Lista_EDO_2012

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LISTA DE CÁLCULO NUMÉRICO – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
 
 
1. Descreva de modo resumido quais os tipos de erro que influenciam o cálculo de uma EDO ao 
utlizarmos os métodos de Runge-Kutta. 
 
2. Escreva a forma geral de um método numérico de Runge-Kutta. O que determina a ordem p deste 
método? Mostre que Euler Padrão e Euler Modificado correspondem às formulações de Runge-
Kutta de ordens 1 e 2, respectivamente. 
 
3. O método de Euler Padrão pode ser interpretado como uma aproximação por série de Taylor de 
ordem 1. Com o objetivo de obtermos melhores aproximações, poderíamos pensar em utilizar 
métodos baseados nos termos superiores da série de Taylor. Explique porque esta abordagem 
pode ser computacionalmente inviável. 
 
4. Explique por que o método de Euler Modifiado é do tipo predição-correção. 
 
 
5. Dado o seguinte PVI: 
y’ = (y2 – 1) / (x2 + 1) 
y(0) = 1 
Calcule numericamente uma aproximação para o ponto x = 1 usando os métodos de Euler Padrão e 
Euler Modificado com h=0,25. 
R: Ambos os métodos : y(1) = 1,00 
 
 
6. Dado o seguinte PVI: 
y’ = –x / y 
y(0) = 20 
Calcule uma aproximação para o ponto x = 16 usando RK4 com h = 4. 
R: RK4 : y(16) = 11,998 
 
 
 
7. No estudo do crescimento de populações, um dos modelos mais simples (Malthus) considera que a 
taxa de variação λ de uma população p em um instante t é proporcional ao próprio tamanho desta 
população. Matematicamente, podemos escrever: dp/dt = λp. Suponha que, no instante t = 0, 
uma ilha tenha 10000 habitantes. Se λ = 0,05 (taxa anual), utilize o método de Euler Modificado 
com passo h = 0,5 para prever o tamanho da população em t = 4 anos. 
R: p = 12214 habitantes