823
. Assim, teremos oito subconjuntos. São eles:
1
3
5
3,1
5,1
5,3
Apostila de Introdução à Lógica Página 7
5,3,1
Ou seja,
5,3,1,5,3,5,1,3,1,5,3,1,)( SP
.
Além dessas operações, podemos também estabelecer a igualdade entre dois
conjuntos. Neste caso, dizemos que os conjuntos são iguais quando possuem exatamente os
mesmos elementos. Considerando o conjunto S apresentado anteriormente e o conjunto
3,5,1C
, então podemos representar esta igualdade da seguinte forma:
CS
1.1.4 Operações sobre conjuntos
Como você já estudou a usar a notação dos elementos e conjuntos, vamos agora
aprender a realizar operações entre conjuntos, visando observar quais elementos fazem
parte de uma operação e, consequentemente, identificando um novo conjunto. Assim, vamos
agora aprender o comportamento das operações de união, interseção, complemento e
diferença perante aos conjuntos analisados. Para isso, considere os conjuntos
10,9,8,7,6,5,4,3,2,1U
,
6,4,2A e 5,4,3,2,1B .
1.1.4.1 União
A operação de união entre conjuntos é formada pela reunião de todos os elementos
dos conjuntos envolvidos. Para representar a operação de união usamos o símbolo
.
Por exemplo, considerando os conjuntos
A
e
B
definidos anteriormente, podemos
denotar a união destes conjuntos por
BA
. Neste caso, temos:
BA
{
x
|
Ax
ou
Bx
}
No modo mais detalhado, a união dos conjuntos
A
e
B
pode ser visualizada como
segue:
}6,5,4,3,2,1{ BA
1.1.4.2 Interseção
A operação de interseção entre conjuntos é formada pela reunião dos elementos que
pertencem aos conjuntos envolvidos simultaneamente. Ou seja, estes elementos precisam
pertencer aos conjuntos ao mesmo tempo. Para representar a operação de interseção usamos
o símbolo
.
Por exemplo, considerando os conjuntos
A
e
B
definidos anteriormente, podemos
denotar a interseção destes conjuntos por
BA
. Neste caso, temos:
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BA
{
x
|
Ax
e
Bx
}
Então, observando os elementos dos conjuntos, teremos:
}4,2{ BA
1.1.4.3 Complemento
A operação de complemento de um conjunto qualquer é formada pelos elementos que
fazem parte do conjunto universo, mas não deste conjunto em questão. Assim, considerando o
conjunto A, o complemento de A, representado por
A
, pode ser definido da seguinte forma:
A = { x | Ux e Ax }
Ou ainda definido com a expressão
AUA
. Assim, teremos
10,9,8,7,5,3,1A
.
1.1.4.4 Diferença
Dados os conjuntos
A
e
B
, a operação de diferença entre conjuntos é representada
por
BA
, de forma semelhante à matemática básica. Neste caso, a diferença entre estes
conjuntos é formada por elementos pertencentes à
A e não a B . Sendo assim, poderíamos
expressar esta operação da seguinte maneira:
}6{ BA
1.1.5 Propriedades
Com relação às operações entre conjuntos, existem várias propriedades já
predefinidas na literatura. As principais propriedades podem ser conferidas na tabela 1, na qual
apresenta também um exemplo do seu comportamento usando os conjuntos
A
,
B
e
C
.
Tabela 1: Propriedades de Conjuntos
Nome da Propriedade Exemplo
Idempotência
AAA
AAA
Identidade
AA
AUA
Associativa
CBACBA )()(
CBACBA )()(
Comutativa
ABBA
ABBA
Distributiva
)()()( CABACBA
)()()( CABACBA
De Morgan
BABA
BABA
Apostila de Introdução à Lógica Página 9
Provando a veracidade da propriedade de De Morgan, por exemplo, observe o seguinte
raciocínio para a primeira fórmula:
1. BAx
2. BAx
3. Ax ou Bx
4. Ax e Bx
5. BAx
6. Logo, BABA
De forma análoga ocorre com a segunda fórmula, conforme pode ser visto a seguir:
1. BAx
2. BAx
3. Ax e Bx
4. Ax ou Bx
5. BAx
6. Logo, BABA
A prova das outras propriedades pode ser realizada de modo similar ao apresentado
com as fórmulas da propriedade de De Morgan.
1.1.6 Diagramas de Venn
Com intuito de representar graficamente os elementos pertencentes aos conjuntos, foi
criado um diagrama envolvendo os conjuntos existentes. Este diagrama foi criado pelo
matemático John Venn e é mais conhecido na literatura por diagrama de Venn.
Portanto, os diagramas de Vennn são representações gráficas de conjuntos num plano
(TUTORVISTA, 2008). O conjunto universal é representado por um retângulo e os outros
conjuntos normalmente são representados por círculos, elipses ou quadrados localizados
dentro do retângulo. Então um possível diagrama Venn pode ser visualizado na figura 1.
Apostila de Introdução à Lógica Página 10
Figura 1: Diagrama de Venn – Exemplo 1.
Neste caso, temos o conjunto universo representado pelo retângulo e os conjuntos
P
e
Q
, representados por dois círculos. Neste exemplo, o conjunto
P
é mais abrangente e o
conjunto
Q se encontra dentro do conjunto P . Assim, podemos concluir que PQ , que
significa que
Q
está contido em
P
, ou seja,
Q é um subconjunto de P .
Outro exemplo do diagrama de Venn pode ser visualizado na figura 2.
Figura 2: Diagrama de Venn – Exemplo 2.
Neste exemplo, temos também os conjuntos
P e
Q
. Observe que alguns elementos
podem pertencer a
P e não a
Q
. De forma similar, podem existir elementos que pertençam a
Q e não a P . Porém, elementos comuns a este dois conjuntos podem existir e, neste caso,
estes precisam ser inseridos no local em que há a fusão entre os conjuntos
P
e Q . E também
pode ser que existam elementos que não estejam nestes dois conjuntos e, assim, pertencendo
somente ao conjunto universo.
P
U
Q
P
U
Q
Apostila de Introdução à Lógica Página 11
Incorporando alguns elementos a estes três conjuntos, poderemos visualizar este novo
diagrama na figura 3.
Figura 3: Diagrama de Venn – Exemplo 3.
Observe que neste exemplo, foram adicionados elementos na região do conjunto
universo, excetuando às regiões delimitadas por
P
e Q , bem como para as regiões de P e
Q
, inclusive, a região comum ao
P
e ao Q . Portanto, podemos concluímos as seguintes
operações:
}10,9,8,7,6,5,4,23,1{U
}10,9,8,7,6,5,4,3{QP
}6,5{QP
}8,7,2,1{P
}10,9,4,3,2,1{Q
}10,9,4,3{QP
}8,7{ PQ
Embora foram apresentados somente dois conjuntos
(
P
e Q ), um diagrama de Venn
pode possuir diversos conjuntos simultaneamente. A sobreposição de conjuntos num diagrama
é uma característica bastante normal, pois possibilita apresentar elementos comuns aos
conjuntos.
1.2 Probabilidades
P
U
Q
1
3
4
2
5
7
6 8
9
10
Apostila de Introdução à Lógica Página 12
Se lançarmos uma moeda e observarmos qual face ficará para cima quando estiver no solo,
teremos apenas a certeza de que metade das chances é de ser cara e a outra metade de ser
coroa. Assim, existe a probabilidade de 50% de cara e 50% de coroa, isso é um fenômeno
probabilístico. As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de
determinado evento.
A probabilidade de um evento A ocorrer é encontrada pela fórmula:
A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 (zero). A probabilidade de um
acontecimento certo é 1. A probabilidade para qualquer acontecimento é 0 ≤ P(A) ≤ 1
Por exemplo: no caso de lançamento de um dado comum, S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, se nos interessa
somente a ocorrência de números ímpares, então o evento A={1, 3, 5}, a probabilidade é:
Algumas regras de probabilidade são:
Regra da Adição (caso geral)
Regra da Adição (mutuamente exclusivo)
Regra da Multiplicação (caso geral)
Regra da Multiplicação (mutuamente exclusivo)
1.3 Arranjo, Combinação e Permutação
Arranjo simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro
pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. O número de arranjos simples de n
elementos em grupos de p elementos é dado por:
Apostila de Introdução à Lógica Página 13
Esta fórmula mostra que os arranjos dos n elementos tomados p a p podem ser escritos
utilizando-se fatoriais.
Por exemplo: Seja C={A,B,C,D}, n=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados
2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem
aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto.
No arranjo com repetição, todos os n elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de
p elementos. A fórmula para calcular a quantidade de agrupamentos é:
Por exemplo: Seja C={A,B,C,D}, n=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos
tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos
os agrupamentos estão no conjunto.
Combinação simples é o tipo de agrupamento, sem repetição em que um grupo é diferente de
outro apenas pela natureza dos elementos componentes. O número de combinações de n
elementos de grupos de p elementos é igual ao número de arranjos de n elementos tomados p
a p, dividido por p!, isto é:
Obs: Combinação se usa quando quer agrupar coisas em que a ordem não importa.
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, n=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados
2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer
na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto.
Permutação simples é o tipo de agrupamento ordenado, sem repetição, em que entram todos
os elementos em cada grupo. A permutação simples é um caso particular de arranjo simples. O
Apostila de Introdução à Lógica Página 14
número de permutações simples que se pode formar com n elementos é igual ao fatorial de n,
ou seja:
Por exemplo, com os elementos A,B e C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB,
BAC, BCA, CAB e CBA.
Agora, se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos
repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, tem-se um problema de
permutações com elementos repetidos. A fórmula para calcular o número total de
permutações é dada por:
Por exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARA. A letra
A ocorre 3 vezes e a letra R ocorre 2 vezes. As permutações com repetição desses 2
elementos do conjunto C={A,R} em agrupamentos de 5 elementos são 15 grupos que contêm a
repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os
agrupamentos estão no conjunto.
Atividades
1. De acordo com os princípios da teoria dos conjuntos, analise as afirmativas a seguir
associando V para verdadeira e F para falsa e, depois, assinale a alternativa contendo a
seqüência correta.
I -
},,{ cbae
II - },,{ cba
III - },,{},{ cdebac
IV - },,1,,4{},,1{},1{ bfdcbb
a) F, V, F, V
b) V, F, V, V
c) V, V, V, F
Apostila de Introdução à Lógica Página 15
d) V, V, V, V
2. Considerando os conjuntos
}4,2{A
,
}8,4,1{B
e
}8,5,3{C
, identifique os elementos das
seguintes operações:
a)
BA
b)
BC
c) CA
d)
)()( BCBA
3. Construa um diagrama de Venn para representar os elementos dos conjuntos
P
,
Q
,
R
e
U
.
}8,7,6,5,4,3,2,1{U
}7,6,5,4,3,2,1{ RQP
}6,5,4,3,2,1{QP
}7,5,4,3,2,1{ RP
}7,6,5,3,2,1{ RQ
}2,1{QP
}3,1{ RP
}5,1{QR
}1{ RQP
4. Considerando os conjuntos
}4,2{A
e
}8,4,1{B
, assinale a alternativa correta.
a)
8,4,1,8,4,8,1,4,1,8,4,1)( BP
b)
5)( BAn
c)
AB
d)
)(AP
5. Considerando que A e B sejam dois conjuntos, demonstre que
)( BAABA
.
Apostila de Introdução à Lógica Página 16
6. A determinação por extensão do conjunto { x | x N e x<1} é:
a) {0, 1}
b)
c) {0}
d) {{0}}
7. Coloque ao lado da sentença a letra V ou F conforme seja verdadeira ou falsa:
a) 0
b) 3 {1, 2, 3, 5}
c) {3}
d) 5 {{5}}
e) 4 {{4}, 4}
f) {3, 4} {{3, 4}, {5, 6}}
g) {1, 2} {1, 2, 3, 4, 5}
8. Desenhe um diagrama de Venn para representar A B e B C.
9. A determinação por extensão do conjunto {x | x e x = 1} e:
a) {0, 1}
b) {}
c) {0}
d) {{0}}
10. Utilize diagramas de Venn para representar as seguintes informações:
a) O conjunto dos advogados está contido no conjunto dos seres humanos, pois todo advogado
é ser humano;
b) O conjunto dos cães está contido no conjunto dos animais, pois não existe um cão que não
seja um animal.
c) Se o conjunto P dos professores da rede pública está contido no conjunto F dos funcionários
públicos, isto é, P F (pois todo professor da rede pública é funcionário público) e se o
conjunto F dos funcionários públicos está contido no conjunto T dos trabalhadores, isto é, F T
(pois todo funcionário público é um trabalhador) então o conjunto P dos professores da rede
pública está contido no conjunto T dos trabalhadores, isto é, P T.
Apostila de Introdução à Lógica Página 17
11. Jogando um dado, qual a probabilidade de ocorrer um número maior que 3 e que seja par?
12. Considere que A, B e A B são conjuntos com 50, 20 e 10 elementos, respectivamente,
então o número de elementos do conjunto A B é:
a) 20
b) 30
c) 55
d) 60
e) 80
13. Considerando que A = {2, 3, 5, 6, 7, 8}, B = {1, 2, 3, 6, 8} e C = {1, 4, 6, 8}, então:
a) (B – A) C = {1}
b) (A – B) C = {1}
c) (C – B) A = {5,7}
d) (C – A) B = {1,4}
e) (B – C) A = {2}
14. Sobre Teoria dos Conjuntos, considere as seguintes afirmações:
A, B e C são três conjuntos
A é subconjunto de B
C é subconjunto de A
Diante disso, é possível concluir que:
a) Os conjuntos B e C são iguais.
b) O conjunto C é subconjunto de B.
c) O conjunto B é subconjunto de C.
d) O conjunto B é subconjunto de A.
e) O conjunto A é subconjunto de C.
15. De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40
não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200
estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos
uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a
a) 30/200
b) 130/200
c) 150/200
d) 160/200
e) 190/200
Apostila de Introdução à Lógica Página 18
16. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 8, sem
repeti-los?
17. Quantas comissões constituídas de 3 pessoas podem ser formadas com 5 pessoas?
18. Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados, usando-se os algarismos
1, 3, 5, 8 e 9, com repetição?
19. Calcule o número de formas distintas de 4 pessoas ocuparem os lugares de um banco de
quatro lugares.
20. Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA (não considere o acento).
21. Determine a probabilidade de lançamento de um dado e o resultado ser 5 ou 6.
22. Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300
fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do
curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol?
23. Em uma caixa há 4 bolas verdes, 4 azuis, 4 vermelhas e 4 brancas. Se tirarmos sem
reposição 4 bolas desta caixa, uma a uma, qual a probabilidade de tirarmos nesta ordem bolas
nas cores verde, azul, vermelha e branca?
24. Se uma moeda não viciada é lançada duas vezes, a probabilidade de que ambos os
resultados seja “cara” é?
Gabarito:
11. 1/3
12. d
15. d
17. 10
18. 46656
19. 24
Apostila de Introdução à Lógica Página 19
20. 151200
21. 2/6
22. 2/5
23. 8/1365
24. 1/4
Apostila de Introdução à Lógica Página 20
Aula 2 – Enunciado Categórico
Introdução
Etimologicamente, a palavra lógica vem do grego logos, que significa “palavra”,
“expressão”, “pensamento”, “conceito”, “discurso” ou “razão” (Aranha e Martins, 2002). A lógica
é uma ciência que estuda as formas de raciocínio/pensamento, ou seja, é o estudo de
argumentos. Segundo Copi, o estudo da lógica é o entendimento dos métodos e princípios
usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto (Copi, 1978). Se pararmos para pensar,
a lógica faz parte das nossas vidas muito mais do que nós imaginamos. Em casa, no trabalho,
na faculdade, na política, no lazer, enfim, sempre que nós precisamos apresentar nosso ponto
de vista, nós estamos usando argumentos.
A Lógica foi considerada na cultura clássica e medieval como um instrumento
indispensável ao pensamento científico. Era necessário argumentar com clareza, mediante
demonstrações rigorosas, respondendo as objeções dos adversários.
De um modo geral, a lógica clássica pode ser estudada sob dois pontos de vista: a
lógica proposicional e a lógica de predicados. A lógica proposicional trabalha com proposições,
que será vista na aula próxima. A lógica de predicados, por sua vez, é uma extensão da lógica
proposicional que representa relações de objetos num domínio de aplicação, a qual será
estudada na sexta aula. Entretanto, para compreender o que vem ser uma proposição,
precisamos estudar como o raciocínio lógico trabalha, identificando assim argumentos na
nossa linguagem do cotidiano por meio de palavras-chave, o qual será abordado nesta aula.
Será apresentado também uma forma de classificação do argumento tanto com relação à
forma de raciocínio (indutivo ou dedutivo) quanto à validade.
2.1 Argumentos
Como dito anteriormente, a lógica trabalha com argumentos. Mas, então o que vem ser
um argumento? Um argumento é uma seqüência de sentenças ou enunciados (afirmações ou
declarações) na qual um dos enunciados é a conclusão e os demais são nomeados de
premissas, as quais servem para provar ou, pelo menos, fornecer alguma evidência para a
conclusão. Segundo Copi, podemos definir um argumento como qualquer grupo de sentenças
tal que se afirme ser uma delas derivada das outras, as quais são consideradas provas
evidentes da verdade da primeira (Copi, 1978). Então, vamos a um exemplo bastante clássico
da lógica.
Apostila de Introdução à Lógica Página 21
Todos os homens são mortais.
Sócrates é homem.
Portanto, Sócrates é mortal.
Neste exemplo, os dois primeiros enunciados (“Todos os homens são mortais.” e
“Sócrates é homem”) chamaremos de premissas que servem para provar a conclusão, que é
“Sócrates é mortal.”.
Tanto as premissas quanto a conclusão de um argumento são sempre enunciados, isto
é, significados ou ideias expressáveis por sentenças declarativas ao invés de interrogações,
comandos ou exclamações. Os enunciados são espécies de ideias que são verdadeiras ou
falsas. Os não-enunciados, tais como interrogações, comandos ou exclamações, não podem
ser classificados como verdadeiros ou falsos.
É importante frisar que os argumentos não seguem padrões de escrita da forma em que
as premissas são apresentadas primeiro e, depois, a apresentação da conclusão. Sendo
assim, alguém poderia apresentar quais são as suas conclusões e, somente depois, justificá-
las. Isso é também válido, porém um pouco confuso com relação ao encadeamento de ideias.
Então vamos analisar mais três exemplos para verificar se são ou não argumentos.
a) O signo de João é aquário, pois o dia do seu aniversário é 26 de janeiro.
b) A minha blusa é verde, Pit é o nome do meu peixe e, logo, macarrão é o meu prato
favorito.
c) Matheus está respirando e, portanto, está vivo.
No primeiro exemplo, temos mais um caso de argumento. A premissa é “o dia do seu
aniversário é 26 de janeiro.” e a conclusão é “O signo de João é aquário”. Este é um caso em
que a conclusão é apresentada antes da premissa. No segundo exemplo, não podemos
classificar estes enunciados como argumento, pois não existem premissas para embasar a
conclusão apresentada “macarrão é o meu prato favorito”. Ressaltamos ainda que não há um
encadeamento de idéias para se alcançar uma determinada conclusão, ou seja, a cor da blusa
e o nome do peixe não são razões ou motivos para compreender o prato favorito. No terceiro e
último exemplo, temos a premissa “Matheus está respirando” e como conclusão, o enunciado
“está vivo”. Normalmente, os argumentos são apresentados desta forma, primeiro uma ou mais
premissas e, por último, a conclusão.
Apostila de Introdução à Lógica Página 22
A análise de argumentos pode ser dividida em diversas etapas, caso precise verificar
com mais detalhes os enunciados envolvidos. Como mencionamos anteriormente, uma
conclusão é inferida a partir de um conjunto de premissas. Porém, essa conclusão, em
conjunto com outros enunciados, poderá ser usada como uma premissa para inferir outra
conclusão, a qual, por sua vez, pode funcionar como premissa para uma outra conclusão, e
assim sucessivamente. Quando esta situação ocorrer, chamamos este argumento
de
argumento complexo. As premissas que servem como conclusões de premissas anteriores
chamam-se premissas não-básicas ou conclusões intermediárias. A identificação de uma
conclusão intermediária pode ocorrer em qualquer parte do argumento. As premissas que não
são conclusões de premissas prévias chamam-se premissas básicas ou suposições.
2.2 Identificação de Argumentos
Um argumento ocorre somente quando, a partir de uma ou mais premissas, se pretende
sustentar ou provar uma conclusão (Copi, 1978). Esse propósito é, freqüentemente, expresso
pelo uso de indicadores de inferência. Inferência é uma palavra do latim (inferre) que significa
“conduzir para”. Os indicadores de inferência são palavras ou frases que ressaltam a existência
de um argumento. Podemos classificar estes indicadores em dois grupos: os de premissa e os
de conclusão. Sendo assim, na tabela a seguir, estão apresentadas as principais palavras de
cada um desses grupos (Cunha, 2008).
Tabela 1: Indicadores de Inferência.
INDICADORES DE PREMISSA INDICADORES DE CONCLUSÃO
pois portanto
desde que assim
como dessa maneira
porque neste caso
assumindo que daí
visto que logo
admitindo que de modo que
isto é verdade porque então
a razão é que conseqüentemente
em vista de assim sendo
como conseqüência de o(a) qual implica que
como mostrado pelo fato que o(a) qual acarreta que
dado que o(a) qual significa que
sabendo-se que do(da) qual inferimos que
supondo que podemos deduzir que
Apostila de Introdução à Lógica Página 23
Os indicadores de premissa e de conclusão são os principais indícios para a
identificação de argumentos a partir dos enunciados e para a análise de sua estrutura. Cabe
observar que quando um indicador de conclusão é colocado entre duas sentenças, então a
primeira sentença expressa uma premissa e a segunda uma conclusão daquela premissa. Para
compreender melhor esta situação, vamos analisar o seguinte exemplo:
João foi passear, portanto, João não está em casa.
Neste exemplo, temos um indicador de conclusão (portanto). Dessa forma, a premissa é
“João foi passear” e a conclusão é “João não está em casa”.
Mas, quando um indicador de premissa se encontra entre duas sentenças, isto indica
que a primeira é conclusão e a segunda premissa. Vejamos o seguinte exemplo:
Ele não está em casa pois ele foi pescar.
Neste exemplo, temos um indicador de premissa (pois). Dessa forma, a premissa é “ele
foi pescar” e a conclusão é “Ele não está em casa”.
Um indicador de conclusão que aparece no início de uma sentença indica que a
sentença é conclusão das premissas anteriores. Por exemplo:
É verão e Amanhã é feriado. Portanto, vou à praia.
Um indicador de premissa no início de uma sentença composta de duas sentenças
indica que a primeira é premissa e a segunda conclusão. Por exemplo:
Desde que uma frente fria está a caminho, é provável que chova
É importante ressaltar ainda que as expressões que funcionam em alguns contextos
como indicadores de inferência têm, geralmente, outras funções em outros contextos. Assim,
nem toda ocorrência de uma das expressões apresentadas é visto como um indicador de
inferência. Observe o seguinte exemplo com a expressão “desde que”.
Apostila de Introdução à Lógica Página 24
Passaram-se três anos desde que fomos à Bélgica.
Neste exemplo, o “desde que” informa a duração do tempo e, assim, não é considerado
um indicador de premissas.
De forma similar, observe o seguinte exemplo com a expressão “assim” em.
Roger ficou rico e permaneceu assim por vários anos.
Neste exemplo, a palavra “assim” não é um indicador de conclusão. Neste contexto,
este indicador expressa o significado de “nessa condição” e não o conceito de “portanto”.
Mas, e quando um argumento não apresentar indicadores de premissas e/ou de
conclusão? Nestes casos, precisamos observar os indícios contextuais ou em nossa
compreensão das intenções do autor para diferenciar as premissas das conclusões. Para isso,
observe o seguinte exemplo (Cunha, 2008):
Os defensores do aborto são hipócritas. Eles, continuamente, contestam em altos
brados a execução de nossos inimigos. Mas eles nada vêem de errado com o
assassinato de crianças inocentes.
Após análise, podemos capturar que as premissas do enunciado são: “Eles,
continuamente, contestam em altos brados a execução de nossos inimigos.” e “eles nada vêem
de errado com o assassinato de crianças inocentes.” Como conclusão, identificamos o
enunciado “Os defensores do aborto são hipócritas”. Assim, ressaltamos mais uma vez que,
embora, na maioria das vezes, as premissas são apresentadas inicialmente, nada impede que
a conclusão possa estar escrita primeiro.
Vale a pena ressaltar que nem todo conjunto de sentenças constitui um argumento. Os
jornais, revistas e livros de estória, por exemplo, apresentam diversas sentenças, mas contém
relativamente poucos argumentos (Copi, 1978). Ou seja, para de identificar um argumento,
precisamos de várias sentenças (premissas e conclusão), porém a existência de várias
sentenças não é uma condição que se obtenhamos um argumento.
2.3 Diagrama de Argumentos
Apostila de Introdução à Lógica Página 25
Os diagramas de argumentos são formas gráficas convenientes para representar as
estruturas inferenciais dos argumentos (Cunha, 2008). Esses diagramas possibilitam observar
de maneira visual os relacionamentos entre os enunciados do argumento analisado. Então,
para representar o enunciado de modo gráfico, é necessário seguir os seguintes passos:
a) colocar um círculo nos indicadores de inferência;
b) colocar colchetes para delimitar cada enunciado, bem como enumerá-lo;
c) reunir as premissas que fazem parte de uma etapa de raciocínio com o sinal “+”
e traçar uma linha horizontal embaixo da lista de números, caso existam várias
premissas;
d) se existir apenas uma premissa, então escrever simplesmente o seu número na
etapa do raciocínio;
e) desenhar uma seta para baixo a partir do(s) número(s) que representa(m) uma
premissa (ou premissas) para o número que representa a conclusão da etapa, tanto
para uma ou mais premissas;
f) repetir esse processo caso o argumento tiver mais de uma etapa para a
inferência.
Para exemplificar a construção desses diagramas, vejamos o seguinte argumento:
“O cheque perderá a validade a menos que ele seja descontado dentro de 30 dias.
O cheque está datado de 2 de setembro e hoje é 8 de outubro. Portanto, o cheque
não vale mais. Você não pode descontar um cheque que não vale. Assim, você
não pode descontar este cheque.”
Seguindo os passos definidos anteriormente, obtemos:
1 – [O cheque perderá a validade a menos que ele seja descontado dentro de 30 dias.]
2 – [O cheque está datado de 2 de setembro] e 3 – [hoje é 8 de outubro]. Portanto, 4 –
[o cheque não vale mais.] 5 – [Você não pode descontar um cheque que não vale.]
Assim, 6 – [você não pode descontar este cheque]
1 + 2 + 3
Apostila de Introdução à Lógica Página 26
4 + 5
6
2.4 Validade e Verdade
As proposições possuem valores verdadeiros ou falsos dependendo se exprimem
realmente o fato ou não. Os argumentos, por sua vez, podem ser classificados como válidos ou
inválidos. Segundo Aranha e Martins, um argumento é dito válido quando sua conclusão é
conseqüência lógica de suas premissas (Aranha, 2003). Desta forma, um argumento é válido
se, em qualquer contexto, é impossível que sua conclusão seja falsa, caso se admita que suas
premissas
são verdadeiras. Já um argumento é inválido se é possível que, em algum contexto,
admitindo que suas premissas sejam verdadeiras se possa ter a conclusão falsa. Portanto, o
que nos interessa num argumento é saber se a conclusão se segue ou não das premissas,
sejam elas verdadeiras ou falsas.
Vejamos alguns exemplos de argumentos válidos:
1) Todos os cachorros são mamíferos.
Todos os mamíferos têm coração.
Portanto, todos os cachorros têm coração.
2) Lula foi o presidente do Brasil.
Todos os presidentes do Brasil foram assassinados.
Logo, Lula foi assassinado.
3) Platão era grego e Kant americano.
Logo, Platão era grego.
4) Platão era grego e Kant americano.
Logo, Kant era americano.
No primeiro argumento, as premissas e a conclusão são verdadeiras. Já no segundo
argumento, há uma premissa falsa e a conclusão é falsa. No terceiro argumento, tem-se a
premissa falsa (pois Kant era alemão e não americano) e a conclusão verdadeira. E no quarto
exemplo, tem-se a premissa falsa e a conclusão falsa.
Apostila de Introdução à Lógica Página 27
Em resumo, é possível se deparar com as seguintes situações:
1. Existem argumentos válidos em que as premissas e a conclusão são verdadeiras.
2. Existem argumentos válidos em que uma, ou mais, premissas são falsas e a
conclusão é verdadeira.
3. Existem argumentos válidos em que uma, ou mais, premissas são falsas e a
conclusão é falsa.
4. Não existem argumentos válidos em que as premissas são verdadeiras e a conclusão
é falsa.
Vejamos agora alguns exemplos de argumentos inválidos:
1) Todo homem é mortal.
Sócrates é mortal.
Portanto, Sócrates é homem.
2) Colombo descobriu a América.
Logo, Cabral não descobriu o Brasil.
No primeiro exemplo não é válido porque não é impossível que as premissas sejam
verdadeiras e a conclusão falsa. Podemos perfeitamente imaginar uma circunstância em que
Sócrates fosse o cachorro de minha irmã e, neste caso, a conclusão já seria falsa, apesar de
as premissas serem verdadeiras. No segundo exemplo, seguindo a interpretação usual, tem a
premissa verdadeira e a conclusão falsa.
Assim, é possível ter as seguintes situações para argumentos inválidos:
1. as premissas e a conclusão são verdadeiras.
2. uma, ou mais, premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa.
3. uma, ou mais, premissas são falsas e a conclusão é verdadeira.
4. as premissas e a conclusão são falsas.
PS: Os argumentos podem ser válidos ou inválidos, mas não podem ser verdadeiros
nem falsos. As proposições podem ser verdadeiras ou falsas, mas não podem ser
válidas nem inválidas.
Apostila de Introdução à Lógica Página 28
Segue uma tabela com as possibilidades
2.5 Classificação dos Argumentos
Os argumentos podem ser classificados tradicionalmente em duas categorias, que são:
dedutivo ou indutivo. Então, agora vamos analisar mais detalhadamente cada uma dessas
categorias.
Um argumento dedutivo é um argumento cuja conclusão deve ser verdadeira se suas
premissas básicas forem também verdadeiras. Ou seja, o que está dito na conclusão é extraído
das premissas, pois na verdade já está implícito nelas (Aranha e Martins, 2003). Copi traz uma
outra definição de argumentos dedutivos, conforme pode ser vista a seguir.
Conclusão verdadeira Conclusão falsa
Premissas verdadeiras Válido
Ex:
Gatos são mamíferos.
Tigres são gatos.
Portanto, os tigres são
mamíferos.
Inválido
Ex:
Os gatos são mamíferos.
Os tigres são mamíferos.
Portanto, os tigres são os
gatos.
Válido:
Impossível ter um
argumento válido com
premissas verdadeiras e
conclusão falsa.
Inválido
Ex:
Os gatos são mamíferos.
Os cães são mamíferos.
Portanto, os cães são gatos.
Premissas falsas Válido
Ex:
Os gatos são os pássaros.
Os pássaros são mamíferos.
Por isso, os gatos são
mamíferos.
Inválido
Ex:
Os gatos são os pássaros.
Os tigres são pássaros.
Portanto, os tigres são os
gatos.
Válido
Ex:
Os cães são gatos.
Os gatos são os pássaros.
Portanto, os cães são
pássaros.
Inválido
Ex:
Os gatos são os pássaros.
Os cães são os pássaros.
Portanto, os cães são gatos.
Apostila de Introdução à Lógica Página 29
“Argumentos dedutivos são aqueles cuja conclusão deriva diretamente
das premissas. Nos argumentos dedutivos a conclusão não diz nada além do
que foi dito nas premissas. O argumento dedutivo destina-se a deixar explícito o
conteúdo das premissas.” (Copi, 1978, p. 35).
Neste tipo de argumento, podemos dizer que este é válido ou inválido. Um argumento
é dito válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem mecanismos convincentes para
a obtenção da sua conclusão. Jamais um argumento será válido se as premissas forem
verdadeiras e não obtermos a conclusão como verdade.
Um argumento indutivo, por sua vez, é aquele cuja conclusão não é necessária, dadas
suas premissas básicas (Nolt e Rohatyn, 1991). As conclusões de argumentos indutivos são
mais ou menos prováveis em relação às suas premissas. Uma outra definição de argumento
indutivo pode ser encontrada em Salmon, conforme pode ser vista a seguir:
“Os argumentos indutivos, ao contrário do que sucede com os dedutivos,
levam a conclusões cujo conteúdo excede os das premissas. E esse traço
característico da indução que torna os argumentos indispensáveis para a
fundamentação de uma significativa porção dos nossos conhecimentos”
(Salmon, 1969, p. 76).
Os argumentos indutivos não são categorizados como válidos ou inválidos como ocorre
com os argumentos dedutivos. Estes podem ser categorizados como “forte” ou “fraco”,
dependendo se as premissas apresentadas fornecem um motivo representativo ou não para as
suas conclusões.
De um modo geral, o que diferenciará uma categoria da outra é a forma para a
obtenção da conclusão. Se obtermos uma generalização a partir de dados específicos, então
teremos uma indução. Caso contrário, teremos uma dedução. Para entender melhor este
pensamento ou raciocínio, observe a figura 1.
Figura 1: Indução versus Dedução.
Geral
Específico
DEDUÇÃO
INDUÇÃO
Apostila de Introdução à Lógica Página 30
Nesta figura, as setas direcionam o fluxo de inferência a ser capturado pela seqüência
de enunciados. Assim, vamos ver alguns exemplos de argumentos indutivos e dedutivos.
Primeiramente, considere:
A bola de basquete é marrom.
As bolas de futebol de campo, vôlei e futebol de salão também são marrons.
Logo, todas as bolas são marrons.
Neste caso, temos um exemplo de argumento indutivo, pois a partir de algumas
particularidades, conseguimos descobrir (ou inferir) uma generalização. As particularidades são
as bolas para determinadas atividades físicas e a generalização é a cor marrom, visto que
todas as particularidades apresentadas possuem a bola de cor marrom.
Um outro exemplo de argumento indutivo, encontrado em (Aranha e Martins, 2003),
pode ser o seguinte:
A visão, o tato, a audição, o gosto, o olfato (que chamamos de sentidos) têm um
órgão corpóreo.
Portanto, todo sentido tem um órgão corpóreo.
Neste caso, como a visão, o tato, a audição, o gosto, o olfato foram especificados que
possuem um órgão corpóreo, conseguimos abstrair que qualquer sentido tem este órgão
corpóreo. Podemos, inclusive, afirmar que este argumento é do tipo indutivo forte, pois todos os
tipos
de sentidos foram apresentados e especificados que possuem tal propriedade (órgão
corpóreo). É importante frisar que para abstrair um conceito geral precisamos possuir um
número de casos (exemplos ou particularidades) suficientes e que estes sejam significativos.
Agora com relação aos argumentos dedutivos, um possível exemplo, encontrado em
(Aranha e Martins, 2003), é:
Todo brasileiro é sul-americano.
Todo paulista é brasileiro.
Todo paulista é sul-americano.
Neste caso, embora tenha obtido uma conclusão ainda genérica, esta foi adquirida a
partir das informações fornecidas, mesmo que genérica. Vamos ver agora outro exemplo de
argumento dedutivo, sendo que com este iremos adquirir uma informação mais particular do
que o caso apresentado. Então analise o argumento a seguir:
Todo aluno do curso de Ciência da Computação precisa estudar Lógica.
José é aluno de Ciência da Computação.
Logo, José precisa estudar Lógica.
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Neste exemplo, concluímos detalhadamente quem precisa estudar Lógica, que é José.
Esta conclusão foi obtida a partir de uma regra geral dos alunos do curso de Ciência da
Computação, bem como a especificação que José é um aluno deste curso.
Observe ainda que os argumentos dedutivos não fornecem nenhum conhecimento
novo, apenas sistematiza o conhecimento já adquirido. Entretanto, embora a dedução não
acrescente muita informação, não significa que esta não seja importante, até porque
precisamos definir se esta dedução é válida ou inválida como raciocínio lógico.
Síntese da aula
Nesta segunda aula, vimos que podemos analisar algumas sentenças (premissas) do
cotidiano a fim de inferir um novo conhecimento (conclusão). Vimos ainda que existem
indicadores de premissas e de conclusão que auxiliam na identificação dos mesmos num
argumento. Quando não existem estas dicas, precisamos ficar atentos para captar a idéia do
autor. Uma forma para visualizar o encadeamento de idéias num argumento é por meio do
diagrama de argumento, pois com este, é possível verificar cada passo do processo de
inferência. Dentre os argumentos, podemos ainda classificá-los como indutivos (forte ou fraco)
ou dedutivos de acordo com a forma de conclusão obtida. Os dedutivos são do geral para
específico e os indutivos são do específico para o geral.
Atividades
1) A união de enunciados pode ou não transformá-lo em argumento. Desta maneira, analise os
enunciados apresentados como afirmativas a seguir e indique V (Verdadeiro) se os mesmos formam um
argumento. Caso contrário, indique F (Falso). Depois, assinale a alternativa que contenha a seqüência
correta de Vs e Fs.
I) Eu lancho na cantina da escola todos os dias, mas o João não. Ana gosta de sorvete. Maria foi
ao cinema ontem.
II) Está chovendo. Vou dormir até mais tarde.
III) Se não chover, irei à praia. Não choveu. Logo, irei à praia.
IV) Vou ao shopping hoje. Cinema está fechado.
a) V, V, V, F
b) F, F, V, F
c) V, F, F, V
d) V, F, V, F
Apostila de Introdução à Lógica Página 32
2) Na nossa língua portuguesa, existem palavras ou termos que auxiliam a identificação de argumentos.
Estas palavras são conhecidas como indicadores, podendo ser direcionado para as premissas ou para a
conclusão. Dessa maneira, escolha a alternativa que NÃO é considerada um indicador de conclusão.
a) portanto
b) neste caso
c) assumindo que
d) logo
3) Diagrama de argumentos é usado para ilustrar o envolvimento de premissas para provar uma certa
conclusão. Desta forma, analise cada parte dos argumentos a seguir e represente-o com o diagrama de
argumentos.
Hoje é quinta-feira ou sexta-feira.
Mas não pode ser quinta-feira, pois o escritório de advocacia estava aberto esta manhã, e
aquele escritório está sempre fechado às quintas.
Portanto, hoje deve ser sexta-feira.
Watts está em Los Angeles e está, portanto, nos Estados Unidos e logo faz parte de uma
nação plenamente industrializada. Assim, ele não faz parte do Terceiro Mundo, pois o
Terceiro Mundo é caracterizado por nações em desenvolvimento e nações em
desenvolvimento não estão, por definição, plenamente industrializadas.
Estava certo que nenhum dos conselheiros do presidente tinha vazado a informação e, no
entanto, realmente ela tinha sido vazada para a imprensa. Portanto, alguém, além dos
conselheiros do presidente, vazou a informação para a imprensa.
4) Conforme a forma de raciocínio utilizada, um argumento pode ser categorizado como indutivo ou
dedutivo. Desta forma, analise e classifique os seguintes argumentos como dedutivos ou indutivos:
a) O sol nasceu na segunda-feira.
O sol nasceu na terça-feira.
O sol nasceu na quarta-feira.
O sol nasceu na quinta-feira.
O sol nasceu na sexta-feira.
Logo, o sol nasce todos os dias.
b) Havia três pedaços de bolo de chocolate.
Agora existem apenas dois pedaços.
Apostila de Introdução à Lógica Página 33
Portanto, alguém comeu um pedaço de bolo.
c) Só há aprovação na disciplina se possuir nota maior que 7,0.
A nota é 9,0.
Logo, há aprovação na disciplina.
d) Joguei uma pedra no lago, e ela afundou;
Joguei outra pedra no lago e ela também afundou;
Joguei mais uma pedra no lago, e ela também afundou;
Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar.
e) A vacina funcionou bem nos ratos.
A vacina funcionou bem nos macacos.
Logo, vai funcionar bem nos humanos.
5) Avalie os argumentos apresentados a seguir e classifique-os como dedutivos ou indutivos.
a) Todos têm um e um só pai biológico. Os irmãos têm o mesmo pai biológico. Ninguém é pai biológico
de si mesmo. Portanto, não há pai biológico que seja também seu irmão.
b) Os visitantes da China quase nunca contraem malária no país. José está visitando a China. Logo,
José não contrairá malária na China.
c) Eu sonho com monstros. Meu irmão sonha também com monstros. Logo, todas as pessoas sonham
com monstros.
6) Circule e classifique os indicadores de inferência (premissa e conclusão) apresentados nos
argumentos a seguir. Depois, classifique estes argumentos como indutivos ou dedutivos.
a) 99,9% dos testes de Aids do laboratório LAB apresenta resultados corretos. Charles fez teste de Aids
no laboratório LAB e o resultado foi negativo. Logo, Charles não tem Aids.
b) Jânio Quadros renunciou à presidência em circunstâncias excepcionais. Ora, todo aquele que
renuncia à presidência em circunstâncias excepcionais pretende ser reconduzido triunfalmente ao poder.
Portanto, o que Jânio pretendia era isso: ser reconduzido triunfalmente ao poder.
c) Imagine um pedaço de queijo suíço, daqueles bem cheios buracos. Quanto mais queijo, mais buracos.
Cada buraco ocupa o lugar em que haveria queijo. Assim, quanto mais buracos, menos queijo, quanto
mais queijos mais buracos, e quanto mais buracos, menos queijo. Logo, quanto mais queijo, menos
queijo!
d) Freqüentemente quando chove fica nublado. Está chovendo. Portanto, está nublado.
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7) Analise se há uma ocorrência de argumentos nos trechos a seguir. Caso positivo, circule e classifique
os indicadores de inferência.
a) Foi assinalado que, embora os ciclos de negócio não sejam períodos, são adequadamente descritos
pelo termo “ciclos” e, portanto, são suscetíveis de medição.
b) O triângulo ABC é equiângulo. Portanto, cada um de seus ângulos internos mede 60 graus.
c) A água tem um calor latente superior ao do ar: mais calorias são necessárias para aquecer uma
determinada quantidade de água do que para aquecer um igual montante de ar. Assim, a temperatura
do
mar determina, de um modo geral, a temperatura do ar acima dele.
d) Nós estávamos superados em número e em armas pelo inimigo, e suas tropas estavam
constantemente sendo reforçadas enquanto as nossas forças estavam diminuindo. Assim, um ataque
direto teria sido suicida.
e) Há alguém, aqui, que entende este documento?
f) Se o comportamento econômico fosse o fenômeno inerte que se retrata, às vezes, em modelos
econômicos, então os únicos atributos significativos das ocupações seriam as respectivas habilitações
profissionais e a oferta e procura para elas. Mas as ocupações são amplamente sociológicas, mas do
que estritamente econômicas; por conseguinte, estão decisivamente identificadas com fenômenos não-
econômicos na comunidade.
g) Desde que Henry se diplomou em medicina, sua renda provável é muito elevada.
h) Bem-aventurado é aquele que nada espera, pois nunca será decepcionado.
i) Se quereis descobrir vossa opinião real sobre alguém, observai a impressão que vos causa a primeira
observação de uma carta escrita por essa pessoa.
j) A nenhum homem é consentido ser juiz em causa própria; porque seu interesse certamente influirá em
seu julgamento, e, não improvavelmente, corromperá a sua integridade.
l) Você terá sucesso, desde que você tenha talento e trabalhe arduamente.
m) Ela prometeu casar com ele e, assim, é o que ela fará. Portanto, se ela faltar ao compromisso, ela
estará definitivamente errada.
8) Identifique se um argumento é indutivo (forte ou fraco) ou dedutivo.
a) Todos os corvos que vi até hoje eram pretos. Logo, todos os corvos são pretos.
b) Nenhum mortal pode parar no tempo. Você é mortal. Logo, você não pode parar no tempo.
c) Alguns porcos têm asas. Todas as coisas aladas gorjeiam. Logo, alguns porcos gorjeiam.
d) Se houver uma guerra nuclear, a civilização será destruída. Haverá uma guerra nuclear. Logo, a
civilização será destruída pela guerra nuclear.
e) Todos os leitores da Folha de São Paulo têm mais do que 3 meses de idade. Pedro lê a Folha de São
Paulo. Logo, Pedro tem mais do que 3 meses de idade.
f) A maioria das pessoas tem duas pernas. A maioria das pessoas tem dois braços. Portanto, algumas
pessoas têm dois braços e duas pernas.
Apostila de Introdução à Lógica Página 35
g) A prata é bom condutor de eletricidade. A platina é bom condutor de eletricidade. O cobre é com
condutor de eletricidade. Logo, todos os metais são bons condutores de eletricidade.
h) Todos os fumantes contraem enfisema. Todos aqueles que contraem enfisema têm morte dolorida.
Logo, todos os fumantes têm morte dolorida.
i) Às vezes, quando chove fica nublado. Está chovendo. Logo, está nublado.
j) A maioria das vezes, quando chove fica nublado. Está chovendo. Está nublado.
9) Diagrame os argumentos abaixo circulando os indicadores de inferência (premissa e conclusão),
colocando-os entre colchetes e enumerando cada enunciado. E, por fim, classifique como indutivo fraco,
indutivo forte ou dedutivo.
a) Algumas pessoas dizem que pular da ponte é interessante. Ana pulou da ponte neste fim de semana.
Logo, Ana fez algo interessante. Quase todas as coisas interessantes são realizadas por pessoas
agitadas. Consequentemente, Ana é uma pessoa agitada.
b) Todas as criações humanas finalmente perecerão. Tudo que perece é, afinal, sem sentido. Logo,
todas as criações humanas são, afinal, sem sentido.
10) Construa o diagrama para os argumentos a seguir.
a) Se existissem ETs, eles já nos teriam enviado algum sinal. Se nos tivessem enviado um sinal,
teríamos feito contato. Portanto, se existissem ETs, já teríamos feito contato com eles.
b) Quando o filme é bom, o cinema fica lotado. Como a crítica diz que esse filme é muito bom, podemos
imaginar que não encontraremos lugares livres.
c) Se o programa é bom ou passa no horário nobre, o público assiste. Se o público assiste e gosta, então
a audiência é alta. Se a audiência é alta, a propaganda é cara. O programa, passa no horário nobre, mas
a propaganda é barata. Logo, o público não gosta do programa.
d) Se José roubou a jóia ou a Sra. Krasov mentiu, então um crime foi cometido. A Sra. Krasov não
estava na cidade. Se um crime foi cometido, então a Sra. Krasov estava na cidade. Portanto José não
roubou a jóia.
e) Ela não está em casa ou não está atendendo ao telefone. Mas se ela não está em casa, então ela foi
sequestrada. E se ela não está atendendo ao telefone, ela está correndo algum outro perigo.
Portanto, ou ela foi sequestrada ou ela está correndo algum outro perigo.
f) Se o avião não tivesse caído, nós teríamos feito contato pelo rádio. Não fizemos contato pelo rádio.
Portanto, o avião caiu.
Apostila de Introdução à Lógica Página 36
g) Se está garoando ou nevando, então o céu não está claro. Não é o caso que o céu não está claro.
Portanto não é caso que está garoando ou nevando. Hoje é um fim de semana se hoje é sábado ou
domingo. Mas hoje não é um fim de semana. Portanto, hoje não é sábado e hoje não é domingo.
11) Construa o diagrama para os argumentos a seguir.
a) Não podemos permitir o aborto porque é o assassinato de um inocente.
b) Todos reconhecem que o petróleo esgotar-se-á nos próximos 50 anos, dado que vários estudos
publicados por diversas universidades estabelecem um limite de 50 anos para a extração petrolífera.
Assim, reconhecendo que o petróleo se esgotará dentro desse período, temos que concluir que é
inevitável investir no desenvolvimento de energias alternativas.
c) Se, a maioria das espécies de baleias é considerada atualmente em risco de extinção, então os
pescadores japoneses devem ser proibidos de caçar baleias. Além do mais, cinco barcos com 239
marinheiros vão permanecer cinco meses no alto mar para caçar um total de 1035 baleias.
d) Toda vez que eu cheiro pimenta eu espirro. Ontem eu espirrei, dado que ontem eu cheirei pimenta.
e) Os fantasmas existem, pois algumas pessoas acham fascinante a ideia de fantasmas.
f) Você está na UFT e está, portanto, na sala de aula, visto que assinou a lista de presença. Logo, está
fazendo a prova de Introdução à Lógica. Assim, você não está no 1 período, pois o 1 período está
fazendo prova de Introdução à Programação.
12) Verifique se os enunciados a seguir são argumentos ou não.
a) Se a área de um quadrado é igual a um lado vezes outro lado e se o lado de um quadrado é 2, então
a área desse quadrado é 4.
b) A ida à Lua foi um acontecimento histórico, embora nem todas as pessoas estejam de acordo.
c) Para os povos esquimós, o piercing na língua e no lábio era uma forma de indicar que a criança tinha
passado a ser adulta.
d) O Pirata da Perna de Pau sabe onde está o tesouro. O Capitão Gancho sabe onde está o tesouro.
Assim, quer o Pirata da Perna de Pau, quer o Capitão Gancho sabem onde está o tesouro.
Apostila de Introdução à Lógica Página 37
Aula 3 – Lógica Proposicional
Introdução
A lógica proposicional é também conhecida na literatura como lógica sentencial, cálculo
sentencial ou cálculo proposicional. Esta lógica visa formalizar a estrutura lógica mais elementar do
discurso matemático, definindo precisamente o significado dos conectivos lógicos não, e, ou, se..então e
se somente se (Casanova et al., 1987). Este significado é obtido pela combinação de sentenças
(proposições) simples e assim formando proposições mais complexas. Tanto para proposições simples
quanto compostas, esta lógica trabalha com valores de verdade e de falsidade.
O estudo detalhado dessa lógica é importante porque ela contém quase todos os conceitos
importantes necessários para o estudo de lógicas mais complexas, tal como a lógica de predicados
(Wikipédia, 2008). Nesta aula, abordaremos tanto a parte
sintática por meio da apresentação do alfabeto
e das regras de formação de fórmulas bem formadas, quanto à parte semântica da lógica proposicional,
enfatizando os valores de verdade e de falsidade das fórmulas. Apresentaremos ainda como os
conectivos lógicos são usados em conjunto com as proposições, bem como o seu aspecto lógico.
A Lógica foi sistematizada por Aristóteles (384-322 a.C.) e se constituiu durante toda a Idade Média
como matéria principal ao lado da Teologia e da Filosofia (Teles, 2000).
3.1 Alfabeto
Assim como na língua portuguesa temos um alfabeto (a, b, c...., z, A, B,...Z) e, a partir deste,
conseguimos criar palavras reais, na lógica proposicional também temos um alfabeto e que de acordo
com algumas regras de formação conseguimos construir fórmulas válidas.
O alfabeto da lógica proposicional é constituído por símbolos lógicos e não-lógicos. Os símbolos
lógicos são caracterizados por:
pontuação: (, )
conectivos:
(negação),
(conjunção),
(disjunção),
(condicional ou implicação),
(bicondicional ou bi-implicação).
Os símbolos não-lógicos são definidos por:
proposições: por convenção, letras do meio para o fim do alfabeto, tais como: ...
p
,
q
,
r
,
s
,...,
A
,
B
,
C
...
Os símbolos de pontuação “(“ e “)” servem, assim como na matemática, para delimitar o escopo
de atuação da fórmula. Esses símbolos são usados, normalmente, quando se deseja mudar a ordem de
precedência de operações a serem realizadas. Caso contrário, o uso dos parênteses torna-se opcional,
pois estes não mudam o sentido que se deseja expressar.
Apostila de Introdução à Lógica Página 38
Os símbolos conectivos, por sua vez, são bastante conhecidos como conectivos lógicos ou
proposicionais. Estes símbolos são utilizados em conjunto com proposições e representam operações
lógicas. A seguir veremos com maiores detalhes o comportamento de cada um desses conectivos no
que se diz respeito ao seu valor lógico.
As proposições, basicamente, representam fatos, ou seja, pensamento de sentido completo.
Observe ainda que este conjunto de símbolos é infinito, permitindo que sejam criadas diversas
proposições simultaneamente. Assim, por exemplo, reescrevendo o exemplo clássico de lógica
apresentado na aula anterior, teríamos:
p
: Todos os homens são mortais.
q
: Sócrates é homem.
r
: Portanto, Sócrates é mortal.
Então, ao invés de escrever toda a sentença, poderemos utilizar somente as proposições
p
,
q
e
r
para expressar estes fatos. A partir do alfabeto da lógica proposicional, podemos criar fórmulas que
são uma seqüência dos símbolos. No entanto, nem toda união dos símbolos do alfabeto é considerada
uma fórmula válida ou bem formada (well-formed formula - WFF). Uma fórmula bem formada da lógica
proposicional é formada pelas seguintes regras de formação (Souza, 2002):
todo símbolo proposicional é uma fórmula;
se
P
é uma fórmula então
P
, a negação de
P
, é uma fórmula;
se
P
e
Q
são fórmulas então
)( QP
, a disjunção das fórmulas
P
e
Q
, é uma fórmula;
se
P
e
Q
são fórmulas então
)( QP
, a conjunção das fórmulas
P
e
Q
, é uma fórmula;
se
P
e
Q
são fórmulas então
)( QP
, o condicional das fórmulas
P
e
Q
, é uma
fórmula;
se
P
e
Q
são fórmulas então
)( QP
, o bicondicional das fórmulas
P
e
Q
, é uma
fórmula.
Considerando estas regras, concluímos que
P
,
PQP )(
,
Q
e
))(( PQP
são, por
exemplo, fórmulas bem formadas da lógica proposicional. Por outro lado,
PQ
,
,
)( QP
, por
exemplo, não são consideradas fórmulas válidas, ou seja, são fórmulas mal formadas.
Com relação à precedência dos conectivos lógicos, há uma convenção em que o conectivo de
negação tem a maior precedência dentre os demais. Em seguida, estão os conectivos de conjunção,
disjunção, condicional e bicondicional. Portanto, podemos formalizar esta ordem de precedência de
acordo com o apresentado na figura 1.
Apostila de Introdução à Lógica Página 39
Figura 1: Precedência dos conectivos lógicos (Adaptado de Hubner, 2008).
Com a definição da ordem de precedência dos conectivos lógicos, podemos ainda simplificar
algumas fórmulas com relação aos símbolos de pontuação. Vejamos o seguinte exemplo:
)())()(( QQPP
Neste caso, podemos reescrever esta fórmula sem alterar o seu significado eliminando alguns
símbolos de pontuação. Assim, esta fórmula simplificada seria:
QQPP )(
.
Convencionalmente, assim como na matemática, os parênteses mais externos podem ser omitidos.
As proposições podem ainda ser classificadas como simples e compostas de acordo com a sua
formação. Uma proposição é considerada simples quando não possui nenhuma outra proposição como
parte complementar de si mesma. As proposições compostas, por sua vez, são aquelas em que existe
uma combinação de duas ou mais proposições simples por meio dos conectivos lógicos.
Convencionalmente, utilizam-se letras minúsculas (...,
p
,
q
,
r
, ...) para representar proposições simples
e letras maiúsculas (...,
P
,
Q
,
R
, ...) para expressar as proposições compostas. Vejamos alguns
exemplos de proposições simples e compostas:
a)
p
: Palmas é a mais nova capital do Brasil
b)
q
: Cachorro é um mamífero
c)
P
: A temperatura está muito alta e a umidade bastante baixa
d)
R
: Se comprar queijo, então não comprar requeijão
Analisando estes exemplos, concluímos que as duas primeiras proposições são classificadas
como simples (
p
e
q
); e as duas últimas são proposições compostas (
P
e
R
), pois por intermédio de
conectivos unem dois pensamentos. Sendo que na proposição
P
foi usado o conectivo de conjunção, e
na proposição
R
foi apresentado o conectivo condicional.
MAIOR
PRECEDÊNCIA
MENOR
PRECEDÊNCIA
Apostila de Introdução à Lógica Página 40
Ainda com relação à sintaxe da lógica proposicional, definiremos a seguir o comprimento de uma
fórmula e subfórmulas. O comprimento de uma fórmula
P
, denotado por comp[
P
], é definido como se
segue (Souza, 2002):
Se
P
é um símbolo proposicional então comp[
P
] = 1
Se
P
e
Q
são fórmulas proposicionais, então:
comp[
P
] = comp[
P
] + 1
comp[
QP
] = comp[
P
] + comp[
Q
] + 1
comp[
QP
] = comp[
P
] + comp[
Q
] + 1
comp[
QP
] = comp[
P
] + comp[
Q
] + 1
comp[
QP
] = comp[
P
] + comp[
Q
] + 1
Observe ainda que os símbolos de pontuação não são levados em consideração na verificação
do comprimento das fórmulas. Portanto, a contagem é realizada somente com os conectivos lógicos,
bem como os símbolos proposicionais utilizados na fórmula.
Quando trabalhamos com fórmulas bem formadas complexas é bastante usual separarmos em
diversas subfórmulas para se obter uma melhor compreensão. Sendo assim, dizemos que uma fórmula
Q
é subfórmula de uma fórmula
P
se e somente se
Q
é uma subcadeia de
P
. Por exemplo:
P
:
)())(( PQPQP
Q
:
))(( PQP
Neste caso, podemos afirmar que
Q
é uma subfórmula de
P
.
3.2 Conectivos Lógicos
As fórmulas da lógica proposicional, inclusive os símbolos proposicionais, possuem como
significado valores verdadeiro (V, true, T ou 1) ou falso (F, false, F ou 0). Assim, o significado de uma
fórmula não é conhecido antecipadamente,
mas a partir dos valores verdade das proposições
constituintes desta fórmula é possível encontrar seu valor lógico. Então vamos conhecer agora o
comportamento de cada um dos conectivos lógicos utilizando as proposições
P
e
Q
. Para representar
o valor lógico das proposições, iremos usar a função v, a qual possui dois valores lógicos, que são V e F.
3.2.1 Negação
O conectivo
representa a negação, isto é, o inverso do pensamento. Assim, a negação do
verdadeiro é falso, e a negação do falso é verdadeiro. Desta forma, podemos estruturar o
comportamento deste conectivo da seguinte forma:
Apostila de Introdução à Lógica Página 41
v(
P
) = V, se v(
P
) = F
= F, se v(
P
) = V
A forma de leitura deste conectivo para esta proposição, por exemplo, é “não
P
” ou “não é
verdade
P
” , “é falso que
P
”, “não tem
P
” ou “não é fato que
P
”.
Considerando que a proposição
P
represente a sentença “O prefeito renunciou”, temos, se
P
verdadeiro, “O prefeito renunciou” e
P
temos “é falso que o prefeito renunciou” e vice-versa.
3.2.2 Conjunção
O conectivo
representa a conjunção, isto é, a combinação aditiva de proposições. Neste
caso, para que o valor lógico seja verdadeiro é necessário que as duas proposições analisadas sejam
verdadeiras simultaneamente. Caso contrário, seu valor é falso. Desta forma, podemos estruturar o
comportamento deste conectivo da seguinte forma:
v(
QP
) = V, se v(
P
) = v(
Q
) = V
= F, caso contrário
A forma de leitura deste conectivo usando estas proposições, por exemplo, é “
P
e
Q
”, “
P
e
também
Q
”, “não só
P
, mas, ainda,
Q
” ou “
P
assim como
Q
”.
Agora considere
P
como “O aluno estudou” e
Q
como “O aluno obteve uma excelente nota na
prova”. Então a sentença “O aluno estudou e obteve uma excelente nota na prova” será verdadeira
somente se as duas sentenças isoladas forem verdadeiras. Ou seja, se por acaso o aluno estudou e não
obteve uma excelente nota, então a frase completa (“O aluno estudou e obteve uma excelente nota na
prova”) será falsa.
3.2.3 Disjunção
O conectivo
representa a disjunção, ou seja, a escolha de forma não exclusiva. Deste modo,
o valor lógico é verdadeiro se pelo menos um dos valores das proposições forem verdadeiros. Caso
contrário, será falso. Assim, podemos expressar este comportamento da seguinte maneira:
v(
QP
) = F, se v(
P
) = v(
Q
) = F
= V, caso contrário
A forma de leitura deste conectivo usando estas proposições, por exemplo, é “
P
ou
Q
”.
Apostila de Introdução à Lógica Página 42
Para este conectivo, considere
P
como “O aluno estuda para a prova” e
Q
“O aluno faz uma
redação”. Assim a sentença “O aluno estuda para a prova ou faz uma redação” é verdadeira se pelo
menos uma das sentenças isoladas for verdadeira.
3.2.4 Condicional
O conectivo
representa a implicação ou o condicional entre duas proposições, sendo a
proposição do lado esquerdo chamada de antecedente e a do lado direito chamada de conseqüente.
Deste modo, o valor lógico é falso se o antecedente tiver valor verdadeiro e, simultaneamente, o
conseqüente tiver o valor igual a falso. Nos demais casos, será o valor verdadeiro. Assim, podemos
expressar este comportamento da seguinte maneira:
v(
QP
) = F, se v(
P
) = V e v(
Q
) = F
= V, caso contrário
A forma de leitura deste conectivo usando estas proposições, por exemplo, é “se
P
então
Q
”, “
P
logo
Q
” ou “
P
implica
Q
”. Podemos inferir ainda que
P
é parte da causa de
Q
.
Por exemplo, considere
P
como “O planeta Terra gira” e
Q
“O planeta Terra se move”. Assim,
temos “Se o planeta Terra gira, então o planeta Terra se move”. Neste caso, observe que “o planeta
Terra se move” está condicionado ao fato de “o planeta Terra girar” e será falso apenas quando o
antecedente for verdadeiro e o consequente for falso.
O antecedente é condição suficiente para ocorrência do consequente. O consequente é
condição necessária para ocorrência do antecedente
Exemplos:
Se Fulano estuda, então Beltrano vai ao cinema.
Separando os termos:
Se Fulano estuda [Condição suficiente]
Beltrano vai ao cinema [Condição necessária]
Fulano estar a estudar é condição suficiente para Beltrano ir ao cinema (Fulano -> Beltrano)
Beltrano ir ao cinema é condição necessária para fulano estudar (Fulano -> Beltrano)
Se chover então molha a rua
É suficiente chover para você deduzir que a rua fica molhada
O fato da rua ficar molhada não garante que choveu
Um outro exemplo é:
Todo carioca é brasileiro
Apostila de Introdução à Lógica Página 43
Ser carioca é condição suficiente para ser brasileiro, pois basta que alguém seja carioca para
que seja também brasileiro.
Além disso, ser brasileiro é condição necessária para ser carioca, pois ninguém pode ser carioca
sem ser também brasileiro.
3.2.5 Bicondicional
O conectivo
representa a bi-implicação ou bicondicional entre duas proposições. Deste
modo, o valor lógico é verdadeiro se ambas proposições possuírem valores lógicos iguais ao mesmo
tempo, podendo ser tanto verdadeiro quanto falso. Nos demais casos, é o valor falso. Assim, podemos
expressar o comportamento deste conectivo da seguinte maneira:
v(
QP
) = V, se v(
P
) = v(
Q
)
= F, caso contrário
A forma de leitura deste conectivo usando estas proposições, por exemplo, é “
P
se e somente
se
Q
” ou “
P
é condição necessária e suficiente para
Q
”.
Por exemplo, considere
P
como “O prefeito será cassado” e
Q
“O prefeito permanece no
cargo”. Assim, temos “O prefeito será cassado se e somente se ele permanecer no cargo”. Dessa
forma, esta frase será verdadeira somente se os valores das sentenças isoladas obtiverem o mesmo
valor lógico, podendo ser verdadeiro ou falso.
Além destes conectivos lógicos clássicos, tem se ainda a disjunção exclusiva que é representada
por
.
Este conectivo é uma variação da disjunção apresentada anteriormente, sendo que para o valor
lógico ser verdadeiro somente uma das proposições envolvidas pode ter seu valor lógico como
verdadeiro. Assim, a outra proposição precisa, obrigatoriamente, possuir o valor lógico como falso. Desta
maneira, podemos expressar este comportamento da seguinte maneira:
v(
P
Q
) = V, se v(
P
) = V e v(
Q
) = F
= V, se v(
P
) = F e v(
Q
) = V
= F, caso contrário
A forma de leitura deste conectivo usando estas proposições, por exemplo, é “ou
P
ou
Q
”.
Para este conectivo, considere
P
como “O prefeito renuncia” e
Q
“O prefeito será cassado”.
Assim, teríamos a sentença “Ou o prefeito renuncia ou ele será cassado”. Neste caso, a frase será
verdadeira somente se uma das opções for verdadeira. Caso contrário, será falsa.
Apostila de Introdução à Lógica Página 44
Antes de conhecer algumas leis importantes da lógica envolvendo estes conectivos lógicos,
vamos fazer uma analogia entre a teoria dos conjuntos, mostrada na primeira aula, e a lógica
proposicional que está sendo vista nesta aula para a apresentação de um valor lógico. Assim, considere
5,4,3,2,1A
,
p
= “5 pertence ao conjunto A” e
q
= “1 não pertence ao conjunto A”. Desta forma, de
forma notacional, teremos:
A5
: V
v (
p
): V
A1
: F
v (
q
): F
Com isso, finalizamos a apresentação do comportamento dos conectivos lógicos da lógica
proposicional.
3.3 Leis fundamentais da Lógica
A lógica proposicional possui três leis fundamentais ou axiomas (verdade evidente por si mesma,
e que não precisa ser provada), que são a do terceiro excluído, a da não-contradição e a da identidade,
que servem para guiar o nosso raciocínio lógico (Aranha e Martins, 2003). Vejamos a seguir cada uma
delas.
3.3.1 Lei do terceiro excluído
Esta lei afirma que uma fórmula proposicional só pode ser verdadeira ou falsa. Assim, descarta-
se uma terceira opção de valor lógico que não seja verdadeiro ou falso. Por exemplo: “esta criança tem
ou não tem 10 anos”. Podemos então representar esta lei com a seguinte fórmula proposicional:
pp
Uma proposição e sua negação não são nunca verdadeiras ao mesmo tempo. De uma proposição e de
sua negação podemos dizer que uma delas pelo menos é verdadeira (Teles, 2000).
3.3.2 Lei da não-contradição
Esta lei diz que uma fórmula proposicional não pode ser, simultaneamente, verdadeira e falsa.
Ou seja, não posso afirmar que “esta criança tem e não tem 10 anos” ao mesmo tempo. Podemos
representar esta lei do seguinte modo:
)( pp
3.3.3 Lei da identidade
Esta lei refere-se que “o que é, é e o que não é, não é”. Uma vez definido se é ou não, este
conceito deve permanecer ao longo do raciocínio. Podemos então representar esta lei da seguinte
maneira:
pp
Apostila de Introdução à Lógica Página 45
pp
3.4 Diferentes Notações
Além desta notação usada para representar os conectivos lógicos, é possível também encontrar
na literatura uma variedade de outros símbolos. Dentre eles, podemos destacar: negação (~, ‘, !, not),
conjunção (., and), disjunção (+, or) e disjunção exclusiva ().
Outro aspecto que pode ser analisado com relação aos conectivos lógicos é a quantidade de
proposições necessárias para a obtenção de um novo valor lógico. O conectivo de negação, por
exemplo, é considerado unário, visto que necessita de somente uma proposição para obter o novo valor
lógico. Por outro lado, os demais conectivos lógicos são binários, pois precisam analisar os valores de
duas proposições para se encontrar o novo valor lógico.
3.5 Manipulando a Negação
Um problema de grande importância para a lógica é o da identificação de proposições equivalentes à
negação de uma proposição dada. Negar uma proposição simples é uma tarefa que não oferece grandes
obstáculos. Entretanto, podem surgir algumas dificuldades quando procuramos identificar a negação de
uma proposição composta.
Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto ao da
proposição dada. Desse modo, sempre que uma proposição A for verdadeira, sua negação (não A) deve
ser falsa e sempre que uma proposição A for falsa, a sua negação (não A) deve ser verdadeira.
Em outras palavras, a negação e uma proposição deve ser contraditória com a proposição dada. A
tabela a seguir mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas proposições
compostas:
Proposição Negação direta Equivalência da Negação
A e B Não (A e B) Não A ou não B
A ou B Não (A ou B) Não A e não B
Se A então B Não (se A então B) A e não B
A se e somente se B Não (A se e somente se B) [(A e não B) ou (B e não A)]
Todo A é B Não (todo A é B) Algum A não é B
Algum A é B Não (algum A é B) Nenhum A é B
Considere as seguintes proposições:
p: Elisabete gosta de viajar.
q: Eunice gosta de fazer compras.
E a proposição composta: Elisabete gosta de viajar e Eunice gosta de fazer compras.
Apostila de Introdução à Lógica Página 46
Em linguagem da Lógica, podemos escrever:
p /\ q (Negação) = ~ ( p /\ q )
Eliminando-se os parênteses, o sinal /\ é trocado por v (trocamos "e" por "ou"), assim:
~ (p /\ q) = ~ p v ~ q
Desta forma a nova proposição seria:
Elisabete não gosta de viajar ou Eunice não gosta de fazer compras.
Considere mais esta proposição:
p: Débora é inteligente.
A negativa: ~ p: Débora não é inteligente
A negação da proposição negativa:
~ (~ p): Não é verdade que Débora não é inteligente.
Ou seja Débora é inteligente.
Neste caso, temos:
~ (~ p) = p
Atividades
1) Considerando às regras de formação de fórmulas bem formadas, identifique dentre as fórmulas
apresentadas a seguir quais são fórmulas da lógica proposicional. Considere ainda a forma simplificada
de representação de fórmulas em que os símbolos de pontuação podem ser eliminados.
a)
)()( QRQP
b)
))(( QRQP
c)
)()( QRQ
d)
)))(()(( QRQP
2) Simplifique ao máximo, se possível, o número de símbolos de pontuação das fórmulas a seguir.
a)
PQP )(
Apostila de Introdução à Lógica Página 47
b)
)))(())((( QRTQP
c)
)))()(()(( QRQP
3) Analise as afirmativas apresentadas a seguir e, em seguida, escolha a alternativa correta.
I – O conectivo de negação possui a maior precedência entre os conectivos, assim é o primeiro a
ser realizado numa fórmula.
II – O comprimento de uma fórmula é obtido pela soma dos conectivos, proposições e símbolos
de pontuação envolvidos.
III –
)( QP
é uma subfórmula de
)())( QRRQP
.
IV – A lei do terceiro excluído diz que uma proposição pode ter somente valor verdadeiro ou
falso, podendo nunca possuir outro valor exceto esses dois.
a) As afirmativas I e III estão corretas.
b) As afirmativas II e IV estão corretas.
c) As afirmativas I, III e IV estão corretas.
d) Todas as afirmações estão corretas.
4) Considerando os valores lógicos das proposições (F e V) e os conectivos a seguir, identifique o seu
valor lógico de
P
, ou seja, v(
P
).
a) v(
Q
) = V e v(
QP
) = F
b) v(
Q
) = F e v(
QP
) = F
c) v(
Q
) = V e v(
QP
) = F
d) v(
Q
) = F e v(
QP
) = F
5) Considerando que a proposição p significa “João é bonito” e a q significa “João é inteligente”,
represente as frases a seguir usando o alfabeto da lógica proposicional.
a) João é bonito e inteligente
b) João é inteligente mas não bonito
c) Não é verdade que João é bonito e inteligente
d) Se João é bonito, então ele não é inteligente
e) Se João é feio, então ele é inteligente
f) João é feio se e somente se ele não for inteligente
6) Considere que a proposição p represente “gosto de viajar” e a proposição q “visitei o Chile”,
represente com a linguagem da lógica proposicional as seguintes sentenças.
Apostila de Introdução à Lógica Página 48
a) Gosto de viajar se e somente se visitei o Chile
b) Se não visitei o Chile, então não gosto de viajar
c) Se gosto de viajar e não visitei o Chile, então não gosto de viajar
d) Visitei o Chile e não gosto de viajar
e) Não é verdade que: gosto de viajar e visitei o Chile
f) Se visitei o Chile, então gosto de viajar
g) Não gosto de viajar ou não visitei o Chile
7) Transcreva para a lógica proposicional as seguintes frases.
a) Se elefantes podem subir em árvores, então 3 é um número irracional
b) É proibido fumar cigarro ou charuto
c) Se as laranjas são amarelas, então os morangos são vermelhos
d) É falso que se Montreal é a capital do Canadá, então a próxima copa será realizada no Brasil
8) Analise os enunciados a seguir e defina-os se são ou não proposições.
a) Tudo bem?
b) João é um médico
c) Ela é bonita
d) Estude
para concursos
e) Seja um bom marido
f) Pare!
g) N é um número natural
h) 10 + 10 > 20
i) X + Y > 20
j) 2 é um número primo
k) A lua é feita de queijo
l) O jogo vai acabar logo?
9) Formalize para a lógica proposicional as seguintes frases.
a) A eutanásia é permitida por lei se for praticada na Holanda.
b) A eutanásia deve ser permitida se, e só se, for aplicada a doentes terminais.
c) Se Picasso é espanhol e está vivo, então não é pintor.
d) Picasso é espanhol e, se está vivo, então não é pintor.
e) Picasso é espanhol, mas não está vivo.
f) Picasso não está vivo, embora seja espanhol e pintor.
g) Não acontece depressa e bem.
h) Vou à praia e tomo banho ou leio um livro.
Apostila de Introdução à Lógica Página 49
i) Se o professor não se despachar, chega tarde à escola e os alunos têm folga.
j) Pedro e Inês amam-se.
k) Se chove, então não vou à praia.
l) Thiago só vai ao supermercado se e somente se Mariana, Érika e Silvia não forem.
m) Mariana vai à festa, mas Silvia só vai se Érika não for.
n) Maria é bonita ou se Maria é estudiosa então é boa aluna.
o) João é magro e inteligente ou Maria não é brasileira.
10) Formalize os argumentos a seguir utilizando a linguagem da lógica proposicional.
a) Se for à praia e tomar banho, leio um livro. Sucede que não leio um livro, portanto não vou à praia e
tomo banho.
b) Está a chover, uma vez que se não chovesse as pessoas não estavam molhadas e as pessoas
estão molhadas.
c) A Ana não está contente, pois quando tira positiva num teste fica contente e sempre que fica
contente canta. Acontece que a Ana não canta.
d) Deus existe ou a Bíblia está errada. Se Deus existe, não existe o mal no mundo. Mas no mundo
existe o mal. Daí que a Bíblia esteja errada.
e) Se Deus existe e é bom, então o mal não existe no mundo. Mas se o mal não existe no mundo, o
paraíso terrestre existe. Mas será que o paraíso existe na Terra? A verdade é que o paraíso terrestre
não existe. Logo, não é verdade que Deus existe e é bom.
11) Represente o significado das sentenças abaixo utilizando os princípios do diagrama de Venn (visto
anteriormente).
a) p
b) p
c) p q
d) p q
e) p q
f) p q
12) Considere as proposições p: “Está frio” e q: “está chovendo”. Traduza as fórmulas a seguir para a
linguagem natural.
a) p q
b) p q
c) p q
d) p q
Apostila de Introdução à Lógica Página 50
13) Negue em linguagem corrente as seguintes proposições:
a) Atlético é alvi-verde e Coritiba é rubro-negro.
b) As vendas diminuem e os preços aumentam.
c) É falso que está frio ou que está chovendo.
d) Se João passar em Física então se formará.
e) Não tenho carro e não tenho moto.
f) Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.
g) Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista.
14) As sentenças a seguir estão em linguagem natural. Escreva cada uma delas usando a linguagem da
Lógica Proposicional.
a) Se chove então as ruas ficam molhadas.
b) João é magro ou Maria não é brasileira.
c) Se Maria estuda bastante então Maria vai ao cinema.
d) Antonio vai ao cinema se e somente se o filme for uma comédia.
e) Ou Maria irá ao cinema e João não, ou Maria não irá e João irá.
f) Maria tem 10 anos ou se Maria é estudiosa então é boa aluna.
15) Represente os argumentos apresentados abaixo usando a linguagem da lógica proposicional e,
depois, informe quanto à sua validade, ou seja, o argumento é válido ou não. Justifique sua resposta.
a) Se caminho pela rua, então sou reprovado em lógica. Se não jogo futebol, então corro. Fui reprovado
em lógica. Logo, corri.
b) Se as leis são boas e o seu cumprimento é rigoroso, diminuirá a criminalidade. Se o cumprimento é
rigoroso da lei faz diminuir a criminalidade, então, nosso problema é de caráter prático. As leis são boas.
Portanto, nosso problema é de caráter prático.
c) Se João mantém a promessa, então, se as entregas forem feitas a tempo, a mercadoria estará boa. A
mercadoria não estará boa. Logo, se as entregas forem feitas a tempo, João não cumpre a sua
promessa.
16) Represente as declarações apresentadas abaixo usando a linguagem da lógica proposicional e, em
seguida, escreva a sua negação o mais simples possível.
a) Ela tem cabelos loiros se e somente se tem olhos verdes.
b) Se eu não for à aula então meu pai me colocará de castigo.
c) Maria é bonita e Maria não é estudiosa.
d) Se Érika for à festa, Mariana vai e Silvia não vai.
Apostila de Introdução à Lógica Página 51
17) Formalize as frases a seguir considerando os seguintes símbolos proposicionais:
T = Thiago vai ao supermercado.
E = Érika vai à festa.
M = Mariana vai à festa.
S = Silvia vai à festa.
a) Se Érika for à festa, Mariana vai e Silvia não vai.
b) Silvia vai à festa, mas Thiago vai ao supermercado.
c) Se Thiago não for ao supermercado, Mariana, Érika e Silvia vão à festa.
d) Mariana vai à festa, mas Silvia só vai se Érika for.
e) Érika vai à festa se e somente se Mariana e Silvia não forem.
f) Ou Mariana vai à festa, ou Silvia vai. Mas só se Thiago for ao supermercado.
18) Identifique premissas e conclusão nos argumentos a seguir.
a) Dado que há pessoas tristes, então há sofrimento no mundo. Além disso, os hospitais estão cheios de
pessoas.
b) As pessoas dizem coisas quando utilizam a Internet que nunca diriam se estivesse frente a frente com
outras pessoas. Em primeiro lugar, porque as pessoas sentem-se confortáveis atrás do monitor do seu
computador. Em segundo lugar, porque quando navegam na Internet, as pessoas sentem que não
necessitam de respeitar regras sociais.
c) Dado que uma escola pública da Grã-Bretanha conseguiu tornar-se uma das melhores escolas do
país depois de ter adotado temas dos livros do personagem Harry Potter nas suas aulas, pode-se dizer
que o Harry Potter permite melhorar os resultados escolares.
20) (ELETRONORTE) Se “cada macaco fica no seu galho”, então:
a) tem mais macaco do que galho.
b) pode haver galho sem macaco.
c) dois macacos dividem um galho.
d) cada macaco fica em dois galhos.
e) dois galhos dividem um macaco.
21) (UFMT) Se num campeonato de futebol é verdade que “quem não faz, leva”, ou seja, time que não
marca gol numa partida sofre ao menos um gol nessa mesma partida, então:
a) em todos os jogos os dois times marcam gols.
b) nenhum jogo termina empatado.
c) o vencedor sempre faz um gol a mais que o vencido.
d) nenhum jogo termina 0 x 0, ou seja, sem gols.
e) resultados como 1 x 0, 2 x 0 ou 3 x 0 não são possíveis.
22) Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loira, outra é morena e a outra é ruiva. O
agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda,
que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra
irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de
cada uma, elas deram as seguintes informações: A loira: “Não vou à França nem à Espanha”. A morena:
“Meu nome não é Elza nem Sara”. A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”. O agente de viagens
concluiu, então, acertadamente, que:
a) A loira é Sara e vai à Espanha.
b) A ruiva é Sara e vai à França.
c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.
d) A morena é Bete e vai à Espanha.
e) A loira é Elza e vai à Alemanha.
23) (AFTN) Considere as afirmações: A) se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade; B) se Vítor diz
a verdade, Helena não é uma boa amiga; C) se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga.
A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite concluir que elas:
Apostila de Introdução à Lógica Página
52
a) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga.
b) são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer Patrícia não seja uma boa amiga.
c) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma boa amiga.
d) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga.
e) são inconsistentes entre si.
24) (FGV) Alguém afirmou certa vez que toda pessoa que diz que não bebe não está sendo honesta.
Pode-se concluir dessa premissa que:
a) Uma pessoa que diz que bebe está sendo honesta.
b) Uma pessoa que está sendo honesta se diz que bebe.
c) Não existem pessoas honestas que dizem que não bebem.
d) NDA.
25) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes: Se Célia tiver um bom
currículo, então ela conseguirá um emprego. Ela conseguiu um emprego. Portanto, Célia tem um bom
currículo. Explique o raciocínio das afirmações com auxílio dos diagramas de conjuntos.
26) (MTE) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidências que o convenceram
da verdade das seguintes afirmações:
Se Homero é culpado, então João é culpado. Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados.
Se Adolfo é inocente, então João é inocente.
Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado. As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam,
portanto, que:
a) Homero, João e Adolfo são inocentes.
b) Homero, João e Adolfo são culpados.
c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes.
d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado.
e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.
27) Identifique antecedente e conseqüente das seguintes proposições:
a) Se a chuva continuar o rio vai transbordar.
b) Maria vende o carro, se comprar a casa.
c) Maria vende o carro só se comprar a casa.
d) Os abacates só estão maduros quando estão escuros e macios.
28) (BACEN 2006 FCC) Sejam as proposições:
p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central;
q: fazer frente ao fluxo positivo.
Se p implica em q, então
a) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente
ao fluxo positivo.
b) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do
Banco Central.
c) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente
ao fluxo positivo.
d) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares
por parte do Banco Central.
e) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem
necessária para fazer frente ao fluxo positivo.
29) Escreva a negação das declarações apresentadas abaixo.
a) Maria vende o carro se e somente se comprar a casa.
b) se é juiz então é advogado.
c) chove ou faz calor.
d) gosto de arroz mas não de macarrão.
Apostila de Introdução à Lógica Página 53
30) Represente os argumentos apresentados abaixo usando a linguagem da lógica proposicional e,
depois, informe quanto à sua validade, ou seja, o argumento é válido ou não. Justifique sua resposta.
a) Se o programa é eficiente, então ele é executado rapidamente. O programa é eficiente ou ele tem um
problema. No entanto, o programa não é executado rapidamente. Portanto, ele tem um problema.
Usar as letras sentenciais: e, r, p
b) A safra é boa, mas não há água suficiente. Se houver muita chuva ou não muito sol, então há água
suficiente. Portanto, a safra é boa e há um monte de sol.
Usar letras sentenciais: s, a, c, s
c) Se João bebe cerveja, então ele tem pelo menos 18 anos de idade. João não bebe cerveja. Portanto,
João ainda não tem 18 anos de idade.
Usar as letras sentenciais: c, i
31) Se chove, então faz frio. Assim sendo:
a) Chover é condição necessária para fazer frio
b) Fazer frio é condição suficiente para chover
c) Chover é condição necessária e suficiente para fazer frio
d) Chover é condição suficiente para fazer frio
e) Fazer frio é condição necessária e suficiente para chove
32) Sejam as proposições:
P: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central
Q: fazer frente ao fluxo positivo
Se P implica Q, então:
a) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente
ao fluxo positivo
b) Fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte
do Banco Central
c) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente
ao fluxo positivo
d) Fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de
dólares por parte do Banco Central
e) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem
necessária para fazer frente ao fluxo positivo
33) Se anoitece, então vamos ao cinema. Assim sendo:
a) Anoitecer é condição necessária para irmos ao cinema
b) Ir ao cinema é condição suficiente para anoitecer
c) Anoitecer é condição necessária e suficiente para irmos ao cinema
d) Anoitecer é condição suficiente para irmos ao cinema
e) Ir ao cinema é condição necessária e suficiente para anoitecer
34) Você lava o carro se e somente se eu o emprestar a você. Assim sendo:
Apostila de Introdução à Lógica Página 54
a) Você lava o carro é condição necessária para eu o emprestar a você
b) Eu o emprestar a você é condição suficiente para você lavar o carro
c) Você lava o carro é condição suficiente para eu o emprestar a você
d) Você lava o carro é condição necessária e suficiente para eu o emprestar a você
e) Eu o emprestar a você é condição necessária e suficiente para você lavar o carro
35) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente
para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente
para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre,
a) D ocorre e B não ocorre
b) D não ocorre ou A não ocorre
c) B e A ocorrem
d) nem B nem D ocorrem
e) B não ocorre ou A não ocorre
36) Com base no dicionário
P = o estudante comete erros
Q = há motivação para o estudo
R = o estudante aprende a matéria
Simbolizar:
a) Se o estudante não comete erros, aprende a matéria.
b) Se há motivação para o estudo, o estudante não comete erros.
c) O estudante aprende a matéria se e somente se há motivação para o estudo.
d) Se não há motivação para o estudo, então o estudante comete erros ou não aprende a matéria.
37) Com base no seguinte dicionário
P = João está aqui
Q = Saulo está viajando
R = O contrato é assinado
S = Os diretores reúnem-se hoje
T = Os diretores analisam o contrato
U = Raul aceita a situação
V = Raul encarrega-se de tudo
Simbolizar:
a) Se João estiver aqui e Saulo não estiver viajando, os diretores reunir-se-ão hoje.
b) Raul aceitará a situação e encarregar-se-á de tudo.
c) Se Raul não aceitar a situação, então ele encarregar-se-á de tudo, Saulo viajará e se ao diretores
analisarem o contrato, ele será assinado hoje.
d) Os diretores assinarão o contrato se, reunindo-se hoje, notarem que Raul se encarrega de tudo.
e) Se João não estiver aqui ou se Saulo estiver viajando, então o contrato não será assinado, os
diretores não se reunirão e não analisarão o contrato ou Raul aceita a situação e se encarrega de tudo.
38) Escreva fórmulas para as sentenças abaixo utilizando os seguintes símbolos proposicionais:
P = Paula vai à festa.
Q = Quincas vai à festa.
R = Ricardo vai à festa.
S = Sara vai à festa.
a) Paula não vai.
Apostila de Introdução à Lógica Página 55
b) Paula vai, mas Quincas não vai.
c) Se Paula for, então Quincas também irá.
d) Paula irá, se Quincas for.
e) Paula irá, somente se Quincas for.
f) Paula irá se e somente se Quincas for.
g) Nem Paula nem Quincas irão.
h) Paula e Quincas não irão.
i) Paula vai ou Quincas não vai.
j) Paula não irá, se Quincas for.
k) Ou Paula vai, ou Ricardo e Quincas vão.
l) Se Paula for, então Ricardo e Quincas irão.
m) Paula não irá, mas Ricardo e Quincas irão.
n) Se Ricardo for, então se Paula não for, Quincas irá.
o) Se nem Ricardo nem Quincas forem, então Paula irá.
p) Ricardo irá, somente se Paula e Quincas não forem.
q) Se Ricardo ou Quincas forem, então Paula irá e Sara não irá.
r) Ricardo e Quincas irão se e somente se Paula ou Sara for.
Apostila de Introdução à Lógica Página 56
Aula 4 – Tabela-verdade
Introdução
Até a aula passada você aprendeu a identificar o valor lógico de uma proposição e, a
partir deste valor, saber qual seria outro valor lógico, caso combinasse com um certo conectivo
(
,
,
,
ou
) e/ou com uma segunda proposição. Assim, no máximo, analisamos
duas proposições com um conectivo. Porém, quando se tem um número maior de proposições
ou até mesmo quando a fórmula se torna complexa devido aos símbolos de pontuação, a
maneira utilizada até o presente momento não traz muitos recursos. Devido a este tipo de
necessidade, foram criadas as tabelas-verdade para sistematizar o processo de obtenção de
valores lógicos.
Logo, nesta aula, aprenderemos como criar tabelas-verdade para fórmulas
proposicionais (simples e compostas), bem como classificá-las de acordo com os valores
lógicos obtidos como resultado. Assim, classificaremos uma tabela-verdade como tautologia,
contradição ou contingência (ou indeterminação). Por fim, analisaremos uma fórmula com
relação à sua satisfabilidade.
4.1 Tabela-verdade
As tabelas-verdade (ou tabelas de verdade) são tabelas em que são associadas aos
conectivos proposicionais e às fórmulas da lógica proposicional. No último caso, as tabelas são
construídas a partir das tabelas associadas aos conectivos proposicionais (Souza, 2002).
Essas tabelas são usadas para verificar se uma fórmula é verdadeira e válida.
O número de colunas numa tabela-verdade varia de acordo com a fórmula que está
sendo analisada. Além disso, podemos ter ainda para uma mesma fórmula proposicional
diversas tabelas-verdade condizentes no que se diz respeito ao número de colunas.
Normalmente, para cada fórmula analisada, várias decomposições são realizadas, ou seja, são
escritas as suas subfórmulas. Basicamente, o que diferenciará uma tabela da outra é a
capacidade de encontrar valores lógicos analisando um ou mais conectivos ao mesmo tempo.
Inicialmente, recomendamos que escreva todas as subfórmulas da fórmula analisada e, com o
passar do tempo, você será capaz de agilizar o processo do entendimento dos conectivos e,
conseqüentemente, reduzir o número de colunas, caso deseje.
Por exemplo, se fôssemos analisar a fórmula
)()( qpqp
para construir a
tabela-verdade, poderíamos criar sete colunas, sendo uma cada para uma das subfórmulas,
Apostila de Introdução à Lógica Página 57
que são:
p
,
q
,
p
,
q
,
)( qp
,
)( qp
e
)()( qpqp
. Observe que a fórmula
analisada também faz parte de uma das colunas da tabela-verdade.
Com relação à quantidade de linhas numa tabela-verdade, esta dependerá da
quantidade de proposições existentes na fórmula a ser analisada. Quando existir apenas uma
única proposição, por exemplo, teremos duas linhas, sendo preenchidas com os valores V (ou
1) e F (ou 0) em uma única coluna. Considerando agora duas proposições, por exemplo,
teremos os seguintes valores lógicos: VV, VF, FV e FF, sendo estes apresentadas em cada
linha, que perfaz um total de quatro linhas. A ordem da apresentação desses valores pode ser
alterada, entretanto não pode ocorrer repetição desses valores, ou seja, ter duas linhas FV ou
VF, por exemplo.
Portanto, a quantidade de linhas numa tabela-verdade dar-se-á pela fórmula n2 , em que
n representa o número de proposições existentes (Casanova et al., 1978). Desta maneira, se
tivermos, por exemplo, quatro proposições numa fórmula, então teremos 16 linhas na tabela-
verdade. Assim, esta é uma boa dica para certificar-se que a quantidade de linhas da tabela-
verdade esteja correta.
Saiba mais!
Uma boa recomendação para começar a construir uma tabela-verdade é colocando o valor V
para as proposições mais à esquerda e modificando para F quando não existir mais
possibilidades de continuar com V observando as combinações de V e F para todas as
proposições simples. Este processo continua até chegar à última linha, que conterá somente
Fs.
Portanto, de um modo geral, podemos estruturar a construção da tabela-verdade em
três etapas:
1. definição da quantidade de linhas, observando o número de proposições simples
distintas na fórmula proposicional;
2. identificação da ordem de precedência dos conectivos lógicos, subdividindo assim a
fórmula proposicional em subfórmulas. Cabe ressaltar que, assim como na matemática,
quando existir parênteses nas fórmulas, as operações dentro dos parênteses deverão
ser efetuadas primeiramente;
3. preenchimento dos valores lógicos (V ou F) das subfórmulas de acordo com o
comportamento dos conectivos envolvidos.
Apostila de Introdução à Lógica Página 58
Então observe agora como seria a tabela-verdade para representar o comportamento
dos conectivos lógicos
,
,
, ,
e
, apresentados na aula passada, usando as
proposições
p
e
q
.
p
q
p
(não p)
qp
(p e q)
qp
(p ou q)
p q
(ou p ou q)
qp
(se p então q)
qp
(p se e somente se q)
V V F V V F V V
V F F F V V F F
F V V F V V V F
F F V F F F V V
Vamos então agora construir a tabela-verdade para a fórmula
)()( qpqp
.
Como esta fórmula possui somente duas proposições (
p
e
q
), então já sabemos de antemão
que esta tabela-verdade terá quatro linhas (exceto o cabeçalho da tabela-verdade) para
apresentar todas as interpretações dos valores lógicos. Com relação à quantidade de colunas,
vamos destinar uma coluna para cada subfórmula existente. Assim, a tabela-verdade para esta
fórmula pode ser vista a seguir:
p
q
p
q
qp
qp
)()( qpqp
V V F F V F F
V F F V F V V
F V V F F V V
F F V V F V V
Observe que, inicialmente, esta tabela apresenta os valores lógicos das proposições
p
e
q
. Na sequência, são obtidos os valores de
p e q em função de p e q ,
respectivamente. De forma similar, foram obtidos os valores lógicos das subfórmulas até
alcançar a fórmula completa
)()( qpqp
.
Analisando os valores finais obtidos em cada uma das linhas da proposição ou fórmula
analisada, podemos classificar a tabela em tautologia, contradição ou contingência. Então,
vamos entender agora estas três formas de classificação.
4.2 Tautologia
Uma fórmula
é uma tautologia ou válida quando para qualquer interpretação, ou seja,
linha da tabela-verdade possui o valor lógico igual a verdadeiro. Um exemplo clássico de
tautologia é a fórmula
pp
. Construindo sua tabela-verdade, teremos:
p
p
pp
V F V
Apostila de Introdução à Lógica Página 59
F V V
Outro possível exemplo de tautologia pode ser observado na fórmula
)()( pqqp
. Então vamos conferir a sua tabela-verdade.
p
q
p
q
qp
pq
)()( pqqp
V V F F V V V
V F F V F F V
F V V F V V V
F F V V V V V
Pensando sobre o assunto
A palavra tautologia, em grego, significa “dizer o mesmo”. Em lógica, o termo tautologia adquire
um sentido técnico importante porque designa os enunciados que sempre resultam
verdadeiros, ou seja, todas as tautologias são equivalente umas às outras (Aranha e Martins,
2003).
4.3 Contradição
Uma fórmula
é uma contradição quando todas as interpretações da tabela-verdade
possuem o valor lógico igual a falso. A fórmula
pp é um exemplo clássico de contradição,
conforme pode ser vista pela tabela a seguir.
p
p
pp
V F F
F V F
A fórmula
)()( qqpp é também considerada um exemplo de contradição, a
qual pode ser comprovada pela tabela-verdade apresentada a seguir.
p
q
p
q
pp
qq
)()( qqpp
V V F F V F F
V F F V V F F
F V V F V F F
F F V V V F F
Podemos afirmar ainda que a negação de uma tautologia é uma contradição, e a
negação de uma contradição é uma tautologia.
4.4 Contingência ou indeterminação
Apostila de Introdução à Lógica Página 60
Uma fórmula
é uma contingência ou uma indeterminação quando as interpretações
possuem valores lógicos iguais a verdadeiro e falso, simultaneamente. Assim, um exemplo
bastante simples é a fórmula
pp
, conforme pode ser vista na tabela a seguir.
p
p
pp
V F F
F V V
Outro exemplo de fórmula indeterminada pode ser visualizada a seguir.
p
q
q
qp
)( qp
qp
)()( qpqp
V V F V F V F
V F V V F F V
F V F F V F V
F F V V F V F
Nesta tabela, a fórmula
)()( qpqp
obteve dois valores verdadeiros e dois
falsos. Enfim, para se obter uma indeterminação na tabela-verdade, basta encontrar pelo
menos um verdadeiro e outro falso.
Assim, finalizamos as três formas de classificação das tabelas-verdade no que diz
respeito à obtenção dos valores lógicos das fórmulas resultantes.
4.5 Satisfatibilidade
Podemos ainda classificar as fórmulas com relação à sua satisfatibilidade. Uma fórmula
é dita satisfatível (ou factível) quando existe pelo menos uma interpretação, ou seja, uma
linha da tabela-verdade com o valor verdadeiro (Souza, 2002). Por conseguinte, toda fórmula
tautológica é automaticamente uma fórmula satisfatível. Por outro lado, uma fórmula é
considerada insatisfatível quando esta não é satisfatível, ou seja, quando se obtém uma
contradição.
Deste modo, podemos concluir ainda que:
se uma fórmula não for tautológica, então esta pode ser satisfatível ou
contraditória;
se uma fórmula for satisfatível, então esta não é uma contradição e pode ser
tautológica;
se uma fórmula não for satisfatível, então esta é uma contradição e não pode
ser tautológica.
4.6 Tabela-Verdade para Validade de Argumento
Apostila de Introdução à Lógica Página 61
Um argumento é válido quando não é possível que as premissas sejam verdadeiras e a
conclusão seja falsa. Caso contrário, o argumento é inválido. Para fazer esta definição, é
preciso analisar linha a linha da tabela. Por exemplo, considere que as premissas de um
argumento são: p e p q, e a conclusão seja o q. Criando uma tabela-verdade para este
argumento, teremos:
p
q
qp
V V V
V F F
F V V
F F V
Assim, analisando os valores das premissas (primeira e terceira colunas) e o valor da
conclusão (segunda coluna), não há uma situação que se tenha premissas verdadeiras e
conclusão falsa. Logo, o argumento é válido.
Considere agora o argumento com as premissas q e p q, e a conclusão seja o p.
Analisando a tabela-verdade anterior com as premissas sendo a segunda e terceira colunas, e
a conclusão como primeira coluna, pode-se concluir que o argumento é inválido. Isto acontece
porque na terceira linha de valores lógicos, as premissas são verdadeiras, mas a conclusão é
falsa.
Atividades
1) Considerando as etapas para a construção de tabelas-verdade apresentadas anteriormente, crie uma
tabela-verdade para as proposições descritas a seguir.
a)
)()( abba
b)
bacba
c)
))()(( abcba
2) Analise as afirmativas apresentadas a seguir e, em seguida, escolha a alternativa correta.
I – Uma fórmula é considerada indeterminada ou contingente quando são encontrados valores
verdadeiros e falsos simultaneamente na última coluna da tabela-verdade.
II – A quantidade de linhas de uma tabela-verdade está relacionada com a quantidade de
proposições existentes, bem como o número de conectivos lógicos envolvidos.
III – A fórmula
pp
é um exemplo de contradição.
a) As afirmativas I e II estão corretas.
b) As afirmativas II e III estão corretas.
Apostila de Introdução à Lógica Página 62
c) As afirmativas I e III estão corretas.
d) Todas as afirmativas estão corretas.
3) Considerando a tabela-verdade apresentada a seguir, classifique se a esta é um exemplo de
tautologia, contradição, contingência, satisfatível ou insatisfatível.
p
p
pp
V F F
F V V
4) Construa uma tabela-verdade que apresente um exemplo de fórmula tautológica e outra de
contraditória.
5) Construa a tabela-verdade para as fórmulas a seguir e, depois, classifique-a como tautologia,
contradição ou contingência.
a) (P Q) Q
b) (P Q) (R Q)
c) ((P Q) (Q R)) (P R)
6) Construa tabelas-verdade para as seguintes fórmulas proposicionais.
a) p q p q
b) ((p q) (p q)) (p q)
c) (p r) (p q)
d) (p q) p r
7) Considerando que p tenha o valor F, q o valor F, r o valor V, então determine o valor lógico das
fórmulas a seguir.
a) ((p q) (q r)) (p q)
b) ((q r)) ((p))
c) (p q) (q r)
d) (p p q p) r
8) Determinar quais proposições são tautologia, contradição ou indeterminação:
a) p q (p q r)
b) p q p q
c) p (p q)
d) p (p q) p
9) Formalize os argumentos a seguir usando a linguagem proposicional e depois verifique se o
argumento é ou não válido.
Argumento: Se a medida não for aprovada, então não teremos aumento salarial.
Ora, a medida foi aprovada.
Logo, teremos aumento salarial.
Argumento: Se o time joga bem, ganha o campeonato.
Se o time não joga bem, o técnico é culpado.
Se o time ganha o campeonato, os torcedores ficam contentes.
Os torcedores não estão contentes.
Logo, o técnico é culpado.
Apostila de Introdução à Lógica Página 63
13) Construa a tabela-verdade para as fórmulas proposicionais abaixo e, depois, classifique-as como
tautológica, contraditória ou contingente.
a) (p q) ((p q) (q r))
b) ((p q) p) q
c) ~(~p q) p q
d) (a (c s) c) a
e) (t a) a t
f) (o b) o
g) (p q) (q p)
h) (r s) (s r)
i) ((p q) (q r)) (p r)
j) (p q) p
Apostila de Introdução à Lógica Página 64
Aula 5 – Implicação e Equivalência Lógica
Introdução
Continuando ainda com os estudos da lógica proposicional, nesta aula veremos os
conceitos de implicação e equivalência lógica aplicados em suas fórmulas. Estes conceitos
podem ser facilmente comprovados por meio das tabelas-verdade sob determinadas
condições. Para isso, apresentaremos alguns exemplos comprovando a existência de
uma
implicação ou equivalência lógica tanto com a notação de fórmulas proposicionais quanto com
o uso de sentenças usadas no cotidiano, relembrando o estudo da aula 2. Veremos ainda como
provar a validade de um argumento por meio dos conceitos de implicação e equivalência
lógica.
Na Lógica Matemática, existem diversas leis de implicação e equivalência previamente
definidas pelos pesquisadores, as quais são usadas para nortear o nosso pensamento ou
raciocínio. As implicações direcionam a obtenção de uma conclusão caso determinados
acontecimentos (ou premissas) ocorram. As equivalências, por sua vez, possibilitam que
fórmulas proposicionais ou textos sejam substituídos sem perdas lógicas, uma vez que
possuem exatamente o mesmo valor de verdade ou falsidade. As equivalências desempenham
um papel muito importante em processos de inferência de um novo conhecimento porque
apresenta alternativas de caminhos a serem percorridos para se chegar numa conclusão.
5.1 Implicação lógica
Considerando que e são duas proposições compostas, podemos dizer que
implica em se for uma tautologia, ou seja, aplicado um conectivo condicional com
estas proposições, obtivermos todas as interpretações da tabela-verdade como verdadeiro.
Neste caso, há uma implicação ou conseqüência lógica.
Um exemplo de implicação lógica pode ser encontrado com as fórmulas
qp
e
p
.
Sendo a fórmula
qp
o antecedente, e
p
o conseqüente do condicional. Com isso, vamos
analisar a tabela-verdade a seguir para confirmar esta implicação lógica.
p
q
qp
pqp )(
V V V V
V F F V
F V F V
F F F V
Apostila de Introdução à Lógica Página 65
Dados os valores das interpretações da última coluna, podemos comprovar que
obtivemos uma tautologia e, desta forma, inferimos que
qp
realmente implica na
proposição
p
.
A representação da implicação lógica é realizada por meio do símbolo . Assim, para
este exemplo, podemos expressar esta implicação lógica da seguinte forma:
pqp )(
.
Cuidado para não confundir os conectivos
e
. O primeiro conectivo é um
condicional que é usada entre duas proposições para gerar uma nova proposição,
contendo valores verdadeiros ou falsos. Já o segundo conectivo é de implicação lógica,
que representa uma relação entre proposições em que se obtém uma tautologia quando
o conectivo do condicional for aplicado.
5.2 Outras implicações lógicas
Além do exemplo anterior, na literatura, é possível encontrar outras implicações lógicas
já identificadas. Essas implicações são conhecidas também como regras de inferência e nos
permitem concluir o conseqüente, uma vez que consideramos o antecedente verdadeiro
(Souza, 2002). As dez regras mais relevantes podem ser visualizadas na tabela 1 (Keller e
Bastos, 2000).
Tabela 1: Regras de Inferência.
Nome da Regra Exemplos
Modus Ponens (M.P.)
qqpp ,
Modus Tollens (M.T.)
pqpq ,
Silogismo hipotético (S.H.)
rprqqp ,
Silogismo disjuntivo (S.D.)
qpqp ,
Dilema construtivo (D.C.)
sqrpsrqp ),()(
Dilema destrutivo (D.D)
rpsqsrqp ),()(
Absorção (Abs.)
)( qppqp
Simplificação (Simp.)
pqp
Conjunção (Conj.)
qpqp ,
Adição (Ad.)
qpp
Como você deve ter observado na tabela 1, a maioria dos antecedentes é composta por
mais de uma proposição e que estão separadas por vírgula. Cada uma dessas regras pode ser
facilmente provada por meio de tabelas-verdade, a partir da obtenção de uma tautologia como
Apostila de Introdução à Lógica Página 66
resultado. Para tanto, vamos averiguar a implicação lógica para as regras Modus Ponens e
Modus Tollens. Assim, teremos as seguintes tabelas-verdade:
Modus Ponens
p
q
qp
)( qpp
qqpp )(
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
Modus Tollens
p
p
q
q
qp
)( qpq
pqpq )(
V F V F V F V
V F F V F F V
F V V F V F V
F V F V V V V
Sendo assim, como os resultados obtidos foram tautologias, comprova-se então a
existência dessas implicações lógicas. Exemplificando agora a funcionalidade dessas duas
regras de inferência num modo textual, analise as seguintes frases (Pinho, 1999):
(1) “Se ganhar na Loteria, fico rico; ganhei na Loteria”.
(2) “Se ganhar na Loteria, fico rico; não fiquei rico”.
Para estas duas frases, podemos inferir um novo conhecimento ou obter uma conclusão
do raciocínio utilizando as regras de Modus Ponens e Modus Tollens, respectivamente. Assim,
teríamos:
1. “Se ganhar na Loteria, fico rico; ganhei na Loteria;
logo, fiquei rico”.
2. “Se ganhar na Loteria, fico rico; não fiquei rico;
logo não ganhei na Loteria”.
Estes exemplos expressam exatamente a implicação dessas regras, as quais podem
ser são formalizadas com
qp
para a frase “Se ganhar na Loteria, fico rico”, a proposição
p
para a frase “ganhei na Loteria”,
q
para a frase “fiquei rico”,
p
para a frase “não ganhei
na Loteria” e
q
para a frase “não fiquei rico”.
Outra forma de representação da implicação lógica é por meio do símbolo
. Assim,
para representar estes exemplos, teríamos
qqpp , e pqpq , , respectivamente.
Apostila de Introdução à Lógica Página 67
O papel fundamental do uso dessas regras de inferência é justamente inferir novos
conhecimentos, ou seja, encontrar meios em que possamos concluir ou deduzir que um certo
fato é verdadeiro ou falso. No entanto, de acordo com Keller e Bastos, nem sempre com estas
regras apresentadas é possível demonstrar a validade ou a não-validade de um argumento.
Sendo para isso, necessário que ocorra uma substituição de proposições de mesmo valor
lógico (Keller e Bastos, 2000). Para tanto, na próxima seção veremos como isto pode
acontecer.
As regras de inferência apresentadas na tabela 1 correspondem as formas de raciocínio ou
argumentação elementares, cuja validade é facilmente estabelecida por tabelas-verdade. Com
o auxílio delas, podem ser construídas provas formais de validade para uma vasta gama de
argumentos mais complicados (Copi, 1978).
5.3 Falácias
Mesmo tomando afirmações verdadeiras como ponto de partida (as premissas),
podemos tirar conclusões não verdadeiras. São as chamadas falácias. É preciso estar atentos,
para não nos deixarmos enganar pelas falácias.
Nem tudo que tem a forma de uma implicação lógica é. Por exemplo, se tivermos um
condicional do tipo
qp
e a proposição
q
, não é possível concluir
p
, ou seja:
A B: Todo homem é mortal.
B: Totó é mortal
Não é possível inferir A que significa “Totó é homem”.
Outro exemplo de falácia é “Todos os múltiplos de 4 são pares”. “Portanto, qualquer
número par é múltiplo de 4”.
Argumentos contentores de falácias são denominados falaciosos. Frequentemente
parecem válidos e convincentes; às vezes, apenas uma análise pormenorizada é capaz de
revelar a falha lógica.
5.4 Equivalência lógica
Considerando que e são duas proposições compostas, podemos dizer que é
equivalente à se for uma tautologia, ou seja, quando aplicado o condicional com as
fórmulas em questão, precisamos obter o valor V para cada interpretação da tabela-verdade.
Apostila de Introdução à Lógica Página 68
Para entender melhor esta equivalência lógica, vamos analisar se as fórmulas
qp
e
)( qp são equivalentes. Primeiramente, vamos criar uma tabela-verdade para encontrar
os valores lógicos de cada uma das fórmulas analisadas. Em seguida, teremos que aplicar o
conectivo
do bi-condicional com estas fórmulas. Se obtivermos uma tautologia na última
coluna, então poderemos dizer que
qp
é realmente equivalente à
)( qp
.
p
q
p
q
qp
qp
)( qp
)()( qpqp
V V F F V F V V
V F F V F V F V
F V V F F V F V
F F V V F V F V
Um aspecto a ser observado é que os valores de cada linha da tabela-verdade da
fórmula
qp
são exatamente iguais aos valores da fórmula equivalente à
)( qp
. A
representação da equivalência lógica é realizada por meio do símbolo . Assim, podemos
representar este exemplo da seguinte maneira:
)()( qpqp
Com relação às equivalências lógicas, podemos ainda apresentar três propriedades,
que são (Pinho, 1999):
reflexiva – ocorre se
pp
simétrica – ocorre se
qp
, então
pq
transitiva – ocorre se
qp
e
rq
, então
rp
Como você deve ter observado, a tabela-verdade é um mecanismo eficaz para verificar
se duas fórmulas são ou não equivalentes. Além disso, já existem na literatura várias
equivalências comprovadas, as quais veremos na próxima seção.
5.5 Outras equivalências lógicas
Dentre as equivalências existentes, as principais encontram-se apresentadas na tabela
2 (Souza, 2002).
Tabela 2: Regras de Equivalência.
Nome da Lei Exemplos
Leis de identidade
pVp
pFp
Apostila de Introdução à Lógica Página 69
Leis de dominância
VVp
FFp
Leis da idempotência
ppp
ppp
Leis da comutatividade
pqqp
pqqp
Leis da associatividade
)()( rqprqp
)()( rqprqp
Leis da distributividade
)()()( rpqprqp
)()()( rpqprqp
Lei da dupla negação (D.N.)
)( pp
Leis de De Morgan
qpqp )(
qpqp )(
Lei do bi-condicional
)()( pqqpqp
Lei da contraposição
pqqp
Lei da absorção
qpqpp
Lei do condicional
qpqp
Cada uma dessas equivalências pode ser provada com a construção da tabela-verdade
e, neste caso, teremos a obtenção da uma tautologia quando aplicado o conectivo do bi-
condicional com as duas fórmulas analisadas. Sendo assim, vamos comprovar as leis de De
Morgan e da contraposição por meio da apresentação de tabelas-verdade.
p
q
p
q
qp
)( qp
qp
)())(( qpqp
V V F F V F F V
V F F V F V V V
F V V F F V V V
F F V V F V V V
p
q
p
q
qp
pq
)()( pqqp
V V F F V V V
V F F V F F V
F V V F V V V
F F V V V V V
Fazendo uma analogia dessas equivalências com textos da linguagem natural, então
dois trechos textuais são equivalentes quando exprimem o mesmo sentido ou idéia. Assim,
vejamos o seguinte exemplo:
Vou à praia ou à piscina
Apostila de Introdução à Lógica Página 70
Esta sentença exprime a mesma idéia se escrevêssemos “vou à piscina ou à praia”.
Esta sentença, portanto, exemplifica o uso da lei da comutatividade, que diz:
pqqp
.
Neste caso, não importa a ordem das proposições com o uso da disjunção, a resposta sempre
será a mesma.
Vamos agora analisar a seguinte frase:
“Se você continuar estudando Introdução à Lógica,
então você será aprovado(a)” .
Com o mesmo sentido desta frase, poderíamos reescrevê-la da seguinte forma:
“Se você não estudar Introdução à Lógica, você não será aprovado(a)” .
Deste modo, ambas frases são equivalentes, pois exprimem o mesmo pensamento no
que diz respeito à aprovação na disciplina de Introdução à Lógica. Este exemplo, portanto,
reforça a existência da lei da contraposição.
Em suma, a partir dessas e outras equivalências, é possível substituir uma fórmula por
outra logicamente equivalente de modo que não tenha perda de sentido. Essas substituições
podem acontecer quando se deseja alterar o modo da fórmula num processo de raciocínio
lógico.
5.6 Processo de Prova
Na lógica proposicional, a partir das regras de inferência e das equivalências lógicas,
apresentadas nesta aula, podemos realizar o processo de prova por meio da dedução
(conhecido também por dedução natural) (Soares, 2003). Assim, partindo de certas fórmulas
(premissas), pretendemos provar a conclusão apresentada. Para isso, aplicaremos as regras
com intuito de alcançar a conclusão proposta e, conseqüentemente, confirmaremos a validade
de um argumento. O processo de prova é visto como um conjunto finito de linhas (etapas ou
passos) em que cada linha é enumerada. Inicialmente, temos a apresentação das premissas
disponíveis com as suas identificações (P - premissa), começando com a numeração em um.
Em seguida, são apresentadas as fórmulas intermediárias obtidas durante a prova, sendo
todas também enumeradas e com a identificação da(s) linha(s) aplicada(s), bem como a regra
utilizada (ver tabelas 1 e 2 desta aula). Em suma, o processo de prova é basicamente um
procedimento mecânico em que é necessário combinar as linhas existentes com as regras
(inferência e equivalência) para se obter a conclusão apresentada.
Apostila de Introdução à Lógica Página 71
Desta maneira, vamos acompanhar cada passo do processo de prova do argumento
qpqp ,
. Primeiramente, é importante relembrar que
qp
e
p
são
premissas e
q é a conclusão. Ressaltando que obtemos esta informação quando observamos
a presença do
, que separa as premissas da conclusão. Sendo assim, estas premissas serão
apresentadas nas duas primeiras linhas do processo. Aplicando as regras de inferência e as
equivalências nestas duas premissas com o objetivo de alcançar a conclusão, temos:
1.
qp ...............................................P
2.
p
...............................................P
3.
p
...................................................2 D.N. (Dupla negação)
4.
q
.................................................1,3 M.P. (Modus Ponens)
5.
q
......................................................4 D.N. (Dupla negação)
Neste caso, dizemos que o argumento
qpqp , é válido porque
conseguimos obter a conclusão.
Observe agora a prova do argumento
sqpsrqp ,),()(
. Neste caso, temos
as seguintes linhas do processo de prova:
1.
)()( srqp .......................................P
2.
p ........................................................P
3.
q .............................................................P
4.
p ............................................................2 D.N. (Dupla negação)
5.
qp .......................................................3,4 Conj. (Conjunção)
6.
sr ........................................................1,5 M.P. (Modus Ponens)
7.
s .............................................................6 Simp. (Simplificação)
Neste exemplo, também conseguimos provar a validade do argumento. Para isso,
usamos as regras de inferência conjunção, Modus Ponens e simplificação, bem como a
equivalência da dupla negação.
Mais exemplo de prova de validade de argumentos pode ser conferido com a fórmula
qqqpp )(,
.
1.
p .............................................................P
Apostila de Introdução à Lógica Página 72
2.
)( qp ..............................................P
3.
qp .....................................................2 D.N. (Dupla negação)
4.
q .............................................................1,3 M.P. (Modus ponens)
5.
qq .......................................................4 Ad. (Adição)
Após exemplificar algumas provas de validade de argumento, finalizamos assim a
nossa quinta aula.
Atividades
1) Considerando que duas fórmulas são equivalentes quando ambas possuem os mesmos
valores lógicos, assinale a alternativa que possui uma relação de equivalência entre as
fórmulas.
a)
qp
e
qp
b)
)( qp
e
qp
c)
qp
e
qp
d) qp e qp
2) Utilizando tabelas-verdade, verifique se existe uma relação de implicação lógica entre as
seguintes fórmulas:
a)
rssr
b)
pqpqp )(
3) Prove, por meio de tabelas-verdade, as seguintes leis de equivalência.
a) dupla negação
b) identidade
c) dominância
4) Considerando a frase “Se estudo, consigo aprovação nas disciplinas, e se consigo
aprovação nas disciplinas, consigo me formar, logo, se estudo, consigo me formar”, analise a
veracidade das afirmações apresentadas a seguir e, depois, assinale a alternativa correta.
I – É um exemplo de silogismo hipotético
II – É um exemplo de Modus Tollens
Apostila de Introdução à Lógica Página 73
III – Pode ser expressa por
rprqqp )()(
IV – Pode ser expressa por
rprqqp )()(
a) As afirmativas I e III estão corretas.
b) As afirmativas II e III estão corretas.
c) As afirmativas I e IV estão corretas.
d) As afirmativas II e IV estão corretas.
5) Realize o processo de prova de validade de argumento por meio das regras de inferência e
das equivalências lógicas para o argumento
qpprqp ),(
.
6) Prove os argumentos a seguir utilizando as regras de inferência.
a)
sqpsrqp ,),()(
b)
)()( rpqpp
7) Demonstre que ~( ~p ~q ) ~p q por meio de equivalências notáveis.
8) Demonstre, utilizando tabelas-verdade, as seguintes relações de equivalência:
a) p ( p q ) p
b) p ( p q ) p
c) ( p q ) ( p r ) p p r
d) p q ( p q ) ~( p q )
9) (Poscomp 2003) Assinale o argumento válido, onde S1 e S2 indicam premissas e C a
conclusão.
a) S1: Se a comida é boa, então o serviço é bom.
S2: A comida não é boa.
C: O serviço não é bom.
b) S1: Se a comida é boa, então o serviço é bom.
S2: O serviço não é bom.
C: A comida é boa.
c) S1: Se a comida é boa, então o serviço é bom.
S2: O serviço não é bom.
C: A comida não é boa.
d) S1: Se a comida é boa, então o serviço é bom.
S2: A comida é boa.
C: O serviço não é bom.
e) S1: Se a comida é boa, então o serviço é bom.
S2: A comida não é boa.
C: O serviço é bom.
Justifique sua resposta.
Apostila de Introdução à Lógica Página 74
10) (Poscomp 2006) Assinale a proposição logicamente equivalente a (p q) (p q).
a) p (q q)
b) p
c) (p q) (p q)
d) (p q) _ (p q)
e) p
Justifique sua resposta.
11) Verifique, utilizando tabelas-verdade, a existência das seguintes equivalências:
a) p ( p q ) p
b) p ( p q ) p
c) ( p q ) ( p r ) p p r
d) p q ( p q ) ~( p q )
12) Demonstre a validade dos argumentos abaixo mediante utilização de regras de inferência e
equivalências notáveis:
a) p q, r s, p r, s q
b) a b, c (b d), e c, e a d
c) p q, (p q) (q p) p q
d) p (q r), p, r s t s t
e) s (p t), t q r, s r q
f) f (s d), s f
g) (s v) p, p, v s
13) Prove os argumentos a seguir utilizando as regras de inferência e de equivalência.
a) (p q) r, (s t) (t u), p k s ~r u
b) ~p q, ~s ~r, p (r t) q s
c) ~(p ~r), p q, r s, q s t s s t
d) p q s, ~(q s) ~p
14) Represente o argumento a seguir usando a linguagem da lógica proposicional e, depois, prove sua
validade usando as regras de inferência e de equivalência.
a) Guga é determinado e inteligente. E, além disso, se Guga é determinado e atleta, ele não é um
perdedor. Mas Guga é um atleta se é um amante do tênis. E é amante do tênis, se é inteligente.
Portanto, Guga não é um perdedor.
Use os símbolos:
D = Guga é determinado
I = Guga é inteligente
P = Guga é perdedor
At = Guga é atleta
Am = Guga é amante do tênis
b) Se Deus é sumamente bom e todo-poderoso, não existe mal no mundo. Deus é sumamente bom e
todo-poderoso. Existe mal no mundo. Logo, a igreja devia ser proibida.
Use os símbolos:
B = Deus é sumamente bom
Td = Deus é sumamente todo-poderoso
M = existe mal no mundo
Apostila de Introdução à Lógica Página 75
I = igreja devia ser proibida
c) Se as taxas de juros caírem, o mercado imobiliário vai melhorar. A taxa federal de descontos vai cair,
ou mercado imobiliário não vai melhorar. As taxas de juros vão cair. Portanto, a taxa federal de
descontos vai cair.
Use os símbolos:
J = as taxas de juros caírem
M = mercado imobiliário vai melhorar
D = taxa federal de descontos vai cair
15) Formalize o argumento abaixo e, depois, realize o processo de prova.
Defina claramente o significado dos símbolos proposicionais utilizados na formalização.
Se meu cliente é culpado, então a faca estava na gaveta. A faca não estava na gaveta ou Jason viu a
faca. Se a faca estava no tapete então Jason não a viu. Além disso, se a faca não estava no tapete,
então o machado estava no celeiro. Mas todos nós sabemos que o machado não estava no celeiro.
Portanto, senhoras e senhores do Júri, meu cliente não é culpado.
16) Realize o processo de prova para os argumentos a seguir.
a) p q, q r ~p r
b) p ~q, r q, r ~p
c) r p q, ~p ~q, r s s
d) (p q) r s, ~r ~p
e) (p q) (p r), p s, p t, r t, q s s t
17) Prove os argumentos a seguir utilizando as regras de inferência e de equivalência.
a) (a b) (c d), a c b d
b) p (q r), p, r q
c) p, p q q (p r)
d) p q rr (p q)
Apostila de Introdução à Lógica Página 76
Questões de Lógica em Concursos
1) (TCE/RO-2007) André, Bernardo e Carlos moram nas casas amarela, branca e cinza, cada um em
uma casa diferente, não necessariamente na ordem dada. Três afirmativas são feitas abaixo, mas
somente uma é verdadeira.
I - André mora na casa cinza.
II - Carlos não mora na casa cinza.
III - Bernardo não mora na casa amarela.
É correto afirmar que:
a) André mora na casa amarela.
b) André mora na casa branca.
c) Bernardo mora na casa amarela.
d) Bernardo mora na casa cinza.
e) Carlos mora na casa branca.
2) (TCE/RO-2007) A negação de “Se A é par e B é ímpar, então A + B é ímpar” é:
a) Se A é ímpar e B é par, então A + B é par.
b) Se A é par e B é ímpar, então A + B é par.
c) Se A + B é par, então A é ímpar ou B é par.
d) A é ímpar, B é par e A + B é par.
e) A é par, B é ímpar e A + B é par.
3) (TCE/RO-2007) Sejam p e q proposições. Das alternativas abaixo, apenas uma é tautologia. Assinale-
a.
a) p q
b) p q
c) (p q) q
d) (p q) q
e) ~p ~q
4) (TCE/RO-2007) Considere verdadeira a declaração: “Toda criança gosta de brincar”. Com relação a
essa declaração, assinale a opção que corresponde a uma argumentação correta.
a) Como Marcelo não é criança, não gosta de brincar.
b) Como Marcelo não é criança, gosta de brincar.
c) Como João não gosta de brincar, então não é criança.
d) Como João gosta de brincar, então é criança.
e) Como João gosta de brincar, então não é criança.
5) (TCE/RO-2007) Os amigos André, Carlos e Sérgio contavam histórias acerca de suas incursões
futebolísticas. André e Sérgio mentiram, mas Carlos falou a verdade. Então, dentre as opções seguintes,
aquela que
contém uma proposição verdadeira é:
a) Se Carlos mentiu, então André falou a verdade.
b) Se Sérgio mentiu, então André falou a verdade.
c) Sérgio falou a verdade e Carlos mentiu.
d) Sérgio mentiu e André falou a verdade.
e) André falou a verdade ou Carlos mentiu.
6) (STN-2005) A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo” é falsa. Segue-se, pois,
que é verdade que:
a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.
b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.
c) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.
d) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.
e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não é baixo.
Apostila de Introdução à Lógica Página 77
7) (TRF 1ª Região Técnico Jud 2006 FCC) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres.
Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo,
a) alguns atos não têm causa se não há atos livres.
b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres.
c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres.
d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres.
e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa.
8) (Delegado-Pol Civil PE 2006 - IPAD) A sentença “penso, logo existo” é logicamente equivalente a:
a) Penso e existo.
b) Nem penso, nem existo.
c) Não penso ou existo.
d) Penso ou não existo.
e) Existo, logo penso.
9) (GEFAZ/MG-2005) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em
Paris” é logicamente equivalente à afirmação:
a) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’.
b) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’.
c) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’.
d) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’.
e) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.
10) (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:
a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear.
b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear.
c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear.
d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear.
e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.
11) (Fiscal Recife/2003) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os
aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação
de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição:
a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.
c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
12) (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a
dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
13) (MPOG/2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a
dizer que:
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro
Apostila de Introdução à Lógica Página 78
14) (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista
lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
a) pelo menos um economista não é médico
b) nenhum economista é médico
c) nenhum médico é economista
d) pelo menos um médico não é economista
e) todos os não médicos são não economistas
15) (Fiscal Trabalho/98) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico,
o mesmo que dizer que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista
16) (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-
chuva" é:
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
17) (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira”
é:
a) Pedro é economista ou Luísa é solteira.
b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.
c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista;
d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira;
e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.
18) (TRT-PR-2004) Leia atentamente as proposições simples P e Q:
P: João foi aprovado no concurso do Tribunal.
Q: João foi aprovado em um concurso.
Do ponto de vista lógico, uma proposição condicional correta em relação a P e Q é:
a) Se não Q, então P.
b) Se não P, então não Q.
c) Se P, então Q.
d) Se Q, então P.
e) Se P, então não Q.
19) (TRT-PR-2004) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, o candidato A será
eleito ou não será eleito". Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza
a) um silogismo.
b) uma tautologia.
c) uma equivalência.
d) uma contingência.
e) uma contradição.
20) (TRT 9ª Região 2004 FCC) A correta negação da proposição "todos os cargos deste concurso são
de analista judiciário. é:
a) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário.
b) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário.
c) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário.
Apostila de Introdução à Lógica Página 79
d) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário.
e) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judiciário.
21) (ICMS/SP 2006 FCC) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.
p q ?
V V F
V F V
F V F
F F F
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é
a) p q
b) p q
c) ~(p q)
d) p q
e) ~(p q)
22) (ICMS/SP 2006 FCC) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso”. Nessa
proposição, o conectivo lógico é
a) disjunção inclusiva
b) conjunção
c) disjunção exclusiva
d) condicional
e) bicondicional
23) (ICMS/SP 2006 FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em
comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo.
V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum é a:
a) I b) II c) III d) IV e) V
24) Considere as seguintes afirmações:
I. Se ocorrer uma crise econômica, então o dólar não subirá.
II. Ou o dólar subirá, ou os salários serão reajustados, mas não ambos.
III. Os salários serão reajustados se, e somente se, não ocorrer uma crise econômica.
Sabendo que as três afirmações são verdadeiras, é correto concluir que, necessariamente,
a) o dólar não subirá, os salários não serão reajustados e não ocorrerá uma crise
econômica.
b) o dólar subirá, os salários não serão reajustados
e ocorrerá uma crise econômica.
c) o dólar não subirá, os salários serão reajustados e ocorrerá uma crise econômica.
d) o dólar subirá, os salários serão reajustados e não ocorrerá uma crise econômica.
e) o dólar não subirá, os salários serão reajustados e não ocorrerá uma crise econômica.
Apostila de Introdução à Lógica Página 80
25) Num famoso talk-show, o entrevistado faz a seguinte afirmação: “Toda pessoa gorda não tem boa
memória”. Ao que o entrevistador contrapôs: “Eu tenho boa memória. Logo, não sou gordo”.
Supondo que a afirmação do entrevistado seja verdadeira, a conclusão do entrevistador é:
a) falsa, pois o correto seria afirmar que, se ele não fosse gordo, então teria uma boa memória.
b) falsa, pois o correto seria afirmar que, se ele não tem uma boa memória, então ele tanto poderia
ser gordo como não.
c) falsa, pois o correto seria afirmar que ele é gordo e, portanto, não tem boa memória.
d) verdadeira, pois todo gordo tem boa memória.
e) verdadeira, pois, caso contrário, a afirmação do entrevistado seria falsa.
26) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é:
a) Milão não é a capital da Itália.
b) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.
d) Paris não é a capital da Inglaterra.
e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
27) Dizer que:
“O ser humano é imperfeito ou a superação não é necessária”. É logicamente equivalente a dizer que:
a) O ser humano é imperfeito se e somente se, a superação não é necessária.
b) Se o ser humano é imperfeito então a superação não é necessária.
c) Se o ser humano não é imperfeito então a superação é necessária.
d) Se a superação é necessária então o ser humano é imperfeito.
28) Se Maria vai para o trabalho de carro, então, Fernando vai para a aula de ônibus. Se Fernando vai
para a aula de ônibus, então, Ana perde a carona. Ora, Ana não perde a carona, portanto:
a) Fernando vai para a aula de carro.
b) Maria não vai para o trabalho de carro.
c) Ana vai para o trabalho de ônibus.
d) Maria vai para a aula de carro.
e) Ana não vai para aula de ônibus.
29) A negação da sentença - Se bebo suco, mato a minha sede. - é:
a) Não bebo suco e não mato minha sede.
b) Se não mato minha sede, não bebo suco.
c) Bebo suco e não mato minha sede.
d) Não mato minha sede ou não bebo suco.
e) Não bebo suco e mato minha sede.
30) Um médico afirmou que “toda pessoa que fuma há mais de vinte anos tem algum problema
pulmonar”. Se Sérgio fuma há trinta anos e Márcia tem problema pulmonar, pode-se concluir, baseado
na afirmação do médico, que:
a) Márcia fuma há mais de vinte anos;
b) Sérgio tem algum problema pulmonar e Márcia fuma há mais de vinte anos;
c) Sérgio pode não ter problema pulmonar;
d) Márcia e Sérgio são fumantes;
e) Sérgio tem algum problema pulmonar.
Gabarito:
1. A
2. E
3. C
4. C
Apostila de Introdução à Lógica Página 81
5. A
6. C
7. B
8. C
9. D
10. E
11. C
12. A
13. D
14. A
15. A
16. E
17. E
18. C
19. B
20. B
21. C
22. B
23. D
24. D
25. D
26. B
27. D
28. B
29. C
30. E
Apostila de Introdução à Lógica Página 82
Aula 6 – Prova do Condicional
1 Prova do Condicional
Raciocínio hipotético é um raciocínio baseado em hipóteses, uma suposição feita “em
consideração ao argumento” a fim de mostrar que uma conclusão particular segue
daquela suposição. De modo diferente de outras suposições de uma prova, as
hipóteses não são declaradas verdadeiras. Elas são “artifícios lógicos”, as quais
acolhemos, temporariamente, como um tipo especial de estratégia de prova.
Suponhamos que um corredor machucou o seu tornozelo, uma semana antes de uma
grande corrida, e que gostaríamos de persuadi-lo a parar de correr por alguns dias a
fim de que o seu tornozelo sare. Nós afirmamos o condicional. ‘Se você continuar
correndo, você não estará apto para disputar a corrida’.
A maneira mais geral para provar um condicional é colocar o seu antecedente como
hipótese (isto é, admiti-lo, em consideração ao argumento) e então mostrar que o seu
conseqüente deve se seguir. Para fazer isso, podemos raciocinar do seguinte modo:
Suponhamos que você continue correndo. O seu tornozelo está muito inchado. Se ele
está muito inchado e você continuar correndo, ele não sarará em uma semana. Se ele
não sarar em uma semana, então você não estará apto para disputar a corrida. Deste
modo, você não estará apto para disputar a corrida.
Este é um argumento hipotético. ‘Você não continue correndo’ é uma hipótese, desta
hipótese, a conclusão ‘você não estará apto para disputar a corrida’ é mostrada a
seguir. O argumento emprega três suposições:
Seu tornozelo está muito inchado.
Se o seu tornozelo está muito inchado e você continuar correndo, então ele não
irá sarar em uma semana.
Se o seu tornozelo não sarar em uma semana, então você não estará apto para
disputar a corrida.
Veremos, agora, como isso pode ser formalizado. As três suposições podem ser
expressas, respectivamente, como:
I
(I C) S
S A
e a conclusão é:
C A
Assim, a forma de argumento é: I, (I C) S, S A C A.
Apostila de Introdução à Lógica Página 83
A nossa tarefa é mostrar que essa é uma forma válida, isto é, mostrar que se as
suposições são verdadeiras, então o condicional da conclusão ‘C ~A’ deve ser
verdadeiro. Faremos isso colocando como hipótese o seu antecedente ‘C’ (como
fizemos acima na versão informal do argumento) e deduzindo o seu conseqüente ‘~A’
dessas hipóteses.
Prova do condicional (PC): Dada uma derivação de uma wff a partir de uma
hipótese , podemos descartar a hipótese e inferir .
Para provar um condicional, a estratégia usual (a menos que algo mais simples seja
evidente) é colocar como hipótese o seu antecedente e então derivar o seu
conseqüente, por PC.
A hipótese não necessita ser extraída de lugar algum, ela pode ser gerada de acordo
com que se necessita no desenvolvimento da subprova.
Um outro exemplo é: se um matemático deseja provar que, sendo x um número natural
ímpar, então x + 1 é par, ele inicia assumindo a hipótese de que x é ímpar, e mediante
as leis da aritmética, mostra que x + 1 é par. Isso posto, como aceita a regra PC, ele
tem condições de afirmar que obteve uma prova do condicional: Se x é ímpar, então x
+ 1 é par". A prova informal é a seguinte: se x é ímpar, é da forma x = 2k + 1 para
algum natural k. Portanto x + 1 = (2k + 1) + 1 = 2(k + 1), ou seja, x + 1 é um múltiplo de
2, e portanto é par.
Atividades
1) Prove a validade dos argumentos a seguir.
a) P ((P Q) Q)
b) P P
c) a b, (b a) c, ((b a) c) d a d
d) P (Q R) Q (P R)
e) Q R (~Q ~P) (P R)
f) (p q) r r (p q)
g) s ~~ r ~r ~s
Apostila de Introdução à Lógica Página 84
Aula 7 – Redução ao Absurdo
A técnica de demonstração por redução ao absurdo (RAA) baseia-se no princípio de que um
argumento é válido se e somente se a conjunção das premissas com a negação da conclusão
é uma expressão contraditória, entendendo uma contradição como sendo uma expressão que
afirma e nega algo ao mesmo tempo. Com base neste princípio, explicita-se porque, em uma
prova por redução ao absurdo, no momento em que se depara com uma contradição pode-se
imediatamente inferir que o enunciado em questão esta provado.
Dada a derivação de uma contradição a q q partir de uma hipótese p, podemos descartar a
hipótese e inferir p.
Dessa forma, se assumirmos
p como hipótese e ao final temos q q, concluímos o contrário
da hipótese ( p) por RAA.
Exemplo1: p q, q p
1 p q P
2 q P
3 p Hipótese para RAA
4 q 1,3 MP
5 q q 2,4 Conjunção
6 p 3 - 5 RAA
Atividades
1) Prove os argumentos usando a regra hipotética da redução ao absurdo.
a) p ~q ~(p q)
b) ~ p p p
c) (~ s r) ~p, p, r s
d) ~(~p ^ ~q), ~p q
~(~p ^ ~q)
~p
~q
e) ~b, b a
f) p p
~(p p)
~ p ^ p
Apostila de Introdução à Lógica Página 85
Aula 8 - Árvore de Refutação para Lógica Proposicional
ÁRVORE DE REFUTAÇÃO é um método para verificar a validade de um argumento, análogo
à demonstração por absurdo. Para testarmos a validade de um argumento, construímos uma lista
de fórmulas consistindo em suas premissas A1, A2 , A3 , ... , An e a negação da sua conclusão B
que formam a RAIZ DA ÁRVORE. A árvore continua abaixo com a construção de seus RAMOS
por aplicações de regras, que serão especificadas a seguir, e gerando novas linhas na árvore. A
árvore termina quando as fórmulas de seus ramos são: variáveis proposicionais, negações de
variáveis proposicionais, ou quando encontrarmos em todos os ramos uma fórmula F.
Se encontrarmos em todos os ramos da árvore uma fórmula F, então a nossa tentativa de
refutação falhou, ou seja, o argumento é válido. Se em algum ramo da árvore não foi possível
encontrar uma fórmula F, então refutamos o argumento, isto é, o argumento não é válido (Abar,
2008).
Exemplo: Construir uma árvore de refutação para mostrar que: p q | p
- Escrevemos a premissa e a negação da conclusão:
1. p q
2. p
- Sabemos que p q é verdadeira se, e somente se, p e q são ambas verdadeiras; daí, podemos
substituir
p q por p e q gerando as linhas 3. e 4., respectivamente, e MARCANDO ( ) a fórmula p q .
(Uma fórmula marcada não poderá mais ser utilizada na construção da árvore!!!)
1. p q
2. p
3. p
4. q
- Como p é verdadeira se e somente se p é verdadeira, marcamos p e substituímos por
p gerando a linha 5.
1. p q
2. p
3. p
4. q
5. p
- A árvore terminou, pois das premissas e da negação da conclusão obtivemos variáveis
proposicionais ou negações de variáveis proposicionais. Por outro lado, encontramos nas linhas
3. e 5. uma fórmula F, ou seja, nossa tentativa de refutação falhou e, portanto, o argumento é
válido. Isso será expresso escrevendo um X no final da lista, gerando a linha 6 e fechando o
único ramo da árvore.
Apostila de Introdução à Lógica Página 86
1. p q
2.p
3. p
4. q
5. p
6. X
(3,5)
A árvore de refutação está completa. A nossa busca para uma refutação do argumento dado
falhou e, portanto, o argumento é válido.
Exemplo:Construir uma árvore de refutação para mostrar que : p q, p |q
- Iniciamos a árvore escrevendo a lista de fórmulas as premissas e a negação da conclusão:
1. p q
2. p
3. q
- Sabemos que p q é verdadeira se, e somente se, p é verdadeira ou q é verdadeira. Para
representar esse fato, marcamos p q e ramificamos a árvore, gerando a linha 4 com dois ramos:
1. p q
2. p
3. q
/ \
4. p q
- A árvore terminou, pois das premissas e da negação da conclusão obtivemos variáveis
proposicionais ou negações de variáveis proposicionais. Por outro lado, encontramos uma
fórmula F em um ramo, nas linhas 2. e 4. e no outro ramo, nas linhas 3. e 4., ou seja, nossa
tentativa de refutação falhou e, portanto, o argumento é válido. Isso será expresso escrevendo um
X no final de cada ramo da lista gerando a linha 5 e fechando os dois ramos da árvore.
1. p q
2. p
3. q
/ \
4. p q
5. X X
(2, 4) (3,4)
Apostila de Introdução à Lógica Página 87
A árvore de refutação está completa. Como a tentativa de refutação falhou nos dois ramos, o
argumento dado é válido.
Exemplo:Construir uma árvore de refutação para verificar a validade do argumento:
p q, p | q
1. p q
2. p
3. q
- Temos que q é equivalente a q; daí, marcamos q e escrevemos q gerando a linha 4. :
1. p q
2. p
3. q
4. q
- Como no exemplo anterior, marcamos p q e ramificamos a árvore gerando a linha 5. com
dois ramos:
1. p q
2. p
3. q
4. q
/ \
5. p q
- A árvore terminou e nos dois ramos não há contradições, ou seja, uma fórmula F. Neste caso os
ramos não serão fechados e o argumento não é válido.
REGRAS PARA A CONSTRUÇÃO DE UMA ÁRVORE DE REFUTAÇÃO
As regras para a construção de uma árvore de refutação estão relacionadas com as tabelas
verdade já conhecidas. Ao aplicar uma regra em uma fórmula da árvore, temos a observar que :
- a fórmula será marcada () para evitar aplicações repetidas de uma regra em uma mesma
fórmula.
- a aplicação de uma regra deve gerar : uma ou duas linhas, um ramo ou dois ramos conforme a
regra, e será aplicada em todos os ramos abertos (não fechados com X) aos quais a fórmula
pertence.
Temos as seguintes regras :
1. REGRA DA DUPLA NEGAÇÃO () : Uma fórmula do tipo A gera uma linha e
escrevemos A na linha. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula A
pertence pois, A é verdadeira se e somente se A é verdadeira.
Apostila de Introdução à Lógica Página 88
2. REGRA DA CONJUNÇÃO (): Uma fórmula do tipo A B gera duas linhas e escrevemos,
em cada linha, as fórmulas A e B. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a
fórmula A B pertence pois, A B assume valor V se, e somente, as fórmulas A e B são
verdadeiras.
1. A B
2. A
3. B
3. REGRA DA DISJUNÇÃO (): Uma fórmula do tipo A B gera uma linha e dois ramos e
escrevemos, na linha e, em cada ramo, as fórmulas A e B, respectivamente. Procedemos assim
em todos os ramos abertos aos quais a fórmula A B pertence pois, A B assume valor V se, e
somente, a fórmula A é verdadeira ou a fórmula B é verdadeira.
1.A B
/ \
2. A B
4. REGRA DA IMPLICAÇÃO (): Uma fórmula do tipo A B gera uma linha e dois ramos
e escrevemos, na linha e, em cada ramo, as fórmulas A e B respectivamente. Procedemos
assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula A B pertence pois, A B assume valor
V se, e somente, a fórmula A é verdadeira ou a fórmula B é verdadeira.
1. A B
/ \
A B
5. REGRA DA BI-IMPLICAÇÃO () : Uma fórmula do tipo AB gera duas linhas e dois
ramos e escrevemos nas linhas as fórmulas A e B em um ramo e as fórmulas A e B no outro
ramo. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula AB pertence pois,
AB assume valor V se, e somente, a fórmula
(A B) é verdadeira ou a fórmula (A B) é verdadeira.
AB
/ \
2.A A
3.B B
6. REGRA DA NEGAÇÃO DA CONJUNÇÃO (): Uma fórmula do tipo (A B) gera uma
linha e dois ramos e escrevemos, na linha e, em cada ramo, as fórmulas A e B
respectivamente. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula (A B)
pertence pois, (A B) assume valor V se, e somente, a fórmula A é verdadeira ou a fórmula
B é verdadeira.
Apostila de Introdução à Lógica Página 89
(A B)
/ \
A B
7. REGRA DA NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO ( ) : Uma fórmula do tipo (A B) gera duas
linhas e escrevemos, em cada linha, as fórmulas A e B. Procedemos assim em todos os ramos
abertos aos quais a fórmula (A B) pertence pois, (A B) assume valor V se, e somente, as
fórmulas A e B são verdadeiras.
(A B)
A
B
8. REGRA DA NEGAÇÃO DA IMPLICAÇÃO () : Uma fórmula do tipo (A B) gera
duas linhas e escrevemos, em cada linha, as fórmulas A e B. Procedemos assim em todos os
ramos abertos aos quais a fórmula (A B) pertence pois, (A B) assume valor V se, e
somente, as fórmulas Ae B são verdadeiras.
(A B)
2. A
B
9. REGRA DA NEGAÇÃO DA BI- IMPLICAÇÃO (): Uma fórmula do tipo (AB) gera
duas linhas e dois ramos e escrevemos nas linhas as fórmulas A e B em um ramo e as fórmulas
A e B no outro ramo. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula
(AB) pertence pois, (AB) assume valor V se, e somente, a fórmula (A B) é verdadeira
ou a fórmula (A B) é verdadeira.
(AB)
/ \
A A
3. B B
10. RAMO FECHADO: Um ramo será fechado se nele existem uma fórmula A e sua negação
A e escrevemos X no final do ramo.
1. A
2. A
3. X
OBSERVAÇÕES:
- As regras dadas para construir árvores de refutação se aplicam em cada linha ao conectivo
principal da fórmula e não as subfórmulas. Por exemplo:
Apostila de Introdução à Lógica Página 90
1. p q
2. p q 1.() (INCORRETO!!)
- Não importa a ordem em que as regras são aplicadas; no entanto, é mais eficiente aplicar as
regras, primeiramente, em fórmulas que não resultam em ramificações.
- Cada linha gerada deve ser justificada indicando a respectiva linha de origem na qual foi
aplicada a regra e também a regra usada.
- Fórmula na qual foi aplicada alguma regra deve ser marcada ( ) para evitar aplicações
repetidas da mesma.
Exemplos:
a) p r s, r s q p q
1. p r s Premissa
2. r s q Premissa
3. (p q) Negação da Conclusão
4. p 3.()
5. q 3.()
/ \
6. p (r s) 1.()
7. X(6.4) / \
8. r s 6. ()
/ \ / \
9. (r s) q (r s) q 2.()
/ \ \ / \ \
10. r s X r s X ()
11. X ? (9.5) ? X (9.5)
(10.8) (10.8)
Temos neste caso dois ramos que não fecharam e, portanto, o argumento não é válido.
b) (p q) (p q) é uma tautologia:
1. ((p q) (p q)) Negação da Conclusão
2. (p q) 1. ()
3. (p q) 1. ()
4. p 2. ()
5. q 2. ()
/ \
6. p q 3. ()
7. X X
Apostila de Introdução à Lógica Página 91
(6.4) (6.5)
Todos os ramos estão fechados; assim a fórmula é válida, ou seja, é uma tautologia.
Atividades
1) Verificar, por meio de árvore de refutação, a validade dos argumentos:
a) ~P P ~P
b) P Q P Q
c) P Q, ~P, ~Q R
d) ~(P Q), R P ~R
e) (P Q) R, S (T U), S P R U
f) p q, p q p q
g) p r, (r p) r (p q)
Apostila de Introdução à Lógica Página 92
Aula 9 – Lógica de Predicados
Introdução
A linguagem da lógica proposicional, vista em aulas anteriores, é limitada para
representar relações entre objetos do mundo real. Por exemplo, se usássemos a linguagem
proposicional para representar a relação “João é pai de Ana” e “José é pai de João”,
precisaríamos usar duas letras sentenciais (ou proposições) diferentes para expressar a
mesma idéia, que é a relação de parentesco. Assim, teríamos, por exemplo,
P
para simbolizar
que “João é pai de Ana” e
Q
para simbolizar “José é pai de João”. No entanto, ambas
proposições representam a mesma informação no que se diz respeito à relação de parentesco
entre João e Ana e entre José e João. Outra limitação da lógica proposicional é a que esta
linguagem tem baixo poder de expressão, pois é incapaz de representar instâncias de uma
propriedade geral. Para sanar problemas deste tipo, surgiu então a lógica de predicados que é
uma extensão da lógica proposicional (Aranha e Martins, 2003).
A lógica de predicados é também conhecida na literatura como lógica de primeira ordem
ou cálculo de predicados. Esta lógica possibilita captar relações entre indivíduos de um mesmo
domínio e permitir concluir particularidades de uma propriedade geral dos indivíduos de um
domínio, assim como derivar generalizações a partir de fatos que valem para um indivíduo
qualquer do domínio. Desta maneira, expressar sentenças com as palavras “existe”, “qualquer”,
“todos”, “alguns” e “somente”, por exemplo, é possível. Para ter este grande poder de
expressão, a lógica de predicados dispõe uma variedade de símbolos. Então vamos conhecer
o seu alfabeto inicialmente e, em seguida, como representar conhecimento, relações entre
objetos, mais especificamente.
9.1 Alfabeto
O alfabeto da linguagem da lógica de predicados consiste em símbolos lógicos e não-
lógicos. Os símbolos lógicos são caracterizados por:
pontuação: (, )
conectivos:
,
,
,
,
quantificadores:
,
Os símbolos não-lógicos são definidos por:
variáveis: por convenção, letras do fim do alfabeto, tais como: ...x, y, z.
constantes: por convenção, letras do início do alfabeto, tais como a, b, c...
Apostila de Introdução à Lógica Página 93
predicativos (ou predicados): por convenção, letras do meio para o fim do alfabeto,
tais como: ...p, q, r... ou uma palavra em letras minúsculas para ser mais
representativa
funções: por convenção, letras do meio do alfabeto, tais como: ...f, g, h... ou uma
palavra em letras minúsculas para ser mais representativa
Como dito anteriormente, a lógica de predicados é uma extensão da lógica
proposicional, e, desta maneira, tanto os símbolos de pontuação quanto os conectivos lógicos
possuem o mesmo significado.
Com relação aos quantificadores, tem-se o
(universal) e
(existencial) para
expressar propriedades que valem para todos os indivíduos do domínio ou para alguns
indivíduos do domínio, respectivamente. Estes quantificadores estarão sempre acompanhados
de uma variável (símbolo não-lógico) para captar o conceito das palavras “para qualquer” e
“para algum”, respectivamente. É importante ressaltar que variáveis diferentes não designam
necessariamente objetos diferentes e que a escolha de variáveis não faz diferença para o
significado (Franco, 2008).
O ingrediente novo da lógica de primeira ordem não encontrado na lógica proposicional é a
quantificação (Wikipédia, 2008).
As variáveis nesta lógica designam a representação de um exemplo ou indivíduo do
domínio que está se referindo. Assim, podemos dizer, por exemplo, que existe um aluno
inteligente na sala de aula, porém esta pessoa não está sendo especificada e sim informando a
existência de tal fato. Portanto, uma variável representa um elemento de quaisquer domínio de
aplicação.
As constantes, por sua vez, são usadas para definir ou especificar um determinado
indivíduo do domínio. Considerando ainda o exemplo anterior, poderíamos definir que João é o
aluno inteligente da sala de aula. Observe que neste caso, estamos definindo exatamente
quem é a pessoa inteligente da sala. Cada constante indica
exatamente um objeto particular.
Os símbolos predicativos ou predicados representam o conceito de relação entre um ou
mais indivíduos de um domínio. Com este tipo de símbolo, poderíamos criar um predicado
chamado “pai” para representar a relação de parentesco entre João e Ana, por exemplo,
conforme o conhecimento fornecido no início desta aula. Os predicados (nomes de relação)
podem possuir um ou mais argumentos. A definição da quantidade de argumentos num
Apostila de Introdução à Lógica Página 94
predicado dependerá da forma como os relacionamentos entre os objetos estão sendo
tratados. Com relação à quantidade de argumentos que um predicado possui, chamamos de
aridade.
Por exemplo, os predicados vereador(juarez) e pai(joão, ana) têm aridade igual a um e
dois, respectivamente. No primeiro predicado, representamos que Juarez é um vereador e,
neste caso, a leitura deste predicado inicia-se pela constante (juarez) e, depois, lê-se o nome
do predicado (vereador). No segundo exemplo, representamos que João é pai de Ana e a
forma de leitura começa com o primeiro parâmetro (joão), depois analisa o nome do predicado
(pai) e, em seguida, retorna ao segundo parâmetro (ana).
As funções são usadas para referenciar objetos particulares sem usar seus nomes, ao
contrário dos predicados. Estes agem reunindo informações também como, por exemplo, uma
variável e uma constante.
9.2 Termos e Átomos
Na lógica de predicados existem dois elementos básicos para a definição das fórmulas,
que são: termos e átomos. Para entender melhor estes elementos, vamos fazer uma analogia
com o que ocorre com a língua portuguesa. Observe, inicialmente, a seguinte frase:
A capital do Tocantins é Palmas?
Neste exemplo, iremos obter um valor verdadeiro ou falso. Neste caso, temos um valor
verdadeiro, pois Palmas é a capital do Tocantins. Mas agora observe a seguinte frase:
Qual a capital do Tocantins?
Neste caso, a resposta não é um valor verdadeiro ou falso, mas sim um nome que
corresponda à capital, o qual chamaremos de objeto. Neste tipo de lógica, as sentenças que
representam objetos são chamadas de termos (Souza, 2002). Assim, para ser um termo é
necessário seguir as seguintes regras:
toda variável é um termo;
toda constante é um termo;
se
nttt ,...,, 21
são termos e
f
é um símbolo para a função n-ária, então
),...,,( 21 ntttf
é um termo.
Um átomo, por sua vez, ocorre se
nttt ,...,, 21
são termos e
p
é um símbolo para o
predicado n-ário, então
),...,,( 21 ntttp
é um átomo. Então vamos ao exemplo:
)),,(( xaxfp
.
Neste caso,
),( axf
e x são termos e a aplicação de
p
a estes termos, tornou-se num átomo.
Apostila de Introdução à Lógica Página 95
Assim como na lógica proposicional, as fórmulas da linguagem da lógica de predicados
são construídas a partir da concatenação dos símbolos do alfabeto. Porém, não é qualquer
concatenação de símbolos que constitui uma fórmula bem formada. Deste modo, uma fórmula
da lógica de predicados segue as seguintes regras (Souza, 2002):
todo átomo é uma fórmula;
se
P
é uma fórmula então
P
, a negação de
P
, é uma fórmula;
se
P
e
Q
são fórmulas então
)( QP
, a disjunção das fórmulas
P
e
Q
, é uma
fórmula;
se
P
e
Q
são fórmulas então
)( QP
, a conjunção das fórmulas
P
e
Q
, é uma
fórmula;
se
P
e
Q
são fórmulas então
)( QP
, o condicional das fórmulas
P
e
Q
, é uma
fórmula;
se
P
e
Q
são fórmulas então
)( QP
, o bicondicional das fórmulas
P
e
Q
, é
uma fórmula;
se
P
é uma fórmula e
x
uma variável, então
))(( Px
e
))(( Px
são fórmulas.
Finalizamos aqui a parte sintática da lógica de predicados, ou seja, a sintaxe, vamos
estudar a seguir sobre a semântica (significado) desta lógica.
9.3 Interpretação
Como a lógica de predicados possui um alfabeto bem mais diversificado se comparado
com o da lógica proposicional, as interpretações das fórmulas tornam-se, naturalmente, mais
bem elaboradas. Observe a seguir a simbologia da lógica de primeira ordem em quatro
sentenças bastante conhecidas na literatura, bem como a sua forma de leitura, conforme pode
ser encontrado em (Abar, 2008):
Todo s é p:
))()(( xpxsx
Usando a letra “
x
” como uma variável para representar objetos individuais,
expressamos tal enunciado por: “qualquer que seja
x
, se
x
é
s
, então
x
é
p
”. Outras opções
de leitura são: “
s
são
p
”; “cada
s
é um
p
”; “qualquer
s
é um
p
” e “todos os objetos que
tem propriedade
s
são objetos que tem propriedade
p
”. Sendo assim, podemos inferir que
“Todo s é p” está relacionado a uma universal afirmativa.
Apostila de Introdução à Lógica Página 96
Alguns s são p:
))()(( xpxsx
Neste caso, o enunciado pode ser expresso por “para pelo menos um
x
,
x
é
s
e
x
é
p
”. Outras opções de leitura são: “existem
s
que são
p
” e “há
s
que são
p
”. Este exemplo,
ao contrário do enunciado anterior, restringe um certo grupo do todo e assim está relacionando
uma particularidade afirmativa.
Alguns s são não p:
))()(( xpxsx
Para esta situação, temos a interpretação que “existe um
x
tal que
x
é
s
e
x
não é
p
”. Podemos ainda ler esta sentença como “alguns
s
não são
p
”; “certos
s
não são
p
”;
“existem
s
que não são
p
” e “pelo menos um
s
não é
p
”. Observando este enunciado
identificamos que existe uma seleção do todo, porém com aspecto de negação. Assim,
dizemos que obtemos uma particularidade negativa.
Nenhum s é p:
))()(( xpxsx
Nesta última sentença temos “qualquer que seja
x
, se
x
é
s
, então
x
não é
p
”. É
possível ainda ler esta sentença como “ninguém que seja
s
é
p
”; “nada que seja
s
é
p
” e
“nenhum dos
s
é
p
”. Neste exemplo, obtemos uma generalização negativa, pois qualquer que
seja
x
, este não é
p
.
Assim, a partir da linguagem natural usada no cotidiano, podemos expressar a mesma
idéia utilizando o alfabeto da lógica de predicados. Nestes últimos exemplos, foram usados os
predicados
s
e
p
, os quais não expressam muita informação para o usuário. Por isso, é
importante que se apresente nomes de predicados condizentes com o que se deseja
representar uma vez que estes auxiliam à interpretação do pensamento. Vale a pena lembrar
que a definição de um nome do predicado é de sua escolha. Veja na tabela a seguir alguns
exemplos do uso desta representação, sendo neste caso com nomes de predicado mais
significativos.
Tabela 1: Linguagem Natural e Lógica de Predicados
Linguagem Natural Lógica de Predicados
Todos os homens são mortais
x(homem(x)
mortal(x))
Alguns gatos são bonitos
x(gato(x)
bonito(x))
Nenhuma baleia é réptil
x(baleia(x)
réptil(x))
Apostila de Introdução à Lógica Página 97
Meninos e meninas gostam de brincar
x((menino(x)
menina(x))
gosta_brincar(x))
Há pintores que não são artistas mas artesãos
x(pintor(x)
artista(x)
artesão(x))
João não foi o primeiro homem
x(homem(x)
nasceu_antes(x, joão))
Todos os números ímpares não são divisíveis
por 2
x(número(x)
ímpar(x)
divisível(x,2))
Todos os cachorros são protegidos pelos
homens
x
y(homem(x)
cachorro(y)
protege(x,y))
Todas as crianças são mais jovens que os
pais
x
y(criança(x)
pai(y, x)
jovem(x,
y))
Como você deve ter observado, numa mesma fórmula pode existir mais de um
quantificador, conectivo, variável ou predicado. Analisando a frase “Meninos e meninas gostam
de brincar”, por exemplo, observamos que a conjunção “e” apresentada na sentença não está
expressa na sua fórmula. Na verdade, ao invés do “e”, tem-se a representação do “OU” (
).
E, neste caso a representação está correta? A resposta é sim, pois avaliando a fórmula,
veremos que a variável x, que é um elemento do domínio, pode ser um menino ou uma menina
somente, nunca os dois ao mesmo tempo. E, ou menino ou menina, seja este ou esta, gosta de
brincar.
Com relação à sentença “Todas as crianças são mais jovens que os pais”, observe que
foram utilizados dois quantificadores universais, um com a variável x e outro com a variável y.
Para expressar que uma criança é mais jovem que pai, apresentamos inicialmente a condição
necessária para que isto aconteça. Ou seja, é preciso que o x seja uma criança e o y seja o pai
da criança. Caso positivo, então podemos inferir que o x é mais jovem do que o y.
Esperamos que esses exemplos tenham sido suficientes para você ter uma noção do
que se pode fazer com o uso dos quantificadores. No entanto, para compreender melhor ainda
a abrangência dos quantificadores, observe na figura 1, a localização de quatro exemplos num
plano cartesiano.
Apostila de Introdução à Lógica Página 98
Figura 1: Abrangência dos Quantificadores (adaptado de Soares, 2003).
Nesta figura é possível observar quando se acompanha as linhas verticais tem-se uma
generalização (baixo para cima) ou uma restrição (cima para baixo). Ambas informam a mesma
verdade ou falsidade, porém diferenciam em termos de quantidade. Ao acompanhar a linha
horizontal mais inferior, observa-se uma oposição parcial de um lado para o outro, pois apenas
o valor de um predicado está sendo alterado, opondo-se assim em termos de qualidade. Já na
linha horizontal superior tem-se uma oposição em termos de qualidade porque uma afirma e
outra nega um mesmo predicado de um mesmo sujeito, universalmente. E, por fim, as
diagonais apresentam a oposição mais forte porque não há nada que se possa convir, se
opondo em termos de quantidade e qualidade.
9.4 Equivalências Lógicas
A lógica de predicados é uma linguagem utilizada para a representação de
conhecimento observando os objetos existentes e os relacionamentos entre eles. Dentre as
linguagens de representação disponíveis, a lógica de predicados é uma das linguagens mais
estudadas porque esta pode ser aplicada em diversos domínios (Russell e Norvig, 2003). Para
esta representação, podemos usar diferentes maneiras para expressar a mesma idéia ou
conceito.
Se quiséssemos representar o conceito de que nem todos os indivíduos possuem a
propriedade p, poderíamos usar a representação:
))(( xpx
. Neste caso, usamos o
quantificador universal com o conectivo de negação informando que não é verdade que todo
x
tem a propriedade
p
. Além disso, para expressar esta mesma idéia podemos utilizar também
o quantificador existencial. Neste caso, teremos a expressão
)(( xpx
. Para este caso,
informamos que existe pelo menos um
x
que não tem a propriedade
p
. Ambas
representações são válidas para a expressão de que nem todos os indivíduos possuem a
))()(( xpxsx ))()(( xpxsx
))()(( xpxsx ))()(( xpxsx
(Ex: Toda aula
é expositiva)
(Ex: Nenhuma aula
é expositiva)
(Ex: Alguma aula
é expositiva)
(Ex: Alguma aula
não é expositiva)
Apostila de Introdução à Lógica Página 99
propriedade
p
. Logo, concluímos que
))(( xpx
e
))(( xpx
são equivalentes logicamente,
ou seja,
))(( xpx
))(( xpx
.
E, se agora quiséssemos representar o conceito de que não existe um indivíduo do
domínio que possua a propriedade
p
. Para esta situação, poderíamos usar o quantificador
existencial com o conectivo da negação como, por exemplo,
))(( xpx
. Observe que o
conectivo de negação está externo negando toda a expressão e, assim, representando que não
existe um
x
que tem a propriedade
p
. De forma similar à situação anterior, este conceito pode
ainda ser expresso com o quantificador universal. Neste caso, temos
))(( xpx
, em que todo
x
não tem a propriedade
p
. Portanto, concluímos que as expressões
))(( xpx
e
))(( xpx
são equivalentes, ou seja,
))(( xpx
))(( xpx
. É importante lembrar que como estas
representações são equivalentes logicamente, ambas podem ser usadas indistintamente.
Além dessas equivalências apresentadas, podemos ainda mencionar as seguintes
equivalências:
))(( xpx
))(( xpx
))(( xpx
))(( xpx
No primeiro caso, temos que todo
x
tem a propriedade
p
(
))(( xpx
) é equivalente a
dizer que não é verdade que um
x
tal que não possui a propriedade
p
, representado por
))(( xpx
. Já para o segundo caso, temos que existe pelo menos um
x
tal que tem a
propriedade
p
(
))(( xpx
). Assim, poderíamos expressar a mesma idéia com o uso do
quantificador universal, informando que não é verdade que todo x não tem a propriedade
p
(
))(( xpx
).
Enfim, para todas essas situações, o papel fundamental da equivalência é possibilitar a
substituição de uma fórmula pela a outra sem perdas lógicas. Com isso, recomenda-se o uso
da versão em que seja mais familiar e compreensiva.
9.5 Implicações Lógicas
Em (Wikipédia, 2008), é possível encontrar uma lista de implicações usando o alfabeto
da lógica de predicados. Dentre estas implicações, podemos destacar:
),(),( yxxPyyxyPx
)()()()( xQxxPxxQxxP
Apostila de Introdução à Lógica Página 100
)()())()(( xQxxPxQxxP
))()(()()( xQxPxxxQxxP
Estes exemplos reforçam o comportamento dos quantificadores e de suas variáveis em
fórmulas no que diz respeito à ordem de apresentação. Assim, finalizamos a nossa aula.
9.6 Negação de Quantificadores
A negação de uma proposição que contenha um quantificador exige certos cuidados, tendo em
vista a natureza do quantificador e do predicado, pois não é a mesma coisa negar o
quantificador e negar o predicado.
Seja por exemplo: Se P(x) é o predicado x é um gato preto, tem-se:
(1) x: P(x) significa: todos os gatos são pretos.
(2) x: ~P(x) significa: todos os gatos não são pretos.
(3) ~x : P(x) significa: nem todos os gatos são pretos.
Neste caso, o item (2) é a negação do predicado enquanto o item (3) é a negação do
quantificador.
A proposição (3), negação do quantificador universal é equivalente a "existem gatos que não
são pretos" ou "existe pelo menos um gato que não é preto". Disto se conclui [~x: P(x)] [x:
~P(x)].
É possível resumir a negação dos quantificadores em 2 grupos, que são:
A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-versa)
A negação de Algum A é B é Nenhum A é B (e vice-versa)
Atividades
1) Formalize os enunciados a seguir usando o alfabeto da lógica de primeira ordem.
a) Nenhum tubarão é considerado uma pessoa.
b) Nem todos os tubarões são carnívoros.
Apostila de Introdução à Lógica Página 101
c) Só verdadeiros e falsos são valores lógicos.
d) Todos os tubarões têm dentes afiados.
2) Relacione a primeira coluna com a segunda de forma que ambos expressem o mesmo conhecimento,
embora estejam usando linguagens diferentes. Considere ainda que
)(xf
representa x é um feiticeiro,
)(xh
representa
x
é um humano,
)(xp
representa x é um número par e
)(xpr
representa
x
é um
número primo.
I -
))()(( xhxfx
II -
))()(( xfxhx
III -
x
y (y
x
p(y))
IV -
))()(( xprxpx
( ) Para todo número, existe um outro número que é maior ou igual a ele e é par
( ) Existem feiticeiros humanos
( ) Nem todo homem é feiticeiro
( ) Existem números pares e primos
a) III, II, I, IV
b) IV, I, II, III
c) IV, II, I, III
d) III, I, II, IV
3) Considerando que a relação
),( yxa
representa
x
é avô de y e
),( yxp
representa
x
é pai de
y
,
escreva usando a linguagem natural a seguinte expressão:
)),()),((),(( ygpgxpgyxayx
4) A partir da linguagem da lógica de predicados, é possível representar o mesmo conhecimento de
diversas formas. Sendo assim, analise as frases “Alguns peixes são surubim” e “Nenhum peixe é
surubim” e, em seguida, assinale a alternativa que possua sua representação da forma correta.
a)
x (peixe(x)
surubim (x));
x (peixe(x)
surubim(x))
b)
x (peixe(x)
surubim (x));
x (peixe(x)
surubim(x))
c)
x (surubim (x)
peixe (x));
x (peixe(x)
surubim(x))
Apostila de Introdução à Lógica Página 102
d)
x (peixe(x)
surubim (x));
x (
peixe(x)
surubim(x))
5) Represente as seguintes frases utilizando o alfabeto da lógica de predicados.
a) Nenhum argumento com premissas verdadeiras e conclusão falsa é um argumento válido.
b) Todo argumento correto tem conclusão verdadeira.
c) Todo argumento com premissas falsas e inválido tem conclusão falsa.
d) Nem todo argumento inválido e com premissas verdadeiras tem conclusão falsa.
e) Nenhum argumento correto tem conclusão falsa.
f) Todo argumento com conclusão falsa é inválido.
g) Não existem argumentos corretos com conclusão falsa.
h) Existem argumentos inválidos com conclusão verdadeira.
6) Utilizando a linguagem da lógica de predicados, formalize os argumentos apresentados a seguir.
a) Nenhum político é sincero. Alguns políticos são advogados. Logo, alguns advogados não são
sinceros.
b) Fernando Collor foi presidente do Brasil. Fernando Collor foi destituído da presidência através de um
processo de impeachment. Logo, existe pelo menos um presidente que foi destituído através de um
processo de impeachment.
c) Todos os senadores são eleitos pelo povo. Posto que alguns senadores são desonestos, pode-se
concluir que existem pessoas desonestas eleitas pelo povo.
d) Alguns políticos são desonestos. Alguns advogados são políticos. Logo, alguns advogados são
desonestos.
e) Nenhum deputado governista vai votar contra as reformas. Pedro não é um deputado governista.
Logo, Pedro vai votar contra as reformas.
f) Há monitor que é bom estudante, mas não é comunicativo. Apenas bons estudantes são monitores.
Todo artista é comunicativo. Portanto, nem todo bom estudante é um artista.
g) Alguns escritores são poetas. Nenhum músico é poeta. Logo, nenhum músico é escritor.
h) Alguns escritores são poetas. Nenhum músico é poeta. Logo, existem escritores que não são
músicos.
i) Todo psiquiatra é médico. Nenhum engenheiro de software é médico. Portanto, nenhum psiquiatra é
engenheiro de software.
j) Todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Não há
filósofo e não há poeta que não seja responsável. Portanto, todo artista é responsável.
7) Considerando que os predicados P(x) e Q(x) significam “x é divisível por 2” e “x é divisível por 3”,
respectivamente, traduza as fórmulas abaixo para a linguagem natural (língua portuguesa) levando em
consideração o significado do alfabeto da lógica de predicados.
Apostila de Introdução à Lógica Página 103
a) (x) P(x)
b) (x) ¬P(x)
c) (x) P(x)
d) ¬((x) P(x))
e) (x) ¬P(x)
f) (x) (P(x) Q(x))
g) (x) (P(x) Q(x))
8) Construa o diagrama para os argumentos a seguir.
a) Todas as linguagens de programação são importantes. Prolog é uma linguagem de programação.
Assim, Prolog tem a sua importância. Quase todas as coisas importantes necessitam de tempo e de
dedicação para serem assimiladas. Portanto, para se aprender Prolog é necessário ter tempo e
dedicação.
b) A nenhum homem é consentido ser juiz em causa própria; porque seu interesse certamente influirá
em seu julgamento, e, não improvavelmente, corromperá a sua integridade.
c) Você está feliz, desde que você está fazendo a prova de Introdução à Lógica e a prova de Introdução
à Lógica é a única razão da felicidade. Pessoas felizes sempre conseguem obter bons resultados em
exames. Assim sendo, você conseguirá fazer uma boa prova.
9) Formalize os enunciados a seguir usando o alfabeto da lógica de primeira ordem.
a) Todos os programas funcionam.
b) Nenhum programa funciona.
c) Alguns programas funcionam.
d) Alguns programas não funcionam.
e) Qualquer coisa funciona.
f) Alguma coisa funciona.
g) Nem tudo funciona.
h) Nada funciona.
i) João ama a si próprio.
j) João ama todo mundo.
k) Todo mundo ama João.
l) Qualquer pessoa ama a si mesma.
m) Existe alguém que se ama.
n) Existe alguém que Maria não ama.
o) Existe alguém que tanto João quanto Maria amam.
p) Todo mundo ama todo mundo.
q) Alguém ama alguém.
r) Existe alguém que ama todo mundo.
s) Todo mundo é amado por alguém.
t) Todo aluno é mais novo do que algum professor.
u) Nem todos os pássaros são capazes de voar.
v) Algumas coisas estão ligadas e outras não estão.
w) Qualquer coisa ou está ligada ou não está ligada.
x) Todos os programas são programas.
y) Somente programas funcionam.
z) Existe pelo menos um gaúcho aqui.
aa) Existe pelo menos um número que é menor que 2.
bb) Todo homem é imaginativo.
cc) Alguns homens são bombeiros.
dd) Alguns alunos são baianos.
Apostila de Introdução à Lógica Página 104
10) Represente o conhecimento apresentado a seguir usando a linguagem de primeira ordem.
a) Premissa1: Todos os homens são mortais.
Premissa2: Sócrates é homem.
Conclusão: Portanto, Sócrates é mortal.
b) Premissa1: Toda baleia é um mamífero.
Premissa2: Todo mamífero tem pulmões.
Conclusão: Portanto, toda baleia tem pulmões.
c) Premissa1: Jeremias é rico.
Premissa2: Todos os homens ricos são felizes.
Conclusão: Logo, Jeremias é feliz.
d) Premissa1: Alguns felinos são tigres.
Premissa2: Todos os tigres são belos.
Conclusão: Logo, alguns felinos são belos.
e) Premissa1: Todos os são-carlenses são paulistas.
Premissa2: Todos os paulistas são brasileiros.
Conclusão: Logo, todos os são-carlenses são brasileiros.
f) Premissa1: Nenhuma baleia é peixe.
Premissa2: Moby Dick é baleia.
Conclusão: Logo, Moby Dick não é peixe.
g) Premissa1: Todo amigo de Carlos é amigo de Jonas.
Premissa2: Pedro não é amigo de Jonas.
Conclusão: Logo, Pedro não é amigo de Carlos.
h) Premissa1: Todos os cientistas são estudiosos.
Premissa2: Alguns cientistas são inventores.
Conclusão: Alguns estudiosos são inventores.
i) Premissa1: Todos os humanos são racionais.
Premissa2: Alguns animais são humanos.
Conclusão: Portanto, alguns animais são racionais.
11) (ENADE – 2008) Uma fórmula bem formada da lógica de predicados é válida se ela é verdadeira
para todas as interpretações possíveis. Considerando
essa informação, analise as duas asserções
apresentadas a seguir.
A fórmula bem formada (x) P(x) (x) P(x) é válida
porque,
em qualquer interpretação de uma fórmula da lógica de predicados, se todo elemento do conjunto
universo tem a propriedade P, então existe um elemento do conjunto que tem essa propriedade.
Assinale a opção correta com relação a essas asserções.
a) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
b) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda não é uma justificativa correta da
primeira.
c) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é uma proposição falsa.
d) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é uma proposição verdadeira.
e) As duas asserções são proposições falsas.
12) (SERPRO – Analista de Sistemas/2005) Considere a seguinte argumentação lógica:
Todo psiquiatra é médico.
Nenhum engenheiro de software é médico.
Portanto, nenhum psiquiatra é engenheiro de software.
Denote por x um indivíduo qualquer e simbolize por P(x) o fato de o indivíduo ser psiquiatra, por M(x) o
fato de ele ser médico, e por E(x) o fato de ser engenheiro de software. Nesse contexto e com base na
argumentação lógica, julgue os itens seguintes.
Apostila de Introdução à Lógica Página 105
1) A argumentação lógica pode ser simbolizada por
(x) (P(x) M(x))
(x) (E(x) M(x))
(x) (P(x) E(x))
2) A forma simbólica (x) (E(x) M(x)) é logicamente equivalente a (x) (E(x) M(x))
13) Escreva em linguagem natural a negação das seguintes afirmações.
a) Todos os cargos deste concurso são de analista de informática.
b) Alguns escritores são poetas.
c) Nenhum engenheiro de software é médico.
d) Alguns políticos não são honestos.
e) Pelo menos um economista não é médico.
f) Todos os não médicos são não economistas.
g) Existem pessoas inteligentes que não sabem ler ou escrever.
h) Toda pessoa culta é sábia se, e somente se, for inteligente.
14) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é
aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de
informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e
como nenhum aluno de português é aluno de história, então:
a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.
b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.
c) nenhum aluno de português é aluno de matemática.
d) todos os alunos de informática são alunos de matemática.
e) todos os alunos de informática são alunos de português.
15) Um contra-exemplo para “Todo homem cristão é um homem penitente” é encontrar
a) um homem não cristão que seja penitente.
b) um homem que não seja penitente nem cristão.
c) uma mulher cristã e penitente.
d) um homem que não seja penitente e que seja cristão.
e) uma mulher cristã e que não seja penitente.
Apostila de Introdução à Lógica Página 106
Aula 10 – Regras para Lógica de Predicados
1 Eliminação do Universal (EU)
Se tivermos estabelecido que x S(x), e se soubermos que d é um nome de um objeto que
pertence ao domínio do discurso, então podemos legitimamente inferir S(d).
Isto porque não existe nenhuma forma que permita que a declaração universal seja verdadeira
sem que a declaração específica também o seja. Esta inferência é denominada “Instanciação
Universal” ou “Eliminação do Universal”.
2 Introdução do Existencial (IE)
Suponhamos, por exemplo, que estabelecemos que d é um quadrado amarelo. Obviamente
podemos concluir que existe no domínio um quadrado que é amarelo. Não existe nenhuma
forma que permita que a declaração específica seja verdadeira sem que a existencial também
o seja.
Se estabelecemos S(d) então podemos inferir x S(x). Esta inferência é denominada
“Generalização existencial” ou “Introdução do Existencial”.
3 Introdução do Universal (IU)
Diz-nos que podemos introduzir um novo nome d, para denominar um membro arbitrário do
domínio do discurso, e prosseguir no sentido de provar S(d). Se o fizermos podemos concluir
x S(x).
A esta regra coloca-se a seguinte restrição:
1. a constante d não pode ocorrer em premissa ou hipótese vigente.
Ex: Pa xPx
1 Pa P
2 xPx 1 IU -> INCORRETO
Da premissa que ‘a’ é primo, não implica que todos os números são primos.
Ex: x(Px Cx) Pa xCx
1 x(Px Cx) P
2 Pa Ca 1 EU
3 | Pa Hipótese para PC
4 | Ca 2, 3 MP
Apostila de Introdução à Lógica Página 107
5 | xCx 4 IU -> INCORRETO
6 Pa xCx 3 – 5 PC
Considerando que P é político e C é corrupto, é incorreto dizer que se a é político então
todos são corruptos. Não se pode introduzir um universal a partir de um caso específico.
4 Eliminação do Existencial (EE)
Dada uma fórmula quantificada existencialmente ∃x e uma derivação de alguma conclusão θ
a partir de uma hipótese da forma [x/a], podemos descartar a hipótese e reafirmar θ.
Restrições:
‘a’ não ocorre em
‘a’ não ocorre em θ
‘a’ não ocorre em qualquer premissa
‘a’ não ocorre em qualquer hipótese vigente na linha em que EE é aplicada.
Ex: ∃x A(x, x) ∃xA(a, x)
1 ∃x A(x, x) P
2 | A(a, a) Hipótese para EE
3 | ∃xA(a, x) 2 IE
4 ∃xA(a, x) 1 e 2 - 3 EE -> INCORRETO PORQUE a ESTÁ EM θ (LINHA 3).
A constante ‘a’ não deve ocorrer em θ. Da premissa que alguém ama a si próprio não se segue
que Ana ama alguém” (∃x A(a, x)).
Ex: ∀x∃y F(y, x) ∃x F(x, x)
1 ∀x∃y F(y, x) P
2 ∃y F(y, a) 1 EU
3 | F(a, a) Hipótese para EE
4 | ∃x F(x, x) 3 IE
5 ∃x F(x, x) 2 e 3 - 4 EE -> INCORRETO PORQUE a ESTÁ EM (LINHA 2).
A constante a não pode ocorrer em . Da premissa que todos tem um pai (∀x∃y F(y, x)) não se
segue que alguém é pai de si mesmo.
Apostila de Introdução à Lógica Página 108
Ex: ∃x Gx, Fa x (Fx Gx)
1 ∃x Gx P
2 Fa P
3 | Ga hipótese para EE
4 | Fa Ga 2, 3 Conjunção
5 | ∃x (Fx Gx) 4 IE
6 x (Fx Gx) 1, 3 – 5 EE -> INCORRETO PORQUE a ESTÁ NAS PREMISSAS
(LINHA 2).
A constante a não pode ocorrer em qualquer premissa.
Ex: xGx Fa x(FxGx)
1 xGx P
2 | Fa Hipótese para PC
3 | | Ga Hipótese para EE
4 | | Fa Ga 2,3 conjunção
5 | | x(FxGx) 4 IE
6 | x(FxGx) 1, 3-5 EE -> INCORRETO PORQUE a ESTÁ NA HIPÓTESE (LINHA 2).
7 Fa x(FxGx) 2-6 PC
A “a” não pode ocorrer em qualquer hipótese vigente na linha em que EE será aplicada.
Semelhante a regra anterior, mas aplicada para hipóteses em vez de premissas
CONSIDERAÇÕES FINAIS
1 ~(∀x ~F(x)) = ∃xF(x)
2 ~(∀x F(x)) = ∃x~F(x)
3 ∀x ~F(x) = ~(∃xF(x))
4 ∀x F(x) = ~(∃x~F(x))
Atividades
1) Verifique a validade dos argumentos a seguir utilizando as regras da lógica de predicados.
a) x(Hx Mx), Hs Ms
Apostila de Introdução à Lógica Página 109
b) Fa xFx, xFx PFa P
c) x(Fx Gx), xFx Ga
d) Fa xFx
e) xyFxy Faa
f) x(Px Qx), Qa Pa
g) Ac La xAx yLy
h) x(Px Qx), Pa xQx
i) x(Ax Bx), As xBx
j) x(Rx Sx), xRx xSx
k) x(Fx (Gx Hx)), xGx xFx xHx
l) x(Ax Bx), x(Cx Dx) x(Ax Cx)
m) ∃x (F(x) ^ G(x)) ∃x F(x)
n) ∀x(F(x) →G(x)), ∃xF(x) ∃xG(x)
o) ∃xP(x), (∃xP(x)) Qb Qb
p) x (Fx) xFx
q) Ra Ba x(Rx Bx)
2) As formas abaixo são válidas ou inválidas?
a) Todo A é B. Todo A é C. Logo, todo B é C.
b) Algum A é B. Logo, algum B é A.
c) Todo B é C. Todo A é B. Logo, todo A é C.
d) Nenhum A é B. Logo, nenhum B é A.
e) Todo A é B. Todo C é não B. Logo, todo C é não A.
f) Algum A é não B. Logo, algum A é B.
g) Todo A é não B. Todo B é não C.
Logo, algum A é C.
h) Nenhum A é não B. Todo B é C. Logo, todo A é C.
3) Quais dentre os argumentos abaixo são válidos e quais são inválidos? (Escreva a forma do argumento
com a linguagem da lógica de predicados).
a) Nenhum mamífero é invertebrado. Gatos são mamíferos. Logo, gatos são vertebrados.
b) Alguns políticos são honestos. Logo, nem todos os políticos são desonestos.
c) Colombo era corintiano, pois era paulista e todos os paulistas são corintianos.
d) Todo brasileiro é fanático por futebol. Bush não é brasileiro, portanto, não é fanático por futebol.
e) Nenhum deputado governista vai votar contra as reformas. Pedro não é um deputado governista.
Logo, Pedro vai votar contra as reformas.
f) Somente os brasileiros são cariocas. Ora, posto que todos os flamenguistas são cariocas, todo
flamenguista é brasileiro.
g) Todo flamenguista é campeão do mundo. Nenhum atleticano é campeão do mundo. Logo, nenhum
atleticano é flamenguista.
13) Represente os argumentos a seguir utilizando a linguagem da Lógica de Predicados. Em seguida,
prove a validade de cada argumento usando o método da dedução natural.
a) Todos os cachorros são estúpidos. Todas as criaturas estúpidas são amáveis. Nenhuma criatura
amável é sensata. Portanto, nenhum cachorro é sensato.
Use os símbolos: Ca(x), E(x), A(x) e S(x).
b) Nenhum cantor é inútil, pois nenhum cantor é ignorante e todas as pessoas ignorantes são inúteis.
Use os símbolos: C(x), In(x) e Ig(x).
Apostila de Introdução à Lógica Página 110
c) Todo microcomputador tem uma porta serial. Alguns microcomputadores têm uma porta paralela.
Portanto alguns microcomputadores têm uma porta serial e uma porta paralela.
Use os símbolos: M(x), PS(x) e PP(x).
d) Não existem mortais. Portanto, todos são não imortais.
Use o símbolo: M(x).
e) Todos têm um pai. Logo, alguém é pai de si mesmo.
Use o símbolo: P(x).
Apostila de Introdução à Lógica Página 111
Aula 11 – Árvore de Refutação para Lógica de Predicados
Na Lógica Proposicional, mostrou-se como as tabelas verdade, as demonstrações e as árvores
de refutação podem ser usadas para a verificação da validade de argumentos e de tautologias.
Verificaremos no que segue como as árvores de refutação podem ser generalizadas para o
Cálculo de Predicados.
Como anteriormente, as árvores de refutação irão permitir verificar a validade de argumentos
em um número finito de passos. No entanto, esta técnica na Lógica de Predicados pode não
nos fornecer nenhuma resposta em alguns casos.
A generalização das árvores de refutação para a Lógica de Predicados mantém todas as
regras anteriormente vistas para a Lógica Proposicional e novas regras serão estipuladas para
as fórmulas contendo os quantificadores Universal () e Existencial (). Teremos então, além
das dez regras dadas na lógica Proposicional, mais quatro novas regras (Alves, 2010).
1 Regra da Negação do Quantificador Universal (~):
Uma fórmula do tipo ~(x) gera uma linha na qual escreve-se a fórmula (x)~. Procede-se
assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula ~(x) pertence
2 Regra da Negação do Quantificador Existencial(~):
Uma fórmula do tipo ~(x) gera uma linha na qual escreve-se a fórmula (x)~. Procede-se
assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula ~(x) pertence
3 Regra do Quantificador Existencial ():
Uma fórmula do tipo (x)(x) gera uma linha na qual escrevemos a fórmula (c) onde c é uma
nova constante que não ocorre em qualquer ramo da árvore e substituirá as ocorrências da
variável x, do quantificador, na fórmula . Procedemos assim em todos os ramos abertos aos
quais a fórmula (x)(x) pertence.
Justificativa: A fórmula (x)(x) significa que existe pelo menos um objeto do Universo que tem
a propriedade e este será identificado, sempre, por uma "nova" constante, ou seja, uma
constante que não ocorre na árvore.
Apostila de Introdução à Lógica Página 112
4 Regra do Quantificador Universal () :
Uma fórmula do tipo (x)(x) gera uma linha na qual escrevemos a fórmula (c) onde c é
qualquer constante que já ocorre em qualquer ramo da árvore e substituirá as ocorrências da
variável x, do quantificador, na fórmula . Procedemos assim em todos os ramos abertos aos
quais a fórmula (x) (x) pertence.
Justificativa: A fórmula (x)(x) significa que todos os objetos do universo têm a propriedade .
Sendo assim, a regra deve ser aplicada a todas as constantes presentes na árvore e
eventualmente para aquelas que surgirem durante a "construção" da árvore.
Algumas Observações Importantes
1. Como vimos anteriormente, as fórmulas para as quais são aplicadas as regras, sempre
serão "marcadas" (). No entanto, para a regra () do quantificador universal isto não será
obedecido pois, se surgir uma nova constante na árvore por aplicação da regra (), para esta
constante deverá ser aplicada a regra () em todas as fórmulas do tipo (x)(x) da árvore.
2. Somente se nenhuma constante ocorre em algum ramo é que podemos introduzir uma nova
constante para usar em possíveis aplicações da regra () ao longo do referido ramo.
Atividades
1) Prove a validade dos argumentos a seguir por meio da árvore de refutação.
a) (x)P(x) (x)P(x)
b) Todos os cientistas são estudiosos. - (x) (C(x) E(x))
Alguns cientistas são inventores. - (x) (C(x) I(x))
Alguns estudiosos são inventores. - (x) (E(x) I(x))
c) Nenhum estudante é velho. - (x) (E(x) ~V(x))
Alguns jovens não são estudantes. - (x) (J(x) ~E(x))
Alguns velhos não são jovens. - (x) (V(x) ~J(x))
d) x(F(x) G(x)), x ~G(x) x ~ F(x)
e) x (F(x) ~G(x)), x (H(x) G(x)) x (F(x) ~H(x))
Apostila de Introdução à Lógica Página 113
f) x F(x) x G(x) x (F(x) G(x))
g) x (F(x) G(x)) x F(x) x G(x)
h) x y (F(x) G(y)) y x (G(y) F(x))
i) x y (F(x) G(y)) y x (F(x) G(y))
j) xF(x) xF(x)
k) xF(x) x(F(x) P)
l) xy(F(x) G(y)) yx(G(y) F(x))
m) xy Pxy Paa
n) x(Fx Gx) x(Fx Gx)
2) Represente os argumentos a seguir usando a linguagem da Lógica de Predicados. Depois, construa
uma árvore de refutação para provar a sua validade.
a) Todos os membros do conselho vêm da indústria ou do governo. Todos que vêm do governo e são
advogados são a favor da moção. João não vem da indústria mas é advogado. Portanto, se João é um
membro do conselho, ele é a favor da moção.
Use os símbolos: M(x), I(x), G(x), A(x), F(x) e j.
b) Todos os gatos são mansos. Alguns cachorros são mansos. Logo, alguns cachorros são gatos.
Use os símbolos: G(x), C(x) e M(x).
c) Algumas ferramentas são venenosas. Todas as coisas venenosas são prejudiciais. Logo, algumas
ferramentas são prejudiciais.
Use os símbolos: F(x), V(x) e P(x).
3) Escreva os argumentos abaixo usando a linguagem da lógica de predicados. Depois, verifique a
validade do argumento por meio de dedução natural (uso de regras de equivalência e inferência) e
também por meio de árvore de refutação.
a) Se os filósofos sabem lógica, então sabem argumentar. Mas há filósofos que não sabem argumentar.
Assim, alguns filósofos não sabem lógica.
Use os símbolos: L(x) = filósofos que sabem lógica; e A(x) = filósofos que sabem argumentar.
b) Todos os girassóis são amarelos e alguns pássaros são amarelos, logo nenhum pássaro é um
girassol.
Use os símbolos: G(x) = girassol, A(x) = amarelo e P(x) = pássaro.
Apostila de Introdução à Lógica Página 114
c) Alguns baianos são surfistas. Alguns surfistas são loiros. Não existem professores
surfistas. Portanto,
alguns professores são baianos.
Use os símbolos: B(x) = baiano, S(x) = surfista, L(x) = loiro e P(x) = professor.
d) Todos os cachorros têm asas. Todos os animais de asas são aquáticos. Existem gatos que são
cachorros. Logo, existem gatos que são aquáticos.
Use os símbolos: C(x) = cachorro, As(x) = animais de asas, Aq(x) = animais aquáticos e G(x) = gato.
Apostila de Introdução à Lógica Página 115
Aula 12 – Programação em Lógica - Prolog
A ideia de criar máquinas inteligentes não é nova. Desde o Renascimento que se tem
procurado de forma sistemática conceber máquinas capazes de substituírem o homem em
certas tarefas. Foi no século XVII que começou uma sucessão de notáveis investigações e
invenções que iriam conduzir à inteligência artificial. As ideias filosóficas do tempo
estimulavam estas descobertas (Fontes, 2010).
O desenvolvimento dos computadores acabou por impulsionar o aparecimento de uma nova
ciência nos anos 50, a inteligência artificial. Esta ciência aplicada dedica-se ao estudo da
construção de máquinas capazes de simularem atividades mentais, tais como a aprendizagem
por experiência, resolução de problemas, tomada de decisões, reconhecimento de formas e
compreensão da linguagem (Fontes, 2010).
Por volta de 1950, na área de Inteligência Artificial, surgiu a linguagem Prolog que pertence ao
paradigma de programação lógico. Prolog é uma linguagem declarativa e bastante utilizada
para representar conhecimento de um domínio e realizar inferências. Existem vários dialetos do
Prolog disponíveis na Internet. Uma das ferramentas que trabalha com o Prolog é o Amzi
Prolog, que pode ser encontrado em http://www.amzi.com/.
Considere o argumento:
Todo brasileiro é fanático por futebol.
Bush não é brasileiro, portanto, não é fanático por futebol.
Poderíamos implementar as premissas da seguinte forma:
fanatico(X) :- brasileiro(X).
americano(bush).
Neste caso, este seria o conhecimento que temos do domínio. Na sequência, poderíamos
perguntar ao Prolog se Bush não é fanático por futebol. Para isso, faremos esta pergunta no
formato:
?- not fanatico(bush).
yes
Apostila de Introdução à Lógica Página 116
Considere agora o argumento:
Colombo era corintiano, pois era paulista e todos os paulistas são corintianos.
Neste caso, as premissas ficariam da seguinte forma:
paulista(colombo).
corintiano(X):-paulista(X).
Para perguntar ao Prolog se Colombo era corintiano, faríamos:
?-corintiano(colombo).
yes
Algumas observações:
Qualquer letra maiúscula é considerada uma variável para a linguagem. Assim, a utilize
para representar os objetos dos quantificadores.
:- representa se, ou seja, se os predicados do lado direito forem verdadeiros, então o
predicado da esquerda também o será.
Os nomes dos predicados são livres, mas opte para que eles sejam mais significativos.
Todo fato (ex: paulista(colombo).) ou regra (ex: corintiano(X):-paulista(X).) deve finalizar
com um ponto final.
Atividades
1) Considere o programa lógico a seguir.
gosta(antonio,eva).
gosta(ivo,ana).
gosta(ivo, eva).
gosta(eva,antonio).
gosta(ana,antonio).
namora(X,Y):- gosta(X,Y), gosta(Y,X).
Agora faça as seguintes perguntas ao Prolog:
Ivo gosta de quem?
Quem gosta de Antonio?
Apostila de Introdução à Lógica Página 117
Ivo namora Eva?
Antonio namora com quem?
Eva namora Antonio?
2) Considere o programa lógico a seguir.
pai(adao,cain).
pai(adao,abel).
pai(adao,joao).
pai(joao,jose).
avo(X,Z):-pai(X,Y), pai(Y,Z).
Agora faça as seguintes perguntas ao Prolog:
Quem é pai de Abel?
Adao é pai de quem?
Quem é avó de José?
João é avó de alguém?
3) Crie regras para irmão, irmã, avoh, primo, prima, tio, tia, sobrinho, sobrinha, ...
4) Considere o seguinte conhecimento do domínio.
É crime para um americano vender armas para um país inimigo
Iraque possui mísseis.
Joseph é americano
Iraque é uma nação
Iraque é inimigo dos EUA
Todos os mísseis são armas
Iraque compra os mísseis de Joseph
Diante disso, reescreva todo este conhecimento para o Prolog e faça a pergunta: Joseph é criminoso?
5) Represente em Prolog os conhecimentos a seguir.
Jorge gosta de automóveis e de aviões
Sofia gosta de nadar no verão
Sábado ou domingo é final de semana
O patinho é feio.
Eu sou legal.
Apostila de Introdução à Lógica Página 118
O vento levou.
Quem não chora, não mama.
Todo homem é mortal, exceto o super-homem
A Carla fala inglês e sueco.
A Paula e Sofia falam espanhol.
Portugal é um pais da europa.
Na Bélgica fala-se francês e flamengo.
6) Faça as seguintes perguntas diretamente ao Prolog.
7 é igual a 3 + 4
8 é igual a 3 + 4
4 é maior ou igual a 3
7) Represente na linguagem Prolog as seguintes afirmações.
• José de Alencar escreveu senhora.
• José de Alencar escreveu Iracema.
• Isaac Asimov escreveu “eu, robô”.
• Aguinaldo Silva escreveu o tieta.
• Silvio de Abreu escreveu Passione.
• José de Alencar tem nacionalidade brasileira.
• Aguinaldo Silva tem nacionalidade brasileira.
• Silvio de Abreu tem nacionalidade brasileira.
• Isaac Asimov tem nacionalidade inglesa.
• Senhora é um livro.
• Iracema é um livro.
• Eu, robô é um livro.
• Tieta é uma novela.
• Passione é uma novela.
Reescreva as seguintes perguntas conforme a linguagem Prolog e, depois, informe a(s) resposta(s):
a) Quais os autores da mesma nacionalidade que escrevem novelas?
b) Quais os livros escritos por mais de um autor?
c) Quais os autores que escrevem mais de um livro?
d) Quais os livros escritos por José de Alencar?
e) Quais os livros escritos por autores brasileiros?
Apostila de Introdução à Lógica Página 119
Referências Bibliográficas
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<http://www.pucsp.br/~logica/CalculodePredicados.htm>. Acesso em: 05 ago. 2008.
ALVES, Messias. Lógica de Predicados. Disponível em:
<http://www.ati.pi.gov.br/~jmessias/intlogica/aulas/intlogica-parte05-3x3.pdf> Acesso em 05 jul.
2010.
ARANHA, Maria Lúcia de Arruda; MARTINS, Maria Helena Pires. Filosofando – Introdução à
filosofia. 3. ed. São Paulo: Moderna, 2003.
CASANOVA, Marco A.; GIORNO, Fernando; FURTADO, Antônio L. Programação em Lógica
e a Linguagem Prolog. São Paulo: edgard Blucher, 1987.
CHAUI, Marilena. Convite à Filosofia. São Paulo: Ed. Ática, 2003.
COPI, Irving M. Introdução à lógica. 2. ed. São Paulo: Mestre Jou, 1978.
CUNHA, J. F. Lógica Informal: Argumentos. Disponível em: <http://
www.dsc.ufcg.edu.br/~logica/Apresentacoes/Log2_Argumentos.ppt>. Acesso em 04 ago. 2008.
FONTES, Carlos. Breve História da Lógica. Disponível em:
<http://afilosofia.no.sapo.pt/Hist.htm>. Acesso em 07 jul. 2010.
FRANCO, Márcia Islabão. Introdução à Lógica de Predicados. Disponível em:
<http://www.inf.ufrgs.br/~jkv/LogicaPred.pdf>. Acesso em: 10 jul 2008.
HUBNER, Jomi Fred. Lógica Proposicional. Disponível em:
<http://www.inf.furb.br/~jomi/logica/slides/logProp-4x1.pdf>. Acesso em: 16 ago. 2008.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo:
Atual, 1993.
KELLER, Vicente; BASTOS, Cleverson L. Aprendendo Lógica. Petrópolis: Vozes, 2000.
MORTARI, Cezar A. Introdução à Lógica. São Paulo: UNESP, 2001.
NOLT, John; ROHATYN, Dennis. Lógica. São Paulo: McGraw-Hill, 1991.
PINHO, Antônio. A. Apostila de Introdução à Lógica Matemática. Rio de Janeiro, 1999.
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SALMON, W. Lógica. Zahar, 6a. ed., 1984.
SOARES, Edvaldo. Fundamentos de Lógica: Elementos da Lógica Formal e Teoria da
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SOUZA, João Nunes de. Lógica para Ciência da Computação. Rio de Janeiro: Campus,
2002.
TELES, Antônio Xavier. Introdução ao Estudo de Filosofia. São Paulo: Ática, 2000.
TUTORVISTA. Number Theory. Disponível em:
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WIKIPEDIA Enciclopédia. Conjunto das Partes. Disponível em:
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WIKIPÉDIA-Enciclopédia Livre. Lógica proposicional. Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional>. Acesso em: 03 ago. 2008.
WIKIPÉDIA-Enciclopédia Livre. Lógica de primeira ordem. Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_primeira_ordem>. Acesso em: 05 ago. 2008.Mais conteúdos dessa disciplina
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