Sistema de Coordenadas

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SISTEMAS DE COORDENADAS
Geometria Analítica e 
Álgebra Linear I
Prof. Dr. Ricardo Menon
PUCPR – Campus Toledo
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Sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no plano
Um sistema de eixos ortogonais no plano é constituído de duas retas orientadas x e y,perpendiculares entre si. A reta orientada x é denominada de eixo x ou eixo das abscissas. A
 reta orientada y é denominada de eixo y ou eixo das ordenadas.
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Sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no plano
Dado um ponto P qualquer do plano, podemos projetá-lo sobre os eixos coordenados.
Considerando que Px e Py são as projeções de P sobre os eixos x e y, respectivamente, então o ponto P 
 pode ser determinado pelo par ordenado ( x,y ), onde
 x = OPx e y = OPy 
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Sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no plano
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Sistema de coordenadas polares
No sistema de coordenadas polares no plano, as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a um semi-eixo fixo.
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O ponto fixo é chamado pólo
 (origem) representado pela letra “O”. 
 O semi-eixo fixo é chamado de eixo polar (reta polar) representado por “Ox”.
Sistema de coordenadas polares
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Sistema de coordenadas polares
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A cada ponto P do plano, são associadas suas coordenadas polares (ρ,θ) que consistem:
ρ = Distância do pólo O ao ponto P.
θ = Ângulo (ou anomalia) entre o eixo polar e a reta OP .
Sistema de coordenadas polares 
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EXEMPLO
Represente no plano os pontos ( , ) onde:
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Resolução:
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 Relações entre o sistema cartesiano e o sistema polar
Para a representação do mesmo ponto em coordenadas cartesianas e coordenadas polares:
tomar o ponto O como origem dos dois sistemas.
tomar também o eixo polar coincidindo com o eixo “Ox”. 
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 Relações entre o sistema cartesiano e o sistema polar
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EXEMPLO
Passar os seguintes pontos do sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas polares:
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Logo 
Assim as coordenadas polares do ponto P são : 
 
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Sistemas de coordenadas no espaço tridimensional
Sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no espaço
Sistema de coordenadas cilíndricas
Sistema de coordenadas esféricas
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Sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no espaço
Um sistema de eixos ortogonais no espaço é constituído de três retas orientadas x, y e z, perpendiculares entre si.
A reta orientada x é denominada eixo das abscissas.
 A reta orientada y é denominada eixo das ordenadas.
A reta orientada z é denominada eixo das cotas.
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Assim, cada ponto P do espaço será representado por uma única tripla ordenada (x,y,z) , onde o primeiro elemento x recebe o nome de abscissa do ponto P, o segundo elemento y é chamado de ordenada de P e o terceiro elemento z é chamado de cota de P.
Reciprocamente, cada tripla ordenada de números reais representará um único ponto do espaço.
Sistemas de coordenadas no espaço tridimensional
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Sistemas de coordenadas no espaço tridimensional
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Sistema de coordenadas cilíndricas
Considere em um plano alfa um sistema polar, cujo pólo é O e cujo eixo polar é p.
 Além disso, considere um eixo z de origem em O e ortogonal ao plano alfa
 Dado um ponto P qualquer do espaço tridimensional, fazemos a seguinte construção ilustrada na seqüência:
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Sistema de coordenadas cilíndricas
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Assim, ficam determinados três números r, θ e z que são as coordenadas cilíndricas do ponto P .
P=(r ,  , z)
Sistema de coordenadas cilíndricas
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A denominação coordenadas cilíndricas de um ponto P se deve ao fato de que o movimento de P no espaço, segundo um raio fixo r, uma cota variável z e um ângulo θ que varre o intervalo
 [0, 2π] , determina uma superfície cilíndrica ou simplesmente um cilindro.
Sistema de coordenadas cilíndricas
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Relações entre o sistema cartesiano e o sistema cilíndrico
Considera-se os dois sistemas, de modo que o eixo polar coincida com o eixo das abscissas, o pólo coincida com a origem e o eixo z seja comum aos dois sistemas. Então:
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Sistema de coordenadas esféricas
Seja o pólo O um ponto do espaço tridimensional pelo qual passa uma reta orientada z.
O plano alfa contém o eixo z. O plano beta também contém o eixo z e passa pelo ponto P. 
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Sistema de coordenadas esféricas
Assim, conforme a figura que segue, as coordenadas esféricas do ponto P são P (ρ, θ, ).
O ângulo θ é chamado de longitude e o ângulo φ de colatitude.
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Sistema de coordenadas esféricas
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A bi-univocidade entre os pontos do espaço e as coordenadas esféricas pode ser conseguida com as restrições: 
 ρ > 0, 0 ≤ θ < 2π e 0 ≤  ≤ π .
 Para o polo 0 são indeterminados os ângulos θ e  , ficando o mesmo caracterizado apenas por ρ = 0.
Sistema de coordenadas esféricas
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Relações entre o sistema cartesiano e o sistema esférico
Considera-se os dois sistemas, de modo que o plano alfa coincida com o plano x z,
 conforme a figura que segue, então:
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Relações entre o sistema cartesiano e o sistema esférico
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EXEMPLO
Passar os seguintes pontos do sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas esféricas: 
 P (x, y, z)  P (ρ, θ, φ)
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a) P (2, − 2,0)
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Assim as coordenadas esféricas ficam:
P(x,y,z)  P(, , ) = 
Relações entre o sistema cartesiano e o sistema esférico