CALCULO II Roteiro_1

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unesp
Faculdade de Engenharia - Câmpus de Ilha Solteira
Departamento de Matemática
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
"Júlio de Mesquita Filho"
 
 
Cálculo Diferencial e Integral II: 2
o
 Semestre de 2013 - Mecânica 
 
Roteiro 1: A Inversa de uma Função Real e sua Derivada. 
 
Objetivos: Definir a inversa de uma função e determinar a derivada dessa função. 
 
1. O Conceito de Função Inversa. 
 
Para a introdução do conceito de função inversa necessita-se relembrar o conceito 
de função, o que é apresentado a seguir. 
 
Definição: Dados A e B subconjuntos de , uma função f: A  B é uma relação que a 
cada elemento de A associa um único elemento de B. A é dito domínio de f e B 
contradomínio. 
 
Notação: 
)x(fyx
BA:f



. 
 
Exemplos: 
 
Figura 1: O conceito de função. 
 
Na função f, tem-se que f(1) = 5, f(2) = 6, f(3) = 5 e f(4) = 7. Assim, tem-se que: 
 
 O valor da função f no ponto 1, isto é, f(1) é igual a 5; 
 
 A imagem de f é o conjunto {5, 6, 7} que é o conjunto de todos os valores 
assumidos pela função f.; 
 
 O domínio de f é o conjunto A. 
 
Definição: O gráfico de f é o conjunto 
  )f(domx:)x(fy,x)f(Gr 
. 
 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
5 
 
 
6 
 
7 
g 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
5 
 
 
6 
 
7 
f 
 
 
 
 
2 
Exemplo: Seja 
1x2yx
:f



. Então, 
   x:1x2y,x)f(Gr
 é um subconjunto de 
pontos do plano 2, que é uma reta que não passa pela origem, com inclinação 2. 
 
Problema 1: 
(a) Como se determina a imagem de uma função através de seu gráfico? 
(b) Determine o domínio e a imagem de 
2x
1
)x(g


. 
 
Considere as funções 
:g,f
 definidas por f(x) = 2x+1 e 
2
1x
)x(g


. 
 
Problema 2: Calcule fog(x) e gof(x). O que você observa? 
 
Observação: A função identidade é a função definida como sendo 
x I(x) x 
:I



. 
 
Tem-se, então, a seguinte definição. 
 
Definição: Diz-se que a função f:AB é inversível se existe uma função g: B A tal 
que fog = IB e gof = IA, sendo IA é a função identidade em A. A função g: B A é dita a 
inversa de f. 
 
Notação: Usa-se g(x) = f
-1
(x) para denotar a inversa de f(x). 
 
Exemplos: 
(a) Se f:  , f(x) = 2x – 5, então 
)5x(
2
1
)x(f 1 
. 
(b) Se f:  , f(x) = x3, então 
31 x)x(f 
. 
 
Considerando a função f(x) = x, nota-se que f goza da seguinte propriedade: 
A cada y de  = im(f) associa-se um único x de  = dom(f), tal que x = g(y) ou x = 
f(x). Isto nos permite definir a função g(y) que será denotada por f
-1
, tal que f
-1
(y) = x. 
 
 
Daí: 
f 
-1
(y) = x  f -1(f(x)) = x  f(f -1(y)) = y 
 
Assim, f 
-1
 é a inversa de f. Essa observação nos dá uma pista para a determinação da 
inversa de uma função, quando possível. 
f 
-1
(y) 
x 
y 
 
 
 
 
3 
Problema 3: 
(a) Se f:  , f(x) = x3, mostre que 
31 x)x(f 
; 
(b) Determine a inversa das funções y = (x – 1)3 e y = 
3x
4x


. 
 
Problema 4: Considere a função f:   , dada por f(x) = x2. 
(a) f(x) é inversível? Justifique sua resposta; 
(b) Qual a dificuldade para que se defina a inversa dessa função? 
(c) Quais as condições para que exista a inversa de uma função f(x)? 
 
A existência da inversa de uma função está intimamente ligada ao conceito de 
bijetividade. Dessa forma, necessita-se dos conceitos de injetividade e sobrejetividade, 
descritos a seguir. 
 
Definição: Seja 
BA:f 
 uma função real. 
(a) f(x) é dita injetora se e somente se  x1, x2  A, f(x1) = f(x2) então x1 = x2; 
(b) f(x) é sobrejetora se Imf = B, isto é, dado y B, existe X A, tal que f(x) = y; 
(c) Dizemos que f(x) é bijetora se é injetora e sobrejetora. 
 
Problema 5: 
(a) Construa o gráfico da função g(x) = x
3
. Corte o gráfico de g(x) por retas horizontais. 
O que você observa? Faça o mesmo para f(x) = x
2 
. 
(b) As funções f(x) = x
2 
 e g(x) = x
3
 são injetoras? Justifique sua resposta; 
(c) Como se analisa a injetividade de uma função através de seu gráfico? 
(d) O que você pode concluir da inversibilidade de uma função a partir dessa análise? 
 
Problema 6: Considere novamente a função f:   , dada por f(x) = x2. Em que 
condições f será inversível? 
 
O resultado, a seguir, caracteriza a inversibilidade de uma função. 
 
Teorema: f:A B é inversível se e só se f for injetora e sobrejetora. 
 
Observações: Se y = f(x), x  A é injetora, então f: A  Imf é inversível e a sua 
inversa f
-1 
 é definida por 
 y)x(f x)y(f -1 
. 
 
A proposição dada a seguir mostra as propriedades de uma função f que são 
transmitidas à inversa f
-1
. 
 
Proposição: Seja f uma função contínua e crescente (decrescente) no intervalo [a, b], 
que é seu domínio. Então: 
(a) f é inversível e o domínio de 
1f 
é [f(a), f(b)] ou [f(b), f(a)]; 
(b) 
1f 
é contínua em seu domínio; 
(c) 
1f 
é crescente (decrescente) em seu domínio. 
 
 
 
 
4 
 
Figura 2: crescimento, decrescimento e inversibilidade. 
 
Problema 7: Considere 
1x2
3
x
5
x
 ) x (f
35

 em [ 0, 1 ]: 
(a) Analise a inversibilidade de f; 
(b) Encontre o domínio e a imagem de f-1, se ela existir. 
 
2. A Derivada da Função Inversa. 
Seja f uma função inversível, com inversa f
-1
. Assim, 
 
f(
1f 
(y)) = y, para todo y  dom(
1f 
). 
 
Segue que para todo y  dom(f-1): 
 
  y)y(f(f 1 
 ou 
  1)y(f(f 1 
. 
 
Considerando-se que f e f
-1
 são diferenciáveis, pode-se aplicar a regra da cadeia ao 
primeiro membro da expressão anterior e então, obtém-se: 
 
      1)y(f)y(ff)y(f(f 111  
 ou 
 
   x(f
1
)y(f(f
1
)y(f
1
1







 y  dom(f -1). 
 
Esse resultado encontra-se enunciado no teorema a seguir. 
 
Teorema: Seja f uma função inversível com inversa f 
-1
 contínua. Suponha que y = f(x) é 
derivável e 
)x(f 
  0 ,  x  Dom f. Então f -1 é derivável e 
 )f( 1 
( y ) = 
))y(f(f
1
f '(x)
1
1

, 
sendo x tal que f(x) = y. 
 
Exemplos: 
(a) Se y = f(x) = x2, então 
 )f( 1 
( y ) = 
y2
1
; 
(b) y = f(x) = x3, então 
 )f( 1 
(y) = 
3/2y6
1
. 
 
a b 
f(a) 
f(b) 
a b 
f(a) 
f(b) 
 
 
 
 
5 
Problema 8: Considere a função 
1x2
3
x
5
x
 ) x (f
35

 em [ 0, 1 ]. 
(a) Encontre o domínio e a imagem de
1f 
, se ela existir. 
(b) Encontre 
1) ( ) f ( 1 
, se existir. 
Problema 9: Se f(x) = 
1x
3x2


, prove que 
 
 2
1
2y
5
)y(f



.